mecanica dos fluidos

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

MECNICA DOS FLUIDOS

Prof. Dr. Joo Batista Campos Silva

Ilha Solteira, julho de 2015

unesp

2

Contedo 1. Introduo ............................................................................................................................... 3 1.1 Noes de lgebra e clculo vetorial e tensorial................................................................... 3 1.2 Variabilidade dos vetores de base sobre superfcies curvadas .......................................... 9 1.3 Operadores GRAD, DIV e CURL em sistemas de coordenadas curvilneos .................. 13 2. Teoremas integrais ............................................................................................................. 18 2.1 Teorema da Divergncia de Gauss ou Frmula de Green - GDT ................................... 18 2.2 Teorema de Stokes........................................................................................................... 18 2.3 Equao de Continuidade ................................................................................................ 19 2.4 Teorema do Transporte de Reynolds - TTR .................................................................... 20 3. Cinemtica dos Fluidos ..................................................................................................... 25 3.1 Descrio Lagrangeana e Euleriana ................................................................................ 25 3.2 Linhas de corrente, trajetria e linhas de emisso (streamlines, pathlines e streaklines) 26 3.3 Decomposio cinemtica do movimento ....................................................................... 28 4. Equaes governantes de escoamentos de fluidos ............................................................ 32 4.1 Equao de quantidade de movimento Momentum linear ........................................... 32 4.2 Equao do momento da quantidade de movimento Momentum angular ................... 33 4.3 Equao de energia mecnica .......................................................................................... 35 4.4 Equao de energia .......................................................................................................... 35 4.5 Equaes em variveis adimensionais ............................................................................. 38 5. Solues Exatas das Equaes de Navier-Stokes .............................................................. 41 5.1 Escoamento completamente desenvolvido num tubo escoamento de Hagen-Poiseuille .................................................................................................................................................. 41 5.2 Escoamento completamente desenvolvido num canal de placas paralelas ..................... 42 Bibliografia ............................................................................................................................... 43

Apndice A Divergente de um tensor e acelerao convectiva em coordenadas cartesianas e cilndricas ................................................................................................................................. 44 Apndice B Cinemtica do Movimento Local de Fluidos .................................................... 50 Apndice C Equaes do movimento para um volume arbitrrio com fronteira mvel ........ 52 C.1 Teorema de Leibnitz ....................................................................................................... 52 C.2 Equaes Integrais de Escoamentos ............................................................................... 53 C.2.1 Forma Integral da Equao de Continuidade ............................................................... 53 C.2.2 Forma Integral da Equao de Momentum .................................................................. 53 Apndice D Presso e Tenses Viscosas ............................................................................... 55 D.1 Relao entre presso mecnica e presso termodinmica............................................. 55 D.2 Fluido Stokesiano ........................................................................................................... 56 D.3 Fluido Newtoniano ......................................................................................................... 56 Apndice E Momentum angular simetria do tensor das tenses ........................................ 58 Apndice F Tensor taxa de deformao ................................................................................ 63 Apndice G Funo de corrente ............................................................................................ 67 Apndice H Escoamento ideal e potencial ............................................................................ 69

3

1. Introduo

Neste item ser apresentada uma reviso matemtica que servir de base para a

notao que ser usada na disciplina. So operaes com tensores e transformaes de

coordenadas, teis para se escrever o equacionamento em qualquer sistema de coordenadas.

1.1 Noes de lgebra e clculo vetorial e tensorial

Em notao de ndices ou tensorial, vetores e tensores podem ser representados por

seus componentes escalares. Na notao comum, um vetor A

pode ser representado, num

sistema de coordenadas ortogonais 321 ,, xxx , com vetores de base 321 ,, eee , na forma:

332211 eAeAeAA

(1.1)

na qual 321 ,, AAA so os componentes do vetor nos eixos 321 ,, xxx respectivamente. Outra

maneira de apresentar o vetor usar notao de ndices como a seguir:

3,2,1, ieAA ii

(1.2)

A conveno que ndice repetido na mesma posio indica soma, ou seja, no caso, em

questo,

332211 eAeAeAeAA ii

(1.3)

Esta conveno evita ter de carregar a notao inconveniente,

3

1i

iieAA

e deixa a notao

mais compacta. O operador nabla ou del em notao de ndices pode ser representado como

3

3

2

2

1

1x

ex

ex

ex

ej

j

(1.4)

4

As operaes de produtos de vetores, considerando dois vetores A

e B

, podem ser

representadas como

-produto escalar

cosABBA

ou jijijjii eeBAeBeABA

(1.5)

o produto escalar entre os vetores de base (note que o ngulo entre os vetores de base 90o)

tem o seguinte resultado

jise

jiseee ijji

,0

,1

(1.6)

na qual ij um tensor unitrio conhecido com delta de Krnecker. Assim o produto escalar

de dois vetores, pode finalmente ser escrito usando ndices como

332211 BABABABABA ii

(1.7)

-produto vetorial

senA B AB n ou jijijjii eeBAeBeABA

(1.8)

Na Eq. (1.8) o vetor n a normal ao plano que contm os vetores A e B . O produto vetorial

entre os vetores de base tem o seguinte resultado

kijkji eee

(1.9)

ijk i j ke e e (1.10)

na qual o smbolo ijk (um tensor de terceira ordem) denominado tensor alternante ou

smbolo de permutao e tem os seguintes valores:

5

iguaissondicesdoisquaisquersse

acclicapermutaoijkse

cclicapermutaoijkse

ijk

0

321,132,213,1

312,231,123,1

O produto vetorial pode ento ser finalmente representado por

kjiijkjijijjii eBAeeBAeBeABA

(1.11)

-produto didico

jiji eeBABA

(1.12)

que resulta nove componentes; o produto didico constitui um tensor de segunda ordem. Os

componentes de um tensor podem ser representados por ndices. Seja BAT

, ento

jiij eeTT

(1.13)

na qual jiij BAT .

-propriedade de uma didica ou tensor

1. AB U A B U que tem a direo de A

2. U AB U A B que tem a direo de B (deste modo, AB U U AB )

3. AB U A B U outro tensor

4. U AB U A B

5. :AB UV A V B U um escalar (produto interno-externo ou duplo produto escalar ou

dupla contrao)

6. A U V AU AV distributiva para adio

7. U V A UA VA

8. s t AB sAB tAB distributiva para multiplicao escalar e tambm produto escalar e

produto vetorial

9. sAB sA B A sB

6

Os componentes de um tensor podem ser representados por ndices. Seja BAT

, ento

jiij eeTT

(1.14)

na qual jiij BAT . Toda didica um tensor, mas nem todo tensor de segunda ordem pode

ser composto como um produto didico. Em geral um tensor de segunda ordem tem nove

componentes que no necessitam estarem relacionados entre si. Uma didica por sua vez

envolve apenas 6 escalares distintos ou seja os trs componentes de cada vetor.

Nos casos especiais em que

A e UB

, resultam os seguintes resultados das

operaes vetoriais

3

3

2

2

1

1

x

U

x

U

x

U

x

UU

i

i

(1.15)

k kj k k j k ijk i

j j j

U UU e U e e e e

x x x

(1.16)

j

i j

i

UU e e

x

,

Ti

i j

j

UU e e

x

(1.17)

31 21 1 2 3

1 1 1

31 22 1 2 3

2 2 2

31 23 1 2 3

3 3 3

+

+

UU UU e e e e

x x x

UU Ue e e e

x x x

UU Ue e e e

x x x

(1.18)

7

1 1 11 1 2 31 2 3

2 2 22 1 2 3

1 2 3

3 3 33 1 2 3

1 2 3

+

+

T U U UU e e e e

x x x

U U Ue e e e

x