Mecanica Dos Fluidos - UFPE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOCENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCINCIAS (CTG)DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA (DEMEC)

MECNICA DOS FLUIDOS 2 ME262Prof. ALEX MAURCIO ARAJO (Captulo 4)

Recife - PE

Captulo 4 Anlise integral de volumes de controle1 Leis bsicas para um sistema. Lei da conservao da massa. Segunda lei de Newton. Momento da quantidade de movimento. Primeira Lei da Termodinmica. Segunda Lei da Termodinmica. 2 Formulao das leis bsicas para VC. Teorema de transporte de Reynolds. Significado fsico dos termos. 3 Lei da conservao da massa (LCM) para VC. Casos especiais. Vazo volumtrica. Velocidade mdia em uma seo. Vazo mssica. Influxos e efluxos de massa. Exemplos. Critrios para seleo de (VC) e (SC) adequados. 4 Quantidade de movimento para VC inercial. Fixo e com velocidade constante. Exemplos prticos. 5 Propulso a jato. Equao da quantidade de movimento para VC sob acelerao retilnea. Exemplos. 6 Momento da quantidade de movimento. Mquinas de fluxo. Momento de Impulso. Caractersticas. Turbinas. Bombas. Ventiladores, sopradores e compressores. Escoamento pelo rotor. Exemplos. Anlise das turbomquinas. Equao de Euler das turbomquinas. Exemplos. Visualizao das velocidades no rotor. Seccionamento de rotor e tringulos de velocidades em mquinas de fluxo axial. Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo. Tipos de ps. 7 Primeira Lei da Termodinmica para VC. Trabalho do fluxo para realizar uma variao de volume no S ou VC. Exemplos. Capacidades de gerao eltrica (Potncia instalada). Composio da Matriz Energtica Global Utilizada. 8 Segunda Lei da Termodinmica para VC. Exemplo.

Equaes bsicas, na forma integral, para um S Conservao de Massa

A Segunda Lei de Newton

0 (LCM)

O Princpio do Momento da Quantidade de Movimento / Princpio da Quantidade de Movimento Angular

0

A Primeira Lei da TermodinmicaConveno + :

s

A Segunda Lei da Termodinmica

Prximo objetivo: obteno da formulao das leis bsicas para VC, da formulao para S.

VC

S

N qualquer propriedade extensiva do S (M, P, H, E, S) propriedade intensiva correspondente

Teorema de transporte de Reynolds

(I massa nova que entra no VC)

(III massa que sai)

(MVEL) (FIXO)

Configuraes do sistema e do volume de controle.

Total - Taxa de variao do parmetro N extensivo do S Temporal - Taxa de variao de N no VC Fluxo Vazo resultante de N atravs da SC

Teorema de transporte de ReynoldsSC1 S VMvel com V do fluido

SC2 VC V

S e VCN

N

VC V

N

S

y x ( t t)

y x (t) ; vetores ; M; E; S) escalares Intensiva

y x ( t + t) Extensiva

N parmetro fsico (

N / m (independe da massa) Em ( t ) Anlise dimensional:

(1,2)

OBJETIVO: expressar a taxa de variao da propriedade N para um S em termos das variaes dessa propriedade associadas com o VC. t0 fronteiras do S e VC coincidem. y x z* H um fluxo contnuo de fluido S passando pelo VC!

(t0 + dt) o S ocupa as regies II e III.massa que entra no VC durante dt trazida pelo novo S sucessor*.

S e VC

VCI II III

Smassa do S que deixou o VC durante dt

Da definio de derivada:

Porm:

Ento:

Como o limite da soma igual soma dos limites: Associados ao fluxo do S pelo VC

Teorema de transporte de ReynoldsN

Integral do fluxo da N passando pelas SCs do VC com velocidade

Lei da conservao da massa

N=M =1

dA

V

*dA

V VC

V dA > 0 (efluxo)

Taxa de variao de M dentro do VC

Fluxo de massa resultante pela SC

* V dA < 0 (influxo)

> 0 efluxo < 0 influxo = 0 tangencia a SC

V dA = 0

dA

V

Casos especiais1 Escoamento incompressvel ( = (x, y, z, t) = cte) ( )Para um VC no deformvel, = cte,

= QR

Em escoamento incompressvel, a vazo volumtrica resultante QR (entra e sai) pelas SC do VC nula.

dA 1 V

VC 2

dA V

Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.

Definio de Vazo Volumtrica: Vazo volumtrica Velocidade mdia em uma seo

2 Escoamento permanente ( = (x, y, z))0 (vazo mssica)

Em escoamento permanente, a QM entrando em um VC deve ser igual QM saindo.

Definio de Vazo Mssica:

QM = Q ( = cte em A) Vazo mssica

3 Escoamento uniforme na seo ( velocidade cte . na rea da seo )Se a tambm cte., a integral de fluxo fica:

+ efluxo - influxo

Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.

(Exerccios resolvidos do Fox)

Critrios para seleo de (VC) adequado o VC deve cortar o lugar onde a informao desejada; o VC deve cortar lugares onde um mximo de informao conhecida; se usar LCQM, o VC no deve cortar paredes slidas, pois expor tenso, foras e momentos desconhecidos, dificultando o clculo da fora desejada; locar o VC em referencial em relao ao qual o escoamento seja permanente.

Critrios para seleo das (SCs) adequada nas SCs devem ser bem determinadas: ( , V e p ) do fluxo em estudo

A as SCs devem ser: - paralelas s velocidades do fluxo V dA = 0

V SC

V

A

- ortogonais s velocidades do fluxo V dA = V dA

AV

A V

SC as SCs devem se localizar em trechos onde a distribuio das velocidades do fluxo seja uniforme ou a mais simples possvel.

V dA = V A

A SC

V

Perfil uniforme na seo da SC.

Quantidade de movimento para VC inercial (2 LN)

onde

so atuantes sobre o (S).

N= =

A soma de todas as foras atuando sobre um VC no submetido a acelerao, igual soma da taxa de variao da quantidade de movimento dentro do VC com a taxa resultante de fluxo da quantidade de movimento pelas superfcies de controle (SC).

Em relao a um sistema de coordenadas (x, y, z) os componentes escalares so:

Fluxo da quantidade de movimento na direo x:A) Achar o sinal de :

B) Determinar o sinal de cada componente da velocidade da escolha do sistema de coordenadas:

. O sinal depende .

Ancoragem

Fora de arrasto em placa plana

Volume de controle mvel (inercial VVC = cte)

VflY X (Referencial fixo, absoluto ou inercial)

abs

Wfl

yrel

x

VVC

abs

Wfl

rel =

Vfl

abs

- VVC

abs

Vfl

abs

- Velocidade absoluta do fluido (ref. Fixo) Velocidade absoluta do VC (ref. Fixo)

A diferena entre as velocidades absolutas a velocidade do fluido vista do referencial mvel ou Wfl rel .y Y x

VVC

abs -

Wfl

rel

- Velocidade relativa do fluido (ref. Mvel)

Wflabs

rel

VVC

abs

VflX

Vfl

abs =

Wfl

rel

+ VVC

abs

Volume de controle (VC) movendo-se a velocidade constanteVCy Y x

S

X

Teorema de transporte de ReynoldsA) Todas as velocidades sejam medidas em relao ao VC; B) Todas as derivadas referidas ao tempo sejam medidas em relao ao VC.

As

seriam vistas por um observador movendo-se a velocidade constante com o VC (Wfl

rel

).

Supor que a magnitude da velocidade relativa ao longo da aleta constante. Desprezar atrito de contato. Mdulo do vetor velocidade na entrada e sada da p defletora. V1 = 0 ; U1 = V U V2 = (V U) sen ; U2 = (V U) cos

Componentes do vetor velocidade na entrada (1) e sada (2) do defletor.

Turbina Pelton

Propulso a jato

Suprefcie de controle adotada para obteno da fora de propulso de um turbo-jato. Supe-se distribuio uniforme de velocidades transversais A1 e A2.

Pela LCM : 1V1 A1 = 2V2 A2 Pelo fluxo de calor recebido na turbina: 2 > V1 Fc = Q V , onde Q = 1 Q1 = 2 Q2 0 (RP)

A1

VC

A2

Equao da quantidade de movimento para VC sob acelerao retilneasY y

Da equao do movimento relativo, ou vetorialmente:

vcx

X

- a acelerao retilnea do sistema em relao ao referencial inercial XYZ; - a acelerao retilnea do sistema em relao ao referencial no-inercial xyz; - a acelerao retilnea do referencial no-inercial xyz em relao ao referencial inercial XYZ.

Sabe-se que:

Do Teorema de transporte de Reynolds: N = , .

termo extra Para y: vxyz Ex: Em x: Para z: wxyz

- a acelerao do VC vista por um observador no sistema de coord. YX. a taxa de variao com o tempo da quantidade de movimento do fluido, segundo o eixo y, no VC, e medida em relao a ele. Fsy = 0 - ejeta gs a patm (patm atua em todas SCs do VC!) - despreza resistncia do ar

( MVC funo de t!)Para achar MVC (t), usa-se a LCM:

- o combustvel no queimado e a estrutura do foguete tm quantidade de movimento nula em relao ao foguete; - a velocidade do gs na sada do bocal constante no tempo.

Momento da quantidade de movimento

Momento da quantidade de movimentoEquao

Aplicaes: Turbomquinas de fluxo centrfugo / radial

Exemplos:

Bomba centrfuga

Soprador centrfugo

Turbocompressor em motores a exploso aproveita os gases de escape para injetar oxignio nos cilindros ( camara de combusto). Um turbocompressor inclui um par de rotores axial, ligados num s eixo, que giram de um lado como turbina e do outro como compressor.

Turbocompressor centrfugo

Turbomquinas de fluxo axial e misto

Turbinas hidrulicasAplicadas quando (Q ; H)

Exemplos de rotores:

Turbina Francis

Turbina Kaplan

Turbina Pelton

Mquinas de fluxo1 Generalidades: a) 1/3 da energia consumida nos EUA usada na indstria; b) 40-50% da energia industrial usada para acionar* bombas e compressores.(*Custo da energia fator de competitividade de setores industriais eletrointensivos (- Al; - Siderrgicas))

2 Atividades do Engenheiro Mecnico:Estudos e anlises

2 Mquinas de Srie (catlogos) desempenho vida til

2

Seleo

Projeto

3

3 Mquinas sob encomenda desempenho (?) vida til (?)

Aplicao

Construo

Instalao

Manuteno

3 Caractersticas: so aquelas em que o escoamento orientado pelas ps do rotor; as trocas de E entre o fluido e o rotor resultam de efeitos dinmicos no escoamento;

ao contrrio das Mquinas Alternativas, as de fluxo no confinam o fluido.

4 Turbinas extraem energia do escoamento fluido. 4.1 Tipos: Ao / Impulso: so acionadas por um ou mais jatos livres acelerados em bocais externos. O rotor gira sem estar cheio do fluido (Pelton); Reao: um conjunto de ps fixas externas ao rotor (distribuidor) e de ps mveis (rotor) aceleram o fluido no 1 estgio. Eles funcionam cheios de fluido, por isto, para um dado tamanho, podem produzir mais potncia que as de Ao. (Francis, Kaplan)

5 Bombas

entregam energia ao escoamento lquido ou pastoso.

6 Ventiladores, sopradores e compressores entregam energia ao escoamento de gs e vapor.

Ventilador: fluxo se d sem compresso do fluido ( 1 H2O; 1 atm 10 mca 0,25% atm. )Soprador: d ligeira elevao de presso no fluido ( 1 Hg; 1 atm 30 in Hg 3,3% atm) Compressor: causam grandes elevaes de presso no fluido de trabalho ( 104atm 105mca)

Momento de ImpulsoVC no rotor da mquina de fluxo

Anlise das turbomquinas

0 (1)

0 (2)

0 (3)

Simplificaes: 1 ignorar torques das . 2 desprezar torques das 3 regime permanente.

(1 aproximao) . (simetria!)

Tei > 0 B, V, S, C. Tei < 0 T. Equao de Euler

V2 Vt2 Vn2 U2

- velocidade absoluta do fluido na sada do rotor (2) - componente tangencial da velocidade absoluta em (2) - componente normal (radial) rea de sada (2) - velocidade linear do rotor na sada (2) - velocidade angular do rotor

= ( U2Vt2 U1Vt1 ) QM

( potncia)

Visualizao das velocidades em um rotor de turbomquina ( Diagramas ou Polgonos de velocidades)

y

x

Y X

1,2 - ngulos da veloc. relativa p (yx) do fluido ao entrar/sair do rotor (tangente p). 1,2 - ngulos da veloc. absoluta (YX) do fluido ao entrar/sair do rotor. U2 - velocidade tangencial linear absoluta da ponta do rotor observada do referencial inercial YX.

Vrb2 - veloc. relativa p (yx - ref. no-inercial ) do fluido, na sada (2) do rotor.V2 = U2 + Vrb2 - velocidade absoluta do fluido observada do referencial inercial YX. Vt2 ,Vn2 - componentes tangencial e normal da velocidade absoluta na sada (2).

Seccionamento de rotor e tringulos de velocidades em mquinas de fluxo axial

Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo = P = FV = pAV = pQ = gHQ(altura)

Se o fluido entra no rotor com V1 radial Vt1 = 0, como Vt2 = U2 Vrb2 cos 2 , ento:

1 Lei da Termodinmica para VCs

N=E =e

I) Como:

A direo e sentido da fora so as do que coincidem com as do vetor . II) A direo e sentido da fora so da .

Ento:Eixo Mvel (Tei ) Trabalho de fluxo Taxa de W realizado pelo VC (para fora! + )

Modos de transferncia de trabalho

VC

Trabalho do fluxo

para realizar uma variao de volume no S ou VC

p

S Exterior

t=0

t = 0 + t

Como a taxa de W realizado pelo VC positiva e estamos obtendo a

realizada sobre o VC:

O sinal deve ser negativo porque se est obtendo a taxa de W realizada sobre o VC na SC.(Taxa de trabalho ou potncia do fluxo na SC por ao da tenso .)

Porm,

e como v = 1,0 , onde

, logo:

Observe que:

( fluxo de energia pela SC devido

)

2 membro:

h - entalpia Finalmente:

Obs:

. Se toma a SC perpendicular ao fluxo, ento:SC

Energia eltrica poderia ser acrescentada ao VC. Em geral, esto ausentes, porm se anota em uma formulao geral.

Exemplo: Estudo de caso - uso da LCE na anlise global relativa das eficincias das mquinas de fluido de fluxo hidrulicas e trmicas.Tese: a mquina mais eficiente seria a que extrairia maior potncia de eixo! Modelo: LCE para VC

0 (1)

0 (1)

0 (3)

Hipteses do Modelo: 1) VC adequado e 3) regime permanente. Assim:

2) fluido (ar ou gs) perfeito h = cpT

(h = cpT), ou separando em termos de fluxos de energias de vrios modos:

Fluxo de entalpia (h).

Fluxo de Ec

Fluxo de Epposio

Fazendo-se uma estimativa da magnitude das ordens de grandeza dos vrios fluxos (dos modos) de energia: 1) O fluxo de Epposio fica desprezvel em esc. de gases: 2) O fluxo de Ec pequeno em esc. baixas velocidades: (gz) 10m/s 10m 100 (m/s) (V/2) 80/2 3200 (m/s) 10 3) O fluxo de h dominante: (cpT) 1004 m/sK (50C + 273K) 325000 (m/s) 10

Concluses:

1) Quando se desconsidera os efeitos de trocas de calor que as Ec e Ep tornam-se importantes!

Turbinas a vapor e a gs:

Turbinas hidrulicas ou elicas:

Capacidades de gerao eltrica (Potncia instalada)1) A maior Usina de Energia Renovvel do Mundo Torre ( H = 1000m; D = 130m) Painel solar ( A = 20km; D 5 km; 2p = 16 km) deserto Austrlia 2009 Var 14 m/s 32 TEs Pinst. = 200MW Per capta consumo residencial: 250W/residncia 200MW/250W 800.000 consumidores residenciais.

2) Itaipu 20 turbinas cada uma com 700MW Pinst. = 14000MW (2007) (95% da energia consumida no Paraguai e 25% no Brasil) Cada turbina de Itaipu fatura U$15 milhes/ms (R$1milho/dia) Em 07/2007: custo da energia industrial R$206,00 MWh; operao contnua (24h/dia): 700MW R$3.460.800,00! 3) Complexo Rio Madeira (RO) Sto. Antnio: 3150MW; Jirau: 3300MW4) PE Usinas termoeltricas - Porto Suape usar coque de petrleo da refinaria Abreu e Lima ou carvo P = 350MW

Usina Solar - Austrlia(www.enviromission.com.au)

Itaipu

Termoeltrica - Suape

5) Complexo ChesfParque gerador: 14 UHE 1 Trmica Pinst. = 10.600 MW

Complexo

Ano

Potncia (MW)

PA-IPA-IIA PA-IIB PA-III Apolnio Sales

19541961 1967 1971 1977

180215 228 794 400

Sobradinho Itaparica Xing

1979 1988 1994

1050 1480 3162

O parque elico de Osrio um parque de produo de energia elica na cidade de Osrio, RS. composto por 75 torres de aerogeradores de 98 metros de altura e 810 toneladas cada uma. O parque tem uma capacidade instalada estimada em 150 MW (energia capaz de atender uma cidade de 700 mil habitantes), sendo a maior usina elica da Amrica Latina.

6) Matriz Energtica Brasileira

Empreendimentos em Operao Capacidade Instalada Total Tipo % N. de Usinas (kW) N. de Usinas (kW) Hidro 786 77.722.019 69,53 786 77.722.019 Natural 89 10.598.502 9,48 Gs 120 11.842.985 Processo 31 1.244.483 1,11 leo Diesel 762 3.715.894 3,32 Petrleo 782 4.981.088 leo Residual 20 1.265.194 1,13 Bagao de Cana 268 3.832.278 3,43 Licor Negro 14 1.023.798 0,92 Biomassa 329 5.194.375 Madeira 32 265.017 0,24 Biogs 8 41.874 0,04 Casca de Arroz 7 31.408 0,03 Nuclear 2 2.007.000 1,80 2 2.007.000 Carvo Carvo Mineral 8 1.455.104 1,30 8 1.455.104 Mineral Elica 33 414.480 0,37 33 414.480 Paraguai 5.650.000 5,46 Argentina 2.250.000 2,17 Importao 8.170.000 Venezuela 200.000 0,19 Uruguai 70.000 0,07 Total 2.060 111.787.051 100 2.060 111.787.051

% 69,53

10,594,46

4,65

1,80 1,30 0,37 7,31 100

Dados da ANEEL de 04-05-2009

Composio da Matriz Energtica Global Utilizada 80% combustveis fsseis 6% energia nuclear 13% energias renovveis Pela Constituio o Estado obrigado a fornecer energia e proteger o meio ambiente. - hoje operam 70.000MW ( PCHs 30MW ) Hidreletricidade (BR): - h potencial para mais 200.000MWCombustveis fsseis Energia Nuclear

Bahrain World Trade CenterEnergia Elica

www.e-architect.co.uk/bahrain/bahrain_wtc_wind_turbines.htm

2 Lei da Termodinmica para VC

N=S =s

T

dA S

VC

- Fluxo local de calor; - T temperatura local em A;extensiva intensiva

- entropia total do sistema.

RESUMO : Leis bsicas para um VCLCM: Quantidade de movimento linear: ( VC fixo)

( VC com = cte. observadas do VC.( VC com Quantidade de movimento angular: LCE:

- velocidades

)

( Equao de Euler) ( h = u + pv)

2 LTD:y Y x X Y y x XRef. no-inercial

Ref. inercial

FIM