Mecânica Geral (2).pdf

5/22/2018 Mecnica Geral (2).pdf

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Mecnica Tcnica

Aula 1 Conceitos Fundamentais

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues


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Tpicos Abordados Nesta Aula

Apresentao do Curso.

Apresentao da Bibliografia

Definio da Mecnica Tcnica.

Sistema Internacional de Unidades.

Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecnica Tcnica


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Apresentao do Curso Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 9 - Avaliao 1 Aula 10 - Momento de uma Fora, Formulao Escalar

Aula 11 - Momento de uma Fora, Formulao Vetorial, Princpio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um Binrio Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas Aula 15 - Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas e Trs Dimenses

Aula 17 - Estudo de Trelias Planas Aula 18 - Estudo de Mquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliao 2 Aula 20 - Exame Final


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Bibliografia Recomendada

HIBBELER, R. C. Mecnica Esttica. 10 ed. So

Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecnica

Vetorial para Engenheiros: Esttica.5.ed. So

Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics

Statics 3 ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002,583p.


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Definio de Mecnica

A mecnica pode ser definida como o ramo

das cincias fsicas dedicado ao estudo doestado de repouso ou movimento decorpos sujeitos ao de foras.

Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica doscorpos rgidos, a mecnica dos corpos

deformveis e a mecnica dos fluidos.


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Mecnica dos Corpos Rgidos A mecnica dos corpos rgidos pode ser dividida em

esttica (equilbrio de um corpo rgido) e dinmica(movimento de um corpo rgido). A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um

corpo em repouso ou em movimento com velocidade

constante. A dinmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a

parte da mecnica dos corpos rgidos dedicada ao estudodo movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja,

movimentos acelerados dos corpos.


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Grandezas Fsicas Presentes na Mecnica


a) Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posio de um ponto no espao. A partir docomprimento possvel descrever com exatido a dimenso de um sistema fsico. No sistemainternacional de unidades (SI), a unidade bsica de comprimento o metro (m).

b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medies desse

intervalo podem ser realizadas por comparaes, como por exemplo, eventos repetitivos tal como arotao da Terra ao redor de seu prprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidadebsica de tempo o segundo (s). Como o presente curso trata apenas dos problemas de esttica, aquantidade tempo no possui influncia significativa na soluo dos problemas, porm emproblemas de dinmica, o tempo uma grandeza muito importante para descrever as variaes deposio, velocidade, acelerao e foras em um corpo.

c) Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posio docorpo e do local no qual o mesmo colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade

bsica de massa o quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matria que permitecomparar a ao de um corpo em relao a outro e de um modo geral pode ser interpretada com aresistncia que um corpo oferece a mudanas em seu movimento de translao.

d) Fora: Pode ser definida como a ao de um corpo em outro corpo. Como um corpo no podeexercer uma fora em um segundo corpo a menos que este oferea uma resistncia, pode-seconcluir que uma fora nunca existe s, ou seja, as foras sempre ocorrem aos pares, e as duasforas possuem a mesma magnitude e sentidos contrrios. No sistema internacional de unidades

(SI), a unidade bsica de fora o Newton (N), que representado a partir da seguinte relao, 1 N= 1 kgm/s.

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Sistema Internacional de Unidades


A 11 CGPM, em 1960, atravs de sua Resoluo n12, adotoufinalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, comabreviao internacional SI para o sistema prtico de unidades, e

instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e asunidades suplementares, alm de outras indicaes, estabelecendouma regulamentao para as unidades de medidas. A definio deQuantidade de Matria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969e adotada pela 14 CGPM, em 1971.

CGPM - Confrence Gnrale de Pois et Mesures

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Unidades de Base do SI

So sete unidades bem definidas que, por conveno, so tidascomo dimensionalmente independentes. Essas unidades soapresentadas na Tabela a seguir.


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cdcandelaintensidade luminosa

molmolquantidade de matria

Kkelvintemperatura termodinmica

Aamprecorrente eltrica

ssegundotempo

kgquilogramamassa

mmetrocomprimento

SmboloUnidadeGrandeza


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Definio das Unidades de Base


Metro (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792458 de um segundo.

Quilograma (kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina - irdio,dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite.

Segundo (s): a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entreos dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental. Ampre (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos,

de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro novcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro decomprimento.

Kelvin (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua.

Mol (mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementaresquantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentrios: a) O nomedesta quantidade vem do francs "quantit de matire",derivado do latim "quantitas materiae", queantigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em ingls usa-se o termo "amount of substance". Em portugus, consta no Dicionrio como "quantidade desubstncia", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matria", at uma definio maisprecisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem serespecificadas, podendo ser tomos, molculas, ons, eltrons ou outras partculas ou agrupamentos

de tais partculas. Candela (cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite

radiao monocromtica de freqencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naqueladireo de 1/683 watt por esteradiano.

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Unidades Suplementares do SI


So apenas duas as unidades suplementares: oradiano, unidade de ngulo plano e o

esteradiano, unidade de ngulo slido.

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sresteradianongulo slido

radradianongulo plano



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Unidades Derivadas do SI So formadas pela combinao de unidades de base, unidades

suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaesalgbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolospara as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de

multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadastm nomes e smbolos especiais.


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mol/m3mol por metro cbicoconcentrao

m3/kgmetro cbico por quilogramavolume especfico

kg/m3quilograma por metro cbicodensidade

m-1metro recproconmero de onda

m/s2metro por segundo quadradoacelerao

m/smetro por segundovelocidade

m3metro cbicovolume

m2metro quadradorea



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Unidades Derivadas do SI


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KCgrau celciustemperatura celcius

Wb/AHhenryindutncia

Wb/m2Ttesladensidade de fluxo magntico

V sWbweberfluxo magntico

A/VSsiemenscondutncia eltrica

V/Aohmresistncia eltrica

C/VFfaradcapacitncia eltrica

W/AVvoltpotencial eltrico

A sCcoulombquantidade de eletricidade

J/sWwattpotncia, fluxo radiante

N mJjouleenergia, trabalho

N/m2Papascalpresso, tensokg m/s

2

Nnewtonfora

s-1Hzhertzfreqncia

Expresso(*)SmboloUnidadeGrandeza


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Unidades Derivadas do SI


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W/(m K)watt por metro kelvincondutividade trmica

N/mnewton por metrotenso superficial

J/(kg K)joule por quilograma kelvinentropia especfica

J/kgjoule por quilogramaenergia especfica

W/srwatt por esteradianopotncia radiante

W/(m2 sr)watt por metro quadrado esteradianoradincia

W/m2watt por metro quadradodensidade de potncia

J/(mol K)joule por mol kelvinentropia molarJ/moljoule por molenergia molar

A/mampre por metrofora do campo magntico

J/Kjoule por kelvinentropia

J/m3joule por metro cbicodensidade de energia

V/mvolt por metrofora do campo eltrico

C/m2coulomb por metro quadradodensidade de carga eltrica

A/m2ampre por metro quadradodensidade de corrente

rad/sradiano por segundovelocidade angular

rad/s2radiano por segundo quadradoacelerao angular

Expresso(*)UnidadeGrandeza


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Mltiplos e Submltiplos


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zzepto0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21

aatto0,000 000 000 000 000 001 = 10-18

ffemto0,000 000 000 000 001 = 10-15ppico0,000 000 000 001 = 10-12

nnano0,000 000 001= 10-9

micro0,000 001 = 10-6

mmili0,001 = 10-3

ccenti0,01 = 10-2

ddeci0,1 = 10-1

dadeca10 = 101

hhecto100 = 102

kquilo1 000 = 103

Mmega1 000000 = 106

Ggiga1 000 000 000 = 109Ttera1 000 000 000 000 = 1012

Ppeta1 000 000 000 000 000 = 1015

Eexa1 000 000 000 000 000 000 = 1018

Zzetta1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021

SmboloPrefixoFator


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Escrita de Unidades


Os princpios gerais relativos escrita de smbolos das unidades foram adotadas pela9 CGPM, em 1948, alguns comentrios so apresentados a seguir.

a) Os smbolos usados para discriminar quantidades fsicas devem ser apresentadosem itlico, mas os smbolos das unidades so digitados em romano [ex:F= 23 N].

b) As unidades derivadas de nomes prprios devem ser escritas com a primeira letraem maisculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minsculo [ex:newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minsculo oumaisculo ( l ou L ).

c) O smbolo da unidade geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade[ex: grama, g e no gm; segundo, s e no seg ou sec], com algumas excees [ex:mol, cd e Hz]. Tambm, o smbolo da unidade no deve ser seguido por um ponto e o

seu plural no seguido de "s" [ex: 3 kg e no 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu smbolo "" devem ser omitidos da unidade de temperatura

termodinmica, T [isto , usa-se apenas kelvin ou K e no Kelvin ou K], mas soretidos quando se quer designar temperatura Celcius, t[ex: graus Celcius ou C].

e) Os smbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 soescritos em maisculo, enquanto que todas os outros so escritos em minsculo [ex:

mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas no M/m3]. g) No deve ser colocado espao entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos

devem ser evitados [ex: 1 pF, e no 1 p F ou 1 F; 1 nm, e no 1mm].

Mecnica Tcnica


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Escrita de Unidades


h) O agrupamento formado pelo smbolo do prefixo ligado ao smbolo da unidadeconstitui-se em um novo e inseparvel smbolo, de modo que pode ser elevado apotncias positivas ou negativas e ser combinado com outros smbolos de unidadespara formar smbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1

cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) =102 V/m]. i) Quando um mltiplo ou submltiplo de uma unidade escrito por completo, o prefixo

deve ser tambm escrito por completo, comeando com letra minscula [ex:megahertz, e no Megahertz ou Mhertz].

j) O quilograma a nica unidade de base cujo nome, por razes histricas, contm

um prefixo. Seus mltiplos e submltiplos so formados adicionando-se os prefixos palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e no 1 microquilograma ou 1kg]. k) A multiplicao de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou

deixando-se um espao entre as unidades [ex: ou N m]. l) A diviso pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de

frao horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido

da barra inclinada no permitido [ex: m/s2, mas no m/s/s; m kg/ (s3 A), mas no mkg/s3/A]. Para se evitar m interpretao, quando mais de uma unidade aparece nodenominador, deve-se utilizar parntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou Wm-2 K-4].

Mecnica Tcnica


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Escrita de Unidades


m) Os nomes das unidades no devem ser misturados com os smbolos dasoperaes matemticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas nometro/segundo ou metro segundo-1].

n) Quando o produto de duas unidades escrito por extenso, recomenda-se o uso deespao entre elas mas nunca o uso do ponto. tolervel o emprego de hfen nestescasos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas no newtonmetro].

Nmeros com mais de quatro dgitos devem ser separados por um espao a cadagrupo de tres dgitos. Nunca utilizar pontos ou vrgulas nas separaes, para evitarconfuses com as marcaes de decimais [ex: 299 792 458, mas no 299.792.458 ou299,792,458]. Esta conveno tambm aplicada direita do marcador de decimais[ex: 22,989 8].

o) O valor numrico e o smbolo da unidade devem ser separados por um espao,mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas no 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de fraes decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J

ao invs de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possvel, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um

intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA].

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Prxima Aula

Escalares e Vetores.

Lei dos Senos.

Lei dos Cossenos.

Regra do Paralelogramo


Mecnica Tcnica


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Mecnica TcnicaAula 2 Lei dos Senos e Lei

dos Cossenos



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Clculo de Fora Resultante.

Operaes Vetoriais.

Lei dos Senos.

Lei dos Cossenos.


Mecnica Tcnica


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Grandezas Escalares

Uma grandeza escalar caracterizada por

um nmero real. Como exemplo deescalares podem se citar: o tempo, amassa, o volume, o comprimento, etc.


Mecnica Tcnica


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Grandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs

elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico

que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio,fora e momento.

A posio de um ponto no espao em relao a outro pontocaracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma

cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambasesto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizarum vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100km a oeste da cidade A.

A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois

quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se namesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel ecom a direo desejada para o movimento.


Mecnica Tcnica


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Representao de uma GrandezaVetorial Uma grandeza vetorial pode ser

representada graficamente por uma

seta, que utilizada para definir seumdulo, sua direo e seu sentido.Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimentoda seta, a direo definida atravsdo ngulo formado entre um eixo de

referncia e a linha de ao da setae o sentido indicado pelaextremidade da seta.

A figura mostra a representaogrfica de dois vetores foraatuando ao longo dos cabos de

fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e oponto P representa sua extremidadeou ponta.


Mecnica Tcnica


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Soluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os

conceitos de soma e subtrao vetorial, bemcomo a determinao das componentes de umvetor podem ser resolvidos a partir das leis dos

senos e dos cossenos, que representampropriedades fundamentais da trigonometria eso descritas a seguir a partir da figura a seguir e

das respectivas equaes.


Mecnica Tcnica


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Lei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos

senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidasdos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.


Mecnica Tcnica

sen

C

sen

B

sen

A==

cosABBAC 222 +=

A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , alei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, oquadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das

medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

B A

C


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Soma Vetorial Regra do Paralelogramo

O Clculo da fora resultante pode ser

obtido atravs da soma vetorial com aaplicao da regra do paralelogramo.


Mecnica Tcnica


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Exerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.

Determine o mdulo e a direo da fora resultante.


Mecnica Tcnica

10


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Soluo do Exerccio 1


Mecnica Tcnica

110110

70

70

2Fr

1Fr

RFr

y

x

70

2Fr

1Fr

RFr

Construir um esquema aplicando a regra doparalelogramo de forma a identificar quais so as incgnitasdo problema.

A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.

cosFFFFFR += 212

2

2

1 2

+= 703002002300200 22 cosFR

sen

F

sen

F R=1

RF

senFsen

= 1

=

RF

senFasen

1

=

25298

70200

,

senasen

= 0639,

= = 300639, = 069,

Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-seo mdulo da fora resultante F

R.

O ngulo

determinado a partir da lei dossenos, utilizando-se o valor calculado para FR

.

Com relao ao eixo xpositivo, o ngulo dado por:

FR= 298,25 N


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Exerccio 2

2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontracom problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante

igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.


Mecnica Tcnica

A l 2


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Soluo do Exerccio 2


Mecnica Tcnica

=

=

3040110 sen

F

sen

F

sen

F CBCAR

=

=

110

4030

110

40

sen

sen

sen

senFF RCA

52,20=CAF

=

=

110

3030

110

30

sen

sen

sen

senFF RCB

96,15=CBF

FCAFCB

FR

= 30 kN

3040

110

A partir da regra do paralelogramo, deve-seconstruir um tringulo de vetores envolvendo asforas atuantes nos cabos CA e CB e a foraresultante, de forma a identificar as incgnitas doproblema.

A partir da aplicao da lei dos senos,pode-se determinar os mdulos das forasatuantes em cada um dos cabos CA ou CB daseguinte forma.

Resolvendo para FCA

tem-se que:

Resolvendo para FCB

tem-se que:

kN

kN

A l 2 f S


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Exerccios Propostos


1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixoxpositivo.

Mecnica Tcnica

Aula 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i


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Exerccios Propostos


2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.

Mecnica Tcnica

Aula 2 Prof MSc Luiz Eduardo Miranda J Rodrigues


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Exerccios Propostos


3) A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra afigura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e suaintensidade em relao ao eixo horizontal.

Mecnica Tcnica



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Exerccios Propostos


4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estacamostrada. Determine o ngulo e o valor da fora Fde modo que afora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e

tenha uma intensidade de 750N.

Mecnica Tcnica



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Exerccios Propostos


5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determineos valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50.

Mecnica Tcnica



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Exerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duasforas F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.


Mecnica Tcnica



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Exerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados,

sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada aolongo do eixoxpositivo, determine a intensidade das foras FA e FB.

Considere = 15.

Aula 2 g

Mecnica Tcnica



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Prxima Aula Sistemas de Foras Coplanares.

Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

g

Mecnica Tcnica


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Mecnica TcnicaAula 3 Sistemas de Foras

Coplanares, Vetores Cartesianos




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Tpicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Foras Coplanares.

Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

Mecnica Tcnica



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Componentes de um Vetor Quando um vetor R expresso segundo a soma de dois vetores A e

B, cada um dos vetores A e B so chamados de componentes de R,

portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duascomponentes a partir da aplicao da regra do paralelogramo. Umexemplo de decomposio vetorial pode ser observado na figura aseguir, onde, conhecendo-se as linhas de ao de cada componente,o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B.

Mecnica Tcnica



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Fora Resultante

Mecnica Tcnica

1Fr

2Fr

RF

r



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Adio de Foras Vetoriais Quando os problemas envolvem a adio de mais de duas foras,

pode-se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o

tringulo de vetores de modo a se obter a fora resultante. Umexemplo desse tipo de situao mostrado na figura representada aseguir.

Mecnica Tcnica



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Mtodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o nmero de foras

envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a

fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra doparalelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho degeometria e trigonometria para se determinar o valor numrico daresultante do sistema e sua respectiva direo.

Porm, este exaustivo processo suprido de forma rpida atravs daaplicao de uma metodologia que utiliza uma soma algbrica dascomponentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema.

Este mtodo denominado mtodo das componentes retangularese consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores,formando desse modo um sistema de foras colineares projetadosnos eixos de coordenadas do sistema de referncia.

Mecnica Tcnica



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Decomposio de Foras Conveno de Sinais.

x Positivo para a direita, negativo para a esquerda.

y Positivo para cima, negativo para baixo.

No plano, utilizam-se os versores e .

Mecnica Tcnica

ir

jr



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Reduo a uma nica Fora Resultante Decompor as foras nos eixosxe y.

Utilizar trigonometria, decomposio em seno e cosseno.

Mecnica Tcnica

jFiFF yxrrr

111 += jFiFF yxrrr

222 += jFiFF yxrrr

333 =

++++== nR FFFFFFrrrrrr

......321

Fora Resultante:

Soma Vetorial

Vetores Cartesianos:



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Mdulo e Direo da Fora Resultante

Mecnica Tcnica

Mdulo da Fora Resultante: Direo da Fora Resultante:

= xRx FF

= yRy FF

22

RyRxR FFF +=

=

Rx

Ry

F

Farctg



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Exerccio 1

1) O elo da figura est submetido as foras F1 e F2, determine aintensidade e a orientao da fora resultante.

Mecnica Tcnica



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Soluo do Exerccio 1

Mecnica Tcnica

)3030cos(111

jsenFiFFrrr

+=

)3060030cos600(1 jseniFrrr

+=

)4545cos( 222 jsenFiFFrrr

+=

)4540045cos400(2 jseniFrrr

+=

)4540045cos400()3060030cos600( jsenijseniFRrrrrr

+++=

jsenseniFRrrr

)4540030600()45cos40030cos600( ++=

)8,5828,236( jiFR

rrr

+=

Decomposio das Foras: Fora 1:

Fora 2:

Fora Resultante:

N

N

N



51/351

Soluo do Exerccio 1

Mecnica Tcnica

22 8,5828,236( +=RF

629=RF

=

x

y

F

Farctg

=

8,236

8,582

arctg

= 9,67

Mdulo da Fora Resultante:

Direo da Fora Resultante:

N



52/351

Exerccio 2

2) A extremidade da barra est submetida a trs foras concorrentese coplanares. Determine a intensidade e a orientao da foraresultante.

Mecnica Tcnica



53/351

Soluo do Exerccio 2

Mecnica Tcnica

)400(1 iFrr

=

)45cos45( 222 jFisenFF

rrr

+=

)45cos25045250(2 jisenFrrr

+=

+

= jFiFF

rrr

5

3

5

4333

+

= jiF

rrr

5

3200

5

42003

)120160(3 jiFrrr

+=

Decomposio das Foras:

Fora 1:

Fora 2:

Fora 3:

N

N

N



54/351

Soluo do Exerccio 2

Mecnica Tcnica

)120160()45cos25045250()400( jijiseniFRrrrrrr

++++=

jisenFRrrr

)12045cos250()16045250400( +++=

22 8,2962,383( +=RF 485=RF

=

x

y

F

Farctg

=

2,383

8,296arctg = 8,37

Fora Resultante:

Mdulo da Fora Resultante:

Direo da Fora Resultante:

N

N)8,2962,383( jiFRrrr

+=

296,8N

383,2N

FR

x

y



55/351

Exerccios Propostos 1) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo

e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras sejaorientada ao longo do eixoxpositivo e tenha intensidade de 1kN.

Mecnica Tcnica



56/351

Exerccios Propostos 2) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo

que a resultante das foras seja orientada ao longo do

eixo ypositivo e tenha intensidade de 800N.

Mecnica Tcnica



57/351

Exerccios Propostos 3) O gancho da figura est submetido as foras F1 e F2, determine a

intensidade e a orientao da fora resultante.

Mecnica Tcnica



58/351

Exerccios Propostos

4) Determine o ngulo e a intensidade de FB de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

eixo ypositivo e tenha intensidade de 1500N.

Mecnica Tcnica



59/351

Exerccios Propostos

5) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

eixoxpositivo e tenha intensidade de 600N.

Mecnica Tcnica



60/351

Prxima Aula Operaes com Vetores Cartesianos.

Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados

Mecnica Tcnica


61/351

Mecnica Tcnica

Aula 4 Adio e Subtrao de

Vetores Cartesianos




62/351

Tpicos Abordados Nesta Aula Operaes com Vetores Cartesianos.

Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados.

Mecnica Tcnica



63/351

Componentes retangulares de um vetor Um vetorA pode ter um, dois ou trs

componentes ao longo dos eixos de

coordenadasx, ye z. A quantidade de componentes

depende de como o vetor estorientado em relao a esses eixos.

Sistema de coordenadas utilizando aregra da mo direita.

Mecnica Tcnica



64/351

Vetor Unitrio A direo deA especificada usando-se

um vetor unitrio, que possui esse nomepor ter intensidade igual a 1.

Em trs dimenses, o conjunto devetores unitrios usado paradesignar as direes dos eixos x, y e zrespectivamente.

Mecnica Tcnica

kjir

rr

,,

AuA

r

r

=F

FuF

r

r

=

Para um vetor A: Para um vetor Fora:



65/351

Representao de um Vetor Cartesiano Um vetor cartesiano escrito

sob a forma de suas

componentes retangulares. As componentes representam a

projeo do vetor em relaoaos eixos de referncia.

Quando se escreve um vetor naforma cartesiana suascomponentes ficam separadasem cada um dos eixos e facilita

a soluo da lgebra vetorial.

Mecnica Tcnica

kAjAiAA zyx

rrrr

++=

222

zyx AAAA ++=

Mdulo do vetor cartesiano:

Vetor cartesiano:



66/351

ngulos Diretores Coordenados A orientao de um vetor no espao definida pelos ngulos

diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor e os

eixos positivos x, y e z.

Mecnica Tcnica

Axr

=cos

Ayr

=cos

Azr

=cos

Determinao dos ngulos



67/351

Determinao dos ngulosDiretores Coordenados

Mecnica Tcnica

kA

jA

iAA

u zyx

A

rrr

r

r

++==

kjiuA

rrr

r

coscoscos ++=

1coscoscos 222 =++



68/351

Sistemas de Foras Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias

foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as

foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:

Mecnica Tcnica

++== kFjFiFFF zyxRr

rrrr



69/351

Exerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da

fora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.

Mecnica Tcnica

N N

Soluo do Exerccio 1



70/351

Soluo do Exerccio 1

Mecnica Tcnica

+== 21 FFFFRrrrr

)8060()10010050( kjkjiFR

rr

rrrr

+++=

)1804050( kjiFR

rrrr

+=

191=RF N

Mdulo da fora resultante:

Vetor fora resultante:N

N

222 1804050 ++=RF

Soluo do Exerccio 1



71/351

Soluo do Exerccio 1

Mecnica Tcnica

kF

Fj

F

Fi

F

F

F

Fu

R

Rz

R

Ry

R

Rx

R

RFR

rrr

r

r

++==

kjiuRF

rrr

r

191

180

191

40

191

50+=

kjiu RF

rrr

r

942,0209,0261,0 +=

R

Rx

F

Fr

=cos

261,0cos =

)261,0arccos(= = 8,74

R

Ry

F

Fr

=cos

209,0cos =

)209,0arccos(= = 102

R

Rz

F

Fr

=cos

942,0cos =

)942,0arccos(= = 6,19

Vetor unitrio da fora resultante:

ngulos diretores:



72/351

Exerccio 2 2) Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique

os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora

resultante FR atue ao longo do eixo ypositivo e tenha intensidade de800N.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 2



73/351

Soluo do Exerccio 2

Mecnica Tcnica

21 FFFR

rrr

+=

kFjFiFFr

rrr

1111111 coscoscos ++=

kjiFr

rrr

++= 120cos30060cos30045cos3001

kjiF

rrrr

1501502,2121 +=

21501502,212800 Fkjijrrrrr

++=

kjijFr

rrrr

1501502,2128002 +=

kjiF

rrrr

1506502,2122 ++=

222

2 1506502,212 ++=F

7002 =F

Determinao de F2:

Mdulo de F2:

N

N

Fora Resultante:

N

Determinao de F1:

jFR

rr

800=

N

Soluo do Exerccio 2



74/351

Soluo do Exerccio 2

Mecnica Tcnica

=

2

22 arccos

F

Fx

=

700

2,212arccos2

= 1082

=

2

22 arccos

F

Fz

= 700

150

arccos2

= 6,772

=

2

2

2 arccosF

F y

=

700

650

arccos2

= 8,212

ngulos Diretores de F2:

Exerccios Propostos



75/351

Exerccios Propostos

1) Expresse a fora Fcomo um vetor cartesiano.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos



76/351

Exerccios Propostos 2) A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60N.

Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetorcartesiano.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos



77/351

p 3) O mastro est sujeito as trs foras mostradas. Determine os

ngulos diretores 1, 1, e 1 de F1, de modo que a fora resultante

que atua sobre o mastro seja N

Mecnica Tcnica

)350( iFRrr

=

Exerccios Propostos



78/351

p 4) Os cabos presos ao olhal esto submetidos as trs foras

mostradas. Expresse cada fora na forma vetorial cartesiana edetermine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora

resultante.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos



79/351

p 5) O suporte est sujeito as duas foras mostradas. Expresse cada

fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante,

a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.

Mecnica Tcnica



80/351

Prxima Aula Vetores Posio.

Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.

Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

Mecnica Tcnica


81/351

Mecnica Tcnica

Aula 5 Vetor Posio,Aplicaes do Produto Escalar




82/351

Tpicos Abordados Nesta Aula Vetores Posio.

Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.

Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

Mecnica Tcnica



83/351

Vetores Posio O vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto

do espao em relao a outro.

O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.

Mecnica Tcnica

kzjyixrr

rrr

++=

Vetor Posio entre Dois PontosA e B



84/351

Fora da Origem O vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadasx,

y, zdas extremidades dos vetores em anlise.

O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre doispontos no espao.

Mecnica Tcnica

ABAB rrr rrr

=

kzzjyyixxr ABABABAB

rrr

r

)()()( ++=



85/351

Aplicaes do Vetor Posio

Mecnica Tcnica

Vetor Fora Orientado ao Longo de



86/351

uma Reta Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo

que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio

orientado do pontoA para o ponto B na corda.

Mecnica Tcnica

==r

rFuFF

r

r

r



87/351

Exerccio 1 1) a corda mostrada na figura est presa aos pontosA e B, determine

seu comprimento e sua direo, medidos deA para B.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 1



88/351

Mecnica Tcnica

)3,0,1( A

)3,2,2(B

kzzjyyixxr ABABABAB

rrr

r

)()()( ++=

kjirABr

rrr

))3(3()02()12( ++=

)623( kjirAB

rrr

r

++=

222

623 ++=ABr

7=ABr

AB

ABAB

r

ru

r

r

=

7

623 kjiuAB

rrr

r ++=

7

623 kjiuAB

rrr

r ++=

kjiuABr

rrr

857,0285,0428,0 ++=

Vetor PosioAB:

Mdulo do Vetor Posio:

Vetor UnitrioAB:

m

m

m

m

Soluo do Exerccio 1



89/351

Mecnica Tcnica

= AB

ABx

r

rr

arccos

=

7

3arccos

= 115

= AB

ABy

r

rr

arccos

=

7

2arccos

= 4,73

=

AB

ABz

r

rr

arccos

=

7

6arccos

=31

ngulos Diretores:



90/351

Exerccio 2 2) A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se

que a fora no cabo em A igual a 500N, expresse essa fora como

um vetor cartesiano.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 2



91/351

Mecnica Tcnica

)2,0,0(A

)0;707,0;707,1B

kzzjyyixxr ABABABABr

rrr

)()()( ++=

kjirABr

rrr

)20()0707,0()0707,1( ++=

)2707,0707,1( kjirABr

rrr

+=

222 2707,0707,1 ++=ABr

723,2=ABr

AB

ABAB

r

ru

r

r

=

723,2

2707,0707,1 kjiuAB

rrr

r +

=

kjiuAB

rrr

r

734,0259,0626,0 +=

ABuFF r

r

=

)734,0259,0626,0(500 kjiFrrrr

+=

Vetor PosioAB:


Vetor UnitrioAB:

Vetor Fora:

)3671303,31( kjiFrrrr

+=

m

m

m

m

N

P d E l



92/351

Produto Escalar Em determinados problemas de esttica necessrio se

determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os

componentes paralelo e perpendicular de uma fora emrelao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo

por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma

maneira rpida de se obter o resultado desejado a partirda lgebra vetorial.

O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entredois vetores.

Mecnica Tcnica

F l d P d t E l



93/351

Formulao do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar

e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.

Mecnica Tcnica

cos= BABArr

1

1

1

=

=

=

kk

jj

ii

rr

rr

rr

0

0

0

=

=

=

ki

jk

ji

rr

rr

rr

ngulo entre dois Vetores:

=BABA

rr

arccos

Componentes Paralelo e Perpendicular

d V t



94/351

de um Vetor

Mecnica Tcnica

2

//

2 AAA =

uAAA r

r

== cos//

Exerccio 3



95/351

3) A estrutura mostrada na figura est submetida a uma forahorizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa foraparalela e perpendicular ao elementoAB.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 3



96/351

Mecnica Tcnica

ABAB uFFF r

r

== cos//

AB

ABAB

r

ru

r

r

=

kjirABr

rrr

362 ++=

222 362 ++=ABr

7=ABr

Fora Paralela a BarraAB:

Clculo do Vetor UnitrioAB:

Vetor PosioAB:

Mdulo do PosioAB:

m

m

Soluo do Exerccio 3


Clculo do Vetor Unitrio AB: Vetor Fora Paralela a Barra AB:


97/351

Mecnica Tcnica

7

362 kjiuAB

rrr

r ++=

kjiuABrrr

r

429,0857,0286,0 ++=

)429,0857,0286,0()300(// kjijF AB

r

rrr

++=

)429,00()857,0300()286,00(// ++=ABF

1,257// =ABF

ABABAB uFF r

v

= ////

)429,0857,0286,0(1,257// kjiF ABr

rrv

++=

)1102205,73(// kjiF AB

rrrv

++=

ABAB FFF //vrv

=

)1102205,73()300( kjijFAB

rrrrv

++=

)110805,73( kjiF AB

rrrv

+=

2

//

2

ABAB FFF +=22 1,257300 +=ABF

155=ABF

AB

ABAB

r

ru

r

r

=

Clculo do Vetor UnitrioAB:

ABAB uFFF r

r

== cos//

Fora Paralela a BarraAB:

Vetor Fora Paralela a BarraAB:

Fora Perpendicular a BarraAB:

Em Mdulo:

N

N

N

N

Exerccios Propostos



98/351

1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a

intensidade da fora resultante que atua emA.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos



99/351

2) Determine o comprimento do elementoAB da trelia.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


)


100/351

3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motormostrado.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


4) D t i i t d AD BD CD O l D


101/351

4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D

est no centro entreA e B.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da


102/351

5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados dafora resultante que atua sobre o pontoA.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes Se a tenso


103/351

6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensoem AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada umadessas foras como um vetor cartesiano.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone


104/351

7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone.

Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


8) A torre mantida reta pelos trs cabos Se a fora em cada cabo


105/351

8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada caboque atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine aintensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.

Considerex = 20m e y= 15m.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra


106/351

9) Determine os componentes de Fparalelo e perpendicular a barraAC. O ponto B est no ponto mdio deAC.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.


107/351

Mecnica Tcnica

Prxima Aula



108/351

Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material.

Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.

Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

Mecnica Tcnica


109/351

Mecnica Tcnica

Aula 6 Equilbrio do PontoMaterial em Duas Dimenses





110/351

Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material.

Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.

Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

Mecnica Tcnica

Condio de Equilbrio do Ponto Material



111/351

q Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que

esteja em repouso ou ento possua velocidade constante.

Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuamsobre o ponto material deve ser nula, portanto:

Mecnica Tcnica

=0F

Diagrama de Corpo Livre



112/351

Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material

que mostra todas as foras que atuam sobre ele.

Mecnica Tcnica

Exemplo de Diagrama de Corpo Livre


Esfera


113/351

p g p

Mecnica Tcnica

Esfera

Corda CE NC

Molas


Quando se utilizar uma mola elstica o comprimento da mola variar em


114/351

K= Constante elstica da mola. S = Deformao da mola.

Mecnica Tcnica

skF =

Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar emproporo direta com a fora que atua sobre ela.

A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.

Cabos e PoliasC f



115/351

Cabos suportam apenas uma fora de trao que atuam na direodo mesmo.

Mecnica Tcnica

Equaes de EquilbrioS t t i l ti



116/351

q q Se um ponto material estiver

submetido a um sistema devria foras coplanares ecolineares, cada fora poderser decomposta emcomponentes x e y e para acondio de equilbrio

necessrio que as seguintescondies sejam atendidas.

Mecnica Tcnica

=0xF =0yF

Exerccio 11) D t i t b AB AD ilb i d t



117/351

1) Determine a tenso nos cabosAB eAD para o equilbrio do motor

de 250kg mostrado na figura.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 1 Diagrama de corpo livre:


gmP = 819250P

Peso do motor:


118/351

Mecnica Tcnica

=0xF

=0yF

030cos = DB TT

030 = PsenTB

0245230 =senTB30

2452

senTB =

4904=BT

030cos4904 = DT 30cos4904 =DT

4247=DT

gmP = 81,9250 =P

2452=P

Equaes de equilbrio:

Resolvendo a equao II:

Substituindo em I:

N

N

N

(I)

(II)

Exerccio 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura de modo que a



119/351

2) Determine o comprimento da corda ACda figura, de modo que aluminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimentono deformado da mola l

AB

= 0,4m e a mola tem rigidez kAB

=300N/m.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 2 Diagrama de corpo livre:


gmP 8198=P

Peso da luminria:


120/351

Mecnica Tcnica

=0xF

=0yF

030cos = AcAB TT

030 = PsenTAC

05,7830 =senTAC30

5,78

senTAC =

157=ACT

30cos157 =ABT

136=ABT

gmP = 81,98 =P

5,78=P

Equaes de equilbrio:

Resolvendo a equao II:

Substituindo em I:

(I)

(II)

030cos157 =ABT

N

N

N

Soluo do Exerccio 2 Alongamento da mola:


Comprimento deformado da mola:


121/351

Mecnica Tcnica

Comprimento do caboAC:

m

mm

ABABAB skT =

ABs=300136

300

136=ABs

453,0=ABs

ABABAB sll += '

453,04,0 +=ABl

853,0=ABl

ABAC ll += 30cos2 853,030cos2 += ACl

30cos

853,02=

ACl

32,1=ACl

Exerccios Propostos


1) Determine o ngulo e a intensidade de Fde modo que o ponto


122/351

material esteja em equilbrio esttico.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


2) Determine a fora necessria nos cabos AB eACpara suportar osemforo de 12kg


123/351

semforo de 12kg.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


3) Determine a deformao que cada mola deve ter para equilibrar o

bl d 2k A l t i d ilb i


124/351

bloco de 2kg. As molas encontram-se em posio de equilbrio.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


4) A molaABCda figura tem rigidez de 500N/m e comprimento semdeformao de 6m. Determine a fora horizontal F aplicada a corda

t l B d d d l t d l


125/351

que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel emrelao a parede seja d=1,5m.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


5) Determine as foras necessrias nos cabosAB eACda figura paramanter a esfera D de 20kg em equilbrio. Dados: F = 300N e d = 1m.


126/351

Mecnica Tcnica

Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas



127/351

Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.

Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.

Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.

Mecnica Tcnica


128/351

Mecnica Tcnica

Aula 7 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses


Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas



129/351

Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.

Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.

Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.

Mecnica Tcnica

Formulao Matemtica para o

Equilbrio em Trs Dimenses



130/351

Mecnica Tcnica

=

==

0

00

z

y

x

F

FF

=0Fr

=++ 0kFjFiF zyxr

rr

Para o Equilbrio necessrio que:

A soluo obtida por um sistemade trs equaes e trs incgnitas

Exerccio 1

1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora FO



131/351

necessrios para o equilbrio do ponto O.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 1


OBOB

ru

r

r

=

Vetor unitrio e Vetor posio:


132/351

Mecnica Tcnica

Determinao das foras:

)400(1 jFrv

=

)800(2 kF

rv

=OBuFF

rv

= 33

OBr

kjirOB

rrr

r

632 +=

222 632 ++=OBr

7=OBr

7

632 kjiuOB

rrr

r +

=

kjiuOB

rrr

r

857,0429,0286,0 +=

OBuFF r

v

= 33

)857,0429,0286,0(7003 kjiFr

rrv

+=

)600300200(3 kjiFr

rrv

+=

kFjFiFF zyx

rrrr

++= N

m

m

N

N

N

Soluo do Exerccio 1


= 0Fr

)200100200( kjiFr

rr

+=

Condio de equilbrio: Vetor fora F:

N


133/351

Mecnica Tcnica

0F

0321 =+++ FFFFrrrr

0600300200800400 =++++ kFjFiFkjikj zyxr

rrr

rrr

r

=0x

F 0200 =+ x

F 200=x

F

=0yF 0300400 =+ yF 100=yF

=0zF 0600800 =++ zF 200=zF

)200100200( kjiF +=

222 200100200 ++=F

300=F

Sistema de equaes:

Mdulo de F:

N

N

N

N

N

Soluo do Exerccio 1


=

300

200arccos = 2,48

ngulos diretores de F:


134/351

Mecnica Tcnica

F

FuF

r

r

=

300

200100200 kjiuF

rrr

r +=

kjiuF

rrr

r

+

=

300

200

300

100

300

200

300

,

= 300

100arccos = 109

=

300

200arccos = 2,48

Exerccio 2

2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas,uma delas acoplada na mola mostrada Determine a fora nas



135/351

uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas

cordasACeAD e a deformao da mola.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 2


)( iFF BBrv

= ADAD

r

ru

r

r

=

Determinao das foras: Vetor unitrio e Vetor posio:

N


136/351

Mecnica Tcnica

)60cos135cos120cos( kFjFiFF CCCC

rrrv

++=

)5,0707,05,0( kFjFiFF CCCCr

rrv

+=

ADDD uFF r

v

=

ADr

kjirAD

rrr

r

221 ++=222 221 ++=ADr

3=ADr

3

221 kjiuAD

rrr

r ++=

kjiuAD

rrr

r

667,0667,0333,0 ++=

)667,0667,0333,0( kjiFF DD

rrrv

++=

)667,0667,0333,0( kFjFiFF DDDD

rrrv

++=

)981( kWrr

=

ADDD uFF

rv

=

N

N

N

m

m

Soluo do Exerccio 2


Condio de equilbrio:

=0Fr


137/351

Mecnica Tcnica

Sistema de equaes:

0=+++ WFFF DCB

rrrr

0981667,0667,0333,05,0707,05,0 =+++ kkFjFiFkFjFiFiF DDDCCCBrr

rrr

rrr

=0xF 0333,05,0 = DCB FFF

=0yF 0667,0707,0 =+ DC FF

=0zF 0981667,05,0 =+ DC FF

(I)

(II)

(III)

Soluo do Exerccio 2


862F

Soluo das equaes:

813059,1 =DFDe (II):

Em (IV):

N


138/351

Mecnica Tcnica

813=CF

862=DF

7,693=BF

Deformao da mola:

skFB =

s= 15007,693

1500

7,693=s

462,0=s

667,0

707,0 CD

FF

= CD FF = 059,1

0981))059,1(667,0(5,0 =+ CC FF

0981706,05,0 =+ CC FF

0981207,1 = CF

207,1

981=CF

0862333,08135,0 =BF

04,2875,406 +=BF

(IV):

Substituindo (IV) em (III):

Em (I):

N

N

N

m

Exerccios Propostos


1) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessrios para manter

o sistema de foras concorrentes em equilbrio


139/351

o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


2) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de

equilbrio do ponto material


140/351

equilbrio do ponto material.

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio deequilbrio do ponto material.


141/351

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


4) Determine a intensidade e o sentido de Pnecessrios para manter

o sistema de foras concorrentes em equilbrio.


142/351

q

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


5) Os trs cabos so usados para suportar a luminria de 800N.Determine a fora desenvolvida em cada cabo para a condio deequilbrio.


143/351

Mecnica Tcnica

Prxima Aula

Soluo de Exerccios.



144/351

Equilbrio em Trs Dimenses.

Mecnica Tcnica

Mecnica Tcnica


145/351

Mecnica Tcnica

Aula 8 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses



Soluo de Exerccios.



146/351

Equilbrio em Trs Dimenses.

Mecnica Tcnica

Exerccio 1

1) Considere que o caboAB esteja submetido a uma fora de 700N.Determine as foras de trao nos cabosAC eAD e a intensidade daf i l F



147/351

fora vertical F.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 1


)6,0,0(A

)0,3,2(B

222 632 ++=ABr

7=ABr

Determinao da Fora em Cada Cabo: Mdulo do vetor posio:

m


148/351

Mecnica Tcnica

)0;2;5,1(C

)0,6,3( D

kjirAB

rrr

r

632 +=

7

632 kjiuAB

rrr

r +=

kjiuAB

rrrr

857,0429,0286,0 +=

ABABAB uFF r

v

=

)857,0429,0286,0(700 kjiFAB

rrrv

+=

)600300200( kjiFAB

rrrv

+=

)( kFFrr

=Fora F:

Cabo AB:

Vetor posio:

Vetor unitrio:

Vetor Fora AB:

mN

Soluo do Exerccio 1Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

kjirAC

rrr

r

625,1 +=

222

kjirAD

rrr

r

663 =

222 6251

Cabo AC:Vetor posio:

Mdulo do vetor posio:

Cabo AD:Vetor posio:


mm


149/351

Mecnica Tcnica

222 625,1 ++=ACr

5,6=ACr

5,6

625,1 kjiuAC

rrr

r +=

kjiuAC

rrr

r

923,0307,0230,0 +=

ACACAC uFF r

v

=

)923,0307,0230,0( kjiFF ACAC

rrrv

+=

)923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC

rrrv

+=

222 625,1 ++=ADr

9=ADr

9

663 kjiuAD

rrr

r =

kjiuAD

rrr

r

666,0666,0333,0 =

ADADAD uFF r

v

=

)666,0666,0333,0( kjiFF ADADrrrv

=

)666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD

rrrv

=

Vetor unitrio:

Vetor Fora AC:

Vetor unitrio:

Vetor Fora AD:

N

N

mm

Soluo do Exerccio 1



=0Fr

0=+++ FFFFrrrr


150/351

Mecnica Tcnica

Sistema de equaes:

0=+++ FFFF ADACAB

0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+++ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACACrr

rrr

rrr

rr

=0xF 0333,0230,0200

= ADAC FF

=0yF 0666,0307,0300 =+ ADAC FF

=0zF 0666,0923,0600 =+ FFFADAC

(I)

(II)

(III)

Soluo do Exerccio 1


Soluo das equaes: Em (IV):

230,0200 ACFF

=

ACAD FF = 690,0600

57,131690,0600 =ADFDe (I):


151/351

Mecnica Tcnica

Substituindo (IV) em (II):Em (III):

333,0ADF =

ACAD FF = 690,0600

0))690,0600(666,0(307,0300 =+ ACAC FF

0459,0400307,0300 =++ ACAC FF

0766,0100 =+ ACF

766,0

100=ACF 57,131=ACF

21,509=ADF

0666,0923,0600 =+ FFF ADAC

021,509666,057,131923,0600 =+ F21,509666,057,131923,0600 ++=F

13,33943,121600 ++=F

57,1060=F

(IV)

N

N

N

Exerccio 2

2) Determine a deformao necessria em cada mola para manter acaixa de 20kg na posio de equilbrio. Cada mola tem comprimentode 2m sem deformao e rigidez k = 300N/m



152/351

de 2m sem deformao e rigidez k= 300N/m.

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 2


jFF OAOArr

=

222 1246 ++=OCr 14=OCr

1246 kjr

rr

++

Determinao das Foras :Cabo OA:


Vetor unitrio:

C b OB

N

m


153/351

Mecnica Tcnica

iFF OBOBrr

=

kjirOC

rrr

r

1246 ++=

14

1246 kjuOC

r ++=

kjiuOC

rrr

r

857,0285,0428,0 ++=

OCOCOC uFF r

v

=

)857,0285,0428,0( kjiFF OCOC

rrrv

++=

)857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC

rrrv

++=

)81,920( kWrr

=

)2,196( kWrr

=

Peso:

Vetor posio:

Vetor Fora AB:

Cabo OB:

Cabo OC:

N

N

N

m

Soluo do Exerccio 2



=0Fr

rrrr


154/351

Mecnica Tcnica

Sistema de equaes:

0=+++ WFFFOCOBOA

0)2,196857,0285,0428,0 =+++ kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOArr

rrrr

=

0xF 0428,0 =+

OCOB

FF

=0yF 0285,0 =+ OCOA FF

=0zF 02,196857,0 =

OCF

(I)

(II)

(III)

Soluo do Exerccio 2


Soluo das equaes:

De (III):

2,196F

Deformao da Molas:

OBOB skF =OAOA skF =

Mola OA: Mola OB:


155/351

Mecnica Tcnica

Em (II):

Em (I):

N

mN

857,0

=OCF

93,228=OCF

093,228285,0 =+ OAF

24,65=OAF

093,228428,0 =+ OBF

98,97=OBF

N

OBOB skF

OBs=30098,97

300

98,97=OBs

326,0=OBs

OAOA

OAs=30024,65

300

24,65=OAs

217,0=OAsm

Exerccios Propostos


1) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e oposte, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso daluminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atuaalongo de seu prprio eixo.


156/351

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


2) O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD eAEe afora na parteAB do cabo para a condio de equilbrio. A fora emcada escora atua ao longo do seu prprio eixo.


157/351

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


3) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos paralevantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.


158/351

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


4) Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada

uma das trs escoras para suportar o bloco de 500kg.


159/351

Mecnica Tcnica

Exerccios Propostos


5) O vaso suportado pelos cabos AB,ACeAD. Determine a foraque atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d=

2,5m.


160/351

Mecnica Tcnica

Prxima Aula

Avaliao 1.



161/351

Mecnica Tcnica

Mecnica Tcnica


162/351

Aula 9 Avaliao 1


Avaliao 1 Matria da Prova:

Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema



163/351

Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos eRegra do Paralelogramo

Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses

Mecnica Tcnica

Prxima Aula

Momento de uma Fora.

Problemas em Duas Dimenses.



164/351

Formulao Escalar para Clculo deMomentos.

Mecnica Tcnica

Mecnica Tcnica


165/351

Aula 10 Momento de uma Fora,Formulao Escalar



Momento de uma Fora.

Formulao Escalar.



166/351

Momentos em Sistemas Bidimensionais.

Mecnica Tcnica

Momento de uma Fora - Definio

O momento de uma fora em relao a um pontoou a um eixo, fornece uma medida da tendncia



167/351

dessa fora provocar a rotao de um corpo emtorno do ponto ou do eixo.

Para problemas em duas dimenses mais

conveniente se utilizar uma formulao escalar epara problemas em trs dimenses a formulaovetorial mais conveniente.

Mecnica Tcnica

Momento de uma Fora - Definio

Quanto maior a fora ou a distncia (braode momento), maior o efeito da rotao.



168/351

A tendncia de rotao tambm chamadade torque, momento de uma fora ou

simplesmente momento.

Mecnica Tcnica

Exemplos de Momento



169/351

Mecnica Tcnica

Momento Eixo z Momento Eixox No h momento no tubo

Formulao Escalar para Momento

Momento uma grandeza vetorial, possui intensidade direo esentido.



170/351

Mecnica Tcnica

dFMO =

Conveno de sinais:

Segue a regra da mo direita

Rotao no sentido horrio Momento negativo

Rotao no sentido anti-horrio Momento positivo

Momento Resultante de um Sistema

de Foras Coplanares



171/351

Mecnica Tcnica

= dFMRO

Exerccio 1

1) Determine o momento da fora em relao ao ponto O em cadauma das barras mostradas.



172/351

Mecnica Tcnica

Soluo do Exerccio 1


Caso (a) Caso (b)


173/351

Mecnica Tcnica

dFMO =

75,050 =OM

5,37=O

M Nm

dFMO =

2100 =OM

200=O

M Nm

Exerccio 2

2) Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontosA, B, C eD.



174/351

Mecnica Tcnica


dFMC =

0800 =CM

0CM

dFMA =

5,2800 =AM

2000AM N


175/351

Mecnica Tcnica

0=CM

dFMD =

5,0800 =DM

400=DM

dFMB =

5,1800 =B

M

1200=BM Nm

2000=AM Nm

Nm

Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

1) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao ponto O.


176/351

Mecnica Tcnica


2) Determine o momento da fora de 200N em relao ao pontoA.


177/351

Mecnica Tcnica


3) Determine o momento da fora de 400N em relao ao ponto O.


178/351

Mecnica Tcnica


4) A chave de boca utilizada para soltar o parafuso. Determine omomento de cada fora em relao ao eixo que passa atravs do

ponto O.


179/351

Mecnica Tcnica


5) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao pontoA.


180/351

Mecnica Tcnica

Prxima Aula

Princpio dos Momentos.

Regras do Produto Vetorial.

M t Si t T idi i i



181/351

Momento em Sistemas Tridimensionais.

Mecnica Tcnica

Mecnica Tcnica


182/351

Aula 11 Momento de uma Fora,Formulao Vetorial



Regras do Produto Vetorial.

Princpio dos Momentos.

Momento em Sistemas Tridimensionais



183/351

Momento em Sistemas Tridimensionais.

Mecnica Tcnica

Momento de uma Fora Anlise Vetorial

O momento de uma fora em relao a um ponto pode serdeterminado atravs da aplicao das regras de produto vetorial.

A regra do produto vetorial para o clculo de momentos geralmente

aplicada para sistemas em trs dimenses.



184/351

aplicada para sistemas em trs dimenses.

Mecnica Tcnica

FrM OAOr

r

r

=

Princpio dos Momentos

Conhecido como teorema de Varignon. O teorema estabelece que o momento de uma fora em relao a um

ponto igual a soma dos momentos dos componentes das foras emrelao ao mesmo ponto.



185/351

Mecnica Tcnica

)()( 21 FrFrMOr

r

r

r

r

+=

Regras do Produto Vetorial

O produto vetorial de dois vetoresA e B produz o vetor Ce matematicamente a operao escrita do seguintemodo:



186/351

Mecnica Tcnica

BAC

rrr

=

Formulao Vetorial Cartesiana


jik

ikj

kji

rrr

rr

r

rrr

=

=

=

ijk

kij

jki

rrr

rrr

rrr

=

=

=

0

0

0

=

=

=

kk

jj

ii

rr

rr

rr


187/351

Mecnica Tcnica

zyx

zyx

BBBAAA

kji

BA

rrr

rr

=

zyx

zyx

FFFrrr

kji

Fr

rrr

r

r

=

Exerccio 1

1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.



188/351

Mecnica Tcnica


FrM OAOr

r

r

=

)203060()473( kjikjiMOr

rrr

rrr

+=

ijikjkMOrrr

rr

rr

1202401404206090 ++++=

Clculo do Momento no Ponto A:


189/351

Mecnica Tcnica

kjirOAr

rrr

473 +=

)203060()473( kjikjiMO +

kjiMOr

rrr

510180260 ++=

Vetor Posio:

Nm

m

Exerccio 2

2) O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa foraem relao ao suporte no pontoA.



190/351

Mecnica Tcnica


3

212 kjiuCB

rrr

r +=

kjiuCBr

rrr

666,0333,0666,0 +=

CBuFF r

v

=r

Vetor Unitrio:

Vetor Fora:


191/351

Mecnica Tcnica

kjirCBr

rrr

)02()43()31( ++=

kjirCBr

rrr

212 +=

222 212 ++=CBr 3=CBr

)666,0333,0666,0(60 kjiFrrrv

+=

)402040( kjiFr

rrv

+=

)402040()231( kjikjiMAr

rrr

rrr

+++=

ijikjkMArrr

rr

rr

40801201204020 +++=

kjiMArrrr

100120160 +=

222 100120160 ++=AM 224=AM

Vetores Posio:


Clculo do Momento no Ponto A:

Nm

Nm

Nm

m

m

m

FrM ABAr

r

r

=

kjirABrrr

r

231 ++=

jirACrr

r

43 +=


1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.


192/351

Mecnica Tcnica


2) O basto curvado se estende no planox-ye tem uma curvatura de3m. sabendo que a fora F igual a 80N, determine o momento

dessa fora em relao ao ponto o.


193/351

Mecnica Tcnica


3) A fora N, atua na extremidade da viga.Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.

)600300600( kjiF

rrrr

+=


194/351

Mecnica Tcnica


4) A estrutura mostrada na figura est sujeita a uma fora de 80N.

Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.


195/351

Mecnica Tcnica


5) A escora AB de uma comporta de 1m de dimetro exerce umafora de 450N no ponto B. Determine o momento d

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