MECÂNICA - .Para que você não confunda direção e sentido, ... Duas forças têm intensidades

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  • AULA 3

    MECNICA

    VETORES

    1- INTRODUO

    Na Fsica usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e asgrandezas vetoriais. So escalares as grandezas que ficam caracterizadas comos seus valores numricos e suas respectivas unidades. So vetoriais asgrandezas que se caracterizam com a indicao de seus valores numricos, suasunidades e suas orientaes (direo e sentido).

    Algumas grandezas sero estudadas em dois momentos: num primeiromomento, no devemos nos preocupar com suas orientaes, portanto, nestemomento elas faro parte do grupo das grandezas escalares. J num segundomomento, onde as orientaes sero relevantes, elas faro parte do grupo dasgrandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que seroestudadas nos dois aspectos, a velocidade e a acelerao

    Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais

    2- ORIENTAO.

    A orientao de uma grandeza consiste na indicao de sua direo e seusentido. Para que voc no confunda direo e sentido, observe o exemplo abaixo.

    As retas r e s so paralelas indicando ento que elas tm a mesma direo(direo horizontal). Observe que os sentidos so indicados sobre a direo (direitaou esquerda) indicando ento que r e s tm sentidos opostos.

    3- VETOR.

    O vetor rene trs caractersticas: mdulo, direo e sentido.A grandeza vetorial ser representada geometricamente por um vetor. O vetor um segmento de reta orientado (direo e sentido). A orientao de tal segmentoser a mesma orientao da grandeza que ele representa e a sua dimenso serproporcional ao mdulo da grandeza vetorial.

    s

    r

  • 4- ADIO DE VETORES

    Para somar vetores, podemos utilizar dois mtodos: o mtodo doparalelogramo (para a soma de dois vetores) e o mtodo polgono (para a soma devrios vetores).

    4.1- MTODO DO PARALELOGRAMO.

    Vamos somar as grandezas vetoriais ar

    e br

    , usando o mtodo doparalelogramo. Observe que o vetor resultante ter seu mdulo determinado pelalei dos co-senos.

    b

    Rq

    q++= cos.b.a.2baR222

    q++= cos.b.a.2baR22

    origem

    o mdulo deste vetor pode ser representado,assim: V = V = 4m

    eextremidad

    este vetor pode ser representado assim:

    V = AB = (B- A)

    A B

    Vm m m m

    a

  • RESULTANTE MXIMA.

    - A resultante ser mxima se o cosq for mximo (cosq = 1).

    4.2- MTODO DO POLGONO

    O mtodo do polgono usado para somar mais de dois vetores. O mtodoconsiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo aextremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue at oltimo vetor. O vetor resultante um vetor que dever ser construdo por ns,ligando a origem do primeiro com a extremidade do ltimo vetor. Veja oexemplo a seguir.

    a

    Rb

    22

    baR +=

    090cos90 =fi=

    )(Pitgoras baR222

    +=

    a

    bab

    R

    :10cos0 =fi=q

    fi

    +=

    ++=

    2

    mx

    22

    mx

    baR

    b.a.2baR

    :1180cos180 -=fi=q

    ab

    b a

    R

    ( ) fi-=-+=

    2

    mn

    22

    mn

    baR

    b.a.2baR

    baRmx

    +=

    Rmn

    = a - b

  • 5- VETOR OPOSTO.

    Imagine dois vetores com a mesma direo, sentidos opostos e com as mesmasdimenses. Neste caso podemos dizer que um o oposto do outro. Observe oexemplo:

    Observe que o vetor oposto ao vetor . O que na verdade significa dizerque:

    6- DIFERENA DE VETORES.

    A diferena entre dois vetores (a e b), na verdade a soma do vetor a com ooposto

    do vetor b.

    a

    b

    c

    e

    R

    ab

    c

    de

    cebaR +++=

    Z

    Y

    Z Y

    Y.)1(Z -=

  • 7- COMPONENTES PERPENDICULARES DE UM VETOR.

    As componentes perpendiculares de um vetor, so projees deste vetor em duasdirees perpendiculares no coincidentes com a direo dele.

    8- VERSOR.

    O versor um vetor unitrio (mdulo 1) que ns usamos para indicar direo esentido.

    a b

    ab

    Dfi

    q-+= cos.b.a.2baD22

    oua

    b

    Dq

    q=b= sen.aa ou cos.aa yy

    b=q= sen.aa ou cos.aa xx

    y3x2e

    y2x2d

    y2c

    x3b

    y2x1a

    :Expresses

    -=

    --=

    -=

    =

    +=

    )b(aD mas ,baD -+=-=

    qb

    a

    xa

    ya

    X

    Y

    ac

    de

    b

    x

    y

  • EXERCCIOS

    1. (FATEC) Duas foras tm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O modulo daresultante no pode ser:

    a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N

    2. (ESAM-SP) Duas foras constantes, 21 F e Frr

    , de intensidades F1 = 6,0N e F2 =8,0N formam, entre si, um angulo de 60. Qual o valor aproximado daintensidade daresultante entre 21 F e F

    rr?

    Dados:21

    cos60 e 23

    60sen ==

    3. (MACKENZIE SP) - Com seis vetores de mdulos iguais a 8u, construiu-se ohexgono regular abaixo.

    O mdulo do vetor resultante desses seis vetores igual a: a) 64u b) 32u c) 16u d) 8u e) zero

    4. (ALFENAS MG) Um mvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidadede mdulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem mdulode 4,0m/s e uma direo que faz um ngulo de 60 com a direo de velocidade noponto A. Calcule o mdulo da variao da velocidade vetorial entre os pontos A e B.

    1Vr

    4Vr

    6Vr

    3Vr2V

    r

    5Vr

  • 5. (UFOP MG) Os mdulos das foras so N5F e N3F 21 ==rr

    . Ento

    sempre verdade que:

    I) N2FF 21 =-rr

    II) N8FFN2 21 -rr

    III) N8FF 21 =+rr

    IV) N8FFN2 21 +rr

    Marque a alternativa correta.a) apenas (I) e (III) so verdadeiras.b) apenas (II) e (IV) so verdadeiras.c) apenas (II) e (III) so verdadeiras.d) apenas (I) e (IV) so verdadeiras.e) nenhuma sentena sempre verdadeira.

    6. (VUNESP) No ensino mdio, as grandezas fsicas costumam ser classificadasem duas categorias. Na primeira categoria, esto as grandezas definidas apenaspor um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoriarequerem, alm disso, o conhecimento de sua direo e de seu sentido.a) Como so denominadas as duas categorias, na seqncia apresentada?b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza fsica da rea demecnica e outra da rea de eletricidade, para cada uma dessas categorias.

    rea 1 categoria 2 categoriamecnica ................... ...................eletricidade ................... ...................

    7 . (UELON PR) So grandezas vetoriais a:a) energia cintica e a corrente eltrica.b) corrente eltrica e o campo eltrico.c) fora e o calor.d) acelerao e o trabalho.e) acelerao e o campo eltrico.

    8. (FUND. CARLOS CHAGAS) Os quatro vetores, cada um de mdulo V,representados na figura, tem soma vetorial de modulo:

    AVr

    AB

    60

    BVr

    r F 1 e

    r F 2

  • a) zerob) V

    c) V.3d) V.2e) 4.V

    9. (MACKENZIE-SP) A figura mostra os vetores v,u,t,s,rrrrrr

    . O resultado da

    operao utvrrr

    +- o vetor:

    a) rr b) u2

    r c) sr

    rr+ d) ut

    rr+ e) ur

    rr+

    10. (CEFET-PR) Considere os vetores representados na figura que se segue.Dentre as alternativas fornecidas, possvel afirmar que correta a expresso:

    2cma) cm22BA =+

    rr

    b) cm4C =r

    c) cm6DB =-rr

    d) cm10CBA =++rrr

    e) cm5CB =-rr

    rr

    sr

    tr

    ur

    vr

    1Vr

    2Vr

    4Vr

    3Vr

    Ar

    Br

    CrD

    r

    cm2

  • RESPOSTAS

    1. ALTERNATIVA A

    N51015FminR

    =-= e N251015FmxR

    =+=

    A resultante deve estar entre 5N e 25N, ento, no pode ser 4N

    2. N12FR @

    21

    .966436F60cos.8.6.286Fcos.F.F.2FFF R22

    R2122

    21R ++=fi++=fiq++=

    N12F148F RR @fi=

    3. ALTERNATIVA B

    4. s/m 13V =D

    1Vr

    3Vr2V

    r

    1RVr

    4Vr

    5Vr

    6Vr

    2RVr

    60 60

    u4 u4u8u16V 1R =

    r

    u16V 2R =r

    u32VR =r

  • 21

    .24259V60cos.4.3.243Vcos.V.V.2VVV 22BA2B

    2A -+=Dfi-+=Dfiq-+=D

    s/m 13V =D

    5. ALTERNATIVA B

    6. a) 1 grandezas escalares e 2 grandezas vetoriais

    b)

    rea 1 categoria 2 categoriamecnica massa foraeletricidade intensidade de corrente eletrica fora eletrosttica

    7. ALTERNATIVA E

    8. ALTERNATIVA A

    9. ALTERNATIVA B

    10. ALTERNATIVA D

    2cm

    cm10R100R100R6436R86R

    :temos Pitagoras, Por22222 =fi=fi=fi+=fi+=

    rr

    sr

    tr

    ur

    vr

    fi=-=-+ utv)t(vrrrrr

    u2utvrrrr

    =+-

    tr

    -

    vr

    fi

    Ar

    Cr

    Rr

    cm28

    6

    Br