17/02/2016

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Mecânica Geral

Capítulo 2 – Estática de Partículas

Resultante de Duas Forças

2 - 2

• Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu

sentido.

• A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes.

• Força é uma grandeza vetorial.

• Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode serrepresentado por uma única força resultante.

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Vetores

2 - 3

• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.

• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.

• Classificações de vetores:- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos

e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.

- Vetores livres podem se mover livremente no espaçosem que se alterem as condições do Problema.

- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longode suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema.

• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmosentido.

• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem suamesma intensidade e sentido oposto.

Adição de Vetores

2 - 4

• Regra do triângulo para soma de vetores

QPR

ramoeregraParalQAPPQQPR

guloregraTrianBPQQPR

rrr+=

−++=

−−+=

log)ˆcos(2

cos2222

222

• Lei dos cossenos,

• Lei dos senos,

P

senC

R

senB

Q

senA==

• A adição de vetores é comutativa,

PQQPrrrr

+=+

• Subtração de vetores

• Regra do paralelogramo para soma de vetores

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Adição de Vetores

2 - 5

• Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo.

• Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores.

• A adição de vetores é associativa,

• Multiplicação de um vetor por um escalar.

Problema Resolvido 2.1

2 - 6

As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

SOLUÇÃO:

• Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmasdireções de P e Q desenhados emescala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo.

• Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetoresem conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultantede P e Q.

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Problema Resolvido 2.2

2 - 7

a) A força de tração em cada um dos cabos para α = 45o,

b) O valor de α para o qual a tração no cabo 2 é mínima.

Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine:

SOLUÇÃO:

• Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a 22.250 N.

• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações em α.

• Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos.

Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários

2 - 8

• Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor.

Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .

jFiFF yx

rrr+=

Fr

• Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. são chamados de componentes retangulares e

yx FFFrrr

+=

yx F e Frr

• Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eixos x e y.j e i

rr

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Adição de Forças pela Soma dos Componentes

2 - 9

SQPRrrrr

++=

• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes,

( ) ( ) jSQPiSQP

jSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyxrr

rrrrrrrr

+++++=

+++++=+

• Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares

∑=++=

x

xxxx

F

SQPR

• Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas.

∑=++=

y

yyyy

F

SQPR

x

y

yxR

RRRR arctg22 =+= θ

• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,

Problema Resolvido 2.3

2 - 10

Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em componentes retangulares.

• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.

• Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.

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Equilíbrio de uma Partícula

2 - 11

• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.

• Para uma partícula emequilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forçasdevem ter:

- mesma intensidade

- mesma linha de ação

- sentidos opostos

• Para uma partícula sob a ação de três ou maisforças:

- a solução gráfica gera um polígono fechado

- solução algébrica:

00

0

==

==

∑∑

∑

yx FF

FRrr

• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta.

Diagramas de Corpo Livre

2 - 12

Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema.

Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise.

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Problema Resolvido 2.4

2 - 13

Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda?

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo.

• Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula.

• Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas.

Problema Resolvido 2.6

2 - 14

Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE.

Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC.

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre.

• Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.

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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 15

• O vetor está contido no plano OBAC.

Fr

• Decompomos em uma componente horizontal e outra vertical

yh FF θsen =

Fr

yy FF θcos=

• Decompomos em componentes retangulares

hF

φθ

φ

φθ

φ

sen sen

sen

cossen

cos

y

hy

y

hx

F

FF

F

FF

=

=

=

=

Componentes Retangulares no Espaço

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Componentes Retangulares no Espaço

Componentes Retangulares no Espaço

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Cossenos diretores

Cossenos diretores

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Cossenos diretores

Exercício

2.71 e 2.72

Determinar as componentes x,y

e z das forças de 750N e 900N e os ângulos diretores ��, �����que as forças formam com os

eixos.

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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 23

A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos,

em sua linha de ação.

( ) ( )222111 ,, e ,, zyxNzyxM

( )

d

FdF

d

FdF

d

FdF

kdjdidd

FF

zzdyydxxd

kdjdid

NMd

zz

y

yx

x

zyx

zyx

zyx

===

++=

=

−=−=−=

++=

=

rrrr

rr

rrr

r

1

e liga que vetor

121212

λ

λ

Problema Resolvido 2.7

2 - 24

A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine:

a) os componentes Fx, Fy e Fz da força que atua no parafuso em A,

b) os ângulos θx, θy e θz que definem a direção da força.

SOLUÇÃO:

• Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B.

• Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A.

• Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes.

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Estática da partícula no espaço

•

2 - 25

Exercício

• Um cilindro de 200 kg é sustentado por dois cabos AB e AC que estão presos ao topo de um muro como mostrado na figura. Uma força horizontal P segura o cilindro na posição mostrada. Determine a magnitude de P e das trações nos cabos.

2 - 26

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Bibliografia

Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg:

•Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

•9ª Edição