MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2. TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las

MECÂNICA - ESTÁTICA

Vetores Forças

Cap. 2

TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.


2.5 Vetores Cartesianos

Sistema de Orientado de Coordenadas (Mão Direita):

O dedão da mão direita aponta

para a direção z+. Os demais dedos se curvam a partir da

direção x+ para a direção y+



Componentes Retangulares de um Vetor:

A = A' + Az

A' = Ax + Ay

Þ A = Ax + Ay + Az



Vetor Unitário:A direção e o sentido de A pode ser especificado por um vetor unitário uA

A

A

u

uA

Au

de módulo o define positivo)(escalar

de sentido o e direção a define que

al.adimension vetor um é

A

AA

A

A

A



Vetores Cartesianos

Unitários:

Em três dimensões o conjunto

de vetores unitários é i, j e k.

i, j e k são usados para

designar, respectivamente, as

direções dos três eixos x, y e z.



kjiA zyx AAA Representação de Vetores Cartesianos:



Módulo de um Vetor Cartesiano:222zyx AAAA



Direção de um Vetor Cartesiano:


A

AzcosA

AxcosA

Aycos





1coscoscos

1 que Desde

cos cos cos

Mas

coscoscos

222

A

A

zyxA

zyx

u

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

kjiu

kjiA

u




kjiA zyx AAA Representação de Vetores Cartesianos:

kji

kji

uA

zyx

A

AAA

AAA

A

cos cos cos

:Conferindo


2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos

kjiR

BAR

kjiR

BAR

kjiB

kjiA

)()()(

)()()(

zzyyxx

zzyyxx

zyx

zyx

BABABA

BABABA

BBB

AAA


2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos

kjiFFR zyx FFF

esConcorrent Forças de Sistema


Problema 2.59

Determine o módulo e os ângulos diretores de:

F1 = {60i – 50j + 40k}N

e

F2 = {-40i –85j +30k}N


Problema 2.59 - Solução

1

2 2 21

11

11

11

1

1

1

1

1

{60i – 50 j 40k} N

(60) ( 50) (40)

60cos

87.750

50cos

87.750

40c

87.7 N

46.8

125

62os 87.7

.9

8

50

7.750 NF FF

F


Problema 2.59 - Solução

2

2 2 22

12

12

1

2 2

2

2

22

{-40i –85 j 30k} N

( 40) ( 85) (30)

40cos

98.615

85cos

98.6

98.6 N

114

150

7

98.615 N

15

30cos

98.6152.3

F FF

F


Exemplo 2.A

Três forças atuam no gancho. Se a força

resultante possui a direção e módulos mostrados,

determine

o módulo

e direção de F3.


Exemplo 2.A - Solução

3 3 3

Vetores Cartesianos:

120 cos 45 sin 30 cos 45 cos30 sin 45

42.426 73.485 84.853 N

4 3 80 N

5 5

64 48 N

110 N

Nx y z

F F F

R

R

1

1

2

3

F i j k

F i j k

F i k

F i k

F k

F i j k



3 3 3

42.426 73.485 84.853 N

64 48 N

110 N

N

Força Resultante:

x y zF F F

R

1

2

3

R 1 2 3

F i j k

F i k

F k

F i j k

F F F F



3 3 3

3 3

3 3

3

Força Resultante:

42.426 73.485 84.853 64 48 110

Igualando os componentes , e

64 42.426 21.574 N

73.485 73.485 N

48 110 84

x y z

x x

y y

z

F F F

F F

F F

F

i j k i j k

i j k

3.853 146.85 N

21.574 73.485 146.85 Nz

F

3 F i j k



32 2 2

3

1

3

1

166

21.574 73.485 146.85 N

O módulo de é:

( 21.574) (73.485) (146.85)

Os ângulos diretores de são:

21.57cos

165.62

73.48cos

1

1

65.62

N

97.5

65.62 NF F F

3

3

3

F i j k

F

F

1 146.85cos

165.

63.7

27.62

5


2.7 Vetores Posição

Coordenadas x, y, z:Sistema orientadoeixos z sentido zenitalx e y residem no mesmo

plano horizontalPontos no espaço são

localizados em relação a origem do sistema, O.



Vetor Posição:

O vetor posição, r, é definido como um vetor fixo que localiza um ponto no espaço em relação a um outro ponto.

r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k



( , , ) , ( , , )

( ) ( ) ( )

A A A B B B

B A B A B A

A x y z B x y z

x x y y z z

A B

AB B A

r r r

r r r r

r i j k


Problema 2.B

Determine a

distância entre os

pontos A e B de um

cabo, encontrando o

vetor posição de A

para B e

determinando o seu

módulo.


Problema 2.B - Solução

2 2 2

( 3sin 30 ,3cos30 ,1);

(8sin 60 ,8cos60 , 2)

(8sin 60 ( 3sin 30 ))

(8cos60 3cos30 )

( 2 1)

8.4282 1.4019 3

(8.4282) (1.4019) (3)

9.06 inAB

AB

A

r

B

r

AB

AB

i

r j

k

r i j k


2.8 Vetor Força Direcionado ao Longo de uma Linha

A direção da força é especificada por dois pontos que definem sua linha de ação.A força F esta orientada ao longo da corda AB.F tem a mesma direção e sentido que rAB.A direção comum é especificada pelo vetor unitário u.

rFF

r

ruF

ru


Problema 2.C

Determine o módulo

e os ângulos

diretores da força

resultante.


Problema 2.C - Solução





AC

R AB AC

R

R

2 2 2

268.33 536.66 N

242.54 363.80 242.54 N

242.54 ( 268.33 363.80)

(536.66 242.54)

242.54 95.470 779.20

(242.54) (95.470) (77

822 N821.64

9. 0

N

2 )

A

R

RR

B

FF

F

F j k

F i j k

F F F

i jF

k

F i j k



1

1

1

242.54 95.470 779.20

242.54cos

82172.

.64

95.470cos

821.64

779.20cos

821.64

821.

8

83.3

162

64 NR

R

F

F i j k


Exemplo 2.B

A janela é mantida aberta

pela corrente AB. Determine

o comprimento da corrente,

expresse a força de 50-lb

atuando em A, ao longo da

corrente como um vetor

cartesiano e determine seus

angulos diretores.


Exemplo 2.B - Solução

Az

Ax


Exemplo 2.B - Solução

1

1

19.1

19.069 14.935 43.74

Vetor Força:

50 19.05i 15.00 j 43.75k lb

Ângulos Diretores:

50 lb

Assim:

19.069cos

50

14.935cos

2

15.0 43.7 lb

112

107

lb

50

co

AB AB

AB

AB

AB

F

F i j k

F i j k

F u

1 43.742s

5029.0

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