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MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método

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MECÂNICA - ESTÁTICA

Momentos de Inércia

Cap. 10

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Objetivos

Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área.

Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.

Discutir o momento de inércia de massa.

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10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

O centróide de um corpo é obtido pelo cálculo do primeiro momento de área:

O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de área:

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Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado:

A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na

superfície de uma placa submersa.

10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

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Para os momentos de inércia de uma área qualquer:

JO é o segundo momento de área em

torno do ponto O ou do eixo z,

chamado momento polar de inércia:

10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

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Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos:

(a) x

(b) y

Problema 10.A

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dyx

y

Problema 10.A - Solução

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dx

x

y

Problema 10.A - Solução

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O momento de inércia de uma área em

relação a um eixo (x e y) é igual ao

momento de inércia desta área em

relação ao eixos paralelos passando pelo

centróide (C) da área (x´ e y´) mais o

produto da área (A) pelo quadrado da

distância entre os eixos (dx ou dy).

10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

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10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

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Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a:

(a) eixo centroidal x´

(b) eixo xb passando pela base do

retangulo

(c) polo ou eixo z´ ao plano x´- y´ passando pelo centróide C.

Exemplo 10.1

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Exemplo 10.1

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C

dx´x´

Exemplo 10.1

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As vezes o elemento infinitesimal de área não está

orientado paralelamente ao eixo para o qual se

calcula o momento de inércia.

Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos

paralelos (quando esta orientação é vertical) ou

simplesmente usar a expressão correta do diferencial

do momento de inércia e integrar.

10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração

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Problema 10.8

Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos:

(a) x

(b) y

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(x,y)

y=y/2

dx

y

Problema 10.8 - Solução

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(x,y)

y=y/2

dx

y

Problema 10.8 - Solução

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(x,y)

y=y/2

dx

y

Problema 10.8 - Solução

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O raio de giração de uma área plana possui a unidade do

comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de

pilares

10.3 Raio de Giração de uma Área

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Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y.

Problema 10.B

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dx

y

x

Problema 10.B - Solução

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dx

y

x

Problema 10.B - Solução

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• Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de

formas simples.

• Um corpo pode ser dividido em partes.

• O momento de inércia de um corpo composto é igual a

soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes.

10.5 Momentos de Inércia de Área Compostas

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Determine o centro de gravidade e o

momento de inércia da área

mostrada em relação aos:

(a) eixo x

(b) eixo y

Problema 10.34

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I = I1 - I2 - I3

Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3

Iy = (Iy)1 – (Iy)2 – (Iy)3

=

-

-

13

2

Problema 10.34 - Solução

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A = A1 - A2 - A3

xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / Ayg = (A1yg1 – A2yg2 – A3yg3) / A

=

-

-

13

2

Problema 10.34 - Solução

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1

x

y

10 in

6 in

5 in

3 in

Problema 10.34 - Solução

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2

x

y

6 in

3 in

8 in

5 in

Problema 10.34 - Solução

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3raio (r) = 2 in

4 in

3 in

x

y

Problema 10.34 - Solução

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Problema 10.34 - Solução