Mecanica Dos Fluidos - ANP Carlos Lemos

Material exclusivo para uso didático

Mecânica dos Fluidos

Carlos Alberto D. de Lemos (Beto)

[email protected]


Bibliografia

• Fox, R.W. & Mc Donald, A.T. "Introdução à Mecânica dos Fluidos" . Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. ‐ RJ, 5ªedição, 1998.

• Munsen, Bruce R.; Young, Donald F.; Okiishi, Theodore H.; Fundamentos da Mecânica dos Fluidos; 4ª Edição; Editora Edgard Blücher Ltda. 2004

• Brunetti, Franco. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson, 2005.

• Ássy, T.M. "Mecânica dos Fluidos", Editora Plêiade ‐ SP., 1996

• Potter. M.C & Wiggert, D.C. "Mechanics of Fluids". Printed byPrentice ‐ Hall, Inc., 2ndEdition, 1997.

• Streeter, V.L.; Wylie, E.B.; Bedford, K.W. "FluidMechanics".McGraw‐Hill, nith edition, 1998.



• É o ramo da mecânica que estuda o comportamento físico dos fluidos e suas propriedades.

• Os aspectos teóricos e práticos são de fundamental importância para a solução de diversos problemas encontrados habitualmente na engenharia, sendo suas principais aplicações destinadas ao:– estudo de escoamentos de líquidos e gases, – máquinas hidráulicas, – aplicações de pneumática e hidráulica industrial, – sistemas de ventilação e ar condicionado – diversas aplicações na área de aerodinâmica.

• É dividida em – Estática

• trata das propriedades e leis físicas que regem o comportamento dos fluidos livre da ação de forças externas, ou seja, o fluido se encontra em repouso ou então com deslocamento em velocidade constante

– Dinâmica• é responsável pelo estudo e comportamento dos fluidos em regime de movimento

acelerado no qual se faz presente a ação de forças externas responsáveis pelo transporte de massa.


Definição de Fluido

• Um fluido é caracterizado como uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quão pequena possa ser essa tensão.

• Os fluidos incluem os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos.



• A principal característica dos fluidos está relacionada a propriedade de não resistir a deformação e apresentam a capacidade de fluir, ou seja, possuem a habilidade de tomar a forma de seus recipientes.

• Esta propriedade é proveniente da sua incapacidade de suportar uma tensão de cisalhamento em equilíbrio estático.



• Os fluidos podem ser classificados como: – Fluido Newtoniano ou – Fluido Não Newtoniano.

• Esta classificação está associada à caracterização da tensão, como linear ou não‐linear no que diz respeito à dependência desta tensão com relação à deformação e à sua derivada.

dy

duyx μτ = Tensão Cisalhante para

fluidos Newtonianos


INTRODUÇÃO

• Equações Básicas utilizadas na Mecânica dos Fluidos

– Conservação de Massa

– Segunda Lei do Movimento de Newton

– Conservação da Quantidade de Movimento Linear

– Princípio do Momento da Quantidade de Movimento

– Conservação do Momento Angular

– Primeira Lei da Termodinâmica Conservação de Energia

– Segunda Lei da Termodinâmica Irreversibilidades


Métodos de Análise

Mecânica Básica Termodinâmica

Diagrama de corpo livre

Sistemas Fechados Sistemas Abertos


Métodos de Análise


Sistema Volume de controle

Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificá-vel; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente. As fronteiras podem ser fixas ou móveis; contudo não há transferência de massa através das mesmas.

Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa. A fronteira geométrica é chamada superfície de controle. Esta pode ser real ou imaginária; pode estar em repouso ou em movimento.


Enfoque Integral versus Enfoque Diferencial

• As leis básicas podem ser formuladas em termos de sistemas e volumes

de controle finitos ou infinitesimais

• As equações parecerão diferentes em cada caso

• Ambos os enfoques são importantes no estudo da Mecânica dos Fluidos

• No primeiro caso as equações resultantes são equações diferenciais. A

solução das equações diferenciais do movimento provê um meio de

determinar o comportamento detalhado do fluido

• Quando não se requer conhecimento detalhado do escoamento e se está

interessado em resultados médios é mais indicado a utilização da

formulação integral das leis básicas. Formulações integrais, usando

sistemas ou volumes de controle infinitos, são geralmente mais fáceis de

serem tratadas analiticamente.


Enfoque Integral versus Enfoque Diferencial

Joelho Redutor 90o

Formulação Integral

SC

VC

m

m

Joelho Redutor 90 o

Formulação Diferencial

SC

VCm

m


Métodos de Descrição• Descrição Lagrangeana

– Quando for fácil de acompanhar elementos de massa identificáveis, utiliza‐se um método de descrição que segue a partícula.

• Descrição Euleriana– Considerando um fluido composto de grande número de partículas

cujo movimento deve ser descrito, não é possível acompanhar o movimento de uma única partícula. Neste caso a análise de volume de controle focalizando a atenção sobre as propriedades de um escoamento em um determinado ponto do espaço como função do tempo. As propriedades de campo de escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo (fluidos como meio continuo).

Medição da temperatura

Euleriano Lagrangiano


Conceitos Fundamentais

• O Fluido como um “Continuum”– Todos os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento.

– Na maioria dos problemas de engenharia estamos interessados nos efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas

– Desta forma, tratamos os fluidos como matéria infinitamente divisível, um “Continuum”, e deixamos de lado o comportamento das moléculas individuais

– Cada propriedade do fluido é considerada como tendo um valor definido em cada ponto do espaço. As propriedades como massa específica, temperatura, velocidade, etc... são consideradas funções contínuas da posição e do tempo


Massa Específica• Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o

volume ocupado por ela. A massa específica pode ser quantificada através da aplicação da equação a seguir.

• onde, ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela ocupado.

• No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³.

V

m=ρ

V

mVV δ

δρδδ '

lim→

=

),,( zyx=ρ),,,( tzyx=ρCampo


Peso Específico• É a relação entre o peso de um fluido (W) e volume ocupado (V), seu valor

pode ser obtido pela aplicação da equação a seguir

• Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton) por, a equação pode ser reescrita do seguinte modo:

• A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, pode‐se escrever que:

• onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.

V

W=γ

V

gm.=γ

g.ργ =


Peso Específico Relativo

• Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso específico da água.

• Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 10000N/m³, e como o peso específico relativo é a relação entre dois pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não contempla unidades.

OHr

2λ

λγ =


ExercícioSabendo‐se que 1500kg de massa de uma determinada substância ocupa um volume de 2m³, determine a massa específica, o peso específico e o peso específico relativo dessa substância.

Dados: gH2O = 10000N/m³, g = 10m/s².


Exercício

Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, sabendo‐se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (ρ = 720kg/m³), determine a massa de gasolina presente no reservatório.


Exercício

Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, sabendo‐se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (ρ = 720kg/m³), determine a massa de gasolina presente no reservatório.


Campo de Velocidade

• Em fluidos em movimentos estamos preocupados com a descrição de um campo de velocidade

• Se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente. Matematicamente, a definição de escoamento permanente é:

• Onde η representa qualquer propriedade do fluido. Para escoamento permanente,

),,,( tzyxvvrr

=

0=∂∂t

η

),,(0

),,(0

zyxvvout

v

zyxout

rrr

==∂∂

==∂∂ ρρρ


Escoamentos Unidimensionais (1‐D),Bidimensionais (2‐D) e Tridimensionais (3‐D)

Escoamento Desenvolvido em Tubo Circular (1‐D)

• Um escoamento é definido como Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade.


Escoamentos Unidimensionais (1‐D), Bidimensionais (2‐D) e Tridimensionais (3‐D)

Escoamento em Expansão Circular (2‐D)






Linhas de Tempo, Trajetória, Emissão e de Corrente

• Em problemas da Mecânica dos Fluidos, frequentemente évantajoso obter uma representação visual do campo de escoamento. Tal representação é provida por:– linhas de tempo,

– de trajeto,

– de emissão e

– de corrente.

• Partículas fluidas adjacentes marcadas em um dado instante formarão uma linha denominada Linha de Tempo.

• Observações subsequentes sobre a evolução desta linha fornecerão dados sobre os campos de velocidades e tensões– Ex: deformação do fluido entre duas placas paralelas (vista

anteriormente)


Linhas de Tempo, Trajetória, Emissão e de Corrente

• O percurso de uma partícula fluida em movimento corresponde à Linha de Trajetória (marco uma partícula e tiro uma foto do escoamento com longa exposição)

• Ao marcarmos as partículas fluidas que passam por um determinado ponto, em pouco tempo teremos uma linha ligando todas as partículas que passaram por aquele ponto; esta é a Linha de Emissão

• Linhas de corrente, por definição, são tangentes aos vetores velocidade do escoamento, em um determinado instante

• Devido a este fato, não existe escoa‐mento cruzando as linhas de corrente (este ponto teria 2 velocidades)


Escoamento em Regime Permanente

• No Escoamento em Regime Permanente (invariável no tempo), a velocidade em cada ponto do campo (x,y,z) permanece constante com o tempo – as linhas de corrente não se alteram ao longo do tempo

• Uma partícula fluida marcada em um determinado instante permanecerá na linha de corrente em que estava quando a marcação ocorreu (linha de trajetória = linha de corrente)

• As partículas passando por um ponto fixo do espaço estarão na linha de corrente que passa por este ponto (linha de emissão = linha de corrente)

• O Regime é não Permanente quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento


• Quanto ao movimento de rotação (atrito):

–– RotacionalRotacional: A maioria das partículas desloca‐se com velocidade angular em torno de seu centro de massa;

–– IrrotacionalIrrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação (na maioria das aplicações em engenharia despreza‐se a característica rotacional dos escoamentos)

Classificação do Escoamento


• Quanto à compressibilidade:

–– CompressCompressíívelvel: as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula;

–– IncompressIncompressíívelvel: as propriedades não mudam com a posição.



• Quanto à Direção da trajetória:

–– Escoamento LaminarEscoamento Laminar:

As partículas descrevem trajetórias paralelas. O fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000)

–– Escoamento turbulentoEscoamento turbulento:

As trajetórias são caóticas. Escoamento tridimensional das partículas de fluido. As componentes da velocidade apresentam flutuações ao redor da média (Re > 4000).



Campo de Tensões

• As Forças atuantes no elemento podem ser classificadas em

• superficiais e de campo

– Forças Superficiais (FS) = atuam em superfícies e fronteiras de um fluido, através do contato direto (ex: força de atrito)

– Forças de Campo (F ) = atuam à distância, sem contato físico e são distribuídas por todo o volume do fluido (ex: força gravitacional)


Campo de Tensões

• As forças de superfície atuando em dV podem ser decompostas em componentes normais e tangenciais a cada uma das superfícies de dV

• As forças de superfície normais geram tensões normais (σ)• As forças de superfície tangenciais geram tensões tangenciais

(ou cisalhantes) (τ)


Campo de Tensões

• Para todo o elemento dV, teremos

Todas as tensões foram representadas como positivas


Viscosidade

• Conforme definição, um fluido deforma‐se continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento

• Os fluidos podem, de um modo geral, ser classificados de acordo com a relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação

• Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas, conforme a figura


Viscosidade

• A placa superior move‐se à velocidade constante du, sob influência de uma força constante aplicada δFx. A tensão de cisalhamento τyx aplicada ao elemento de fluido é dada por (dAy= área do elemento em contato com a placa):

y

x

y

x

Ayx dA

dF

A

Fy

==→ δ

δτδ 0lim


Viscosidade

• O fluido deforma‐se de MNOP para M’NOP’. A taxa

de deformação do fluido é dada por:

Taxa de deformação

• Também temos que:

ou para pequenos ângulos

• Igualando, temos:

dt

d

tt

αδδα

δ=

→0lim

dy

du

dt

d=

α

tul δδδ = δαδδ yl =


Tensão de Cisalhamento• Conclusão: o elemento fluido quando submetido a uma tensão

de cisalhamento τyx sofre uma taxa de deformação

• Fluidos Newtonianos: a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação. A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta

• Fluidos Não‐newtonianos: a tensão de cisalhamento não édiretamente proporcional à taxa de deformação. No modelo exponencial (para relacionar a tensão com a deformação):

dy

duyx μτ =

n

yx dy

duk ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ

dy

du


Exemplos de fluidos Newtonianos e não Newtonianos

• Exemplos de fluidos Newtonianos: água, ar, gases em geral, gasolina, glicerina, querosene, óleos lubrificantes em geral, ...

• Exemplos de fluidos Não‐Newtonianos: pasta dental, soluções de polímeros, suspensões coloidais, suspensões de amido, polpa de papel em água, sangue, lama de perfuração,...

dy

du

dy

du

dy

duk

dy

duk

nn

yx ητ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−1


Classificação dos Movimentos dos Fluidos


Escoamento

• Escoamento sobre placa plana – desenvolvimento do escoamento – camada limite

• Camada limite – Região de fluido influenciada por camada delimitadora sofrendo efeitos dissipativos e difusivos de energia

0=yxτ

0≠yxτ


Escoamento• Escoamento com separação vs. Escoamento não viscoso (sem

separação)

A – Ponto de estagnação

Fx - Arraste


Escoamento

• Escoamento ao longo de perfis aerodinâmicos


Escoamento compressível e incompressível

• Escoamentos em que as variações na massa específica são desprezíveis denominam‐se incompressíveis,

• Quando as variações de massa específica não são desprezíveis, o escoamento é chamado de compressível.

• Exemplo:

– escoamento compressível – gases

– Escoamento incompressível – líquidos (na maior parte das vezes)


Escoamento compressível

• Para altas pressões, o efeito da compressibilidade em líquidos pode ser importante.

• Mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são relacionados pelo módulo de compressibilidade, ou de elasticidade:

• Se o módulo de compressibilidade independe da temperatura a massa específica é função apenas da pressão (o fluido é barotrópico)

• Martelo hidráulico ou Golpe de Aríete– Propagação e reflexo de ondas acústicas em um líquido confinado, por

exemplo quando uma válvula é fechada. O ruído resultante desta ação pode ser semelhante ao de um martelo batendo nos tubos daí o nome

• Cavitação– Ocorre quando bolhas de vapor se formam em um escoamento líquido em

consequência da redução local da pressão.


Pressão de vapor• Pressão de vapor correspondente ao valor da pressão na qual o

líquido passa da fase líquida para gasosa.– A pressão de vapor é dependente da temperatura e aumenta com a mesma

– Se a pressão P acima de um dado líquido corresponde ao valor da pressão de vaporização do líquido, à temperatura considerada, então estará ou entrará em ebulição

– O fenômeno conhecido como cavitação é um exemplo típico de situação em que a pressão a que o líquido está submetido se tornou tão baixa

quanto sua pressão de vaporização


Número de Mach

• Gases com transferência de calor desprezível também podem ser considerados incompressíveis, desde que as velocidades sejam pequenas quando comparadas com a do som:

M<0.3 Incompressíveis (variação máxima da massa específica de 5%)

M=0.3 Velocidade de aproximadamente 100m/s

Som do Velocidade

Escoamento do Velocidade==

c

VM


Escoamento Interno

• Para fluidos incompressíveis a natureza do seu escoamento (laminar ou turbulento) pode ser determinada a partir do Número de Reynolds

ViscosasForças

InérciadeForçasRe ==

∑∑

μF

Fi

νμρ VDVD

==Re

TurbulentoEscoamento2000Re

Transição4000Re2000

LaminarEscoamento2000Re

⇒>⇒<<

⇒<


Experimento de Reynolds

νμρ VDVD

==Re


Tensão Superficial

• A tensão superficial pode ser definida como forças laterais por unidade de comprimento e resulta da coesão entre as moléculas líquidas.

• As forças laterais mantêm as moléculas superficiais da água fortemente ligadas entre si, como se formassem uma membrana elástica, constituindo uma “barreira de segurança” para as moléculas interiores.– Curiosidade: É em virtude da elevada tensão superficial que os insetos

caminham sobre a superfície da água.


Tensão Superficial

• Se introduzirmos verticalmente na água um tubo capilar, ela (a água) subirá até um altura h no interior do tubo que é expressa

• onde:

σ ‐ tensão superficial; D ‐ diâmetro do tubo; α‐ ângulo de contacto; e g – peso específico da água.

• Quanto menor o diâmetro (D) do tubo maior será a ascensão capilar (h).• Para água limpa a 20ºC, σ = 0,073 N/m no caso do contato ar-água.


Tensão Superficial

• θ ‐ ângulo de contato (plano tangente à superfície líquida na linha de contato e a parede)

• θ > 90° forças de coesão superam as de adesão depressão capilar

• θ < 90° forças de adesão superam as de coesão ascenção capilar

• Ascensão capilar – equilíbrio devido à igualdade entre as “forças capilares” e o peso da coluna líquida deslocada

• Depressão capilar – equilíbrio devido à igualdade entre as “forças capilares” e o empuxo sobre a “película contrátil”


Aceleração de uma partícula fluida:

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

V

Dt

VDa

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

rrrrrr

Em coordenadas cartesianas:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

Dwa

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

Dt

Dva

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Dt

Dua

z

y

x

Vazão mássica: ∫∫ ⋅ρ=A

dAnVmrr

&

Vazão ou descarga: ∫∫ ⋅=A

dAnVQrr

Velocidade média:A

QV =

aceleraçãolocal

aceleraçãoconvectiva


Exercício 1

Dado o campo de velocidades:

( ) kxy2jyxi10V 22rrrr

⋅−⋅++⋅=

Qual é a aceleração do fluido no ponto (3, 1, 0)?


Exercício 2

Dado o campo de velocidades:

( ) ( ) k25jt10xyitxy26V 22rrrr

⋅−⋅++⋅++=

Qual é a aceleração do fluido no ponto (3, 1, 0) e no instante t = 1?


• Vazão em VolumeVazão é a quantidade em volume de fluido que

atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

Taxas de escoamentos

Vazão ou descarga: ∫∫ ⋅=A

dAnVQrr


• Vazão em MassaVazão em massa é a quantidade em massa do fluido que

atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.


Vazão mássica: ∫∫ ⋅ρ=A

dAnVmrr

&


• Velocidade médiaÉ uma velocidade hipotética, constante ao longo de

toda a seção transversal do tudo de corrente, que nos permite calcular a vazão num dado instante.



Estática dos Fluidos

• Equação Básica da Estática dos Fluidos

– Seja um elemento de Fluido infinitesimal dV




– Na maioria dos problemas em engenharia, a única força de campo que deve ser considerada é aquela decorrente da ação da gravidade

– A força de Campo agindo em dV = dx.dy.dz, é:

– Em um fluido estático as tensões de cisalhamento não estão presentes. Portanto, a única força superficial é a resultante da ação da pressão (tensão normal)




– As forças de pressão agindo em dV, na direção y, são mostradas na figura. Para chegarmos às forças agindo nas superfícies partimos da pressão p no centro do elemento de fluido infinitesimal:




– As forças de pressão agindo nas outras faces do elemento são obtidas do mesmo modo. Combinando todas elas obtemos a força superficial total atuante no elemento:




– Somando e simplificando, temos:

– O termo entre parênteses é denominado gradiente de pressão. Assim

Note que o nível de pressão não é importante para avaliar a força resultante da pressão. Em vez disto, o que importa é a taxa de variação da pressão com a distância, o gradiente de pressão.



• Equação Básica da Estática dos Fluidos– A força total sobre dV (força de campo + força de superfície) será:

– A força total por unidade de volume será:

– De acordo com a 2a Lei de Newton (a resultante de forças agindo sobre um corpo equivale a taxa de variação da sua quantidade de movimento linear), a resultante de forças agindo sobre o elemento (estático) deve ser nula. Portanto:




– A equação final é vetorial e tem três componentes:

– Se o campo gravitacional equivale à:



• Equação Básica da Estática dos Fluidos– A equação final será:

– A solução nos diz que a pressão não varia no plano horizontal (independe de x e y) e que só depende de um valor de referência, da massa específica do fluido, e da cota z a partir da referência:


Manômetros• Variação de pressão num fluido estático

• Para um fluido incompressível, ρ ‐ constante. Então, considerando a aceleração da gravidade constante,

• Para determinar a variação de pressão, devemos integrar e aplicar condições de contorno apropriadas. Caso a pressão no nível de referência, z0, seja designada p0, então a pressão p no nível z éencontrada por integração:

• ou


Pressão manométrica e absoluta

• Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação à um nível de referência.

• Se o nível de referência for o vácuo, as pressões são denominadas absolutas.

• Pressão manométrica é o nível de pressão medida em relação à pressão atmosférica


Manômetros• Para líquidos é conveniente colocar a origem do sistema de

coordenadas na superfície livre (nível de referência) e medir distâncias para baixo a partir da superfície livre como sendo positivas. Com h medido positivo para baixo, temos:

• A Equação indica que a diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo‐se a diferença de elevação entre eles.

• Os dispositivos utilizados com esse propósito são chamados manômetros

• A pressão atmosférica pode ser obtida por um barômetro no qual a altura de uma coluna de mercúrio é medida.


Razão de densidadesGráfico da variação da pressão com a profundidade h para dois líquidos A e B

pressão versus profundidade

profundidade

pre

ssão

Iíquido A

Iíquido BQual dos dois líquidos émais denso?

1h

2h

0FA ppp == DC pp =

EB pp >

11011AC ghpghpp ρρ +=+=

22022FD ghpghpp ρρ +=+=

2211220110DC hhghpghppp ρρρρ =⇔+=+⇔=

1

2

2

1

ρρ

=h

h h é inversamente proporcional àdensidade do fluido


Manômetros


Manômetros de tubo aberto

hh

atmgásgásatm ppghpp <⇒+= ρ atmgásatmgás ppghpp >⇒+= ρ


Manômetros

• Manômetros de múltiplos líquidos

– Quaisquer 2 pontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma pressão.

– A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido



• Manometria ‐Manômetro de múltiplos fluidos

• Calcular a diferença pA – pB em psi. Dados: g=32,2 ft/s2; densidade relativa óleo = 0,8; densidade relativa do mercúrio = 13,6; massa específica da água = 1,94 slug/ft3; 1 slug = 1 lbf.s2/ft = 32,2 lbm



• Manometria

Podemos escrever: pA + ρH2O g d1 – ρHg g d2 + ρóleo g d3 ‐ρHg g d4 ‐ ρH2O g d5 = pB


Hidrostática

• A figura acima ilustra uma instalação que utiliza um manômetro diferencial de coluna de mercúrio associado a um medidor B, para a medição da pressão no escoamento de ar em um duto. Considerando essa figura, julgue os itens seguintes.

– A pressão PA pode ser corretamente calculada pela diferença da altura ΔH no manômetro diferencial.

– A pressão medida em B deve ser a mesma da medida no manômetro diferencial.

– A pressão medida deve ser abatida da perda de carga do líquido na tubulação que liga o manômetro ao tubo.

– Como o fluido é ar, é correto considerar PA = PA’.


Gases• Em muitos problemas a massa específica varia consideravelmente

com a altitude e resultados precisos requerem que este fato sejalevado em conta. A variação de pressão em um fluido compressível pode ser avaliada pela integração da equação.

• A massa específica de gases geralmente depende da pressão e de temperatura. A equação de estado de gás ideal

– onde R é a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta

• A variação de pressão em um gás cuja temperatura varia linearmente com a elevação é dada por:


Forças Hidrostáticas sobre uma superfície plana submersa

• As forças de pressão atuam em todas as direções. Porque?

Porque a pressão resulta das colisões (ação) das partículas do fluido com as superfícies com as quais está em contacto.


Lei de Pascal

• Pressão, profundidade e Lei de Pascal

As forças de pressão exercidas por um fluido em equilíbrio sobre as superfícies com as quais contacta exercem-se perpendicularmente a essas superfícies.


Lei de Pascal

Qualquer variação de pressão provocada num ponto de um fluido em equilíbrio transmite-se a todos os pontos do fluido e às paredes que o contêm.

h h

pppppp Δ+=Δ+= B'BA

'A então Se

O incremento de pressão em A é igual ao incremento de pressão em B


• O princípio de Pascal estabelece que as variações de pressão em um líquido incompressível e em repouso ou equilíbrio transmitem‐se integralmente para todos os pontos do fluido. Com relação a esse princípio, julgue o item a seguir.– A validade do princípio de Pascal mantém‐se para fluidos

compressíveis, desde que o equilíbrio tenha se estabelecido.

CERTO


Elevador Hidráulico

2

2

1

121

A

F

A

Fpp =⇔Δ=Δ

Elevador hidráulica


A intensidade da força de empuxo é igual ao peso do volume do fluido deslocado

Lei de Arquimedes

Qualquer corpo imerso num fluido sofre por parte deste uma força vertical, dirigida de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.

gVgmE imersofluidodeslocado fluido ρ=×=r


Empuxo

Porque é que surge o empuxo?

A pressão é maior na parte inferior do objecto porque a profundidade émaior.O resultado de todas as forças de pressão que o fluido exerce na rocha é a EMPUXO.

O empuxo é o resultado da diferença de pressão entre a

parte de baixo e a parte de cima do objecto.

A diferença de pressão não depende da profundidade logo

o empuxo também não.

Será que o empuxo varia com a profundidade?


Forças num corpo submerso

Pr

Tr

Er

Pr

= peso =“peso real“

Er

= empuxo

Tr

= Tração = peso aparente

aparente peso 0 0 =−=⇔=+−⇔=++ EPTTPETPErrr

fluidocorpo ρρ >

fluidocorpo ρρ <

EP > Porquê?


EMPUXO

O empuxo varia com o volume imerso

gVgmE imersofluidodeslocado fluido ρ=×=r

• Dois blocos do mesmo volume, um de alumínio e outro de chumbo, estão submersos em água. • Que relação existe entre os empuxos exercidos sobre cada um deles?

• Os blocos da figura têm volumes iguais.

• Que relação existe entre as impulsões exercidas sobre cada um deles?


EMPUXOCalcule a força necessária para segurar um pacote de litro, vazio, totalmente debaixo de água? (Despreza o peso do material que constitui o pacote e considera-o estanque de modo a que permaneça vazio)

⇔−=−=⇔=−−⇔=++ 0 0 0 EPEFFPEFPErrr

N 1010)101(100,1 33água =××××== −VgF ρ

Er

Fr

Calcule a força necessária para segurar um pacote de litro, cheio de água, totalmente debaixo de água? (Despreza o peso do material que constitui o pacote)

⇔−=⇔=−−⇔=++ 0 0 PEFFPEFPErrr

0águaágua =−= VgVgF ρρ

Er

Pr


Força exercida por um líquido sobre objetos submersos

• O cálculo do módulo, direção, sentido e ponto de aplicação da força total que atua sobre um objeto ou parcialmente submerso é essencial para projetos de engenharia: tanques, recipientes, comportas, navios e projetos semelhantes


Força exercida por um líquido sobre uma placa plana:

AhgF CGρ=r

hCG = profundidade do Centro de Gravidade (CG),A = área da placa plana.

AyI

yyCG

xxCGCP +=

yCG = coordenada do Centro de Gravidade (CG),yCP = coordenada do Centro de Pressão (CP), Ixx = ICG = momento de inércia da placa

CP

Fr

hCP

yCP

y

θ0

B

A

x

CG

yCG


Momento de inércia de formas conhecidas


Momento de inércia de formas conhecidas


Força exercida por um líquido sobre uma placa curva:

verticalnaprojetadaCGH AhgF ρ=

FV = Peso do líquido sobre a placa curva (real ou imaginário)

CP

VFrhCP

HFr

FH está aplicada no CP da área projetada na verticalFV está aplicada no CG do volume sobre a comporta


Exemplo

• Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma lâmina d’água máxima de 9 m. Considerando a seção transversal mostrada na figura a seguir, pede‐se determinar?

– O esforço exercido pela água armazenada por unidade de largura na barragem

– A localização do esforço calculado no item anterior

9 m50º


A força de empuxo E sobre um corpo submerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado, com sentido contrário ao da gravidade g.

zz FFErrr

−′=

W

A B

CD

K

H

Fz’

Fz

Se o corpo estiver em equilíbrio: E = WE > W ? E < W ?

EmpuxoO corpo CKDH imerso no fluido em repouso está submetido às forças da gravidade e pressão.

Fz = Peso do volume ACHDB atuando na superfície superior CHDF’z = Peso do volume ACKDB atuando na superfície inferior CKD


Empuxo e flutuação


Empuxo e estabilidade de corpos








Sistema

• É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de estudo;

• Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não háfluxo de massa.


Volume de controle

• É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de matéria é observada.

• Exemplo:


Superfície de controle

• É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.

Superfície de controle s.c.


Descrição do problema• Lagrangeana (sistema): consiste em identificar certas partículas do fluido e a partir daí observar variações de propriedades ao longo do tempo;

• Euleriana (volume de controle): consiste em fixar o tempo e observar as propriedades do fluido em vários pontos pré‐estabelecidos podendo‐se assim obter uma “visão” do comportamento do escoamento naquele instante.


Leis da dinâmica dos fluidos

• Conservação da massa;

• Conservação da energia (1a lei da termodinâmica);

• Conservação da quantidade de movimento (2a lei de

Newton).


Conservação da massa

∫ =⋅Sistema

0dVDt

D ρ

Da definição de sistema, as fronteiras não permitem entrada e/ou saída de massa.


Conservação da Energia

gz2

u.intenergiae

dVeDt

DWQ

2

Sistema

++=

⋅=− ∫ ρ&&


Conservação da quantidade de movimento

∫∑ ⋅=Sistema

dVuDt

DF ρ

Da definição de sistema, as fronteiras não permitem entrada e/ou saída de massa.


Por que a formulação em um volume de controle?

• É extremamente difícil identificar e seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes, como deve ser feito para aplicar a formulação do sistema;

• O que nos interessa, geralmente, não é o movimento de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do movimento global de fluido sobre algum dispositivo ou estrutura.


Conservação da massa

• O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume de controle é o princípio da conservação de massa.

• A massa de um sistema permanece constante.• Em linguagem matemática:

0Dt

Dm

Sistema

=


Equação da conservação da massa

0ˆ =⋅+∀⋅ ∫∫SCVC

dAnVddt

d rρρ

Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.


Casos Especiais

• Volume de controle não deformável:

( ) ( )∑∑∫==

=−+∀m

jentrajjj

n

isaiiii

VC

AuAuddt

d

11

0ρρρ

Entrada Saída

Volume de controle não deformável

Taxa de massaacumulada

Taxa de massaque sai

Taxa de massaque entra


Casos Especiais

• Escoamento permanente:

0ˆ =⋅+∀⋅ ∫∫SCVC

dAnVddt

d rρρ

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.

0

0ˆ =⋅∫SC

dAnVr

ρ


Casos Especiais

• Escoamento incompressível (propriedades do fluido são constantes):

( ) ( )∑∑∫==

=−+∀m

jentrajj

n

isaiii

VC

AuAuddt

d

11

0ρρρ

( ) ( )∑∑==

=−+∀ m

jentrajj

n

isaiii AuAu

dt

d

11

0


Casos Especiais

• Escoamento incompressível (propriedades do fluido são constantes);

• Regime permanente;• Volume de controle não deformável:

( ) ( )∑∑==

=m

1jentrajj

n

1isaiii AuAu

( ) ( )∑∑==

=m

1jentraj

n

1isaii QQ


Caso mais simples

Entrada Saída


A1, u1 A2, u2

2211 AuAu =

21 QQ =



• Equivalente a 2a lei de Newton. • A quantidade de movimento é expressa

como:

VmPrr

⋅=



( )∫∫∑ ⋅+∀∂∂

=SCVC

SistemadAnVVdV

tF

rrrrrρρ

Conservação da quantidade de movimento em um volume de controle

Variação da quantidade de

movimento com o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de quantidade

de movimento através da S.C.

Soma das forças que atuam sobre o

sistema



• Distinguimos dois tipos de força que se combinam para dar lugar a :

– Forças de superficiais ou contato: exigem, para sua aplicação, o contato físico

– Forcas de campo ou mássicas: Um dos corpos gera um campo e quaisquer corpos que estejam sob sua influência e apresentarem as condições corretas, experimentarão forças de campo

∀= ∫ dBFVC

C ρrr

RFr

ondem

FB

rr

=

tnS FFFrrr

+=

Forças gravitacionais:

kgBrr

−=

Pressão (normais) e viscosas (tangenciais)



( )∫∫ ⋅+∀∂∂

=+=SCVC

cSR dAnVVdVt

FFFrrrrrrr

ρρ

• Componentes:( )∫∫ ⋅+∀

∂∂

=SCVC

x dAnVudut

Frr

ρρ

( )∫∫ ⋅+∀∂∂

=SCVC

y dAnVvdvt

Frr

ρρ

( )∫∫ ⋅+∀∂∂

=SCVC

z dAnVwdwt

Frr

ρρ


Casos Especiais


0

( )∫∫ ⋅+∀∂∂

=+=SCVC

cSR dAnVVdVt

FFFrrrrrrr

ρρ

( )∫ ⋅=SC

R dAnVVFrrrr

ρ


Casos Especiais

• Volume de controle não deformável:

( ) ( )∑∑∫==

−+∂∂

=m

1jentrajjj

n

1isaiiii

VC

R QuQudVVt

F ρρρrr

EntradaSaída


Taxa de quantidade de

movimentoque sai

Taxa de quantidade de

movimentoque entra


Casos Especiais

• Volume de controle não deformável;• Escoamento permanente.

( ) ( )∑∑==

−=m

jentrajjj

n

isaiiiiR QVQVF

11

ρρrrr

( ) ( )∑∑==

−=m

1jentrajjj

n

1isaiiiix QuQuF ρρ

( ) ( )∑∑==

−=m

1jentrajjj

n

1isaiiiiy QvQvF ρρ

( ) ( )∑∑==

−=m

1jentrajjj

n

1isaiiiiz QwQwF ρρ



( ) ( )∫∫ ∀==sistVolsistm

Sistema deedmE ρ

• A energia total do sistema é dada por:

• Sendo que:

• eoutras = química, eletrostática, nuclear, magnética. Nós desprezamos estas energias.

outraspotencialcinéticaernaint eeeee +++=

e = energia específica = E/m



• A energia interna (Eu) está associada com:– Atividade molecular (energia armazenada);– Forças entre moléculas;– Difícil de ser estimada;– Pequena em relação a outras.

• Energia cinética está associada à velocidade local:– Ec = 1/2mV2

• Energia Potencial está associada à cota do ponto:– Ep = mgz



cpuSistema EEEE ++=

• Se energia total do sistema é dada por:

• então:

gz2

Vee

2

uSistema ++=



( )∫∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∀⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=SC

u

VC

uSistema

dAnVgzV

edgzV

etDt

DE rrρρ

22

22

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema

O que significa esse termo?



• Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema (1ª Lei da Termodinâmica):

dWdQdE +=

dQ = Calor agregado ou retirado ao sistemadW = Trabalho realizadodE = Variação da Energia



dt

dW

dt

dQ

dt

dE

Sistema

+=

• A equação pode ser escrita em termos de taxas de energia, calor e trabalho:

Sistema

0dt

dW> 0

dt

dQ>

0dt

dW< 0

dt

dQ<



dt

dQ

• Examinando cada termo:

dt

dW

Condução, convecção e radiação(considerado como um termo único)

Realizado por um eixo, pressão e tensõesViscosas (o trabalho das forças gravitacionaisé incluído na energia potencial)



• Trabalho realizado:

dt

dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquinaex.: bomba, turbina, pistão

dt

dWpressãoTrabalho devido às forças de pressão

VFdt

ldFlim

dt

dWldFdW 0t

pressãopressão

rrr

rrr⋅=⋅=⇒⋅= →Δ

dt

dW .visc

Trabalho devido às forças viscosas

dAVdt

dW

SC

gtan.visc

rr⋅= ∫σ



( )∫∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=+SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ rrρ

ρρ

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema


( )∫∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=+SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ rrρ

ρρ

Casos Especiais


0

( )∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+

SC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ rrρ

ρ


Casos Especiais• Volume de controle não deformável:

EntradaSaída


Taxa de Energiaque sai

Taxa de Energiaque entra

( ) ( ) ( )entra

2

u

sai

2

u

SC

2

u Qp

gz2

VeQ

pgz

2

VedAnV

pgz

2

Ve ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∫ ρ

ρρ

ρρ

ρrr


Conservação de Energia

• Os escoamentos de fluidos em tubulações industriais envolvem perdas de carga devido ao atrito nas partes retas e perdas localizadas em válvulas ou conexões. Julgue os itens seguintes, acerca desse assunto.– A perda de carga na tubulação depende da viscosidade do fluido, do

diâmetro e do comprimento do duto e da vazão.

– A perda de carga em válvulas é proporcional ao quadrado da velocidade.

– As perdas localizadas devem ser adicionadas às perdas por atrito na tubulação, utilizando‐se o coeficiente de perdas localizadas K, que éfunção unicamente da velocidade do escoamento.

– Em bocais divergentes, a pressão e a velocidade diminuem ao longo do escoamento.


Conservação de Massa

• Os escoamentos de fluidos são formulados por meio das equações clássicas de conservação da massa, da quantidade de movimento e de energia. Essas equações são expressas na forma integral ou diferencial e têm aplicações em diferentes problemas da engenharia. Acerca dessas equações, julgue os seguintes itens.– A equação da continuidade quantifica a conservação da massa em

qualquer posição do escoamento. Para escoamento incompressível, a forma diferencial da equação caracteriza o campo de velocidade como solenoidal, isto é, um campo cujo divergente é nulo.

– Para fluidos newtonianos incompressíveis, a tensão em um ponto élinearmente proporcional ao campo de velocidade, e o coeficiente de proporcionalidade é a viscosidade.

– O balanço de quantidade de movimento em fluidos viscosos newtonianos é expresso pela equação de Navier‐Stokes. Tal equação éválida somente para escoamentos viscosos laminares.


Equação de Bernoulli

• Caso particular da Equação da Conservação de Energia;

• Aplicada à um tubo de corrente.


Tubo de Corrente (tubo de fluxo)

• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

• A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido édenominada de tubo de corrente ou veia líquida



• Partindo da Equação da Conservação de Energia, considerando escoamento permanente:

( )∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+

SC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ rrρ

ρ



• Em um tubo de corrente não deformável (escoamento laminar):

( ) ( )111

1

2

u222

2

2

ueixo AV

pgz

2

VeAV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ ρρ

ρρ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+



• Dividindo todos os termos por:

• e considerando ρ constante:

1

2

u

2

2

ueixo p

gz2

Ve

pgz

2

Ve

dm

dW

dm

dQ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+

ρρ

dt

dmAVm =⋅⋅= ρ&

( ) ( )111

1

2

u222

2

2

ueixo AV

pgz

2

VeAV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ ρρ

ρρ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+



• Reorganizado a equação:

• Dividindo por g:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+++=++

dm

dW

dm

dQeegz

2

Vpgz

2

Vp eixo2u1u2

22

2

21

21

1

1

ρρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+++=++

dm

dW

dm

dQee

g

1z

g2

Vpz

g2

Vp eixo2u1u2

22

2

21

21

1

1

γγ

Altura de pressão

Altura de velocidade

Cota

Decréscimo líquido na energia mecânica do

sistema (transformado em perdas)

Trabalho de um eixo por unidade de peso



• A equação pode ser escrita em termos de cotas:

eixoL21 HHHH −+=

Energia em 1

Energia em 2

Energia Perdida por atrito e calor

Energia fornecida (+) ou retirada (-) por

um eixo

Equação de Bernoulli modificada



• Considerando as seguintes suposições:– Escoamento permanente e laminar;– Não há perdas por atrito;– Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho;– Não há transformação de calor;– A energia interna é constante em dois pontos.

Equação de Bernoulli“A energia ao longo de um tubo de corrente é

constante”

constzg2

Vpz

g2

Vp2

22

2

21

21

1

1 =++=++γγ


cinética carga2g

v

pressão de cargap

potencialcarga

2

→

→

→

γ

z

É importante saber que:





• Linha de energia


Plano de referência

Plano de Energia

Linha das pressões

Sem escoamento

1

2 3

hh h

Energia Total da Água (H)(Sem escoamento)


Energia Total da Água (H)(Com escoamento)


Plano de Energia

Linha das pressões

1

2 3

h1h2 h3

H1 = H2 = H3 = CONSTANTE


Energia Total da Água (H)(estrangulamento da seção)

1

2 3

p2 = h2.γp3 = h3.γ

h1

V22/2gV32/2g

H1 = H2 = H3 = CONSTANTE


Efeito da perda de carga

A perda ao longo da canalização é uniforme em qualquer trecho de dimensões constantes, independente da posição da tubulação. A perda de carga é uma perda de energia do sistema devido a transformação de Energia Mecânica para Térmica causada pelo atrito (interno e contato com superfícies sólidas).

Plano de energia


H HfL


Tubo de Pitot

• Serve para medir a velocidade pontual do escoamento;

• A queda do vôo AirFrance 447 pode estar relacionada a erro de medição de velocidade pelo tubo de Pitot.


Tubo de Venturi

• Provoca uma redução de pressão no fluido devido a um estrangulamento da seção transversal;

• Pode acontecer o fenômeno da cavitação.


Bernoulli

• O escoamento de um fluido em um sistema de despressurizaçãode um tanque formado por um bocal convergente/divergente e uma tubulação é mostrado na figura acima. Considerando o escoamento incompressível nessa situação, julgue os itens a seguir.– Para que o escoamento seja considerado incompressível, é necessário

que o número de Mach seja inferior à unidade.

– As vazões volumétricas em A e C são iguais.

– A pressão em A’ é menor que em B.

– A velocidade do fluido em B é maior que em A’.


Sustentação

• Força contrária ao peso devido a diferença de pressão causada escoamentos em diferentes velocidades;

• Princípio da sustentação de aviões, telhados, galpões.



• Conservação de Massa

– Seja um elemento de fluido infinitesimal dV

x

y

z

dx

dy

dz

massaentra î

massasai î

massano VC

A figura apresenta o balanço na direção x

kwjviuV ˆˆˆ deA velocida ++=r




– A massa/tempo que entra em x é:

– A massa/tempo que sai em x+dx é:

dydzumx área . massa de fluxo omassa/temp ρ===&

dydzdxx

uudx

xm dxx ))(( área . massa de fluxo omassa/temp

∂∂

+∂∂

+===+ρρ&




– O mesmo se aplica às demais direções. Ao final, temos (desprezando‐se termos de 2a ordem):

– Esta expressão tem que igualar‐se à taxa de variação da massa no interior do VC infinitesimal:

dxdydzz

wdxdydz

y

vdxdydz

x

u)()()( sai massa - entra massa

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−=ρρρ

) () ( dxdydzt

dVtt

m

VC

ρρ∂∂

=∂∂

=∂∂




– Logo:

– Dividindo‐se tudo por dx.dy.dz:

0)()()( =∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

dxdydzz

wdxdydz

y

vdxdydz

x

udxdydzt

ρρρρ

0)( :Então

ˆˆˆ Nablaoperador do Lembrando

0)()()(

=⋅∇+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

Vt

kz

jy

ix

z

w

y

v

x

u

t

rρρ

ρρρρ V de divergente .

p de gradiente rr

=∇

=∇

V

p




– Casos Particulares:• Escoamento em Regime Permanente – independe do tempo

• Escoamento Incompressível – ρ é constante

0 :então 0)()()( =⋅∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

Vz

w

y

v

x

u rρρρ

0)( :então 0)()()( =⋅∇=∂

∂+

∂∂

+∂

∂V

z

w

y

v

x

u rρρρρ



• Conservação da Quantidade de Movimento Linear (P)

– Para um elemento de fluido de massa dm, podemos escrever a segunda Lei de Newton como

– Para fechar o problema necessitamos da força dF ou dos seus componentes dFx, dFy e dFz

)(z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

Vdm

Dt

VDdmFd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==rrrrr

r



• Conservação da Quantidade de Movimento Linear

x

y

z

dx

dy

dzyxτ

dyyyx

yx ∂∂

+τ

τ

dzzzx

zx ∂∂

+ττ

xxσ dxxxx

xx ∂∂

+σσ

zxτ

Tensões que irão gerar Forças de Superfície atuando em dV, na direção x




– Teremos então, na direção x:

– Se a única força de corpo for a gravidade, teremos, na direção x:

dxdydzzyx

dF zxyxxxSx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

ττσ

dxdydzzyx

gdFdFdF zxyxxxxBxSxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=+=

ττσρ




– Analogamente, teremos nas outras direções:

dxdydzzyx

gdFdFdF zyyyxyyBySyy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=+=

τστρ

dxdydzzyx

gdFdFdF zzyzxzzBzSzz ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=+=

σττρ




– Juntando as duas partes, teremos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

zyxg zyyyxyy ρ

τστρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

zyxg zzyzxzz ρσττρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

zyxg zxyxxxx ρττσρ Dir x

Dir y

Dir z




– A relação entre Tensão e taxa de deformação é dada pelas equações constitutivas. Para Fluido Newtoniano:

z

wVp

x

w

z

u

y

vVp

z

v

y

w

x

uVp

y

u

x

v

zzxzzx

yyzyyz

xxyxxy

∂∂

+∇−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∇−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∇−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==

μμσμττ

μμσμττ

μμσμττ

2.3

2

2.3

2

2.3

2

r

r

r




– Se estas relações são substituídas, temos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=

Vy

w

zy

w

z

v

yz

u

x

w

xz

pg

Dt

Dw

y

w

z

v

zV

y

v

yx

v

y

u

xy

pg

Dt

Dv

z

u

x

w

zx

v

y

u

yV

x

u

xx

pg

Dt

Du

z

y

x

r

r

r

.3

22

.3

22

.3

22

μμμρρ

μμμρρ

μμμρρ

Equações de Navier-Stokes


Escoamento Viscoso Incompressível Interno

• Escoamento laminar em um duto circular– Pela conservação de massa, a velocidade média do escoamento deve

ser constante e igual a U0. No trecho em desenvolvimento (entrada), a camada limite cresce das paredes até atingir o centro do tubo. Para escoamento laminar, o comprimento de entrada pode ser calculado por:

Re 060060 ,μ

DVρ,

D

L≅≅



• Escoamento laminar em um duto circular

– Vemos que o comprimento de desenvolvimento pode ser: L = 0,06 Re D < 0,06 2300 D = 138 D

– No escoamento turbulento o desenvolvimento é mais rápido; experiências mostram que o perfil de velocidade média torna‐se plenamente desenvolvido dentro de 25 a 40 D, contudo, outras grandezas do escoamento podem levar mais que 80 D para seu completo desenvolvimento



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular– O escoamento é simétrico em relação ao eixo do tubo

– Usaremos um volume de controle infinitesimal (elemento de fluido)

dr

dx

R

r

x

volume de controleanular

dr

r



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular– Para um regime permanente completamente desenvolvido, o

componente x da equação da taxa de variação da quantidade de movimento linear é nulo (v independe de x, u(x) = constante), ou seja:

– Despreza‐se a força de corpo uma vez que seu único efeito seria o de induzir um campo hidrostático sobre o escoamento principal; quando for de interesse, este procedimento pode ser feito a posteriori. Então:

0==+=Dt

DPFFF xBxSxx

0=SxF



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular

– Pela solução para o perfil de velocidades, podemos verificar que o gradiente de pressão dp/dx tem que ser negativo; além disso o perfil éparabólico (2o grau em r)

– Uma vez que temos o perfil, podemos calcular várias outras grandezas de interesse prático

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

14

)(R

r

dx

dpRru

μ



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular– A tensão de cisalhamento é dada por:

– A vazão volumétrica é dada por:

dx

dpr

dr

durrx 2)( == μτ

dx

dpRRr

dx

dpdrruAdVQ

RR

A μπ

μπ

8

)(

4

1 2 .

422

00

−=−=== ∫∫∫rr




– Se definirmos o gradiente de pressão dp/dx = (p2‐p1)/L = ‐Δp/L:

– Então, a vazão volumétrica será dada por:

L

ppD

L

ppRQ

)(

128

)(

8

214

214 −

=−

=μ

πμ

π

x, up1 p2

LΔp = p1-p2

Eq. de Hagen-Poiseuille



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular– A velocidade média pode ser calculada por:

– A velocidade máxima corresponde a (centro do tubo, r = 0):

L

ppR

L

ppDDLppD

S

QV

)(

8

)(

324 )(

128 21

221

2221

4 −=

−=−==

μμπ

μπ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

14

)(R

r

dx

dpRru

μ

VL

ppR

dx

dpRruUu 2

)(

44)0( 21

22

max =−

=−====μμ




2

1)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=R

rr

U

u

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

U_adimensional - Hagen-Poiseuille

u/U

r/R

O perfil de velocidade adimensionalizado em termos da velocidade máxima U pode ser descrito por:



• Escoamento laminar completamente desenvolvido em um duto circular– Em geral utiliza‐se uma perda de carga adimensional denominada Fator

de Atrito (f) definida por:

– A perda de carga ao longo do tubo (em [energia/massa]) pode ser calculada por:

Re

64 então Re se ;

2

. 21

. 22

==Δ

=−

= fDV

L

D

V

p

V

Ddxdp

fμ

ρρρ

D

LVf

phl 2

2

=Δ

=ρ



• Escoamento turbulento em tubos e dutos– Equação da Energia: esta equação descreve a conservação de energia (energia

de pressão, energia cinética, energia potencial e perda de carga (ou energia consumida em atrito, distribuída ou localizada) entre duas seções do sistema de escoamento:

– O coeficiente de energia cinética α vale 2 para escoamentos laminares em tubos (solução anterior), mas para escoamentos turbulentos assume‐se α = 1

– A dimensão dos termos na expressão acima é [energia/massa]. Em hidráulica, écomum dividir‐se a expressão pela aceleração da gravidade, o que resulta em termos com a dimensão de [comprimento]

lThgzVp

gzVp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

22

22

1

21

11

22α

ρα

ρ



• Escoamento turbulento em tubos e dutos

– A perda de carga total hlT é obtida através da soma das perdas distribuídas hl , devida aos efeitos de atrito no escoamento desenvolvido em tubos de seção constante, com as perdas localizadas hlm , devidas a entradas, acessórios, mudanças de seção transversal, etc... . As perdas são tratadas separadamente

lmllT hhh +=



• Escoamento turbulento em tubos e dutos– Perdas Distribuídas – Fator de Atrito

– Como já definimos anteriormente, a perda de carga distribuída relaciona‐se com o fator de atrito através de:

– O valor de f pode ser obtido do Diagrama de Moody, a partir do valor do número de Re e da rugosidade relativa da parede do tubo e/D

D

LVf

phl 2

2

=Δ

=ρ



D

LVf

phl 2

2

=Δ

=ρ



Rugosidade para tubos de materiais comuns da engenharia




– As Perdas Localizadas podem ser estimadas através de um coeficiente de perda K ou de um comprimento equivalente de tubulação Le , através das seguintes expressões:

D

LVfh e

lm 2

2

=2

2VKhlm =




– Perdas Localizadas



















• Escoamento turbulento em tubos e dutos• Dutos não circulares

– As correlações para escoamentos turbulentos em tubos são estendidas para uso com geometrias não circulares introduzindo‐se o conceito de Diâmetro Hidráulico Dh , definido por:

– No lugar de D utiliza‐se Dh . “A” é a área da seção transversal e “P” é o perímetro molhado. Por exemplo, para um duto retangular de altura h e largura b, temos:

– Este conceito pode ser aplicado na faixa aproximada de 0,25<Ra<4, onde Ra é a razão de aspecto (Ra = h/b)

P

ADh

4=

)(2

44

hb

bh

P

ADh +

==


Análise Dimensional e Semelhança

A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando procedimentos experimentais;

Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e analítica;

Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar);

Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo de laboratório e o “outro” sistema.


Análise Dimensional e Semelhança

Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e leis de conservação.

O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de :∙ análise teórica

∙ resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório)

Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas.

A análise dimensional permite associar variáveis em grupos adimensionais.

Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou caro, utiliza‐se modelos reduzidos representativos.


Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis.

Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos :∙ o maior número de informações ∙ o menor número de ensaios

Análise dimensional⇓

Parâmetros adimensionais(apresentação resumida em gráficos)

Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem :• parâmetros geométricos• parâmetros do escoamento


Análise dimensional e semelhança

• Teoria de semelhança

• Principal motivação: projeto e interpretação dos resultados de experimentos.

– Efeitos de escala.• Viabilizar testes em bancada.

– Redução do número de quantidades físicas para representar.• Simplificação dos experimentos.

– Comparação de resultados experimentais com o mundo real


Análise dimensional e semelhançaTeoria de semelhança

• Regras de similaridade para escoamentos

– Semelhança geométrica

• Exemplo: escoamento por uma ranhura

hL

h λ=



• Regras de similaridade para escoamentos

– Semelhança dinâmica

• Mais complicada de entender.

• Os escoamentos não são necessariamente semelhantes apenas se as vazões foram multiplicadas por um fator de escala.

• É necessário que haver semelhança nos campos de pressão, inércia e viscosidade, onde relevante



• Regras de similaridades para escoamentos

– Semelhança dinâmica

• Semelhança nos campos de pressão e inércia:

– Número de Euler:

• Semelhança nos campos de forças viscosas e inércia:

– Número de Reynolds:μ

ρDV=Re

2Eu

V

p

ρΔ

=



• Regras de similaridades para escoamentos

– Dois escoamentos serão completamente semelhantes se guardam similaridade geométrica e dinâmica.

– Na prática, isso pode tornar fácil ou difícil o projeto de experimentos.



• Adimensionalização de equações:

– Se as equações são homogêneas dimensionalmente, a forma adimensional surge naturalmente quando parâmetros são adimensionalizados.

• Exemplo:

– Equação de Bernoulli Ctezg

Vp=++

2

2

γ



• Equação de Bernoulli:

– Vamos escolher três parâmetros que sejam afetados pela escala como fatores adimensionadores:

• Massa específica característica ρ → [M] [L]‐3

• Velocidade característica Vref→ [L][T]‐1

• Altura característica hmax → [L].

– Vamos usá‐lo para criar adimensionais

Ctezg

Vp=++

2

2

γ



• Equação de Bernoulli:

– Pressão →

– … para adimensionalizar deve‐se dividir por

– … logo

– Usando o mesmo processo:

CtezgVP

=++ ~~2

~

~

~ 2

ρ

[ ][ ]

[ ][ ][ ] [ ]222 TL

LM

L

FP =→

[ ][ ][ ] [ ]

222 V

TL

LM ρ=

2

~

refV

PP

ρ=

refref V

VVe

h

zz

V

ghg ==== ~~,~,~

max2max

ρρρ



• Escrita na forma adimensional, a equação de Bernoulli pode ser usada para montar um ábaco que vale para qualquer linha de corrente de escoamento permanente e incompressível.

• Exemplo: suponha altura constante.

CteV

P =+2

~~ 2





• Ao escrever a equação na forma abaixo, fica evidente que dois sistemas que tenham o mesmo número de Reynolds, número de Froude e que sejam geometricamente proporcionais podem ser correlacionados.

• Notar que o termo à esquerda é pressão.– Pressão integrada em área gera força.

• Significa então que as forças adimensionalizadas causadas por um escoamento são função do número de Reynolds, do número de Froude e da “geometria” do escoamento.


Instrumentos da Análise Dimensional

Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos:

Teorema de BridgmanTeorema de Buckingham

Teorema de Bridgman

O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente pode ser expressa por um produto de grandezas primárias.

Exemplo: E = f(m, V) ⇒ E = C m V2, onde C = cte.

Teorema de Buckingham

O teorema dos π de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.


Teorema dos π de BuckinghamDado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis

independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo :

q1 = f(q2, q3, ... qn)

ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0.

O teorema π estabelece que :

variáveisindependentes

variável dependente

relação funcional(desconhecida)

Dada uma relação entre n variáveis da forma

g (q1, q2, q3, ... qn) = 0

estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros π, expressados sob a forma funcional :

G (π1, π2, ..., πn-m) = 0

ou π1 = Η(π2, ..., πn-m)

O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.

NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela pode ser determinada experimentalmente.


Determinação dos grupos π (6 passos)

• 1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos (m)

– Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação seráobtidas, mas não fornecerá a história completa.

• 2º Passo – Selecione um conjunto de (n) dimensões fundamentais (primárias)

– P.ex. M, L, t

• 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias

• 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias

• 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n‐m equações)

• 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido éadimensional.


Análise dimensional e semelhança Teoria de semelhança

• Exemplo de aplicação:

– Sabe‐se que a perda de carga (pressão) em uma tubulação horizontal é função da:

• rugosidade do interior da tubulação.

• comprimento e diâmetro da tubulação.

• viscosidade e massa específica do fluido.

• velocidade do escoamento.

– Estime quais os adimensionais que governam a perda de carga (processo físico) no sistema citado



• Processo físico:

• Matriz dimensional:

• Se m=7, n=3 k=m‐n=4 e pode‐se escrever:




Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.

L/TVVelocidade

ML/T2FForça

MmMassa

TtTempo

T‐1ωFreqüência

L/T2aAceleração

L2AÁrea

L/T2gGravidade

LlComprimento

DimensõesSímboloQuantidade



M/L2T2γPeso específico

M/L3ρMassa específica

M/LT2τTensão

M/LT2pPressão

M/TFluxo de massa

L2/TνViscosidade cinemática

M/LTμViscosidade

L3/TQVazão


m&



ML2/T2WTrabalho

ML2/T3Potencia, fluxo de calor

M/LT2ΒMódulo da elasticidade volumétrica

M/T2σTensão superficial


Q,W &&


Força de arrasto

• Força de arrasto é a força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou gás).

• O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do objeto (primariamente pelos seus lados, já que as forças de fricção da frente e de trás se anulam), e de forças de pressão, que atuam em uma direção perpendicular à superfície do objeto (primariamente na frente e atrás, já que as forças de pressão se cancelam nas laterais do objeto).


A força de arrasto

velocidade Varrasto Fa

2aa VAC

21

F ρ=

ρ = densidade do meioA = área “frontal”Ca = coeficiente de arrasto


O coeficiente de arrasto

• ρAV2 tem dimensão de força

Ca = Fa / (½ ρAV2) é adimensional

Ca só pode depender de quantidades sem dimensão

• Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única quantidade adimensional é o número de Reynolds:

μρDV

=Re Ca = f (Re)

D = dimensão característica (diâmetro da bola), μ = viscosidade do meio


Usando a análise dimensional, chegamos à relação :

onde f1 pode ser determinada experimentalmente e Re é um parâmetro chamado número de Reynolds.

Variando o número de Reynolds Re = rVD/m N vezes, obtemos N pontos da relação anterior, variando só, por exemplo, a velocidade. As outras variáveis não são alteradas (r, D e m constantes).

( )RefVD

fDV

FC 1122A =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρ=

ρ=

Coeficiente de Arrasto



Parâmetros Adimensionais Comuns

σρ

ω

μρ

ρ

lVNúmero

V

lNúmero

c

VNúmero

VNúmero

lVNúmero

V

pNúmero

2

2

We Weber,de

St Strouhal, de

M Mach, de

lgFr Froude, de

Re Reynolds, de

Eu Euler, de

=

=

=

=

=

Δ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σρω

μρ

=ρΔ lV

,V

l,

c

V,

lg

V,

lVf

V

p 22

12


Significado Físico

inercial força

pressão de forçaEu ∝

viscosa força

inercial forçaRe ∝

gravidade da força

inercial forçaFr ∝

Escoamento nos quais a queda pressão é significativa

Escoamento influenciados por efeitos viscosos

Escoamento influenciados pela gravidade:escoamento de superfície livre


Significado Físico

ilidadecompressib de força

inercial forçaM ∝

inercial força

centrífuga forçaSt ∝

lsuperficia tensão de força

inercial forçaWe ∝

Compressibilidade importante V >0,3c

Componente não permanente se repete periodicamente

A tensão superficial influencia o escoamento


• O estudo do escoamento em estruturas offshore énormalmente realizado em tanques experimentais, utilizando‐se modelos reduzidos, submetidos a correntes e ondas equivalentes àquelas encontradas no oceano. Para que os dados de laboratório possam ser transportados para o cálculo das estruturas em tamanho real, algumas condições devem ser satisfeitas. Nesse contexto, julgue os itens que se seguem.– A semelhança geométrica entre o modelo e o projeto real deve ser

garantida, considerando‐se as dimensões em escala e os mesmos ângulos.

– O número de Reynolds é o único parâmetro necessário para garantir que os escoamentos sejam semelhantes.

– O arrasto em um elemento estrutural submetido a uma corrente marinha depende unicamente da velocidade do escoamento.

– Considerando um ensaio de modelo em túnel de água sem superfície livre para o mesmo número de Reynolds, as linhas de corrente para o escoamento no modelo e no protótipo devem ser as mesmas.


Semelhança

A maior parte dos projetos de engenharia que envolve estruturas, aviões, navios, rios, portos, barragens, poluição do ar e da água frequentemente utilizam modelos;

Modelo é uma representação simplificada da realidade que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica do sistema;

O sistema físico para o qual as predições são feitas é denominado “protótipo”;

Com o desenvolvimento de um modelo adequado é possível predizer , sob certas condições, o comportamento do protótipo.


Modelo reduzido em escala geométrica 1:30 da tomadad’água e da comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Tucuruí (ELETRONORTE), no rio Tocantins, projetadapela Badoni A.T.B. Indústria Metalmecânica S/A, 1985.

Semelhança


Modelo reduzido em escala geométrica da tomada d’água e da comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Paulo Afonso IV (CHESF), no rio São Francisco, projetadas pela Ishikawajima do Brasil Estaleiros S/A, 1978.

Semelhança


Semelhança


Semelhança

Modelo marítimo - Itanhaém S.P.


Semelhança

Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações

de modelos

A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional


Teoria dos modelos

A teoria dos modelos pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional. Mostramos que qualquer problema pode ser descrito em função de um conjunto de termos pi:

Se esta equação descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo deste protótipo:

),,,( 321 nΠΠΠ=Π Kφ

),,,( 321 nmmmm ΠΠΠ=Π Kφ


Teoria dos modelos

Assim, se o modelo é projetado e operado nas seguintes condições:

Já que a forma de ϕ é a mesma para o modelo e o protótipo, temos:nmn

m

m

Π=Π=

Π=ΠΠ=Π

MM

33

22

11 Π=Π m


Teoria dos modelos

O valor medido no modelo, Π1m, será igual ao valor de Π1 do protótipo desde que os outros termos pi sejam iguais;

As condições especificadas pela igualdade dos outros termos pi fornecem as condições de projeto do modelo e são conhecidas como condições de semelhança ou leis do modelo.


Escoamentos SemelhantesEstudos em Modelos

Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condições

Semelhança geométrica

Semelhança cinemática

Semelhança dinâmica


Semelhança



Semelhança



Semelhança dinâmica

Semelhança


Semelhança

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) .constF

F

F

F

F

F

F

F

pg

mg

p

m

pp

mp

pI

mI ====μ

μ

F

F

F

F

pp

I

mp

I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

I

m

I

F

F

F

F⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μμ

pg

I

mg

I

F

F

F

F⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


Semelhança

F

F

F

F

pp

I

mp

I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

I

m

I

F

F

F

F⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μμ pg

I

mg

I

F

F

F

F⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pm EuEu = pm ReRe =

)F,F,F(fF gpI μ=

pm FrFr =

)Fr(Re,fEu =


Problema 1

Que velocidade deveria ser selecionada em um túnel de vento no qual um modelo de automóvel em escala 9:1 deve simular uma velocidade de 12m/s? Despreze efeitos de compressibilidade.


Problema 2O escoamento em volta de uma componente estrutural debaixo d’água deve ser estudada em um túnel de vento a 200C em um modelo em escala 10:1. Que velocidade deve ser selecionada no túnel de vento para simular uma velocidade de 4m/s de água a 100C.


Semelhança

( )( ) .const

ma

ma

F

F

pp

mm

pI

mI ==

.const/V

/V

a

a

p2p

m2m

p

m ==l

l


Razão entre as velocidades cte.


Modelo tenha a mesma forma do protótipo.


Semelhança

Semelhança Completa

A semelhança geométrica seja satisfeita;

A razão de massa dos elementos correspondentes do fluido seja uma constantes;

Os parâmetros adimensionais apropriados sejam iguais


Semelhança

( )( )

( )( ) 2

p2pp

2m

2mm

pI

mI

pA

mA

V

V

F

F

F

F

l

l

ρρ

==

( )( ) p

2p

2pp

m2m

2mm

ppI

mmI

p

m

VV

VV

VF

VF

W

W

l

l&

&

ρρ

==


Problema 3Um modelo com escala 1:7 simula a operação de uma turbina grande que deve gerar 200kW com uma vazão de 1,5m3/s. Que vazão deve ser usada no modelo e qual a potência de saída é esperada?

a)


Escoamentos Confinados

Força de Pressão;Forças Inerciais; Forças viscosas.

(Re)fEu =


Escoamentos de Superfície Livre

Podemos ignorar: St, M, We


Escoamentos de Superfície Livre

2/1

p

m

p

m

pp

2p

mm

2m

V

V

g

V

g

V⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴=

l

l

llFroude

pm gg = pm ν=ν

m

pm

p

pp

m

mm

Vp

VVV

l

lll=∴

ν=

νReynolds

pm ν≠ν ( ) 2/3pmpm / llν=ν


Exemplo 4Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 6,2 lb é medido no modelo a uma velocidade de 8,0 ft/s. A que velocidade isso corresponde no protótipo e que arrasto de onda é esperado para o protótipo? Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no modelo e no protótipo.

g

Vp

g

VFrFr

pm

mpm

ll=⇒=

s/ft8,35200,8VV2/1

m

pmp ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

l

l


Exemplo 4

( )( ) 2

p2pp

2m

2mm

pA

mA

V

V

F

F

l

l

ρρ

=

mp ρ=ρ

( ) lb49700208

8,352,6F 2

2

2

pA =××=


Exemplo 5

Um modelo em escala de 1:10 de um automóvel é usado para medir o arrasto sobre o design proposto. Ele deve simular o protótipo a uma velocidade de 90km/h. Que velocidade deve ser usada no túnel de vento se os números de Reynolds são igualados? Para essa condição, qual é a razão das forças de arrasto?

m

ppm VVl

l=

h/km9001090Vm =×=

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

11900

1090

F

F

V

V

F

F22

22

mA

pA

2m

2mm

2p

2pp

mA

pA =⋅

⋅=∴

ρρ

=l

l

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Mecanica Dos Fluidos - ANP Carlos Lemos