Mecânica dos Fluidos.pdf

Mecnica dos Fluidos

2011Santa Maria - RS

Luciano Caldeira Vilanova

RIO GRANDEDO SUL

INSTITUTOFEDERAL

Presidncia da Repblica Federativa do Brasil

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

Ficha catalogrfica elaborada por Denise B. dos Santos CRB 10/1456Biblioteca Central UFSM

Coordenador InstitucionalPaulo Roberto Colusso/CTISM

Professor-autorLuciano Caldeira Vilanova/CTISM

Coordenao TcnicaIza Neuza Teixeira Bohrer/CTISM

Coordenao de DesignErika Goellner/CTISM

Reviso Pedaggica Andressa Rosemrie de Menezes Costa/CTISMFrancine Netto Martins Tadielo/CTISMMarcia Migliore Freo/CTISM

Reviso TextualDaiane Siveris/CTISMLourdes Maria Grotto de Moura/CTISMVera da Silva Oliveira/CTISM

Reviso TcnicaEduardo Lehnhart Vargas/CTISM

Diagramao e IlustraoGustavo Schwendler/CTISMLeandro Felipe Aguilar Freitas/CTISMMarcel Santos Jacques/CTISMMuren Fernandes Massia/CTISMRafael Cavalli Viapiana/CTISMRicardo Antunes Machado/CTISM

Colgio Tcnico Industrial de Santa MariaEste Material Didtico foi elaborado pelo Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria para o Sistema Escola Tcnica Aberta do Brasil e-Tec Brasil.

Comisso de Acompanhamento e Validao - Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria/CTISM

V696m Vilanova, Luciano Caldeira Mecnica dos fluidos/Luciano Caldeira Vilanova. 3. ed. Santa Maria, RS: Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria, Curso em Automao Industrial, 2010. 82 p. : il. 1. Fsica 2. Mecnica dos fluidos I. Ttulo.

CDU 531.3

e-Tec Brasil3

Apresentao e-Tec Brasil

Prezado estudante,

Bem-vindo ao e-Tec Brasil!

Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino, a Escola Tcnica Aberta

do Brasil, instituda pelo Decreto n 6.301, de 12 de dezembro 2007, com o

objetivo de democratizar o acesso ao ensino tcnico pblico, na modalidade

a distncia. O programa resultado de uma parceria entre o Ministrio da

Educao, por meio das Secretarias de Educao a Distncia (SEED) e de Edu-

cao Profissional e Tecnolgica (SETEC), as universidades e escolas tcnicas

estaduais e federais.

A educao a distncia no nosso pas, de dimenses continentais e grande

diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao

garantir acesso educao de qualidade, e promover o fortalecimento da

formao de jovens moradores de regies distantes dos grandes centros

geograficamente ou economicamente.

O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais distantes das instituies de ensino

e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o

ensino mdio. Os cursos so ofertados pelas instituies pblicas de ensino

e o atendimento ao estudante realizado em escolas-polo integrantes das

redes pblicas municipais e estaduais.

O Ministrio da Educao, as instituies pblicas de ensino tcnico, seus

servidores tcnicos e professores acreditam que uma educao profissional

qualificada integradora do ensino mdio e educao tcnica, capaz de

promover o cidado com capacidades para produzir, mas tambm com auto-

nomia diante das diferentes dimenses da realidade: cultural, social, familiar,

esportiva, poltica e tica.

Ns acreditamos em voc!

Desejamos sucesso na sua formao profissional!

Ministrio da Educao

Janeiro de 2010

Nosso contato

[email protected]

e-Tec Brasil5

Indicao de cones

Os cones so elementos grficos utilizados para ampliar as formas de

linguagem e facilitar a organizao e a leitura hipertextual.

Ateno: indica pontos de maior relevncia no texto.

Saiba mais: oferece novas informaes que enriquecem o assunto ou curiosidades e notcias recentes relacionadas ao

tema estudado.

Glossrio: indica a definio de um termo, palavra ou expresso utilizada no texto.

Mdias integradas: sempre que se desejar que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mdias: vdeos,

filmes, jornais, ambiente AVEA e outras.

Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes nveis de aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e

conferir o seu domnio do tema estudado.

e-Tec Brasil7

Sumrio

Palavra do professor-autor 9

Apresentao da disciplina 11

Projeto instrucional 13

Aula 1 Esttica dos fluidos 151.1 Conceitos bsicos 15

1.2 Estudo da presso em fluidos em repouso 16

1.3 Medies de presso e manometria 20

1.4 Fora hidrosttica 28

Aula 2 Aplicao das equaes da quantidade de movimento e da energia mecnica em mecnica dos fluidos 31

2.1 Conceitos bsicos 31

2.2 Equao da quantidade de movimento 35

2.3 Equao da energia mecnica 40

2.4 Equao de Bernoulli 43

Aula 3 Escoamentos internos 493.1 Escoamento interno em tubos e dutos 49

3.2 Perda de carga em escoamentos internos 52

Aula 4 Escoamentos externos 634.1 Conceitos bsicos 63

4.2 Arrasto 64

4.3 Sustentao 72

Referncias 80

Currculo do professor-autor 81

e-Tec Brasil9

Palavra do professor-autor

A Mecnica uma cincia muito ampla, e seus fundamentos servem de base

para praticamente todas as outras reas do conhecimento. Muitos estudiosos

que so sempre lembrados como Nicolau Coprnico, Galileu Galilei, Isaac

Newton, Robert Hooke, Johannes Kepler, Albert Einstein e outros dedicaram suas

vidas a descrever leis fsicas que do sustentao mecnica de hoje. Sendo a

mecnica a base para uma infinidade de tecnologias, a maioria dos cursos nas

reas exatas do conhecimento envolve disciplinas desta rea.

A Mecnica dos Fluidos, neste contexto, est dentro de uma parte da Mecnica

conhecida como cincias trmicas a qual envolve sistemas para a armazenagem,

a transferncia e a converso de energia. Vista dessa forma muito acadmica,

a Mecnica dos Fluidos pode parecer algo muito etreo e de pouca aplicao

prtica fora da academia. Contudo, se observarmos o nosso entorno, veremos

a Mecnica dos Fluidos em quase tudo que encontramos no nosso campo de

viso. O ar escoando e pesando sobre nossas cabeas, o sangue escoando

por nossos corpos, o gs escoando, sendo comprimido e expandido nos refri-

geradores domsticos e comerciais, a mistura de ar e combustvel fluindo para

dentro de motores, a gua sendo bombeada para a irrigao em uma lavoura

ou passando pelas ps de uma turbina de uma geradora hidroeltrica. Podemos

afirmar, ento, que uma infinidade de processos que conhecemos e utilizamos

nos dias atuais baseiam-se em leis da Mecnica dos Fluidos.

O desenvolvimento tecnolgico s possvel pelo conhecimento das leis que

governam os processos e pelo controle e superviso dos mesmos. O domnio

sobre esses conhecimentos possibilitou a automao de uma infinidade de

processos industriais essenciais, como os utilizados na indstria petroqumica e

de alimentos. Nesses processos, leos, vapores, outros gases e lquidos fluindo

ou em repouso, em sistemas ou subsistemas dessas indstrias, precisam ser

monitorados, os dados verificados e interpretados, para que os controles auto-

mticos faam as devidas correes e o produto final esteja sempre dentro das

especificaes de qualidade.

Ao profissional de automao seria impossvel projetar, implantar e dar manu-

teno a um sistema para controlar e supervisionar um processo que envolva

a Mecnica dos Fluidos sem um conhecimento bsico das leis que envolvem

Mecnica dos Fludose-Tec Brasil 10

esta cincia. por esse motivo, caros alunos, que esta disciplina faz parte do

currculo deste curso.

Procuramos neste texto tratar o assunto de uma forma muito resumida, mas a

complexidade do tema requer uma fundamentao matemtica mnima, mas

necessria. Buscamos explicar os fenmenos atravs de exemplos que julgamos

ser conhecidos de todos e suprimimos uma srie de conhecimentos bsicos

que fazem parte de outros textos, como flutuao, escoamentos de fluidos

compressveis e anlise dimensional, tudo de forma a tornarmos esta disciplina

mais aprazvel na forma de ensino a distncia. Esses temas, no entanto, podem

ser encontrados nas referncias apresentadas neste texto.

Isaac Newton em uma de suas mais clebres frases dizia: Se vi mais longe, foi

por me erguer sobre os ombros de gigantes. Ele referia-se aos conhecimentos

de outros cientistas precursores, os quais lhe permitiram o descobrimento de

outras leis da Fsica antes desconhecidas. A vocs, caros alunos, cabe o mesmo

compromisso de se debruarem sobre os ombros desses mesmos gigantes e,

superando seus mestres, produzirem a evoluo de nosso conhecimento.

Uma boa leitura e um bom estudo a todos.

Prof. Luciano Caldeira Vilanova

Doutor em Engenharia

e-Tec Brasil11

Apresentao da disciplina

A disciplina Mecnica dos Fluidos est inserida nos estudos de engenharia

entre os fenmenos de transporte ou cincias trmicas e pode, por alguns

autores, ser chamada de transferncia de momento ou de quantidade de

movimento. Os fenmenos de transporte englobam, alm do objeto deste

texto, as transferncias de energia por calor e massa.

A Mecnica dos Fluidos, nesse mbito, volta-se ao comportamento de fluidos

em repouso e em movimento e s foras agindo sobre esses sistemas. A histria

mostra que os estudos mais importantes nessa rea so datados do final do

sculo XIX e incio do sculo XX. A teoria da camada limite apresentada por

Ludwig Prandtl, em 1904, um marco referencial nesse contexto. Reynolds,

Froude e Von Krmn tambm dedicaram seus estudos a esses fenmenos e

so nomes comuns nos textos desta rea.

Problemas de Mecnica de Fluidos podem envolver foras sobre superfcies

submersas, escoamento de lquidos comuns como a gua em pequenos dutos

ou leitos de rios, at o escoamento de leos pesados em grandes oleodutos.

Outros casos de interesse so o escoamento do ar sobre superfcies como a

asa de um avio e o aeroflio de um carro de corrida sobre a estrutura de

uma grande ponte ou ainda a previso do escoamento de ar sobre placas de

circuito impresso dentro de gabinetes de mquinas e computadores.

Com esta disciplina, espera-se que o aluno tenha a compreenso mnima

desses fenmenos e seja capaz de, atravs de modelos matemticos bsicos,

propor pequenos projetos ou solues que envolvam a Mecnica dos Fluidos.

e-Tec Brasil13

Disciplina: Mecnica dos Fluidos (carga horria: 30h).

Ementa: Estudo das foras atuando sobre fluidos em repouso e sob escoa-mento, modelos matemticos que descrevem o comportamento dos fluidos e a

caracterizao dos escoamentos internos e externos. Tcnicas e instrumentao

para a medio de presses de fluidos em repouso ou sob escoamento.

AULA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM MATERIAISCARGA

HORRIA(horas)

1. Esttica dos fluidos

Definir conceitos bsicos em Mecnica dos Fluidos.Estudar a presso e a sua variao ao longo de uma massa fluida em repouso.Estudar o efeito da presso em corpos submersos.

Ambiente virtual:plataforma moodle;Apostila didtica;Recursos de apoio: links, exerccios.

05

2. Aplicao das equaes da quantidade de movimento e da energia mecnica em Mecnica dos Fluidos

Definir conceitos bsicos para o estudo dos fluidos em regimes de escoamento.Descrever os modelos matemticos do comportamento dos fluidos em escoamento atravs das equaes da quantidade de movimento, da equao da energia mecni-ca e da equao de Bernoulli.


10

3. Escoamentos internos

Estudar o escoamento de fluidos viscosos no interior de tubos ou dutos.Determinar a perda de carga em tubos e dutos.


10

4. Escoamentos externos

Estudar o escoamento de fluidos viscosos no exterior de formas geomtricas conhecidas.Determinar a fora de arrasto em corpos imersos em fluidos sob escoamento.Determinar a fora de sustentao em corpos imersos em fluidos sob escoamento.


05

Projeto instrucional

e-Tec Brasil

Aula 1 Esttica dos fluidos

Objetivos

Definir conceitos bsicos em Mecnica dos Fluidos.

Estudar a presso e a sua variao ao longo de uma massa fluida

em repouso.

Estudar o efeito da presso em corpos submersos.

1.1 Conceitos bsicosNo estudo da mecnica dos fluidos importante definir o que um fluido.

Lquidos e gases so fluidos tecnicamente, outros materiais como o vidro

podem ser considerados fluidos.

A definio mais comum de fluido : uma substncia que se deforma conti-

nuamente sob ao de uma tenso de cisalhamento.

A diferena entre substncias slidas e fluidas est representada na Figura1.1.

Entende-se por tenses de cisalhamento t [kPa] a distribuio por unidades de rea de uma fora atuando paralelamente a uma determinada superfcie. Em

uma substncia slida a aplicao dessa tenso, como mostra a Figura1.1,

produz uma deformao Da [m] proporcional tenso aplicada (campo els-tico), podendo inclusive levar ao rompimento do slido (campo plstico). Os

fluidos, quando submetidos a estas tenses de cisalhamento, apresentam

um comportamento conhecido como escoamento, ou seja, uma deformao

contnua e independe da intensidade da tenso aplicada e que ir existir por

menor que sejam essas tenses.

e-Tec BrasilAula 1 - Esttica dos fluidos 15

Figura 1.1: Tenses de cisalhamento em um slido e em um fluidoFonte: CTISM

Outros materiais se comportaro como fluidos em determinadas condies

e como slidos em outras, dependendo da grandeza da tenso aplicada. O

estudo do comportamento das deformaes desses materiais chamado de

reologia e no ser abordado neste texto.

Quando os fluidos esto em repouso ou mesmo em movimento, algumas

propriedades so necessrias para caracterizar o seu comportamento. Pro-

priedades como a presso em um ponto ou a densidade em um ponto da

massa fluida so muito utilizadas.

Contudo, essas propriedades refletem o comportamento molecular da subs-

tncia considerando-a como um meio contnuo. Isso significa dizer que estas

quantidades so a mdia dessas propriedades em um pequeno volume em

relao s dimenses fsicas do sistema, mas que ainda assim contenha um

significante nmero de molculas necessrias para caracterizar o mesmo. Essa

anlise dita como sendo uma denominada anlise macroscpica.

1.2 Estudo da presso em fluidos em repousoPresso o termo utilizado para definir a distribuio por unidades de rea de

uma fora normal a uma superfcie [kPa]. A grandeza presso semelhante

grandeza tenso de cisalhamento. A nica diferena o sentido da aplicao

da fora em relao superfcie. Enquanto na primeira, a fora perpendicular

superfcie, na segunda a fora paralela superfcie.

Para se avaliar a presso em um determinado ponto de uma massa fluida

em repouso, considera-se um pequeno elemento fluido de forma cbica

Mecnica dos Fluidose-Tec Brasil 16

submerso nessa massa, de acordo com a Figura 1.2. A cada superfcie desse

elemento fluido determina-se um ndice de 1 a 6, sendo: superfcies inferior e

superior, ndices 1 e 2, respectivamente; superfcies laterais esquerda e direita,

ndices 3 e 4, respectivamente e superfcies frontal e posterior, ndices 5 e 6.

As arestas do elemento fluido medem x, y e z e so pequenas o bastante em relao s grandezas fsicas do sistema. O peso W [N] do elemento fluido dado pelo produto do peso especfico g [N/m3], uma propriedade do fluido, pelo volume do elemento V [m3]. As foras que atuam em cada uma das seis superfcies do elemento so dadas pelo produto da presso sobre a superfcie

pela rea da superfcie.

Figura 1.2: Foras de superfcie e de corpo atuando sobre um elemento fluidoFonte: CTISM


Se o fluido est em repouso, ento o somatrio (representado por S) das foras agindo sobre o elemento no sentido de cada eixo x, y e z deve ser nulo. Para se obter a fora que atua sobre a superfcie, basta que se multiplique a pres-

so do fluido pela rea da superfcie do elemento (yz, xz ou xy [m2]), ou seja:

As Equaes (1) e (2) do conta que p4 = p3 e p6 = p5 e representam a Lei de

Pascal, a qual afirma que as presses em um mesmo plano horizontal no variam em um fluido em repouso (Figura 1.3).

Figura 1.3: Distribuio de presso em um mesmo plano horizontal para um fluido em repousoFonte: CTISM

Na direo z, no entanto, o balano de foras (Equao 3) conta com o termo peso do elemento W [N], e o somatrio das foras mostra que:

Onde p1 [kPa] e p2 [kPa] so as presses no fluido nos planos de referncia 1 e 2 e g [N/m3] o peso especfico do fluido. Se considerarmos que a medida da aresta vertical z a relao entre as coordenadas neste eixo de duas cotas z1 [m] e z2 [m] correspondentes s posies das superfcies de referncia 1 e 2, ento a Equao 4 pode ser reescrita da seguinte forma:


Logo, pode-se concluir que a variao da presso em um fluido em repouso

em relao a um eixo vertical z proporcional s diferenas de coordenadas sobre este eixo dos planos considerados de acordo com a Figura 1.4.

Figura 1.4: Variao da presso em um fluido em repouso em relao a dois planos de referncia 1 e 2Fonte: CTISM

A Equao 5 considera que o peso especfico do fluido seja constante ao

longo do eixo vertical z, mas essa uma simplificao que ser considerada nesta seo e define a principal caracterstica dos fluidos incompressveis.

Porm, o peso especfico o produto da massa especfica pela acelerao da

gravidade que varivel de acordo com as distncias verticais dos planos de

referncia. Essa variao, no entanto, pode ser desconsiderada na maioria

dos problemas envolvendo lquidos, mesmo quando as distncias verticais

forem considerveis.

Por outro lado, essa simplificao no pode ser aplicada para os gases os quais

apresentam forte variao do seu peso especfico em funo da temperatura

e das presses a que esto submetidos. Esses fluidos so denominados com-

pressveis, ou seja, a sua propriedade peso especfico varivel.

Assista a um vdeo sobre Presso Hidrosttica em http://www.youtube.com/watch?v=S4zAkHA_AkQ


A distribuio de presso representada pela Equao 5 chamada de dis-

tribuio de presso hidrosttica ou simplesmente presso hidrosttica. Em

aplicaes com lquidos, comum representar-se uma superfcie livre, como

possvel observar na Figura 1.3 e na Figura 1.4. Essa superfcie considerada

como um plano de referncia, e a presso que atua sobre ela normalmente

a presso atmosfrica. A presso que atua sobre a superfcie de referncia

chamada presso de referncia po [kPa] que, substituda na Equao 5 em lugar de p2 [kPa] e p [kPa] em lugar de p1 [kPa], permite escrever a lei da distribuio da presso hidrosttica em fluidos incompressveis em repouso:

Ou ainda, em funo da altura ou da profundidade em um sistema fluido de

acordo com a Figura 1.4:

A altura h [m] tambm conhecida como altura de carga e pode ser inter-pretada como a altura de uma coluna de lquido de peso especfico g [N/m] necessria para manter uma diferena de presso p po, ou seja:

A altura de carga uma definio muito importante e comumente utilizada

para definir a capacidade de gerao de presso de bombas e ventiladores.

1.3 Medies de presso e manometriaPelo texto, pode-se perceber a importncia das presses no estudo de Mec-

nica dos Fluidos e, por esse motivo, muitas tcnicas e instrumentos foram

desenvolvidos para a medio dessa propriedade em uma massa fluida. A

esta cincia convencionou-se chamar manometria.

A propriedade de presso do fluido pode ser ainda expressa na forma de pres-

ses absolutas e presses manomtricas. A presso absoluta medida tendo

como referncia a presso de zero absoluto, enquanto a presso manomtrica

medida tendo como referncia a presso atmosfrica. Na Figura1.5, pode-se

visualizar de uma forma grfica a relao entre essas presses.


Figura 1.5: Representao grfica da presso absoluta e presso manomtricaFonte: CTISM

Pela Figura 1.5, pode-se verificar que presses absolutas so sempre positivas,

pois a sua referncia o eixo de zero absoluto (vcuo absoluto). A presso

atmosfrica uma presso absoluta e representa a presso exercida pela massa

fluida da atmosfera sobre todas as superfcies de um plano local da terra.

Presses manomtricas, por sua vez, tm como referencial a presso atmos-

frica e, assim, podem ser positivas ou negativas. A ltima pode ser tambm

chamada de presso de vcuo ou simplesmente vcuo. Em problemas que

envolvem a Mecnica dos Fluidos, comum que se expresse a propriedade

presso na forma de presso manomtrica.

A medio da presso realizada com a utilizao de manmetros, que podem

medir tanto presses absolutas como presses manomtricas, dependendo

unicamente da escala de indicao desses instrumentos. Os manmetros de

tubos verticais ou inclinados que utilizam colunas de lquidos so uma tcnica

usual para a medio de presso e podem ser divididos em tubos piezomtricos

e manmetros de tubo em U.


O tubo piezomtrico a forma mais simples dos manmetros e consiste em

um tubo vertical ou inclinado aberto para a atmosfera na sua extremidade

superior e fixado a um recipiente cuja presso se deseja verificar, conforme

a Figura 1.6.

Figura 1.6: Tubo piezomtricoFonte: CTISM

A determinao da presso por esse mtodo, uma vez que envolve uma coluna

de massa fluida em repouso, feita pela Equao 7, ou seja, se chamarmos a

presso manomtrica em A de pA [kPa], ento podemos reescrever a Equao7 para esta presso:

onde pA [kPa] a presso manomtrica, p [kPa] e po [kPa] so presses abso-lutas e g [N/m3] o peso especfico do fluido no recipiente A.

Esse tipo de manmetro s pode ser utilizado para medio de presso em

reservatrios com lquidos e nunca com gases, pois estes sairiam pela extremi-

dade aberta e se perderiam na atmosfera. As presses manomtricas a serem

medidas devem ser positivas e no podem ser muito elevadas, de modo que

a coluna de lquido no apresente uma altura muito elevada, pois isso no

razovel para a sua construo nem para a obteno das leituras.


O problema da medio da presso em recipientes contendo gases pode ser

eliminado utilizando-se o manmetro de tubo em U, podendo, neste caso, a

presso no recipiente ser negativa ou positiva, porm dentro de parmetros

que permitam alturas razoveis de colunas de lquido para serem construdos.

O manmetro de tubo em U est representado na Figura 1.7. A determinao

da presso manomtrica pA [kPa], da mesma forma que nos tubos piezom-tricos, feita atravs da Equao 7 igualando-se as presses nos pontos 1 e

2 da Figura 1.7. Assim, a presso absoluta p1 [kPa] em 1 dada pela soma da presso absoluta p [kPa] em A mais a contribuio da altura h1 [m] do fluido 1, ou seja:

J a presso p2 [kPa] dada pela soma da presso atmosfrica absoluta po [kPa] mais a contribuio da altura h2 [m] do fluido 2, ou seja:

Igualando-se p1 = p2 e fazendo pA = p po, possvel obter-se a equao para determinao de pA [kPa]:

Logo:


Logo:

Figura 1.7: Manmetro de tubo em UFonte: CTISM

Quando o fluido dentro do reservatrio for um gs, a contribuio da coluna

h1 [m] pode ser considerada desprezvel e a Equao 12 pode ser escrita como:

A grande vantagem do manmetro em U a possibilidade de medir-se a

presso em recipientes contendo gases. Contudo, esse instrumento pode

ser utilizado para medir a diferena de presso entre dois reservatrios, ou

entre dois pontos em um determinado sistema, como mostra as Figuras 1.8

e 1.9. A deduo da equao para medir o diferencial de presso em A e B

semelhante s dedues j apresentadas neste texto.

Assista a um vdeo sobre Construo de Manmetro em

http://www.youtube.com/watch?v=HzXjvt3jdCc


Figura 1.8: Manmetro diferencialFonte: CTISM

Figura 1.9: Manmetro diferencialFonte: CTISM


O peso especfico dos fluidos g [N/m3] frequentemente representado em funo da densidade relativa D, sendo a seguinte relao considerada:

Di =

Onde:

gGUA = 10.000 N/m,

gi = Peso especfico do fluido i considerado [N/m].

Os manmetros apresentados at aqui so amplamente utilizados, mas apre-

sentam muitas desvantagens em relao a sua aplicao quando comparados

a outros dispositivos mecnicos ou eltricos, como o medidor de presso de

Bourdon (Figura 1.10) ou os transdutores piezoeltricos ou de extensores resistivos (Figura 1.11). Na prtica, esses dispositivos so mais geis e mais

prticos para a realizao da medio das presses do que os primeiros e,

por isso, so os mais utilizados em plantas industriais.

Figura 1.10: (a) Medidor de presso de Bourdon e (b) esquema do medidor de pressoFonte: CTISM

gigGUA


Figura 1.11: (a); (b) e (c) Transdutor de extensmetros resistivosFonte: CTISM


1.4 Fora hidrosttica Quando uma superfcie est submersa em uma massa fluida, foras oriundas

do fluido agem sobre esta superfcie, mesmo que elas estejam em repouso.

O estudo dessas foras particularmente importante no projeto de grandes

tanques de armazenamento de fluidos, navios e represas.

Nas sees anteriores, verificou-se que a presso em uma superfcie de refern-

cia varia linearmente com a profundidade ou com a distncia dessa superfcie

superfcie livre da massa fluida. Se considerarmos como referncia uma

superfcie plana do fundo de um reservatrio, a fora que atua sobre essa

superfcie depender da presso sobre a superfcie e da sua rea, ou seja:

A presso exercida pela massa fluida em toda a superfcie horizontal cons-

tante, podendo ser calculada pela Equao 7, e a fora resultante dessa

presso conhecida como fora hidrosttica e atuar no centro geomtrico

da superfcie, tambm conhecido de centride (Figura 1.12a).

Contudo, a presso que atua sobre as paredes verticais do reservatrio varia

linearmente com a distncia da superfcie livre do reservatrio, uma vez que

esta proporcional distncia h do ponto de referncia da parede superfcie livre, partindo, assim, da presso atmosfrica na linha da parede vertical que

limita a superfcie livre at a presso de fundo pF = gh (Figura 1.12b).

Figura 1.12: Presso e fora hidrosttica exercidas no fundo horizontal e nas paredes verticais de um tanque abertoFonte: CTISM


Resumo Nesta aula, realizaram-se estudos sobre a ao de foras sobre superfcies sub-

mersas em fluidos em repouso. Considerou-se que o peso especfico desses

fluidos permanece constante com a profundidade da massa fluida, o que define

os fluidos incompressveis. Mostrou-se que a variao da presso no fluido varia

linearmente com a profundidade, fenmeno conhecido como distribuio da

presso hidrosttica. Distinguiram-se ainda as presses absolutas de presses

manomtricas, considerando-se o referencial da escala.

Apresentaram-se tambm mtodos de medio de presso por meio de man-

metros de coluna de lquido e discutiram-se as suas vantagens e desvantagens

em relao a outros dispositivos prticos.

Discutiu-se ainda a ao de foras sobre superfcies planas horizontais e

verticais submersas.

Atividades de aprendizagem1. Descreva como se comporta a distribuio da presso hidrosttica em

uma massa fluida.

2. O que se entende por altura de carga?

3. Explique em uma figura as diferenas entre presso manomtrica e pres-so absoluta.

4. Qual a presso manomtrica em kPa em um recipiente contendo leo cujo tubo piezomtrico apresenta uma leitura de 0,30 m. Considere a

densidade relativa do leo igual a 0,9.

5. Por que os medidores de presso mecnicos ou eltricos so mais prti-cos que os manmetros de coluna de lquido?

6. No lado da suco de uma bomba, um medidor de presso de Bourdon mede 40 kPa de vcuo. Qual a presso absoluta equivalente, se a presso

atmosfrica absoluta igual a 100 kPa?

7. Deduza a equao para determinar a presso no reservatrio B em fun-o da presso no reservatrio A da Figura 1.8.


8. Qual a presso sobre o casco de um submarino que viaja a 50 m abaixo da superfcie livre? Considerando a presso atmosfrica igual a 100 kPa, quan-

tas vezes a presso sobre o casco maior do que a presso atmosfrica?


e-Tec Brasil

Aula 2 Aplicao das equaes da quantidade de movimento e da energia mecnica em Mecnica dos Fluidos

Objetivos

Definir conceitos bsicos para o estudo dos fluidos em regimes de

escoamento.

Descrever os modelos matemticos do comportamento dos fluidos

em escoamento atravs das equaes da quantidade de movimento,

da equao da energia mecnica e da equao de Bernoulli.

2.1 Conceitos bsicosEm anlises de escoamentos em Mecnica dos Fluidos, comum utilizarem

volumes de controle, ou seja, dependendo do objetivo da anlise e das con-

dies conhecidas do sistema em estudo, define-se uma regio do espao

de interesse limitada por superfcies de controle ou fronteiras por onde pode

ocorrer fluxo de massa.

Figura 2.1: Volume de controleFonte: CTISM

e-Tec Brasil

Aula 2 - Aplicao das equaes da quantidade

de movimento e da energia mecnica em Mecnica dos Fluidos 31

Em uma massa fluida contida em um volume de controle, a fora peso asso-

ciada ao da gravidade denominada fora do corpo. O peso W [N] capaz de influenciar no movimento do fluido, da mesma forma como se observa a

influncia do peso sobre o movimento de uma bola arremessada. Foras de

superfcie so as que atuam sobre a matria interna e adjacente s superfcies

de controle. Essas foras so capazes de produzir ou modificar o escoamento.

A fora resultante que atua sobre a massa fluida contida em um volume de

controle a soma de foras de superfcie e foras de corpo.

Figura 2.2: (a) fora de corpo e (b) foras de superfcieFonte: CTISM

As diferenas de comportamento dos fluidos em escoamento podem ser

justificadas por suas propriedades intrnsecas. Fluidos como a gua e o leo

apresentam algumas propriedades muito semelhantes como a massa espec-

fica [kg/m3]. Contudo, seus comportamentos so bem diferentes quando esto em regime de escoamento. Logo, outra propriedade deve influir nesses

processos. A viscosidade [N.s/m2] uma dessas propriedades dos fluidos que

influenciam muito no comportamento dos escoamentos.

Para definir a viscosidade de um fluido, deve-se imaginar a seguinte experincia

apresentada na Figura 2.3:


Figura 2.3: Comportamento de um fluido entre placas paralelasFonte: CTISM

As duas placas paralelas esto separadas por um fluido a uma distncia b. A placa inferior fixa, e a superior mvel. Quando uma fora F aplicada na placa mvel sobre o fluido, uma tenso de cisalhamento aplicada sobre

a superfcie superior do fluido, fazendo-o escoar. Da mesma forma, cada

nfima camada da lmina de fluido faz surgir uma tenso de cisalhamento

aplicada camada imediatamente inferior a ela. Um perfil de velocidade u (y) pode ser observado, partindo da velocidade nula (u (0) = 0) na camada adjacente placa fixa at uma velocidade U [m/s] igual a velocidade da placa mvel (u (b) = U). Quando este perfil apresenta uma relao linear como o da Figura 2.3, o fluido denominado Newtoniano, e a tenso de cisalhamento

proporcional relao U/b.

O coeficiente de proporcionalidade da equao referida representa a viscosi-

dade do fluido. Assim, quanto maior a viscosidade do fluido, maiores sero os

efeitos do atrito viscoso no escoamento, ou melhor, maiores sero as tenses

de cisalhamento entre as camadas de fluido.

Sempre que houver escoamento haver tambm tenses de cisalhamento

devido viscosidade do fluido. Contudo, como forma de simplificao, quando

a influncia da viscosidade sobre o escoamento for pouco importante em

relao as foras de corpo ou de superfcie, o fluido pode ser considerado

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como invscito, ou seja, sem viscosidade. Na prtica, fluidos como a gua ou o leo podem ser considerados invscitos e os escoamentos desses fluidos

so chamados de escoamentos invscitos.

Em geral, escoamentos de lquidos podem ser modelados tambm como

escoamentos incompressveis, pelo fato de que o peso especfico desses fluidos apresenta pouca variao com a presso em uma determinada condio.

Quando as propriedades do escoamento em um volume de controle no

variam com o tempo, o escoamento chamado de regime permanente ou estacionrio.

Quando a velocidade do fluido tem o sentido normal (perpendicular) super-

fcie de controle e a mesma em toda a superfcie, o escoamento denomi-

nado unidimensional.

Nos modelamentos de escoamento comum definirem-se linhas de fluxo, que so as linhas formadas por pontos de tangncia aos vetores que indicam

o sentido da velocidade do escoamento. Quando o escoamento for a regime

permanente, as linhas de fluxo sero exatamente o caminho percorrido por

uma partcula fluida no escoamento, visto que a sua velocidade e seu vetor

velocidade no variam com o tempo.

Figura 2.4: Linhas de fluxo em um escoamento externoFonte: CTISM

Essas modelagens apresentadas no texto tornam as anlises de escoamentos mais

simples e podem ser aplicadas a uma grande variedade de sistemas. Contudo,

em alguns casos, preciso maior cuidado para assumir essas simplificaes.

Assista a um vdeo sobreFluidos Mecnicos em

http://www.youtube.com/watch?v=j6yB90vno1E&feature=Pl

ayList&p=BD6071B837419278&index=0


2.2 Equao da quantidade de movimento Por definio, quantidade de movimento de um corpo representa o produto

da massa do corpo m [kg] pela sua velocidade V [m/s]. J a segunda lei do movimento de Newton afirma que a fora resultante FR [N] atuando sobre um corpo em movimento igual ao produto da sua massa m [kg] pela acelerao a [m/s2] do corpo:

Considerando que a grandeza acelerao igual taxa temporal da variao

da velocidade do corpo em movimento entre dois pontos 1 e 2, pode-se

escrever a seguinte equao:

Onde V2 [m/s] e V1 [m/s] so as velocidades de um corpo ou, em Mecnica dos

Fluidos, de um elemento da massa fluida em duas posies de uma linha de

fluxo do escoamento e t [s] o tempo que esse elemento da massa fluida leva para percorrer o trajeto entre essas duas posies.

Pode-se, assim, reescrever a Equao 14 da seguinte forma:

A Equao 16 representa que a fora resultante que atua sobre um elemento

fluido igual variao temporal da quantidade do movimento desse elemento.

Reagrupando os termos da direita da Equao 16 poderemos reescrev-la em

funo da vazo mssica m [kg/s] de um fluido em escoamento em regime permanente e, assim, obteremos a equao da quantidade de movimento

para um volume de controle:

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Onde a vazo mssica de fluido, ou seja, a massa de fluido que

passa por uma rea de referncia na unidade de tempo.

Um caso tpico de utilizao da equao da quantidade de movimento que se

pode apresentar a determinao da fora do jato dgua de um injetor de

uma turbina Pelton sobre a p da turbina. A Figura 2.5 apresenta o esquema de uma turbina Pelton, do injetor e da p da turbina. Esse tipo de turbina utilizado em inmeras usinas hidroeltricas brasileiras. Pode-se verificar, por

essa figura, que o jato que sai do injetor atinge a p e o seu movimento segue

o caminho do perfil da pea.

Figura 2.5a: Turbina PeltonFonte: CTISM

m = m.

t


Figura 2.5b: Turbina Pelton instaladaFonte: CTISM

2.2.1 Exemplo de aplicaoA determinao da fora resultante aplicada sobre a p de uma turbina Pelton pelo jato dgua que sai do injetor da turbina necessria para se obter a

capacidade de gerao de energia da turbina, tendo em vista que a potncia

de gerao P [W] o produto do torque T [Nm] obtido da fora resultante pela velocidade angular do eixo [rad/s]. A velocidade angular do eixo deve ser constante e para um gerador de 4 polos para uma frequncia de 60 Hz

deve ser igual a 1800 rpm.

Para determinar a fora sobre a p, basta que se contabilize a quantidade de

movimentos na entrada e na sada de um volume de controle.

De acordo com o esquema apresentado na Figura 2.6, o jato de gua que

sai do injetor da turbina com 1 m de raio tem uma velocidade de 3 m/s e um

dimetro igual a 0,085 m. Por simplificao, vamos adotar o escoamento como

permanente, incompressvel ( = 1000 kg/m3) e unidimensional na entrada e na sada do volume de controle. A presso em toda a superfcie de controle

atmosfrica. A anlise ser realizada apenas no plano xy.

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Figura 2.6: Vistas (a) lateral; (b) frontal e (c) corte mostrando o comportamento da gua na colher. (d) Volume de controle e dados fornecidosFonte: CTISM

Consideremos um volume de controle que inclui a p da turbina e parte

da gua escoando sobre a p. Aplicando-se a equao da quantidade de

movimento para esse volume de controle, a fora resultante no sentido do

escoamento que, nesse caso, paralelo ao eixo de referncia x ser dada por:

Onde V1 e V2 so as velocidades da gua entrando e saindo do volume de controle e FR a fora resultante imposta pelo jato dgua sobre a p ou, por outro ponto de vista, a fora de todo o sistema de gerao acoplado tur-

bina que se ope ao movimento do eixo e que deve ser vencida para manter

a rotao constante. Como o escoamento permanente, ento |V1|=|V2|. Porm, os sinais so diferentes, pois seus sentidos so contrrios. Logo V1 = 3 m/s e V2 = -3 m/s.

Em um escoamento a vazo mssica ser dada por:


Onde a massa especfica do fluido [kg/m3], A a rea normal ao escoa-mento [m2] e V a velocidade do escoamento [m/s]. Das condies fornecidas no problema, pode-se determinar a vazo mssica a partir do dimetro do

injetor e da velocidade V1. Logo considere = 3,14:

Onde a rea da seo circular do jato dgua ser:

A fora em Newtons ser ento:

O sinal negativo de FR indica a fora que se ope ao movimento e que ser vencida pelo jato dgua para manter o movimento do rotor da turbina. Essa

fora produz um torque [Nm] T = FR.raio do rotor:

A potncia de gerao desta turbina dada por:

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Onde P a potncia de gerao de energia [W], a velocidade angular [rad/s], T o torque sobre o rotor da turbina [Nm] e N a velocidade de rotao do rotor da turbina [RPM]. Logo:

2.3 Equao da energia mecnica Outra forma til de estudar as caractersticas do escoamento dos fluidos

a utilizao da equao da energia mecnica para um volume de controle.

Essa equao contabiliza as vrias formas de energia envolvidas em um fluxo,

como a energia cintica, a energia potencial, as perdas de energia que podem

ocorrer nesse escoamento devido fora de atrito viscoso (devido visco-

sidade do fluido), energia fornecida ao volume de controle por bombas e

compressores ou a retirada do volume de controle por turbinas. Assim, con-

tabilizando as energias entre dois pontos 1 e 2 do escoamento, a equao

da energia mecnica ser:

Os termos da Equao 18 da energia mecnica tm unidades de compri-

mento [m] e podem ser associados com alturas de carga, onde o termo da

elevao z [m] associado energia potencial e pode ser chamado de altura de elevao. O termo da velocidade V 2/ 2g [m] associado energia cintica e conhecido como carga de velocidade e representa a distncia necessria

para que o fluido acelere do repouso at a velocidade V. O termo da presso p/g [m] conhecido como carga de presso e representa a altura de uma coluna de lquido necessria para produzir uma presso p [kPa] e g [N/m3] uma propriedade do fluido chamado peso especfico. Os termos hp [m], ht [m] e hL [m] representam alturas de carga adicionadas ou subtradas do volume de controle por uma bomba, uma turbina e por perdas de carga oriundas de

atrito viscoso, respectivamente.

Uma aplicao prtica da equao da energia mecnica pode ser realizada

na determinao da potncia de uma bomba destinada a elevar gua de

um reservatrio em um nvel baixo para outro reservatrio em um nvel mais

elevado.


2.3.1 Exemplo de aplicaoA determinao da potncia de uma bomba para bombeamento de um fluido

armazenado em um reservatrio para outro a um nvel mais elevado um

problema comum no ambiente industrial e domstico.

O propsito da bomba em um sistema de elevao de fluido proporcionar-lhe

energia para aumentar a sua energia potencial, ou seja, moviment-lo de

um nvel de energia potencial baixo para um nvel de energia potencial alto.

De acordo com o esquema da Figura 2.7, a gua deve ser bombeada de um

reservatrio para outro com um nvel de elevao de 9 m entre as suas super-

fcies livres. As perdas por atrito viscoso na tubulao impem uma perda de

carga nesse processo equivalente a uma altura de 4,26 m. A vazo volumtrica

da bomba Q [m3/s] de 0,085 m3/s. Por simplificao, considera-se que o escoamento permanente e incompressvel. A presso sobre as superfcies

livres dos reservatrios a presso atmosfrica, e a velocidade do fluido nas

superfcies dos reservatrios nula.

Figura 2.7: Esquema do sistema de bombeamento de guaFonte: CTISM

Um balano de energia entre os pontos 1 e 2, utilizando-se a equao da

energia mecnica, deve ser utilizado neste problema:

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Reagrupando os termos e isolando o termo da altura de carga hp correspondente energia que deve ser fornecida pela bomba, chega-se seguinte relao:

Os termos de presso e de velocidade anulam-se pelas hipteses descritas, pois

p2 = p1 = po, logo, p2 p1 = 0 e V2 = V1 = 0. O termo da altura de carga ht referente turbina tambm zero, pois no existem turbinas nesse sistema. Logo,

Ou seja, para elevar gua a uma altura de 9 m e numa vazo de 0,085 m3/s, a

bomba deve ser capaz de elevar a energia potencial do fluido a uma altura de

carga equivalente a 13,26 m para compensar as perdas de carga na tubulao.

Em termos da presso mnima que a bomba deve fornecer para realizar este

bombeamento, considerando ggua = 10.000 N/m3:

Ou seja, a bomba deve ser especificada para uma presso mnima de 132,6 kPa.

A potncia da bomba Pp [W] ser dada ento pelo produto da presso pela vazo volumtrica Q [m3/h]:

Ou seja, para executar esse servio de bombeamento entre esses dois reser-

vatrios na vazo requerida, a potncia mnima da bomba de 11,271 kW,

ou 15 HP (1 kW = 1,341 HP).


2.4 Equao de BernoulliA equao de Bernoulli um caso especial da equao da energia mecnica e considera um escoamento em regime permanente de um fluido incompressvel

e invscito. Dessa forma, os termos referentes s alturas de carga hp [m], ht [m] e hL [m] so nulos para essa equao, sendo esboada assim:

Essa equao est escrita na forma de alturas de carga, mas pode tambm

ser escrita em termos da presso, multiplicando-se todos os termos pelo peso

especfico e substituindo-se a relao g/g pelo termo [kg/m] que representa a massa especfica do fluido, ou seja, uma propriedade do mesmo.

Isso permite afirmar que, nesse tipo de escoamento, a soma das alturas de carga

correspondentes s energias permanece constante ao longo de uma linha de fluxo:

A soma dessas presses chamada de presso total, e os termos so chamados

de presso esttica p [kPa], presso dinmica V2/2 [kPa] e presso hidrost-tica gz [kPa]. A equao de Bernoulli afirma que a presso total permanece constante ao longo de uma linha de fluxo.

A presso total a presso que seria exercida pelo fluido em escoamento

sobre uma superfcie perpendicular ao mesmo, e sua medida poderia ser

feita por um manmetro apontado a montante do escoamento no ponto

Q da Figura 2.8. Nesse ponto, o fluido encontra-se estagnado e, por isso, chamado ponto de estagnao.

A presso esttica refere-se presso termodinmica efetiva medida em um

manmetro ou tubo piezomtrico. No caso de um fluido escoando em uma

tubulao, a presso esttica seria a medida tomada por um manmetro

posicionado na parede da tubulao, ponto P da Figura 2.8.

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Figura 2.8: Medio de presso esttica e dinmicaFonte: CTISM

A diferena de altura h apresentada na Figura 2.8 representa a presso dinmica.

A presso hidrosttica refere-se presso devida ao peso da coluna de fluido

em relao a uma altura de referncia, a mesma propriedade estudada no

captulo de esttica dos fluidos e nesta aplicao ser sempre nula, visto que

os pontos P e Q se encontram no mesmo nvel.

Se aplicarmos a equao de Bernoulli entre os pontos P e Q da Figura 2.8, teremos:

Considerando que VQ = 0, porque o ponto Q um ponto de estagnao do fluido e zQ = zP, pois Q e P esto em uma mesma altura, ento:

onde, pP [Pa] e VP [m/s] so a presso esttica e a velocidade do escoamento, respectivamente.


Uma utilizao prtica da equao de Bernoulli pode ser feita na medio da velocidade de escoamento com a utilizao de um tubo de Pitot (Figura 2.9 b). O tubo de Pitot um dispositivo que funciona segundo o esquema da Figura 2.8 e utilizado em avies para determinar a velocidade do voo

(Figura 2.9 a). A partir da Equao 22 a velocidade do escoamento e a do

voo ser dada por:

Figura 2.9: (a) Vista do tubo de Pitot na fuselagem de um avio comercial; (b) detalhe do tubo de Pitot e (c) esquema de um tubo de PitotFonte: (a) http://www.airplane-pictures.net/ (b) http://www.billcasselman.com (c) CTISM

Assista a vdeossobre Tubo de Pitot emhttp://www.youtube.com/watch?v=VHwAa3GPcCQ

http://www.youtube.com/watch?v=Ck9tlXF8KVc

http://www.youtube.com/watch?v=AN1foVEBpHo&feature=related

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2.4.1 Exemplo de aplicaoUm tubo de Pitot como o da Figura 2.9c mede um diferencial de presso em um escoamento de ar em uma tubulao. A altura h medida no manmetro diferencial em U de gua igual a 0,5 m. Qual a velocidade do escoamento?

Por simplificao, considera-se o escoamento sobre o tubo de Pitot como permanente, invscito e incompressvel para que se possa aplicar a equao

de Bernoulli. O nico dado disponvel a medio da altura no manmetro diferencial que, como se verificou, proporcional diferena entre a presso

total e a presso esttica, ou seja, a prpria presso dinmica do escoamento.

Da seo de esttica dos fluidos sabe-se que um diferencial de presso pode

ser escrito em funo de uma altura de coluna de lquido. Assim:

onde h [m] a altura medida no manmetro diferencial e gGUA = 10.000N/m3 o peso especfico do fluido utilizado no manmetro e ar = 1,23 kg/m3 a massa especfica do ar em escoamento. Finalmente, substituindo-se os valores

na Equao 23:

ResumoNessa aula iniciamos o estudo dos fluidos em escoamento e definimos conceitos

iniciais que simplificam a soluo dos problemas que so bastante complexos.

Atravs da equao da quantidade de movimento ou de momentos, foi poss-

vel calcular a fora exercida por um escoamento sobre superfcies interpostas

no fluxo, considerando que a fora resultante sobre uma superfcie atingida

pelo escoamento igual variao temporal da quantidade de movimento

deste fluxo. Utilizando a equao da energia mecnica, demonstramos que a

energia total se conserva em um volume de controle, e este mtodo deve ser

utilizado em problemas em que o atrito viscoso importante ou em casos nos

quais bombas ou turbinas adicionam ou retiram energia do fluido escoando.

Por fim, em um caso mais simplificado, utilizamos a equao de Bernoulli, considerando que a presso total se conserva em escoamentos permanentes,

no viscosos e incompressveis e utilizamos esse princpio para determinar a

velocidade de um escoamento.


Atividades de aprendizagem1. Na seo 2.2.1, se o gerador necessitasse de uma velocidade de 3200rpm,

qual seria a velocidade do jato dgua do injetor para manter a mesma

potncia de gerao de energia?

2. Considerando a equao da energia mecnica, determine a mxima po-tncia de gerao (sem perdas de carga hL = 0) que a turbina mostrada no esquema que segue poderia produzir. Considere a vazo volumtrica

de gua na turbina Q = 5 m3/s.

Fonte: CTISM

3. Qual seria a diferena de presso que seria medida em um tubo de Pitot de um avio que voa a 800 km/h. Apresente o resultado em metros de

coluna de gua e em Pascais (Pa). Considere a acelerao da gravidade na altitude do vo g = 9,7 m/s e AR = 1,23 kg/m3.

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Aula 3 Escoamentos internos

Objetivos

Estudar o escoamento de fluidos viscosos no interior de tubos ou dutos.

Determinar a perda de carga em tubos e dutos.

3.1 Escoamento interno em tubos e dutos3.1.1 Escoamento laminar e turbulentoUm cientista britnico chamado Osborne Reynolds estudou o escoamento

em tubos ou dutos utilizando um experimento muito simples (Figura 3.1). Em

um tubo transparente, Reynolds adaptou uma sonda de corante de forma a

introduzir um contraste no escoamento para verificar suas condies. Com

esse experimento o cientista verificou que o contraste de corante apresen-

tava comportamentos diferentes, de acordo com as diferentes caractersticas

do tubo, do fluido e do escoamento. Para identificar o tipo de escoamento,

Reynolds props um parmetro adimensional conhecido como nmero de

Reynolds que relaciona as seguintes propriedades do fluido: massa especfica e viscosidade; geometria do tubo e velocidade mdia do escoamento. O nmero

de Reynolds para tubos circulares dado pela seguinte relao:

onde Re o nmero adimensional de Reynolds, [kg/m3] a massa especfica, V [m/s] a velocidade mdia do escoamento, D [m] o dimetro da tubulao e [N.s/m2] a viscosidade do fluido.

Atravs do nmero Reynolds, pode-se determinar se o escoamento laminar, transiente ou turbulento. O escoamento ser laminar se Re < 2100 a 2300 e ser turbulento para Re > 4000. Para Re entre esses limites, o escoamento poder ser turbulento ou laminar, ou seja, transiente.

e-Tec BrasilAula 3 - Escoamentos internos 49

Quadro 3.1: Tipos de escoamentosNmero de Reynolds Tipo de escoamento

Re < 2100 a 2300 Escoamento laminar

Re > 4000 Escoamento turbulento

Figura 3.1: (a) Experimento de Reynolds para ilustrar o tipo de escoamento e (b) listras tpicas de coranteFonte: CTISM

3.1.2 Regio de entrada e escoamento completa-mente desenvolvidoNo escoamento de um fluido atravs de um tubo ou de um duto, o perfil de

velocidade de escoamento na entrada do sistema normalmente uniforme

(Figura 3.1a). Na medida em que o fluido avana na direo do escoamento,

os efeitos da viscosidade so percebidos pela aderncia de uma camada de

fluido sobre a parede do tubo, e h o surgimento de tenses de cisalhamento

entre as camadas adjacentes. A camada do escoamento que influenciada

por esse efeito da viscosidade chamada de camada limite. A velocidade

da camada aderida parede do tubo zero e a velocidade do fluido cresce

no sentido da direo do centro do tubo onde mxima, de acordo com

a Figura 3.1b. O perfil de velocidade apresenta ento em um determinado

comprimento do tubo ou duto um comportamento varivel que vai de um

perfil uniforme na entrada at assumir um perfil parablico, a partir do qual

se diz que o escoamento est completamente desenvolvido. A regio onde

o perfil de velocidade varivel chamada de regio de entrada.

Assista a um vdeosobre Fluidos Mecnicos em

http://www.youtube.com/watch?v=3vbFcVwzaEI&feature=PlayList&p=BD6071B837419278&

index=13


Figura 3.2: Perfil de velocidade do escoamento na regio de entrada e no escoamen-to completamente desenvolvidoFonte: CTISM

O comprimento da regio de entrada xent [m] depende do tipo de escoamento ser laminar ou turbulento e pode ser determinado pelas seguintes relaes:

3.1.2.1 Escoamento laminar completamente desenvolvidoEmbora no sejam comuns na prtica como forma de simplificao, muitos

escoamentos podem ser considerados completamente desenvolvidos, perma-

nentes e laminares. Considerando ainda o fluido como Newtoniano, o perfil de

velocidade em funo do raio em um tubo circular pode ser determinado por:

onde u (r) [m/s] a velocidade a uma distncia r [m] qualquer da linha de centro do escoamento, D [m] o dimetro do tubo e Vc [m/s] a velocidade na linha de centro do escoamento.


Figura 3.3: Perfil de velocidade em um escoamento internoFonte: CTISM

Nessas mesmas condies de escoamento, outra relao importante o

comportamento da vazo volumtrica e da perda de carga em um compri-

mento l [m] da tubulao, dadas pela seguinte relao conhecida como Lei de Pouseuille.

onde p [kPa] a perda de presso na tubulao, [N.s/m2] a viscosidade do fluido e D [m] o dimetro da tubulao.

Muitos escoamentos no podem ser considerados como laminares e as simplifi-

caes adotadas nas sees anteriores do texto podem gerar erros importantes

nas anlises dos escoamentos. Escoamentos turbulentos so muito comuns

e desejveis na prtica, como por exemplo, os processos de mistura ou de

transferncia de calor em resfriadores ou trocadores de calor.

3.2 Perda de carga em escoamentos internos Na anlise de escoamentos internos em tubos ou dutos comum que se

necessite determinar a perda de carga hL [m] que a tubulao impe ao sistema fluido. Essa perda de carga oriunda dos efeitos da viscosidade do

fluido e pode ser determinada contabilizando-se os efeitos localizados hLOC [m] impostos por componentes como curvas, ts, joelhos, vlvulas ou outros

componentes que estejam montados no fluxo fluido e pelos efeitos viscosos


3.2.1 Perdas de cargas normaisAs perdas de cargas normais ocorrem em funo do efeito viscoso do fluido

em escoamento e dependem de fatores como a velocidade do escoamento,

a geometria da tubulao (comprimento e dimetro), a rugosidade da parede

da tubulao e das propriedades de viscosidade e massa especfica do fluido.

Algebricamente, possvel contabilizar as perdas de cargas normais utilizando

a equao de Darcy-Weisbach:

onde L [m] o comprimento linear da tubulao, V [m/s] a velocidade mdia do escoamento, D [m] o dimetro da tubulao, g [m/s2] a acelerao da gravidade e f o fator de atrito.

O fator de atrito um parmetro adimensional que depende do nmero de

Reynolds e da rugosidade relativa. A rugosidade relativa a relao entre a rugosidade aparente [m], que representa um fator caracterstico da rugosi-dade da parede, e o dimetro do tubo:

Tabela 3.1: Rugosidades aparentes

TuboRugosidade aparente -

Ps Milmetros

Ao rebitado 0,003 0,03 0,9 9,0

Concreto 0,001 0,01 0,3 3,0

Ferro fundido 0,00085 0,26

Ferro galvanizado 0,0005 0,15

Tubo estirado 0,000005 0,0015

Plstico e vidro 0,0 (liso) 0,0 (liso)

normais impostos pela tubulao linear hN [m]. Assim, a perda de carga total do sistema ser dada pela seguinte equao:


O fator de atrito determinado atravs do diagrama de Moody, que fornece o fator de atrito (ordenada y da esquerda) a partir do nmero de Reynolds na abscissa (eixo x) e da rugosidade relativa (ordenada y da direita). Pelo diagrama

da Figura 3.4, pode-se verificar que o fator de atrito para escoamentos lami-

nares (Re < 2100) independe da rugosidade e pode ser dado diretamente por:

Pode-se ainda verificar que, para regimes identificados na figura como ple-

namente turbulentos, o fator de atrito no depende de Re, mas apenas da

rugosidade relativa.

Figura 3.4: Diagrama de MoodyFonte: CTISM

3.2.2 Perdas de cargas localizadasAs perdas de cargas localizadas so devidas aos componentes ou geometrias

que compem a tubulao que no sejam o tubo reto. A contabilizao dessas

perdas relacionada a um fator experimental chamado coeficiente de perda KL. O coeficiente de perda est muito relacionado geometria dos componentes e pouco relacionado s condies do escoamento. Na Figura 3.5 verificamos

que o fluido, ao passar por uma vlvula, assim como em qualquer outro compo-


nente, tem dificuldades devido s restries que se apresentam e que obrigam

a vrias mudanas de direo do fluxo para o fluido transpassar o componente.

Figura 3.5: Detalhes do escoamento em uma vlvulaFonte: CTISM

Dessa forma, esse componente oferece uma restrio equivalente a um deter-

minado comprimento reto de tubulao, ou seja, o seu efeito o mesmo

que um aumento da tubulao de uma quantia igual ao comprimento equi-

valente do componente. A determinao algbrica da perda localizada por

um componente dada por:

A Figura 3.7 apresenta os coeficientes de perda proporcionais aos compri-

mentos equivalentes de vrios componentes encontrados comercialmente.

J a Figura 3.6 apresenta os coeficientes de perdas para algumas geometrias

de entradas e sadas de escoamentos. A determinao da perda total hL se d pela contabilizao de todas as perdas associadas a componentes localizados,

mais as perdas normais da tubulao.


Figura 3.6: Valores de coeficientes de perda para escoamentos em entradas e sadasFonte: CTISM


Figura 3.7: Coeficientes de perdaFonte: CTISM

3.2.3 Exemplo de aplicao Na aula anterior estimou-se a potncia de uma bomba para elevar gua entre dois

reservatrios em nveis diferentes, considerando-se a perda de carga. Contudo,

a perda de carga naquele exemplo fora fornecida. Em muitos casos de projetos

de tubulaes, a perda de carga precisa ser estimada assim como a altura de

carga que deve ser adicionada por uma bomba para que o escoamento seja

mantido. O esquema a seguir representa uma tubulao de ferro galvanizado

por onde a gua escoa a uma vazo volumtrica Q = 0,045 m3/min. A massa


especfica dessa gua = 999 kg/m3 e a viscosidade m = 1,12 x 10-3 N.s/m2. Por simplificao, o escoamento ser considerado incompressvel e plena-

mente desenvolvido nas regies retilneas da tubulao. A torneira (2) est

completamente aberta, e a presso atmosfrica. Pode-se determinar a perda

de carga incluindo as perdas normais e localizadas e a presso na entrada do

sistema (ponto 1).

Figura 3.8: Esquema de tubulao para clculo da perda de cargaFonte: CTISM

A determinao da perda de carga total obtida pela contabilizao das

perdas normais e perdas localizadas. As perdas normais so obtidas por:

onde o comprimento linear da tubulao ser obtido pelo somatrio dos

comprimentos individuais de cada trecho, sendo:


A velocidade V [m/s] da gua no tubo ser obtida por:

O fator de atrito f obtido pelo diagrama de Moody. Contudo, preciso ainda que se determinem a rugosidade relativa /D e o nmero de Reynolds. Da Tabela 3.1 obtm-se que a rugosidade para o tubo de ferro galvanizado

que = 0,15 mm, ento:

O nmero de Reynolds dado por:

Observando o diagrama de Moddy, verificamos que o fator de atrito f = 0,035.

Figura 3.9: Diagrama de Moody para determinao do fator de atrito f = 0,035Fonte: CTISM


Finalmente, pode-se obter a perda de carga normal por:

O total das perdas de cargas localizadas ser obtido pela soma das influncias

de cada componente da tubulao (singularidades). Uma tabela pode ser til

para relacionar os componentes do sistema e os valores de KL so obtidos pela Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Perdas de carga localizadas no sistema

Componente Quantidade KL hLOC = KL =Total de perda por

componente

Curva 90raio normal rosqueada

4 1,5 0,54 2,15

Vlvula globototalmente aberta

1 10 3,59 3,59

Vlvula gavetatotalmente aberta

1 0,15 0,05 0,05

O total das perdas localizadas ser ento hLOC = 2,15 + 3,59 + 0,05 = 5,79 m, e a perda de carga total ser:

Para se determinar a presso no ponto (1), a equao da energia mecnica

pode ser utilizada:

A presso na sada da torneira p2 = patm = 0 (manomtrica), hp e ht tambm so nulos, pois no existem bombas ou turbinas nesse sistema. Considerando

tambm que a rea da sada da torneira a mesma rea da tubulao, ento

V1 = V2 fazendo com que os termos das velocidades tambm se anulem. Por

V 22g


ltimo, por convenincia, consideraremos z1 = 0 m e z2 = 3 m que a diferena de alturas entre (1) e (2). A equao da energia mecnica fica resumida a:

Ou ainda:

importante ressaltar que, se no houvesse perdas neste sistema, a pres-

so em(1) seria simplesmente p1 = gz2 = 10.000 x 3 = 30.000 Pa contra os 143.900 Pa calculados. Assim, fcil perceber a importncia de se considerarem

as perdas de carga nesse sistema e a magnitude do erro que se cometeria,

caso essas perdas fossem desprezadas.

ResumoNesta aula, aplicamos os fundamentos de mecnica dos fluidos no escoamento

interno de tubos e dutos. Definimos, no incio, que os escoamentos podem ser

laminares ou turbulentos, dependendo de caractersticas como a velocidade,

a geometria e a rugosidade da tubulao e das propriedades da viscosidade e

massa especfica dos fluidos. Discutiram-se os efeitos viscosos no escoamento

dos fluidos atravs da regio de entrada e da camada limite e as perdas de

carga associadas ao projeto da tubulao. Finalmente, determinaram-se as

perdas de cargas normais produzidas pelo efeito viscoso do fluido e as perdas

localizadas dependentes das singularidades da tubulao.

Atividades de aprendizagem1. Determine a diferena de presso que existiria no ponto (1) entre dois

sistemas como o exemplo acima em cujo ponto de entrada se conside-

rasse uma entrada com cantos delgados em um caso, e em outro, uma

entrada com cantos arredondados de acordo com a Figura 3.6.


2. De acordo com a figura que segue, determine a potncia necessria bomba para elevar gua a 61 metros do reservatrio 1 ao reservatrio 2,

por uma tubulao de ferro fundido, considerando as perdas de carga.

Considere: Q = 6 m3/min, = 999 kg/m3 e m = 1,12.10-3 N.s/m2.

Fonte: CTISM


e-Tec Brasil

Aula 4 Escoamentos externos

Objetivos

Estudar o escoamento de fluidos viscosos no exterior de formas

geomtricas conhecidas.

Determinar a fora de arrasto em corpos imersos em fluidos sob

escoamento.

Determinar a fora de sustentao em corpos imersos em fluidos

sob escoamento.

4.1 Conceitos bsicosQuando um corpo est submerso em um fluido em escoamento, surgem

foras de interao entre ambos. Muitas vezes, o fluido est em repouso,

e o corpo que se movimenta atravs da massa fluida, como no caso de

um avio em voo ou um submarino em mergulho. Em outras, o corpo est

imvel, imerso no fluido em escoamento, como o vento soprando sobre uma

ponte ou o rio escoando sobre os pilares dessa ponte. Contudo, em ambas

as situaes, pode-se fixar a referncia no corpo e tratar o assunto como se

o fluido estivesse escoando.

Por simplificao, considera-se que a velocidade do fluido antes de atingir um

corpo, distante o bastante para no ser influenciada pelo mesmo, constante.

A essa velocidade convencionou-se chamar velocidade a montante U [m/s].

A geometria dos corpos submersos tem ainda grande influncia sobre o

escoamento e sobre as foras envolvidas na interao do corpo com o fluido

escoando. Corpos aerodinmicos, como a asa de um avio, provocam efei-

tos menores no escoamento se comparados a corpos rombudos como uma

antena parablica. Assim, entende-se que muito mais fcil carregar, em um

dia de ventos muito fortes, uma asa de um avio, no sentido do seu perfil

aerodinmico, no fluxo do vento do que carregar uma antena parablica com

sua concavidade apontada para o mesmo.

Assista a um vdeo sobre Princpio de Bernoulli emhttp://www.youtube.com/watch?v=kXBXtaf2TTg

e-Tec BrasilAula 4 - Escoamentos externos 63

As foras que atuam sobre o corpo submerso em um escoamento so oriun-

das da interao do fluido com a superfcie do corpo, ou seja, da tenso de

cisalhamento t [kPa] produzida pela viscosidade do fluido e da tenso normal superfcie p [kPa] produzida pela presso do escoamento sobre o corpo.

As foras produzidas por essas tenses, se decompostas em componentes

paralelos ao fluxo e normais a ele, produzem foras resultantes chamadas de

arrasto D [N] (Drag), no sentido do fluxo, e sustentao L [N] (Lift), perpendi-cular ao fluxo. A Figura 4.1 representa a velocidade a montante e as foras de

arrasto e de sustentao em um perfil aerodinmico como a asa de um avio.

Figura 4.1: Velocidade a montante, foras de arrasto e sustentao na asa de um avioFonte: CTISM

4.2 Arrasto 4.2.1 Camada limite em escoamentos externosA camada limite, como j foi tratada nas sees anteriores, a regio prxima

superfcie por onde o fluido escoa e onde se manifestam os efeitos das

foras viscosas do escoamento. Assim, nessa regio, um perfil de velocidade


pode ser percebido pelo fato de que uma camada do fluido adere superf-

cie com velocidade nula (condio de no deslizamento), e a velocidade nas

camadas adjacentes vai crescendo at se igualar velocidade a montante

do escoamento. Fora dessa regio de influncia das foras viscosas, o fluido

comporta-se como se no houvesse a superfcie, e a sua velocidade igual

velocidade a montante U [m/s]. A distncia da superfcie at a camada onde a velocidade praticamente igual velocidade a montante do escoamento

conhecida como a espessura da camada limite d [m] (Figura 4.2).

Figura 4.2: Espessura da camada limiteFonte: CTISM

Se considerarmos uma partcula retangular escoando fora da camada limite

em um escoamento permanente, verifica-se, de acordo com a Figura 4.3,

que esta partcula no sofre deformao medida que escoa nesta regio.

Contudo, uma partcula de mesmas propores e geometria escoando no

interior da camada limite sofre uma deformao devido s diferenas de

velocidade em suas camadas inferior e superior. Se a superfcie plana mos-

trada na figura for suficientemente longa, a uma determinada distncia da

borda de ataque, ocorrer a transio do escoamento de uma camada limite

laminar para camada limite turbulenta. A partcula, ao escoar na camada

limite sofrer deformaes muito mais acentuadas e aleatrias nessa regio,

caracterizada por vrtices com direes e tamanhos aleatrios. A distncia

da transio da camada limite laminar para turbulenta dado pelo nmero

de Reynolds, baseado no comprimento crtico xc [m], ou seja,


onde U [m/s] a velocidade a montante, xc [m] a distncia da borda de ataque at a transio, [kg/m3] a massa especfica do fluido e m [N.s/m2] a viscosidade do fluido.

O tipo de camada limite tem influncia sobre o arrasto do corpo. Quando o

corpo tem um perfil aerodinmico, como a asa de um avio, a camada limite

turbulenta tende a aumentar o arrasto do corpo. No entanto, quando o corpo

rombudo, como uma esfera ou um cilindro, a camada limite turbulenta

diminui o arrasto. Isso ocorre porque o arrasto no depende somente das

foras viscosas do escoamento, mas tambm das diferenas de presso que

surgiro entre a borda de ataque e de sada do corpo.

Figura 4.3: Camada limite laminar e turbulentaFonte: CTISM

4.2.2 Coeficiente de arrasto Os efeitos das foras viscosas manifestam-se na forma da camada limite e

seriam os nicos a contribuir na fora de arrasto se no houvesse variaes

de presses entre a borda de ataque e de sada do corpo no escoamento.

Contudo, esse fenmeno s ocorreria no caso idealizado de um escoamento

sobre uma superfcie plana de pequena espessura e grande comprimento.

Essa contribuio na fora de arrasto chamada de arrasto de atrito. De outra forma, quando a superfcie for parte de um corpo que possui espessura

considervel como uma esfera, um cilindro ou outra forma qualquer, outra

contribuio na fora de arrasto ser percebida: a do arrasto de presso.


Na Figura 4.4 est representado o descolamento da camada limite sobre uma

esfera devido aos efeitos da variao da presso ao longo do curso da camada

limite. Esse fenmeno ocorre porque toda partcula fluida que percorre a

camada limite em torno do cilindro sofre, a partir da borda de ataque, uma

diminuio da presso ao longo da metade dianteira da esfera e um aumento

da sua velocidade, ou seja, uma transformao de energia de presso em

energia cintica.

Essa variao da presso, na metade dianteira da esfera, denominada varia-

o favorvel ao escoamento. Se o fluido fosse invscito, a partcula atingiria

a borda de sada na metade traseira da esfera sem que houvesse perdas de

energia no caminho, a presso tornaria a crescer e a velocidade a diminuir

nessa metade da esfera, ou seja, uma variao de presso dita variao des-

favorvel ao escoamento. Contudo, devido aos efeitos das foras viscosas,

a partcula na camada limite perde energia no seu trajeto e no consegue

atingir a borda de sada, descolando-se da superfcie e causando o fenmeno

conhecido como descolamento da camada limite. Esse fenmeno produz

como efeito uma esteira de baixa presso atrs do corpo que induz um arrasto

conhecido como arrasto de presso.

Figura 4.4: Descolamento da camada limite sobre uma esferaFonte: CTISM

O descolamento e a formao da regio da esteira atrs do corpo dependem

do nmero de Reynolds do escoamento. Para Re muito pequenos, o escoa-mento simtrico em torno do cilindro (Figura 4.5a). O aumento de Re pro-

duz uma regio de baixa presso estacionria pelo descolamento da camada

limite (Figura 4.5b). Para Re ainda maiores (Re 100), a regio de separao

aumenta e perde a simetria, formando uma regio de esteira oscilatria com

vrtices alternados de baixo para dentro e de cima para dentro (Figura 4.5c).

Assista a vdeoscomplementares emhttp://www.youtube.com/watch?v=Vjk9Ux2COx0

http://www.youtube.com/watch?v=vQHXIHpvcvU

http://www.youtube.com/watch?v=0H63n8M79T8

http://www.youtube.com/watch?v=jiWa4uzOynk


Se Re for suficientemente grande, um redemoinho turbulento ocorre atrs do

cilindro, formando a regio da esteira, que ser larga e de maior arrasto, se

a camada limite for laminar (Figura 4.5d), e mais estreita e de menor arrasto,

se a camada limite for turbulenta (Figura 4.5e).

Figura 4.5: Padres de escoamento tpicos sobre um cilindroFonte: CTISM

O arrasto total a soma dos efeitos do arrasto de atrito e do arrasto de pres-

so. A formao da esteira indica maior influncia do arrasto de presso no

arrasto total. Corpos com perfis aerodinmicos buscam eliminar o efeito do

descolamento da camada limite, de forma a diminurem o arrasto total. Por

exemplo, o perfil aerodinmico de um veculo moderno diminui a formao

da esteira e o arrasto, proporcionando maior economia de combustvel, pois

o veculo gasta menos energia para se deslocar em um meio fluido de ar.

Assista a vdeoscomplementares em:

http://www.youtube.com/watch?v=vqhxihpvcvu&feature=playlist&p=bd6071b837419278

&index=9

http://www.youtube.com/watch?v=sj3w4bg5tx8

http://www.youtube.com/watch?v=7kkftgx2any


A determinao do arrasto total pode ser dado pela seguinte equao:

onde D [N] a fora de arrasto, [kg/m] a massa especfica do fluido, U [m/s] a velocidade a montante, A [m/s] a rea frontal do corpo e CD o coeficiente de arrasto.

O coeficiente de arrasto determinado por numerosos experimentos em

tneis de vento, tneis de gua ou outros dispositivos, e seus resultados

apresentados em tabelas como mostra o Figura 4.6

Figura 4.6a: Coeficientes de arrasto para diversas formas de interesseFonte:CTISM


Figura 4.6b: Coeficientes de arrasto para diversas formas de interesseFonte:CTISM


4.2.3 Exemplo de aplicaoO arrasto aerodinmico em um automvel funo do seu perfil aerodin-

mico. Veculos mais aerodinmicos produzem menores arrastos e, dessa forma,

consomem menos combustvel, pois necessrio menos energia para vencer

o menor arrasto. Os projetos mais cuidadosos dos veculos atuais reduziram

os coeficientes de arrasto dos antigos veculos de uma faixa de 0,8, para os

veculos produzidos por volta de 1920, para uma mdia de 0,27, nos veculos

produzidos atualmente. A partir dos 48 km/h, o arrasto passa a ter uma influ-

ncia considervel na potncia de um veculo. Considerando que a potncia

gasta para vencer o arrasto o produto da fora de arrasto pela velocidade

do veculo, determine a potncia necessria para superar o arrasto de dois

veculos de rea frontal igual a 2,8 m2 trafegando em uma estrada a 80 km/h

(22,22 m/s). Um produzido em 1920 e outro em 2010. O deslocamento dos

veculos ocorre sob condies do ar padro e de temperatura e presso ao

nvel do mar = 1,23 kg/m3.

Fig. 4.7: Exemplos de veculos produzidos em 1920 e 2010 respectivamenteFonte: CTISM


A potncia necessria para vencer o arrasto aerodinmico ser ento:

onde P [W] a potncia, D [N] a fora de arrasto e U [m/s] a velocidade a mon-tante. Nesse caso, para o ar calmo, a prpria velocidade do veculo 22,22 m/s.

Como a fora de arrasto dada por:

Substituda na equao da potncia:

Para o veculo de 1920:

Para o veculo de 2010:

Ou seja, os veculos atuais precisam de aproximadamente um tero da potncia

que os antigos precisavam para vencer o seu arrasto.

4.3 SustentaoQualquer objeto, movendo-se imerso em um fluido, estar sujeito a foras

que provm da interao do fluido com a superfcie. Se o objeto for simtrico

e produzir um campo de escoamento simtrico (linhas de fluxo simtricas), a

fora resultante dessa interao atuar na direo da velocidade a montante

e ser a prpria fora de arrasto. Caso contrrio, se o campo de escoamento

no for simtrico, como no caso de um perfil no simtrico de uma asa ou

aeroflio, um perfil de asa simtrico, mas com um determinado ngulo de


ataque em relao ao sentido do fluxo ou de uma esfera em rotao, surgir

tambm uma fora perpendicular ao fluxo chamada de sustentao.

Muitos objetos so projetados de forma a aumentar a sustentao, como o

caso tpico das asas de avies; outros so projetados de forma a diminuir a sus-

tentao, como os aeroflios dos carros de competio, de forma a forar uma

aderncia mais intensa ao solo e a facilitar o seu controle nas curvas. De toda

maneira, a forma do objeto o principal fator de influncia na sustentao, e

a fora de sustentao resultante devida distribuio da presso na super-

fcie do mesmo, como se pode ver na Figura 4.1 apresentada anteriormente.

Figura 4.8: Campos de escoamento simtricos e no simtricos em aeroflio simtrico, no simtrico e em esferasFonte: CTISM

A determinao da sustentao total pode ser dada pela seguinte equao:


onde L [N] a fora de sustentao, [kg/m3] a massa especfica do fluido, U [m/s] a velocidade a montante, A [m/s] a rea projetada do objeto e CL o coeficiente de sustentao.

Aeroflios e asas so casos clssicos em Mecnica dos Fluidos de dispositivos

projetados para aumentar ou diminuir a sustentao. Nesses casos, a rea

projetada dada pelo comprimento do aeroflio ou da asa b multiplicado pela sua largura c (Figura 4.9).

Figura 4.9: rea projetada do perfil de uma asa ou aeroflioFonte: CTISM

A determinao do coeficiente de sustentao, assim como o coeficiente

de arrasto, realizada por experimentos em tneis de vento ou de gua e

funo principalmente da forma do objeto. Em asas e aeroflios, o ngulo

de ataque um fator a considerar. A influncia do ngulo de ataque em um

tpico perfil de asa representada na Figura 4.10. Pode-se perceber por esta

figura que, na medida em que o ngulo de ataque aumenta, o coeficiente de

sustentao tambm cresce at um determinado limite, denominado de limite

de estol. Nessa condio ocorre uma sbita perda de sustentao, o que pode

ser perigoso no caso de aeronaves que precisaro de uma altitude suficiente

para recuperarem a sua sustentao. Para ngulos pequenos, o fluido escoa

suavemente sobre o perfil e no h descolamento da camada limite, ou seja,

como era de se esperar, a asa se comporta como um objeto aerodinmico.

Para ngulos de ataque maiores, a camada limite acaba se descolando da

superfcie, e o objeto se comporta como um objeto rombudo. Isto aumenta

o coeficiente de arrasto e o mesmo perde a funo como asa ou aeroflio.


Figura 4.10: Relao tpica entre o coeficiente de arrasto de uma asa e o ngulo de ataqueFonte: CTISM

Outra tpica relao envolvendo asas e aeroflios a carga da asa [N/m2]. A

carga da asa a relao entre a fora de sustentao L e a rea projetada da asa, ou seja:

Valores tpicos para as cargas da asa de avies podem variar de aproximada-

mente 70 N/m2 nos primeiros avies at mais do que 7000 N/m2 nos modernos

jatos comerciais. Para um pequeno besouro, a carga da asa de aproxima-

damente 50 N/m2. Deve-se observar que a carga da asa proporcional ao

quadrado da velocidade.

4.3.1 Exemplo de aplicaoA partir de 1912, surgiram alguns concursos como maneira de estimular a

construo de avies de propulso humana (HPAs). Nos anos 70 o industrial

ingls Henry Kremer deu o grande impulso aos avies de propulso humana,

instituindo, em 1973, o Kremer International Marathon Competition. O concurso consiste num voo de duas voltas em um circuito oval externo ao

redor de dois mastros distantes 800 metros um do outro, uma volta em forma

de 8 e mais duas voltas no circuito externo, devendo ser completado em


menos de 1 hora. O prmio oferecido de 50 mil libras esterlinas e foi entregue

pela primeira vez quatro anos depois da sua instituio (23/08/77), quando

a aeronave americana GOSSAMER CONDOR, projetada por Paul MacCready Jr. realizou o feito. As regras para a aeronave so as seguintes:

A aeronave deve ser mais pesada que o ar. O uso de gases mais leves que

o ar so proibidos.

A aeronave deve ser totalmente propelida por fora humana, sendo

proibida a utilizao de dispositivos de armazenamento de energia.

Todos os sistemas eltricos e mecnicos da aeronave devem ter sido pro-

jetados de forma a oferecer total segurana ao piloto.

Nenhum tipo de droga ou estimulante ser tolerado, incluindo oxignio,

sendo o piloto sujeito a testes antidoping regulamentados pela UK Sports Council.

Nenhum tipo de catapulta ou dispositivo lanador ser permitido em

nenhum momento do vo, incluindo pouso e aterrissagem.

A aeronave deve ser exclusivamente controlada pelo piloto.

Ajuda externa aeronave ou ao piloto far com que o vo seja conside-

rado invlido.

A tripulao considerada aquela que decola com a aeronave, no sendo

permitida a sada ou entrada de nenhum tripulante durante o vo. O n-

mero de tripulantes ilimitado.

As condies climticas do vo devem ser aprovadas pela organizao, e

o local de decolagem deve estar longe de construes que possam cau-

sar efeito aerodinmico.

A aeronave deve manter-se a no mnimo 5 metros de altura durante o vo.


Figura 4.11: Aeronave de propulso humanaFonte: CTISM

As caractersticas do voo e da aeronave de propulso humana Gossamer Condor so as seguintes:

Com isso, pode-se determinar a carga de asa e o coeficiente de sustentao

dessa aeronave.

Algumas consideraes precisam ser feitas para uma soluo aproximada

desse problema:

A aeronave deve voar com velocidade constante e numa mesma altitude.

As condies do ar so condies padro e presso atmosfrica padro

ao nvel do mar = 1,23 kg/m3.

Somente a asa da aeronave responsvel pela sustentao.

Assista a um vdeo sobre o o Gossamer Condor emhttp://www.youtube.com/watch?v=sp7yv67B5Sc


Para se determinar o coeficiente de sustentao, devemos admitir que a fora

de sustentao L [N] deve ser igual ao peso da aeronave W [N]. Sendo assim, podemos escrever:

Isolando o coeficiente de sustentao e substituindo o peso no lugar da fora

de sustentao, obtm-se o CL:

A carga de asa dada pela fora de sustentao que, nesse caso, igual ao

peso dividido pela rea da asa A = 29,26 x 2,27 = 66,42 m2, logo

ResumoNessa aula discutiu-se a interao entre objetos submersos e fluidos escoando

externamente a estes objetos. Em conceitos bsicos, definiu-se a diferena

entre objetos rombudos e aerodinmicos e a velocidade a montante. Discutiu-se

ainda a ao de duas foras devido interao dos objetos submersos com

o fluido: a fora de arrasto e a fora de sustentao. Na primeira das for-

as discutidas, apresentou-se a influncia da camada limite no arrasto, pela

formao da esteira, e a influncia da forma no surgimento dessa fora. Na

seo da sustentao, discutiu-se sobre o efeito da forma de asas e aeroflios

que so objetos projetados de maneira a maximizar ou minimizar a fora de

sustentao de objetos sob escoamentos externos.


Atividades de aprendizagem1. Explique por que a carga de asa (1,46 N/m2) na aeronave de propulso

humana Gossamer Condor menor do que a carga de asa de um peque-no besouro (50 N/m2).

2. Considerando que potncia o produto da fora pela velocidade, calcule a potncia necessria que deve ser fornecida pelo tracionador humano

para manter a velocidade, sendo a rea frontal da aeronave de Gossamer Condor igual a 1 m2.

3. Calcule a reduo de potncia para vencer o arrasto que um caminho comum com carreta fechada de rea frontal igual a 4,5 m2 rodando a

100 km/h, perceberia se fosse instalado um defletor em sua cabine. Con-

sidere que o deslocamento ocorre em condies de ar calmo. Utilize as

informaes da Figura 4.6.

e-Tec Brasil79

Referncias

FOX, R. W.; PRITCHARD, P. J.; MCDONALD, A. T. Introduo Mecnica dos Fluidos. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

MUNSON, B. R. Fundamentos da Mecnica de Fluidos. 4. ed. So Paulo: EDGARD BLUCHER, 2004.

MORAN, M. J. et al. Introduo Engenharia de Sistemas Trmicos. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

WELTY, J. R. et al. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer. EUA: 1984.


Currculo do professor-autor

Luciano Caldeira Vilanova graduado em Engenharia Mecnica pela Universidade Federal de Santa Maria com Mestrado e Doutorado em Engenharia

Mecnica pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Sua subrea de

pesquisa a Energia e seus trabalhos de ps-graduao envolveram um

inventrio de emisses veiculares e um estudo de desempenho dos motores

bicombustveis brasileiros. Como professor atuou por nove anos no Centro

Federal de Educao Tecnolgica de Pelotas CEFET - RS. Desde 2008 professor

do Colgio Tcnic

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Mecânica dos Fluidos.pdf