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Mecânica Técnica Aul a 1 Conceitos Fundamentais Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Aula 1 Conceitos Fundamentais

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Apresentao do Curso.

    Apresentao da Bibliografia

    Definio da Mecnica Tcnica.

    Sistema Internacional de Unidades.

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    Apresentao do Curso Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 9 - Avaliao 1 Aula 10 - Momento de uma Fora, Formulao Escalar

    Aula 11 - Momento de uma Fora, Formulao Vetorial, Princpio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um Binrio Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas Aula 15 - Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas e Trs Dimenses

    Aula 17 - Estudo de Trelias Planas Aula 18 - Estudo de Mquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliao 2 Aula 20 - Exame Final

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    Bibliografia Recomendada

    HIBBELER, R. C. Mecnica Esttica. 10 ed. So

    Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecnica

    Vetorial para Engenheiros: Esttica.5.ed. So

    Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics

    Statics 3 ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002,583p.

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    Definio de Mecnica

    A mecnica pode ser definida como o ramo

    das cincias fsicas dedicado ao estudo doestado de repouso ou movimento decorpos sujeitos ao de foras.

    Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica doscorpos rgidos, a mecnica dos corpos

    deformveis e a mecnica dos fluidos.

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    Mecnica dos Corpos Rgidos A mecnica dos corpos rgidos pode ser dividida em

    esttica (equilbrio de um corpo rgido) e dinmica(movimento de um corpo rgido). A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um

    corpo em repouso ou em movimento com velocidade

    constante. A dinmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a

    parte da mecnica dos corpos rgidos dedicada ao estudodo movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja,

    movimentos acelerados dos corpos.

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    Grandezas Fsicas Presentes na Mecnica

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    a) Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posio de um ponto no espao. A partir docomprimento possvel descrever com exatido a dimenso de um sistema fsico. No sistemainternacional de unidades (SI), a unidade bsica de comprimento o metro (m).

    b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medies desse

    intervalo podem ser realizadas por comparaes, como por exemplo, eventos repetitivos tal como arotao da Terra ao redor de seu prprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidadebsica de tempo o segundo (s). Como o presente curso trata apenas dos problemas de esttica, aquantidade tempo no possui influncia significativa na soluo dos problemas, porm emproblemas de dinmica, o tempo uma grandeza muito importante para descrever as variaes deposio, velocidade, acelerao e foras em um corpo.

    c) Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posio docorpo e do local no qual o mesmo colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade

    bsica de massa o quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matria que permitecomparar a ao de um corpo em relao a outro e de um modo geral pode ser interpretada com aresistncia que um corpo oferece a mudanas em seu movimento de translao.

    d) Fora: Pode ser definida como a ao de um corpo em outro corpo. Como um corpo no podeexercer uma fora em um segundo corpo a menos que este oferea uma resistncia, pode-seconcluir que uma fora nunca existe s, ou seja, as foras sempre ocorrem aos pares, e as duasforas possuem a mesma magnitude e sentidos contrrios. No sistema internacional de unidades

    (SI), a unidade bsica de fora o Newton (N), que representado a partir da seguinte relao, 1 N= 1 kgm/s.

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    Sistema Internacional de Unidades

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    A 11 CGPM, em 1960, atravs de sua Resoluo n12, adotoufinalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, comabreviao internacional SI para o sistema prtico de unidades, e

    instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e asunidades suplementares, alm de outras indicaes, estabelecendouma regulamentao para as unidades de medidas. A definio deQuantidade de Matria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969e adotada pela 14 CGPM, em 1971.

    CGPM - Confrence Gnrale de Pois et Mesures

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    Unidades de Base do SI

    So sete unidades bem definidas que, por conveno, so tidascomo dimensionalmente independentes. Essas unidades soapresentadas na Tabela a seguir.

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    cdcandelaintensidade luminosa

    molmolquantidade de matria

    Kkelvintemperatura termodinmica

    Aamprecorrente eltrica

    ssegundotempo

    kgquilogramamassa

    mmetrocomprimento

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Definio das Unidades de Base

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    Metro (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792458 de um segundo.

    Quilograma (kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina - irdio,dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite.

    Segundo (s): a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entreos dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental. Ampre (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos,

    de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro novcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro decomprimento.

    Kelvin (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua.

    Mol (mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementaresquantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentrios: a) O nomedesta quantidade vem do francs "quantit de matire",derivado do latim "quantitas materiae", queantigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em ingls usa-se o termo "amount of substance". Em portugus, consta no Dicionrio como "quantidade desubstncia", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matria", at uma definio maisprecisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem serespecificadas, podendo ser tomos, molculas, ons, eltrons ou outras partculas ou agrupamentos

    de tais partculas. Candela (cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite

    radiao monocromtica de freqencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naqueladireo de 1/683 watt por esteradiano.

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    Unidades Suplementares do SI

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    So apenas duas as unidades suplementares: oradiano, unidade de ngulo plano e o

    esteradiano, unidade de ngulo slido.

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    sresteradianongulo slido

    radradianongulo plano

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI So formadas pela combinao de unidades de base, unidades

    suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaesalgbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolospara as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de

    multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadastm nomes e smbolos especiais.

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    mol/m3mol por metro cbicoconcentrao

    m3/kgmetro cbico por quilogramavolume especfico

    kg/m3quilograma por metro cbicodensidade

    m-1metro recproconmero de onda

    m/s2metro por segundo quadradoacelerao

    m/smetro por segundovelocidade

    m3metro cbicovolume

    m2metro quadradorea

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI

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    KCgrau celciustemperatura celcius

    Wb/AHhenryindutncia

    Wb/m2Ttesladensidade de fluxo magntico

    V sWbweberfluxo magntico

    A/VSsiemenscondutncia eltrica

    V/Aohmresistncia eltrica

    C/VFfaradcapacitncia eltrica

    W/AVvoltpotencial eltrico

    A sCcoulombquantidade de eletricidade

    J/sWwattpotncia, fluxo radiante

    N mJjouleenergia, trabalho

    N/m2Papascalpresso, tensokg m/s

    2

    Nnewtonfora

    s-1Hzhertzfreqncia

    Expresso(*)SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI

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    W/(m K)watt por metro kelvincondutividade trmica

    N/mnewton por metrotenso superficial

    J/(kg K)joule por quilograma kelvinentropia especfica

    J/kgjoule por quilogramaenergia especfica

    W/srwatt por esteradianopotncia radiante

    W/(m2 sr)watt por metro quadrado esteradianoradincia

    W/m2watt por metro quadradodensidade de potncia

    J/(mol K)joule por mol kelvinentropia molarJ/moljoule por molenergia molar

    A/mampre por metrofora do campo magntico

    J/Kjoule por kelvinentropia

    J/m3joule por metro cbicodensidade de energia

    V/mvolt por metrofora do campo eltrico

    C/m2coulomb por metro quadradodensidade de carga eltrica

    A/m2ampre por metro quadradodensidade de corrente

    rad/sradiano por segundovelocidade angular

    rad/s2radiano por segundo quadradoacelerao angular

    Expresso(*)UnidadeGrandeza

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    Mltiplos e Submltiplos

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    zzepto0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21

    aatto0,000 000 000 000 000 001 = 10-18

    ffemto0,000 000 000 000 001 = 10-15ppico0,000 000 000 001 = 10-12

    nnano0,000 000 001= 10-9

    micro0,000 001 = 10-6

    mmili0,001 = 10-3

    ccenti0,01 = 10-2

    ddeci0,1 = 10-1

    dadeca10 = 101

    hhecto100 = 102

    kquilo1 000 = 103

    Mmega1 000000 = 106

    Ggiga1 000 000 000 = 109Ttera1 000 000 000 000 = 1012

    Ppeta1 000 000 000 000 000 = 1015

    Eexa1 000 000 000 000 000 000 = 1018

    Zzetta1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021

    SmboloPrefixoFator

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    Escrita de Unidades

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    Os princpios gerais relativos escrita de smbolos das unidades foram adotadas pela9 CGPM, em 1948, alguns comentrios so apresentados a seguir.

    a) Os smbolos usados para discriminar quantidades fsicas devem ser apresentadosem itlico, mas os smbolos das unidades so digitados em romano [ex:F= 23 N].

    b) As unidades derivadas de nomes prprios devem ser escritas com a primeira letraem maisculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minsculo [ex:newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minsculo oumaisculo ( l ou L ).

    c) O smbolo da unidade geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade[ex: grama, g e no gm; segundo, s e no seg ou sec], com algumas excees [ex:mol, cd e Hz]. Tambm, o smbolo da unidade no deve ser seguido por um ponto e o

    seu plural no seguido de "s" [ex: 3 kg e no 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu smbolo "" devem ser omitidos da unidade de temperatura

    termodinmica, T [isto , usa-se apenas kelvin ou K e no Kelvin ou K], mas soretidos quando se quer designar temperatura Celcius, t[ex: graus Celcius ou C].

    e) Os smbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 soescritos em maisculo, enquanto que todas os outros so escritos em minsculo [ex:

    mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas no M/m3]. g) No deve ser colocado espao entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos

    devem ser evitados [ex: 1 pF, e no 1 p F ou 1 F; 1 nm, e no 1mm].

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    Escrita de Unidades

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    h) O agrupamento formado pelo smbolo do prefixo ligado ao smbolo da unidadeconstitui-se em um novo e inseparvel smbolo, de modo que pode ser elevado apotncias positivas ou negativas e ser combinado com outros smbolos de unidadespara formar smbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1

    cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) =102 V/m]. i) Quando um mltiplo ou submltiplo de uma unidade escrito por completo, o prefixo

    deve ser tambm escrito por completo, comeando com letra minscula [ex:megahertz, e no Megahertz ou Mhertz].

    j) O quilograma a nica unidade de base cujo nome, por razes histricas, contm

    um prefixo. Seus mltiplos e submltiplos so formados adicionando-se os prefixos palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e no 1 microquilograma ou 1kg]. k) A multiplicao de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou

    deixando-se um espao entre as unidades [ex: ou N m]. l) A diviso pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de

    frao horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido

    da barra inclinada no permitido [ex: m/s2, mas no m/s/s; m kg/ (s3 A), mas no mkg/s3/A]. Para se evitar m interpretao, quando mais de uma unidade aparece nodenominador, deve-se utilizar parntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou Wm-2 K-4].

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    Escrita de Unidades

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    m) Os nomes das unidades no devem ser misturados com os smbolos dasoperaes matemticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas nometro/segundo ou metro segundo-1].

    n) Quando o produto de duas unidades escrito por extenso, recomenda-se o uso deespao entre elas mas nunca o uso do ponto. tolervel o emprego de hfen nestescasos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas no newtonmetro].

    Nmeros com mais de quatro dgitos devem ser separados por um espao a cadagrupo de tres dgitos. Nunca utilizar pontos ou vrgulas nas separaes, para evitarconfuses com as marcaes de decimais [ex: 299 792 458, mas no 299.792.458 ou299,792,458]. Esta conveno tambm aplicada direita do marcador de decimais[ex: 22,989 8].

    o) O valor numrico e o smbolo da unidade devem ser separados por um espao,mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas no 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de fraes decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J

    ao invs de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possvel, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um

    intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA].

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    Prxima Aula

    Escalares e Vetores.

    Lei dos Senos.

    Lei dos Cossenos.

    Regra do Paralelogramo

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    Mecnica TcnicaAula 2 Lei dos Senos e Lei

    dos Cossenos

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Clculo de Fora Resultante.

    Operaes Vetoriais.

    Lei dos Senos.

    Lei dos Cossenos.

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    Grandezas Escalares

    Uma grandeza escalar caracterizada por

    um nmero real. Como exemplo deescalares podem se citar: o tempo, amassa, o volume, o comprimento, etc.

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    Grandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs

    elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico

    que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio,fora e momento.

    A posio de um ponto no espao em relao a outro pontocaracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma

    cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambasesto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizarum vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100km a oeste da cidade A.

    A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois

    quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se namesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel ecom a direo desejada para o movimento.

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    Representao de uma GrandezaVetorial Uma grandeza vetorial pode ser

    representada graficamente por uma

    seta, que utilizada para definir seumdulo, sua direo e seu sentido.Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimentoda seta, a direo definida atravsdo ngulo formado entre um eixo de

    referncia e a linha de ao da setae o sentido indicado pelaextremidade da seta.

    A figura mostra a representaogrfica de dois vetores foraatuando ao longo dos cabos de

    fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e oponto P representa sua extremidadeou ponta.

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    Soluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os

    conceitos de soma e subtrao vetorial, bemcomo a determinao das componentes de umvetor podem ser resolvidos a partir das leis dos

    senos e dos cossenos, que representampropriedades fundamentais da trigonometria eso descritas a seguir a partir da figura a seguir e

    das respectivas equaes.

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    Lei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos

    senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidasdos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.

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    Mecnica Tcnica

    sen

    C

    sen

    B

    sen

    A==

    cosABBAC 222 +=

    A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , alei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, oquadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das

    medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

    B A

    C

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    Soma Vetorial Regra do Paralelogramo

    O Clculo da fora resultante pode ser

    obtido atravs da soma vetorial com aaplicao da regra do paralelogramo.

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    Exerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.

    Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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    Soluo do Exerccio 1

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    110110

    70

    70

    2Fr

    1Fr

    RFr

    y

    x

    70

    2Fr

    1Fr

    RFr

    Construir um esquema aplicando a regra doparalelogramo de forma a identificar quais so as incgnitasdo problema.

    A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.

    cosFFFFFR += 212

    2

    2

    1 2

    += 703002002300200 22 cosFR

    sen

    F

    sen

    F R=1

    RF

    senFsen

    = 1

    =

    RF

    senFasen

    1

    =

    25298

    70200

    ,

    senasen

    = 0639,

    = = 300639, = 069,

    Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-seo mdulo da fora resultante F

    R.

    O ngulo

    determinado a partir da lei dossenos, utilizando-se o valor calculado para FR

    .

    Com relao ao eixo xpositivo, o ngulo dado por:

    FR= 298,25 N

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    Exerccio 2

    2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontracom problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante

    igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.

    Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Mecnica Tcnica

    A l 2

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    Soluo do Exerccio 2

    Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Mecnica Tcnica

    =

    =

    3040110 sen

    F

    sen

    F

    sen

    F CBCAR

    =

    =

    110

    4030

    110

    40

    sen

    sen

    sen

    senFF RCA

    52,20=CAF

    =

    =

    110

    3030

    110

    30

    sen

    sen

    sen

    senFF RCB

    96,15=CBF

    FCAFCB

    FR

    = 30 kN

    3040

    110

    A partir da regra do paralelogramo, deve-seconstruir um tringulo de vetores envolvendo asforas atuantes nos cabos CA e CB e a foraresultante, de forma a identificar as incgnitas doproblema.

    A partir da aplicao da lei dos senos,pode-se determinar os mdulos das forasatuantes em cada um dos cabos CA ou CB daseguinte forma.

    Resolvendo para FCA

    tem-se que:

    Resolvendo para FCB

    tem-se que:

    kN

    kN

    A l 2 f S

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    Exerccios Propostos

    Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

    medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixoxpositivo.

    Mecnica Tcnica

    Aula 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i

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    Exerccios Propostos

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    2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

    medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    3) A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra afigura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e suaintensidade em relao ao eixo horizontal.

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    Exerccios Propostos

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    4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estacamostrada. Determine o ngulo e o valor da fora Fde modo que afora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e

    tenha uma intensidade de 750N.

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    Exerccios Propostos

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    5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determineos valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50.

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    Exerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duasforas F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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    Exerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados,

    sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada aolongo do eixoxpositivo, determine a intensidade das foras FA e FB.

    Considere = 15.

    Aula 2 g

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    39/351

    Prxima Aula Sistemas de Foras Coplanares.

    Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

    g

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    40/351

    Mecnica TcnicaAula 3 Sistemas de Foras

    Coplanares, Vetores Cartesianos

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    Tpicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Foras Coplanares.

    Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

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    42/351

    Componentes de um Vetor Quando um vetor R expresso segundo a soma de dois vetores A e

    B, cada um dos vetores A e B so chamados de componentes de R,

    portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duascomponentes a partir da aplicao da regra do paralelogramo. Umexemplo de decomposio vetorial pode ser observado na figura aseguir, onde, conhecendo-se as linhas de ao de cada componente,o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B.

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    Fora Resultante

    Mecnica Tcnica

    1Fr

    2Fr

    RF

    r

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    44/351

    Adio de Foras Vetoriais Quando os problemas envolvem a adio de mais de duas foras,

    pode-se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o

    tringulo de vetores de modo a se obter a fora resultante. Umexemplo desse tipo de situao mostrado na figura representada aseguir.

    Mecnica Tcnica

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    45/351

    Mtodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o nmero de foras

    envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a

    fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra doparalelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho degeometria e trigonometria para se determinar o valor numrico daresultante do sistema e sua respectiva direo.

    Porm, este exaustivo processo suprido de forma rpida atravs daaplicao de uma metodologia que utiliza uma soma algbrica dascomponentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema.

    Este mtodo denominado mtodo das componentes retangularese consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores,formando desse modo um sistema de foras colineares projetadosnos eixos de coordenadas do sistema de referncia.

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    46/351

    Decomposio de Foras Conveno de Sinais.

    x Positivo para a direita, negativo para a esquerda.

    y Positivo para cima, negativo para baixo.

    No plano, utilizam-se os versores e .

    Mecnica Tcnica

    ir

    jr

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    47/351

    Reduo a uma nica Fora Resultante Decompor as foras nos eixosxe y.

    Utilizar trigonometria, decomposio em seno e cosseno.

    Mecnica Tcnica

    jFiFF yxrrr

    111 += jFiFF yxrrr

    222 += jFiFF yxrrr

    333 =

    ++++== nR FFFFFFrrrrrr

    ......321

    Fora Resultante:

    Soma Vetorial

    Vetores Cartesianos:

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    Mdulo e Direo da Fora Resultante

    Mecnica Tcnica

    Mdulo da Fora Resultante: Direo da Fora Resultante:

    = xRx FF

    = yRy FF

    22

    RyRxR FFF +=

    =

    Rx

    Ry

    F

    Farctg

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    Exerccio 1

    1) O elo da figura est submetido as foras F1 e F2, determine aintensidade e a orientao da fora resultante.

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    )3030cos(111

    jsenFiFFrrr

    +=

    )3060030cos600(1 jseniFrrr

    +=

    )4545cos( 222 jsenFiFFrrr

    +=

    )4540045cos400(2 jseniFrrr

    +=

    )4540045cos400()3060030cos600( jsenijseniFRrrrrr

    +++=

    jsenseniFRrrr

    )4540030600()45cos40030cos600( ++=

    )8,5828,236( jiFR

    rrr

    +=

    Decomposio das Foras: Fora 1:

    Fora 2:

    Fora Resultante:

    N

    N

    N

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    22 8,5828,236( +=RF

    629=RF

    =

    x

    y

    F

    Farctg

    =

    8,236

    8,582

    arctg

    = 9,67

    Mdulo da Fora Resultante:

    Direo da Fora Resultante:

    N

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    52/351

    Exerccio 2

    2) A extremidade da barra est submetida a trs foras concorrentese coplanares. Determine a intensidade e a orientao da foraresultante.

    Mecnica Tcnica

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    )400(1 iFrr

    =

    )45cos45( 222 jFisenFF

    rrr

    +=

    )45cos25045250(2 jisenFrrr

    +=

    +

    = jFiFF

    rrr

    5

    3

    5

    4333

    +

    = jiF

    rrr

    5

    3200

    5

    42003

    )120160(3 jiFrrr

    +=

    Decomposio das Foras:

    Fora 1:

    Fora 2:

    Fora 3:

    N

    N

    N

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    )120160()45cos25045250()400( jijiseniFRrrrrrr

    ++++=

    jisenFRrrr

    )12045cos250()16045250400( +++=

    22 8,2962,383( +=RF 485=RF

    =

    x

    y

    F

    Farctg

    =

    2,383

    8,296arctg = 8,37

    Fora Resultante:

    Mdulo da Fora Resultante:

    Direo da Fora Resultante:

    N

    N)8,2962,383( jiFRrrr

    +=

    296,8N

    383,2N

    FR

    x

    y

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    Exerccios Propostos 1) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo

    e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras sejaorientada ao longo do eixoxpositivo e tenha intensidade de 1kN.

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    56/351

    Exerccios Propostos 2) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo

    que a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixo ypositivo e tenha intensidade de 800N.

    Mecnica Tcnica

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    57/351

    Exerccios Propostos 3) O gancho da figura est submetido as foras F1 e F2, determine a

    intensidade e a orientao da fora resultante.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

    4) Determine o ngulo e a intensidade de FB de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixo ypositivo e tenha intensidade de 1500N.

    Mecnica Tcnica

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    59/351

    Exerccios Propostos

    5) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixoxpositivo e tenha intensidade de 600N.

    Mecnica Tcnica

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    60/351

    Prxima Aula Operaes com Vetores Cartesianos.

    Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados

    Mecnica Tcnica

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    61/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 4 Adio e Subtrao de

    Vetores Cartesianos

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    Tpicos Abordados Nesta Aula Operaes com Vetores Cartesianos.

    Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados.

    Mecnica Tcnica

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    63/351

    Componentes retangulares de um vetor Um vetorA pode ter um, dois ou trs

    componentes ao longo dos eixos de

    coordenadasx, ye z. A quantidade de componentes

    depende de como o vetor estorientado em relao a esses eixos.

    Sistema de coordenadas utilizando aregra da mo direita.

    Mecnica Tcnica

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    64/351

    Vetor Unitrio A direo deA especificada usando-se

    um vetor unitrio, que possui esse nomepor ter intensidade igual a 1.

    Em trs dimenses, o conjunto devetores unitrios usado paradesignar as direes dos eixos x, y e zrespectivamente.

    Mecnica Tcnica

    kjir

    rr

    ,,

    AuA

    r

    r

    =F

    FuF

    r

    r

    =

    Para um vetor A: Para um vetor Fora:

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    Representao de um Vetor Cartesiano Um vetor cartesiano escrito

    sob a forma de suas

    componentes retangulares. As componentes representam a

    projeo do vetor em relaoaos eixos de referncia.

    Quando se escreve um vetor naforma cartesiana suascomponentes ficam separadasem cada um dos eixos e facilita

    a soluo da lgebra vetorial.

    Mecnica Tcnica

    kAjAiAA zyx

    rrrr

    ++=

    222

    zyx AAAA ++=

    Mdulo do vetor cartesiano:

    Vetor cartesiano:

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    66/351

    ngulos Diretores Coordenados A orientao de um vetor no espao definida pelos ngulos

    diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor e os

    eixos positivos x, y e z.

    Mecnica Tcnica

    Axr

    =cos

    Ayr

    =cos

    Azr

    =cos

    Determinao dos ngulos

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    67/351

    Determinao dos ngulosDiretores Coordenados

    Mecnica Tcnica

    kA

    jA

    iAA

    u zyx

    A

    rrr

    r

    r

    ++==

    kjiuA

    rrr

    r

    coscoscos ++=

    1coscoscos 222 =++

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    68/351

    Sistemas de Foras Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias

    foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as

    foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:

    Mecnica Tcnica

    ++== kFjFiFFF zyxRr

    rrrr

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    69/351

    Exerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da

    fora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.

    Mecnica Tcnica

    N N

    Soluo do Exerccio 1

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    +== 21 FFFFRrrrr

    )8060()10010050( kjkjiFR

    rr

    rrrr

    +++=

    )1804050( kjiFR

    rrrr

    +=

    191=RF N

    Mdulo da fora resultante:

    Vetor fora resultante:N

    N

    222 1804050 ++=RF

    Soluo do Exerccio 1

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    kF

    Fj

    F

    Fi

    F

    F

    F

    Fu

    R

    Rz

    R

    Ry

    R

    Rx

    R

    RFR

    rrr

    r

    r

    ++==

    kjiuRF

    rrr

    r

    191

    180

    191

    40

    191

    50+=

    kjiu RF

    rrr

    r

    942,0209,0261,0 +=

    R

    Rx

    F

    Fr

    =cos

    261,0cos =

    )261,0arccos(= = 8,74

    R

    Ry

    F

    Fr

    =cos

    209,0cos =

    )209,0arccos(= = 102

    R

    Rz

    F

    Fr

    =cos

    942,0cos =

    )942,0arccos(= = 6,19

    Vetor unitrio da fora resultante:

    ngulos diretores:

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    Exerccio 2 2) Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique

    os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora

    resultante FR atue ao longo do eixo ypositivo e tenha intensidade de800N.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    21 FFFR

    rrr

    +=

    kFjFiFFr

    rrr

    1111111 coscoscos ++=

    kjiFr

    rrr

    ++= 120cos30060cos30045cos3001

    kjiF

    rrrr

    1501502,2121 +=

    21501502,212800 Fkjijrrrrr

    ++=

    kjijFr

    rrrr

    1501502,2128002 +=

    kjiF

    rrrr

    1506502,2122 ++=

    222

    2 1506502,212 ++=F

    7002 =F

    Determinao de F2:

    Mdulo de F2:

    N

    N

    Fora Resultante:

    N

    Determinao de F1:

    jFR

    rr

    800=

    N

    Soluo do Exerccio 2

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    =

    2

    22 arccos

    F

    Fx

    =

    700

    2,212arccos2

    = 1082

    =

    2

    22 arccos

    F

    Fz

    = 700

    150

    arccos2

    = 6,772

    =

    2

    2

    2 arccosF

    F y

    =

    700

    650

    arccos2

    = 8,212

    ngulos Diretores de F2:

    Exerccios Propostos

    Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    75/351

    Exerccios Propostos

    1) Expresse a fora Fcomo um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    76/351

    Exerccios Propostos 2) A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60N.

    Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetorcartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    p 3) O mastro est sujeito as trs foras mostradas. Determine os

    ngulos diretores 1, 1, e 1 de F1, de modo que a fora resultante

    que atua sobre o mastro seja N

    Mecnica Tcnica

    )350( iFRrr

    =

    Exerccios Propostos

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    p 4) Os cabos presos ao olhal esto submetidos as trs foras

    mostradas. Expresse cada fora na forma vetorial cartesiana edetermine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora

    resultante.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    79/351

    p 5) O suporte est sujeito as duas foras mostradas. Expresse cada

    fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante,

    a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.

    Mecnica Tcnica

    Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    80/351

    Prxima Aula Vetores Posio.

    Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.

    Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

    Mecnica Tcnica

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    81/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 5 Vetor Posio,Aplicaes do Produto Escalar

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    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    82/351

    Tpicos Abordados Nesta Aula Vetores Posio.

    Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.

    Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

    Mecnica Tcnica

    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    83/351

    Vetores Posio O vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto

    do espao em relao a outro.

    O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.

    Mecnica Tcnica

    kzjyixrr

    rrr

    ++=

    Vetor Posio entre Dois PontosA e B

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    84/351

    Fora da Origem O vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadasx,

    y, zdas extremidades dos vetores em anlise.

    O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre doispontos no espao.

    Mecnica Tcnica

    ABAB rrr rrr

    =

    kzzjyyixxr ABABABAB

    rrr

    r

    )()()( ++=

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    85/351

    Aplicaes do Vetor Posio

    Mecnica Tcnica

    Vetor Fora Orientado ao Longo de

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    86/351

    uma Reta Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo

    que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio

    orientado do pontoA para o ponto B na corda.

    Mecnica Tcnica

    ==r

    rFuFF

    r

    r

    r

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    87/351

    Exerccio 1 1) a corda mostrada na figura est presa aos pontosA e B, determine

    seu comprimento e sua direo, medidos deA para B.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

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    88/351

    Mecnica Tcnica

    )3,0,1( A

    )3,2,2(B

    kzzjyyixxr ABABABAB

    rrr

    r

    )()()( ++=

    kjirABr

    rrr

    ))3(3()02()12( ++=

    )623( kjirAB

    rrr

    r

    ++=

    222

    623 ++=ABr

    7=ABr

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    7

    623 kjiuAB

    rrr

    r ++=

    7

    623 kjiuAB

    rrr

    r ++=

    kjiuABr

    rrr

    857,0285,0428,0 ++=

    Vetor PosioAB:

    Mdulo do Vetor Posio:

    Vetor UnitrioAB:

    m

    m

    m

    m

    Soluo do Exerccio 1

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    89/351

    Mecnica Tcnica

    = AB

    ABx

    r

    rr

    arccos

    =

    7

    3arccos

    = 115

    = AB

    ABy

    r

    rr

    arccos

    =

    7

    2arccos

    = 4,73

    =

    AB

    ABz

    r

    rr

    arccos

    =

    7

    6arccos

    =31

    ngulos Diretores:

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    90/351

    Exerccio 2 2) A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se

    que a fora no cabo em A igual a 500N, expresse essa fora como

    um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

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    91/351

    Mecnica Tcnica

    )2,0,0(A

    )0;707,0;707,1B

    kzzjyyixxr ABABABABr

    rrr

    )()()( ++=

    kjirABr

    rrr

    )20()0707,0()0707,1( ++=

    )2707,0707,1( kjirABr

    rrr

    +=

    222 2707,0707,1 ++=ABr

    723,2=ABr

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    723,2

    2707,0707,1 kjiuAB

    rrr

    r +

    =

    kjiuAB

    rrr

    r

    734,0259,0626,0 +=

    ABuFF r

    r

    =

    )734,0259,0626,0(500 kjiFrrrr

    +=

    Vetor PosioAB:

    Mdulo do Vetor Posio:

    Vetor UnitrioAB:

    Vetor Fora:

    )3671303,31( kjiFrrrr

    +=

    m

    m

    m

    m

    N

    P d E l

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    92/351

    Produto Escalar Em determinados problemas de esttica necessrio se

    determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os

    componentes paralelo e perpendicular de uma fora emrelao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo

    por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma

    maneira rpida de se obter o resultado desejado a partirda lgebra vetorial.

    O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entredois vetores.

    Mecnica Tcnica

    F l d P d t E l

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    93/351

    Formulao do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar

    e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.

    Mecnica Tcnica

    cos= BABArr

    1

    1

    1

    =

    =

    =

    kk

    jj

    ii

    rr

    rr

    rr

    0

    0

    0

    =

    =

    =

    ki

    jk

    ji

    rr

    rr

    rr

    ngulo entre dois Vetores:

    =BABA

    rr

    arccos

    Componentes Paralelo e Perpendicular

    d V t

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    94/351

    de um Vetor

    Mecnica Tcnica

    2

    //

    2 AAA =

    uAAA r

    r

    == cos//

    Exerccio 3

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    95/351

    3) A estrutura mostrada na figura est submetida a uma forahorizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa foraparalela e perpendicular ao elementoAB.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 3

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    96/351

    Mecnica Tcnica

    ABAB uFFF r

    r

    == cos//

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    kjirABr

    rrr

    362 ++=

    222 362 ++=ABr

    7=ABr

    Fora Paralela a BarraAB:

    Clculo do Vetor UnitrioAB:

    Vetor PosioAB:

    Mdulo do PosioAB:

    m

    m

    Soluo do Exerccio 3

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    Clculo do Vetor Unitrio AB: Vetor Fora Paralela a Barra AB:

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    97/351

    Mecnica Tcnica

    7

    362 kjiuAB

    rrr

    r ++=

    kjiuABrrr

    r

    429,0857,0286,0 ++=

    )429,0857,0286,0()300(// kjijF AB

    r

    rrr

    ++=

    )429,00()857,0300()286,00(// ++=ABF

    1,257// =ABF

    ABABAB uFF r

    v

    = ////

    )429,0857,0286,0(1,257// kjiF ABr

    rrv

    ++=

    )1102205,73(// kjiF AB

    rrrv

    ++=

    ABAB FFF //vrv

    =

    )1102205,73()300( kjijFAB

    rrrrv

    ++=

    )110805,73( kjiF AB

    rrrv

    +=

    2

    //

    2

    ABAB FFF +=22 1,257300 +=ABF

    155=ABF

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    Clculo do Vetor UnitrioAB:

    ABAB uFFF r

    r

    == cos//

    Fora Paralela a BarraAB:

    Vetor Fora Paralela a BarraAB:

    Fora Perpendicular a BarraAB:

    Em Mdulo:

    N

    N

    N

    N

    Exerccios Propostos

    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    98/351

    1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a

    intensidade da fora resultante que atua emA.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    99/351

    2) Determine o comprimento do elementoAB da trelia.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    )

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    100/351

    3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motormostrado.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    4) D t i i t d AD BD CD O l D

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    101/351

    4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D

    est no centro entreA e B.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da

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    102/351

    5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados dafora resultante que atua sobre o pontoA.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes Se a tenso

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    103/351

    6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensoem AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada umadessas foras como um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone

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    104/351

    7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone.

    Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    8) A torre mantida reta pelos trs cabos Se a fora em cada cabo

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    105/351

    8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada caboque atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine aintensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.

    Considerex = 20m e y= 15m.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra

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    106/351

    9) Determine os componentes de Fparalelo e perpendicular a barraAC. O ponto B est no ponto mdio deAC.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.

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    107/351

    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    108/351

    Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material.

    Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.

    Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

    Mecnica Tcnica

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    109/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 6 Equilbrio do PontoMaterial em Duas Dimenses

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    110/351

    Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material.

    Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.

    Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Condio de Equilbrio do Ponto Material

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    111/351

    q Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que

    esteja em repouso ou ento possua velocidade constante.

    Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuamsobre o ponto material deve ser nula, portanto:

    Mecnica Tcnica

    =0F

    Diagrama de Corpo Livre

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    112/351

    Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material

    que mostra todas as foras que atuam sobre ele.

    Mecnica Tcnica

    Exemplo de Diagrama de Corpo Livre

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    Esfera

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    113/351

    p g p

    Mecnica Tcnica

    Esfera

    Corda CE NC

    Molas

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    Quando se utilizar uma mola elstica o comprimento da mola variar em

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    114/351

    K= Constante elstica da mola. S = Deformao da mola.

    Mecnica Tcnica

    skF =

    Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar emproporo direta com a fora que atua sobre ela.

    A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.

    Cabos e PoliasC f

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    115/351

    Cabos suportam apenas uma fora de trao que atuam na direodo mesmo.

    Mecnica Tcnica

    Equaes de EquilbrioS t t i l ti

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    116/351

    q q Se um ponto material estiver

    submetido a um sistema devria foras coplanares ecolineares, cada fora poderser decomposta emcomponentes x e y e para acondio de equilbrio

    necessrio que as seguintescondies sejam atendidas.

    Mecnica Tcnica

    =0xF =0yF

    Exerccio 11) D t i t b AB AD ilb i d t

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    117/351

    1) Determine a tenso nos cabosAB eAD para o equilbrio do motor

    de 250kg mostrado na figura.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1 Diagrama de corpo livre:

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    gmP = 819250P

    Peso do motor:

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    118/351

    Mecnica Tcnica

    =0xF

    =0yF

    030cos = DB TT

    030 = PsenTB

    0245230 =senTB30

    2452

    senTB =

    4904=BT

    030cos4904 = DT 30cos4904 =DT

    4247=DT

    gmP = 81,9250 =P

    2452=P

    Equaes de equilbrio:

    Resolvendo a equao II:

    Substituindo em I:

    N

    N

    N

    (I)

    (II)

    Exerccio 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura de modo que a

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    119/351

    2) Determine o comprimento da corda ACda figura, de modo que aluminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimentono deformado da mola l

    AB

    = 0,4m e a mola tem rigidez kAB

    =300N/m.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2 Diagrama de corpo livre:

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    gmP 8198=P

    Peso da luminria:

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    120/351

    Mecnica Tcnica

    =0xF

    =0yF

    030cos = AcAB TT

    030 = PsenTAC

    05,7830 =senTAC30

    5,78

    senTAC =

    157=ACT

    30cos157 =ABT

    136=ABT

    gmP = 81,98 =P

    5,78=P

    Equaes de equilbrio:

    Resolvendo a equao II:

    Substituindo em I:

    (I)

    (II)

    030cos157 =ABT

    N

    N

    N

    Soluo do Exerccio 2 Alongamento da mola:

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    Comprimento deformado da mola:

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    121/351

    Mecnica Tcnica

    Comprimento do caboAC:

    m

    mm

    ABABAB skT =

    ABs=300136

    300

    136=ABs

    453,0=ABs

    ABABAB sll += '

    453,04,0 +=ABl

    853,0=ABl

    ABAC ll += 30cos2 853,030cos2 += ACl

    30cos

    853,02=

    ACl

    32,1=ACl

    Exerccios Propostos

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine o ngulo e a intensidade de Fde modo que o ponto

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    122/351

    material esteja em equilbrio esttico.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Determine a fora necessria nos cabos AB eACpara suportar osemforo de 12kg

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    123/351

    semforo de 12kg.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine a deformao que cada mola deve ter para equilibrar o

    bl d 2k A l t i d ilb i

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    124/351

    bloco de 2kg. As molas encontram-se em posio de equilbrio.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) A molaABCda figura tem rigidez de 500N/m e comprimento semdeformao de 6m. Determine a fora horizontal F aplicada a corda

    t l B d d d l t d l

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    125/351

    que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel emrelao a parede seja d=1,5m.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) Determine as foras necessrias nos cabosAB eACda figura paramanter a esfera D de 20kg em equilbrio. Dados: F = 300N e d = 1m.

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    126/351

    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    127/351

    Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.

    Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.

    Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.

    Mecnica Tcnica

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    128/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 7 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    129/351

    Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.

    Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.

    Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Formulao Matemtica para o

    Equilbrio em Trs Dimenses

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    130/351

    Mecnica Tcnica

    =

    ==

    0

    00

    z

    y

    x

    F

    FF

    =0Fr

    =++ 0kFjFiF zyxr

    rr

    Para o Equilbrio necessrio que:

    A soluo obtida por um sistemade trs equaes e trs incgnitas

    Exerccio 1

    1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora FO

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    131/351

    necessrios para o equilbrio do ponto O.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    OBOB

    ru

    r

    r

    =

    Vetor unitrio e Vetor posio:

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    132/351

    Mecnica Tcnica

    Determinao das foras:

    )400(1 jFrv

    =

    )800(2 kF

    rv

    =OBuFF

    rv

    = 33

    OBr

    kjirOB

    rrr

    r

    632 +=

    222 632 ++=OBr

    7=OBr

    7

    632 kjiuOB

    rrr

    r +

    =

    kjiuOB

    rrr

    r

    857,0429,0286,0 +=

    OBuFF r

    v

    = 33

    )857,0429,0286,0(7003 kjiFr

    rrv

    +=

    )600300200(3 kjiFr

    rrv

    +=

    kFjFiFF zyx

    rrrr

    ++= N

    m

    m

    N

    N

    N

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    = 0Fr

    )200100200( kjiFr

    rr

    +=

    Condio de equilbrio: Vetor fora F:

    N

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    133/351

    Mecnica Tcnica

    0F

    0321 =+++ FFFFrrrr

    0600300200800400 =++++ kFjFiFkjikj zyxr

    rrr

    rrr

    r

    =0x

    F 0200 =+ x

    F 200=x

    F

    =0yF 0300400 =+ yF 100=yF

    =0zF 0600800 =++ zF 200=zF

    )200100200( kjiF +=

    222 200100200 ++=F

    300=F

    Sistema de equaes:

    Mdulo de F:

    N

    N

    N

    N

    N

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    =

    300

    200arccos = 2,48

    ngulos diretores de F:

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    134/351

    Mecnica Tcnica

    F

    FuF

    r

    r

    =

    300

    200100200 kjiuF

    rrr

    r +=

    kjiuF

    rrr

    r

    +

    =

    300

    200

    300

    100

    300

    200

    300

    ,

    = 300

    100arccos = 109

    =

    300

    200arccos = 2,48

    Exerccio 2

    2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas,uma delas acoplada na mola mostrada Determine a fora nas

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    135/351

    uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas

    cordasACeAD e a deformao da mola.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    )( iFF BBrv

    = ADAD

    r

    ru

    r

    r

    =

    Determinao das foras: Vetor unitrio e Vetor posio:

    N

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    136/351

    Mecnica Tcnica

    )60cos135cos120cos( kFjFiFF CCCC

    rrrv

    ++=

    )5,0707,05,0( kFjFiFF CCCCr

    rrv

    +=

    ADDD uFF r

    v

    =

    ADr

    kjirAD

    rrr

    r

    221 ++=222 221 ++=ADr

    3=ADr

    3

    221 kjiuAD

    rrr

    r ++=

    kjiuAD

    rrr

    r

    667,0667,0333,0 ++=

    )667,0667,0333,0( kjiFF DD

    rrrv

    ++=

    )667,0667,0333,0( kFjFiFF DDDD

    rrrv

    ++=

    )981( kWrr

    =

    ADDD uFF

    rv

    =

    N

    N

    N

    m

    m

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Condio de equilbrio:

    =0Fr

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    137/351

    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ WFFF DCB

    rrrr

    0981667,0667,0333,05,0707,05,0 =+++ kkFjFiFkFjFiFiF DDDCCCBrr

    rrr

    rrr

    =0xF 0333,05,0 = DCB FFF

    =0yF 0667,0707,0 =+ DC FF

    =0zF 0981667,05,0 =+ DC FF

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    862F

    Soluo das equaes:

    813059,1 =DFDe (II):

    Em (IV):

    N

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    138/351

    Mecnica Tcnica

    813=CF

    862=DF

    7,693=BF

    Deformao da mola:

    skFB =

    s= 15007,693

    1500

    7,693=s

    462,0=s

    667,0

    707,0 CD

    FF

    = CD FF = 059,1

    0981))059,1(667,0(5,0 =+ CC FF

    0981706,05,0 =+ CC FF

    0981207,1 = CF

    207,1

    981=CF

    0862333,08135,0 =BF

    04,2875,406 +=BF

    (IV):

    Substituindo (IV) em (III):

    Em (I):

    N

    N

    N

    m

    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessrios para manter

    o sistema de foras concorrentes em equilbrio

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    139/351

    o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de

    equilbrio do ponto material

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    140/351

    equilbrio do ponto material.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio deequilbrio do ponto material.

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    141/351

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) Determine a intensidade e o sentido de Pnecessrios para manter

    o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    142/351

    q

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) Os trs cabos so usados para suportar a luminria de 800N.Determine a fora desenvolvida em cada cabo para a condio deequilbrio.

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    143/351

    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Soluo de Exerccios.

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    144/351

    Equilbrio em Trs Dimenses.

    Mecnica Tcnica

    Mecnica Tcnica

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    145/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 8 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Soluo de Exerccios.

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    146/351

    Equilbrio em Trs Dimenses.

    Mecnica Tcnica

    Exerccio 1

    1) Considere que o caboAB esteja submetido a uma fora de 700N.Determine as foras de trao nos cabosAC eAD e a intensidade daf i l F

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    147/351

    fora vertical F.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    )6,0,0(A

    )0,3,2(B

    222 632 ++=ABr

    7=ABr

    Determinao da Fora em Cada Cabo: Mdulo do vetor posio:

    m

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    148/351

    Mecnica Tcnica

    )0;2;5,1(C

    )0,6,3( D

    kjirAB

    rrr

    r

    632 +=

    7

    632 kjiuAB

    rrr

    r +=

    kjiuAB

    rrrr

    857,0429,0286,0 +=

    ABABAB uFF r

    v

    =

    )857,0429,0286,0(700 kjiFAB

    rrrv

    +=

    )600300200( kjiFAB

    rrrv

    +=

    )( kFFrr

    =Fora F:

    Cabo AB:

    Vetor posio:

    Vetor unitrio:

    Vetor Fora AB:

    mN

    Soluo do Exerccio 1Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    kjirAC

    rrr

    r

    625,1 +=

    222

    kjirAD

    rrr

    r

    663 =

    222 6251

    Cabo AC:Vetor posio:

    Mdulo do vetor posio:

    Cabo AD:Vetor posio:

    Mdulo do vetor posio:

    mm

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    149/351

    Mecnica Tcnica

    222 625,1 ++=ACr

    5,6=ACr

    5,6

    625,1 kjiuAC

    rrr

    r +=

    kjiuAC

    rrr

    r

    923,0307,0230,0 +=

    ACACAC uFF r

    v

    =

    )923,0307,0230,0( kjiFF ACAC

    rrrv

    +=

    )923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC

    rrrv

    +=

    222 625,1 ++=ADr

    9=ADr

    9

    663 kjiuAD

    rrr

    r =

    kjiuAD

    rrr

    r

    666,0666,0333,0 =

    ADADAD uFF r

    v

    =

    )666,0666,0333,0( kjiFF ADADrrrv

    =

    )666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD

    rrrv

    =

    Vetor unitrio:

    Vetor Fora AC:

    Vetor unitrio:

    Vetor Fora AD:

    N

    N

    mm

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Condio de equilbrio:

    =0Fr

    0=+++ FFFFrrrr

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    150/351

    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ FFFF ADACAB

    0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+++ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACACrr

    rrr

    rrr

    rr

    =0xF 0333,0230,0200

    = ADAC FF

    =0yF 0666,0307,0300 =+ ADAC FF

    =0zF 0666,0923,0600 =+ FFFADAC

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Soluo das equaes: Em (IV):

    230,0200 ACFF

    =

    ACAD FF = 690,0600

    57,131690,0600 =ADFDe (I):

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    151/351

    Mecnica Tcnica

    Substituindo (IV) em (II):Em (III):

    333,0ADF =

    ACAD FF = 690,0600

    0))690,0600(666,0(307,0300 =+ ACAC FF

    0459,0400307,0300 =++ ACAC FF

    0766,0100 =+ ACF

    766,0

    100=ACF 57,131=ACF

    21,509=ADF

    0666,0923,0600 =+ FFF ADAC

    021,509666,057,131923,0600 =+ F21,509666,057,131923,0600 ++=F

    13,33943,121600 ++=F

    57,1060=F

    (IV)

    N

    N

    N

    Exerccio 2

    2) Determine a deformao necessria em cada mola para manter acaixa de 20kg na posio de equilbrio. Cada mola tem comprimentode 2m sem deformao e rigidez k = 300N/m

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    152/351

    de 2m sem deformao e rigidez k= 300N/m.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    jFF OAOArr

    =

    222 1246 ++=OCr 14=OCr

    1246 kjr

    rr

    ++

    Determinao das Foras :Cabo OA:

    Mdulo do vetor posio:

    Vetor unitrio:

    C b OB

    N

    m

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    153/351

    Mecnica Tcnica

    iFF OBOBrr

    =

    kjirOC

    rrr

    r

    1246 ++=

    14

    1246 kjuOC

    r ++=

    kjiuOC

    rrr

    r

    857,0285,0428,0 ++=

    OCOCOC uFF r

    v

    =

    )857,0285,0428,0( kjiFF OCOC

    rrrv

    ++=

    )857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC

    rrrv

    ++=

    )81,920( kWrr

    =

    )2,196( kWrr

    =

    Peso:

    Vetor posio:

    Vetor Fora AB:

    Cabo OB:

    Cabo OC:

    N

    N

    N

    m

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Condio de equilbrio:

    =0Fr

    rrrr

  • 5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

    154/351

    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ WFFFOCOBOA

    0)2,196857,0285,0428,0 =+++ kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOArr

    rrrr

    =

    0xF 0428,0 =+

    OCOB

    FF

    =0yF 0285,0 =+ OCOA FF

    =0zF 02,196857,0 =

    OCF

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Soluo das equaes:

    De (III):

    2,196F

    Deformao da Molas:

    OBOB skF =OAOA skF =

    Mola OA: Mola OB:

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    Mecnica Tcnica

    Em (II):

    Em (I):

    N

    mN

    857,0

    =OCF

    93,228=OCF

    093,228285,0 =+ OAF

    24,65=OAF

    093,228428,0 =+ OBF

    98,97=OBF

    N

    OBOB skF

    OBs=30098,97

    300

    98,97=OBs

    326,0=OBs

    OAOA

    OAs=30024,65

    300

    24,65=OAs

    217,0=OAsm

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e oposte, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso daluminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atuaalongo de seu prprio eixo.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD eAEe afora na parteAB do cabo para a condio de equilbrio. A fora emcada escora atua ao longo do seu prprio eixo.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos paralevantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada

    uma das trs escoras para suportar o bloco de 500kg.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) O vaso suportado pelos cabos AB,ACeAD. Determine a foraque atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d=

    2,5m.

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    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Avaliao 1.

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Mecnica Tcnica

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    Aula 9 Avaliao 1

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Avaliao 1 Matria da Prova:

    Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema

    Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos eRegra do Paralelogramo

    Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses

    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Momento de uma Fora.

    Problemas em Duas Dimenses.

    Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Formulao Escalar para Clculo deMomentos.

    Mecnica Tcnica

    Mecnica Tcnica

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    Aula 10 Momento de uma Fora,Formulao Escalar

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Momento de uma Fora.

    Formulao Escalar.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Momentos em Sistemas Bidimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Momento de uma Fora - Definio

    O momento de uma fora em relao a um pontoou a um eixo, fornece uma medida da tendncia

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    dessa fora provocar a rotao de um corpo emtorno do ponto ou do eixo.

    Para problemas em duas dimenses mais

    conveniente se utilizar uma formulao escalar epara problemas em trs dimenses a formulaovetorial mais conveniente.

    Mecnica Tcnica

    Momento de uma Fora - Definio

    Quanto maior a fora ou a distncia (braode momento), maior o efeito da rotao.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    A tendncia de rotao tambm chamadade torque, momento de uma fora ou

    simplesmente momento.

    Mecnica Tcnica

    Exemplos de Momento

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Momento Eixo z Momento Eixox No h momento no tubo

    Formulao Escalar para Momento

    Momento uma grandeza vetorial, possui intensidade direo esentido.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    dFMO =

    Conveno de sinais:

    Segue a regra da mo direita

    Rotao no sentido horrio Momento negativo

    Rotao no sentido anti-horrio Momento positivo

    Momento Resultante de um Sistema

    de Foras Coplanares

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    = dFMRO

    Exerccio 1

    1) Determine o momento da fora em relao ao ponto O em cadauma das barras mostradas.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Caso (a) Caso (b)

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    Mecnica Tcnica

    dFMO =

    75,050 =OM

    5,37=O

    M Nm

    dFMO =

    2100 =OM

    200=O

    M Nm

    Exerccio 2

    2) Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontosA, B, C eD.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    dFMC =

    0800 =CM

    0CM

    dFMA =

    5,2800 =AM

    2000AM N

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    Mecnica Tcnica

    0=CM

    dFMD =

    5,0800 =DM

    400=DM

    dFMB =

    5,1800 =B

    M

    1200=BM Nm

    2000=AM Nm

    Nm

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Determine o momento da fora de 200N em relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine o momento da fora de 400N em relao ao ponto O.

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    178/351

    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) A chave de boca utilizada para soltar o parafuso. Determine omomento de cada fora em relao ao eixo que passa atravs do

    ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Princpio dos Momentos.

    Regras do Produto Vetorial.

    M t Si t T idi i i

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Momento em Sistemas Tridimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Mecnica Tcnica

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    Aula 11 Momento de uma Fora,Formulao Vetorial

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Regras do Produto Vetorial.

    Princpio dos Momentos.

    Momento em Sistemas Tridimensionais

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Momento em Sistemas Tridimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Momento de uma Fora Anlise Vetorial

    O momento de uma fora em relao a um ponto pode serdeterminado atravs da aplicao das regras de produto vetorial.

    A regra do produto vetorial para o clculo de momentos geralmente

    aplicada para sistemas em trs dimenses.

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    aplicada para sistemas em trs dimenses.

    Mecnica Tcnica

    FrM OAOr

    r

    r

    =

    Princpio dos Momentos

    Conhecido como teorema de Varignon. O teorema estabelece que o momento de uma fora em relao a um

    ponto igual a soma dos momentos dos componentes das foras emrelao ao mesmo ponto.

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    Mecnica Tcnica

    )()( 21 FrFrMOr

    r

    r

    r

    r

    +=

    Regras do Produto Vetorial

    O produto vetorial de dois vetoresA e B produz o vetor Ce matematicamente a operao escrita do seguintemodo:

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    BAC

    rrr

    =

    Formulao Vetorial Cartesiana

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    jik

    ikj

    kji

    rrr

    rr

    r

    rrr

    =

    =

    =

    ijk

    kij

    jki

    rrr

    rrr

    rrr

    =

    =

    =

    0

    0

    0

    =

    =

    =

    kk

    jj

    ii

    rr

    rr

    rr

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    Mecnica Tcnica

    zyx

    zyx

    BBBAAA

    kji

    BA

    rrr

    rr

    =

    zyx

    zyx

    FFFrrr

    kji

    Fr

    rrr

    r

    r

    =

    Exerccio 1

    1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    FrM OAOr

    r

    r

    =

    )203060()473( kjikjiMOr

    rrr

    rrr

    +=

    ijikjkMOrrr

    rr

    rr

    1202401404206090 ++++=

    Clculo do Momento no Ponto A:

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    Mecnica Tcnica

    kjirOAr

    rrr

    473 +=

    )203060()473( kjikjiMO +

    kjiMOr

    rrr

    510180260 ++=

    Vetor Posio:

    Nm

    m

    Exerccio 2

    2) O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa foraem relao ao suporte no pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3

    212 kjiuCB

    rrr

    r +=

    kjiuCBr

    rrr

    666,0333,0666,0 +=

    CBuFF r

    v

    =r

    Vetor Unitrio:

    Vetor Fora:

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    Mecnica Tcnica

    kjirCBr

    rrr

    )02()43()31( ++=

    kjirCBr

    rrr

    212 +=

    222 212 ++=CBr 3=CBr

    )666,0333,0666,0(60 kjiFrrrv

    +=

    )402040( kjiFr

    rrv

    +=

    )402040()231( kjikjiMAr

    rrr

    rrr

    +++=

    ijikjkMArrr

    rr

    rr

    40801201204020 +++=

    kjiMArrrr

    100120160 +=

    222 100120160 ++=AM 224=AM

    Vetores Posio:

    Mdulo do Vetor Posio:

    Clculo do Momento no Ponto A:

    Nm

    Nm

    Nm

    m

    m

    m

    FrM ABAr

    r

    r

    =

    kjirABrrr

    r

    231 ++=

    jirACrr

    r

    43 +=

    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) O basto curvado se estende no planox-ye tem uma curvatura de3m. sabendo que a fora F igual a 80N, determine o momento

    dessa fora em relao ao ponto o.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) A fora N, atua na extremidade da viga.Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.

    )600300600( kjiF

    rrrr

    +=

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) A estrutura mostrada na figura est sujeita a uma fora de 80N.

    Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.

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    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) A escora AB de uma comporta de 1m de dimetro exerce umafora de 450N no ponto B. Determine o momento d