08-02-2011

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Mecânica dos Fluidos – 3ª parte

Introdução à Mecânica dos FluidosProf. Luís Perna 2010/11

Hidrodinâmica

• Na hidrostática estudámos fluidos em equilíbrio

estático. Agora na hidrodinâmica iremos estudar os

movimentos dos fluidos.

• O comportamento dos fluidos em movimento pode ser

muito complexo. Por exemplo, na parte central de um rio

calmo, a água flui duma forma regular, mas quando

surge um declive no rio, o escoamento passa a ser

turbulento.

• Quando um fluido se encontra em

movimento, o seu escoamento pode ser:

- Estacionário ou laminar;

- Não estacionário ou turbulento.

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Movimento dos Fluidos

• Escoamento estacionário ou laminar – é quando a

velocidade do fluido, em cada ponto, é constante ao

longo do tempo, embora possa variar de ponto para

ponto.

Isto significa que todos os elementos do fluido podem ter

a velocidade ao passar por um ponto A e a

velocidade ao passar por um ponto B, etc.

A velocidade do fluido é, uma função da posição ao

longo do tempo.

Av

Bv

Movimento dos Fluidos

• Escoamento não estacionário ou turbulento – é

quando a velocidade do fluido, em cada ponto, varia no

decorrer do tempo.

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Linhas de corrente

• Num escoamento estacionário, o movimento do fluido é

representado por linhas de corrente, tangentes à

velocidade em cada ponto e que formam um tubo de

corrente.

As linhas de corrente de um fluido são, portanto, linhas

de um campo de velocidades.

Linhas de corrente

• Num escoamento estacionário as linhas de corrente

nunca se cruzam o que significa que o fluido é formado

por várias camadas que se sobrepõem sem se misturar.

• As regiões com linhas de corrente mais juntas são as

que têm maiores velocidades de escoamento.

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Linhas de corrente

• Se as linhas de corrente se cruzarem haverá mais do

que uma velocidade nesse ponto e o escoamento é não

estacionário ou turbulento.

Equação de continuidade

• Consideremos uma porção de um fluido com massa

volúmica e com escoamento estacionário dentro de

um tubo, com secção transversal variável tal como

indicado na figura:

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Equação de continuidade

• A distância percorrida pela massa de fluido que entra no

tubo, de área de secção recta S1, com velocidade ,

durante um certo intervalo de tempo t, será:1v

tvx 11

Equação de continuidade

Analogamente, a distância percorrida pela massa de

fluido que sai do tubo através da secção recta S2, com

velocidade , durante o mesmo intervalo de tempo t,

será:

2v

tvx 22

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Equação de continuidade

• Sendo o fluido incompressível, a massa de fluido que

entra em S1 é igual à massa de fluido que sai em S2,

assim:

Equação de Continuidade, que traduz a Lei da

Conservação da Massa na dinâmica dos fluidos.

m1 = m2

.V1 = .V2

.S1 .x1 = .S2 .x2

.S1 .v1 .t = .S2 .v2 .t

S1 .v1 = S2 .v2

Equação de continuidade

• Desta equação podemos concluir que a velocidade de

um fluido é tanto maior quanto menor for a área de

secção do tubo onde ele escoa.

• Ao produto F S.v chama-se caudal, vazão ou fluxo

volumar, que é o volume de fluido que atravessa a

secção recta de um tubo por unidade de tempo.

• A unidade do SI é o metro cúbico por segundo, m3.s-1.

• No escoamento estacionário de um fluido

incompressível, o caudal, F, é o mesmo em qualquer

ponto do fluido.

S1 .v1 = S2 .v2

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Exemplo 1

• Num tubo de raio 1,0 cm passam 0,20 L de água por

segundo. Qual é a massa de água que passa no mesmo

tubo quando este estreita, se o raio passar a metade?

Qual é o valor da velocidade nos dois casos?

v1 = 0,637 m/s

v2 = 2,55 m/s

Equação de Bernoulli

• É uma equação que relaciona

a pressão, o desnível e a

velocidade de um fluido

incompressível num

escoamento estacionário num

tubo secção recta variável.

Traduz o Princípio da

Conservação da Energia na

Mecânica de Fluidos.Daniel Bernoulli

(1700 – 1782)

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Equação de Bernoulli

• Consideremos um fluido incompressível e não viscoso

que escoa em regime estacionário ao longo de um tubo

de secção recta variável.

Inicialmente o fluido encontra-se entre os pontos A e B

ao fim de um certo intervalo de tempo t o fluido ocupa

as posições A´ e B´.

Equação de Bernoulli

Seja m = V a massa de fluido deslocado. Nesse

intervalo de tempo essa massa m de fluido foi elevada

de uma altura y1 para uma altura y2 e a velocidade v1

passou a ser v2.

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Equação de Bernoulli

• Calculo da variação da energia potencial gravítica

(Ep) do fluido de massa m

12 ygmygmEp

)( 12 yygmEp

)( 12 yygVEp

Equação de Bernoulli

• Calculo da variação da energia cinética (Ec) do fluido

de massa m

2

1

2

22

1

2

1vmvmEc )(

2

1 2

1

2

2 vvmEc

)(2

1 2

1

2

2 vvVEc

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Equação de Bernoulli

• Por outro lado o fluido

na secção 1 exerce

uma força sobre o

elemento de volume

cuja intensidade é:

1F

111 SpF

O trabalho realizado por esta força é:

VpWxSpWxFW 111111111

Equação de Bernoulli

• Simultaneamente o

fluido na secção 2

exerce uma força

que se opõem ao

movimento e cuja

intensidade é:

2F

222 SpF

O trabalho realizado por esta força é:

VpWxSpWxFW 222222222

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Equação de Bernoulli

21 WWWtotal

VppWVpVpW totaltotal )( 2121

Aplicando a Lei da Conservação da Energia, vem:

O trabalho total realizado pelas duas forças é:

EpEcWtotal

)()(2

1)( 12

2

1

2

221 yygVvvVVpp

)()(2

1)( 12

2

1

2

221 yygvvpp

Kygvp 2

2

1

2

2

221

2

112

1

2

1ygvpygvp

Equação de Bernoulli

Esta é a equação Fundamental da Hidrodinâmica,

conhecida por equação de Bernoulli.

• Num fluido em equilíbrio, dado que v1 = v2 = 0, a equação

vem:)()( 1221 yygpp

)()(2

1)( 12

2

1

2

221 yygvvpp

que é a Lei Fundamental da Hidrostática, pois esta é

um caso particular da Equação de Bernoulli.

Kygvp 2

2

1

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Exemplo 2

• Num tubo com área transversal de 4 cm2 passa água

com velocidade 5 m/s. O tubo baixa 10 m e a sua secção

passa para o dobro.

a) Qual é o valor da velocidade da água no nível mais

baixo?

b) Se a pressão no nível superior for 1,5 x 105 Pa, qual é

a pressão no nível mais baixo?

v2 = 2,5 m/s

p2 = 2,6 x 105 Pa

Exemplo 3

• Através de um tubo horizontal de secção variável flui

água em regime estacionário. Na zona mais larga, a

pressão é 130 kPa e o valor da velocidade é 0,60 m/s.

Determine a pressão na zona mais estreita do tubo, em

que o valor da velocidade é 9,0 m/s.

p2 = 89,7 kPa

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Tubo de Venturi

É um tubo horizontal com estrangulamento, como o das

Figuras.

S1 .v1 = S2 .v2Pela equação de continuidade, a velocidade

aumenta no estrangulamento.

Tubo de Venturi

Pela equação de Bernoulli (como a energia potencial

gravítica é constante)

Kvp 2

2

1

a um aumento da velocidade corresponde, uma diminuição

da pressão, logo o manómetro M2 mede um valor inferior a

M1.

O medidor de Venturi permite medir a velocidade de

escoamento de um fluido a partir da medição da pressão

num ponto.

)(2

1)( 2

1

2

221 vvpp

)()(2

1)( 12

2

1

2

221 yygvvpp

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Tubo de Pitot

É constituído por um tubo

horizontal onde foram

introduzidos lateralmente dois

ramos abertos de um

manómetro.

Aplicando a equação de

Bernoulli aos pontos 1 e 2 do

tubo temos:2

22

2

112

1

2

1vpvp

o segundo termo do segundo membro da equação é nulo,

porque não há escoamento para dentro do manómetro,

em virtude da ponta ser afilada e o mercúrio ficar

estacionário.

)()(2

1)( 12

2

1

2

221 yygvvpp

Tubo de Pitot

Um tubo de Pitot calibrado constitui um velocímetro.

Com este dispositivo é possível medir a velocidade das

águas de um rio, velocidade do vento, velocidade de um

avião (pois esta é igual, em módulo, à velocidade do ar que

passa por ele).

12

2

12

2

112

1

2

1ppvpvp

)(2 121

ppv

onde p2 – p1 se lê no manómetro e é a massa volúmica do

fluido.

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Escoamento de um fluido viscoso

A viscosidade é a resistência interna ao movimento de um

objecto no interior de um fluido.

A viscosidade tem por efeito diminuir a velocidade dos

corpos que se deslocam no interior dos líquidos.

De um modo geral, a intensidade da força resistente

obedece à relação:

Em que:

quando a velocidade do corpo é pequena

quando a velocidade do corpo é grande

k é uma constante que depende das dimensões e da forma dos corpos

é o coeficiente de viscosidade do fluido

Unidade SI: N s m-2 ou Pa s

vkFresist

.

1

2

Escoamento de um fluido viscoso

Quando uma pequena esfera cai num fluido

sobre ela actuam:

- O Peso, ;

- A impulsão, (cujo módulo é inferior ao

peso para que o corpo desça no fluido);

- E a força de resistência exercida pelo

fluido, .

P

I

.resistF

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Escoamento de um fluido viscoso

Á medida que a esfera cai, adquire maior

velocidade, o que faz aumentar o módulo da

força de resistência.

A determinada altura as três forças

equilibram-se e a resultante das forças que

actuam na esfera anula-se.

00 .. resistresist FIPFIP

IPFresist .(1)

Escoamento de um fluido viscoso

O movimento é então uniforme e atinge-se a

velocidade terminal, vter. Como,

iliqesfesfesf VgIVgP

vkFresist

Para a esfera: k = 6 r e Vesf = Vi

terresist vrF 6

Substituindo (1) vem:

iliqesfesfter VgVgvr 6

r

Vgv

liqesfesf

ter6

)(

IPFresist .(1)

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Escoamento de um fluido viscoso

Substituindo o volume da esfera por: 3

3

4rVesf

9

)(2 2

liqesf

ter

rgv

ter

liqesf

v

rg

9

)(2 2

r

Vgv

liqesfesf

ter6

)(

Verifica-se que a viscosidade de um líquido diminui com

o aumento da temperatura e varia com a pressão. Em

trabalhos laboratoriais esse factor é desprezável.

Tabela de coeficientes de viscosidade

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Trabalho de pesquisa

O aluno deve explicar, com base na Equação de Bernoulli, os

seguintes temas:

1. A sustentabilidade dos aviões.

2. A medicina vascular e a circulação sanguínea.

3. O fluxo dos gases numa chaminé.

4. O fluxo do ar entre edifícios.

5. Os acidentes na estrada.

6. Futebol: “A bola rematada com efeito”.

7. Outro tema à sua escolha.

• Obrigatoriamente têm de escolher tantos temas diferentes quanto

o número de elementos do grupo.

• O trabalho na forma de poster deve ter no máximo uma folha de

papel A4 por tema.

• O trabalho deve ser apresentado no prazo máximo de 15 dias.