Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos Fluidos

Conservação da Energia

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Programa da aula

Revisão Teorema de Transporte de Reynolds Equação da Conservação da Massa Equação da Quantidade de Movimento

Equação da conservação da Energia; Equação de Bernoulli; Exemplo.

Propriedade intensivas e extensivas

A

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

ou

Teorema do Transporte de Reynolds

Com base nas equações de sistemas e por meio de uma comparação entre sistema e volume de controle, obtemos uma relação fundamental:

SCVC

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

Conservação da quantidade de movimento

Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:

Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:

SCVC

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

Vm

Vm

m

PPN

V

PN

Equação da conservação da massa


Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos:

SCVC

Sistema dAnVddt

d

Dt

DNˆ

1m

m

m

NmmassaN

1

mN


Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:

Da conservação da massa do sistema:

0Dt

DNSistema

SCVC

Sistema dAnVddt

d

Dt

DNˆ


0ˆ SCVC

dAnVddt

d

Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.


SCVC

SistemadAnVVdV

tF

Conservação da quantidade de movimento em um volume de controle

Variação da quantidade de

movimento com o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de quantidade

de movimento através da S.C.

Soma das forças que atuam sobre o

sistema


Distinguimos dois tipos de força que se combinam para dar lugar a :

Forças de superficiais ou contato: exigem, para sua aplicação, o contato físico

Forcas de campo ou mássicas: Um dos corpos gera um campo e quaisquer corpos que estejam sob sua influência e apresentarem as condições corretas, experimentarão forças de campo

dBFVC

C

RF

ondem

FB

tnS FFF

Forças gravitacionais:

kgB

Pressão (normais) e viscosas (tangenciais)

Casos Especiais Escoamento permanente:

0

SCVC

cSR dAnVVdVt

FFF

SC

R dAnVVF

Casos Especiais Volume de controle não deformável:

m

1jentrajjj

n

1isaiiii

VC

R QuQudVVt

F

EntradaSaída

Volume de controle não deformável

Taxa de quantidade de

movimentoque sai

Taxa de quantidade de

movimentoque entra

Casos Especiais Volume de controle não deformável; Escoamento permanente.

m

1jentrajjj

n

1isaiiiiR QVQVF

m

1jentrajjj

n

1isaiiiix QuQuF

m

1jentrajjj

n

1isaiiiiy QvQvF

m

1jentrajjj

n

1isaiiiiz QwQwF

Exemplo Calcule a força exercida no cotovelo redutor devido ao escoamento, para um escoamento permanente

1

2

θ

V1

V2


A energia se conserva entre dois pontos.

“Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma” (Lavoisier, século XVIII)



Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:

SCVC

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

em

EEN

e

EN


Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:

O que significa o termo e?

SCVC

Sistema dAnVedetDt

DE


sistVolsistm

Sistema deedmE

A energia total do sistema é dada por:

Sendo que:

eoutras = química, eletrostática, nuclear, magnética. Nós desprezamos estas energias.

outraspotencialcinéticaernaint eeeee

e = energia específica = E/m


A energia interna (Eu) está associada com: Atividade molecular (energia armazenada); Forças entre moléculas; Difícil de ser estimada; Pequena em relação a outras.

Energia cinética está associada à velocidade local: Ec = 1/2mV2

Energia Potencial está associada à cota do ponto: Ep = mgz


cpuSistema EEEE

Se energia total do sistema é dada por:

então:

gz2

Vee

2

uSistema


SC

u

VC

uSistema

dAnVgzV

edgzV

etDt

DE

22

22

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema

O que significa esse termo?


Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema (1ª Lei da Termodinâmica):

dWdQdE

dQ = Calor agregado ou retirado ao sistemadW = Trabalho realizadodE = Variação da Energia


dt

dW

dt

dQ

dt

dE

Sistema

A equação pode ser escrita em termos de taxas de energia, calor e trabalho:

Sistema

0dt

dW 0

dt

dQ

0dt

dW 0

dt

dQ


dt

dQ

Examinando cada termo:

dt

dW

Condução, convecção e radiação(considerado como um termo único)

Realizado por um eixo, pressão e tensõesViscosas (o trabalho das forças gravitacionaisé incluído na energia potencial)


Trabalho realizado:

dt

dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquinaex.: bomba, turbina, pistão

dt

dWpressãoTrabalho devido às forças de pressão

VFdt

ldFlim

dt

dWldFdW 0t

pressãopressão

dt

dW .viscTrabalho devido às forças viscosas

dAVdt

dW

SC

gtan.visc


Turbinas:


Bombas:


SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema

SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ

Casos Especiais Escoamento permanente:

0

SC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ

Casos Especiais Volume de controle não deformável:

EntradaSaída

Volume de controle não deformável

Taxa de Energiaque sai

Taxa de Energiaque entra

entra

2

u

sai

2

u

SC

2

u Qp

gz2

VeQ

pgz

2

VedAnV

pgz

2

Ve

Exemplo Passa através da turbina circular 0,22 m3/s de água e as pressões em A e B são iguais a 1,5 kgf/cm2 e -0,35 kgf/cm2. Determinar a potência em CV transferida pela corrente de água para a turbina. Considere regime permanente e despreze o atrito da água com as paredes e com a turbina.

A

B

1 mTurbina

dA = 30 cm

dB = 60 cm

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