MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2. TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las

MECÂNICA - ESTÁTICA

Vetores ForçasCap. 2

TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.


2.9 Produto Escalar

Definição:O produto escalar define um método para multiplicar dois vetores.O produto escalar pode ser usado para encontrar o angulo entre dois vetores.

A . B = A B cos


A . B = A B cos

2.9 * Propriedades da Operação

Lei comutativa:

A . B = B . AMultiplicação por escalar:

a (A . B) = (a A) . B = A . (a B) = (A . B)a

Lei distributiva:

A . (B + D) = (A . B) + (A . D)


2.9 * Operações com Vetores Cartesianos – Vetores unitários

i . i = (1)(1)(cos0°) = 1i . j = j . i = (1)(1)(cos90°) = 0i . k = k . i = (1)(1)(cos90°) = 0j . j = (1)(1)(cos0°) = 1j . k = k . j = (1)(1)(cos90°) = 0k . k = (1)(1)(cos0°) = 1

i . i = j . j = k . k = 1i . j = i . k = j . k = 0

A . B = A B cos


2.9 * Operações com Vetores Cartesianos

A . B = (Ax i + Ay j + Az k) . (Bx i + By j + Bz k)

= AxBx (i.i) + AxBy (i.j) + AxBz (i.k)

+ AyBx (j.i) + AyBy (j.j) + AyBz (j.k)

+ AzBx (k.i) + AzBy (k.j) + AzBz (k.k)

A . B = AxBx + AyBy + AzBz


2.9 * Aplicações

1. Ângulo formado entre dois vetores ou linhas concorrentes

A . B = A B cos

-1cosθAB

A.B


2.9 * Aplicações

2. Obtendo os componentes de um vetor // and a uma linha

A projeção de A em aa’ (na direção de u) é A||

A projeção de A na linha a aa’ é A


2.9 * Aplicações

Obtendo A|| :

A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) Þ A|| = A . u

Se A|| > 0 Þ A tem a mesma direção de uSe A|| < 0 Þ A tem direção oposta de u

A|| = A|| u = (A.u)u


2.9 * Aplicações

Obtendo A :

A = A|| + A

Þ A = A - A||

Existem dois métodos para calcular A

2||

2

1

(2)

θsin

cosθ;θcalcule(1)

AAA

AAA

Þ

A.u


Exemplo 2.C

Determine o ângulo entre os dois vetores.


Exemplo 2.C - Solução

1

1

1

2 21

2

2

2 2 22

2

Vetores Posição:(3 0) ( 4 0) (0 0) m

3 4 m

35 m

7

( 4)

(2 0) (6 0) ( 3 0) m

2 6 3 m

2 6 ( 3)m

r

r

r

r

r i j k

r i j

r i j k

r i j k


Exemplo 2.C - Solução

1 2

1 2

21 2

1 1 2

1 2

1

Ângulo entre dois vetores:. (3 4 ).(2 6 3 ). (3)(2) ( 4)(6) (0)( 3)

. 18m

.cos

18cos (5)(7

21)

1

θ

r

θ

θr

θ

r r i j i j kr r

r r

r r


Problema 2.D

Se F = {16i +10j – 14k} N, determine o módulo da projeção de F ao longo do eixo do poste e da perpendicular a ele.


Problema 2.D

Diagrama

||FF


Problema 2.D - Solução

2 2OA

OA

2 2 2

AO

OA

OA

2 4 4 2 tan 60

2 4 7.7460

2 4 7.7460 8.9

0.22361 0

443

.44721 0.86603

mOA

OA

r

r

u i j

r i j k

r i j k

ru

k



|| OA

||

||

OA

{16 10 14 }N

Módulo da projeção de ao longo do eixo do poste é:| | | . |

| | |{16 10

0.22361 0.44721 0.86603

0.22361 0.44721 0.86603

0.22361 0.44721

14 }.{ } |

| | | (16)( ) (10)( ) ( 14

F

F

F

F i j k

Fu i j

F u

k

j ki k i j

|

||

|

0.86603

| | | 4

|

.07456

| 4.07

)( )

|

|

N

F

F




Problema 2.E

As duas forças F1 e F2 atuam no gancho.

Determine o módulo e a direção da menor força

F3 tal que a força resultante das três forças

tenha um módulo de 20 lb.


Problema 2.E - Solução

11min3

31R

3

31R321321R

20)(direção mesma a tem e quando

mínima é amo,paralelogr do regra Da

)(

RRR FFFF Þ

FFF

FFFFFFFFFFR=20 lb

10lb

5 lb

FR1=F1+F2 45

3

θ

F3

A BA+B


Problema 2.E - Solução


Problema 2.F

Determine o módulo da componente projetada do comprimento da corda OA ao longo do eixo Oa.


Problema 2.F

Diagrama

A’


Problema 2.F - Solução

Teoria:A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u


A’

Problema 2.F – Solução

Vetor posição :5 cos 45 3.5355

cos

1.7678 3.0618 3.5355

60 1.7678 sen60 3.0618

5 sen 45 3.5355

XY

X XY

Y XY

Z

OA

OAAA AA AA

r i j k


A’


2 2 2

OaOa

Oa

Vetor posição :

15 10 ( 5) 18.7083mVetor unitário

0.80178 0.53452 0.

15 10 5

26726

O

a

Oa

a

O

Oa

rOa

r

u

ru

i k

j

r j

i k


A’


O

'

'

a

Produto esc

1.767

2.11 ft

alar:0.80178 0.53452 ( 0.

8 3.0618 3.53550.80178 0.53452 0.26726

1.7678 3.06 218 3.53 5 6726)5O

O

OA

A

Ar

r

r i j ku i j k


Problema 4 dos exercícios



F’


2.9 * Aplicações

Obtendo A|| :

A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) Þ A|| = A . u

Se A|| > 0 Þ A tem a mesma direção de uSe A|| < 0 Þ A tem direção oposta de u

A|| = A|| u = (A.u)u



Fx

Fy

Fz


Problema 4 dos exercícios - Solução

Fx

Fy

Fz

G

a

b

g


2.5 Vetores Cartesianos

Direção de um Vetor Cartesiano:



F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g) uG

F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g)F’ = F . uG





6kN

400 TF

Diagrama de corpo livre



6kN

400

T

F

Resultante de F e T



6kN

400

T

F

Resultante de F e T



6kN

400500

T

F

Resultante de F e T (F mínimo)

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