MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 03- 3a Parte

13/05/2012

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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO

DE BERNOULLI – 3ª PARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Prof. Eliane Justino

3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A LINHA PIEZOMÉTRICA

� A equação de Bernoulli é a Equação de Conservação da EnergiaMecânica.

� Também mostra qual é a partição desta energia nos escoamentosinvíscidos , incompressíveis e em regime permanente e estabelece quea soma das várias energias do fluido permanece constante noescoamento de uma seção para outra.

� Uma interpretação útil da Equação de Bernoulli pode ser obtido atravésda utilização dos conceitos da Linha Piezométrica e da Linha deEnergia.

� Estes conceitos nos permitem realizar uma interpretaçãogeométrica do escoamento e podem ser utilizados para propic iarum melhor entendimento dos escoamentos.

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3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A LINHA PIEZOMÉTRICA

� A energia total permanece constante ao longo da linha de corrente nosescoamento incompressíveis, invíscidos e que ocorre em regimepermanente.

� O conceito de carga foi introduzido dividindo os termos da Equação deBernoulli pelo peso específico do fluido, γ = ρ.g, ou seja:

� H – é uma constante denominada Carga Total.

� A linha de energia representa a carga total disponível no fluido, comomostra a Figura a seguir

3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E A LINHA PIEZOMÉTRICA

� Representação da Linha de Energia e da Linha Piezométrica.

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� Como mostra na Figura anterior, a elevação da Linha de energia podeser obtida a partir da pressão de estagnação medida com um tubo dePitot, pois esta fornece uma medida da carga (ou energia) total doescoamento.

� A pressão estática, medida pelos tubos piezométricos, por outro lado,mede a soma das carga de pressão e de elevação, p/γ + z, e esta somaé denominada Carga Piezométrica .

� O lugar geométrico das elevações obtidas com um tubo de Pitot numescoamento é denominado Linha de Energia .

� A linha formada pela série de medições piezométricas num escoamentoé denominada Linha Piezométrica .


� Note que, a linha de energia será horizontal se o escoamento nãoviolar as hipóteses utilizadas na obtenção da Equação de Bernoulli.

� Se a velocidade do fluido aumenta ao longo da Linha de Corrente aLinha Piezométrica não será horizontal.

� Se os efeitos viscosos forem importantes (como nos escoamentos emtubos) a carga total não permanece constante devido as perdas deenergia mecânica ao longo da Linha de Corrente, o que significa que aLinha de Energia não é mais horizontal.

� A Figura a seguir mostra a Linha de Energia e Piezométrica relativa aoescoamento de um grande tanque.

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� As Linhas de Energia e piezométrica no Escoamento Efluente de umGrande Tanque:


� A Linha de energia é horizontal e passa pela superfície livre do líquidodo tanque, porque a velocidade e a pressão relativa na superfície livredo tanque são nulas.

� A linha Piezométrica dista V2 / 2g da Linha de Energia, assim umamudança na velocidade do fluido provocada por uma variação nodiâmetro da tubulação, resulta numa mudança da altura da LinhaPiezométrica.

� A Carga de pressão é nula na seção de descarga da tubulação e, destemodo, a altura da tubulação coincide com a linha piezométrica.

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� A Figura abaixo mostra que a distância entre a tubulação e a LinhaPiezométrica indica qual é a pressão no escoamento.


� Se o trecho de tubulação se encontra abaixo da linha piezométrica apressão no escoamento é positiva (acima da atmosférica).

� Se o trecho de tubulação está acima da linha piezométrica a pressãonegativa (abaixo da atmosférica)

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EXEMPLO 3.14 – pág. 122

� A Figura abaixo mostra água sendo retirado de um tanque através deuma mangueira que apresenta diâmetro constante. Um pequeno furo éencontrado no ponto (1) da mangueira. Nós identificaremos umvazamento de água ou sucção de ar para mangueira no furo?


� SOLUÇÃO:

� Se a pressão no ponto (1) for menor do que a atmosférica nósdetectaremos sucção de ar para o escoamento de água e se a pressãoem (1) for maior do que a atmosférica nós identificaremos umvazamento de água da mangueira.

� Nós podemos determinar o valor da pressão neste ponto se utilizarmosas linhas de energia e piezométrica.

� Primeiramente nós vamos admitir que o escoamento ocorre em regimepermanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições a cargatotal é constante, ou seja, a linha de energia é horizontal.

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� A Equação da continuidade (A.V = constante) estabelece que avelocidade do escoamento na mangueira é constante porque o diâmetroda mangueira não varia.

� Assim, a linha piezométrica está localizada a V2/2g abaixo da linha deenergia (veja a Figura do Exercício).

� Como a pressão na seção de descarga da mangueira é igual aatmosférica, segue que a linha piezométrica apresenta a mesma alturada seção de carga da mangueira.

� O Fluido contido na mangueira está acima da linha piezométrica e,assim, a pressão em toda a mangueira é menor do que a pressãoatmosférica.

� Isto mostra que terá sucção de ar para escoamento de água através dofuro localizado no ponto (1).


� Note que efeitos viscosos podem tornar esta análise mais complexa, jáque adotar a linha de energia como horizontal incorreto.

� Entretanto, se a velocidade do escoamento não for alta, se o diâmetroda mangueira não for muito pequeno e seu comprimento não for longo,o escoamento pode ser modelado como não viscoso e os resultadosdesta análise são muito próximo dos experimentais.

� Será necessário realizar uma análise mais detalhada deste escoamentose qualquer uma das hipóteses utilizadas for relaxada.

� Se a válvula localizada na seção de descarga da mangueira forfechada, de modo que a vazão em volume se torna nula, a linhapiezométrica coincidirá com a linha de energia (V2/2g = 0 ) em toda amangueira) e a pressão no ponto (1) será maior que a atmosférica.

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� Neste caso, nós identificaremos um vazamento de água pelo furolocalizado no ponto (1).

� A discussão anterior sobre a linha de energia e piezométrica érestrita a escoamento invíscidos, incompressível e que oco rremem regime permanente e outra restrição é que não existem“fontes” ou “sorvedouros” de energia no escoamento, ou seja , oescoamento não é afetado por bombas ou turbinas.

3.8 3.8 3.8 3.8 –––– RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE BERNOULLIBERNOULLIBERNOULLIBERNOULLI

� Vamos considerar as conseqüências da utilização incorreta da Equaçãode Bernoulli.

3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE

� A utilização da Equação de Bernoulli pra análise de escoamento degases, pode levar a sérios erros.

� Se a massa específica permanecer constante tem se que a diferençaentre pressão de estagnação e a pressão estática é igual a ρV2/2.

� Se a pressão dinâmica não é alta, quando comparada com a pressãoestática, a variação da massa específica entre dois pontos doescoamento não é muito grande e o fluido pode ser consideradoincompressível.

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� Entretanto, como a pressão dinâmica varia com V2, o erro associadocom a hipótese de incompressibilidade do fluido aumenta com oquadrado da velocidade do escoamento.

� Tendo:

� Integrando adequadamente: e levando em consideração a variação

da massa específica do fluido.

� Tomando um escoamento isotérmico de um gás perfeito:


� Assim, se o escoamento ocorre em regime permanente, é isotérmico einvíscido, a Equação se torna:

� Onde se tem ρ = p/RT. O termo de pressão é facilmente integrável e aconstante de integração avaliada se z1, p1 e V1 são conhecidos emalgum ponto da linha de corrente. Assim:

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� Na situação limite em que p1/p2 = 1 + ((p1 – p2)/p2) = 1 + ε com ε << 1,a Equação se reduz a Equação de Bernoulli Padrão.

� Isto pode ser mostrado utilizando a aproximação ln(1 + ε ) = ε , quandoε é pequeno.

� A utilização da Equação é muito restrita porque os efeitos viscosos sãoimportante na maioria dos escoamentos.

� O escoamento compressível mais usual é o isoentrópico (entropiaconstante) de um gás perfeito, estes escoamentos são adiabáticosreversíveis, sem a presença de atrito e transferência de calor e sãoboas aproximações em muitas situações.


� Como já vimos no Capítulo 01, a massa específica e a pressão estãorelacionados por:

� Onde ´k é a relação entre os calores específico e C é constante nosescoamentos isoentrópicos de Gases Perfeitos.

� Assim, pode ser avaliado do seguinte modo;

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� O termo de pressão pode ser integrado entre os pontos (1) e (2) dalinha de corrente e a constante C avaliada em um dos pontos C+1/k =p1

1/k/ρ1 ou C+1/k = p21/k/ρ2 para fornecer:

� Assim tem-se:


� A Equação pra fluidos compressíveis isoentrópicos e a Equação deBernoulli fornecem os mesmos resultados quando aplicada aescoamentos com velocidade baixa.

� A Equação para fluido compressível isoentrópico pode ser escrita deforma adimensional:

� Onde (1) denota as condições a montante e (2) as condições deestagnação. Foi admitido que z1 = z2 e Ma = V1/C1 é o número de Macha montante, sendo a velocidade do som, C1 = (kRT1)1/2.

COMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVEL

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� A comparação entre estes resultados compressível e incompressível émais facilmente visualizada se escrever o resultado incompressível emfunção da relação entre as pressões e o número de Mach.

� Dividindo todos os termos da Equação de Bernoulli:

� Por p1 e utilizando a Equação dos gases perfeitos, p1 = ρRT1, paraobter:


� Como , pode-se reescrever:

� A Figura a seguir mostra a relação de pressão em função do número deMach para escoamentos isoentrópicos compressível e incompressível:

INCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVEL

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� Observe que no limite onde as velocidades são baixas, Ma → 0, osresultados obtidos com as duas Equações são iguais.


� Isto pode ser visto escrevendo:

� E utilizando a expressão binomial:

� Onde n = k/(k-1), para reescrever a equação do fluido compressível:

COMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVEL

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� Se o número de Mach é muito menor do que 1, os resultados obtidosnesta última equação (compressível) são equivalente ao obtido naEquação Incompressível. A diferença máxima entre os resultadoscompressível e incompressível é menor do que aproximadamente 2%para o número de Mach menores do que 0,3.

� Assim, um escoamento de gás perfeito pode ser consideradoincompressível desde que o número de Mach seja menor do que 0,3.

� Para T1 = 15º C, C1 = (kRT)1/2 = 332 m/s, V1 = C1 . Ma = 0,3 x 332 =99,5 m/s ainda pode ser considerado incompressível.


� Um Boeing 777 voa, com Ma = 0,82, numa altitude de 10000 m.Admitindo que a atmosfera se comporta como a padrão, determine apressão de estagnação no bordo de ataque de suas asas modelando oescoamento como incompressível e, também como compressível.

� SOLUÇÃO;

� Nós podemos encontrar as propriedades da atmosfera padrão na Tab.C.1. Assim, p1 = 26,5 kPa (abs), T1 = - 49,9ºC = 223,3 K, ρ = 0,414kg/m3 e k = 1,4. Se nós modelarmos ρ escoamento comoincompressível. A Eq. para fluidos incompressíveis, fornece:

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� De outro modo se admitirmos o escoamento isoentrópcio ecompressível, tem-se:

� Note que os efeitos de compressibilidade são importantes quando onúmero de Mach é igual a 0,82.

� A pressão (e como uma primeira aproximação a sustentação e o arrastono avião é aproximadamente 14,7/12/5 = 1,18 vezes maior no casocompressível do que no incompressível. Isto pode ser muitosignificativo.

� Para número de Mach maiores do que 1 (escoamento supersônico), asdiferenças entre os resultados compressíveis e incompressíveis nãosão apenas quantitativas mas também qualitativas.

3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS

� Numa das hipóteses adotada para a derivação da Equação de Bernoullié de que o escoamento ocorre em regime permanente.

� Portanto a velocidade em uma linha de corrente V = V(s), porém emregime transitório V = V(s,t), portanto é necessário levar emconsideração, a derivada temporal da velocidade, para obter aaceleração ao longo da linha de corrente.

� Assim, tem-se:

� Em vez de;

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� A inclinação do temo transitório na Equação do Movimento não permiteque esta possa ser integrada facilmente e por isso é necessárioinduzirmos outras hipóteses adicionais.

� Se integrarmos a Equação do Movimento incluindo o termo transitóriotem-se:

� Esta Equação pode ser facilmente integrada entre os pontos (1) e (2) doescoamento se o mesmo for incompressível:


� Esta equação é a Equação de Bernoulli pra Escoamento Invísci dos,Incompressíveis e em Regime Transitório.

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EXEMPLO 3.16 – pág. 126� Um escoamento simples aonde os efeitos transitórios são dominante é

aquele da oscilação de uma coluna de líquido no tudo em U (veja afigura abaixo). Quando a coluna é liberada de uma posição de nãoequilíbrio, ela oscilará numa freqüência definida. Determine estafreqüência admitindo que os efeitos viscosos não são importantes.


� SOLUÇÃO:

� A freqüência da oscilação pode ser calculada pela equação:

� (1)

� Admita que os pontos (1) e (2) estão localizados nas interfaces ar-águadas duas colunas do tubo e que z = 0 corresponde a posição deequilíbrio das interfaces.

� Assim, p1 = p2 = 0 e se z1 = z temos que z2 = - z. Note que z é umafunção do tempo, z = z(t).

� Para um tubo em U com diâmetro constante, a velocidade do fluido notubo é constante V1 = V2 = V em qualquer instante e a integral querepresenta o efeito transitório da Equação anterior pode ser escritacomo:

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� Onde l é o comprimento total da coluna e líquido (veja a figura desteexemplo). Assim, a Equação (1) pode ser transformada em:

� Como V = dz/dt e γ = ρ.g, esta equação pode ser escrita como umaequação diferencial de segunda ordem ( igual àquela que descreve osmovimentos harmônicos simples da mecânica), ou seja:

(2)


� Cuja solução é z(t) = C1 sen ((2g / l)1/2 t) + C2 cos ((2g / l)1/2 t).

� Os valores das constantes C1 e C2 dependem do estado inicial(velocidade e posição) do líquido no instante t = 0. Assim, o líquidooscila no tubo com uma freqüência ω = (2 g / l)1/2.

� Observe que esta freqüência é função do comprimento da coluna e daaceleração da gravidade (de modo similar as oscilações em umpêndulo).

� O período desta oscilação ( o tempo necessário para completar umaoscilação é) t0 = 2π (l / 2g)1/2.

� Nós podemos retirar o caráter transitório de alguns escoamentos com aadoção de um sistema de coordenada adequado. Como será mostradono exemplo a seguir.

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EXEMPLO 3.17 – pág. 127� A Figura abaixo mostra um submarino navegando numa profundidade

de 50 m e com velocidade, V0 igual a 5,0 m/s. considerando que adensidade (SG) da água do mar é 1,03, determine a pressão deestagnação no ponto (2).


� SOLUÇÃO:

� O escoamento em torno do submarino é transitório para um sistema decoordenada solidário ao fundo do oceano. Por exemplo, a velocidade noponto (1) é nula se o submarino está em sua posição inicial mas noinstante em que o nariz do submarino, no ponto (2), alcança o ponto (1)a velocidade se torna igual a V1 = - V0 i. Assim, ∂V1 / ∂ t ≠ 0 e oescoamento é transitório.

� Se aplicarmos a Equação de Bernoulli para escoamento em regimepermanente entre os pontos (1) e (2) nós obteríamos “p1 = p2 + ρV2/ 2”.

� Este resultado está errado porque a pressão estática é sempre menordo que a pressão de estagnação. Note que este resultado absurdo éuma decorrência da aplicação inadequada da Equação de Bernoulli.

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� Nós podemos analisar o escoamento em regime transitório (o que estáfora do escopo deste texto) ou redefinir o sistema de coordenadas paraque o escoamento perca seu caráter transitório.

� Se tomarmos um sistema de coordenada solidário ao submarino, oescoamento em torno do submarino ocorre em regime permanente.Aplicando a Equação de Bernoulli, temos:

� Note que este resultado é similar aquele do Exemplo 3.2.

� Se o submarino estivesse acelerado, ∂V0 / ∂t ≠ 0, o escoamento seriatransitório nos dois sistemas de coordenadas apresentados e nósseríamos obrigados a utilizar a forma da equação de Bernoulliadequada a escoamento transitórios.


� Alguns escoamentos transitórios podem ser modelados como “quasepermanentes” e resolvidos utilizando a equação de Bernoulli referente aescoamentos em regime permanente.

� Nestes casos, os efeitos transitórios “não são muito grandes” e osresultados para regime permanente podem ser aplicados em cadainstante do tempo como se o regime do escoamento fosse permanente.

� O esvaziamento de um tanque que contém um líquido é um exemplodeste tipo de escoamento.

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3.8.5 – EFEITOS ROTACIONAIS

� Outra restrição da utilização da Equação de Bernoulli é que esta sópode ser aplicada ao longo de uma linha de corrente.

� A aplicação da Equação de Bernoulli entre linhas de correntes podelevar a erros consideráveis, dependendo das condições do escoamentoque está sendo analisada.

� Porque a constante de Bernoulli varia de uma linha de corrente paraoutra.

� Entretanto sob certas restrições, estas constantes são iguais em todo oescoamento.

� O Exemplo a seguir ilustra este fato.


� Considere o escoamento uniforme no canal mostrado na Figura abaixo.Discuta a utilização da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2),(3) e (4) e os pontos (4) e (5). Admita que o líquido contido no tubopiezométrico está imóvel.

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� SOLUÇÃO:

� Se o escoamento é invíscido, incompressível e ocorre em regimepermanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e(2), fornece:

� Como V1 = V2 = V0 e z1 = z2 = 0 segue que p1 = p2 = p0 e a constante daEquação de Bernoulli para esta linha de corrente, C12 é dado por:


� Analisando a linha de corrente que passa por (3) e (4) nós notamos queV3 = V4 = V0 e z3 = z4 = h.

� Como foi mostrado no Exemplo 3.5, a aplicação de F = m.a na direçãonormal à linha de corrente, fornece que p3 = p1 - γh porque as linhas decorrente são retilíneas e horizontais.

� Estes fatos combinados com a Equação de Bernoulli aplicada entre ospontos (3) e (4) mostram que p3 = p4 e que a constante de Bernoulli aolongo desta linha de corrente é igual àquela da linha de corrente entreos pontos (1) e (2). Ou seja, C34 = C12, ou:

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� Argumentos similares podem ser utilizadas para mostrar que aconstante de Bernoulli é a mesma para qualquer linha de corrente doescoamento mostrado na Figura deste Exemplo. Assim:

� No Exemplo 3.5 nós mostramos que p4 = p5 + γH = γH . Se nósaplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (4) e (5) nósobteríamos o resultado “H = p4 / γH + V4

2 / 2g” que é incorreto pois oresultado correto é H = p4 / γ.

� A solução deste exemplo mostra que nós podemos aplicar a Equaçãode Bernoulli na direção normal a linhas de correntes (1) – (2) e (3) – (4)(i.e. C12 = C34) mas não entre as linhas de correntes (por exemplo, entreos pontos (4) para (5)).

EXEMPLO 3.18 – pág. 128� A razão para isto é que o escoamento é rotacional. Como o perfil de

velocidade do escoamento no canal é uniforme as partículas de fluidonão giram ou “rodam” quando elas se movem e por isso o escoamentoé denominado irrotacional.

� Entretanto como podemos ver na Figura abaixo;

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� Existe uma região muito fina entre os pontos (4) e (5) em que aspartículas de fluido interagem e isto as faz girar. Isto produz oescoamento rotacional. Uma análise mais complexa mostra que aEquação de Bernoulli não pode ser aplicada entre as linhas de correntese o escoamento é rotacional.

� Foi mostrado neste exemplo que é válido aplicar a Equação deBernoulli entre linhas de corrente se o escoamento for irrot acional(i.e. as partículas de fluido não giram durante seu moviment o) eque a aplicação desta Equação está restrita a linha de corren te seo escoamento não for rotacional.

� A distinção entre escoamento irrotacionais e rotacionais as vezes é sutile estes tópicos serão analisados novamente no Cap. 6.

3.8.4 – OUTRAS RESTRIÇÕES

� Para aplicar a Equação de Bernoulli, o escoamento deve ser invíscido.

� Porque na ausência de efeitos viscosos, o sistema fluido consideradoconservativo (a energia mecânica total do sistema permanececonstante. Se isso não ocorre o sistema não é conservativo e ocorreperda de energia mecânica.

� Outras restrição é que entre dois pontos da mesma linha de correntenão pode existir dispositivos mecânicos, tipo bombas ou turbinas.

� Bombas – Fontes de Energia.� Turbinas – Sumidouros de Energia.

� Portanto, quando há presença de um destes dispositivos a Equação deBernoulli deve ser alterada.

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