-
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2014.1
Mecnica Geral
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REVISO: Fsica Vetorial:
Grandezas Fsicas: Escalares e Vetoriais Modulo, direo e sentido
de um vetor Campo vetorial e escalar Vetor posio lgebra Vetorial:
operaes - vetor unitrio - cossenos diretores
- soma/subtrao - produto escalar
- produto vetorial - produto misto
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Grandezas Fsicas
Escalares: Grandeza fsica que necessita de um nmero associado a
uma unidade
para ser completamente representado
Exemplo: Temperatura, massa, volume, rea, ...
Vetoriais: Grandeza fsica que alm de um nmero associado a uma
unidade,
necessita tambm de uma direo e sentido para ser
completamente
descrito
Exemplo: velocidade, acelerao, fora...
-
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Vetor Ente fsico que necessita do mdulo(tamanho), direo e
sentido para ser
representado.
Matematicamente representado por um segmento de reta
orientado
Representao: ou : Vetor ou V : Norma do vetor (tamanho)
: Vetor unitrio (suporte)
Vetor de norma = 1
=
Exemplo:
= : Vetor de norma 3 na mesma direo e sentido do vetor
unitrio
= : Vetor de norma 3 na mesma direo mas em sentido contrrio
do
vetor unitrio =
V
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Campo Escalar: Se a cada ponto de uma regio for atribuda
uma quantidade escalar, ento a coleo
destes pontos constitui um campo escalar
Exemplo: campo escalar, pois cada ponto
corresponde ao escalar temperatura
Campo Vetorial: Se a cada ponto de uma regio for atribuda
uma quantidade vetorial, ento a coleo
destes pontos constitui um campo vetorial
Exemplo: campo vetorial, pois cada ponto da
roda corresponde um vetor velocidade
Campo Escalar e Vetorial o lugar geomtrico que define a atuao da
grandeza fsica
-
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Vetor em uma direo (colineares)
Representao: = =
=
=
V = 1
Aplicaes: Vetor posio: Vetor deslocamento:
Distncia: = um escalar
= =
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Exemplo: Sejam os pontos A =3 cm e B = 5 cm, determine:
a.) o vetor posio A
b.) o vetor posio B
c.) o vetor deslocamento de A para B
d.) o vetor deslocamento de B para A
e.) a distncia entre os pontos A e B
f.) a distncia entre os pontos B e A
Resposta:
a.) = b.) = c.) = d.) = e.) = f.) =
-
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Vetor em duas direes ortogonais (coplanares)
Representao:
= =
= =
= , = + =
Vetor unitrio:
=
=
+
+
+
= +
Cossenos diretores:
=
=
= +
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Representao Vetorial
Exemplo: Seja = +
a.) Represente o vetor nos eixos ortogonais x e y
b.) Calcule: a norma do vetor c.) o vetor unitrio nas
coordenadas x e y
d.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-x
e.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-y
Resposta:
b.) =
c.) =
+
d.) = e.) =
-
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Exemplo: Seja o vetor ao lado
a.) Escreva nas coordenadas x e y
b.) Calcule a norma de c.) o vetor unitrio nas coordenadas x e
y
d.) o ngulo que faz com o eixo-x
e.) o ngulo que faz com o eixo-y
Resposta:
a.) = +
b.) =
c.) =
+
d.) = e.) =
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Aplicao Vetores em 2D
Resposta:
a.) = = +
b.) =
=
+
c.) = + d.) = , e.) = ,
Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro.
O
dinammetro registra uma fora de 70N, conforme mostra a
figura.
Calcule:
a.) O vetor posio nas coordenadas x e y b.) O vetor unitrio na
direo BA nas coordenadas x e y
c.) O vetor fora nas coordenadas x e y
d.) O ngulo que faz com o eixo-x
e.) O ngulo que faz com o eixo-y
-
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Exemplo: Um dispositivo usado para a substituio cirrgica da
articulao
do joelho. Se a forca que atua ao longo da perna de 360 N,
determine suas
componentes ao longo dos eixos xy e xy.
Aplicao Vetores em 2D
Resposta:
=
=
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Vetor em trs direes ortogonais (espaciais)
Representao: = , , = + + =
= +
+
=
V=
+
+ + +
= =
=
Cossenos diretores:
= arccos
V
= arccos
V
= arccos
V
= =
=
OBSERVAO: :
:
-
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Exemplo: Seja o vetor representado na figura, que vai do ponto
A=(2, 2, 2) at o ponto B=(4, 6, 5)
a.) Escreva nas coordenadas x, y e z
b.) Calcule a norma de c.) o vetor unitrio nas coordenadas x e
y
d.) o ngulo que faz com o eixo-x, eixo-y e eixo-z
e.) o ngulo que faz com o plano-xy
6 4
5
A
B
2 2 2
Resposta:
a.) = + +
b.) =
c.) =
+
+
d.) = , , = , , = , e.) = ,
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Exemplo: Seja = + +
a.) Represente o vetor nos eixos ortogonais x, y e z
b.) Calcule: a norma do vetor c.) o vetor unitrio nas
coordenadas retangulares
d.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-x e.) com o eixo-y
f.) com o eixo-z
g.) com o plano xy
6 4
3 B
Resposta:
b.) =
c.) =
+
+
b.) = , c.) = ,
d.) = , e.) = ,
-
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Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro.
O
dinammetro registra uma fora de 70N. Calcule:
a.) O vetor fora FBA nas coordenadas x, y e z
b.) O ngulo que FBA faz com o eixo-x
c.) O ngulo que FBA faz com o eixo-y
d.) O ngulo que FBA com o eixo-z
e.) O ngulo que FBA faz com o plano-xy.
Aplicao Vetores em 3D
Resposta:
a.) = + b.) = , c.) = ,
d.) = , e.) = ,
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Aplicao Vetores em 2D
Resposta:
= + =
Exemplo: A placa circular suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a
fora F,
representada no cabo em A igual a , calcule:
a.) o vetor fora F nas coordenadas xyz b.) o ngulo que o vetor F
faz com o plano xy
-
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Operaes Geomtricas Igualdade: Dois vetores so iguais quando
possuem a mesma direo, sentido e
intensidade, ou seja, suas respectivas componentes so iguais,
porem podem
ter posies diferentes, .
Observao: Vetores iguais no so necessariamente equivalentes,
ou
seja, vetores matematicamente iguais podem produzir efeitos
diferentes
AX BX
BY
AY
= = = =
=
= no garante que = ,
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Soma A soma de vetores corresponde a unirmos o final de um vetor
com o inicio do
outro vetor...O vetor que vai do inicio do primeiro vetor ao
final do ultimo vetor
o vetor resultante ou soma, ou seja,
= + = + = +
+ = +
Subtrao:
uma soma da diferena: = +
= = =
Operaes Geomtricas
-
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= , = +
= , = +
= +
= + , +
= + + +
= + = +
Operaes Algbricas
Soma
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= , = +
= , = +
=
= ,
= +
=
= , =
Operaes Algbricas
Subtrao
-
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= , = +
=
= ,
= +
= =
= escalar um vetor
Se k = 0 =
Se k = 1 =
Se | k | > 1 uma expanso de
Se 0 < | k | < 1 uma contrao de
Se k > 0 tem mesma direo de
Se k < 0 tem direo contrria de
Operaes Algbricas
Produto a.) Produto por um escalar
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Aplicao Exemplo: De acordo com os vetores representados na
figura abaixo, calcule:
a.) O vetor resultante
b.) O vetor capaz de equilibrar o sistema
c.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x
d.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x
3
4
2
= N
2
30
60
= N
x
y
-
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Aplicao Exemplo: De acordo com os vetores representados na
figura abaixo, onde o
bloco de massa m, pesa 200N, e est em equilbrio. calcule:
a.) O vetor resultante
b.) O vetor capaz de equilibrar o sistema
c.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x
d.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x
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Aplicao Exemplo: De acordo com a figura abaixo,
colocada em cada corda um dinammetro que
registra as seguintes traes: na corda AP
200N, na corda AB 100N, na corda AC 70N e
na corda AD 50N. Se o sistema esta em
equilbrio e sabendo que
a.) A corda AC faz um ngulo com o eixo-x de
60, com o eixo-y de 70 e com o eixo-z de 30,
b.) A corda AB tem intensidade TAB e faz um
ngulo de 30 com o eixo z
c.) A corda AD
Escreva cada um dos quatro vetores
representados e calcule o vetor resultante.
-
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= , = +
= , = +
=
= +
um escalar
=
=
Se = =
Se = =
= ,
Projeo ortogonal de , na direo de
Projeo ortogonal de , na direo de
Operaes Algbricas
Produto b.) Produto Escalar: o comprimento da projeo de V1 sobre
V2 vezes o
comprimento de V1
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Fsica Geral e Experimental - III Fsica Geral e Experimental
I
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= , , = + +
= , , = + +
=
=
= +
um vetor
X
=
+
Operaes Algbricas
Produto c.) Produto Vetorial
-
14 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor :
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= , , = +
= , , = +
= .
=
=
+
= +
um escalar
= , , = +
Operaes Algbricas
Produto d.) Produto Misto
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Operaes Algbricas
Lei do Cosseno: Relaciona os trs vetores e um ngulo
= +
= + +
= + +
=
+
+
=
+
+
=
+
+
-
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Operaes Algbricas
Lei do Seno: Relaciona os dois vetores e seus ngulos opostos
=
=
=
=
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Aplicao
Exemplo: Dados os vetores = + e = + , calcule:
a.) O escalar k tal que =
b.) Um vetor , tal que = +
c.) Um vetor , tal que =
d.) Um vetor , tal que =
e.) Um vetor , tal que =
f.) Um vetor , tal que + + =
g.) Um escalar k, tal que k= ( )
-
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Aplicao
Exemplo: Dados os vetores = 6 + 2 4 e = 4 + 3 2z , calcule:
a.) Calcule o vetor = + e o vetor = +
b.) O vetor unitrio na direo de
c.) O ngulo entre os vetor S e
e.) O ngulo que o vetor faz com o plano-xy
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Aplicao
Exemplo: Dados os vetores = + e = + , determine:
a.) Um vetor que seja paralelo ao vetor e tenha mdulo igual ao
do vetor
b.) Um vetor que seja perpendicular aos vetores e e tenha mdulo
igual
ao do vetor
c.) Um vetor unitrio que seja paralelo ao vetor
d.) Um vetor unitrio que seja perpendicular ao vetor e
-
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Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro.
O
dinammetro registra uma fora de 70N. Calcule:
a.) O vetor posio rB b.) O vetor FB
c.) O produto escalar rBFB d.) O produto vetorial rBFB d.) A
componente de F na direo de rB d.) A projeo de F na direo de rB e.)
O ngulo entre rB e FB
Aplicao Vetores em 3D
FBA = _____ N
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Exemplo: A estrutura mostrada na figura est submetida a um
vetor
horizontal = . Determine a intensidade dos componentes desse
vetor:
a.) paralela ao elemento AB.
b.) perpendicular ao elemento AB.
Aplicao Vetores em 3D
a.) F// = _____ N
a.) FL = _____ N
-
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Lista de Exerccios:
Prximo Assunto:
Esttica:
Equilbrio do ponto material
- em relao ao ponto
- em relao ao eixo
2014.1
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Todos direitos reservados.
Reproduo ou divulgao total ou parcial deste documento
expressamente proibido sem o
consentimento formal, por escrito, do Professor (autor).
