Mecânica Geral-Física Vetorial_UMC

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  • 1 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor : Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

    Mecnica Geral

    2014.1

    Mecnica Geral

    Mecnica Geral

    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

    REVISO: Fsica Vetorial:

    Grandezas Fsicas: Escalares e Vetoriais Modulo, direo e sentido de um vetor Campo vetorial e escalar Vetor posio lgebra Vetorial: operaes - vetor unitrio - cossenos diretores

    - soma/subtrao - produto escalar

    - produto vetorial - produto misto

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    Grandezas Fsicas

    Escalares: Grandeza fsica que necessita de um nmero associado a uma unidade

    para ser completamente representado

    Exemplo: Temperatura, massa, volume, rea, ...

    Vetoriais: Grandeza fsica que alm de um nmero associado a uma unidade,

    necessita tambm de uma direo e sentido para ser completamente

    descrito

    Exemplo: velocidade, acelerao, fora...

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    Vetor Ente fsico que necessita do mdulo(tamanho), direo e sentido para ser

    representado.

    Matematicamente representado por um segmento de reta orientado

    Representao: ou : Vetor ou V : Norma do vetor (tamanho)

    : Vetor unitrio (suporte)

    Vetor de norma = 1

    =

    Exemplo:

    = : Vetor de norma 3 na mesma direo e sentido do vetor unitrio

    = : Vetor de norma 3 na mesma direo mas em sentido contrrio do

    vetor unitrio =

    V

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    Campo Escalar: Se a cada ponto de uma regio for atribuda

    uma quantidade escalar, ento a coleo

    destes pontos constitui um campo escalar

    Exemplo: campo escalar, pois cada ponto

    corresponde ao escalar temperatura

    Campo Vetorial: Se a cada ponto de uma regio for atribuda

    uma quantidade vetorial, ento a coleo

    destes pontos constitui um campo vetorial

    Exemplo: campo vetorial, pois cada ponto da

    roda corresponde um vetor velocidade

    Campo Escalar e Vetorial o lugar geomtrico que define a atuao da grandeza fsica

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    Vetor em uma direo (colineares)

    Representao: = =

    =

    =

    V = 1

    Aplicaes: Vetor posio: Vetor deslocamento:

    Distncia: = um escalar

    = =

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    Exemplo: Sejam os pontos A =3 cm e B = 5 cm, determine:

    a.) o vetor posio A

    b.) o vetor posio B

    c.) o vetor deslocamento de A para B

    d.) o vetor deslocamento de B para A

    e.) a distncia entre os pontos A e B

    f.) a distncia entre os pontos B e A

    Resposta:

    a.) = b.) = c.) = d.) = e.) = f.) =

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    Vetor em duas direes ortogonais (coplanares)

    Representao:

    = =

    = =

    = , = + =

    Vetor unitrio:

    =

    =

    +

    +

    +

    = +

    Cossenos diretores:

    =

    =

    = +

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    Representao Vetorial

    Exemplo: Seja = +

    a.) Represente o vetor nos eixos ortogonais x e y

    b.) Calcule: a norma do vetor c.) o vetor unitrio nas coordenadas x e y

    d.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-x

    e.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-y

    Resposta:

    b.) =

    c.) =

    +

    d.) = e.) =

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    Exemplo: Seja o vetor ao lado

    a.) Escreva nas coordenadas x e y

    b.) Calcule a norma de c.) o vetor unitrio nas coordenadas x e y

    d.) o ngulo que faz com o eixo-x

    e.) o ngulo que faz com o eixo-y

    Resposta:

    a.) = +

    b.) =

    c.) =

    +

    d.) = e.) =

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    Aplicao Vetores em 2D

    Resposta:

    a.) = = +

    b.) =

    =

    +

    c.) = + d.) = , e.) = ,

    Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro. O

    dinammetro registra uma fora de 70N, conforme mostra a figura.

    Calcule:

    a.) O vetor posio nas coordenadas x e y b.) O vetor unitrio na direo BA nas coordenadas x e y

    c.) O vetor fora nas coordenadas x e y

    d.) O ngulo que faz com o eixo-x

    e.) O ngulo que faz com o eixo-y

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    Exemplo: Um dispositivo usado para a substituio cirrgica da articulao

    do joelho. Se a forca que atua ao longo da perna de 360 N, determine suas

    componentes ao longo dos eixos xy e xy.

    Aplicao Vetores em 2D

    Resposta:

    =

    =

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    Vetor em trs direes ortogonais (espaciais)

    Representao: = , , = + + =

    = +

    +

    =

    V=

    +

    + + +

    = =

    =

    Cossenos diretores:

    = arccos

    V

    = arccos

    V

    = arccos

    V

    = =

    =

    OBSERVAO: :

    :

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    Exemplo: Seja o vetor representado na figura, que vai do ponto A=(2, 2, 2) at o ponto B=(4, 6, 5)

    a.) Escreva nas coordenadas x, y e z

    b.) Calcule a norma de c.) o vetor unitrio nas coordenadas x e y

    d.) o ngulo que faz com o eixo-x, eixo-y e eixo-z

    e.) o ngulo que faz com o plano-xy

    6 4

    5

    A

    B

    2 2 2

    Resposta:

    a.) = + +

    b.) =

    c.) =

    +

    +

    d.) = , , = , , = , e.) = ,

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    Exemplo: Seja = + +

    a.) Represente o vetor nos eixos ortogonais x, y e z

    b.) Calcule: a norma do vetor c.) o vetor unitrio nas coordenadas retangulares

    d.) o ngulo que o vetor faz com o eixo-x e.) com o eixo-y

    f.) com o eixo-z

    g.) com o plano xy

    6 4

    3 B

    Resposta:

    b.) =

    c.) =

    +

    +

    b.) = , c.) = ,

    d.) = , e.) = ,

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    Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro. O

    dinammetro registra uma fora de 70N. Calcule:

    a.) O vetor fora FBA nas coordenadas x, y e z

    b.) O ngulo que FBA faz com o eixo-x

    c.) O ngulo que FBA faz com o eixo-y

    d.) O ngulo que FBA com o eixo-z

    e.) O ngulo que FBA faz com o plano-xy.

    Aplicao Vetores em 3D

    Resposta:

    a.) = + b.) = , c.) = ,

    d.) = , e.) = ,

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    Aplicao Vetores em 2D

    Resposta:

    = + =

    Exemplo: A placa circular suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a fora F,

    representada no cabo em A igual a , calcule:

    a.) o vetor fora F nas coordenadas xyz b.) o ngulo que o vetor F faz com o plano xy

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    Operaes Geomtricas Igualdade: Dois vetores so iguais quando possuem a mesma direo, sentido e

    intensidade, ou seja, suas respectivas componentes so iguais, porem podem

    ter posies diferentes, .

    Observao: Vetores iguais no so necessariamente equivalentes, ou

    seja, vetores matematicamente iguais podem produzir efeitos diferentes

    AX BX

    BY

    AY

    = = = =

    =

    = no garante que = ,

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    Soma A soma de vetores corresponde a unirmos o final de um vetor com o inicio do

    outro vetor...O vetor que vai do inicio do primeiro vetor ao final do ultimo vetor

    o vetor resultante ou soma, ou seja,

    = + = + = +

    + = +

    Subtrao:

    uma soma da diferena: = +

    = = =

    Operaes Geomtricas

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    = , = +

    = , = +

    = +

    = + , +

    = + + +

    = + = +

    Operaes Algbricas

    Soma

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    = , = +

    = , = +

    =

    = ,

    = +

    =

    = , =

    Operaes Algbricas

    Subtrao

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    = , = +

    =

    = ,

    = +

    = =

    = escalar um vetor

    Se k = 0 =

    Se k = 1 =

    Se | k | > 1 uma expanso de

    Se 0 < | k | < 1 uma contrao de

    Se k > 0 tem mesma direo de

    Se k < 0 tem direo contrria de

    Operaes Algbricas

    Produto a.) Produto por um escalar

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    Aplicao Exemplo: De acordo com os vetores representados na figura abaixo, calcule:

    a.) O vetor resultante

    b.) O vetor capaz de equilibrar o sistema

    c.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x

    d.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x

    3

    4

    2

    = N

    2

    30

    60

    = N

    x

    y

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    Aplicao Exemplo: De acordo com os vetores representados na figura abaixo, onde o

    bloco de massa m, pesa 200N, e est em equilbrio. calcule:

    a.) O vetor resultante

    b.) O vetor capaz de equilibrar o sistema

    c.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x

    d.) O ngulo que o vetor faz com o eixo-x

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    Aplicao Exemplo: De acordo com a figura abaixo,

    colocada em cada corda um dinammetro que

    registra as seguintes traes: na corda AP

    200N, na corda AB 100N, na corda AC 70N e

    na corda AD 50N. Se o sistema esta em

    equilbrio e sabendo que

    a.) A corda AC faz um ngulo com o eixo-x de

    60, com o eixo-y de 70 e com o eixo-z de 30,

    b.) A corda AB tem intensidade TAB e faz um

    ngulo de 30 com o eixo z

    c.) A corda AD

    Escreva cada um dos quatro vetores

    representados e calcule o vetor resultante.

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    = , = +

    = , = +

    =

    = +

    um escalar

    =

    =

    Se = =

    Se = =

    = ,

    Projeo ortogonal de , na direo de

    Projeo ortogonal de , na direo de

    Operaes Algbricas

    Produto b.) Produto Escalar: o comprimento da projeo de V1 sobre V2 vezes o

    comprimento de V1

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    Fsica Geral e Experimental - III Fsica Geral e Experimental I

    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego 2012 26

    = , , = + +

    = , , = + +

    =

    =

    = +

    um vetor

    X

    =

    +

    Operaes Algbricas

    Produto c.) Produto Vetorial

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    = , , = +

    = , , = +

    = .

    =

    =

    +

    = +

    um escalar

    = , , = +

    Operaes Algbricas

    Produto d.) Produto Misto

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    Operaes Algbricas

    Lei do Cosseno: Relaciona os trs vetores e um ngulo

    = +

    = + +

    = + +

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    +

  • 15 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor : Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

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    Operaes Algbricas

    Lei do Seno: Relaciona os dois vetores e seus ngulos opostos

    =

    =

    =

    =

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    Aplicao

    Exemplo: Dados os vetores = + e = + , calcule:

    a.) O escalar k tal que =

    b.) Um vetor , tal que = +

    c.) Um vetor , tal que =

    d.) Um vetor , tal que =

    e.) Um vetor , tal que =

    f.) Um vetor , tal que + + =

    g.) Um escalar k, tal que k= ( )

  • 16 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor : Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

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    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego 2014 .1 31

    Aplicao

    Exemplo: Dados os vetores = 6 + 2 4 e = 4 + 3 2z , calcule:

    a.) Calcule o vetor = + e o vetor = +

    b.) O vetor unitrio na direo de

    c.) O ngulo entre os vetor S e

    e.) O ngulo que o vetor faz com o plano-xy

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    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego 2014 .1 32

    Aplicao

    Exemplo: Dados os vetores = + e = + , determine:

    a.) Um vetor que seja paralelo ao vetor e tenha mdulo igual ao do vetor

    b.) Um vetor que seja perpendicular aos vetores e e tenha mdulo igual

    ao do vetor

    c.) Um vetor unitrio que seja paralelo ao vetor

    d.) Um vetor unitrio que seja perpendicular ao vetor e

  • 17 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor : Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

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    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego 2014 .1 33

    Exemplo: O homem puxa uma corda onde colocado um dinammetro. O

    dinammetro registra uma fora de 70N. Calcule:

    a.) O vetor posio rB b.) O vetor FB

    c.) O produto escalar rBFB d.) O produto vetorial rBFB d.) A componente de F na direo de rB d.) A projeo de F na direo de rB e.) O ngulo entre rB e FB

    Aplicao Vetores em 3D

    FBA = _____ N

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    Exemplo: A estrutura mostrada na figura est submetida a um vetor

    horizontal = . Determine a intensidade dos componentes desse vetor:

    a.) paralela ao elemento AB.

    b.) perpendicular ao elemento AB.

    Aplicao Vetores em 3D

    a.) F// = _____ N

    a.) FL = _____ N

  • 18 Curso: Engenharia Civil 3C UMC noturno 2014.1 Professor : Prof. Dr. Jocel de Souza Rego

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    Prof. Dr. Jocel de Souza Rego 2014 .1 35

    Lista de Exerccios:

    Prximo Assunto:

    Esttica:

    Equilbrio do ponto material

    - em relao ao ponto

    - em relao ao eixo

    2014.1

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    consentimento formal, por escrito, do Professor (autor).