Mecanica dos Fluidos: 1a prova (2014/noturno)

NAO USE CALCULADORA.Para simplificar as contas supor g = 10m/s2, ρagua = 103 kg/m3, ρar = 1 kg/m3, γar = 1, 5

patm = 105N/m2 = 1 bar, 0, 51/3 ∼ 0, 8

Exercıcio 1.Voce esta bebendo um suco com um canudo de altura h e diametro d, num recipiente muito grande.Voce aspira lıquido. Quando o canudo esta cheio, coloca seu dedo sobre a extremidade de cima e retira

o tubo do recipiente (cf. figura).

a) (0,5) Fazer um diagrama de forcas para explicar porque o lıquido nao cai.b) (1,0) Calcular a pressao exercida pelo lıquido sobre seu dedo supondo h = 20cm.c) (1,0) Voce pode dispor de um canudo (rıgido) de comprimento muito grande. Para qual comprimento

crıtico do canudo o lıquido comecaria a escorregar pela extremidade de baixo? Este comprimento crıticomuda se o canudo for inclinado? Muda se o canudo tiver diametro maior?

[Desprezamos um pequeno efeito devido a mudanca de fase da agua a pressao baixa.]

Exercıcio 2.Voce colocou seu copo de cafe cheio ate a altura h no prato giratorio do seu forno micro-onda. Lem-

brando suas aulas de mecanica dos fluidos, voce sabe que a superfıcie do lıquido no seu copo vai se deformar.Voce quer saber se vai vazar cafe. Seu copo e um cilindro de altura H=14 cm, diametro D=6 cm e h=12cm. O prato giratorio faz 12 voltas por minuto.

Escolher os eixos de modo que ~g = −gza) (0,5) Escrever a equacao de Euler (se quiser, pode introduzir uma forca fictıcia e trabalhar no

referencial de repouso do prato).b) (1,0) Mostrar que a pressao no cafe varia como p(r, z) = patm − ρaguag(z − z0) + ρaguaω

2r2/2 onde(r = 0,z0)e um ponto onde p = patm.

c) (1,0) Calcular a equacao da superfıcie livre (= em contacto com o ar) e desenha-la.Calcular z0 em funcao de D,h, ω e g.Derramou cafe?

Exercıcio 3.Voce esta andando com sua lancha novinha mum rio (de largura constante) com velocidade de escoa-

mento pequena independente do tempo e baixios (bancos de areia no fundo). Lembrando (outra vez) assuas aulas de mecanica de fluidos, voce sabe que se a altura do fundo aumentar localmente um pouco, istocausa um abaixamento local do nıvel da agua (cf. figura). Para deixar voce mais tranquilo, vamos calcularo valor deste abaixamento. Escolhemos os eixos de modo que ~g = −g z.

a) (0,5) Mostrar que hv = h′v′.b) (1,0) Usando a equacao de Bernouilli, verificar que ∆h > 0, isto e, tem abaixamento do nıvel da

agua.c) (1,0) Calcular ∆h para v = 2m/s, h = 2m, H = 30cm. Pode usar 1/(1− ǫ)2 ∼ 1 + 2ǫ.

Exercıcio 4.Um fluido perfeito incompressıvel de densidade de massa ρ sob acao da gravidade tem o seguinte campo

de velocidade: ~v = (2αy,−αx, 0) com α constante e o eixo z vertical para cima (~g = −gz).a)(0,5) Mostrar que a equacao de continuidade para massa e satisfeita.

b) (1,0) Mostrar que (~v · ~∇)~v = −2α2(xx+ yy) e obter p(x, y, z).c) (1,0) Mostrar que a equacao das linhas de corrente e x2+2 y2 = cste. Usando este resultado verificar

que p/ρ+ gz + v2/2 e constante sobre as linhas de corrente. Este resultado e esperado?

(Sinto muito, este exercıcio nao tem nada a ver com bebida fria ou quente nem passeio gostoso.)

Formulario∂ρ∂t

+ ~∇ · (ρ~v) = 0d~vdt

= ∂~v∂t

+ (~v · ~∇)~v = −~∇pρ+ ~g

(~v · ~∇)~v = (~∇× ~v)× ~v + (1/2)~∇v2∫

V~∇ · ~A dV =

∮ ~A · ~dS12v2 + p/ρ+ g z = cste

12v2 + w + g z = cste

pV = (R/m)T, p = Cργ, w = γγ−1

pρ

~∇ = r ∂∂r

+ θ 1r

∂∂θ

+ z ∂∂z

~∇ · ~F = 1r∂(r Fr)

∂r+ 1

r∂Fθ

∂θ+ ∂Fz

∂z~∇× ~F =

(

1r∂Fz

∂θ−

∂Fθ

∂z

)

r +(

∂Fr

∂z−

∂Fz

∂r

)

θ + 1r

(

∂(r Fθ)∂r

−∂Fr

∂θ

)

z