30
MEC ˆ ANICA - MAC010 03 Dep. de Mecˆ anica Aplicada e Computa- cional Prof a Mich` ele Farage Princ´ ıpios Gerais For¸cas, vetores e opera¸c˜oes vetoriais Sistema de for¸cas coplanares Sistema de for¸cas tridimensional Vetor-posi¸c˜ ao Produto-escalar MEC ˆ ANICA - MAC010 03 Dep. de Mecˆ anica Aplicada e Computacional Prof a Mich` ele Farage 14 de mar¸ co de 2011

MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

  • Upload
    vanthuy

  • View
    251

  • Download
    15

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

MECANICA - MAC010 03Dep. de Mecanica Aplicada e Computacional

Profa Michele Farage

14 de marco de 2011

Page 2: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

1 Princıpios Gerais

2 Forcas, vetores e operacoes vetoriaisSistema de forcas coplanaresSistema de forcas tridimensionalVetor-posicaoProduto-escalar

Page 3: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

1 Princıpios Gerais

2 Forcas, vetores e operacoes vetoriaisSistema de forcas coplanaresSistema de forcas tridimensionalVetor-posicaoProduto-escalar

Page 4: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Vetor posicao

Uma outra forma de representar as forcas e atraves do vetorposicao.

Vetor posicao r: e um vetor fixo que localiza um ponto doespaco em relacao a outro ponto.

Page 5: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Vetor posicao

O vetor posicao orientado de A para B , denominado rAB ,e definido como:

rAB = (XB − XA)i + (YB − YA)j + (ZB − ZA)k

Page 6: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Vetor posicao

Vetor de forca orientado ao longo de uma reta:Uma forca pode ser representada atraves do vetor unitario -

que indica a orientacao da forca - e da intensidade da forca.

Page 7: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Vetor posicao

Para tanto, e necessario:a) Determinar o vetor posicao rAB a partir de dois pontosda linha;b) Determinar o vetor unitario que descreve a direcao dalinha: uAB = rAB/rAB ;c) Multiplicar o vetor unitario pela intensidade da forca:F = FuAB ;

Page 8: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Exemplo 1

Sabendo que a forca que age no cabo DA e de 4kN, pede-sedetermina-la na forma vetorial cartesiana.

Page 9: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Exemplo 2

Determinar a forca resultante no sistema representado naforma escalar (intensidade e angulos coordenados).

Page 10: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

1 Princıpios Gerais

2 Forcas, vetores e operacoes vetoriaisSistema de forcas coplanaresSistema de forcas tridimensionalVetor-posicaoProduto-escalar

Page 11: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar

As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.

• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria

• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.

Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.

A.B = ABcosθ

onde 0o ≤ θ ≤ 180o .

Page 12: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar

As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.

• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria

• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.

Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.

A.B = ABcosθ

onde 0o ≤ θ ≤ 180o .

Page 13: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar

As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.

• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria

• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.

Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima.

Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.

A.B = ABcosθ

onde 0o ≤ θ ≤ 180o .

Page 14: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar

As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.

• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria

• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.

Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.

A.B = ABcosθ

onde 0o ≤ θ ≤ 180o .

Page 15: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Propriedades do Produto

escalar

• comutativa: A.B=B.A

• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα

• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)

Page 16: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Propriedades do Produto

escalar

• comutativa: A.B=B.A

• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα

• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)

Page 17: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Propriedades do Produto

escalar

• comutativa: A.B=B.A

• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα

• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)

Page 18: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Exercıcio proposto

Provar que o produto escalar entre dois vetores obedecea lei distributiva.

Page 19: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar dos vetores

unitarios de direcao

Os vetores unitarios de direcao dos eixos cartesianos saodenominados i, j, k.

Produto escalar entre os vetores unitarios das direcoescartesianas:

i.i = i .i . cos 0o = 1 i.j = i .j . cos 90o = 0

j.j = j .j . cos 0o = 1 i.k = i .k . cos 90o = 0

k.k = k .k . cos 0o = 1 j.k = j .k . cos 90o = 0

Page 20: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Produto escalar de vetores

cartesianos

A = Ax i + Ay j + Azk

B = Bx i + By j + Bzk

A.B = (Ax i + Ay j + Azk).(Bx i + By j + Bzk)

= AxBx i.i + AyBy j.j + AzBzk.k

= AxBx + AyBy + AzBz

Page 21: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

• Angulo entre dois vetores: θ = cos−1

(A.B

AB

)• Componentes paralelo e perpendicular de uma reta a

um vetor:

Page 22: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

• Angulo entre dois vetores: θ = cos−1

(A.B

AB

)• Projecoes de um vetor sobre uma reta.

Page 23: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Quais sao os angulos entre a barra AO e os cabos AB eAC?

Page 24: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Qual e a intensidade da forca que age ao longo do tuboOA?

Qual e a intensidade da forca perpendicular ao tubo OA?

Page 25: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Projecoes de um vetor sobre uma reta

A|| e a componente de A sobre a reta aa’A⊥ e a componente de A perpendicular a reta aa’

Page 26: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Componente paralelo

A|| = A cos θ = A.u

A|| = A cos θu = (A.u)u

Componente perpendicular

A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||

A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√

A2 − A2||

Page 27: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Componente paralelo

A|| = A cos θ = A.u

A|| = A cos θu = (A.u)u

Componente perpendicular

A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||

A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√

A2 − A2||

Page 28: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Aplicacoes do Produto

escalar

Componente paralelo

A|| = A cos θ = A.u

A|| = A cos θu = (A.u)u

Componente perpendicular

A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||

A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√A2 − A2

||

Page 29: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Exemplo 1

Dada a forca que age no tubo OA, determinar o anguloentre o vetor de forca e o tubo, e a intensidade daprojecao da forca sobre o tubo OA.

Page 30: MECÂNICA - MAC010 03 Dep. de Mecânica Aplicada e

MECANICA -

MAC010 03Dep. de

MecanicaAplicada eComputa-

cionalProfa

Michele Farage

Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Sistema de forcascoplanares

Sistema de forcastridimensional

Vetor-posicao

Produto-escalar

Exemplo 2

Dada a forca que age sobre o tubo, determinar o anguloentre o vetor de forca e o tubo e a magnitude daprojecao da forca sobre o tubo A0.