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Introdução à Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro Sólido Líquido Gás Mantém sua forma, independente do recipiente. Assume a forma do recipiente, mantendo uma superfície livre. Expande-se ocupando todo o recipiente fechado. Moléculas presas em uma estrutura por grandes forças intermoleculares. Embora apresente grandes forças intermoleculares, estas apresentam boa mobilidade. Pequenas forças de interação entre as moléculas, exceto nas colisões. Altas densidades. ρ Fe = 7700 kg/m 3 . Médias densidades ρ água = 1000 kg/m 3 . Baixas densidades ρ ar = 1,2 kg/m 3 (nível do mar). Fluido

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  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Slido Lquido Gs

    Mantm sua forma, independente do

    recipiente.

    Assume a forma do recipiente,

    mantendo uma superfcie livre.

    Expande-se ocupando todo o

    recipiente fechado.

    Molculas presas em uma estrutura

    por grandes foras intermoleculares.

    Embora apresente grandes foras

    intermoleculares, estas apresentam boa

    mobilidade.

    Pequenas foras de interao entre as

    molculas, exceto nas colises.

    Altas densidades. Fe = 7700 kg/m3. Mdias densidades gua = 1000 kg/m

    3. Baixas densidades ar = 1,2 kg/m3

    (nvel do mar).

    Fluido

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

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    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

    Ar e gua so compostos por molculas

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    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

    Ar e gua so compostos por molculas

    As molculas em cada fluido esto em movimento

    contnuo e aleatrio

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

    Ar e gua so compostos por molculas

    As molculas em cada fluido esto em movimento

    contnuo e aleatrio

    Na fase lquida h fortes foras de coeso e de

    repulso entre as molculas

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

    Ar e gua so compostos por molculas

    As molculas em cada fluido esto em movimento

    contnuo e aleatrio

    Na fase lquida h fortes foras de coeso e de

    repulso entre as molculas

    O lquido apresenta uma superfcie livre

    enquanto que o gs se expande para ocupar

    todo o recipiente que o contm

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Fluido

    Similaridades: Diferenas:

    Ar e gua so fluidos

    Ar e gua so compostos por molculas

    As molculas em cada fluido esto em movimento

    contnuo e aleatrio

    Na fase lquida h fortes foras de coeso e de

    repulso entre as molculas

    O lquido apresenta uma superfcie livre

    enquanto que o gs se expande para ocupar

    todo o recipiente que o contm

    Lquidos so muito difceis de comprimir

    enquanto que gases so facilmente

    comprimidos

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Fluido: Substncia que se deforma continuamente sob esforo tangencial,

    no importando o quanto pequeno seja este esforo. No apresenta forma

    prpria e incapaz de permanecer em repouso quando sujeito a esforos

    de cisalhamento.

    O bloco slido acima deforma-se

    em funo da aplicao da fora F.

    Desde que o limite elstico do

    material no seja excedido, a

    deformao ser proporcional ao

    esforo tangencial, e o slido

    retornar forma anterior aps

    retirada esta tenso.

    Quando o meio entre as duas placas

    infinitas e paralelas acima um fluido,

    este deforma-se continuamente

    enquanto a fora estiver atuando (por

    menor que esta seja). O fluido em

    contato com a placa tem a mesma

    velocidade desta. No ocorre

    deslizamento na zona de contato. Este

    fato conhecido como a condio de

    no deslizamento, observada e

    confirmada por vrias experincias.

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    naodesliz.mov

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    A Mecnica dos Fluidos estuda o comportamento dos

    fluidos em repouso e em movimento.

    Sistema:

    Certa quantidade definida de massa

    fluida. Os limites do sistema isolam-

    no do meio que o circunda (no que

    diz respeito massa).

    Os limites do sistema podem ser

    fixos ou mveis, mas no se verifica

    transporte de massa atravs destes

    limites.

    Volume de Controle:

    Para estudar o escoamento dos fluidos

    muito difcil focar a ateno em certa

    quantidade de massa fluida identificvel.

    muito mais conveniente focalizar a

    ateno em certo volume do espao

    atravs do qual escoa o fluido. Volume de

    controle um volume arbitrrio no

    espao, atravs do qual um fluido escoa. O

    seu contorno geomtrico chamado de

    superfcie de controle.

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mtodos descritivos:

    Quando fcil seguir elementos identificveis de massa, empregamos o

    mtodo descritivo que acompanha partculas. Este procedimento

    chamado de mtodo Lagrangiano. Por outro lado, principalmente quando

    lidamos com volumes de controle adotamos o mtodo descritivo de

    campo ou Euleriano, que orienta a ateno para as propriedades de

    escoamento em dado ponto do espao em funo do tempo.

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    O fluido como contnuo:

    Trataremos qualquer fluido como substncia que pode ser dividida ao

    infinito, um contnuo, sempre mantendo suas propriedades, sem nos

    preocuparmos com o comportamento individual de suas molculas.

    Como conseqncia, qualquer propriedade de um fluido tem valor

    definido em cada ponto do espao.

    Densidade, Temperatura, Velocidade e outras propriedades so funescontnuas do espao e do tempo.

    A hiptese do contnuo falha quando o livre caminho mdio de coliso

    entre as molculas torna-se da mesma ordem de grandeza da menor

    dimenso caracterstica do problema estudado. Por exemplo no

    escoamento dos gases rarefeitos (vos em altas camadas da atmosfera).

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Determinao da densidade em um ponto:

    Densidade: Quantidade de massa contida na unidade de volume [ ].

    A densidade mdia em todo o volumeV dada por

    Em geral, este valor no o mesmo em todos os pontos de V.

    A densidade em torno do ponto C na figura dada por

    Mas, de que tamanho deve ser V?

    V

    m

    V

    mC

    V

    mVVc

    lim

    Resposta:

    Existe um valor limite inferior V

    que quando V torna-se menor

    que ele e contm um pequeno

    nmero de molculas no mais

    possvel definir m/ V .

    Portanto:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    O fluido como contnuo:

    Os fluidos so compostos de molculas em movimento constante, onde ocorrem

    colises freqentes. Para se analisar com exatido, deve-se considerar a ao de cada

    molcula ou grupo de molculas em um escoamento. Tais consideraes so pouco

    prticas na maioria dos problemas. Interessam as manifestaes mdias mensurveis de

    vrias molculas (por exemplo: densidade, presso, temperatura...). Pode-se considerar

    que surjam de uma distribuio conveniente da matria, que denominamos de

    contnuo, ao invs de um aglomerado de molculas discretas. Ou seja, no estudo dos

    fluidos desprezam-se o espaamento e atividade moleculares, considerando-o como um

    meio contnuo que pode ser dividido infinitas vezes em partculas fluidas entre as quais

    se supe no haver vazios.

    (FONTE: Apostila CEFET-SP)

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    O fluido como contnuo:

    Todos ns estamos familiarizados com os fluidos, sendo os mais comuns a gua e o ar, e os tratamoscomo lisos e suaves, isto , como sendo meios contnuos. No podemos estar seguros da naturezamolecular dos fluidos, a menos que utilizemos equipamentos especializados para identific-la. Essaestrutura molecular tal que a massa no est distribuda de forma contnua no espao, mas estconcentrada em molculas que, por sua vez, esto separadas por regies relativamente grandes deespao vazio. Nesta seo, discutiremos sob quais circunstncias um fluido pode ser tratado como umcontnuo, para o qual, por definio, as propriedades variam muito pouco de ponto a ponto.

    A hiptese do contnuo vlida no tratamento do comportamento dos fluidos sob condies normais.Ela falha, no entanto, quando a trajetria mdia livre das molculas*, o livre caminho mdio, torna-se damesma ordem de grandeza da menor dimenso caracterstica significativa do problema. Isto ocorre emcasos especficos como no escoamento de um gs rarefeito. Nestes problemas especiais (no tratadosneste curso), devemos abandonar o conceito de contnuo em favor dos pontos de vista microscpico eestatstico.

    Como conseqncia da hiptese do contnuo, cada propriedade do fluido considerada como tendoum valor definido em cada ponto do espao. Desta forma as propriedades dos fluidos (massaespecfica, temperatura, velocidade,...) so consideradas funes contnuas do espao e do tempo.

    *Aproximadamente 6 x 10-8m para molculas de gs que se comporta como um gs perfeito nas STP(StandardTemperature and Pressure) ou CPPT (Condio Padro de Presso eTemperatura)

    STP = CPPT = CNTP 15C e 101,3 kPa.

    (FONTE: Livro McDonald-Fox)

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Lei dos gases ideais:

    onde P a presso absoluta; V o volume; n o nmero de moles, a constante universal dos gases, e T a temperatura absoluta.

    A constante universal dos gases 8,314 kJ/kmol-K.

    A equao acima pode ser escrita como:

    Onde M o peso molecular do gs. O produto entre o nmero de moles e o peso molecular a massa do gs. O quociente entre a constante universal e o peso molecular a constante do gs R. Ento:

    TRnPV

    R

    TM

    R

    V

    nMP

    RTP volume

    massa

  • Se determinarmos a densidade em um grande nmero de pontos no Volume, V, ao longo dotempo obteremos = f(x,y,z,t) que chamamos de Campo de Densidades.

    Uma partcula fluida uma pequena massa de fluido, com identidade fixa, com volume V.

    A velocidade no ponto C a velocidade instantnea da partcula fluida que, em dadoinstante, passa por C. Novamente, se definirmos a velocidade em um grande nmero depontos, teremos a completa representao das velocidades (Campo de velocidades).

    O vetor velocidade pode ser expresso em termos de suas trs componentes escalares:

    Se as propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, no variam com o tempo, oescoamento dito PERMANENTE. Ou seja, qualquer propriedade pode variar de umponto a outro, mas todas permanecem constantes em cada ponto com o tempo:

    Onde uma propriedade qualquer do escoamento.

    Introduo Mecnica dos Fluidos

    tzyxfV ,,,

    kwjviuV

    0

    t

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Se V = f(x,y,z,t) dizemos que o escoamento tridimensional e no-permanente.

    O escoamento mostrado na figura abaixo, cuja velocidade obtida pela equao ao lado uni, bi outridimensional?

    Linhas de Corrente so linhas tangentes direo do escoamento em todos os pontos do campo.Desta forma, no h escoamento atravs (cortando) das linhas de corrente.

    Para este sistema de coordenadas (cilndricas, V=f(x, r, )) a velocidade definida em funo de apenas uma ordenada, r, portanto o escoamento unidimensional.

    Introduo Mecnica dos Fluidos

    2

    max 1R

    ruu

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Lin_corr_Pt_estagnacao.mov

  • dt

    d

    tt

    lim

    0

    Introduo Mecnica dos Fluidos

    Consideremos o elemento de fluido entre as duas placas paralelas. A

    placa superior move-se com velocidade constante u, sob ao da fora

    constante Fx.

    Durante um intervalo de tempo t o elemento deforma-se conforme

    mostrado na figura. A taxa de deformao dada pela relao abaixo:

    Taxa de deformao =

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Taxa de deformao =

    A distncia L entre M e M obtida por:

    tul Para pequenos ngulos:

    yl

    Ento:

    y

    u

    t

    Tomando-se os limites dos dois lados:

    dy

    du

    dt

    d

    dy

    du

    dt

    d

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    A tenso tangencial (ou de cisalhamento) definida por:

    dA

    dF

    A

    F XX

    A

    lim

    0

    Para a maioria dos fluidos, as tenses tangenciais so proporcionais taxa de deformao.

    Quando isto ocorre, os fluidos so denominados FLUIDOS NEWTONIANOS.

    dy

    du

    dy

    du

    A constante de proporcionalidade a VISCOSIDADE, tambm denominada VISCOSIDADE

    ABSOLUTA ou DINMICA.

    Se dividimos a viscosidade absoluta pela massa especfica, obtemos a VISCOSIDADE

    CINEMTICA:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    A viscosidade retrata a resistncia que o fluido impe ao cisalhamento. Os fluidos de maior

    viscosidade apresentam uma maior resistncia deformao.

    Os fluidos nos quais a tenso de cisalhamento no diretamente proporcional taxa de

    deformao so os FLUIDOS NO NEWTONIANOS.

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Viscosidade.mov

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    DESCRIO E CLASSIFICAO DOS MOVIMENTOS DE FLUIDOS

    Mecnica dos Fluidos

    No viscoso

    = 0Viscoso

    Laminar Turbulento

    Interno ExternoCompressvel Incompressvel

    No escoamento de fluidos no viscosos a viscosidade supostamente nula. Este fluido no existe,

    mas, em alguns casos, a hiptese = 0 simplifica a anlise e conduz a resultados satisfatrios.

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

  • Massa especfica do fluido

    V Velocidade do fluido

    D Dimetro do tubo

    Viscosidade dinmica do fluido

    Viscosidade cinemtica do fluido

    Introduo Mecnica dos Fluidos

    DESCRIO E CLASSIFICAO DOS MOVIMENTOS DE FLUIDOS

    Laminar Um escoamento laminar aquele em que as partculas fluidas movem-se em

    camadas, ou lminas.

    No escoamento turbulento as partculas fluidas rapidamente se misturam,

    enquanto se movimentam ao longo do escoamento, devido s flutuaes

    aleatrias no campo tridimensional de velocidades.

    Turbulento

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    No caso de escoamento de fluido incompressvel em duto, sua natureza determinada

    pelo valor do nmero de Reynolds.

    VDVDRe

    O escoamento em dutos laminar quando Re 2300

    lam_turb.mov

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    A CAMADA LIMITE:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Escoamento de fluido viscoso sobre placa semi-infinita:

    As tenses de cisalhamento afetam o escoamento.

    UA = UA = 0 Condio de no deslizamento

    A placa parada d origem a esforos de retardamento do fluxo (desacelera o fluido nas proximidades).

    Para 0 y yB teremos 0 u U

    Na regio 0 y yB as tenses tangenciais esto presentes.

    Para y > yB o gradiente de velocidades nulo e, portanto, no esto presentes as tenses tangenciais.

    A placa influencia regies maiores do campo de escoamento medida em que caminhamos no sentido do fluxo.

    yB > yB e uC < uC

    A regio prxima da placa onde se faz sentir a ao das tenses tangenciais a camada limite.

    A camada limite na figura acima est BEM exagerada!

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Escoamento Permanente de fluido incompressvel ao redor de um cilindro:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    O ponto A divide o escoamento e chama-se ponto de estagnao.

    A distribuio das velocidades fora da camada limite pode ser

    determinada pelo espaamento entre as linhas de corrente

    (a velocidade aumenta quando o espaamento diminui).

    Escoamento de fluido no viscoso:

    Linhas de corrente simtricas em relao aos eixos x e y.

    A velocidade obtm um valor mximo na altura do ponto D.

    Se cresce a velocidade, decresce a presso e vice-versa. A presso atinge um valor mnimo na altura do

    ponto D.

    Devido simetria a distribuio de presses tambm simtrica em relao a x e y.

    A resultante de foras nos eixos x e y nula (FX = Farrasto = 0) o que contraria a experincia.

    Neste caso despreza-se a presena da camada limite.

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Escoamento Permanente de fluido incompressvel ao redor de um cilindro:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Escoamento de fluido viscoso:

    Como a presso decresce continuamente entre os pontos A e B, um

    elemento de fluido no interior da camada limite sofre certa fora de

    presso no sentido do escoamento, suficiente para vencer a

    resistncia da tenso tangencial, e o elemento de fluido se move no

    sentido do escoamento.

    Alm do ponto B, atrs do cilindro, a presso aumenta no sentido do escoamento, o elemento de fluido ir

    sofrer certa fora de presso em sentido oposto ao escoamento.

    A quantidade de movimento do fluido no interior da camada limite insuficiente para transportar o

    elemento de fluido para regies de maior presso. As camadas de fluido adjacentes superfcie slida sero

    levadas ao repouso e o fluido se descolar da superfcie. O ponto em que isto ocorre chama-se ponto de

    descolamento.

    O descolamento da camada limite tem como conseqncia a formao de uma regio de relativamente

    baixa presso atrs do corpo. Essa regio, deficiente em quantidade de movimento, chama-se esteira. Desta

    forma, existe um desequilbrio de foras de presses no sentido do escoamento, resultando no arrasto que

    atua no corpo. Quanto maior a esteira, maior ser o arrasto.

  • Introduo Mecnica dos Fluidos

    Escoamento Permanente de fluido incompressvel ao redor de um cilindro:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Como reduzir o arrasto?

    Como a esteira resulta do descolamento da camada limite, que, por

    sua vez, est relacionado com gradientes adversos de presso

    (aumento da presso no sentido do escoamento), reduzir os

    gradientes significa reduzir a possibilidade de descolamentos e,

    conseqentemente, reduzir os arrastos.

    O corpo convenientemente perfilado reduz o gradiente adverso de presso em virtude da difuso do

    acrscimo de presso em distncia maior. Desta forma, a possibilidade de descolamento diminui e o arrasto

    fica significativamente reduzido.

  • Quando M < 0,3 os gases podem ser

    tratados como fluidos incompressveis

    (variaes de densidade inferiores a 5%)

    Introduo Mecnica dos Fluidos

    Escoamentos compressveis e Incompressveis:

    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    Os escoamentos onde as variaes de densidade do fluido so desprezveis denominam-se

    incompressveis. Quando estas variaes no podem ser desprezadas os escoamentos so ditos

    compressveis.

    Para a maioria dos casos prticos os escoamentos de lquidos so incompressveis.

    Os gases tambm podem se comportar como fluidos incompressveis desde que a velocidade do

    escoamento seja pequena em relao velocidade do som.

    M = nmero de Mach,

    V = velocidade do fluido,

    c = velocidade do som

    c

    VM

    O golpe de arete, ou martelo hidrulico, causado pela propagao e reflexo de ondas acsticas em um

    lquido confinado, (por exemplo, quando uma vlvula bruscamente fechada numa tubulao).

    A cavitao ocorre quando bolhas ou bolsas de vapor se formam em um escoamento lquido como

    conseqncia de redues locais na presso (por exemplo, nas extremidades das ps da hlice de um

    barco a motor). O crescimento e o colapso ou imploso de bolhas de vapor em regies adjacentes a

    superfcies slidas podem causar srios danos por eroso a estas superfcies.

    O golpe de arete e a cavitao so exemplos da importncia dos efeitos de compressibilidade nos

    escoamentos de lquidos.

    Escoamentos compressveis aparecem em : sistemas de ar comprimido; gases em tubulaes a altas

    presses; controles pneumticos e hidrulicos; projeto de aeronaves modernas; ventiladores;

    compressores, etc.

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    Mecnica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

    MDULO DE ELASTICIDADE, EV:

    a propriedade que relaciona variaes de presso na mudana de volume (expanso ou contrao).

    Expressa a razo entre variao de presso e a frao de variao em volume.

    Como a frao de variao em volume (dV/V) negativa para um dp positivo, o sinal negativo usado na

    definio para fornecer um valor positivo de EV. A elasticidade frequentemente chamada de

    compressibilidade do fluido. A frao de variao em volume relacionada com a variao da densidade do

    material:

    E o mdulo de elasticidade pode ser escrito:

    EV da gua aproximadamente 2,2 GPa, o que corresponde a uma variao de 0,05% no volume para um

    aumento de 1MPa na presso. O que justifica a considerao da gua como incompressvel ( apresenta uma

    pequena variao em volume para uma elevada alterao na presso).

    O mdulo de elasticidade tambm pode ser chamado de mdulo de compressibilidade ou coeficiente de

    compressibilidade.

    VdV

    dpEV

    Vm

    0 VddVdm dVVd V

    dVd

    ctem

    d

    dpEV