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Mecânica dos Fluidos Aula 02 Aula 02 Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

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Mecânica dos Fluidos

Aula 02Aula 02

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

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2.4- Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos

Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menosviscosos, caracterizam-se por terem uma viscosidade constante, ou seja,seguem a Lei de Newton da viscosidade. São exemplos a água, o leite e osóleos vegetais, etc. Já nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia coma força aplicada (e por vezes com o tempo também) e portanto têmpropriedades mecânicas muito interessantes.Um bom exemplo é o ketchup. Quando o frasco está em repouso o ketchupé muito viscoso, mas quando o inclina ele torna-se menos viscoso e escorre,e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade.e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade.O exemplo da mistura de amido e água é muito fácil de ser realizada emnossa própria casa; uma vez obtida a mistura comprovaremos um fatoinsólito: ao agitá-la lentamente comporta-se como um fluído semi-líquido,mas ao agitá-la com força se mostra dura como uma pedra. Enquanto semexe devagar com uma colher, a mistura terá a textura de uma papinha,mas tente dar um soco e seus dedos toparão com algo tão sólido quantouma parede.Em resumo, de uma forma simplificada, podemos dizer que os fluidos não-newtonianos não possuem uma viscosidade bem definida.

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ττ

Taxa de deformação

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A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as propriedadesfísicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento numfluido. Podemos então concluir que é a ciência responsável pelos estudos dofluxo e deformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido.

A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida, e a única quecaracteriza os fluidos newtonianos.

A viscosidade aparente, µµµµap , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, aqual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluidoqual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluidoNewtonianos á idêntica a µµµµ.

A viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação emfluidos pseudoplásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões decisalhamento).Os fluidos nos quais a viscosidade aparente cresce conforme a taxa dedeformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais espessosquando sujeito a tensões de cisalhamento).

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Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever osfluidos não-newtonianos independentes do tempo. Para muitas aplicaçõesda engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadaspelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se:

dydv

k n

xyx

onde o expoente, n, é chamado de índice de comportamento do escoamentoe o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de

µµµµ ττττe o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei deNewton da viscosidade para n = 1 e k = µµµµ. Para assegurar que ττττyx tenha omesmo sinal de dvx/dy, a equação anterior é reescrita na forma:

dydv

dydv

dydv

k dydv

dydv

dydv

k xap

x

1 n

xx

1

x

n

xyx

ap

µτ

µ

=

=

=

−−

43421

onde µµµµap é referenciado como viscosidade aparente do fluido.

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Esquema de classificação dos fluidos conforme o comportamento reológico:

Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, ττττyx , sejaexcedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa dedeformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal. O modelocorrespondente de cisalhamento é:

dydv

xapyyx µττ +=

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Existem materiais que se comportam parcialmente como umfluido e parcialmente como um sólido. Estes são os fluidosviscoelásticos.

Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como:

- o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, masdescrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluidodescrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluidoem questão;

- a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidosnewtonianos;

- a viscosidade é dependente da temperatura.

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Viscoelásticos(propriedades elásticas e viscosas acopladas)

Modelo Maxwell(propriedades elásticas)Modelo Kelvin-Voigt(propriedades viscosas)

Estas substâncias quando submetidas à tensão de

cisalhamento sofrem uma deformação e quando cessa, ocorre uma certa recuperação

da deformação sofrida

Massas de farinha de trigo, gelatinas, queijos, líquidos poliméricos, glicerina, plasma, biopolímeros,

saliva, etc.

Dependente do tempo

Reopético A viscosidade aparente diminuiconforme a duração da tensão

Alguns lubrificantes, suspensão de pentóxido de vanádio e argila bentonita.

Tixotrópico A viscosidade aparente aumentaconforme a duração da tensão

Suspensões concentradas, emulsões, soluções

protéicas, petróleo cru,

Comparativo de propriedades de fluidos não newtonianos:

conforme a duração da tensão protéicas, petróleo cru, tintas, ketchup.

Independente do tempo

PesudoplásticoA viscosidade aparente diminui conforme o aumento da tensão

de cisalhamento .

Polpa de frutas, caldos de fermentação, melaço de

cana.

DilatanteA viscosidade aparente aumentaconforme a duração da tensão

de cisalhamento .

Suspensões de amido, soluções de farinha de milho e açúcar, silicato de potássio

e areia.

Plásticos de Bingham

Este tipo de fluido apresenta uma relação linear entre a

tensão de cisalhamento e a taxa de deformação.

Fluidos de perfuração de poços de petróleo, pasta dental, maionese, mel, etc.

Herschel-BulkleyA relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação não é linear.

Sangue, iogurte, purê de tomate, etc.

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2.5- Algumas propriedades dos fluidos2.5.1- Massa específicaAmassa específica de uma substância, designada por ρρρρ , é definida como amassa de uma substância contida numa unidade de volume. Estapropriedade é normalmente utilizada para caracterizar a massa de umsistema fluido.

etc. ;Lkg

;cm

g;

mkg

Vm

33

2.5.2- Volume específicoO volume específico, νννν , é o volume ocupado por uma unidade de massa dasubstância considerada. Note que o volume específico é o recíproco damassa específica, ou seja:

Normalmente não é utilizado o volume específico na mecânica dos fluidos,mas é uma propriedade muito utilizada na termodinâmica.

etc. ;kgL

;g

cm;

kgm

1

33

ν

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2.5.3- Peso específicoO peso específico de uma substância, designada por γγγγ , é definido como opeso da substância contida numa unidade de volume. O peso específico estárelacionado com a massa específica através da relação:

onde g é a aceleração da gravidade padrão (9,807 m/s2). Note que o pesoespecífico é utilizado para caracterizar o peso do sistema fluido enquantoque a massa específica é utilizada para caracterizar a massa do sistemafluido.

= etc. ;

ftlbf

;cmdina

;mN

ρ.g γ 333

fluido.

2.5.4- Densidade relativaA densidade relativa de um fluido, designada por SG ( specific gravity ), édefinida como a razão entre a massa específica do fluido e a massaespecífica da água a 4°°°°C (ρρρρágua = 1000 kg/m3). Nesta condição, temos:

( Adimensional ) ρ

ρ SG

C4 a água

fluidofluido

0

=

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2.6- Lei dos gases perfeitosOs gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Sob certascondições, a massa específica de uma gás está relacionada com a pressão e atemperatura através da equação:

ρRT RTVm

PM

perfeitos) gases dos (lei RTMm

nRT PV

==

==

.atm/mol.Kcm 82,05 R

absoluta ra temperatu T

ideais gases dos universal constante R

gás domolar massa M

gás do absoluta Pressão P

RTPM

ρ

ρRT RTV

PM

3=

=

=

=

=

=

==

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3. Estática dos fluidos3.1- Introdução

Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente quandouma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é aplicada. Aausência de movimento relativo (e por conseguinte, de deformaçãoangular), implica a ausência de tensões de cisalhamento.

Na estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as partículas doNa estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as partículas dofluido é nula, ou seja, não há gradiente de velocidade. Uma vez quenão há movimento relativo dentro do fluido, o seu elemento não sedeforma.

Portanto, em um fluidos em equilíbrio estático atuam somenteforças de campo e normais e não há esforços tangenciais.

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3.2- Equação básica da estática dos fluidos

Em um fluido em repouso (estático), submetido ao campogravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluidosão o peso e as forças devidas às pressões estáticas.Tem-se, em princípio, que a pressão p = p(x, y, z).Consideremos um elemento de volume ∆∆∆∆x∆∆∆∆y∆∆∆∆z, com faces paralelasaos planos de um sistema de coordenadas retangulares x, y, z,isolado de um fluido em repouso com massa específica ρρρρ, conformeisolado de um fluido em repouso com massa específica ρρρρ, conformeé mostrado na Figura 1 a seguir, na qual designamos as pressõesque atuam sobre o elemento fluido de acordo com a coordenada deposição da face do elemento cúbico sobre a qual atua a pressão.

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Figura 1: Elemento de volume isolado de um fluido em repousocom as pressões estáticas exercidas pelo restante do fluido

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gρ W zyx ∆∆∆=

O peso do elemento fluido é dado por:

( 1 )

A força de superfície resultante, devida às pressões estáticas queatuam sobre o elemento, é dada por:

( ) ( ) ( ) kp p jp p ip p F z zzy y yx x xp yxzxzy ∆∆−+∆∆−+∆∆−= ∆+∆+∆+ ( 2 )( ) ( ) ( ) kp p jp p ip p F z zzy y yx x xp yxzxzy ∆∆−+∆∆−+∆∆−= ∆+∆+∆+

Como o fluido está em repouso, a força resultante que atua sobreum elemento de volume deve ser nula, ou seja, tem-se um condiçãode equilíbrio dada por:

0 F W F p =+=∑ ( 3 )

( 2 )

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( 1 ) e ( 2) em ( 3 ):

Dividindo pelo volume ∆∆∆∆x∆∆∆∆y∆∆∆∆z , rearranjando os termos e fazendo olimite quando o volume do elemento tende a zero, obtém-se

( 4 )

( 5 )gρ kp p

jp p

ip p

lim z zzy y yx x x

0 =

∆−

+∆

−+

∆− ∆+∆+∆+

→∆∆∆ zyxzyx

( ) ( ) ( ) 0 kp p jp p ip p gρ z zzy y yx x x

=∆∆−+∆∆−+∆∆−+∆∆∆∆+∆+∆+

yxzxzyzyx

gρ kp

jp

ip

=∂

+∂

+∂

kp

jp

ip

pzyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

O termo do lado esquerdo da equação (6) é a definição dogradiente de pressão, em coordenadas retangulares, dado por:

( 7 )

gρ kp

jp

ip

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx( 6 )

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Portanto, a equação (6) pode ser escrita como:

gρ p =∇ ( 8 )

A equação (8) é equação básica da estática dos fluidos.Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado naFigura 1, a equação (8) pode ser decomposta nas componentesescalares.

xxρg

p=

∂∂

yyρg

p=

∂∂

zzρg

p=

∂∂

Por conveniência, escolhemos o referencial com o eixo y paraleloao vetor gravidade, de forma que:

0 g =x g g −=y 0 g =z

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Assim, considerando um eixo y vertical com sentido positivo paracima, conclui-se que a pressão varia somente em função de y, demaneira que se pode escrever

( 9 ) ρg p

−=∂∂y

E que os planos xz horizontais são planos isobáricos, ou seja,pontos que estão à mesma altura (ou profundidade) dentro domesmo fluido possuem pressões estáticas iguais.

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3.3- Variação da pressão em um fluido em repousoa) Variação da pressão em um fluido incompressível (ρρρρ = cte)Um fluido incompressível tem massa específica constante, de formaque a integração da equação básica da estática dos fluidos ficasimplificada.Tem-se que:

( 10 ) gρ P −=∇

e, considerando um referencial com eixo y vertical, com sentidopositivo para cima, resulta que a equação (10) fica sendo:

constante ρg ddp

=−=y

( 11 )

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( )p

dρg dpy

−= ∫∫y

y

A variação da pressão com a altura é determinada por meio daintegração da equação (11) com as condições de contornoadequadas. Considerando que a pressão num nível de referênciay0 é p0 , determina-se a pressão p(y) numa altura y com aintegração da equação (11), de forma que:

( ) ( )00y

0p

y y ρg p p0

−−=−

∫∫

ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluidoincompressível, é diretamente proporcional à diferença dealtura entre esses dois pontos.

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h

Patm

+y

0

g

Para líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de umreferencial com um eixo h, paralelo ao vetor campo gravitacional,com origem na superfície livre e sentido positivo para baixo,conforme é mostrado na Figura a seguir;

P(h)

h+y

( )

( ) ( )0 h ρg p p

dρg dp

atmh

h

0

p

p

h

atm

−=−

= ∫∫ y

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( 12 )

Assim, num fluido incompressível (ρρρρ = constante):

( Equação da hidrostática )

A equação (12) é conhecida como a lei de Stevin , que diz que adiferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso éigual ao produto do peso específico (γγγγ) do fluido pela diferença decotas entre dois pontos (h).

( )

( )

( ) h γ p p

h γ p p

ρgh p p

atmh

atmh

atmh

=−

+=

+=

Assim, num fluido incompressível (ρρρρ = constante):- a pressão varia linearmente com a profundidade;- a pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano

horizontal y no fluido.

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Pressão atmosféricaPara se determinar a pressão atmosférica a uma dada altitude, énecessário conhecer-se primeiro como a temperatura varia com aaltitude. Uma boa aproximação para a troposfera (altitudes de até11000 km) é aquela que considera que a temperatura reduz-selinearmente com a altitude. Nesse caso, e considerando o aratmosférico como gás ideal, a pressão à altitude z acima do nível domar, poderá ser estimada por meio da seguinte equação:

TB.

1p p 26,5

0atm

−=

z( 13 )

onde patm = 101325 N/m2 (pressão atmosférica ao nível do mar naaltitude zero), B = 6,5x10-3 Kelvin/m e T0 = 288,16 Kelvin (15°°°°C).

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Exemplo. Estimar a pressão atmosférica à altitude de 3000m,utilizando a equação (13) e comparar o valor obtido com aqueleutilizando a lei de Stevin (eq. 12).Utilizando a fórmula exta dada pela equação (13), temos:

( )

70086N/m p

288,16Km3000K/m6,5x10

1101325N/m TB.

1p p

2

26,532

26,5

0atm

−=

−=

−z

( )2

32atm

66015N/m p

3000m11,77N/m 101325N/m h γ p p

=

+=+=

Por outro lado, utilizando a lei de Stevin com γγγγar = 11,77N/m2, temos:

Isso representa uma diferença de apenas 5,8% com relação aovalor exato obtido por meio da equação (13). Para altitudesinferiores a 1000m, os erros serão inferiores a 5%.

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b) Variação da pressão em um fluido compressível (ρρρρ é variável)A variação da pressão em um fluido compressível também édeterminada através da integração da equação básica da estáticados fluidos dada por:

gρ P =∇ ( 14 )

Para um fluido compressível a massa específica ρρρρ não éPara um fluido compressível a massa específica ρρρρ não éconstante, de forma que é necessário expressá-la em função deoutra variável na equação (14). Uma relação entre a massaespecífica e a pressão pode ser obtida da equação de estado dogás ou por meio de dados experimentais.

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RTPM

ρ

ρRT RTVm

PM

perfeitos) gases dos (lei RTMm

nRT PV

=

==

==

gPM

P =∇ ( 15 ) gRTPM

P =∇ ( 15 )

A equação (15) introduz outra variável, que é a temperatura, demaneira que é necessária uma relação adicional da variação datemperatura com a altura.

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3.4- Medidas de pressão.3.4.1- Barômetro de mercúrio.As medidas de pressão são realizadas em relação a umadeterminada pressão de referência. Usualmente, adota-se comoreferência a pressão nula existente no vácuo absoluto.A pressão relativa ocorre porque muitos instrumentos de pressãosão do tipo diferencial, registrando não a magnitude absoluta,mas a diferença entre a pressão do fluido e a atmosfera que podeser positiva (manômetros) ou negativa (vacuômetros).

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Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada éa absoluta, dada por:

p p p relativaatmabsoluta += ( 16 )

A pressão atmosférica local, representada por patm pode sermedida por um barômetro. O mais simples é o barômetro demercúrio construído por Evangelista Torricelli em 1643.

( Barômetro de mercúrio )

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Na Figura anterior, tem-se:h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro;Patm é a pressão atmosférica local; eP0 é a pressão de vapor do mercúrio.

Aplicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetrode mercúrio, temos:

gρ P −=∇

ghρ p p

dgρ dp

gρ ddp

gρ P

HgAB

h

0

Hg

p

p

Hg

B

A

−=−

−=

−=

−=∇

∫∫ y

y

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Pontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm amesma pressão, de forma que pA= patm e como pB = p0 , obtém-se:

ghρ p p Hgatm0 −=−ou

gh ρ p p Hg0atm += ( 17 )

Em condições normais de temperatura e pressão, a pressão devapor do mercúrio é praticamente nula, ou seja, p0 ≈≈≈≈ 0,resultando:

gh ρ p Hgatm = ( 18 )gh ρ p Hgatm = ( 18 )

A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresponde a umacoluna de mercúrio com altura h = 76 cm. Substituindo os dados,ρρρρHg = 13600 kg/m3 , g = 9,81 m/s2 , h = 0,76 m , na equação (18),resulta:

patm = 101320 N/m2 (Pa) = 102,32 kPa

1 atm = 101325 Pa (N/m2) = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 1,0332 kgf/cm2 =10,332 mH2O (mca) = 760 mmHg (Torricelli) = 14,7 psi (lbf/in2) = 29,92 inHg

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3.4.2- Manômetro de tubo em U com líquido manométrico.A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tuboem U, permite utilizá-lo na medição de pressões de gases oulíquidos, pois esse líquido impede que o gás escape pelo tubo. Éimportante que se utilize um líquido manométrico que apresenteum peso específico bastante elevado de modo a evitar colunascontendo o fluido manométrico muito altas.

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De acordo com a lei de Stevin (equação 12), a pressão em C emrelação à pressão em B (observando que PB = PA), será dada por:

2A2BC h γ P h γ P P +=+=

Ocorre que em C, temos a interface do fluido com o líquidomanométrico, sendo que a pressão aí é igual à pressão em D, por setratar de pontos na mesma horizontal de um mesmo líquido, PC =PD ; assim, tendo em vista o resultado anterior, temos:

( 19 )

2AD h γ P P += ( 20 )

Aplicando novamente a lei de Stevin (equação 12), paradeterminação da pressão em D, em relação à pressão na superfícielivre do líquido manométrico no tubo, onde reina a pressãoatmosférica local, resulta em:

1LMatmD h γ P P += ( 21 )

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Igualando as equações (20) e (21), resulta o seguinte resultado:

21LMatmA

1LMatm2A

h γ h γ P P

h γ P h γ P

−+=

+=+

Na equação 22, a pressão PA representa a pressão absoluta no tubo(como líquido ou gás). Para a medida da pressão relativa (ou

( 22 )

manométrica) o valor da pressão atmosférica é zero (na escalaefetiva). Assim, a pressão manométrica no ponto A será:

21LMA h γ h γ P −= ( 23 )

Para medir pressões de líquidos (ex. água) utiliza-se mercúriocomo fluido manométrico (SGHg =13,6).

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Exemplo 01: Água escoa através dos tubos A e B. Óleo comdensidade relativa 0,8, encontra-se na parte superior do tubo em Uinvertido. Mercúrio (densidade relativa 13,6), encontra-se no fundodas curvas do manômetro. Determine a diferença de pressão, PA –PB.

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5águaFB

4HgEF

3óleoDE

2HgCD

1águaAC

gdρ p p

gdρ p p

gdρ p p

gdρ p p

gdρ p p

−=−

−=−

+=−

−=−

+=−

gdρ gdρ gdρ gdρ gdρ p p 5água4Hg3óleo2Hg1águaAB −−+−=−

( ) ( ) gdρ d dgρ d dgρ p p 3óleo42Hg51águaAB ++−−=−

=

=⇒=

C4 a águaóleoóleo

C4 a águaHgHg

C4 a água

fluidofluido

0

0

0 ρSG ρ

ρSG ρ

ρρ

SG

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( )[ ]3óleo42Hg51águaAB dSG d dSG d dgρ p p ++−−=−

( )[ ]inm

inx0,02540,8x4 5 313,6 8 10sm

9,81mkg

10 p p23

3AB ++−−=−

Nsm

mkg

43,25814 p p22AB −=−

( )

atm 0,25 p p

kPa 81,25 p p

1x kPa 81,25 p p

kPa 101,325 atm 1 ; Pa 10 1kPa

Pa43,25814 mN

43,25814 p p

BA

BA

AB

3

2AB

=−

=−

−−=−

==

−=−=−

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3.4.3- Piezômetro.O piezômetro é o dispositivo mais simples para a medição de pressão.Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente (tubulação)onde se quer medir a pressão.- O líquido subirá no tubo piezométrico a uma altura “h”, correspondenteà pressão interna;- Devem ser utilizados tubos piezométricos com diâmetro superior a 1cmpara evitar o fenômeno da capilaridade;- Não serve para a medição de grandes pressões ou para gases.Aplicando a lei de Stevin (eq. 12), considerando somente a pressão relativaemA (ou manométrica), temos:emA (ou manométrica), temos:

h γ P A = ( 24 )

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3.4.4- Manômetro metálico de Bourdon.Diferentemente dos manômetros de tubo com líquido, o manômetro deBourdon (Eugène Bourdon, 1849, França) mede a pressão de formaindireta, por meio da deformação de um tubo metálico, daí o seu nome.Conforme indica a Figura a seguir, neste manômetro, um tubo recurvado delatão, fechado numa extremidade e aberto na outra (denominada tomada depressão), deforma-se, tendendo a se endireitar sob o efeito da mudança depressão. Um sistema do tipo engrenagem-pinhão, acoplado à extremidadefechada do tubo, transmite o movimento a um ponteiro que se desloca sobreuma escala. O tubo recurvado de latão, por estar externamente submetido àpressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão na tomada forpressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão na tomada formaior ou menor que aquela.

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Assim, a pressão indicada por este manômetro é sempre a pressãorelativa. Quando não instalado, o manômetro de Bourdon indicazero, em qualquer altitude.Quando este manômetro ocupa um ambiente onde a pressão sejadiferente da pressão atmosférica local, a pressão indicada Pindicada(ou manométrica ) será dada por:

P P P ambientetomadaindicada −= ( 25 )

onde Pambiente é a pressão no ambiente onde está o manômetro ePtomada é a pressão na tomada é a pressão absoluta em relação ápressão do ambiente local onde está instalado o manômetro.

Uma escala muito utilizada neste manômetro é aquela produzidaem unidades práticas de kgf/cm2. Outras escalas de pressãoutilizadas são bar e psi.

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Exemplo 02: Para a instalação da Figura a seguir, são fornecidos:pressão indicada no manômetro de Bourdon Pindicada = 2,5 kgf/cm2 epeso específico do mercúrio γγγγHg = 1,36x104 kgf/m3. Pede-sedeterminar a pressão no reservatório 1, P1 .

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Solução: Determinemos, primeiramente, a pressão no ambienteonde está o manômetro de Bourdon. Essa pressão é a do gáscontido no reservatório 2, P2, que é a mesma pressão que reina nasuperfície livre do reservatório 2. Por sua vez, essa pressão é igualà pressão em A, pois A está no mesmo plano horizontal dasuperfície livre do mercúrio no reservatório 2. Assim, P2 = PA.Pela aplicação direta da lei de Stevin (eq. 12) em A, levando-se emconsideração a coluna de mercúrio de altura h = 1,5m temos que ana escala efetiva a pressão no ambiente 2 é:na escala efetiva a pressão no ambiente 2 é:

Então, a pressão relativa no ambiente onde está o manômetro deBourdon será:

h γ P P HgA2 ==

h γ P P Hg2ambiente ==

( 1 )

( 2 )

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Para o manômetro de Bourdon, temos:

com Pindicada = 2,5 kgf/cm2 , Ptomada = P1 e Pambiente = γγγγHg.h

Isolando Ptomada no primeiro membro na expressão acima esubstituindo estes últimos resultados, temos:

P P P ambientetomadaindicada −= ( 3 )

Reconhecendo que γγγγHg = 1,36x104 kgf/m3 = 1,36x10-2 kgf/cm3 e que h= 1,5m = 150cm, temos para P1 o valor de:

.h γ 2,5kgf/cm P P P Hg2

ambienteindicada1 +=+=

( )( )2

1

3221

kgf/cm 4,54 P

cm150kgf/cm1,36x10 2,5kgf/cm P

=

+= −

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Exemplo 03: Qual é a pressão indicada pelo manômetro C se aspressões indicadas pelos manômetros A e B são respectivamente PA= 45 psi e PB = 20 psi? A pressão barométrica é 30,55 inHg.

14,7 = 29,92 inHg (Tabela de conversões de pressão)Solução: A pressão barométrica correspondente local, Patm é:

15psi 29,92inHg

14,7psi30,55inHg Patm =

=

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As pressões nos compartimentos 1 e 2 não estão à pressãoatmosférica local. O manômetro indica a pressão absoluta (tomada)em relação à pressão do ambiente local onde está instalado omanômetro:

P P P ambienteAtomada,Aindicada, −=

psia 60 15 45 P

P P P

Atomada,

ambienteAindicada,Atomada,

=+=

+=

A unidade de pressão é psi, a letra “a” no final é para frisar que ovalor da pressão é de pressão absoluta.

Tanto o manômetro A quanto o manômetro B medem a pressão nocompartimento 1. Assim,

psia 60 P P Atomada,Btomada, ==

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psia 40 20 60 P

P P P

P P P

ambiente,2

Bindicada,Btomada,ambiente,2

ambiente,2Btomada,Bindicada,

=−=

−=

−=

O manômetro C mede a pressão no compartimento 2 (tomada C),assim:

O manômetro B mede a pressão no compartimento 1 (tomada B)em relação à pressão no compartimento 2, PB:

assim:

A leitura do manômetro C então pode ser calculada:

psia 40 P

P P

Ctomada,

ambiente,2Ctomada,

=

=

psi 25 15 40 P

P P P

indicada,C

ambiente,2tomada,Cindicada,C

=−=

−=