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AULA 3 MECÂNICA VETORES 1- INTRODUÇÃO Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas com os seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais as grandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suas unidades e suas orientações (direção e sentido). Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiro momento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, neste momento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundo momento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo das grandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serão estudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais 2- ORIENTAÇÃO. A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seu sentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo. As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção (direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direita ou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos. 3- VETOR. O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido. A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor é um segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmento será a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão será proporcional ao módulo da grandeza vetorial. s r

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AULA 3

MECÂNICA

VETORES

1- INTRODUÇÃO

Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e asgrandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas comos seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais asgrandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suasunidades e suas orientações (direção e sentido).

Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiromomento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, nestemomento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundomomento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo dasgrandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serãoestudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração

Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais

2- ORIENTAÇÃO.

A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seusentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo.

As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção(direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direitaou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos.

3- VETOR.

O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido.A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor éum segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmentoserá a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão seráproporcional ao módulo da grandeza vetorial.

s

r

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4- ADIÇÃO DE VETORES

Para somar vetores, podemos utilizar dois métodos: o método doparalelogramo (para a soma de dois vetores) e o método polígono (para a soma devários vetores).

4.1- MÉTODO DO PARALELOGRAMO.

Vamos somar as grandezas vetoriais ar

e br

, usando o método doparalelogramo. Observe que o vetor resultante terá seu módulo determinado pelalei dos co-senos.

b

Rq

q++= cos.b.a.2baR222

q++= cos.b.a.2baR22

origem

o módulo deste vetor pode ser representado,assim: V = V = 4m

eextremidad

este vetor pode ser representado assim:

V = AB = (B- A)

A B

Vm m m m

a

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RESULTANTE MÁXIMA.

- A resultante será máxima se o cosq for máximo (cosq = 1).

4.2- MÉTODO DO POLÍGONO

O método do polígono é usado para somar mais de dois vetores. O métodoconsiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo aextremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue até oúltimo vetor. O vetor resultante é um vetor que deverá ser construído por nós,ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor. Veja oexemplo a seguir.

a

Rb

22

baR +=

090cos90 =°fi°=è

)(Pitágoras baR222

+=

a

bab

R

:10cos0 =°fi°=q

fi˜¯ˆÁ

ËÊ +=

++=

2

máx

22

máx

baR

b.a.2baR

:1180cosº180 -=°fi=q

ab

b a

R

( ) fi-=

-+=

2

mín

22

mín

baR

b.a.2baR

baRmáx

+=

Rmín

= a - b

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5- VETOR OPOSTO.

Imagine dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com as mesmasdimensões. Neste caso podemos dizer que um é o oposto do outro. Observe oexemplo:

Observe que o vetor é oposto ao vetor . O que na verdade significa dizerque:

6- DIFERENÇA DE VETORES.

A diferença entre dois vetores (a e b), é na verdade a soma do vetor a com ooposto

do vetor b.

a

b

c

e

R

ab

c

de

cebaR +++=

Z

Y

Z Y

Y.)1(Z -=

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7- COMPONENTES PERPENDICULARES DE UM VETOR.

As componentes perpendiculares de um vetor, são projeções deste vetor em duasdireções perpendiculares não coincidentes com a direção dele.

8- VERSOR.

O versor é um vetor unitário (módulo 1) que nós usamos para indicar direção esentido.

a b

ab

Dfi

q-+= cos.b.a.2baD22

oua

b

Dq

q=b= sen.aa ou cos.aa yy

b=q= sen.aa ou cos.aa xx

y3x2e

y2x2d

y2c

x3b

y2x1a

:Expressões

-=

--=

-=

=

+=

)b(aD mas ,baD -+=-=

qb

a

xa

ya

X

Y

ac

de

b

x

y

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EXERCÍCIOS

1. (FATEC) – Duas forças têm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O modulo daresultante não pode ser:

a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N

2. (ESAM-SP) – Duas forças constantes, 21 F e Frr

, de intensidades F1 = 6,0N e F2 =8,0N formam, entre si, um angulo de 60º. Qual o valor aproximado daintensidade daresultante entre 21 F e F

rr?

Dados:21

cos60 e 23

60sen =°=°

3. (MACKENZIE – SP) - Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se ohexágono regular abaixo.

O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a: a) 64u b) 32u c) 16u d) 8u e) zero

4. (ALFENAS – MG) – Um móvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidadede módulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem módulode 4,0m/s e uma direção que faz um ângulo de 60º com a direção de velocidade noponto A. Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial entre os pontos A e B.

1Vr

4Vr

6Vr

3Vr2V

r

5Vr

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5. (UFOP –MG) – Os módulos das forças são N5F e N3F 21 ==rr

. Então é

sempre verdade que:

I) N2FF 21 =-rr

II) N8FFN2 21 £-£rr

III) N8FF 21 =+rr

IV) N8FFN2 21 £+£rr

Marque a alternativa correta.a) apenas (I) e (III) são verdadeiras.b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras.c) apenas (II) e (III) são verdadeiras.d) apenas (I) e (IV) são verdadeiras.e) nenhuma sentença é sempre verdadeira.

6. (VUNESP) – No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadasem duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenaspor um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoriarequerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido.a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência apresentada?b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área demecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias.

área 1ª categoria 2º categoriamecânica ................... ...................eletricidade ................... ...................

7 . (UELON – PR) – São grandezas vetoriais a:a) energia cinética e a corrente elétrica.b) corrente elétrica e o campo elétrico.c) força e o calor.d) aceleração e o trabalho.e) aceleração e o campo elétrico.

8. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Os quatro vetores, cada um de módulo V,representados na figura, tem soma vetorial de modulo:

AVr

AB

°60

BVr

r F 1 e

r F 2

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a) zerob) V

c) V.3d) V.2e) 4.V

9. (MACKENZIE-SP) – A figura mostra os vetores v,u,t,s,rrrrrr

. O resultado da

operação utvrrr

+- é o vetor:

a) rr b) u2

r c) sr

rr+ d) ut

rr+ e) ur

rr+

10. (CEFET-PR) – Considere os vetores representados na figura que se segue.Dentre as alternativas fornecidas, é possível afirmar que é correta a expressão:

2cm

a) cm22BA =+rr

b) cm4C =r

c) cm6DB =-rr

d) cm10CBA =++rrr

e) cm5CB =-rr

rr

sr

tr

ur

vr

1Vr

2Vr

4Vr

3Vr

Ar

Br

CrD

r

cm2

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RESPOSTAS

1. ALTERNATIVA A

N51015FminR =-= e N251015F

máxR =+=

A resultante deve estar entre 5N e 25N, então, não pode ser 4N

2. N12FR @

21

.966436F60cos.8.6.286Fcos.F.F.2FFF R22

R2122

21R ++=fi°++=fiq++=

N12F148F RR @fi=

3. ALTERNATIVA B

4. s/m 13V =D

1Vr

3Vr2V

r

1RVr

4Vr

5Vr

6Vr

2RVr

°60 °60

u4 u4u8u16V 1R =

r

u16V 2R =r

u32VR =r

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21

.24259V60cos.4.3.243Vcos.V.V.2VVV 22BA

2B

2A -+=Dfi°-+=Dfiq-+=D

s/m 13V =D

5. ALTERNATIVA B

6. a) 1ª grandezas escalares e 2ª grandezas vetoriais

b)

área 1ª categoria 2ª categoriamecânica massa forçaeletricidade intensidade de corrente eletrica força eletrostática

7. ALTERNATIVA E

8. ALTERNATIVA A

9. ALTERNATIVA B

10. ALTERNATIVA D

2cm

cm10R100R100R6436R86R

:temos Pitagoras, Por22222 =fi=fi=fi+=fi+=

rr

sr

tr

ur

vr

fi=-=-+ utv)t(vrrrrr

u2utvrrrr

=+-

tr

-

vr

fi

Ar

Cr

Rr

cm28

6

Br