MECÂNICA - ESTÁTICA Atrito Cap. 8. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 8.1 Características do Atrito Seco - Definição de

MECÂNICA - ESTÁTICA

Atrito

Cap. 8

TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

8.1 Características do Atrito Seco - Definição de Atrito

• Atrito é uma força de resistência

que atua em um corpo impedindo

ou retardando seu movimento.

• Esta força atua sempre tangente a

superfície nos pontos de contato e

em sentido oposto ao possível

movimento.

Forças de Atrito

Direção do movimento


Existem dois tipos de atrito:

• Atrito fluído: existe quando as superficies de contato

estão separadas por um fluído (gás ou líquido).

• Atrito seco (atrito de Coulomb): ocorre entre duas

superficíes sem a presença de um fluído lubrificante

8.1 Características do Atrito Seco - Tipos de Atrito


Considere o bloco abaixo apoiado em uma superfície

rugosa.

Assuma:

A superfície de contato e não-rígida ou deformável

O restante do bloco é rígido

8.1 Características do Atrito Seco - Teoria do Atrito Seco


Atrito Fn atua em sentido contrário a P

Resultante normal N atua para suportar o peso W

8.1 * - Teoria do Atrito Seco


Olhando um detalhe da superfície de contato:



No equilíbrio:• F atua oposta a P e tangente a

superfície de contato• N atua de baixo para cima para

suportar W• N atua a uma distância x, a

direita do centróide para

balancear o momento causado

por P

8.1 * - do Atrito Seco


W

Phx

PhWx

M

WN

WN

F

O

y

0

0

0

0

Balanceando o momento:



Balanceando o momento:

x=Ph/W

Assim o bloco estará na

iminência de tombamento se N

atuar na borda do bloco em

x = a/2



Movimento iminente:

P F até que F Fs (força limite de atrito estática)

se F = Fs o bloco está numa situação de equilíbrio

instável

o bloco poderá se mover



sss

s

ss

N

N

N

F

NF

111 tantantan

Onde:s: coeficiente de atrito estáticos: ângulo de atrito estático



Valores típicos de s:

1.1-1.7Alumínio sobre alumínio

0.3-0.6Couro sobre metal

0.2-0.5Couro sobre madeira

0.3-0.7Madeira sobre madeira

0.03-0.05Metal sobre gelo

Coeficiente de Atrito Estático (s)

Materiais em contato



Movimento:

Se P > Fs e F = Fk (força de atrito cinética)

onde P > Fk e Fk < Fs

o bloco se move em velocidade crescente



kkk

k

kk

N

N

N

F

NF

111 tantantan

Onde:k: coeficiente de atrito cinéticok: ângulo de atrito cinético



ksks

kk

ss

FF

N

F

N

F

1

1

tan

tan

kkk

k

kk

N

N

N

F

NF

111 tantantan

Onde:k: coeficiente de atrito cinéticok: ângulo de atrito cinético



F é classificado em 3 diferentes formas:

F = Fs no valor máximo para manter o equilíbrio

F é uma força estática quando o equilíbrio é mantido

F = Fk quando ocorre deslizamento


v elevadaefeito

aerodinâmico


Características do atrito seco (F):

• F é tangente à superfície de contato com sentido oposto

ao movimento relativo

• Fs é independente da área de contato

• Fs Fk s k e s k

• Quando o tombamento é iminente Fs = sN

• Quando ocorre deslizamento Fk = kN



Existem 3 tipos de problemas de atrito:

( # de incógnitas = Nu,

# de equações de equilíbrio = Ne

e # de equações de atrito = Nf)

• Equilíbrio: Nu = Ne

• Movimento Iminente em todos Pontos: Nu= Ne+Nf

• Movimento Iminente em alguns Pontos: Nu< Ne+Nf

8.2 Problemas Envolvendo Atrito Seco - Tipos de Problemas


• Equilíbrio: Nu = Ne

• Para o pórtico abaixo o equilíbrio pode ser mantido porque:

Nu=6 pode ser determinado das seis equações de equilíbrio.

• Os elementos permanecerão em equilíbrio se: FA 0.3NA e FC

0.5NC forem satisfeitas

8.2 * - Tipos de Problemas com Atrito


8.2 * - Soluções para a estrutura

Treliça simétrica:



Pórtico simétrico total:

N V M



Pórtico simétrico, somente metade:

N V M


• Momento iminente em todos pontos: Nu = Ne + Nf

• Encontre para o qual o elemento de 100-N não deslizará.

• Nu= 5: NA, NB, FA, FB e

• Ne=3: Fx=0, Fy=0 e M=0

• Nf=2: FA=0.3NA e FC=0.4NC



• Movimento iminente em alguns pontos: Nu < Ne + Nf

• Determine P necessário para causar o movimento.



• Nu= 7: NA, FA, NC, FC, Bx, By e P

• Ne=6: {Fx=0 e Fy=0) para cada nó

• Nf=1: {FA=0.3NA & FC0.5NC} (deslizando em A P1)

ou {FA 0.3NA & FC=0.5NC} (deslizando em C P2)

• Calcule P para cada caso e escolha Pmínimo

• Se P1 = P2 deslizamento ocorre simultaneamente



As tubulações de concreto estão empilhadas conforme mostra a

figura. Determine o coeficiente estático de atrito mínimo em cada

ponto de contato para que a pilha não se desmanche.

Exemplo 8.4


Diagrama de corpo livre:

Nu=6; NA, NB, NC, FA, FB e FC

No colapso a força normal em D=0Ne=6: {Fx=0, Fy=0, and M=0} para cada tubo

Tubo 1 Tubo 2

Tubo 1

Tubo 2

Exemplo 8.4 - Solução


Tubo 1

Tubo 2

Tubo 1:

0

( ) ( ) 0

0

sin 30 cos30 sin 30 cos30 0

0

2 cos30 2 sin 30 0 (1)

A B

A B

O

A B

x

A B

y

M

F r F r

F

N F N

F F F

N

N

N

F W

N

F

F

Q



'

Tubo 2 :

usando

0

( ) ( ) 0

0

sin 30 cos30 0

sin 30 (2)

1 cos30

0

cos30

0

sin 30 0 (3)

.26795

A A

O

C

x

y

C

C

F F N N

M

F r F r

F

N F F

NF

F

N W N

F F

N

F

F

QTubo 1

Tubo 2



min

min min

( )

Mas da equação (2) 0.26795

0.26795( ) ( ) 0.26795 (4)

Lembrando a equação (1):

2 cos30 2 sin 30 0

Substituindo (4) em (

0.5

1):

Substituindo em (2):

0.13397

s

s s

N W

F

NF N

N

N

N F

F

W

W

Tubo 1

Tubo 2



Lembrando a equação (3)

cos30 sin 30 0

Substituindo N 0.5W na equação (3)

(0.5 )cos30 0

0.5

0.13

.26795(0.5 )si

397

1

n 3

.5

0 0

C

C

A B

A B C

C

N N N W

F F F F W

N W N F

N W W W

N W

Tubo 1

Tubo 2



m minin

0.13397

1.5

0.13

( )( )

1.5( ) 0.0

9

8

3 7

93

C

s sC

F W

N W

N W

F W

Tubo 1

Tubo 2

Entre os dois tubos: s = 0.268

No solo, ,o menor coeficiente estático de atrito requerido será:

Assim, s entre os tubos > s no solo

Se ocorrer deslizamento, a parte inferior dos dois

tubos rolará afastando-se uma da outra sem ocorrer

deslizamento do tubo superior que tenderá a cair.



A escada uniforme de 20 lb repousa no solo rugoso de coeficiente

de atrito estático s=0.8 e se apoia na parede lisa em B.

Determine a força horizontal P que um homem deve exercer

sobre a escada para causar o seu movimento.

Problema 8.5


Assumindo que a escada gira em torno de A


NA

NB

FA

20 lb

Problema 8.5 - Solução


0

0

20 lb

0

0

20 0

A

A

B

x

A

y

A

P

N

F

P

F

N

F

N

F

Assumindo que a escada gira em torno de A:


NA

NB

FA

20 lb


max

max

0

20(3) (4) 0

( ) (0.8)(20) 16 lb

16 lb 15 lb

Assim o giro da escada foi comprovado.

P 15lb

15 lb

OK!

15 lb

A

A

A s

A

A

A

M

P

F P

F N

F

F

P

Q


NA

NB

FA

20 lb


A escada uniforme de 20 lb repousa no solo rugoso de coeficiente

de atrito estático s=0.4 e se apoia na parede lisa em B.

Determine a força horizontal P que um homem deve exercer

sobre a escada para causar o seu movimento.

Problema 8.6


Assumindo que a escada gira em torno de A


NA

NB

FA

20 lb



0

0

20 lb

0

0

20 0

A

A

B

x

A

y

A

P

N

F

P

F

N

F

N

F

Assumindo que a escada gira em torno de A:


NA

NB

FA

20 lb


max

max

0

20(3) (4) 0

( ) (0.4)(20) 8 lb

8

15 lb

15 lb

hipótese errada! lb 15 lb

Assim o giro da escada NÃO foi comprovado.

A

A

s A

A

A

A

M

P

F P

N

F

F

F

P

Q


NA

NB

FA

20 lb


max

0

8 lb

0

0

8 (1)

20 lb

0

20 0

B

A A

x

B A

B

y

AA

N

F F

F

P N F

P N

N

F

N

Assumindo que a escada desliza em A:


NA

NB

FA

20 lb


0

8 20(3) 6 (4) 0

8 8 20(3) 20 6 (4) 0

Substituindo em 1:

7 lb hipóte

1 lb

se c

8 1

0 lb

Assim a escada realmente

orreta

desli a.

!

z

B

A

B

A

B

P

N

M

F N P

P

N

Q


NA

NB

FA

20 lb

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