Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos Fluidos

Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica

Análise Dimensional

É um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise;


A análise dimensional é particularmente útil para:

Apresentar e interpretar dados experimentais;Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;Modelagem física.


Dimensões Primárias:

Dimensões de grandezas derivadas:

Grandeza Símbolo Dimensão

Geometria Área A L2

Volume V L3

Cinemática Velocidade U LT-1

Velocidade Angular ω T-1

Vazão Q L3T-1

Fluxo de massa m MT-1

Dinâmica Força F MLT-2

Torque T ML2T-2

Energia E ML2T-2

Potência P ML2T-3

Pressão p ML-1T-2

Propriedades dos Fluidos

Densidade ρ ML-3

Viscosidade µ ML-1T-1

Viscosidade Cinemática v L2T-1

Tensão superficial σ MT-2

Condutividade Térmica k MLT-3θ

Calor Específico Cp,CvL2T-2 θ-1

Dimensões de Grandezas Derivadas:


Parâmetros Adimensionais: São extremamente importantes na

correlação de dados experimentais; São cinco:

Coeficiente de Pressão;Número de Reynolds;Número de Froude;Número de Weber;Número de Mach.


Coeficiente de Pressão:

Relação entre Pressão estática e Pressão Dinâmica


Número de Reynolds: Relação entre Forças de Inércia e Forças

Viscosas;

Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;


Número de Froude: Relação entre Forças de Inércia e Peso;

Nos escoamentos com superfície livre a natureza do escoamento (torrencial ou fluvial) depende do número de Froude ser maior ou menor que a unidade;

É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;


Número de Weber: Relação entre Forças de Inércia e

Forças de Tensão Superficial;

É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;


Número de Mach: Relação entre Forças de Inércia e Forças

Elásticas;

É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia interna do fluido;

É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som;

Semelhança

Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica;

Utilizam-se com freqüência estudos experimentais;

Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas;

Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala.

Semelhança

Sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem:

Consumir muito tempo; Não ter objetividade; Custarem muito.

Semelhança

Utilização de Modelos em escala:Vantagens econômicas (tempo e

dinheiro);Podem ser utilizados fluidos diferentes

dos fluidos de trabalho;Os resultados podem ser extrapolados;Podem ser utilizados modelos reduzidos

ou expandidos (dependendo da conveniência);

Semelhança

Para ser possível esta comparação entre o modelo e a realidade, é indispensável que os conjuntos de condições sejam FISICAMENTE SEMELHANTES;

O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança:

Semelhança GeométricaSemelhança CinemáticaSemelhança Dinâmica

Semelhança

Semelhança GeométricaSemelhança de forma;A propriedade característica dos sistemas

geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante;

Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.

Semelhança

Semelhança Geométrica Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhante;

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.

Semelhança

Semelhança Cinemática Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo;

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.

Semelhança

Semelhança Dinâmica

É a semelhança das forças;

Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;


Origens das Forças que determinam o comportamento dos Fluidos: Forças devido à diferenças de Pressão; Forças resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.


Grupo Adimensional

Nome Razão das Forças representadas

Símbolo habitual

UL

Número de Reynolds

Força de InérciaForça Viscosa

Re

_U_

(Lg)1/2

Número de Froude

Força de InérciaForça da gravidade

Fr

U L 1/2

Número de Weber

Força de InérciaForça de Tensão Superficial

We

UC

Número de Mach

Força de InérciaForça Elástica

M


Exemplos de estudos em modelos

Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos Escoamento em condutos; Estruturas hidráulicas livres; Resistência ao avanço de embarcações; Máquinas hidráulicas;

Exercício 1

Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajetória:

em que p é a pressão a que se processa o escoamento, ν é a sua velocidade, z é a cota geométrica, g é a aceleração da gravidade, γ é o peso volumétrico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso.

Exercício 2

Para o ensaio em modelo reduzido de um fenômeno que dependa exclusivamente da gravidade, utilizando-se o mesmo líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das seguintes grandezas, em função da escala dos comprimentos:

a) velocidade;b) tempo;c) aceleração;d) caudal;e) massa;f) força;g) energia;h) potência.

Exercício 3

A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning-Strickler:

Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning-Strickler ser expressas em unidades inglesas.

Apresente esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os valores de n da tabela referida. Particularize para o caso de aquelas unidades serem o metro e o segundo.

Exercício 4

Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu deslocamento.

Calcule:a) a que velocidade se deverá fazer o ensaio no modelo à escala geométrica 1/25 para que a velocidade real correspondente seja de 40 kmh-1;b) a resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N;c) o período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no modelo.

Exercício 5

Para estudar um escoamento variável construiu-se um modelo à escala geométrica de 1/10.

Usa-se água no protótipo e sabe-se que as forças de viscosidade são dominantes. Determine a escala dos tempos e das forças em condições de semelhança hidráulica se:

a) usar água no modelo;

b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja massa volumétrica é 80% da água.

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