MECÂNICA GERAL - CURSO COMPLETO.pdf

8/15/2019 MECÂNICA GERAL - CURSO COMPLETO.pdf

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12014 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso [email protected]

MECÂNICA GERAL

Bibliografia básicaHIBBELER R. C. Mecânica para engenharia - Estática. 10° Edição, São Paulo:Pearson Prentice Hall, 2005

BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros - Estática. 5° Edição, São

Paulo: Makron Books, 1994

CALLISTER, William D. Jr. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução.6ªedição. Rio de Janeiro: LTC, 2013.

Bibliografia Complementar

BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros – Cinemática e Dinâmica.5° Edição, São Paulo: Makron Books, 1994


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MECÂNICA GERAL

AULA 1Estática


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MECÂNICA GERAL

OBJETIVO

O objetivo da disciplina da Estática consiste em desenvolver a

capacidade para analisar qualquer problema de um modo simples

aplicando princípios básicos para sua resolução.

A Mecânica descreve e prevê as condições de repouso ou movimento

de corpos sob ação das forças, sendo a disciplina base das Ciências de

Engenharia


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MECÂNICA GERAL

OBJETIVO

A Mecânica Clássica apresenta dois ramos básicos, que são:

• A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos

• A Mecânica dos Meios Contínuos ou a Mecânica dos Corpos

Deformáveis.


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MECÂNICA GERAL

OBJETIVO

A Mecânica Clássica apresenta dois ramos básicos, que são:

• A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos

• A Mecânica dos Meios Contínuos ou a Mecânica dos Corpos

Deformáveis.


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MECÂNICA GERAL

OBJETIVO

• A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos apresenta

dois ramos básicos, que são:

• Estática

• Dinâmica


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MECÂNICA GERAL

OBJETIVO

• A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos apresenta

dois ramos básicos, que são:

• Estática

• Dinâmica



MECÂNICA GERAL



MECÂNICA GERAL

Introdução à EstáticaConceitos básicos

Na Mecânica são utilizados quatro conceitos básicos a seremdefinidos:

• Espaço;

• Tempo;

• Massa;

• Força;



MECÂNICA GERAL

Princípios fundamentaisDefinições

Partícula: uma quantidade muito pequena de matéria queocupa um único ponto no espaço.

Corpo rígido: combinação de um grande numero departículas que ocupam posições fixas umas em relação aos

outras



MECÂNICA GERAL

Sistema de unidades

Utiliza-se o Sistema Internacional que desde 1960 que se

baseia em três conceitos fundamentais: comprimento, tempo

e massa.


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MECÂNICA GERAL



MECÂNICA GERAL

Classificação dos vetores

Os vetores podem ser classificados em:

Vetor aplicado: não pode ser movido sem modificarem ascondições do problema. Exemplo - peso das várias partículas.

Vetor deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao logo

da linha de ação.


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Classificação dos vetoresCasos particulares de vetores deslizantes:

Vetores iguais: mesma - intensidade, direção e sentido -

pode ser diferente o ponto de aplicação.

Vetores opostos: mesma - intensidade, direção - sentido

oposto - pode ser diferente o ponto de aplicação.


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MECÂNICA GERAL

Operações vetoriais básicas Adição de dois vetores concorrentes

O resultado é um vetor obtido utilizando a regra do paralelogramo ou regra de

triângulo.

Adição de vetores - regra de paralelogramo e de triângulo.


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MECÂNICA GERAL

PHR

20°

25°

A = 60 N

A = 40 N


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MECÂNICA GERAL

Noções sobre Vetores


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MECÂNICA GERAL

Noções sobre VetoresEspaço Vetorial

# Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações:

+ (x,y) := x + y

+ : E x E E

(x,y)composição interna

. : x E E

(,y) (,x) := . x

composição externa


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MECÂNICA GERAL

Espaço Vetorial Para x, y, z E e , , temos as seguintes propriedades:

i) x + y = y + x; ii) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z;

iii) 0 E tal que: x + 0 = x x E;

iv) Dado x E, existe (-x) E tal que: x + (-x) = 0;

v) (x) = ()x; vi) (x + y) = x + y;

vii) (+)x = x + x;

viii) 1.x = x x E;



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MECÂNICA GERAL

Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço

vetorial real.

(E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .



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MECÂNICA GERAL

Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se V TOR.

Exemplos de espaços vetoriais:

o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos;

o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio desegmentos orientados;

o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n

; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau n Pn();

o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.



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MECÂNICA GERAL

Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço

vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito

propriedades apresentadas.



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MECÂNICA GERAL

Vetores Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas”

no mundo que têm direção e sentido.

Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica

por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.



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MECÂNICA GERAL

Sistema de Coordenadas

Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um

sistema de coordenadas.Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas

Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada umaunidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendicularesordenados numa ordem qualquer.

.

P(x,y)

x

y

0 x’

y’

O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.



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MECÂNICA GERAL

Sistema de coordenadas polares

Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um pontoO, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamadoeixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento.

Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor doponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).

P

O A

Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.

O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares e .



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MECÂNICA GERAL

Passagem das coordenas polares para as coordenadascartesianas

Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadascartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema decoordenadas polares:

x = . cos

y = . sen



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MECÂNICA GERAL

Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para

algum lugar.

Propriedades- direção;- sentido;

- magnitude.

Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento,força, etc.

Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade,etc.



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MECÂNICA GERAL

Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de

variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor poruma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.

Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por

exemplo, um vetor no plano:

u



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MECÂNICA GERAL

Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no

plano xy.

y2

y1

x2 x1

A

X

Y

B

Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado eseu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as

coordenadas de B são (x2, y2).

Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)

AB



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MECÂNICA GERAL

Exemplo Seja = [2,2].

y2

y1

x2 x1

A

X

Y

B

Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicialA(1,2) e ponto final B(3,4).

= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

u

(3,4)

(1,2)

u

u



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MECÂNICA GERAL

Operações com vetores Considere 2 vetores: e .u

v

v

u

A resultante + é obtida pela chamada “lei do

paralelogramo”.

Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois

vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas

extremidades.

u

v

u

v



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MECÂNICA GERAL

Lei do paralelogramo

v

u

vu

A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este

estudava a composição de forças no caso particular do

retângulo.



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MECÂNICA GERAL

Variaçõesv

u

vu

Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores

pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor

à origem do segundo.



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MECÂNICA GERAL

Somando mais que dois vetores

a

b

ba

c

cba

d

d cba



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MECÂNICA GERAL

Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente acomponente:

Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma

dos vetores e é o vetor .

Exemplo:Sejam e então,

),( 11 y xu

),( 22 y xv

u

v

),( 2121 y y x xvu

)2,1(u

)4,3( v

)2,4())4(2,31( vu

1.ª coordenada

2.ª coordenada



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MECÂNICA GERAL

Exemplo: Interpretação geométrica



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Diferença de vetores

Representamos o vetor + (-1) por .

Esse vetor é a diferença de e .

u

v

vu

u

v

u

v

v

vu



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MECÂNICA GERAL

Produto de um vetor por um escalar

Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se

multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o

vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é

conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção

oposta.

w

w

w

w

2 w

3



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MECÂNICA GERAL

ExemploSe a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:

e

w

)4,2()2,1(2. wa

)6,3()2,1(3. wb



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MECÂNICA GERAL

Produto escalar

O produto escalar dos vetores de dimensão n:

a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:

a.b = a1 b1 + a2 b2 + ...+ an bn =

ExemploCalcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).

. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

n

i

iiba1

u

v

u

v



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MECÂNICA GERAL

Ângulo entre dois vetoresO produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência

de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:

cos... vuvu

onde é o ângulo formado por e .u

v

u

v



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MECÂNICA GERAL

Exemplo

Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).

cos... vuvu

u

v

. = 2.(-1) + 4.2 = 6u

v

2042 22 u

52)1( 22 v

Portanto, 6,05.20

6cos

Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.



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MECÂNICA GERAL

Ângulo entre dois vetores

cos... vuvu

Se e

u

v

0. vu

0u

0v

então, cosseno 0

Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.



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MECÂNICA GERAL


vuvu 0cos0. O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do

ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .

Exemplo

Os vetores = (2,-4) e = (4,2)

são ortogonais, já que:

u

v

02).4(4.2. vu



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MECÂNICA GERAL


Mas, , logo

u=>

u

u .

cos... uuuu

0

2

. uuu

Temos então que:

uu

uuu

2

2.



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Comprimento ou norma de um vetorO comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é:

u

2

1

2

1

y xu

y1

x

y

u

x10

Além disso, dado um escalar , pertencente a :

uu

..


Â


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Desigualdade triangularA norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das

normas de cada um dos vetores:

Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski

Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz emhomenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Narealidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobreBunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.

vuvu

vuvu

..


Â


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Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

Â


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Distância entre dois pontosAlém disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do

segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):

2122

1221 y y x x P P

x10

y

x

P1

P2

x2

y1

y2


Â


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MECÂNICA GERAL

Exemplo-1Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:

Exemplo-2A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado

é dado por:

u

u

29254)5(2 22 u

PQ

5253)4()25()31( 2222 PQ


Â


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MECÂNICA GERAL

Versor ou Vetor unitárioUm vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo,

então o vetor:

é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

x x

u .1

x

x


Â


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MECÂNICA GERAL

ExemploSeja x = (-3,4). Então:

Logo, o vetor

É um vetor unitário, pois:

54)3( 22 x

5

4

5

34,3

5

1.

1 x

xu

125

169

5

4

5

3 22

u


Â


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Ponto médio de um segmentoO ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por:

2,

2),( 2121 y y x x y x M

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

M (x,y)


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MECÂNICA GERAL

ExemploDetermine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).

21,1

2)2(3,

242),( y x M


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Produto vetorial

Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, oproduto vetorial tem como resultado, um outro vetor.

Definição: Sejam = a1 î + b1 ĵ + c1k e = a2 î + b2 ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu

produto vetorial é o vetor x definido por:

222

111

cba

cba

k ji

vu


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MECÂNICA GERAL

Produto vetorialA igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo:Sejam =2î + j + 2k e = 3î – j – 3k, então:

k baba j

cacai

cbcbvu ...

22

11

22

11

22

11

)5,12,1(5121

313

212

k ji

k ji

vu


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MECÂNICA GERAL

Produto vetorialO produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são

coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0

Por outro lado,

î x j = k;

j x k = î;

k x î = j.


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MECÂNICA GERAL

Norma do produto vetorialVimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao

plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor,

ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramoformado por esses vetores.

u

v|u x v| = área do

paralelogramo

u x v

sen.. vuvu


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Norma do produto vetorialQuando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre

eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0.

Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aosvetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outraspalavras: para onde ele aponta?!

u

v

v

u

Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador

da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar

apontará o sentido do terceiro vetor.


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Exemplo-1Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4).

Área = || AB x AD ||

AB x AD =

B C

DA

)1,6,5(65)21()24()14(

412

111 k jik ji

k ji


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MECÂNICA GERAL

Exemplo-1) continuação

|| AB x AD || =

Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é .

Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||.

|| x || = || ||.|| ||. sen

= 1 . 7 . sen

= 1 . 7 . 0,5

= 3,5

87,76213625

u

6

v

u

v

v

u

u

v

u

v

6



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MECÂNICA GERAL

Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education.

São Paulo, 1992.

Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. SãoPaulo, 2006.

Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.

Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag.New York, 1979.

Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics.Dover, 1990.

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MECÂNICA GERAL

Medidas e

Conversões

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HISTÓRICO

As unidades de medição primitivas estavambaseadas em partes do corpo humano, que

eram referências universais.

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MECÂNICA GERAL

O sistema inglês

No século XII, em conseqüência da sua grande

utilização, esse padrão foi oficializado pelo rei

Henrique I.

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O sistema inglês

A jarda teria sido definida, então, como a distância

entre a ponta do nariz do rei e a de seu polegar, com o

braço esticado.

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MECÂNICA GERAL

A exemplo dos antigos bastões de um cúbito,

foram construídas e distribuídas barras

metálicas para facilitar as medições.

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MECÂNICA GERAL

Apesar da tentativa de uniformização da

jarda na vida prática, não se conseguiu

evitar que o padrão sofressemodificações.

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MECÂNICA GERAL

As relações existentes entre a jarda, o pé e a

polegada também foram instituídas por leis, nas

quais os reis da Inglaterra fixaram que:

1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés 1 milha terrestre = 1.760 jardas

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MECÂNICA GERAL

Leitura de medida em polegada

A polegada divide-se em frações ordinárias dedenominadores iguais a: 2, 4, 8,16, 32, 64,

128... Temos, então, as seguintes divisões da

polegada:

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LEITURA DE MEDIDA EM POLEGADA

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LEITURA DE MEDIDA EM POLEGADA

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SISTEMA INGLÊS - FRAÇÃO DECIMAL

Para facilitar os cálculos na Indústria criou-sea divisão decimal da polegada.

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A polegada subdivide-se em milésimo edécimos de milésimo.1.003" = 1 polegada e 3 milésimos

1.1247" = 1 polegada e 1 247 décimos demilésimos

.725" = 725 milésimos de polegada

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MECÂNICA GERAL

CONVERSÕES

Para converter polegada fracionária emmilímetro, deve-se multiplicar o valor em

polegada fracionária por 25,4.

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C C G

A CONVERSÃO DE MILÍMETRO EM POLEGADA FRACIONÁRIA

Divide-se o valor em milímetro por 25,4 emultiplica-se e dividi-se por 128.

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Regra prática - Para converter milímetro

em polegada ordinária, basta multiplicaro valor em milímetro por 5,04,mantendo-se 128 como

denominador.Arredondar, se necessário.

REGRA PRÁTICA

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REGRA PRÁTICA

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EXERCÍCIOS

a) 1,5875 mm = b) 19,05 mm = c) 25.00 mm = d) 31,750 mm = e) 127,00 mm = f) 9,9219 mm = g) 4,3656 mm = h) 10,319 mm = i) 14.684 mm = j) 18,256 mm = l) 88,900 mm = m) 133,350 mm =

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CONVERSÃO DE POLEGADA MILESIMAL EM POLEGADA FRACIONÁRIA

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CONVERTER POLEGADA MILESIMAL EM MILÍMETRO

a) .6875" = b) .3906" =

c) 1.250" =

d) 2.7344" =

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CONVERSÃO DE POLEGADA FRACIONÁRIA EM POLEGADA MILESIMAL

divide-se o numerador da fração pelo seudenominador.

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CONVERTER POLEGADA FRACIONÁRIA EM POLEGADA MILESIMAL

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Medidas de pressão

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LEI DO SENO E COSSENO

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O parafuso tipo gancho

está sujeito a duas forçasF1 e F2. Determine o

modulo a direção e o

sentido.

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Vamos resolver utilizando a

metodologia aplicada emsala de aula.

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Vamos resolver utilizandouma nova metodologia.


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LEI DO COSSENO

Fr

b

a

Fr 150

100

115°

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Fr b

aFr

150

100

115° = 100 + 150 2 ×100 ×150 ×115°

= 212,6

MECÂNICA GERAL


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E qual o ângulo da força

resultante?

Fr

PHR

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Fr

PHR

LEI DO SENO

A

B

C

ac

b

=

=

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Fr = 212,6N 150

100

= 212,6

=

=

LEI DO SENO

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Fr = 212,6N 150

100

= 212,6

LEI DO SENO

= ,

°

115°

= 39,8°

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116/273


Fr = 212,6N 150

100

= 212,6

LEI DO SENO

= ,

°

115° = 39,8°

= 39,8° + 15° = 54,8°

PHR15°

MECÂNICA GERAL


117/273


SISTEMA DE FORÇAS COPLANARESFORÇA COMO VETOR CARTESIANO

MECÂNICA GERAL


118/273


Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente

mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano.

MECÂNICA GERAL


119/273




= - 200 × sen30° N = - 100 N = 100 N ←

MECÂNICA GERAL


120/273




= 200 × cos30° N = 173 N = 173 N ↑

MECÂNICA GERAL


121/273




= -100 N = 100 N ↓

= 240 N = 240 N →

MECÂNICA GERAL


122/273




= 100 N ↓ = 240 N → = 173 N ↑

= 100 N

←

Como escrever a notação vetorial cartesiana?

MECÂNICA GERAL


123/273




= 100 N ↓ = 240 N →

= 173 N ↑ = 100 N ←

i

j

= { - 100i + 173j } N

= { 240i - 100j} N

= { 140i + 73j} N

MECÂNICA GERAL


124/273


SISTEMA DE FORÇAS COPLANARESFORÇA COMO VETOR CARTESIANO

FORÇA COMO VETOR ESCALAR

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ÂNGULO DIRETOR VETOR UNITÁRIO

MECÂNICA GERAL


125/273


Expresse a força F como um vetor cartesiano

MECÂNICA GERAL


126/273


Regra dos cossenos

+ + =

+ 60°+4 5 ° = 1 = 1 60°45°

= 1 60°45°

= 1 (0,5)(0,707)

= 1 0,25 0,50 = 0,25 = ± 0,5

MECÂNICA GERAL


127/273


Regra dos cossenos

= ± 0,5 = −0,5=60°

ou = −(0,5)=120°

Como Fx está na direção +x o ângulo será 60°, logo temos:

= 60° + 60° + 45°

= 20060° + 20060° + 20045° ={100+100+141,4} N

MECÂNICA GERAL


128/273


Regra dos cossenos

={100+100+141,4} N

Vamos calcular a prova real?

=100 +100 +141,4 = 100 +100 +141,4

= 100 +100 +141,4

= 200

MECÂNICA GERAL


129/273


Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultanteque atua sobre o parafuso olhal.

MECÂNICA GERAL


130/273



Como as forças estão representadas como vetor

cartesiano, a força resultante será:

= = +

= 60 + 80 =50100+100

= 50 40 + 180 +

MECÂNICA GERAL


131/273



= 60 + 80 =50100+100

= 50 40 + 180 +

=(50)

+(40)

+(180)

A intensidade (escalar) da força resultante é calculada pela equação:

=2500+1600+32400

= 36500

≅ 191

MECÂNICA GERAL


132/273



= 50 40 + 180 ç = 191 ç

Os ângulos das coordenadas α, β, γ são determinados pelos componentes dovetor unitário que atua na direção de Fr, logo:

= () () = 50

191 40

191 + 180191

= 0,2617 0,2094 + 0,9422

MECÂNICA GERAL


133/273



= 0,2617 0,2094 + 0,9422

Logo, para calcular o ângulo diretor:

cos=0,2617

= cos− 0,2617 = 74,8°

cos = 0,2094

= cos−(0,2094) = 102°

cos=0,9422

= cos− 0,9422 = 19,6°

MECÂNICA GERAL


134/273


= 50 40 + 180

= 50 100 + 100 = 60 + 80

= 102° = 74,8°

= 19,6°

x

y

z

= 191

MECÂNICA GERAL


135/273


INTRODUÇÃO À RESISTENCIA DOS MATERIAIS

MOMENTO, TENSÃO ADIMISSIVEL

MECÂNICA GERAL


136/273


COMPORTAMENTO DO MATERIAL

Quando uma força age sobre um corpo, produz neste uma tensão,

que pode ser de tração, compressão, cisalhamento,

flambagem, flexão ou torção.

MECÂNICA GERAL


137/273



Todas as tensões produzidas no corpo causa a este uma

deformação. Se a tensão é pequena, o corpo volta ao seu

estado, ou tamanho normal assim que a força deixa de existir

sobre o mesmo. Esta propriedade é chamada de

elasticidade.

MECÂNICA GERAL


138/273



Todas as tensões produzidas no corpo causa a este uma

deformação. Se a tensão é pequena, o corpo volta ao seu

estado, ou tamanho normal assim que a força deixa de existir

sobre o mesmo. Esta propriedade é chamada de

elasticidade.

MECÂNICA GERAL


139/273



Porém, se a tensão for muito grande, poderá causar no corpo uma

deformação permanente, isto é, o corpo poderá ficar

permanentemente deformado mesmo após cessada a ação da força.

MECÂNICA GERAL


140/273



Por outro lado, se a tensão for ainda maior, poderá causar até

uma ruptura do corpo. A maior tensão que o corpo pode

suportar é definida como sendo o limite de resistência ou

tensão de ruptura

MECÂNICA GERAL


141/273


GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO

Para melhor caracterizar o comportamento de um material

submetido às tensões progressivas, será reproduzido na figura

a seguir o gráfico tensão x deformação.

MECÂNICA GERAL


142/273



MECÂNICA GERAL


143/273



MECÂNICA GERAL


144/273



Pela análise do gráfico verifica-se que o comportamento do material

se subdivide em duas fases distintas, ou seja, fase elástica e fase

plástica. A separação destas fases se faz na transição entre olimite de elasticidade e o início do fenômeno de escoamento.

MECÂNICA GERAL


145/273



É necessário observar que para os cálculos de peças que devem

suportar os esforços sem provocar as deformações permanentes, o

material deverá trabalhar dentro do seu limite de elasticidade,numa faixa assinalada no gráfico como tensão admissível.

MECÂNICA GERAL


146/273


PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Dentre as propriedades mecânicas dos materiais, as de maior

interesse para os cálculos de resistência são: Limite de resistência ou

tensão de ruptura, tensão de escoamento ou limite de escoamento,

alongamento, módulo de elasticidade e a dureza. Para estas

propriedades, serão adotados os seguintes símbolos:

MECÂNICA GERAL


147/273


PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

σr = Tensão de ruptura em kgf/cm² - Os valores para os

diferentes materiais se obtém através de ensaio de tração,dividindo-se a maior carga suportada pelo corpo de prova pela

área da seção original do mesmo.

MECÂNICA GERAL


148/273


2

max

cm

kgf

S

P

o R

onde Pmax = carga máxima em kgf e So = seção original em cm²

(Tensão de ruptura em kgf/cm²)

MECÂNICA GERAL


149/273


Pesc = carga que produz o escoamento em kgf e So = seção original em cm².

2cm

kgf

S

P

o

esc

esc (Tensão de escoamento em kgf/cm²)

MECÂNICA GERAL


150/273


Lo = comprimento inicial do corpo de prova em mm e L = comprimento final após orompimento do corpo de prova, em mm

%emo Alongament %100*)(

0

0

0 L

L L

mm

mm

L

L

MECÂNICA GERAL

MÓDULO DE ELASTICIDADE


151/273


E = Módulo de elasticidade, em kgf/cm² é a relação existente entre a tensão e o

alongamento do material observado dentro de seus limites de propriedade elástica. O

módulo de elasticidade caracteriza a rigidez do material, isto é, sua habilidade de

resistir a deformação.

MÓDULO DE ELASTICIDADE

2mm

kgf E

2kgf/cmtensão emσ

2cm

kgf

S

P

o

esc

esc

%100*)(

0

0

0 L

L L

mm

mm

L

L

%emo Alongament

MECÂNICA GERAL

DUREZA BRINNEL


152/273


H = Número de Dureza Brinnel, que é a relação aproximada entre a dureza e atensão de ruptura do material.

DUREZA BRINNEL

236

mm

kgf H R para aços carbono

234

mm

kgf H R ara aços de liga

MECÂNICA GERAL

TENSÃO ADMISSÍVEL X FATOR DE SEGURANÇA


153/273


TENSÃO ADMISSÍVEL X FATOR DE SEGURANÇA.

Para dimensionar um elemento metálico, o engenheiro deverá

primeiramente definir em qual regime de tensão admite-se o trabalho

desta peça, e por conseguinte, determinar o fator de segurança.


154/273

MECÂNICA GERAL

TENSÃO ADMISSÍVEL


155/273


TENSÃO ADMISSÍVEL

Esta tensão que oferece à peça uma condição de trabalho sem perigo é

chamada de tensão admissível (σadm).

Todavia, deve-se ter em mente que as peças estruturais podem trabalhar

em condições adversas sujeitas a cargas estáticas, cargas intermitentes,

alternadas ou mesmo a choques.

MECÂNICA GERAL

TENSÃO ADMISSÍVEL


156/273


TENSÃO ADMISSÍVEL

Desta forma, ao calcular um elemento estrutural, faz-se necessário

conhecer a condição de trabalho da peça, a fim de poder estabelecer uma

tensão admissível compatível com o tipo de carga a suportar.

MECÂNICA GERAL

TENSÃO ADMISSÍVEL


157/273


TENSÃO ADMISSÍVEL

Conhecendo a condição de trabalho da peça e o tipo de material mais

apropriado para a construção desta peça, pode-se estabelecer a tensãoadmissível atribuindo-se ao valor de sua tensão de ruptura um coeficiente

que é denominado fator de segurança.

MECÂNICA GERAL

TENSÃO ADMISSÍVEL


158/273


2

cm

kgf

F

R

R F

TENSÃO ADMISSÍVEL

σ = Tensão admissível, em kgf/cm²

σR = Tensão de ruptura, em kgf/cm²

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


159/273


FATOR DE SEGURANÇA

O fator de segurança é uma relação entre as tensões de ruptura e

admissível do material. Os valores aqui adotados serão baseados naqualidade do material e no tipo de carga aplicada à peça. Pode-se

distinguir quatro tipos de carga, a saber:

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


160/273


FATOR DE SEGURANÇA

- Carga Estática – Quando uma peça está sujeita a uma carga constante

e invariável ao decorrer do tempo. Um deck de transportador de correiaspode ser enquadrado nesta categoria.

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


161/273


FATOR DE SEGURANÇA

- Carga Intermitente – Peça sujeita a uma carga pulsante, isto é,

variável de zero a um valor máximo permitido, por exemplo, a lança deum Descarregador de Navios.

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


162/273


FATOR DE SEGURANÇA

- Carga Alternada – Quando uma peça está sujeita a uma carga

variável nos dois sentidos, por exemplo, a biela de um cilindro hidráulicode dupla ação.

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


163/273


FATOR DE SEGURANÇA

- Carga Brusca ou a Choque – Peça sujeita a variação brusca ou a

choque, por exemplo, componentes de prensas hidráulicas.

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


164/273


FATOR DE SEGURANÇA

MECÂNICA GERAL

FATOR DE SEGURANÇA


165/273


Fator de segurança (F)

Material Carga

Estática Intermitente Alternada Brusca

Ferro fundido 6 10 15 20

Aço mole 5 6 8 12

Aço duro 4 6 8 12

Madeira 8 10 15 20

FATOR DE SEGURANÇA

MECÂNICA GERAL

CLASSE DE RESISTENCIA


166/273



É de fundamental importância conhecer o tipo de esforço a que o elemento

estrutural está ou estará submetido, pois terá enorme influência nos cálculos.

Cabe ao engenheiro determinar a classe de resistência à que a estruturaestará submetida.

MECÂNICA GERAL



167/273



- RESISTÊNCIA À TRAÇÃO - Quando uma barra for submetida a uma força

(P), atuando no sentido do seu eixo, isto é, perpendicular a sua secção

transversal, estará sofrendo uma tração e uma deformação que será a de

acréscimo de comprimento.

MECÂNICA GERAL



168/273



- RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO - Quando uma força (P), agir no sentido

longitudinal da peça, isto é, perpendicular a sua secção transversal, esta sofrerá

uma compressão e um achatamento.

MECÂNICA GERAL



169/273



- RESISTÊNCIA À CISALHAMENTO - Quando duas forças (P) atuam sobre

uma peça (ex: rebite), transversalmente ao seu eixo, sofrerá um cisalhamento,

isto é, a peça tenderá a ser cortada.

MECÂNICA GERAL



170/273

1702014 Prof MSc Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo com br


- RESISTÊNCIA À FLEXÃO - Quando uma força (P), atua sobre uma barra,

perpendicularmente ao seu eixo, produzirá a flexão do referido eixo.

MECÂNICA GERAL



171/273



- RESISTÊNCIA À TORÇÃO - Quando uma força (P), agindo no planoperpendicular ao eixo da barra tenderá a girar cada secção transversal em relação

às demais secções, torcendo-a. Resistência à torção será estudado no curso

de resistência dos materiais.

MECÂNICA GERAL



172/273



- RESISTÊNCIA A FLAMBAGEM - Se a barra submetida a compressão for decomprimento muito grande em relação a sua secção, ela se dobrará sob a ação da

força (P), produzindo a flambagem. Resistência à flambagem será estudado

no curso de resistência dos materiais.


173/273

MECÂNICA GERAL

RESISTENCIA À TRAÇÃO


174/273


Ç

Inúmeros elementos metálicos estão submetidos às forças de tração,

dentre as quais podemos citar colunas de apoio e barras de tração

(tirantes) de lanças de empilhadeiras, recuperadoras, descarregadores de

navios e parafusos.

MECÂNICA GERAL

1 C id d b j d ã i l d SAE 1020


175/273


1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE-1020,

determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração.

MECÂNICA GERAL

1 Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020


176/273


1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020,


MECÂNICA GERAL


177/273


MECÂNICA GERAL


178/273


MECÂNICA GERAL


5


179/273




Para o SAE1020, os valores são:

σR = 4200kgf/cm²

Fator de Segurança =5

MECÂNICA GERAL


5


180/273




A tensão admissível será:

5

42002

cmkgf

F

R

2840

cm

kgf

MECÂNICA GERAL

1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020

5


181/273




A tensão admissível é

/

Então, a área da seção necessária para suportar a

carga com segurança será de:

840

50002 cm P

S

26 cmS

MECÂNICA GERAL


5


182/273



determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração.

26 cmS

Isto significa que para suportar

a carga de 5000kgf esta barra deve possuir nomínimo 6cm² de área na seção metálica.

MECÂNICA GERAL


5


183/273


1 Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020,

determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração. 26 cmS

Para o cálculo o diâmetro da barra a partir de sua seção,

será necessário:

4

64

22

2d

cmd

S

242 d cmd

d

76,2

639,7

MECÂNICA GERAL


5


184/273


1 Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020,

determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração.

Isto significa que para suportar a carga de 5000kgf

esta barra deve possuir no mínimo 2,76cm ou

27,6mm de diâmetro.

MECÂNICA GERAL

2 – A peça mostrada na figura abaixo é constituída de uma parte com diâmetro

5


185/273


maior de 30mm e outra com diâmetro de 20mm. Calcular a carga “P”, intermitente,

que poderá ser aplicada à peça, considerando que a mesma é feita de aço

estrutural.

MECÂNICA GERAL

3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar:

â

5


186/273


a) O diâmetro “d” da peça;

b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça.

MECÂNICA GERAL

3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da

b) d d d f á f ã d

5

kgf tf P 75005,7


187/273


peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça.

a) Cálculo do diâmetro “d” da peça:

kgf tf P 75005,7

Para o SAE1020, os valores de

σR = 4200kgf/cm²



5

42002

cm

kgf

F

R

2840

cm

kgf

MECÂNICA GERAL


b) A id d d f á i fi ã d

5


188/273




2840

cm

kgf

Significa que a tensão admissível para o material neste caso será de

840kgf/cm²

MECÂNICA GERAL


b) A tid d d f á i fi ã d

5


189/273



2840

cm

kgf

Então, a área da seção necessária

para suportar a carga com segurança

será de:

840

75002 cm P

S

kgf P 7500

293,8 cmS


190/273

MECÂNICA GERAL



5


191/273



cmd 37,3

Significa que para suportar a carga de 7500kgf esta barra deve possuir

no mínimo 3,37cm ou 33,7mm de diâmetro.

MECÂNICA GERAL



5


192/273



Cálculo da quantidade de parafusos

Diâmetro interno di = 15mm = 1,5cm

kgf P 7500

Para o SAE1040, os valores de

σR = 5800kgf/cm²


A tensão admissível será

21450

cm

kgf

4

58002

cm

kgf

F R

MECÂNICA GERAL


peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça

5


193/273



A tensão admissível será

21450

cm

kgf

A área total da seção metálica a ser distribuída pelos parafusos

necessária para suportar a carga com segurança será de:

MECÂNICA GERAL



5


194/273

1942014Prof MSc Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo com br


Isto significa que para suportar a carga de 7500kgf a área total a ser distribuída

entre os parafusos deve possuir no mínimo 5,17cm² de área na seção metálica.

217,5 cmSt

MECÂNICA GERAL



5


195/273



217,5 cmSt

Para o cálculo a área de cada parafuso:

22

4cm

d Sp

2767,1 cmSp

4

5,1 2

Sp

MECÂNICA GERAL



5


196/273



217,5 cmSt

2767,1 cmSp

Isto significa que cada parafuso

possui 1,767cm² de área metálica.

Como a área total a ser distribuída entre os parafusos é de 5,17cm² então:

Sp

St Qt

767,1

17,5Qt parafusosQt 3...93,2

MECÂNICA GERAL

4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e

5


197/273


articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática

de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar:

a) O diâmetro das barras;

b) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga.

MECÂNICA GERAL

4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão

suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar:

5


198/273



Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema:

Para calcular as forças “P1”, será necessário

calcular a resultante da somatória das forças

no eixo “Y”, que é o eixo de interesse:


199/273

MECÂNICA GERAL



5


200/273



Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema:

Isto significa que a força P1 exercida em cada uma

das barras será de 2000kgf.

MECÂNICA GERAL



5


201/273



a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”:

P1 = 2000 kgf

Para o SAE1020 temos:

σR =4200kgf/cm²



202/273

MECÂNICA GERAL



5


203/273




P1 = 2000 kgf


σR =4200kgf/cm²


A área da seção necessária para suportar acarga com segurança será de:

Isto significa que para suportar a carga de 2.000 kgfesta barra deve possuir no mínimo 2,38cm² de área na

seção metálica.

21

21

38,2

840

2000

cmS

S

cm P

S

MECÂNICA GERAL



5


204/273




P1 = 2000 kgf


σR =4200kgf/cm²


cálculo do diâmetro das barras “P1”:

52,952,9

438,2

4

2

2

2

2

2

d

d

d

cmd

S

MECÂNICA GERAL



5


205/273




P1 = 2000 kgf


σR =4200kgf/cm²


cálculo do diâmetro das barras “P1”:

Isto significa que para suportar a carga de 2.000 kgfesta barra deve possuir no mínimo 2,38cm² de área na

seção metálica.

cmd

d

d

d

74,1

03,3

03,3

52,9

2

2

MECÂNICA GERAL




206/273


a) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga.

MECÂNICA GERAL



(


207/273



Inicialmente, será necessário calcular oalongamento das barras:

2

6

101,2 cm

kgf E Para o aço, o valor de

cm Lcm E

L L 08,0

101,2

2008406

Significa que o alongamento em cada barra “P1” provocado pelaforça foi de 0,08cm ou 0,8mm.

MECÂNICA GERAL



(


208/273



Agora é possível calcular o deslocamento no ponto “0”:

cm Lcm L

h 16,05,0

08,0

30sen 0

ou

cm Lcm Lh 16,05,0

08,0

60cos 0

MECÂNICA GERAL

Na figura abaixo,

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MECÂNICA GERAL - CURSO COMPLETO.pdf