MECÂNICA GERAL - UEL Portal - Universidade Estadual de ... 1-100.pdf · MECÂNICA GERAL ANTONIO EDSON GONÇALVES 13 de abril de 2015. 2 AntonioEdsonGonçalves DeptodeFísica-CentrodeCiênciasExatas

MECÂNICA GERAL

ANTONIO EDSON GONÇALVES

13 de abril de 2015

2

Antonio Edson Gonçalves

Depto de Física - Centro de Ciências Exatas

Universidade Estadual de Londrina

Cx. Posta 86100 -Londrina - Paraná

[email protected]

01.07.2010

Sumário

1 Matrizes, Vetores e Cálculo Vetorial 131.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 O conceito de escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Transformação das coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Propriedades das Matrizes de Rotações . . . . . . . . . . . . . 201.5 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Algumas Propriedades e Definições Adicionais . . . . . . . . . 271.7 O Significado Geométrico das Matrizes de Transformações . . 321.8 Definição de Escalar e Vetor em Termos das Propriedades de

Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9 Operações Elementares com Vetores e Escalares . . . . . . . . 401.10 O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores. . . . . . . . . . 411.11 Vetores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.12 O Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.13 Derivada de um Vetor com Relação a um Escalar . . . . . . . 501.14 Exemplos de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.14.1 Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Coordena-das Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.15 Coordenadas Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.15.1 Cossenos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.15.2 Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé . . . . . . . 571.15.3 O Elemento de Volume e Operadores Diferenciais em

Coordenadas Curvilineares. . . . . . . . . . . . . . . . 641.16 Os vetores Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas

Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.16.1 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas

Polares (r, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.16.2 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas

Cilindricas (ρ, φ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

4 SUMÁRIO

1.16.3 Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenada Esfé-ricas (r, θ. φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.17 A velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.18 O Operador Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.19 Integral de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2 Mecânica Newtoniana - Dinâmica de uma partícula. 972.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2 As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3 Sistemas de Coordenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.4 As Equações de Movimeto de uma Partícula. . . . . . . . . . . 101

2.4.1 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.5 Teoremas de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.5.1 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.6 Os Limites de Validade da Mecânica Clássica. . . . . . . . . . 145

3 Oscilações 1533.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.2 O Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3 Oscilações Harmônicas em Duas Dimensões. . . . . . . . . . . 157

3.3.1 Solução da equação de movimento (3.3.1) em coorde-nadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.3.2 Solução da equação de movimento (3.3.1) em coorde-nadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.3.2.1 Solução via Equação de Movimento . . . . . . 1603.3.2.2 Solução via Integral Primeira de Movimento. . 162

4 Gravitação 1654.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.2 O Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.2.1 O Significado Físico do Potencial Gravitacional . . . . 1704.3 A Lei de Gauss e a Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . 172

A Equações Diferencias de 2a Ordem Inomogêneas. 179A.1 Funções de Green em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1.1 Algumas Propriedades da Função de Green . . . . . . . 181

B Tópicos em Funções Analíticas 185B.1 O Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.2 A função de Heaviside ou Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . 187B.3 Solução Partícular da Equação Diferencial . . . . . . . . . . . 190

SUMÁRIO 5

B.4 Solução da Equação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Appendix 179

Referências Bibliográficas 191

Índice 192

6 SUMÁRIO

Lista de Figuras

1.2.1 Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’ . . . . . . . 141.3.1 Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coorde-

nadas S e S ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Rotação de S ′com relação a S ao redor do eixo x1 . . . . . . . 191.4.1 Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coorde-

nadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha definidopelo ponto de coordenadas (α′, β′, γ′). . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadasesféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o pontoP é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P . . . . . 25

1.4.4 Rotação do ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.1 Rotação do sistema ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . . . 331.7.2 Rotação do sistema ao redor do eixo x1 . . . . . . . . . . . . . 341.7.3 Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah ao

redor do eixo x3para em seguida ser girado no sah, tambémde 90o, ao redor do novo eixo x′1. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7.4 Exemplo da não comutatividade de rotações. . . . . . . . . . . 361.7.5 Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ no

sah ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7.6 Inversão total dos eixos do sistema S . . . . . . . . . . . . . . 381.10.1Componente A1,, A2, A3 do vetor A no sistema de coordena-

das x1, x2, x3. Também é mostrado o angulo α entre o vetorA e o eixo x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.1Projeção do vetor B na direção do vetor A . . . . . . . . . . . 451.12.1O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área do

paralelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores Ae B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.13.1Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quandoo parâmetro s varia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7

8 LISTA DE FIGURAS

1.15.1Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem osvetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadascurvilineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.16.1Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.16.2Coordenadas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.17.1Movimento circular de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . 751.17.2Rotação infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.18.1Significado geométrico do gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 801.19.1Elemento diferencial de área da e sua direção normal à superfície 841.19.2O elemento diferencial de área de uma superfície que limita o

volume V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.19.3a figura mostra um contorno C que limita uma superfície

aberta e orientada. A dorientação do vetor unitário foi esco-lhida de tal forma que um observador caminhando na fonteirada superfície (curva C) tem o interior a sua esquerda. . . . . 85

1.19.4Geometria da integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.19.5Geometria da integral do fluxo do campo A através de um

octante do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.19.6Geometria da integração esférica . . . . . . . . . . . . . . . . 901.19.7Volume de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.3.1 Sistema de Coordenadas não inercial . . . . . . . . . . . . . . 1002.4.1 Bloco no plano inclinado: (a) deslizando sem atrito e (b) em

repouso com coeficiente de atrito estático µe. . . . . . . . . . . 1012.4.2 Partícula em movimento horizontal com atrito . . . . . . . . . 1042.4.3 Gráficos das funções x(t) e v(t) com κ = 1/s e v0 = 10m/s. . . 1062.4.4 Partícula em queda livre num meio resistivo. . . . . . . . . . . 1072.4.5 Gráfico da velocidade para diferentes valores do módulo da

velocidade inicial v0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.4.6 Movimento de um projétil num meio sem atrito e com campo

graviatacional uniforme de módulo g. . . . . . . . . . . . . . . 1112.4.7 Gráfico da trajetória y(x) para as condições iniciais reais do

Canhão Kaiser Wilhelm Geschütz: v0 = 2000m/s, θ = 55oparaκ = 0, 10−2, 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.4.8 Tempo de voo T em função do coeficiente κ. Condições Iniciaisv0 = 2000m/s, θ = 55o, g ∼ 10m/s2. . . . . . . . . . . . . . . 120

2.4.9 Partícula de massa m e carga elétrica e em um campo eletro-magnético externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.4.10Trajetória gerada pelas curvas paramétricas x(t), y(t) e z(t) . 1262.5.1 Diferentes trajetórias de integração . . . . . . . . . . . . . . . 1292.5.2 Disco de raio R que gira com velocidade angular constante ω0 132

LISTA DE FIGURAS 9

2.5.3 Energia Total, Cinética e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . 1342.5.4 Pontos de equilírio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.5.5 Potencial da molécula de amônia . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.0.1 Figura do problema 2.0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.1.1 Força restauradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.2.1 Energias cinética, potencial e total . . . . . . . . . . . . . . . 1563.2.2 Pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.3.1 Trajetorias para A = B e δ = 0, π, 2π, π/2, 3π/2, π/3, 2π/3 1593.3.2 Coordenadas polares de uma partícula sob a ação de uma força F160

4.1.1 Sistema referência para força gravitacional . . . . . . . . . . . 1664.1.2 Experimento de Cavandish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.3 Integral volumétrica da força de interação gravitacional . . . . 1674.3.1 Superfície arbitrária envolvendo uma massa m . . . . . . . . . 1734.3.2 Camada de massa com raio interno b e externo a . . . . . . . . 175

A.1.1Contorno C para a integral da função de Green . . . . . . . . 181A.1.2Contorno no semi-plano superior par o cálculo da integral I . 184

B.2.1Função de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187B.2.2Contornos de integração para a função degrau . . . . . . . . . 188

10 LISTA DE FIGURAS

Lista de Tabelas

11

12 LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Matrizes, Vetores e CálculoVetorial

1.1 Introdução

A descrição1 de um dado fenômeno físico, deve ser independente da escolhado sistema de coordenadas utilizados para descrevê-lo, por exemplo a escolhade coordenadas polares, cartesianas ou esféricas não deve interferir no resul-tado final. Isto porque uma medida de uma determinada grandeza física talcomo velocidade de uma partícula ou sua massa não pode ser afetada pelaescolha do sitema de coordenadas. Certamente essa escolha é determinadapela simplicidade da forma que as equações de movimento terão num dadositema de coordenadas.

Neste contexto, a descrição de fenômenos físicos utilizando o formalismovetorial é apropriado já que permite apresentar as equações de forma concisa,compacta, de forma invariante com relação as transformações ortogonais eindependente da origem do sistema de coordenadas.

O conceito de vetor como uma quantidade que possui módulo, direção esentido é útil para o desenvolvimento conceitual e para uma identificação maisdireta (menos abstrata) de algumas grandezas físicas. Considerando que oestudante já possui este conhecimento, os vetores são discutidos no contextode matrizes para evidenciar suas propriedades com relação as transformaçõesde coordenadas. A notação matricial e a convenção de soma de Einstein se-rão amplamente utilizadas em todas as operações com matrizes, objetivandoexpor ao estudante a notação utilizada no formalismo tensorial.

1O material deste capítulo é, em parte, baseado na referência ? .

13

14 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL

Figura 1.2.1: Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’

1.2 O conceito de escalarConsidere o arranjo de esferas mostrados na figura 1.2.1 . Este consiste deesferas com diferentes cores, aqui representado uma propriedade física dosistema, por exemplo a massa ou o número quântico “color” que na Eletrodi-nâmica Quântica descreve uma propriedade física dos quarqs. No sistema decoordenadas S, a propriedade cor de uma esfera pode ser representada pelopar de números (x, y), por exemplo

M(1, 2) = vermelho,

M(2, 2) = verde.

Já, no sitema S ′ a cor é representada pelo par de números (x′, y′), por exemplo

M ′(1, 41′; 1, 41′) = verde.

Como a cor ou a massa não mudam quando descritos ou medidos com re-lação a diferentes sistemas de coordenadas, definimos um escalar comouma grandeza que sob transformação de coordenadas transforma-se como

M(x, y) = M ′(x′, y′). (1.2.1)

Em conclusão, a massa ou “cor ” de uma partícula pode ser descritapor um número com relação a um dado sistema de coordenadas, entretanto

1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS 15

outras grandezas físicas que caracterizam a partícula (por exemplos distânciaou velocidade) não podem ser descritas de forma tão simples, para isto seránecessário a utilização de vetores. Análogamente ao escalar que permaneceinvariante sob transformações do sistema de coordenadas, o vetor pode serdefinido em termos de suas propriedades sob transformações do sistema decoordenadas.

Para estudar estas transformações, iniciamos com as transformações dascoordenadas de um ponto quando o sistema de referência é girado com relaçãoa um eixo comum as duas origens.

1.3 Transformação das coordenadas

O objetivo desta seção é encontrar a relação entre as coordenadas de umponto referido a dois sistemas de coordenadas.

Considere um ponto P representado pela 3 − upla (x1, x2, x3) repre-sentando as coordenadas de P , no sistema de coordenadas 2S. Este mesmoponto pode ser referido com relação a outro sistema de coordenadas, digamosS ′, obtido do primeiro por rotação3, e neste representado pela coordenadas(x′1, x

′2, x

′3) . A figura 1.3.1 fornece uma representação esquemática desta

situação.Desta, obtem-se as equações:

a = x1 cos θ, b = x2 sin θ,

c = x1 sin θ, d = x′2(1.3.1)

c+ d = x2 cos θ,

a+ b = x′1,(1.3.2)

que fornecem as equações relacionando as coordenadas do ponto P nos doissistemas S e S ′

x′1 = x1 cos θ + x2 sin θ = x1 cos θ + x2 cos(π

2− θ),

x′2 = −x1 sin θ + x2 cos θ = x1 cos(θ +

π

2

)+ x2 cos θ.

(1.3.3)

2Sistema de coordenadas: Conjunto de três retas perpendiculares fixas com origem nasintersecções, utilizado para localizar pontos no espaço.

3O sistema S′pode ser obtido de forma geral por rotação e translação, para a discussãoinicial será considerada somente rotação


Figura 1.3.1: Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coorde-nadas S e S ′.

Uma mudança de notação mostra-se apropriada. O angulo θ que aparece nasequações anteriores é o angulo entre os eixos x′1 e x1, que será representadocomo

(x′i, xj),

e o número cos(x′i, xj) por

λij ≡ cos(x′i, xj). (1.3.4)

Utilizando a figura 1.3.1 encontra-se os diversos números λijλ11 = cos(x′1, x1) = cos θ,

λ12 = cos(x′1, x2) = cos(π2− θ) = sin θ

λ21 = cos(x′2, x1) = cos(π2

+ θ) = − sin θ,

λ22 = cos(x′2, x2) = cos θ.

Destas equações encontramos que

λ11 = λ22; λ12 = −λ21;


esta propriedades serão responsáveis pelas propriedades da matriz que estu-daremos logo adiante. Em função deste parâmetros (λij) as equações (1.3.3)tornam-se

x′1 = λ11x1 + λ12x2,

x′2 = λ21x1 + λ22x2.(1.3.5)

Estas equações evidenciam a vantagem desta notação: em λ,os índices daesquerda referem-se as coordenadas de S ′, enquanto que os da direita de S.Estendendo os cálculos anteriores a três dimensões, com o eixo z perpendi-cular ao plano xy encontra-se para λij :

λ11 = cos(x′1, x1) = cos θ,

λ12 = cos(x′1, x2) = cos(π

2− θ) = sin θ,

λ13 = cos(x′1, x3) = cosπ

2= 0,

λ21 = cos(x′2, x1) = cos(π

2+ θ) = − sin θ,

λ22 = cos(x′2, x2) = cos θ,

λ23 = cos(x′2, x3) = cos(π

2) = 0,


2= 0,


2= 0,

λ33 = cos(x′3, x3) = cos 0 = 1,

e para as equações de transformação

x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3,

x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3,

x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3,

as quais podem ser escritas numa forma concisa como

x′i =3∑j=i

λijxjNotaçao de Einstein−−−−−−−−−−−−−−−−→

Conv. soma indices repetidosx′i = λijxj, i, j = 1, 2, 3. (1.3.6)

A transformação inversa é

x1 = x′1 cos(x′1, x1) + x′2 cos(x′2, x1) + x′3 cos(x′3, x1)

= x′1λ11 + x′2λ21 + x′3λ31

= λ11x′1 + λ21x

′2 + λ31x

′3,


note como “aparentemente ” a posição dos índices foi alterada. De fato osíndices de λ permanecem fixos, o que foi alterado foram as posições dasvariáveis xi e x′i nas equações. Na notação de Einstein a expressão para acoordenada x1 generalizada a todas dimensões torna-se

xi = x′jλji = λjix′j, i, j = 1, 2, 3. (1.3.7)

Os parâmetros λij são denominados de cosenos diretores dos eixos x′icom relação aos eixos xi, na representação matricial possuem a forma

λ =

λ11 λ12 λ13

λ21 λ22 λ23

λ31 λ32 λ33

. (1.3.8)

Uma vez encontrado os cosenos diretores, as equações de transformação(1.3.6) e (1.3.7) ficam determinadas e desta forma determinando as relaçõesentre as coordenadas do ponto com relação aos sistemas S e S ′.

λ definido desta forma tem informações das propriedades de transforma-ção das coordenadas do ponto P , por isto a matriz (1.15.4) é denominada dematriz de transformação ou rotação.

Exemplo 1.3.1. As coordenadas de um ponto P no sistem S são (2, 1, 3),e no sistema S ′,(x′1, x′2, x′3). Considerando que o sistema S ′ foi girado de30ocom relação ao sistema S, ao redor do eixo x1, veja a figura 1.3.2, encontreas coordenadas do ponto P no sitema S ′.

Para encontrar os valores das coordenadas do ponto P no sistema S ′ énecessário calcular os cosenos diretores, λ, para esta rotação que se deu aoredor do eixo x1. Note que na discussão efetuada no texto não foi explicitado,mas uma rotação foi realizada ao redor do eixo x3. Como a rotação se deu


Figura 1.3.2: Rotação de S ′com relação a S ao redor do eixo x1

ao redor do eixo x1tem-se

λ11 = cos(x′1, x1) = cos 0 = 1,


2= 0,


2= 0,


2= 0,


6= 0, 866,

λ23 = cos(x′2, x3) = cos(π

2− π

6) = 0, 5,


2= 0,

λ32 = cos(x′3, x2) = cos(π

2+π

6) = −0, 5,


6= 0, 866.

A forma matricial dos cosenos diretores é:


λ =

1 0 00 0, 866 0, 50 −0, 5 0, 866

.

Utilizando as equações (1.3.6), encontra-se que

x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3 = x1 = 2,

x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3 = 0, 866x2 + 0, 5x3 = 2, 37,

x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3 = −0, 5x2 + 0, 866x2 = 2, 1,

fornecendo para a 3-upla de coordenadas do ponto P em S ′ os valores (2, 2, 37, 2, 1).A distância entre a origem dos sistemas de coordenadas O e o ponto P é in-variante (um escalar!), portanto possui o mesmo valor

d =√x2

1 + x22 + x2

3 =√x′21 + x′22 + x′23 = 3, 74.

1.4 Propriedades das Matrizes de Rotações

Para estudar as propriedades das matrizes de rotação é necessário conhecera relação que um dado eixo do sistema de coordenadas S ′ possui com os trêseixos do sistema de coordenads S,certamente estamos discutindo rotaçõesem 3 − d. Esta relação fornecerá informações de alguma propriedade doscosenos diretores λij. Na figura 1.4.1 estão esquematizados dois sistemas decoordenadas

Figura 1.4.1: Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coorde-nadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha definido pelo ponto decoordenadas (α′, β′, γ′).

1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES 21

sendo que um contém um seguimento de linha definido pela origem e peloponto (α, β, γ) e no outro um segmento de linha definido pela origem e peloponto (α′, β′, γ′), foi acrescentado, θ é o angulo entre eles. O seguimentode linha O(α, β, γ) pode ser decomposto ao longo dos eixos x1,,x2, e x3 nosseguimentos de linhas

Ox1 = O(α, β, γ) cosα,

Ox2 = O(α, β, γ) cos β,

Ox3 = O(α, β, γ) cos γ,

que, via Pitágoras, podem ser usados para calcular-se a diagonal principal, oseguimento de linha O(α, β, γ). Antes, porém é necessário calcular o com-primento da projeção da diagonal O(α, β, γ) no plano xy, seja O(α, β, γ)xy.Obtem-se imediatamente que(

O(α, β, γ)xy

)2

=(Ox1

)2+(Ox2

)2

=(O(α, β, γ) cosα

)2

+(O(α, β, γ) cos β

)2

=(O(α, β, γ)

)2 (cos2 α + cos2 β

);

e consequentemente(O(α, β, γ)

)2

=(O(α, β, γ)

xy

)2

+(Ox3

)2

=(O(α, β, γ)

)2 (cos2 α + cos2 β + cos2 γ

),

donde segue quecos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 (1.4.1)

Uma outra solução, muito mais simples. A idéia é usar coordenadascartesianas e esféricas para localiar um ponto no espaço a uma distânciaunidade da origem do sistema de coordenadas. A configuração do problemaesta esquematizada na figura 1.4.2.

As projeções do segmento de linha OP nos eixos x1, x2, e x3 são

cosα = sin θ cosφ,

cos β = sin θ sinφ,

cos γ = cos θ.

Da figura encontra-se

cos2 θ + sin2 θ = 1⇐⇒ cos2 γ + sin2 θ = 1;


Figura 1.4.2: Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadasesféricas

porem, das equações anteriores obten-se que sin2 θ = cos2 α + cos2 β, quesubstituida na equação anterior fornece a equação

cos2 γ + cos2 α + cos2 β = 1. (1.4.2)

Outra relação entre o angulo θ e os angulos α, α′, β, β′, γ, γ′, neces-sária para a obtenção das propriedades da matriz de rotação, é4

cos θ = cosα cosα′ + cos β cos β′ + cos γ cos γ′, (1.4.3)

que não será demonstrada aqui mas será pedida como problema.Considere que o seguimento OP ′ da figura (1.4.1) seja um dos eixos do

sistema de coordenadas S ′, por exemplo o eixo x′1. Isto possibilita identifi-car os cosenos diretores com os parâmetros λij, e de fatos são as mesmasquantidades! Neste caso à equação (1.4.2) corresponderá a relação

λ211 + λ2

12 + λ213 = 1, (1.4.4)

devido a correspondencia

λ11 = cos(x′1, x1) = cosα,

λ12 = cos(x′1, x2) = cos β,

λ13 = cos(x′1, x3) = cos γ,

4Para obter esta relação utilize a lei dos cosenos


Para os dois eixos do sistema S ′, por exemplo OP ↔ x′1 e OP ′ ↔ x′2 aequação (1.4.3) escrita em função dos parâmetros λ torna-se

λ11λ21 + λ12λ22 + λ13λ23 = cos θ = cos(π

2) = 0. (1.4.5)

As equações (1.13.6) e (1.4.5) podem ser reescritas como

3∑j=1

λ21j = 1,

e3∑j=i

λ1jλ2j = 0.

Quando escritas para todos os três eixos obtem-se três equações do tipo(1.13.6) e três do tipo (1.4.5), todas podem ser escritas em uma forma com-pacta como

3∑j=1

λ2ij = 1, i = 1, 2, 3.

3∑k=i

λikλjk = 0, i, j = 1, 2, 3.

(1.4.6)

As equações (1.4.2) e (1.4.3) quando escritas para os parâmetros λij eviden-ciam as seis relações existentes entres estes nove parâmetros, como resultadoobten-se somente três parâmetros independentes5. O conjunto de seis equa-ções (1.4.6) pode ser escrito de forma compacta como

3∑k=1

λikλjk = δij, i, j = 1, 2, 3. (1.4.7)

O simbolo δij denominado de delta de Kronecker, é definido como

δij =

{1, i = j,

0, i 6= j.(1.4.8)

5Estes três parametros podem ser, por exemplo, os ângulos de Euler utilizados nadescrição de rotações de sólidos em três dimensões.O número de parâmetros independentes é igual ao número total de parâmetros menos

o número de equações relacionando os parâmetros.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker


podendo ser representado por

(δij) =

∂x∂x

∂x∂y

∂x∂z

∂y∂x

∂y∂y

∂y∂z

∂z∂x

∂z∂y

∂z∂z

=

1 0 00 1 00 0 1

≡ I. (1.4.9)

Nesta altura da discussão algumas observações são pertinentes:

1. A escolha do ângulo θ = 90ona equação (1.4.3) resultando em (1.4.5) ca-racteriza uma classe de transformações denominada de transformaçõesortogonais já que os eixos dos sistemas de coordenadas transformados,são ortogonais.

2. A representação matricial do simbolo de Kronecker é a matrix iden-tidade I, que na forma (1.4.9) reflete a ortogonalidade dos eixos dosistema de coordenadas S ′.

Se a transformação discutida anteriormente fosse realizada com o sistema S ′fixo e o sistema S girado o que implicaria na decomposição dos eixos semlinha em função dos eixos com linha, as equações de transformação seriam

3∑k=1

λkiλkj = δij, i, j = 1, 2, 3. (1.4.10)

Note a posição dos índices que são somados. Eles estão no local das coorde-nadas do sistema com linha, isto expressa a ortogonalidade do sistema semlinha6. Em resumo a equação 1.4.7 expressa uma transformação ortogonalentre dois sistemas de coordenadas, o S que é ortogonal por escolha e o S ′que foi girado com relação a S e escolhido ortogonal (θ = π/2 na equação(1.4.3)). Já, a equação (1.4.10) também expressa uma transformação orto-gonal entre dois sistemas de coordenadas, só que neste caso o sitema giradofoi o S e para ele foi feita a escolha do valor θ = π/2, para o angulo entreseus eixos.

Finalmente é necessário acrescentar que nada impede que ao invés degirar o sistema de coordenadas, giremos o estado7 ou o ponto representativo8 do sistema. Esta situação está esquematizada na figura 1.4.3.

6Na equação 1.4.3 aplicada a esta situação devemos escolher o angulo θ = π/2, indi-cando que ois eixos do sistema de coordenadas S são ortogonais.

7O estado do sistema pode ser representado por uma função de onda no espaço deHilbert

8Neste caso o estado do sistema pode ser representado por um ponto no espaço deconfiguração ou um ponto no espaço de fase.


Figura 1.4.3: Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o pontoP é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P .

Figura 1.4.4: Rotação do ponto P

Para este procedimento e utilizando a configuração esquematizada nafigura 1.4.4 obtem-se para as coordenadas do ponto P

x1 = OP cosα,

x2 = OP sinα.

e para as coordenadas do ponto P ′:

x′1 = OP ′ cos(α− θ) = OP cosα cos θ +OP sinα sin θ = x1 cos θ + x2 sin θ,

x′2 = OP′sin(α− θ) = OP sinα cos θ −OP sin θ cosα = x2 cos θ − x1 sin θ,

OP = OP′. Estas equações são iguais as equações de transformação (1.3.3)

obtidas da rotação do sistema de coordenadas.As duas abordagens são matematicamente equivalentes.


1.5 Operações com MatrizesA matriz λ definida na equação (1.15.4) é uma matriz quadrada, ou sejapossui o mesmo número de linhas e colunas. Existem diversos tipos de ma-trizes: quadradas, retangulares, linhas ou colunas a b c

d e fg h i

;

a b cd e fg h i

;(a b c

);

adg

.

Adotaremos a matriz na forma coluna, 3×1, para representar as coordenadasde um ponto em um espaço de três dimensões

x =

x1

x2

x2

, (1.5.1)

enquanto que a matriz transposta (obtida trocando-se as linhas pelas colunas)será

xt =(x1 x2 x3

). (1.5.2)

A operação de multiplicação matricial pode ser utilizada para escrevermos aequação (e todas as outras análogas) (1.3.6)

x′i =3∑j=i

λijxj,

na forma matricial

x′ = λx⇐⇒

x′1x′2x′2

=

λ11 λ12 λ13

λ21 λ22 λ23

λ31 λ32 λ33

x1

x2

x2

, (1.5.3)

que após ser múltiplicada adquire a forma

x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3

x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3

x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3

. (1.5.4)

Esta equação exemplifica a multiplicação de uma matriz quadrada 3× 3 poruma matriz coluna 3× 1, resultando em matriz coluna 3× 1. Para recordar,a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B é definida somente seo número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas dasegunda, ou seja na mltiplicação matricial

C = AB,

1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS 27

o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas damatriz B; a matriz resultante C terá o número de linhas da matriz A e onúmero de colunas da matriz B. Isto se evindencia ainda mais na expressão

Cij = (AB)ij = AikBkj, (1.5.5)

onde o índice k representa simultaneamente o número de colunas da matrizA e o número de linhas da matriz.

Exemplo 1.5.1. Como exemplo faremos a multiplicação de uma matriz A,2× 3, por uma matriz B,3× 2:

A =

(1 2 34 5 6

), B =

a bc de f

;

a matriz C resultante do produto destas duas matrizes é

C =

(1 2 34 5 6

) a bc de f

=

(a+ 2bc+ 3e b+ 2d+ 3f4a+ 5c+ 6e 4b+ 5d+ 6f

),

que é uma matriz 2× 2!Uma característica muito importante da múltiplicação matricial é a sua

não comutatividade, por exemplo, para as mesmas matrizes do exemplo an-terior obterem-se

D = BA =

a bc de f

( 1 2 34 5 6

)=

a+ 4b 2a+ 5b 3a+ 6bc+ 4d 2c+ 5d 3c+ 6de+ 4f 2e+ 5f 3e+ 6f

,

que é evidente da definição dop produto matricial

D = BA =⇒ Dij = BikAkj, (1.5.6)

onde agora o número de linhas da matriz D é igual ao número de linhas damatriz A e o número de colunas é igual ao número de colunas da matriz A.Resumidamente

AB 6= BA. (1.5.7)

1.6 Algumas Propriedades e Definições Adici-onais

Definição 1.6.1. Amatriz transpostaAtde uma matrizA é obtida trocando-se linhas por colunas.


Portanto pela definição, em termos de elemento de matriz, teremos

λtij = λji . (1.6.1)

É imediato verificar que (λt)t

= λ. (1.6.2)

Tendo definido a matriz transposta, a equação (1.3.7), para a transformaçãoinversa das coordenadas, pode ser escrita na forma matricial

xi = x′jλji = λjix′j,

xi = λjix′j

= λtijx′j =⇒

x = λtx′,

(1.6.3)

ou na forma matricial x1

x2

x2

=

λ11 λ21 λ31

λ12 λ22 λ32

λ13 λ23 λ33

x′1x′2x′2

, (1.6.4)

Definição 1.6.2. Matriz Identidade é a matriz que ao multiplicar qualqueroutra não altera esta última.

Representando a matriz identidade por 1 ou I e uma matriz genéricaqualquer por A teremos

IA = AI = A.

A matriz identidade (ou unidade) I é diagonal e possui elememtos 0 ou 1,em três dimensões ela possui a forma

I =

1 0 00 1 00 0 1

, (1.6.5)

e seus elementos de matrix Iijpodem ser representados com a utilização dadelta de Kronecker

Iij = δij. (1.6.6)

Como uma interessante aplicação da matriz transposta, considere o pro-duto da matriz λ por sua transposta λtem duas dimensões

λλt =

(λ11 λ12

λ21 λ22

)(λ11 λ21

λ12 λ22

)=

(λ2

11 + λ212 λ11λ21 + λ22λ12

λ11λ21 + λ22λ12 λ221 + λ2

22

).


Usando as condições de ortogonalidade, equação (1.4.7), encontramos

λ211 + λ2

12 = λ221 + λ2

22 = 1,

λ11λ21 + λ22λ12 = λ11λ21 + λ22λ12 = 0,

de forma que

λλt =

(1 00 1

)= 1. (1.6.7)

Esta é a equação que expressa a ortogonalidade da matriz λ, a equação(1.4.7) na forma matricial. De fato a equação (1.4.7) é que define a condiçãode ortogonalidade da matriz de rotação λ, entretanto qualquer matriz A quesatisfaz a condição

AAt = I,

é por definição uma matriz ortogonal.

Definição 1.6.3. Uma matriz A é ortogonal se satisfizer a condição

AAt = I. (1.6.8)

Neste ponto podemos introduzir o conceito de matriz inversa, dada asemelhança da expressão anterior com a operação

aa−1 = 1, a 6= 0 a ∈ R.

Seja A−1a matriz inversa da matriz A, então

AA−1 = A−1A = I. (1.6.9)

Comparando as equações (1.6.8) e (1.6.11), encontramos a importante pro-priedade

At = A−1 , (1.6.10)

ou seja

Corolário 1.6.4. Seja A uma matriz ortogonal não singular, então é válidaa equação

At = A−1.

A utilização desta propriedade (válida para matrizes ortogonais) simpli-fica imensamente o cálculo da matriz inversa. Se a matriz não for ortogonalé necessário fazer o cálculo na força bruta utilizando um dos métodos de secalcular a inversa, por exemplo dada uma matriz X qualquer, não singular9,a sua inversa é:

9Uma matriz é singular se o seu determinante for nulo.


Definição 1.6.5. A matriz X−1, inversa da matriz X é

X−1 =1

detX(CofX)t , (1.6.11)

onde detX é o determinante da matriz X calculado, por exemplo, da forma

detX = εijkx1ix2jx3k, (1.6.12)

para uma matrizX3×3. Os termos x1i, x2j, x3k representam os elementosdas linha 1, 2 e 3, respectivamente da matrix X. O simbolo εijk precisa serdefinido! Ele é denominado de simbolo totalmente antisimétrico definidocomo

εijk =

1, se i, j, k são permutações pares de 1,2,3, e i 6= j 6= k;

0 se pelo menos um índice (qualquer) for repetido,−1 se i, j, k são permutações ímpares de 1,2,3, e i 6= j 6= k.

(1.6.13)Alguns exemplos:

ε123 = 1,

ε231 = ε123=1,

ε132 = −ε123 = −1,

ε321 = ε213 = −ε123 = −1,

ε121 = ε223 = 0.

É interessante observar, embora ainda não tenhamos definido, que este sim-bolo, (também conhecido como o tensor de Levi-Civita) está associado aoproduto vetorial misto, por exemplo

i · (k× j) = 1,

i · (j× k) = −1

i · (k× i) = 0.

,

\boldsymbol{\lambda}^{t} Uma outra definição muito utilizada em mecâ-nica quântica e outras teorias também:

A Matriz Adjunta de uma matriz genérica X é definida como

Adj X = (CofX)t (1.6.14)

A matriz dos cofatores é definda como:


Definição 1.6.6. Seja A a matriz, n×n dos cofatores da matriz B tambémn×n, então um elemento aij da matrizA é construido utilizando os elementosda matriz B, da seguinte forma

aij ≡ (−1)i+jMij = (−1)i+j detB(n−1)×(n−1)|sem linha i; sem coluna j. (1.6.15)

A expressão anterior define o menor Mij :

Mij ≡ detB(n−1)×(n−1)|sem linha i; sem coluna j (1.6.16)

Com certeza um exemplo faz-se necessário.

Exemplo 1.6.7. Calcule a matriz adjunta A, da matriz

B =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

.

Primeiramente calculamos a matriz dos cofatores:

a11 = (−1)1+1M11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ b22 b23

b32 b33

∣∣∣∣ = b22b33 − b32b23;

a12 = (−1)1+2M12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ b21 b23

b31 b33

∣∣∣∣ = −(b21b33 − b31b23);

a13 = (−1)1+3M13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ b21 b22

b31 b32

∣∣∣∣ = b21b32 − b31b22;

a21 = (−1)2+1M21 = (−1)1+2

∣∣∣∣ b12 b13

b32 b33

∣∣∣∣ = −(b12b33 − b32b13);

a22 = (−1)2+2M22 = (−1)2+2

∣∣∣∣ b11 b13

b31 b33

∣∣∣∣ = b11b33 − b31b13;

a23 = (−1)2+3M23 = (−1)2+3

∣∣∣∣ b11 b12

b31 b32

∣∣∣∣ = −(b11b32 − b31b12);

a31 = (−1)1+3M31 = (−1)1+3

∣∣∣∣ b12 b13

b22 b23

∣∣∣∣ = b12b23 − b22b13;

a32 = (−1)3+2M32 = (−1)3+2

∣∣∣∣ b11 b13

b21 b23

∣∣∣∣ = −(b11b23 − b21b13);

a33 = (−1)3+2M33 = (−1)3+3

∣∣∣∣ b11 b12

b21 b22

∣∣∣∣ = b11b22 − b21b12.


analogamente para os outros termos. A matriz dos cofatores da matriz B é

CofB =

b22b33 − b32b23 −(b21b33 − b31b23) b21b32 − b31b22

−(b12b33 − b32b13) b11b33 − b31b13 −(b11b32 − b31b13)b12b23 − b22b13 −(b11b23 − b21b13) b11b22 − b21b12

.

Utilizando a matrix CofB, calcula-se a matriz

A = AdjB = (CofB)t =

b22b33 − b32b23 −(b12b33 − b32b13) b12b23 − b22b13

−(b21b33 − b31b23) b11b33 − b31b13 −(b11b23 − b21b13)b21b32 − b31b22 −(b11b32 − b31b13) b11b22 − b21b12

A título de curiosidade, a matriz dos menores da matriz B é

MB =

b11b22 − b12b21 b11b23 − b13b21 b12b23 − b13b22

b11b32 − b12b31 b11b33 − b13b31 b12b33 − b13b32

b21b32 − b22b31 b21b33 − b23b31 b22b33 − b23b32

O produto matricial, embora não comutativo é associativo

A(BC) = (AB)C, (1.6.17)

e a soma de matrizes é feita somando-se seus respectivos elementos: C =A + B significa que

Cij = Aij +Bij. (1.6.18)

1.7 O Significado Geométrico das Matrizes deTransformações

Considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao redor do do eixo x3,como esquematizado na figura (1.7.1)

Após esta rotação os cosenos diretores λij (somente os diferentes de zero)podem se calculados

λ12 = cos(x′1, x2) = 1,

λ21 = cos(x′2, x1) = −1,

λ33 = cos(x′3, x3) = 1.

de forma que a matriz dos cosenos diretores será

λ1 =

0 1 0−1 0 00 0 1

.

1.7. O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DAS MATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES33

Figura 1.7.1: Rotação do sistema ao redor do eixo x3

Os novos eixos, ou seja os eixos do sistema S ′ estão relacionados aos eixosdo sistema S pelas equações x′1 = x2, x

′2 = −x2 e x′3 = x3, imediatamente

obtida com a utilização da matriz de transformação λ1.Na sequência, considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao

redor do do eixo x1, como esquematizado na figura (1.7.2).Novamente, calculamos os cosenos diretores λij (somente os diferentes de

zero)

λ23 = cos(x′2, x3) = 1,

λ32 = cos(x′2, x1) = −1,

λ11 = cos(x′1, x1) = 1.

de forma que a matriz dos cosenos diretores será

λ2 =

1 0 00 0 10 −1 0

.

Temos duas transformações individuais

x1 = λ1x,

x2 = λ2x,

que podemos usar para construir a transformação composta de duas trans-formações sucessivas

x′ = λ1x,

x′′ = λ2x′ = λ2λ1x.

(1.7.1)


Figura 1.7.2: Rotação do sistema ao redor do eixo x1

Na forma matricial esta equação torna-se

x′′1x′′2x′′2

=

1 0 00 0 10 −1 0

0 1 0−1 0 00 0 1

x1

x2

x2

=

0 1 00 0 11 0 0

x1

x2

x2

=

x2

x3

x1

.

O significado deste resultado é que as duas matrizes de rotações podem sercombinadas para representarem uma rotação composta. Note que fizemosuma composição de rotações, a primeira com λ1transformando o sistema Sem S ′ e a segunda transformação devido a λ2 que transforma o sistema S ′em S ′′, como esquematizado na figura (1.7.5)

λ3 = λ2λ1 =

0 1 00 0 11 0 0

, (1.7.2)

sendox′′1 = x2, x′′2 = x3, x′′3 = x1

a orientação final dos novos eixos. Como o produto matricial não é comu-tativo, a ordem da operação das matrizes de transformações nos vetores éimportante. Se fizermos primeiro uma transformação no eixo x1, para em se-guida transformarmos com relação ao eixo x3, teremos como resultado uma


Figura 1.7.3: Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah aoredor do eixo x3para em seguida ser girado no sah, também de 90o, ao redordo novo eixo x′1.

nova matriz de transformação

λ4 = λ1λ2 =

0 1 0−1 0 00 0 1

1 0 00 0 10 −1 0

=

0 0 1−1 0 00 −1 0

6= λ3.,

(1.7.3)implicando em uma diferente orientação final dos eixos.

A figura (1.7.4) ilustra as diferentes orientações de um livro submetido asmesmas rotações λ2 e λ3 compostas em diferentes ordens: na figura (1.7.4)superior a composição é λ2λ3 e na inferior λ3λ2. Note como as configuraçõesfinais são claramente diferentes.

A rotação esquematizada na figura (1.7.5) possui os seguintes cossenosdiretores


Figura 1.7.4: Exemplo da não comutatividade de rotações.

Figura 1.7.5: Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ nosah ao redor do eixo x3


λ11 = cos(x′1, x1) = cos θ,

λ12 = cos(x′1, x2) = cos(π

2− θ) = sin θ,


2= 0,

λ21 = cos(x′2, x1) = cos(π

2+ θ) = − sin θ,

λ22 = cos(x′2, x2) = cos θ,

λ23 = cos(x′2, x3) = cos(π

2) = 0,


2= 0,


2= 0,

λ33 = cos(x′3, x3) = cos 0 = 1,

a representação matricial desses cossenos diretores, ou seja a matriz λ é

λ5 =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

, (1.7.4)

que representa uma rotação do sistema ao redor do eixo x3.Uma outra transformação, importante no contexto de simetrias em par-

tículas elementares e teoria de campos, é a chamada inversão total. Em trêsdimensões esta trasnformação é efetuada pelas operações x′1 = −x1, x

′2 =

−x2, x′3 = −x3 e sua representação matricial é

λ6 =

−1 0 00 −1 00 0 −1

. (1.7.5)

O resultado de uma inversão total em 3− d é representado na figura (1.7.6).Nos exemplos anteriores obtivemos a matriz de transformação λ3como

resultado de duas rotações sucessivas, cada rotação é uma transformaçãoortogonal como já provamos na equação (1.4.10). O que faremos agora seráverificar se a composição de transformações ortogonais λ3 = λ2λ1resultaráem uma transformação ortogonal. Para isto considere

x′i = λijxj, x′′k = µklx′l;

que pode ser combinada como

x′′k = µklx′l = µklλljxj = [µλ]kj xj,


Figura 1.7.6: Inversão total dos eixos do sistema S

que é a representação matricial da composição de duas transformações orto-gonais λ e µ que muda o sistema de S para S ′′. A transformação compostaserá ortogonal se a matriz [µλ] for ortogonal, ou seja se [µλ]t = [µλ]−1.Para verificar se está matriz é ortogonal vamos usar a propriedade, sem de-monstração pois será pedida como problema,

(AB)t = BtAt, (1.7.6)

ou seja a transposta do produto de matrizes é igual ao produto das transpostasem ordem reversa. Portanto

[µλ]t = λtµt, (1.7.7)

que usada no cálculo

[µλ]tµλ = λtµtµλ = λtµ−1µλ = λtIλ = λ−1λ = I.

Este cálculo é a demonstração que o produto de matrizes ortogonais µ e λresulta em uma matriz [µλ] que também é ortogonal. A equação anteriorpode ser reescrita como

[µλ]tµλ = I =⇒ [µλ]t = [µλ]−1 . (1.7.8)

O determinante de matrizes 3× 3 podem ser calculados explicitamente como

1.8. DEFINIÇÃO DE ESCALAR E VETOR EM TERMOS DAS PROPRIEDADES DE TRANSFORMAÇÕES39

detλ = εijkλ1iλ2jλ3k

= ε123λ11λ22λ33 + ε231λ12λ23λ31 + ε312λ13λ21λ32

+ ε132λ11λ23λ32 + ε213λ12λ21λ33 + ε321λ13λ22λ31

= λ11(λ22λ33 − λ23λ32) + λ12(λ23λ31 − λ21λ33) + λ13(λ21λ32 − λ22λ31).

Em particular, para matrizes ortogonais pode-se calcular o determinante uti-lizando a propriedade

λt = λ−1 =⇒λλt = λλ−1 = I.

Utilizando as propriedades que serão pedidas como problemas

detλt = detλ, (1.7.9)det(AB) = detA detB, (1.7.10)

encontra-se que

detλλt = detλ detλt = (detλ)2 = det I = 1 =⇒ detλ = ±1. (1.7.11)

A equação (1.7.11) posui um importante significado: todas as trasnformaçõesortogonais possuem determinante ±1, as rotações, também denominadas detransformações próprias possuem determinante igual a 1 enquanto que asinversões, ou transformações impróprias possuem o determinante −1. Umresultado muito importante é que uma transformação própria não pode serreduzida a imprópria e vice-versa, assim não é possível pela composição devárias rotações obter uma reflexão!

Ainda que um pouco fora do contexto do curso, observamos que a pró-priedade de o determinante de transformações ortogonais possuir os valores±1possibilita classificar o grupo de rotações em duas categorias disjuntas: odas transformações próprias ou rotações e o das trasnformações imprópriasou reflexões. Existem outras transformações.

1.8 Definição de Escalar e Vetor em Termos dasPropriedades de Transformações

Considere a trasnformação das coordenadas do tipo, equação (1.3.6),

x′i =3∑j=i

λijxj


com os cosenos diretores satisfazendo a equação (condição de ortogonalidade)(1.4.7)

3∑k=1

λikλjk = δij.

Se sob esta transformação, uma dada quantidade φ não é alterado,então φ é denominado de escalar ou escalar invariante. Quando φfor uma função de uma ou várias variáveis contínua e diferenciável(exceto possivelmente em alguns polos) costuma-se denominá-la decampo escalar.

Se o conjunto de quantidades (3-uplas) (A1, A2, A3) se trans-forma como as coordenadas xi do ponto P , conforme a equação(1.4.7), ou equivalentemente em outras palavras Se a quantidade (A1, A2, A3)se transforma do sistema xi para o sistema x′i via a matriz ortogonalλ, como

A′i = λijAj, i, j = 1, 2, 3; (1.8.1)

então a quantidade A = (A1, A2, A3) é denominada de vetor.

1.9 Operações Elementares com Vetores e Es-calares

Nas equações seguintes, A e B são vetores com componentes Ai e Bi;φ, ψ eξ são escalares.

Adição

Ai +Bi = Bi + Ai, Comutatividade da adição (1.9.1)

Ai + (Bi + Ci) = (Ai +Bi) + Ci, Associatividade da adição (1.9.2)

φ+ ψ = ψ + φ, Comutatividade da adição (1.9.3)

φ+ (ψ + ξ) = (φ+ ψ) + ξ, Associatividade da adição (1.9.4)

Multiplicação por um escalar

ξA = (ξA1, ξA2, ξA3) = B é um vetor (1.9.5)

1.10. O PRODUTO ESCALAR OU INTERNO DE DOIS VETORES. 41

ξφ = ψ, é um escalar. (1.9.6)

Na equação (1.9.5) assumimos que o resultado da multiplicação de um escalarpor um vetor, resulta em um vetor. De fato este resultado deve ser verificadoe isto pode ser feito utilizando a definição de vetor. Se B é um vetor ele devese transformar como

B′ = λB = λξA = ξλA = ξA′,

uma vez que o campo escalar é um invariante e A é um vetor. O resultadoanterior implica que B é um vetor. O procedimento anterior também podeser desenvolvido em função das componente dos vetores A e B.

1.10 O Produto Escalar ou Interno de Dois Ve-tores.

O produto interno (representado por um ponto ·) de dois vetores A e B édefinido como

A ·B = AiBi, i = 1, 2, 3. (1.10.1)

O vetor A = (A1, A2, A3), de componente Ai possui módulo

|A| ≡ A = +√A2

1 + A22 + A2

3. (1.10.2)

Dividindo ambos os lados da equação (1.10.1) por AB obtem-se

A ·BAB

=AiA

Bi

B, (1.10.3)

onde Ai/A é o cosseno diretor do vetor A com o eixo i dos sistema de coor-denadas, da mesma forma, Bi/B é o cosseno diretor do vetor B com o eixoi do sistema de coordenadas (veja a Figura (1.10.1)) .

Note que interessante, chamando de cos(A, B) o cosseno do angulo entreos vetores A e B a equação (1.10.3) fornece

cos θ =A1

A

B1

B+A2

A

B2

B+A3

A

B3

B= cosα cosα′ + cos β cos β′ + cos γ cos γ′

que é análoga à equação (1.4.3). Isto não é coincidência já que os dois vetoresA e B podem ser considerador os eixos x′1 e x′2 do sistema transformado S ′com relação ao sistema S. De forma geral, sem dar nomes aos angulos, olado direito da equação (1.10.3) pode ser escrita na forma

cos(A, B) = ΛAi ΛB

i , (1.10.4)


Figura 1.10.1: Componente A1,, A2, A3 do vetor A no sistema de coorde-nadas x1, x2, x3. Também é mostrado o angulo α entre o vetor A e o eixox1

onde

ΛAi ≡

AiA, ΛB

i ≡Bi

B. (1.10.5)

Utilizando as equações (1.10.4) e (1.10.5), a equação (1.10.3) pode ser rees-crita como

A ·BAB

= cos(A, B) =⇒ A ·B = AB cos(A, B) , (1.10.6)

Proposição 1.10.1. O produto interno de dois vetores é uma grandeza es-calar.

Demonstração. A e B são vetores portanto transformam-se sob a matrizortogonal λ da forma

A′i = λijAj, B′i = λijBj;

e o produto interno desses vetores ´e

A′ ·B′ = λijλikAjBk = δjkAjBk = AkBk = A ·B,

1.10. O PRODUTO ESCALAR OU INTERNO DE DOIS VETORES. 43

utilizando a equação (1.4.7). Este resultado, ou seja

A′ ·B′ = A ·B (1.10.7)

afirma que o produto interno é invariante sob transformações ortogonais,neste caso rotações representadas pela matriz λ; portanto o produto internode vetores é um escalar invariante porque ele permanece inalterado pela trans-formação ortogonal λ.

Este resultado pode ser usado para mostrar que a distância entre doispontos ou o módulo de um vetor (distância desde a origem do sistema decoordenadas até um dado ponto no espaço) também é um invariante

|d| =√d · d =

√x2

1 + x22 + x2

3 =√xixi (1.10.8)

Em geral a distância entre dois pontos√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x2 − y3)2 =

√(A−B) · (A−B) = |A−B|

(1.10.9)é um invriante. Em resumo temos a seguinte afirmação:

Afirmação 1.10.2. Transformações ortogonais preservam a distância entredois pontos.

Podemos nos perguntar também sobre o que acontece com o angulo entredois vetores transformados. Para verificar esta questão, considere a definiçãodo angulo entre dois vetores, equação (1.10.6):

A ·BAB

= cos(A, B).

O angulo antre os vetores A e B é função do produto interno desses vetores ede seus módulos, que são todas quantidades invariantes como já demonstradoanteriormente. Portanto:

Afirmação 1.10.3. Transformações ortogonais preservam o angulo entre ve-tores.

Para completar esta seção observamos que o probuto interno é comutativoe distributivo:

A ·B = AiBi = BiAi = B ·A

A · (B + C) = Ai(B + C)i = Ai(Bi + Ci) = AiBi + AiCi = A ·B + A ·C.


1.11 Vetores UnitáriosÉ apropriado representar vetores em função de suas componentes nas trêsdireções de um dado sistema de coordenadas. Para este propósito introduz-se vetores unitários, que são vetores que possuem o comprimento unidade nosistema de coordenadas em consideração. Por exemplo o vetor unitário aolongo da direção radial em coordenadas esféricas é construido como

er =r

r.

Em geral um vetor unitário é definido como

uA =A

A, (1.11.1)

e representado por diferentes notações equivalentes, por exemplo

i, j, k em coordenadas cartesianas,e1, e2, e3 em um sistema de coordenadas curvilineares qualquer,er, eθ, eφ em coordenadas esféricas,

r, θ, φ em coordenadas esféricas.(1.11.2)

Analogamente, um vetor pode ser representado por uma das seguintes formas

A = (A1, A2, A3),

A = A1e1 + A2e2 + A3e3,

A = A1i + A2j + A3k.

(1.11.3)

Neste texto adotaremos a notação e1, e2, e3 para os vetores unitários porcausa da convenção da soma:

A = Aiei,

cujas componentes são

Ai = ei ·A, i = 1, 2, 3. (1.11.4)

Em geral (a menos que se afirme o contrário) trabalharemos com bases orto-gonais, portanto os vetores unitários satisfazem

ei · ej = δij, (1.11.5)

expressando a ortogonalidade da base.

1.11. VETORES UNITÁRIOS 45

Figura 1.11.1: Projeção do vetor B na direção do vetor A

Exemplo 1.11.1. Dado dois vetores A = i+ 2j− 2k e B = 4i+ 2j− 3k emcoordenadas cartesianas, calcule a distância AB entre os pontos OA e OB,o angulo entre os vetores e o valor da projeção do vetor B ao longo do vetorA.

A distância entre o pontos OA e OB é

|A−B| = |B−A| =√

(1− 4)2 + (2− 2)² + (−2 + 3)2 =√

9 + 1 =√

10,

o angulo entre os vetores é obtido de

cos θ =A ·BAB

=(i + 2j− 2k) · (4i + 2j− 3k)√

1 + 4 + 4√

16 + 4 + 9=

4 + 4 + 6√9× 29

=14

3√

29= 0.867,

portantoθ = 30◦.

A projeção de B na direção de A vale (Veja a figura (1.11.1))

A ·B = AB cos θ =⇒ B cos θ =A ·BA

= eA ·B.

A quantidade eA ·B mede exatamente o quanto do vetor B esta na direçãodo vetor A, o vetor eA é um vetor unitário na direção do vetor A, veja aequação (1.11.1). Portanto

eA ·B = B cos θ =√

29× 0.867 = 4.67.


1.12 O Produto Vetorial

Dois vetores podem ser combinados de forma a forncecer como resultado umoutro vetor10, a esta operação dá-se o nome de produto vetorial. Para doisvetores A e B este produto é representado como

C = A×B (1.12.1)

onde C é o vetor resultante desta operação. As componentes do vetor C sãodefinidas pela equação

Ci ≡ εijkAjBk , (1.12.2)

onde εijk é o tensor de Levi-Civita, definido na equação (1.6.13). Utilizandoesta notação, as componentes do vetor C são calculadas como

C1 = ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2;

C2 = A3B1 − A1B3;

C3 = A1B2 − A2B1.

(1.12.3)

Considere a expansão da quantidade [AB sin θ]2 :

(AB)2 sin2 θ = (AB)2(1− cos2 θ)

= (AB)2 − (AB)2 cos2 θ

= (AB)2 − (A ·B)2

= A2iB

2j − (AiBi)

2

= (A2B3 − A3B2)2 + (A3B1 − A1B3)2 + (A1B2 − A2B1)2,

após um pouco de álgebra. Por outro lado

|A×B|2 = |C|2 = C2 = C21 + C2

2 + C23 ,

com Ci dados na equação (1.12.3). Comparando estas duas equações (comas componentes Ci dadas nas equações (1.12.3)) encontramos que

C = +AB sin θ. (1.12.4)

10De fato o resultado do produto vetorial não é um vetor verdadeiro mas sim um pseudovetor. Um vetor verdadeiro é invertido sub reflexão enquanto que um pseudo vetor não.Por exemplo a velocidade é um vetor e o momento angular, um pseudo vetor.

1.12. O PRODUTO VETORIAL 47

Figura 1.12.1: O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área doparalelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores A e B.

O significado desta equação é: se C = A × B, então o módulo do vetor Cé igual ao módulo de A vezes o módulo de B vezes o seno do angulo entreeles. No contexto geométrico interpretamos o módulo do produto vetorialA × B como a área do paralelograma definido pelos vetores A e B, veja afigura (1.12.1)

Exemplo 1.12.1. Usando as equações (1.10.1) e (1.12.2), mostre que

A · (B×D) = D · (A×B).

O lado esquerdo desta equação pode ser escrito como

A · (B×D) = AiεijkBjDk

= AiεkijBjDk

= DkεkijAiBj

= D · (A×B).

Também pode-se converser-se da igualdade acima lembrando que o produtointerno é um escalar invariante. Se nesta equação faz-se a escolha A = Bobten-se

A · (A×D) = D · (A×A) = 0,

mostrando que A é perpendicular à A×D.


O vetor A × B = C é perpendicular ao plano definido pelos vetores Ae B já que A · (A × B)=0 e B · (A × B)=0 . A área de um plano podeser representada por um vetor normal ao plano e cuja magnetude é igual aárea do plano. A orientação é aquela do sistema destrógiro para o sistema decoordenadas (portanto para o produto vetorial) e a superfície orientada comJacobiano +1.

A definição do produto vetorial está completa: as componentes, o módulo,sentido e interpretação geométrica foram apresentadas. Tudo indica que Cé realmente um vetor, entretanto devemos lembrar que não aplicamos a C adefinição de vetor! Ou seja, como esta quantidade se transforma sob rotações?Para responder esta questão considere a quantidade;

C′ = A′ ×B′ = (λA)× (λB)

C ′i = (A′ ×B′)i = [(λA)× (λB)]i= εijkλjpApλkqBq

= εijkλjpλkqApBq.

(1.12.5)

O determinante da matriz λ, que é ortogonal, é igual a 1,

detλ = εijkλi1λj2λk3 = 1.

Este resultado pode ser utilizado para se obter

εijkλi1λj2λk3 = 1 =⇒εijkλirλjpλkq = εrpq =⇒εijkλirλjpλkq = δrlεlpq =⇒εijkλirλjpλkq = λsrλslεlpq =⇒

λtrεijkλirλjpλkq = λtrλsrλslεlpq =⇒εijkλtrλirλjpλkq = δstλslεlpq =⇒

εijkδitλjpλkq = λtlεlpq =⇒εtjkλjpλkq = λtlεlpq

Finalmente provamos que

εijkλjpλkq = λilεlpq . (1.12.6)

Substituindo este resultado na equação (1.12.5) para a componente C ′i obtem-se que

1.12. O PRODUTO VETORIAL 49

C ′i = εijkλjpλkqApBq

= εlpqλilApBq

= λilCl.

(1.12.7)

De outra forma

C′ = λC =⇒C ′i = λijCj = λijεjklAkBl,

(1.12.8)

que concorda plenamente com o resultado anteiror. As equações (1.12.5)(1.12.7) expressam o resultado do produto vetorial das componentes trans-formadas, enquanto que a equação (1.12.8) é a transformação do produtovetorial. Os dois resultados são iguais e se transformam segundo a lei detransformações de vetores.

A seguir demonstramos alguma propriedades básicas do produto vetorial:

A×B = εijkeiAjBk = −εijkeiBjCk = B×A (1.12.9)

A× (B×C) = εijkeiAjεkpqBpCq = (δipδjq − δiqδjp)eiAjBpCq =

= eiAjBiCj − eiAjBjCi = B(A ·C)−C(A ·B);(1.12.10)

(A×B)×C = εijkeiεjpqApBqCk

= − (δipδkq − δiqδkp) eiApBqCk

= eiAkBiCk − eiAiBkCk

B(A ·C)−A(B ·C).

(1.12.11)

Comparando as equações (1.12.10) e (1.12.11) conclui-se que

A× (B×C) 6= (A×B)×C, (1.12.12)

ou seja o produto vetorial de três vetores não é associativo.Nos cálculos anteriores utilizamos uma importante propriedade do tensor

de Levi-Civita, cuja demonstração será pedida como problema;

εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (1.12.13)

Existem outras que também serão utilizadas, estas são

εijkεijq = 2δkq, (1.12.14)


εijkεijq = 3! (1.12.15)

De forma geral (em 3− d) podemos utilizar a forma

εijkεpqr =

∣∣∣∣∣∣δip δiq δirδjp δjq δjrδkp δkq δkr

∣∣∣∣∣∣ . (1.12.16)

Exemplo 1.12.2. Utilizando as propriedades do tensor de Levi-Civita, es-creva o produto mixto

(A×B) · (C×D)

somente em função do produto interno de vetores.Solução. Utiliza-se a propriedade (1.12.13) porque na espressão aparece

um duplo produto vetorial:

(A×B) · (C×D) = εijkAjBkεipqCpDq = εijkεipqAjBkCpDq

= (δjpδkq − δjqδkp)AjBkCpDq

= AjBkCjDk − AjBkCkDj

= (A ·C)(B ·D)− (B ·C)(A ·D)

A ortogonalidade dos vetores unitários de uma base ortogonal pode serescrita como

ei × ej = εijkek. (1.12.17)

A título de observação, as equações seguintes são formas equivalentes de seexcrever o produto vetorial em 3− d:

C = A×B = εijkeiAjBk =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ , (1.12.18)

em coordenadas cartesianas! Esta expressão não é válida em coordenadascurvilineares.

1.13 Derivada de um Vetor com Relação a umEscalar

Se uma função escalar φ = φ(s) é derivada com relação ao parâmetro escalar sobteremos como resultado uma função (campo) escalar já que tanto a funçãoquanto o parâmetro são escalares. A definição de escalar, equação (1.2.1),

1.13. DERIVADA DE UM VETOR COM RELAÇÃO A UM ESCALAR 51

implica que φ(x) = φ′(x′), o parâmetro s, que também é um escalar satisfazs = s′, portanto

dφ(s)

ds=dφ′(s′)

ds′=

(dφ(s)

ds

)′. (1.13.1)

Analogamente, definine-se a derivada de um vetor com relação ao parâmetroescalar:

d

dsA(s) =

d

dsAi(s)ei(s), (1.13.2)

em geral. No sistema de coordenadas cartesianos os vetores unitários sãoconstantes, portanto não dependem do parâmetro s, qualquer que seja, e aexpressão anterior reduz-se a

d

dsA(s) = ei

d

dsAi(s), (1.13.3)

em um sistema de coordenadas Cartesianos! Coloca-se agora a seguinte ques-tão: A derivada de um vetor também é um vetor? Para responder a estaquestão utiliza-se a definição de vetor! Em outras palavras, deve-se verificarcomo se comporta a derivada sob uma transformação ortogonal 11. Consi-dere então a derivada das componente do vetor A no sistes S ′, sendo qued/ds = d/ds′ tem-se que

dA′ids′

=d

ds′λijAj = λij

dAjds

=⇒(dAids

)′= λij(

dAjds

). (1.13.4)

Ou seja, as grandezas dAi/ds trasnformam como as componentes de um vetore por isto são as componentes de um vetor que na forma vertorial escrevemoscomo aparece na equação (1.13.2).

As condições de analíticidade das funções e a existência das derivadastambém se aplicam ao vetores (certamente porque os vetores são campos

11O motivo de introduzir uma notação diferente para a componente Ai do vetor A é queem coordenadas curvilineares tem-se os coeficientes de Lamé multiplicando cada compo-nente, ou seja a expressão para um vetor em termos de suas componentes em coordenadascartesianas é

A = Aiei,

entretanto, em coordenadas curvilineares ortogonais a expressão é

A = Aξeξ.


Figura 1.13.1: Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quandoo parâmetro s varia .

ou funções com várias variáveis)12. Estendendo a definição de derivada defunções à vetores analíticos13 escrevemos que

dA

ds= lim

∆s→0

A(s+ ∆s)−A(s)

∆s, (1.13.5)

que possui o seguinte significado geométrico: considere a figura (1.13.1) queesquematiza a extremidade do vetor A(s) descrevendo uma curva contínuaΓ(s), quando o parâmetro s varia. No ponto P da curva Γ(s) A = A(s) eno ponto Q, distante de P de ∆s a curva possui o valor Γ(s+ ∆s) e o vetorA = A(s + ∆s). A diferença entre os valores do vetor A nos pontos P eQ para distâncias infinitesimais é igual ao valor da derivada do vetor A noponto s.

A derivada de um vetor satisfaz as mesmas propriedades das derivadasde funções;

12As condições de exitência ou continuidade de uma função em um ponto são:

f(z0) existe;limz→z0

f(z) existe,

limz→z0

f(z) = f(z0).

13Exemplos clássicos de campos vetorias que descrevem fenômenos físicos são, por exem-plo, o campo gravitacional e eletromagnéticos. Estes campos não são analíticos para par-tículas puntiformes! Eles possuem singularidades na origem do sistema de coordenadas.

1.14. EXEMPLOS DE DERIVADAS 53

d

ds(A + B) =

dA

ds+dB

ds, (1.13.6)

d

ds(A ·B) =

dA

ds·B + A · dB

ds, (1.13.7)

d

ds(A×B) =

dA

ds×B + A× dB

ds, (1.13.8)

d

ds(φB) =

dφ

dsB + φ

dB

ds. (1.13.9)

e similarmente para as outras propriedades.

1.14 Exemplos de Derivadas

1.14.1 Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Co-ordenadas Cartesianas.

A descrição da dinâmica de partículas e dos sistemas de partículas com autilização de vetores simplifica a descrição e reduz o números de equaçõespor causa da notação vetorial ser compacta, ou seja as três dimensões estãoimplicita em um único termo.

Para esta abordagem é necessário descrever na forma vetorial a posição,velocidade e aceleração das partículas que compões o sistema. Costuma-seespecificar a posição com relação a um dado sistema de referência, a estaposição associamos um vetor denominado de raio vetor representado por

r(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3, (1.14.1)

que depende continuamente do parâmetro t que neste caso representará otempo. A velocidade e aceleração são definidas como

v(t) ≡ dr(t)

dt= r(t), (1.14.2)

a(t) ≡ dv(t)

dt= v(t) =

d2r(t)

dt2= r(t). (1.14.3)

Nesta notação os pontos sobre as variáveis dinâmicas representam derivadascom relação ao tempo: um ponto significa derivada primeira e dois pon-tos, derivada segunda. Em coordenadas cartesianas retangulares os vetoresposição, velocidade e aceleração podem ser escritos como


Figura 1.15.1: Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem osvetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadas curvilineares.

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xiei Vetor posição,v = r = xiei Vetor velocidade,a = v = r = xiei Vetor aceleração .

(1.14.4)

O cálculo destas quantidades em coordenadas cartesianas é direto porqueos vetores unitários são constantes ou fixos. O sistema de coordenadascartesiano (retangular) é o único sistema que possui os vetoresunitários fixos!

De forma geral os vetores unitários não são fixos e com o movimento dapartícula no espaço, os vetores unitários podem mudar suas orientações (maspermanecem ortogonais entre si) e deixam de ser constantes no tempo! Paradescrever a posição, velocidade e aceleração faremos uma breve incursão àdescrição de coordenadas curvilineares.

1.15 Coordenadas Curvilineares

O interesse14 em discutir coordenadas curvilineares é devido a possibilidadede expressar as equações da física ( ou física matemática) em sistemas decoordenadas nos quais a descrição do problema torna-se mais simples. Adiscussão será restrita aos sistemas de coordenadas ortogonais onde as trêsfamílias de superfícies coordenadas são mutuamete ortogonais. Veja a figura(1.15.1).

14O material desta seção é, em parte baseado na referência ?

1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 55

Um sistema de coordenadas generalizadas consiste em uma família desuperfícies cujas equações em termos de coordenadas cartesianas são

ξ1(x, y, z) = c,

ξ2(x, y, z) = c,

ξ3(x, y, z) = c.

(1.15.1)

Se as transformações não forem singulares, o determinante do Jacobiano

det J =

∣∣∣∣∂(ξ1, ξ2, ξ3)

∂(x, y, z)

∣∣∣∣ 6= 0,

possibilitando a inversão das equações que então fornecem as funções ξi i =1, 2, 3 em função de x, y. z ou se for necessário x, y, z em função deξ1, ξ2, ξ3.

As linhas de intersecção das superfícies definem os novos eixos das co-ordenadas curvilineares ortogonais, aos quais associamos os vetores unitárioortonormais eξ1 , eξ2 , eξ3 no ponto (ξ1, ξ2, ξ3) tangentes às curvas defini-das pelas intersecções das superfícies. Estes são vetores unitários genéricos(de um dado sistema de coordenadas curvilineares) em termos dos quais es-pressaremos as componentes de um dado vetor. Estes vetores unitários sãomutuamente perpendiculares

ea · eb = δab, (1.15.2)

ea × eb = εabcec (1.15.3)

1.15.1 Cossenos Diretores

Os cossenos diretores (os mesmos que já discutimos anteriormente) entre osnovos eixos de coordenadas (ξ1, ξ2, ξ3) e o sistemas cartesiano são

λai = cos(ξa, xi), (1.15.4)

que também são elementos de uma matriz ortogonal λ

λaiλbi = δab. (1.15.5)

Nesta notação os índices a, b, c, · · · são associados às coordenadas curvili-neares enquanto que os índices i, j, k, · · · são associados às coordenadascartesianas. Desta forma os vetores unitários das coordenadas curvilinearespodem ser expandidos na base cartesiana como

ea = λaiei, a, i = 1, 2, 3. (1.15.6)


Como a transformação não é singular a expressão anterior pode ser invertidapossibilitando escrever os vetores unitários do sistema cartesiano em termosdos vetores unitários do sistema curvilinear

ei = λiaea. (1.15.7)

A matriz (λia) com elementos λia é a inversa (transposta já que a transfor-mação é ortogonal) da matriz λai. Note que a ortogonalidade

λiaλja = δij, (1.15.8)

expressa a ortogonalidade da matriz λ nos eixos do sistema cartesiano! Asexpansões anteriores podem ser escritas (como já feito anteriormente) naforma de matricial e1

e2

e3

=

λ1ξ1 λ1ξ2 λ1ξ3



eξ1eξ2eξ3

eξ1

eξ2eξ3

=

λξ11 λξ12 λξ13



e1

e2

e3

. (1.15.9)

As seguintes equações mostram a consistência das equações e notação:

ea · eb = δab ea = λaiei; (1.15.10)ei · ej = δij, ei = λiaea, (1.15.11)

ea · eb = λaiei · λbjej = λaiλbjei · ej = λaiλbjδij = δab,

ei · ej = λiaea · λjbeb = λiaλjbea · eb = λiaλjbδab = δij.

Estas equações refletem a ortogonalidade nos eixos curvilineares e carte-sianos, respectivamente.

Neste novo sistema de coordenada um dado vetor F é decomposto como

F = Faea, Fa = F · ea. (1.15.12)

Utilizando a equação (1.15.10), pode-se escrever as componentes do vetor Fdo novo sistema de coordenadas, em função de suas coordenadas cartesianas,da seguinte forma:

Fa = F · ea = F · (λaiei) = λaiF · ei= λaiFi = λa1F1 + λa2F2 + λa3F3.


A expressão inversa é

Fi = F · ei = F · (λiaea) = λiaF · ea= λiaFa = λiξ1Fξ2 + λiξ2Fξ2 + λiξ3Fξ3 .

Em resumo, as equaçõesFa = λaiFi,

Fi = λiaFa,(1.15.13)

definem a lei de transformação de vetores entre dois sistemas de coorde-nadas curvilineares ortogonais. O conjunto de quantidades (Fx, Fy, Fz) e(Fξ1 , Fξ2 , Fξ3) são vetores nos sitemas de coordenadas cortesianos e curvili-near respectivamente, suas componentes são transformadas segundo a equa-ção (1.15.13). As quantidades λai são as componentes da matriz λ que éortogonal, equação (1.6.8),

λt = λ−1.

1.15.2 Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé

A grandeza básica fundamental para estabelecermos todas as equações detransformações entre dois sistemas de coordenadas (em particular os curvi-lineares que são tratados neste texto) na geometria diferencial é o elementode comprimento de arco infinitesimal ds também denominado de distânciainfinitesimal entre dois pontos em um dado espaço. O quadrado do elementode comprimento de arco é escrito como

ds2 = gabdxadxb, (1.15.14)

onde gab é o tensor métrico fundamental cujo número de componentes de-pende da dimensão do espaço (superfície) em consideração. Para um espaçon− d (n-dimensional) o tensor métrico fundamental (gab) é uma matriz qua-drada de ordem n, portanto (gab) é uma matriz n×n. dxa é um deslocamentoinfinitesimal em uma dada direção. Para coordenads curvilineares ortogonaiso tensor métrico fundamental é diagonal

gab = δabh2b , (gab) =

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

=

h21 0 0

0 h22 0

0 0 h23

; (1.15.15)

sem soma no índice b. Para as coordenadas curvilineares, o elemento decomprimento de arco possui a seguinte forma reduzida

ds2 = gabdξadξb = δabh

2bdξ

adξb = h2adξ

adξa (1.15.16)


Um conceito muito importante é o da invariância da distância entre doispontos. Este conceito, já foi discutido anteriormente quando definiu-se omódulo de um vetor e a invariância da distância entre dois pontos, medidade quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais relacionados pela matriz λ.Em particular, para os sistemas ortogonais que estamos considerando, porexemplo o cartesiano e um curvilinear qualquer, esta invariância é expressacomo

ds′2 = ds2 =⇒gabdξadξb = gijdxidxj = dxidxi,

gij = δij, em coordenadas cartesianas.(1.15.17)

O elemento de comprimento de arco é um vetor que em 3−d escreve-se como

ds = eidxi = haeadξa. sem soma no índice a (1.15.18)

Desta equação calcula-se

∂s

∂ξb= hbeb =⇒ eb =

1

hb

∂s

∂ξb,

∣∣∣∣ ∂s∂ξb∣∣∣∣ = hb . (1.15.19)

Esta equação define os coeficientes de Lamé (ou as componentes do tensormétrico fundamental) . Note que não há soma no índice b que aparece nessaequação .

A forma explicita dos coeficientes de Lamé relacionando coordenadas car-tesianas com curvilineares é obtida da equação (1.15.20) fazendo:

gabdξadξb = gijdx

idxj = dxidxi =⇒

gab∂ξa

∂ξc

∂ξa

∂ξd=∂xi

∂ξc

∂xi

∂ξd=⇒

gabδacδbd =∂xi

∂ξc

∂xi

∂ξd=⇒

gcd = h2cδcd =

∂xi

∂ξc

∂xi

∂ξd=⇒

h2c =

∂xi

∂ξc

∂xi

∂ξd;

portanto

h2a =

∣∣∣∣ ∂s∂ξa∣∣∣∣ =

(∂x

∂ξa

)2

+

(∂y

∂ξa

)2

+

(∂z

∂ξa

)2

=⇒

ha =

√(∂x

∂ξa

)2

+

(∂y

∂ξa

)2

+

(∂z

∂ξa

)2

.

(1.15.20)


Na obtenção desta equação utilizou-se a equação (1.15.17). Os coeficientes deLamé ou fatores de escala das coordenadas ξa podem ser entendidos como amudança ξadξa produzida na curva coordenada (a−ésima curva de intersecçãoentre as superfícies coordenadas) por conta de um deslocamento infinitesimaldξa produzido na coordenada ξa.

Como exemplos apresenta-se as grandezas h′as resultante das relações en-tre as coordenadas cartesianas e os sistemas de coordenadas mais comuns:cilindricas e esféricas.

Exemplo 1.15.1. Coordenadas Cilindricas: (ξ1, ξ2, ξ3) ≡ (ρ, φ, z)

Em coordenadas cartesianas o vetor posição é

r = xi + yj + zk = r(x, y, z),

enquanto que em coordenadas cilindricas, as coordenadas de um ponto noespaço são determinadas pelas coordenadas ρ, φ, z, o vetor posição de umponto no espaço, neste sistema de coordenadas, é função destas variáveis, ouseja

r = r(ρ, φ, z).

As equações de transformação relacionando os dois conjuntos de coordenadassão

x = x(ρ, φ, z) = ρ cosφ,

y = y(ρ, φ, z) = ρ sinφ,

z = z(ρ, φ, z) = z.

Ou as transformações inversas

tanφ =x

y,

ρ2 = x2 + y2.

É necessário, para a construção dos vetores unitários, escrever o vetor posi-ção nas coordenadas cartesianas em termos das equações de transformações.Note que este vetor não está escrito em coordenadas cilindricas, mas sim emcoordenadas cartesianos em termos das variáveis das coordenadas cilindricas:

r = s = ρ cosφi + ρ sinφj + zk.


Utilizando estas equações e a equação (1.15.20) pode-se calcular os fatoresde escala, ha:

hρ =

√(∂x

∂ξ1

)2

+

(∂y

∂ξ1

)2

+

(∂z

∂ξ1

)2

=

√(∂x

∂ρ

)2

+

(∂y

∂ρ

)2

+

(∂z

∂ρ

)2

=

√(cosφ)2 + (sinφ)2 + (0)2

= 1;

hφ =

√(∂x

∂ξ2

)2

+

(∂y

∂ξ2

)2

+

(∂z

∂ξ2

)2

=

√(∂x

∂φ

)2

+

(∂y

∂φ

)2

+

(∂z

∂φ

)2

=

√(−ρ sinφ)2 + (ρ cosφ)2 + (0)2

= ρ;

hz = 1.

Colecionando os resultados anteriores

hρ = 1,

hφ = ρ,

hz = 1.

(1.15.21)

Os vetores unitários nas coordenadas cilindricas são obtidos utilizando osresultados anteriores e a equação (1.15.19)

eρ =1

hρ

∂s

∂ρ= cosφi + sinφj,

eφ =1

hφ

∂s

∂φ= − sinφi + cosφj,

ez = k.

(1.15.22)

A equação (1.15.4) combinada com a equação (de fato são equivalentes)(1.15.6) fornece

λai = cos(ξa, xi) = ea · ei. (1.15.23)


Esta equação pode ser usada para se construirmr a matriz λ que transformao sitema de coordenadas cartesianas para cilindricas. Utilizando os vetoresunitários das coordenadas cartesianas e cilindrincas encontramos

λ =

eρ · ei eρ · ej eρ · ekeφ · ei eφ · ej eφ · ekez · ei ez · ej ez · ek

=

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

,

e a matriz λ inversa (obtida calculando-se a transposta)

λ−1 =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

.

Utilizando λ−1 pode-se inverter as equações que relacionam os vetores uni-tários em coordenadas cilindricas e cartesianas para expressar os unitárioscartesianos em função dos unitários cilindricos: i

jk

=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

eρeφk

=

cosφeρ − sinφeφsinφeρ + cosφeφ

k

,

ou seja, temos as seguintes expressões para os vetores cartesianos unitáriosem função dos cilindricos unitários

i = cosφeρ − sinφeφ,

j = sinφeρ + cosφeφ,

k = k.

(1.15.24)

O sistema de coordenadas esféricos também é bastante utilizado, ele seráo próximo exemplo.

Exemplo 1.15.2. Coordenadas esféricas: (ξ1, ξ2, ξ3) ≡ (r, θ, φ)As equações de transformações relacionando as variáveis em coordenadas

cartesianas e esféricas são

x = x(r, θ, φ) = r sin θ cosφ,

y = y(r, θ, φ) = r sin θ sinφ,

z = z(r, θ, φ) = r cos θ.

O vetor posição r = xi + yj + zk em função das variáveir r, θ, φ fornece oarco

s = r sin θ cosφi + r sin θ sinφj + r cos θk.


Os coeficientes de Lamé são

hr =

√(∂x

∂ξ1

)2

+

(∂y

∂ξ1

)2

+

(∂z

∂ξ1

)2

=

√(∂x

∂r

)2

+

(∂y

∂r

)2

+

(∂z

∂r

)2

=

√(sin θ cosφ)2 + (sin θ sinφ)2 + (cos θ)2

= 1;

hθ =

√(∂x

∂ξ2

)2

+

(∂y

∂ξ2

)2

+

(∂z

∂ξ2

)2

=

√(∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2

+

(∂z

∂θ

)2

= r

√(cos θ cosφ)2 + (cos θ cosφ)2 + (− sin θ)2

= r;

hφ =

√(∂x

∂ξ3

)2

+

(∂y

∂ξ3

)2

+

(∂z

∂ξ3

)2

=

√(∂x

∂φ

)2

+

(∂y

∂φ

)2

+ ξb

(∂z

∂φ

)2

= r

√(− sin θ sinφ)2 + (sin θ cosφ)2 + (0)2

= r sin θ.

Resumidamente, os resultados anteriores são

hr = 1

hθ = r,

hφ = r sin θ.

(1.15.25)

Utilizando a equação (1.15.19) calcula-se os vetores unitários em coordenadasesféricas:


er =1

hr

∂s

∂r= sin θ cosφi + sin θ sinφj + cos θk,

eθ =1

hθ

∂s

∂θ= cos θ cosφi + cos θ sinφj− sin θk,

eφ =1

hφ

∂s

∂φ= − sinφi + cosφj.

(1.15.26)

Novamente, utilizando a equação (1.15.23) constroi-se a matriz λ que tran-forma coordenadas cartesianas para esféricas:

λ =

er · ei er · ej er · ekeθ · ei eθ · ej eθ · ekeφ · ei eφ · ej eφ · ek

=

sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ

−ξb sin θ cosφ 0

.

A matriz inversa é

λ−1 =

sin θ cosφ cos θ cosφ − sin θsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

,

que pode ser utilizada para se calcular as transformações inversas para osvetores unitários:

ijk

=

sin θ cosφ cos θ cosφ − sin θsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

ereθeφ

=

er sin θ cosφ+ eθ cos θ cosφ− eφ sin θer sin θ sinφ+ eθ cos θ sinφ+ eφ cosφ

er cos θ − eθ sin θ

,

que fornecem as expressões para os vetores cartesianos unitários em funçãoesdos esféricos unitários

i = er sin θ cosφ+ eθ cos θ cosφ− eφ sin θ,

j = er sin θ sinφ+ eθ cos θ sinφ+ eφ cosφ,

k = er cos θ − eθ sin θ.

(1.15.27)


1.15.3 O Elemento de Volume e Operadores Diferenciaisem Coordenadas Curvilineares.

Apresentamos sem demonstração algumas expressões muito úteis para setrabalhar em coordendas curvilineares.

Utilizando os fatores de escala, escreve-se os elementos infinitesimais dearco, área e volume em coordenadas curvilineares como

ds = (he)adξa; (1.15.28)

dAa =1

2!εabcSbc, Sbc ≡ dξadξ

′b − dξbdξ′a (1.15.29)

dV = hξ1hξ2hξ3dξ1dξ2dξ3 =√gdξ1dξ2dξ3. (1.15.30)

A expressão (1.15.29) deve ser utilizada com cuidado. Note que a grandezaSab é antisimétrica, Sab = −Sba por isto, por exempo em coordenadas carte-sianas tem-se que:

dA1 =1

2!ε1bcSbc = S23 = dx2dx3 = dydz,

dA2 =1

2!ε2bcSbc = S31 = dx3dx1 = dzdx,

dA3 =1

2!ε3bcSbc = S12 = dx1dx2 = dxdy.

Na expressão anterior,g ≡ det(gab) (1.15.31)

As expressões genéricas dos operadores diferenciais são

∇Ψ =(eh

)a∂aΨ, (1.15.32)

∇ ·A =1

hξ1hξ2hξ3∂a

[hξ1hξ2hξ3

(A

h

)a

], (1.15.33)

∇×A =1

hξ1hξ2hξ3εabc(eh)a∂b(Ah)c, (1.15.34)

∇2Ψ =1

hξ1hξ2hξ3

∑a

∂a

[hξ1hξ2hξ3h2ξa

∂aΨ

](1.15.35)

∇2Ψ = − 1√g∂µ [√ggµν∂νΨ] . (1.15.36)

Vale observar que o operador de Laplace (Laplaciano), eq. (1.15.35), operatanto em campos escalares quanto vetoriais.


Exemplos

Exemplo 1.15.3. Seja o campo vetorial A = 5rer + 2 sinφeθ + 2 cos θeφ,expresso em coordenadas esféricas. Obtenha a expressão deste campo emcoordenadas cartesianas.

As equações que relacionam os dois sitemas, exemplo (1.15.2),

x = r sin θ cosφ,

y = r sin θ sinφ,

z = r cos θ,

podem ser invertidas fornecendo

tanφ =y

x,

tan θ =

√x2 + y2

z,

r =√x2 + y2 + z2.

Destas equações obten-se que

cos θ =z

r=

z√x2 + y2 + z2

,

sin θ =√

1− cos2 θ =

√1− z2

x2 + y2 + z2=

√x2 + y2√

x2 + y2 + z2,

cosφ =x

r sin θ=

xr

r√x2 + y2

=x√

x2 + y2,

sinφ =y√

x2 + y2.

(1.15.37)

Os vetore unitários das coordenadas esféricas são dados pela equação(1.15.26),

er = sin θ cosφi + sin θ sinφj + cos θk,

eθ = cos θ cosφi + cos θ sinφj− sin θk,

eφ = − sinφi + cosφj.

Utilizando as equações de (1.15.37) podem ser reescritos como


er =1√

x2 + y2 + z2(xi + yj + zk) ,

eθ =1√

x2 + y2 + z2

(z(xi + yj)√x2 + y2

−√x2 + y2k

),

eφ =−yi + xj√x2 + y2

.

(1.15.38)

Utilizando as equações (1.15.37) e (1.15.38), o vetor A pode ser reescritocomo

A =

(5x+

2xyz√x2 + y2 + z2(x2 + y2)

− 2yz√x2 + y2 + z2

√x2 + y2

)i

+

(5y +

2xy2z√x2 + y2 + z2(x2 + y2)

+2xy√

x2 + y2 + z2√x2 + y2

)j

+

(5z − 2y√

x2 + y2 + z2

)k

Exemplos envolvendo o operador ∇.

Exemplo 1.15.4. Calcule o gradiente do campo escalar φ = φ(x, y, z) =ln r, r =

√x2 + y2 + z2.

1. Em coordenadas cartesianas:

∇φ =1

2(i∂x + j∂y + k∂z) ln

(x2 + y2 + z2

)=

(i

x

(x2 + y2 + z2)+ j

x

(x2 + y2 + z2)+ k

x

(x2 + y2 + z2)

)=

r

r2=

err.

2. Em coordenadas esféricas:

∇φ = (er∂r + eθr∂θ + eφr sin θ∂φ) ln r

= er∂r ln r + eθr∂θ ln r + eφr sin θ∂φ ln r

=err.

Exemplo 1.15.5. Dado o campo vetorial A = x2zi−2y3z2j+xy2zk, calculeno ponto (1,−1, 1) :


1. O divergente:

∇ ·A = (i∂x + j∂y + k∂z) ·(x2zi− 2y3z2j + xy2zk

)= ∂xx

2z − ∂y2y3 + ∂zxy2z

= 2xz − 6y2 + xy2 =⇒∇ ·A(1,−1, 1) = 2− 6 · 1 + 1 = −3.

2. O rotacional:

∇×A = εijkei∂jAk

= i(∂yxy

2z + ∂z2y3z2)

+ j(∂zx

2z − ∂xxy2z)

k(∂xy

2z − ∂zx2z)

= i(2xyz + 4y3z

)+ j(x2 − y2z

)− kx2 =⇒

∇×A(1,−1, 1) = i (−2− 4) + j (1− 1)− k = −6i− k.

3. O Laplaciano:

∇2A =(∂2x + ∂2

y + ∂2z

) (x2zi− 2y3z2j + xy2zk

)=(2xzi− 0j + y2zk

)+(0i− 6y2z2j + 2xyzk

)+(x2i− 4y3zj + xy2k

)= i(2xz + x2

)− j(6y2z2 + 4y3z

)+ k

(y2z + 2xyz + xy2

)∇2A(1,−1, 1) = 3i− 2j + 0k.

Exemplo 1.15.6. Dado o campo escalar ψ = 1/r, calcule o Laplaciano.

1. Em coordenadas cartesianas:

∇2ψ =(∂2x + ∂2

y + ∂2z

) 1√x2 + y2 + z2

.

Calculando cada derivada separadamente:

∂2x

1√x2 + y2 + z2

= −∂xx

(x2 + y2 + z2)3/2

= − 1

(x2 + y2 + z2)3/2+

3x2

(x2 + y2 + z2)5/2

=2x2 − y2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2;

∂2y

1√x2 + y2 + z2

=2y2 − x2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2;

∂2z

1√x2 + y2 + z2

=2z2 − x2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2.


Adicionando todas as contribuições, obten-se, para x, y, z 6= 0 que

∇2φ =(∂2x + ∂2

y + ∂2z

) 1√x2 + y2 + z2

= 0.

2. Em coordenadas esféricas:

∇2ψ =1

r² sin θ

[∂r(r2 sin θ∂r

)+ ∂θ (sin θ∂θ) + ∂φ

(1

sin θ∂φ

)]1

r

=1

r2∂r

(r2∂r

1

r

)= − 1

r2∂r(1) = 0, para r 6= 0.

1.16 Os vetores Posição, Velocidade e Acelera-ção em Coordenadas Curvilineares

O raio vetor r de uma partícula, em coordenadas curvilineares pode ser escritocomo

r(t) = hξ1ξ1eξ1 + hξ2ξ2eξ2 + hξ3ξ3eξ3 . (1.16.1)

Entretanto, para calcular a velocidade da partícula em um sistema de coorde-nadas curvilineares qualquer é apropiado utilizar o elemento de comprimentode arco infinitesimal, eq. (1.15.28)

ds = ds(t) = (he)adξa = hξ1dξ1eξ1 + hξ2dξ2eξ2 + hξ3dξ3eξ3 ,

do qual calcula-se a derivada com relação ao parâmetro t obtenso-se a velo-cidade

v =ds

dt= hξ1

dξ1

dteξ1 + hξ2

dξ2

dteξ2 + hξ3

dξ3

dteξ3

= hξ1 ξ1eξ1 + hξ2 ξ2eξ2 + hξ3 ξ3eξ3 .(1.16.2)

O cálculo da aceleração é mais complicado porque os fatores de escala hξa ,as coordenadas ξa e os vetores unitários ea dependem do parâmetro t. Naequação (1.16.2) isto também é verdade, entretanto o cálculo da velocidadeé imediato porque utilizamos o comprimento de arco na forma diferencial(infinitesimal)!

Sendo que hξa = hξa(ξ1, ξ2, ξ3), eξa = eξa(ξ1, ξ2, ξ3), a expressão geralpara a aceleração será

a = (hξ1 ξ1 + hξ1 ξ1)eξ1 + (hξ2 ξ2 + hξ2 ξ2)eξ2 + (hξ3 ξ3 + hξ3 ξ3)eξ3

+ hξ1 ξ1eξ1 + hξ2 ξ2eξ2 + hξ3 ξ3eξ3 .(1.16.3)

1.16. OS VETORES POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO EM COORDENADAS CURVILINEARES69

Figura 1.16.1: Coordenadas polares

Nesta expressão deve estar claro que as derivadas totais com relação ao pa-râmetro t dos fatores de escala e vetores unitário são da forma

hξa =∂hξa∂ξb

dξbdt

=∂hξa∂ξb

ξb; (1.16.4)

ea =∂ea∂ξb

dξb

dξbt=∂ea∂ξb

ξb (1.16.5)

1.16.1 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coorde-nadas Polares (r, φ)

As coordenadas polares são obtidas fazendo-se θ = π/2 nas equações doexemplo (1.15.2), ou utilizando a figura (1.16.1) .

Resumidamente obtem-se os fatores de escala

hr = 1,

hφ = r;(1.16.6)

os vetores unitários

er = cosφi + sinφj,

eφ = − sinφi + cosφj;(1.16.7)

e o elemento de comprimento de arco infinitesimal

ds = drer + rdφeφ . (1.16.8)


Para se calcular a velocidade e aceleração em coordenadas curvilineares,é apropriado fazer inicialmente o calculo da derivada temporal dos vetoresunitários. Neste caso obtem-se que

er = − sinφφi + cosφφj = φeφ,

eφ = − cosφφi +− sinφφj = −φer.(1.16.9)

Derivando a equação (1.16.8) com relação ao tempo obtem-se

v =ds

dt= rer + rφeφ , (1.16.10)

que é a expressão para a velocidade de uma partícula em coordenadas polares.A aceleração é

a =dv

dt= rer + rφeφ + (rφ+ rφ)eφ − rφ2er

= (r − rφ2)er + (2rφ+ rφ)eφ.(1.16.11)

1.16.2 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coorde-nadas Cilindricas (ρ, φ, z)

Para este sistema de coordenadas utiliza-se os resultados do exemplo (1.15.1).Veja a figura

Resumidmente: os fatores de escala, equações (1.15.21)

hρ = 1,

hφ = ρ,

hz = 1;

os vetores unitátio, equações (1.15.22) :

eρ = cosφi + sinφj,

eφ = − sinφi + cosφj,

ez = k.

O elemento de comprimento de arco infinitesimal pode ser construido utilizando-se as equações (1.15.28), (1.15.21) e(1.15.22):

ds = dρeρ + ρdφeφ + dzk. (1.16.12)


Figura 1.16.2: Coordenadas cilindricas

As derivadas temporais dos vetores unitários são

eρ = − sinφφi + cosφφj = φeφ,

eφ = − cosφφi− sinφφj = −φeρ,ez = 0. k vetor constante

(1.16.13)


v = ρeρ + ρφeφ + zk. (1.16.14)

A aceleração é

a =dv

dt= ρeρ + (ρφ+ ρφ)eφ + zk

+ ρφeφ − ρφφeρ=(ρ− ρφ2

)eρ +

(2ρφ+ ρφ

)eφ + zk.

(1.16.15)

1.16.3 Vetores Velocidade e Aceleração em CoordenadaEsféricas (r, θ. φ)

Para este sistema de coordenadas utiliza-se os resultados do exemplo (1.15.2).Resumidmente: os fatores de escala, equações (1.15.25)


hr = 1,

hθ = r,

hφ = r sin θ;

os vetores unitátios, equações (1.15.26)

er = sin θ cosφi + sin θ sinφj + cos θk,


eφ = − sinφi + cosφj.

O elemento de comprimento de arco infinitesimal pode ser construido utilizando-se as equações (1.15.28), (1.15.25) e(1.15.26):

ds = drer + rdθeθ + r sin θdφeφ. (1.16.16)

As derivadas temporais dos vetores unitários são

er =(

cos θθ cosφ− sin θ sinφφ)i +(

cos θθ sinφ+ sin θ cosφφ)j− sin θθk

= θeθ + φ sin θeφ;

eθ = −(

sin θθ cosφ+ cos θ sinφφ)i +(− sin θθ sinφ+ cos θ cosφφ

)j− cos θθk,

= −θer + φ cos θeφ;

eφ = − cosφφi− sinφφj = −φ (sin θer + cos θeθ) .

(1.16.17)

Colecionando os resultados de interesse, temos

er = θeθ + φ sin θeφ;

eθ = −θer + φ cos θeφ;

eφ = −φ (sin θer + cos θeθ) .

(1.16.18)


v = rer + rθeθ + r sin θφeφ . (1.16.19)


A aceleração é

a =dv

dt= rer +

(rθ + rθ

)eθ +

(r sin θφ+ r cos θθφ+ r sin θφ

)eφ

+ r(θeθ + φ sin θeφ

)+ rθ

(−θer + φ cos θeφ

)− r sin θφ2 (sin θer + cos θeθ)

=(r − rθ2 − r sin2 θφ2

)er +

(rθ + rθ + rθ − r sin θ cos θφ2

)eθ

+(r sin θφ+ r cos θθφ+ r sin θφ+ rφ sin θ + rθφ cos θ

)eφ,

(1.16.20)

que pode ser reorganizada na forma

a =(r − rθ2 − r sin2 θφ2

)er +

(2rθ + rθ − r sin θ cos θφ2

)eθ

+(

2rφ sin θ + 2r cos θθφ+ r sin θφ)eφ.

(1.16.21)

Exemplo 1.16.1. O vetor de momento angular. O vetor de momento an-gular em coordenadas esféricas, pode ser calculado no contexto da mecânicaclássica, utilizando a definição L = r× p = mr× p, cujas componentes são

Lr = 0,

Lθ = −mr2 sin θφ,

Lφ = mr2θ.

(1.16.22)

No contexto da mecânica quântica esta variável dinãmica torna-se um ope-rador cujas componentes são:

Lx = (ypz − zpy) = −ı~ (y∂z − z∂y) ,Ly = (zpx − xpz) = −ı~ (z∂x − x∂z) ,Lz = (xpy − ypx) = −ı~ (x∂y − y∂yx) ;

(1.16.23)

que em coordenadas esféricas escreve-se como

L = r× p = −ı~r×∇

= −ı~rr ×

[r∂r +

θ

r∂θ +

φ

r sin θ∂φ

]

= −ı~

[φ∂θ −

θ

sin θ∂φ

].

(1.16.24)

O problema (de fato não é problema) com a expressão do momento angularnesta forma é que os vetores unitários θ e φ dependem das coordenadas


angulares θ e φ o que não é propriamente uma forma tratável. É interessante( no contexto de cálculos) expressar o momento angular em termos de umnsistema de coordenadas fixos, ou seja em termos do vetores unitários i, j e k,para isto utilizamos as equações Eq. (1.15.26):


eφ = − sinφi + cosφj,

para obteremos

L = −ı~

[φ∂θ −

θ

sin θ∂φ

]

= −ı~[(− sinφi + cosφj) ∂θ −

1

sin θ(cos θ cosφi + cos θ sinφj− sin θk) ∂φ

]= −ı~ [−i (sinφ∂θ + cot θ cosφ∂φ) + j (cosφ∂θ − cot θ sinφ∂φ) + k∂φ] ,

de onde seguem as componentes

Lx = ı~ (sinφ∂θ + cot θ cosφ∂φ) ,

Ly = ı~ (− cosφ∂θ + cot θ sinφ∂φ) ,

Lz = −ı~Lz.(1.16.25)

1.17 A velocidade AngularO movimento arbitrário de uma partícula no espaço pode sempre se tratado,num dado instante, como um movimento circular no plano. Ou seja ocaminho ou trajetória da partícula durante um intervalo de tempo infinite-simal δt pode ser representado como um elemento de comprimento de arcoinfinitesimal de um círculo. A linha que passa através do centro do círculo,perpendicular ao seu plano e à direção instantânea do movimento é denomi-nada de eixo instantâneo de rotação. A mudança na posição angular de umapartícula em movimento numa trajetória circular é denominada de velocidadeangular

ω =dθ

dt. (1.17.1)

Considere uma partícula em movimento circular de raio R ao redor de umeixo perpendicular ao plano do movimento, como esquematizado na figura1.17.1 .

Seja r o vetor posição da partícula com relação a um origem localizadaem um ponto O arbitrário do eixo de rotação. A taxa de variação temporal

1.17. A VELOCIDADE ANGULAR 75

Figura 1.17.1: Movimento circular de uma partícula

do vetor posição r(t) é a velocidade linear da partícula r(t) = v(t). Para omovimento no círculo de raio R o módulo do vetor velocidade é

v = Rdθ

dt= Rθ ≡ Rω. (1.17.2)

A direção do vetor velocidade linear v é perpendicular à direção do vetorposição r, no plano do círculo. Da figura (1.17.1) nota-se que

R = r sinα,

e consequentemente, a equalção (1.17.3) pode ser reescrita como

v = rω sinα,

com α o angulo entre r e o eixo de rotação ao longo do qual está a velocidadeangular ω. Escolhendo o sistema com orientação destrógira (no qual valea regra da mão direita) e a orientação dos vetores que aparecem na figura(1.17.1), conclui-se ser possível escrever

v = ω × r (1.17.3)

Aparentemente está tudo correto com a expressão (1.17.3), a não ser a ques-tão que se põe: se ω é o vetor velocidade angular, como representamos esta


velocidade por um vetor se sabemos que rotações consecutivas não são ope-rações comutativas? Veja por exemplo as equações (1.7.2) e (1.7.3).

Para responder esta questão, considere a forma da matriz λ5, equação(1.7.4), para duas rotações infinitesimais consecutivas com angulos δα e δβ:

λ5(δα) =

1 δα 0−δα 1 0

0 0 1

,

λ5(δβ) =

1 δβ 0−δβ 1 0

0 0 1

.

Considere as seguintes composições de rotações com potencias lineares dosangulos infinitesimais, ou seja desprezamos termos O(δα2) e O(δβ2):

λ5(δβ)λ5(δα) =

1 δβ 0−δβ 1 0

0 0 1

1 δα 0−δα 1 0

0 0 1

,

∼

1 δα + δβ 0−δβ − δα 1 0

0 0 1

;

λ5(δα)λ5(δβ) =

1 δα 0−δα 1 0

0 0 1

1 δβ 0−δβ 1 0

0 0 1

∼

1 δβ + δα 0−δα− δβ 1 0

0 0 1

.

Estes exemplos afirmam que rotações infinitesimais são comutativas, por-tanto não há nada errado com a utilização de um vetor para representar avelocidade angular ω! Esta velocidade é a velocidade instantânea obtida viadiferencial ou seja

ω = limδt→0

δθ

δte =

dθ

dte = θe. (1.17.4)

A demonstração geométrica é mais elegante. Para isto considere novamentea aplicação de duas rotações finitas sucessivas representadas pelas matrizesλ3 e λ4 dadas pelas equações (1.7.2) e (1.7.3). Faça uma correspondênciaum a um entre essas rotações e os vetores A e B, então a soma dos vetoresA + B corresponde o produto matricial λ3λ4 e a soma B + A o produto

1.17. A VELOCIDADE ANGULAR 77

Figura 1.17.2: Rotação infinitesimal

matricial λ4λ3. Entretanto A + B = B + A, mas λ3λ4 6= λ4λ3, portantonão podemos associar vetores a rotações finitas!

Considere as rotações infinitesimais na forma geométrica. Já foi discutidona forma matricial que transformações infinitesimais comutam. Considere afigura (1.17.2) . Quando o vetor posição da partícula muda de r para r+ δr,obtem-se da figura (ou da utilização da equação (1.17.3)) que

δr = δθ × r, (1.17.5)

onde δθ é uma quantidade cujo módulo é igual ao valor do angulo de rotaçãoinfinitesimal e possui direção ao longo do eixo de rotação instantâneo. Comofeito com as matrizes, compõe-se duas rotações infinitesimais consecutivasδθ1 e δθ2, uma vez roda-se de δθ1 seguido de δθ2 e na outra de δθ2 seguidode δθ1 , para no final comparar as configurações do sistema.

Considere que a rotação de δθ1 muda a posição r para r + δr1, com

δr1 = δθ1 × r

e a rotação δθ2 muda de r2 = r + δr1, para r2 + δr2 = r + δr1 + δr2 com

δr2 = δθ2 × r2 = δθ2 × (r + δr1).

O vetor posição final após uma rotação infinitesimal de δθ1 seguida de δθ2


será

r + δr12 = r + δr1 + δr2 = r + δθ1 × r + δθ2 × (r + δr1)

= r + δθ1 × r + δθ2 × r + δθ2 × (δθ1 × r)

= r + δθ1 × r + δθ2 × r +O(δθ2).

Para a outra composição de rotações infinitesimais, ou seja após uma rotaçãoinfinitesimal de δθ2 seguida de δθ1 o vetor posição será

r + δr21 = r + δr2 + δr1 = r + δθ2 × r + δθ1 × (r + δr2)

= r + δθ2 × r + δθ1 × r + δθ1 × (δθ2 × r)

= r + δθ2 × r + δθ1 × r +O(δθ2).

Portanto os vetores girados r+δr12 e r+δr21 são iguais se desprezamos termosquadráticos e as rotações infinitesimais comutam. Este resultado prova serrazoável considerar δθ na equação (1.17.5) um vetor.

Justamente, por ser δθ um vetor é que torna possível representar a ve-locidade angular como um vetor. A velocidade angular é a taxa de variaçãoinfinitesimal da coordenada angular com relação ao tempo:

ω =δθ

δt.

Dividindo a equação (1.17.5)por δt obtem-se que

δr

δt=δθ

δt× r,

e no limite de δt→ 0, obtem-se que

v = ω × r,

como anteriormente.

1.18 O Operador GradienteConsidere um campo escalar φ = φ(x1, x2, x3), analítico unívoco em umacerta região do espaço (um subconjunto ou aberto de R3). Sendo um campoescalar ele é invariante por rotações (transformações ortogonais), conf. aequação (1.2.1), φ′(x′1, x′2, x′3) = φ(x1, x2, x3), portanto

∂φ′

∂x′i=

∂φ

∂xj

∂xj∂x′i

, (1.18.1)

1.18. O OPERADOR GRADIENTE 79

a expressão para a razão da derivada parcial entre as coordenadas dos doissistemas de referência pode ser calculada utilizando a lei de transformaçãodas coordenadas, ou seja

x′i = λijxj =⇒xj = λijx

′i =⇒

∂xj∂x′i

= λij.

.

Substituindo na equação (1.18.1) obtem-se que

∂φ′

∂x′i=

∂φ

∂xjλij.

O significado desta equação é: a grandeza ∂φ∂xi

transforma como as compo-nente de um vetor, portanto

∂φ

∂xjej (1.18.2)

é um vetor. Este vetor, denominado gradiente, é de fato um operador vetorialque possui muitas aplicações na física. Costuma-se representá-lo como

∇φ = ei∂φ

∂xi. (1.18.3)

Em coordenadas cartesianas o operador gradiente possui uma forma sim-ples

∇φ =

(e1

∂

∂x1

+ e2∂φ

∂x2

+ e3∂

∂x3

)φ.

Esta equação explicita o operador vetorial, o qual pode ser escrito sem aatuaçao em um campo escalar φ , em uma das equivalentes formas, em co-ordenadas cartesianas.

∇ =

(e1

∂

∂x1

+ e2∂φ

∂x2

+ e3∂

∂x3

)= ei

∂

∂xi. (1.18.4)

Devido ao seu caracter vetorial este operador pose ser combinado com camposescalares ou vetoriais, via produto escalar ou vetorial das seguintes formas

∇φ = ej∂φ

∂xj, (1.18.5)

∇·A =∂Ai∂xi

, (1.18.6)

∇×A = εijkei∂jAk. (1.18.7)


Figura 1.18.1: Significado geométrico do gradiente

1.18. O OPERADOR GRADIENTE 81

Analisando a figura (1.18.1) pode-se atribuir um significado geométrico aogradiente de um campo escalar. . São mostradas duas figuras, a primeira éo gráfico de uma dada função que pode descrever altitude ou temperatura;na segunda as diferentes tonalidades representam diferentes temperaturas oualtitude, vamos considerar altitude. Quanto maior for a altitude a tonalidadeé menos intensa (mais clara) e quanto menor, mais intensa ou mais escura.

Considere que o gráfico represente a topologia de uma certa região mon-tanhosa e que uma pessoa localizada inicialmente do centro da figura B (por-tanto em um ponto de referência com altitude zero. Nesta figura os pontosde maior altitude valem 1, os de menor -1 e no centro a função vale 0.), sedesloque radialmente, se afastando do centro. A medida que ela se descolaatingirá uma região de tonalidade menos intensa o que indica que ela estáem um ponto de maior altitude do que a de seu ponto de partida.

Suponha que esta pessoa, neste ponto de maior altitude, não se desloqueradialmente mas sim ao longo da linha fechada ( de mesma tonalidade) quepassa por este ponto. Como ao longo desta linha a tonalidade não muda,significa que a altitude também não muda. As linhas fechadas indicam ospontos de mesma altitude!

Suponha que o gráfico A da figura (1.18.1) seja gerado pela função φ.Isto significa que pontos de máximos relativos desta função são os pontosde maiores altitudes e os mínimos relativos os de menores altitudes. Se emum dado ponto, mantendo-se uma das variáveis constantes e alterando-se asoutras, a função φ permanecer constante significa que foi encontrado umatrajetória que está toda a uma mesma altura (certamente com relação aalgum referencial).

Para tornar a discussão mais quantitativa considere o campo φ num dadoponto P , ou seja φ(x1, x2, x3). Faz-se agora um deslocamento infinitesimal(caminhe pouco em uma direção arbitrária) e compara-se o valor do campocom aquele do ponto de partida, ou seja

dφ =∂φ

∂xidxi =∇φ · dx = |∇φ| |dx| cos θ.

O significado desta equação é: a variação no valor do campo escalar dφ éigual ao produto do módulo do gradiente, pelo módulo do deslocamento,pelo cosseno do angulo entre eles. Considere que |dx| 6= 0 e que seu módulopossui o mesmo valor para todas direções θ; fixe o valor do |∇φ| . Nestascondições a equação indica que a variação dφ será máxima quando θ = 0e mínima quando θ = π/2 que correspondem ao deslocamento na direçãodo gradiente da função e perpendicular ao gradiente da função, respectiva-mente. Entretanto, devido o significado de φ, ou seja de altitude, a variaçãoserá máxima para deslocamentos perpendiculares a curvas de altidudes cons-


tantes (é claro!) portanto o angulo θ = 0 indica que o deslocamento está nadireção do gradiente que possui direção perpendicular às curvas de níveis15;conclusão: a variação dφ é máxima na direção do gradiente que por sua vezé perpendicular as curvas de altitude constante ou curvas de níveis. Tudo oque foi escrito pode ser resumido em uma equação, para θ = 0,

|∇φ| =(dφ

ds

)maximo

, ds ≡ |dx| (1.18.8)

Resumindo os resultados anteriores:

1. O vetor ∇φ é normal às curvas ou superfícies φ =constante.

2. A direção do vetor ∇φ é a direção de maior variação do campo φ.

3. Atribuindo-se um vetor unitário (arbitrário) n a uma dada direção noespaço, pode-se calcular a variação do campo φ nesta direção, da forma

∇φ · n ≡ ∂φ

∂n(1.18.9)

Utilizando o operador nabla pode-se construir alguns operadores diferenciasde segunda ordem, o mais utilizado na física é o operador de Laplace ouLaplaciano

∇ ·∇ =∂

∂xi

∂

∂xi=

∂2

∂x2i

= ∂2i (1.18.10)

escrito em diferentes (e muito utilizadas) notações. Este operador atua tantoem campos escalares

∇2φ = ∂2i φ, (1.18.11)

quanto em vetoriais∇2A = ∂2

iA. (1.18.12)

O Significado Físico (geométrico) do Laplaciano

1.19 Integral de VetoresO vetor resultante de uma integração de volume de um campo vetorial A =A(xi) é dado por

ˆV

Adv =

(ˆv

A1dv,

ˆv

A2dv,

ˆv

A3dv

), (1.19.1)

15Curvas que possui todos os seus pontos a mesma altura com relção a um certo refe-rencial

1.19. INTEGRAL DE VETORES 83

ou seja a integral de volume de um dado vetor A implica em tres integraçõesusuais, uma para cada componentes do vetor.

A projeção do campo vetorial A na direção do vetor unitário n, normal‘a superfície é

A · n. (1.19.2)

A integração desta quantidade através da superfície (área) S cujo elementodiferencial é

da = nda, (1.19.3)

é denominada de fluxo de vetor A através da superfície S e calculada como

ΦA =

ˆS

A · nda =

ˆS

A·da =

ˆS

Aidai. (1.19.4)

A área é um pseudo vetor já que é o resultado do produto vetorial de doisvetores verdadeiros. O elemento infinitesimal de área pode ser calculadoutilizando-se a equação (1.15.29).

A direção do vetor unitário n não é única uma vez que uma superfíciepossui duas orientações possíveis. Adotamos aqui a regra da mão direita, ados sitemas destrógiros, para uma superfícies fechadas: convenciona-se comopositivo o vetor unitário normal que aposta para fora da superfície. Parauma superfície aberta convenciona-se como orientação positiva da superfícieaquela cujo interior está a esquerda de um observador que caminha sobre aborda (fronteira) da superfície no sentido anti-horário.

Veja a figura (1.19.1).A integral de linha desde o ponto B até o ponto C de um campo vetorial

A = A(xi) ao longo de uma curva Γ é igual a integral da componente tan-gencial do campo vetorial A. Para se calcular a componente tangencial docampo vetorial A num dado ponto P ∈ Γ, calcula-se o produto interno entreo elemento diferencial de arco ds e o vetor A no ponto P para em seguidaintegrar este resultado desde B até C:

Γˆ

BC

A · ds =

ˆ

BC

Aidxi. (1.19.5)

É útil relacionar integrais de linha com integrais de superfície e integrais desuperfície com integrais de volume, certamente quando for possível.

Teorema 1.19.1. Teorema de Gauss ou da divergência. Considere a figura(1.19.2), que esquematiza um volume fechado V limitado por uma superfícieS.


Figura 1.19.1: Elemento diferencial de área da e sua direção normal à super-fície

Figura 1.19.2: O elemento diferencial de área de uma superfície que limita ovolume V


Figura 1.19.3: a figura mostra um contorno C que limita uma superfícieaberta e orientada. A dorientação do vetor unitário foi escolhida de talforma que um observador caminhando na fonteira da superfície (curva C)tem o interior a sua esquerda.

Considere um campo vetorial A e sua derivada primeira contínuo novolume V . O teorema de Gauss afirma que o fluxo do vetor A através dasuperfície fechada S é igual a integral sobre o volume V do divergente docampo vetorial A. A expressão matemática para essa sentença é

ˆS

A · da =

ˆV

∇ ·Adv (1.19.6)

O próximo teorema é denominado de Teorema de Stokes - Ostrogradsky.Para utilizar este teorema é necessário ter em conta que utiliza-se uma su-perfície com orientação destrógira, como já foi discutido anteriormente. Estaconvenção está explicitada na figura (1.19.3).

Teorema 1.19.2. Teorema de Stokes -Ostrogradsky. A integral de linha dacomponente tangencial ( a curva C) de um campo vetorial A é igual ao fluxodo rotacional do campo vetorial A através da superfície aberta S, que possuicomo fronteira a curva C. A expressão matemática para está sentença é

˛

C

A · ds =

ˆS

(∇×A) · da. (1.19.7)


Exemplos

Exemplo 1.19.3. Calcule a integral de linha do campo de F = 3xyi−5zj+10xk ao longo da curva x = t2 + 1, y = 2t2, z = t3, desde t = 1 até t = 2.

Solução:

P2ˆ

P1

F · dr =

P2ˆ

P1

(3xyi− 5zj + 10xk) · (idx+ jdy + kdz)

=

P2ˆ

P1

(3xydx− 5zdy + 10xdz)

=

t=2ˆ

t=1

(3(t2 + 1)2t22tdt− 20t3tdt+ 10(t2 + 1)3t2dt

)

=

t=2ˆ

t=1

(12t5 + 10t4 + 12t3 + 30t2

)dt = 303.

Exemplo com integral de superfície em coordenadas cartesianas.

Exemplo 1.19.4. Calcule o fluxo do campo vetorial A = 18zi− 12j + 3ykatravés do plano 2x+ 3y + 6z = 12, no primeiro octante.

É necessário calcular a integralˆ

S

A · da =

ˆ

S

A · nda.

Para isto considere a geometria mostrada na figura (1.19.4)Para calcular a integral do fluxo do campo A pode-se calcular o fluxo

através da projeção da superfície no plano xy. O valor da superfície projetadaé

R = S cos θ =⇒ dR = da · k = dan · k =⇒ da =dR

n · k=dxdy

n · k.

O vetor unitário normal à superfície é:

n =∇S|∇S| =

2i + 3j + 6k√4 + 9 + 36

=2i + 3j + 6k

7.

n · k =6

7


Figura 1.19.4: Geometria da integração.

A · n =36− 12x

7; utilizando, z =

12− 2x− 3y

6.

ˆ

S

A · nda =

¨

R

(6− 2x)dxdy =

ˆdx(6− 2x)

12−2x3ˆ

0

dy

=

ˆ 6

0

dx(6− 2x)12− 2x

3

= 24.

Os limites de integração na variável y são obtidos da equação do plano comz = 0, já que a integral está sendo calculada na projeção da superfície noplano xy.

Um exemplo de integral de superfície resultante da projeção da superfíciedo cilindro no plano cartesiano.

Exemplo 1.19.5. Calcule o fluxo do campo vetorial A = zi + xj − 3y2zkatravés do plano x2 + y2 = 16, no primeiro octante, desde z = 0 até z = 5;como esquematizado na figura (1.19.5).

É necessário calcular a integralˆ

S

A · da =

ˆ

S

A · nda.


Figura 1.19.5: Geometria da integral do fluxo do campo A através de umoctante do cilindro.


Para se calcular a integral pode-se projetar a área no plano xz ou yz; fixeo plano xz. A projeção é

R = S cos θ = S · j =⇒ dR = da · j = dan · j =⇒ da =dR

n · j=dxdz

n · j.


n =∇S|∇S| =

2xi + 2yj

2√x2 + y2

=xi + yj

4, x2 + y2 = 16.

n · j =y

4.

A · n =xz + xy

4;

ˆ

S

A · nda =

¨

R

(xz + xy

y)dxdz =

¨

R

(xz + x

√16− x2

√16− x2

)dxdz

=

¨

R

(xz√

16− x2+ x)dxdz =

4ˆ

0

dx(x√

16− x2

5ˆ

0

zdz + x

5ˆ

0

dz)

=

4ˆ

0

dx(x√

16− x2

25

2+ 5x) =

5

2

4ˆ

0

dx(5x√

16− x2+ 2x)

=25

24 + 5 · 8 = 90.

Um exemplo de integral de superfície resultante da projeção da superfície deuma esfera no plano cartesiano.

Exemplo 1.19.6. Dado F = yi + (x − gxz)j − xyk, calcule o fluxo dorotacional do campo vetorial F através da superfície esférica x2 +y2 +z2 = a2

para 0 ≤ z ≤ a. Veja a figura (1.19.6).É necessário calcular a integral

ˆ

S

(∇× F) · da =

ˆ

S

(∇× F) · nda.

O rotacional do campo vetorial F é

∇× F = εijkei∂jFk = xi + yj− 2zk.


Figura 1.19.6: Geometria da integração esférica

Para calcular a integral, projeta-se a área no plano xy. A projeção é

R = S cos θ = S · k =⇒ dR = da · k = dan · k =⇒ da =dR

n · k=dxdy

n · k.


n =∇S|∇S| =

2xi + 2yj + 2zk

2√x2 + y2 + z2

=xi + yj + zk

a, x2 + y2 + z2 = a2.

n · k =z

a.

(∇× F) · n =x2 + y2 − 2z2

a;

ˆ

S

(∇× F) · nda =

¨

R

x2 + y2 − 2z2

a

dxdy

za.

=

aˆ

−a

dx

√a2−x2ˆ

−√a2−x2

dy3(x2 + y2)− 2a2√

a2 − x2 − y2≡ I.


Figura 1.19.7: Volume de integração

Fazendo a mudança de variável x = r cos θ, y = r sin θ a integral anterial étransformada em

I =

r=aˆ

r=0

θ=2πˆ

θ=0

3r2 − 2a2

√a2 − r2

rdrdθ

= 2π

r=aˆ

r=0

3(r2 − a2) + a2

√a2 − r2

rdr

= 2π

r=aˆ

r=0

(3√a2 − r2 − a2

√a2 − r2

)rdr

= 2π

[(a2 − r2

)3/2 − a2√a2 − r2

]∣∣∣r0

= 2π(a3 − a3

)= 0.

Um exemplo de integral de volume.

Exemplo 1.19.7. Calcule a integral do campo vetorial F = 2xzi−xj+ y2kno volume V limitado pelas equações x = 0, y = 0, y = 6, z = x2, z = 4. Ovolume de integração está esquematizado na figura (1.19.7).


A integral a ser resolvida é

ˆ

V

FdV =

x=2ˆ

x=0

dx

y=6ˆ

y=0

dy

z=4ˆ

z=x2

dz(2xzi− xj + y2k

)

= i

x=2ˆ

x=0

dx

y=6ˆ

y=0

dy

z=4ˆ

z=x2

dz2xz − j

x=2ˆ

x=0

dx

y=6ˆ

y=0

dy

z=4ˆ

z=x2

x

+ k

x=2ˆ

x=0

dx

y=6ˆ

y=0

dy

z=4ˆ

z=x2

dzy2

= 128i− 24j + 384k.

PROBLEMAS

Problema 1.0.1. Encontre a matriz rotação λ que representa uma rota-ção de 45o no sentido anti horário, ao redor do eixo x2 de um sistema decoordenadas cartesianos.

Problema 1.0.2. Prove as equações (1.4.2) e (1.4.3).

Problema 1.0.3. Dada as matrizes quadradas A e B, mostre que (AB)t =BtAt e (AB)−1 = B−1A−1.

Problema 1.0.4. Mostre que a equação (1.4.6) (condição de ortogonalidade)pode ser obtida impondo-se a invariância do elemento de comprimento dearco infinitesimal.

Problema 1.0.5. Seja A o vetor definido pela origem do sistema de coorde-nadas e por um ponto P fixo no espaço. Seja r o vetor definido pela origeme pelo ponto Q(x1, x2, x3) variável. Mostre que A · r = A² é a equação doplano perpendicular ao vetor Ae que passa pelo ponto P .

Problema 1.0.6. Dado dois vetores

A = i + 2j− k,

B = −2i + 3j + k,

calcule:

a) A-B e |A−B|

93


b) A componente de B ao longo de A,

c) o angulo entre A e B,

d) A×B,

e) (A−B)× (A + B)

Problema 1.0.7. Uma partícula esta em movimento em uma órçbita elípticacom vetor posição r = 2b sin(ωt)i + b cos(ωt)j, com b = constante. Encontrea velocidade, aceleração e módulo da velocidade da partícula. Qual o anguloentre a velocidade e aceleração quando t = π/2ω?

Problema 1.0.8. Mostre que (A×B) ·C = εijkAiBjCk.

Problema 1.0.9. Dada as matrizes

A =

1 2 −10 3 12 0 1

, B =

2 1 00 −1 21 1 3

, C =

2 14 31 0

,

calcule det(AB), AC, ABC, AB−BtAt.

Problema 1.0.10. Encontre os valores de α para que a matriz M seja or-togonal

M =

1 0 00 α −α0 α α

.

Problema 1.0.11. Mostre que

εijkδij = 0,

εijkεljk = 2δil,

εijkεijk = 3! = 6,

εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl.


Problema 1.0.12. Seja A um vetor arbitrário e e um vetor unitário emuma dada direção, mostre que

A = e(A · e) + e× (A× e).

Qual o significado dos termos nesta expansão?


∇(ln |r|) =r

r2.

Problema 1.0.14. Encontre o ângulo entre as superfícies definidas pelasequações r2 = 9, e x+ y + z2 = 1 no ponto (2, −2, 1).


∇(φψ) = φ∇(ψ) + ψ∇(φ),

∇rn = nrn−2r,

∇(f(r)) =r

r

df

dr,

∇2(ln r) =1

r2.

Problema 1.0.16. Mostre queˆ(2r · r + 2br · r) dt = ar2 + br2 + constante ;ˆ (

r

r− rr

r2

)dt =

r

r+ C,

onde C é um vetor constante.

Problema 1.0.17. Calcule a integralˆS

A · da,

onde A = xi − yj + zk e S é a superfície fechada definida pelo cilindroc2 = x2 + y2.A base do cilindro está localizada em z = 0 e o topo em z = d.


Problema 1.0.18. Usando o teorema de Gauss, calcule a integralˆS

[(x2 + y2 + z2)(xi + yj + zk)

]· da,

onde S é a superfície da esfera R2 = x2 + y2 + z2.

Problema 1.0.19. Calcule a integralˆS

[∇× (yi + zj + xk)] · da,

onde S é a superfície definida pelo paraboloide z = 1− x2 − y2, com z ≥ 0.

Capítulo 2

Mecânica Newtoniana - Dinâmicade uma partícula.

2.1 Introdução

A Mecânica proporciona uma descrição precisa e consistente da dinâmica departículas e sistemas de partículas, ou seja um conjuntos de leis formuladascomo sentenças matemáticas que descrevem o movimento dos corpos.

Para isto é necessário utilizar alguns conceitos básicos ou conceitos funda-mentais como distância e tempo na mecânica com os quais pode se calculara velocidade e aceleração dos corpos. Outro conceito fundamental é o demassa que será definido utilizando-se as leis de Newton.

Uma discussão muito mais detalhada, que não será feita aqui, sobre aconcepção de espaço, tempo e massa, como também sobre o que são e o quenão são leis físicas podem ser encontradas em diversos e excelentes livrostextos. Veja por exemplo (XXXX).

2.2 As Leis de Newton

I. Todo corpo permanece em repouso ou movimento uniforme se não houverforças atuando sobre ele.

II. Um corpo que sofre a ação de uma força move-se de tal forma que avariação de seu momento no tempo é igual à força que atua sobre ele.

III. Se dois corpos isolados exercem força, um sobre o outro, esta forças sãoiguai em magnetude e opostas na direção

97

98CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.

A primeira lei contém o conceito de partícula livre, toda partícula nestacondição (primeira lei) é denominado de partícula livre.

A expressão matemática para a segunda lei é

F =dp

dt, p = mv = m

d2r

dt2. (2.2.1)

Por ser uma equação diferencial de segunda ordem, é necessário forneceros valores das duas constantes de integração, neste caso denominadas decondições iniciais do problema que são a posição e velocidade inicial: r(t0) ev(t0).

Para demonstrar o significado da terceira lei ela será reescrita como:Se dois corpos constituem um sistema isolado ideal, então a aceleração

desses corpos são sempre em sentidos opostos e a razão de seus módulosconstante. A razão das aceleração é o inverso da razão das massas doscorpos.

Assim, para dois corpos isolados a terceir lei afirma que

F12 = −F21, (2.2.2)

ou seja a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é igual e oposta a queo corpo 2exerce sobre 1. Para duas partículas de massas m1 e m2 respectiv-mente, estas equações fornecem

F12 = m2a2,

F21 = m1a1,

que resulta emm1

m2

= −a2

a1

.

Massa Inercial é a massa que determina a aceleração de um corpo sob aação de uma dada força.

Massa Gravitacional é a massa que determina a força da gravidade entreum corpo e outros corpos.

Da medida do período de um pêndulo em um campo gravitacional uniformepode-se concluir, sem muita precisão, que a massa inercial (mI) é igual àmassa gravitacional mg :

Fg = mgg = mIa

mggsinθ = −mI lθ =⇒

θ +

(mg

mi

)g

lθ = 0.

2.3. SISTEMAS DE COORDENAS 99

Esta é a equação de um pendulos simples de comprimento l e massa moscilando em movimento harmonicos de pequena amplitude em um campogravitacional uniforme. Diversas medidas forneceram o mesmo período dopendulo feito com bulbos de materiais diferentes, comprovando a igualdadeda massa inercial e gravitacional. Esta igualdade é básica para a formula-ção do princípio da equivalência, que afrima que um grampo gravitacionaluniforme é, localmente, igual a um referencial com aceleração constante. Vá-rios experimentos modernos (1987) têm comprovado, com precisão de umaparte em 1013 pelo grupo de Eötvös da universidade de Washington. Nesteexperimento foi utilizado uma balança de torção para medir a aceleração dediferentes massas com relação ao Sol, Terra e centro da galáxia.

2.3 Sistemas de Coordenas

Newton compreendeu que para a utilizaçao das leis da mecânica e descriçãodo movimento dos corpos é necessário a adoção de um referencial. Um re-ferencial, no qual as leis de Newton são válidas é chamado de referencialinercial, ou seja se uma partícula livre mantem-se em movimento niforme(com velocidade constante, ou em repouso) com relação a um sistema decoordenadas, este sistema será inercial.

Se as leis de Newton são válidas em um sistema de coordenadas inercial,elas serão válidas em todos os sistemas em movimentos relativos a velocidadesconstantes. Esta afrimação está fundamentada na segunda lei de NewtonF =ma: a adição de um termos do tipo cv0 , com v0 constante, na coordenada dapartícula não altera a força que atua sobre ela. Este resultado é denominadode Invariância Galileana ou Princípio da relatividade de Newton.

A teoria da relatividade demonstrou que não há o conceito de referêncialabsoluto (repouso) absoluto e tempo absoluto. Ainda que se adote o referên-cial inercial mais preciso (com relação as estrelas fixas) -que é o referêncialno qual as leis de Newton são válidas com grande precisão- este não seráabsoluto.

De fato o conceito de referêncial inercial não necessita das estrelas fi-xas, se uma partícula que não estiver sob a ação de forças mover-se comvelocidade constante com relação a um dado referencial, este será inercial.Geralmente na descrição dos fenômenos físicos construimos idealizações oumodelos, entretanto a descrição real e exata é difícil e aproximações devemser consideradas.

Para descrever o movimento de uma partícula livre com relação a umdado sistema inercial, espera-se que a equação de movimento da partículaseja independente da origem do sistema de coordenadas no espaço e tempo.

100CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.

Figura 2.3.1: Sistema de Coordenadas não inercial

Também espera-se que o tempo seja homogêneo, ou seja que intervalos iguaismedidos em tempos diferentes sejam equivalentes. Estas condições satisfeitasimplicam que se uma partícula estiver em movimento uniforme em um certointervalo de tempo, ela continuará neste estado de movimento em qualquerintervalo de tempo se não sofre a ação de forças externas.

Podemos ilustrar a improtância dessas propriedades com o seguinte exem-plo. Na figura 2.3.1 esquematizamos uma partícula livre em movimento aolongo de um certo trajeto AC.

Para descrever o movimento foi escolhido um sistema de coordenadasretangular Sr com seu eixos mantidos com uma orientação fixa e sua origemmovimentando-se ao longo de um círculo. A partícula movimenta-se comvelocidade uniforme vp com relação a um dado sistema inercial que não éo sistema Sr. Considere um observador posicionado na origem do sistemaSr, que está em movimento com velocidade vc, que acompanha o movimentoda partícula durante o percurso AC. No instante em que a partícula estiverno ponto A, o observador no ponto B e vp = vc, a partícula estará emrepouso com relação ao observador. Entretanto, quando o observador estiverse em movimento ao longo do arco BD absevará a partícula acelerando.Esta observações indicam que um sistema em movimento circular não é umexemplo de sistema inercial!

As equações de Newton não descrevem o movimento de uma partícula emum sistema não invercial, entretanto algumas modificações podem ser feitaspara esta descrição. Isto será discutido adiante.

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MECÂNICA GERAL - UEL Portal - Universidade Estadual de ... 1-100.pdf · MECÂNICA GERAL ANTONIO EDSON GONÇALVES 13 de abril de 2015. 2 AntonioEdsonGonçalves DeptodeFísica-CentrodeCiênciasExatas