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INSTRUÇÕES GERAIS 1. Objetivos gerais Na disciplina Física 1 experimental o aluno se dedicará a atividades práticas com o objetivo de desenvolver atitudes que caracterizam a prática experimentalista empregada em laboratórios científicos. Os experimentos serão orientados de modo que o aluno adquira formação básica para: manusear equipamentos e ler escalas; registrar dados indicando o grau de confiabilidade da medida ; analisar e interpretar dados de um experimento; registrar suas observações de forma clara, precisa e sucinta; fazer, manualmente, gráficos de tipos variados e obter relações matemáticas entre as grandezas; utilizar um programa de computador para construção e análise de gráficos; aplicar a teoria básica sobre erros e algarismos significativos; e, finalmente, apresentar os resultados do trabalho executado no laboratório de forma detalhada num relatório organizado em tópicos. 2. Programa Serão realizados seis experimentos envolvendo conceitos de mecânica, onde se espera que as medidas possuam um bom grau de confiabilidade. No primeiro experimento, sobre medidas e erros, o aluno aprenderá conceitos básicos sobre como realizar medidas, estimar o “erro” contido nelas e calcular a propagação desses erros. No segundo , sobre análise gráfica, o aluno aprenderá a traçar gráficos manualmente, e a analisá-los, realizando um experimento que envolve conceito de cinemática. Já no terceiro experimento, terá a oportunidade de aprender como utilizar um programa de computador para traçar gráficos e realizar a respectiva análise. Nos três últimos experimentos serão utilizadas as técnicas de tratamentos de dados aprendidas, para verificação de conceitos de dinâmica como: força de atrito, coeficiente de restituição e conservação de momento. 3. Metodologia Os alunos dispõem de duas aulas (4h no total) para realizar cada experimento. Cada aluno deve preparar-se previamente para realização do experimento respondendo a um pré- relatório. No laboratório os trabalhos serão desenvolvidos em grupos, com base em um roteiro, sob a orientação do professor e de um monitor. Cada grupo deve possuir um caderno ATA tipo ofício para registro de dados e confecção de relatórios. Os relatórios, um por grupo de trabalho, devem ser apresentados ao final de cada experimento. Os relatórios corrigidos servirão como instrumento de aprendizagem. 4. Bibliografia Nesta apostila estão reunidos os roteiros dos experimentos, e cinco textos de apoio: o primeiro sobre medidas, erros e algarismos significativos; o segundo sobre instrumentos de medida; o terceiro sobre o aparato experimental utilizado para as medidas de velocidade; o quarto sobre elaboração e análise de gráficos; e o quinto sobre os principais comandos do programa GRACE utilizados na análise de gráficos. 1

Mecanica particula

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Apostila da Professora de Mecânica da Partícula (laboratório).

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  • 1. INSTRUES GERAIS1. Objetivos geraisNa disciplina Fsica 1 experimental o aluno se dedicar a atividades prticas com oobjetivo de desenvolver atitudes que caracterizam a prtica experimentalista empregada emlaboratrios cientficos. Os experimentos sero orientados de modo que o aluno adquiraformao bsica para: manusear equipamentos e ler escalas; registrar dados indicando o graude confiabilidade da medida ; analisar e interpretar dados de um experimento; registrar suasobservaes de forma clara, precisa e sucinta; fazer, manualmente, grficos de tipos variadose obter relaes matemticas entre as grandezas; utilizar um programa de computador paraconstruo e anlise de grficos; aplicar a teoria bsica sobre erros e algarismossignificativos; e, finalmente, apresentar os resultados do trabalho executado no laboratrio deforma detalhada num relatrio organizado em tpicos.2. ProgramaSero realizados seis experimentos envolvendo conceitos de mecnica, onde se esperaque as medidas possuam um bom grau de confiabilidade. No primeiro experimento, sobremedidas e erros, o aluno aprender conceitos bsicos sobre como realizar medidas, estimar oerro contido nelas e calcular a propagao desses erros. No segundo , sobre anlise grfica,o aluno aprender a traar grficos manualmente, e a analis-los, realizando um experimentoque envolve conceito de cinemtica. J no terceiro experimento, ter a oportunidade deaprender como utilizar um programa de computador para traar grficos e realizar arespectiva anlise. Nos trs ltimos experimentos sero utilizadas as tcnicas de tratamentosde dados aprendidas, para verificao de conceitos de dinmica como: fora de atrito,coeficiente de restituio e conservao de momento.3. MetodologiaOs alunos dispem de duas aulas (4h no total) para realizar cada experimento. Cadaaluno deve preparar-se previamente para realizao do experimento respondendo a um pr-relatrio. No laboratrio os trabalhos sero desenvolvidos em grupos, com base em umroteiro, sob a orientao do professor e de um monitor. Cada grupo deve possuir um cadernoATA tipo ofcio para registro de dados e confeco de relatrios. Os relatrios, um por grupode trabalho, devem ser apresentados ao final de cada experimento. Os relatrios corrigidosserviro como instrumento de aprendizagem.4. Bibliografia Nesta apostila esto reunidos os roteiros dos experimentos, e cinco textos de apoio: oprimeiro sobre medidas, erros e algarismos significativos; o segundo sobre instrumentos demedida; o terceiro sobre o aparato experimental utilizado para as medidas de velocidade; oquarto sobre elaborao e anlise de grficos; e o quinto sobre os principais comandos doprograma GRACE utilizados na anlise de grficos. 1

2. Para consulta sobre o contedo terico envolvido nos experimentos indicado o livroadotado na disciplina Fsica 1, atualmente, Fundamentos de Fsica, Halliday e Resnick, Vol.1, editora LTC.5. Avaliao e Critrio de Aprovao O desempenho do aluno ser avaliado com base nos relatrios dos experimentos e emduas provas parciais. A mdia final (MF) ser calculada como: MF = 0,3 MR + 0,7 MP, onde MR amdia das notas obtidas nos relatrios e MP a mdia das notas obtidas nas provas. Para ser aprovado o aluno dever obter MP 5,0 e MR 5,0. Menes sero atribudas conforme as normas da universidade.6. Procedimentos e Posturas em um Laboratrio natural que alunos que nunca tiveram uma aula de laboratrio tenham dificuldadesdurante as primeiras aulas por no saber os procedimentos a serem seguidos. Diferente deuma aula terica, a aula em laboratrio pressupe uma habilidade ou treinamento deatividades manuais, feitas atravs de um processo gradual que se constri de forma interativa.A boa postura em um laboratrio consiste em:- Ser assduo e pontual No raro que o aluno que perde as instrues iniciais tenhaseu desenvolvimento na disciplina comprometido at o final do semestre. Procure nochegar atrasado pois isto perturba o ambiente de trabalho, provoca distraesdesnecessrias e perda de tempo considervel de todos.- Preparar-se antecipadamente para a realizao do experimento de fundamentalimportncia que o aluno saiba os objetivos do experimento, os conceitos tericosbsicos envolvidos, tome conhecimento dos equipamentos utilizados e dosprocedimentos que sero desenvolvidos para realizar o experimento com sucesso.Com essa finalidade, foi includo junto ao roteiro de cada experimento um pr-relatrio. O pr- relatrio consiste de um conjunto de questes que podero ajud-lo aentender e a planejar as suas atividades no laboratrio. Cada aluno deve se prepararpara realizao do experimento respondendo ao pr-relatrio.- Trazer o material necessrio para a prtica Alm da apostila (roteiro deexperimento) e do caderno de atas, instrumentos como caneta, lpis, borracha, rgua,esquadro e transferidor sero teis nas suas atividades no laboratrio. Venha munidotambm de uma calculadora cientfica; se possvel , que possua funes estatsticas.Para alguns experimentos, o aluno dever adquirir folhas de papel milimetrado, log-log e mono-log seguindo as orientaes dos procedimentos, de cada experimento,contidos nos roteiros desta apostila.- Utilizar corretamente o caderno de atas O caderno de atas dever ser utilizado comoum dirio de laboratrio e tambm para redao dos relatrios (ver abaixo).- No comer, no fumar e no beber no laboratrio Atitudes como estas previnemcontra pequenos e grandes acidentes, alm de permitir que as mos estejam livrespara a prtica experimental.- Manter o ambiente limpo e organizado No riscar ou escrever nas mesas, jogar olixo na cesta, no jogar papis ou objetos slidos na pia.2 3. 7. Uso do Caderno de AtasO caderno de atas como um dirio de laboratrio uma memria das atividadesdesenvolvidas no laboratrio. Com esta finalidade, o seu uso correto consiste em:- Abrir o caderno logo no incio da prtica, e mant-lo aberto at o trmino;- Registrar data, hora e atividade que est iniciando;- Registrar tudo no caderno de atas: os objetivos do experimento, as caractersticasparticulares dos equipamentos, objetos e/ou kits utilizados, os detalhes do trabalhoexecutado no laboratrio escrito de forma clara, que possibilite a repetio doexperimento nas mesmas condies, as tabelas de dados, os clculos intermedirios,etc...No use folhas de papel avulsas.A apresentao detalhada do trabalho executado no laboratrio feita com a redaodo relatrio.8. Relatrios O relatrio deve ser organizado em tpicos que facilitem sua leitura e compreenso, ecuja seqncia reflete o curso natural de realizao de um experimento. Aps escrever ottulo e a data de realizao do experimento, deve-se deixar claro quais so os OBJETIVOS aserem alcanados. A seguir, importante entender de que forma o material dever ser usadopara atingir os objetivos, ou seja, quais os PROCEDIMENTOS a serem adotados para serealizar o experimento. Neste item deve-se fornecer informaes que ligue a teoria, oequipamento e os objetivos de forma a deixar claro a idia que motivou esse ou aqueleprocedimento experimental. Uma listagem do MATERIAL utilizado, contendo algum tipo deidentificao de cada item mais importante sempre til para que se possa localiz-los senecessrio. Registre no s os DADOS EXPERIMENTAIS em forma de tabelas e/ougrficos, mas tudo o que parecer importante para o prximo passo. Na ANLISE DOSDADOS deve-se reavaliar os resultados obtidos e compar-los, seja com a teoria, seja com oresultado de outro mtodo utilizado. Deve-se fazer uma anlise crtica do experimento, dasfontes de erro e dos resultados. A utilidade das observaes depender da margem de erro dasmedidas. O ltimo passo redigir uma CONCLUSO, sumariando os principais resultados,a anlise, a validade ou no do experimento e o que foi possvel aprender com ele. Deve-se encarar as atividades no laboratrio sob a perspectiva correta. Trata-se deuma atividade cientfica, ainda que bastante rudimentar, e neste caso, organizao, tanto doespao fsico, como das aes muito importante para o bom desempenho dos experimentos.3 4. EXPERIMENTO I MEDIDAS E ERROSIntroduoNa leitura de uma medida fsica deve-se registrar apenas os algarismos significativos,ou seja, todos aqueles que a escala do instrumento permite ler mais um nico algarismoestimado, quando isso for possvel. Alm disso necessrio informar o grau deconfiabilidade da medida. Por isso, o resultado de uma medida deve ser expresso comoX= X X u , onde X representa a melhor estimativa, X a incerteza na determinaoe u a unidade de medida.Numa medida direta, X a mdia aritmtica dos valores medidos e X o erroexperimental calculado como a soma dos erros instrumental e aleatrio. O erro instrumentaldepende do tipo de instrumento utilizado: se analgico, o erro a metade da menor diviso daescala; se digital, o erro a prpria preciso do instrumento. O erro aleatrio calculadocomo o desvio padro da mdia: m= X i X 2 / 1 Numa medida indireta X obtido pela operao com as melhores estimativas dasgrandezas medidas e X obtido pela utilizao das regras de propagao de erros. Asequaes do erro mximo propagado para as principais operaes so:(a) Adio e subtrao : (X + Y) = X + Y e (X-Y) = X + Y.(b) Multiplicao e diviso: Se A = X Y ou A = X/Y ento A= A ( X/X + Y/Y )O erro em uma medida define a posio do algarismo duvidoso, determinando, ento,o nmero de algarismo significativo da medida. Assim sendo, qualquer erro deve serexpresso com apenas um algarismo significativo.Ao escrever-se um resultado experimental na forma X= X X esta informando-seo intervalo de valores provveis X X X X X , para a grandeza X. O errorelativo ( E =X/ X ) uma forma de avaliar a preciso de uma medida, e pode serapresentado na forma percentual. Ao comparar dois resultados experimentais de umagrandeza diz-se que h discrepncia significativa entre os resultados se no houversuperposio dos intervalos de valores provveis.PR-RELATRIOProcure desenvolver as questes abaixo estudando o texto sobre Medidas, Algarismossignificativos e Erros no final da apostila.1)Defina:(a) preciso;(b) acurcia;(c) discrepncia.2)Caracterize:(a) erro instrumental;(b) erro sistemtico;(c) erro aleatrio.4 5. 3) Seguindo a regra adotada neste curso, indique o erro instrumental de:(a) uma rgua milimetrada;(b) um paqumetro cuja menor diviso 0,05 mm;(c) um micrmetro cuja menor diviso 0,01 mm;(d) uma balana digital cuja "menor diviso" 0,1 grama;(e) um cronmetro digital cuja "menor diviso" 0,01 segundo.4) Escreva a expresso matemtica que, do ponto de vista estatstico, melhor estima o erroaleatrio de uma medida repetida N vezes?5) Na tabela abaixo so apresentados valores para o comprimento de um objeto. As medidasforma feitas com uma rgua milimetrada, portanto, o erro instrumental L=0,05cm.L (cm) 3,703,70 3,653,703,70 3,753,753,753,65 3,75Determine:(a) O valor mdio do comprimento;(b) O desvio padro;(c) O desvio padro da mdia;(d) O erro aleatrio provvel;(e) Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.6) Na tabela abaixo so apresentados valores para o comprimento do mesmo objeto, s quemedidos com erro instrumental L = 0,003cm. L (cm) 3,7103,715 3,705 3,6953,725 3,7253,705 3,715 3,710 3,715. Determine:(a) O valor mdio do comprimento;(b) O desvio padro;(c) O desvio padro da mdia(d) O erro aleatrio provvel;(e) Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.7) H discrepncia significativa entre os resultados das medidas de comprimento (5) e (6)? Calcule o erro relativo percentual de cada uma e identifique a medida mais precisa.8) A tabela a seguir apresenta os valores medidos dos lados de uma placa de acrlico.Lado A (mm)Lado B (mm)34,75 0,03 58,20 0,03Calcule: 5 6. (a) O valor da rea da placa; (b) O erro propagado na determinao da rea; (c) Escreva o resultado final da medida da rea de acordo com a teoria de erros.Como parte da atividade que precede o experimento, necessrio que voc leia comateno o roteiro do experimento I . Verifique se as perguntas e orientaes contidas noroteiro fazem sentido para voc. Se isto no acontecer procure esclarec-las prontamente paraque no venham a perturbar o andamento das medidas. Um estudo prvio do roteiro fundamental para realizar as suas atividades no laboratrio. Procure fazer um planejamento,ou um sumrio, das atividades que voc deve desenvolver no laboratrio.ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1. Objetivos Determinar o volume e a densidade de um objeto com formato geomtrico regular.2. Material Utilizado i) Uma placa retangular com um furo circular, ii)um paqumetro, iii) um micrmetro, iv)uma balana digital Deve-se registrar no caderno ata as caractersticas fundamentais de cada item domaterial, tais como:Marca, modelo, preciso, fundo de escala, sua funo no experimento,...3. Procedimentos, Dados e Anlises ExperimentaisAbra o caderno ata, registre data, hora e atividade que est iniciando.Liste o material utilizado anotando o nmero do kit e algum tipo de identificao decada componente, que o distinga dos demais encontrados no laboratrio. Identifique o objetoa ser medido. Isto importante para o caso de precisar localiz-los para repetir o experimentoe checar os dados obtidos.Verifique se voc sabe como manusear cada instrumento de medida. Caso voc tenhaalguma dvida sobre como fazer a leitura, releia o texto sobre algarismos significativos naseo Medidas, Algarismos Significativos e Erros no final da apostila. Caso voc nuncatenha manuseado um paqumetro e/ou um micrmetro, primeiro leia os textoscorrespondentes a esses instrumentos na seo Instrumentos de Medida no final daapostila. Em seguida procure saber com o professor ou monitor, qual o procedimento corretopara a sua utilizao. Caso persista alguma dvida, leia o texto novamente, e discuta com oscolegas de seu grupo. S depois disso faa uso dos equipamentos.Anote a preciso de cada um dos instrumentos de medida utilizados.Mea uma das dimenses geomtricas do objeto (por exemplo, o comprimento dolado A) usando o instrumento mais apropriado, ou seja, aquele que melhor se ajusta queladimenso do objeto e permita fazer a medida com maior preciso. Observe que o processo demedida envolve pegar o objeto e ajustar o aparelho sobre ele. Para verificar se o objeto 6 7. realmente regular ou o aparelho de preciso capaz de detectar alguma irregularidade nadimenso medida, necessrio ajustar o aparelho em pontos distintos do objeto, registrar ovalor lido e observar se houve alguma variao. Se houve diferena entre as medidas feitas namesma dimenso, verifique primeiro se houve alguma falha no procedimento de medida. Seno houve falha, realize uma srie de no mnimo dez medidas para aquela dimenso a fim deestimar o valor mdio e o erro aleatrio. Registre as medidas de cada dimenso conformetabela abaixo: Tabela 1.: Medidas das dimenses da placa retangular com furo circular.Lado A(cm) A1 A2A3A4A5A6A7A8A9A10 AAinst AaleLado B(cm) B1 B2B3B4B5B6B7B8B9B10 BBinst Bale ------------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ------O resultado da medida de cada dimenso deve ser escrito segundo a teoria de erros comoX= X X u onde, X o valor mdio, X o erro experimental e u a unidade demedida. Para medir o volume do objeto necessrio medir os lados da placa, a espessura e odimetro do furo. Siga o procedimento descrito anteriormente para medir e anotar os dadosde cada uma das dimenses do objeto. O resultado da medida do volume deve ser expresso como V=V V u, onde V a melhor estimativa, V a incerteza e u a unidade da medida. Como essa umamedida indireta, utilize as regras de propagao de erros para determinar o erro experimental(V). Mea a massa do objeto e registre o resultado da medida como M = M M. Calcule a melhor estimativa e a incerteza na medida da densidade. Escreva oresultado da medida da densidade de acordo com a teoria de erros ( = ) . Compare o erro relativo percentual da massa com o do volume e identifique qual dasmedidas deu a maior contribuio para a incerteza na medida da densidade. Compare o valor calculado com valores de densidade tabelados encontrados naliteratura e procure inferir que material esse. Compare o seu resultado da medida de densidade com os resultados de outros grupose verifique se houve discrepncia significativa entre eles.4. ConclusoInforme os valores encontrados para o volume e a densidade do material. Comente apreciso dos seus resultados. Comente se houve discrepncia significativa entre os seusresultados e os de outras equipes.7 8. OBJETIVOS DIDTICOS DO EXPERIMENTO:Neste experimento o aluno aprender: - a associar a toda medida um grau de incerteza; - a distinguir os diferentes tipos de erros, em particular, o erro instrumental e o aleatrio; - a utilizar as regras da teoria de erros e as de algarismos significativos no tratamento de dados; - a utilizar as regras de propagao de erros para calcular erros associados a grandezas medidas indiretamente; - a utilizar os conceitos de preciso, discrepncia e acurcia para analisar e comparar resultados experimentais.8 9. EXPERIMENTO II ANLISE GRFICA E MOVIMENTO NUMPLANO INCLINADOIntroduoO movimento no plano inclinado foi escolhido para introduzir e discutir algunsmtodos grficos de aplicao geral em vrios ramos da cincia, e por este motivo sugerimosque o experimento seja realizado concentrando a ateno do aluno nos mtodos utilizados ena anlise feita com eles.Neste experimento utiliza-se um plano inclinado com atrito to pequeno que pode serconsiderado desprezvel. Para descrever a cinemtica de um movimento precisa-se sabercomo a posio e a velocidade evoluem com o tempo. Os comportamentos da posio e davelocidade, com o tempo, podem ser visualizados em grficos e a equao matemtica podeser obtida pela anlise dos grficos. O mtodo de analise de grficos feitos manualmenteconsiste em: 1) fazer um grfico em papel milimetrado e a partir do formato da curva sugeriruma equao que relacione as variveis envolvidas; 2) se o grfico no for uma reta, fazeruma mudana apropriada de variveis com o intuito de linearizar a funo; 3) traar o grficoda funo linearizada e determinar os coeficientes da expresso; 4) escrever a equao obtidaexperimentalmente, atribuir um significado fsico aos coeficientes e comparar o resultadofinal com a previso feita pela teoria.PR-RELATRIO Faa uma reviso sobre a cinemtica do movimento em uma dimenso e responda asquestes abaixo.1) Defina operacionalmente a posio.2) Defina operacionalmente a velocidade instantnea.3) Diga como proceder para determinar a inclinao de um plano.4) Determine a acelerao de um corpo num plano inclinado sem atrito.5) Descreva a expresso que nos d a posio do corpo, ao longo do plano, em funo do tempo (considere que o corpo partiu do repouso no topo do plano).6) Descreva a expresso que nos d a velocidade do corpo em funo do tempo.7) Descreva a expresso que nos d a velocidade do corpo em funo da posio ao longo do plano.Antes de prosseguir, leia atentamente o texto sobre Elaborao e Interpretao de Grficos no final da apostila.1) Que cuidados devem ser tomados na elaborao de um grfico?Leia com ateno o roteiro do experimento II.1) Apresente os objetivos do experimento.2) Enumere as atividades que voc vai desenvolver. 9 10. ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1. Objetivos Utilizar a anlise grfica para descrever a cinemtica de um corpo em um plano inclinado, com atrito desprezvel. A partir da anlise grfica determinar a acelerao da gravidade local.2. Material Utilizado Os detalhes da montagem experimental so dados no texto de apoio sobre o Aparato Experimental para Medidas de Velocidade. No relatrio o aluno deve relacionar o equipamento utilizado apresentando suas caractersticas fundamentais, fazer um esboo da montagem e indicar as configuraes do sistema eltrico que foram utilizadas para fazer as medidas.3. Procedimentos, Dados e Anlises ExperimentaisPrimeiramente necessrio assegurar-se de que o trilho esteja perfeitamente na horizontal. Isso pode se feito ligando-se a fonte de ar comprimido e deixando o corpo em formato de Y invertido flutuar sobre a pista. O trilho estar na horizontal se o corpo no mostrar nenhuma tendncia de movimento. Um parafuso na extremidade do trilho permite regular a sua inclinao de forma a deix-lo na horizontal. Utilize o bloco cilndrico de alumnio para levantar uma das extremidades do trilho de ar. Mea a altura do bloco para quantificar a inclinao do trilho. importante que se determine o seno do ngulo de inclinao do trilho, este dado ser usado na obteno da acelerao do corpo no plano inclinado.Familiarize-se com o equipamento. O equipamento permite medir o tempo transcorrido em funo da distncia percorrida. O trilho de ar possui uma escala milimetrada que pode ser usada para registrar a posio do corpo. Numa das extremidades da pista foi acoplado um eletroim que, quando desenergizado, libera o corpo. Um cronmetro digital, ligado ao eletroim e a um sensor tico, registra o intervalo de tempo. O sensor tico posicionado a uma certa distncia do ponto de partida registra a passagem do corpo. Quando o feixe de luz infravermelha interrompido, um sinal enviado para parar ou acionar o cronmetro digital. Uma chave no circuito eltrico seleciona o modo de disparo do cronmetro. Primeiro determina-se como a posio do corpo varia em funo do tempo medindo-se o tempo transcorrido para o corpo percorrer uma determinada distncia. Faz- se a medida para 10 posies distintas ao longo do trilho, de modo a ter 10 pares de posio e tempo associados (x, t).Para registrar o tempo transcorrido para o corpo percorrer uma determinada distncia necessrio posicionar o sensor exatamente nesta distncia. Para isto segura-se o corpo na posio desejada e movimenta-se o sensor at que a luz seja interrompida. Um LED vermelho acende quando o feixe de luz infravermelho interrompido. Observando o indicador pode-se colocar o sensor na posio desejada. Com a chave CH1 na posio B e o cronmetro na configurao: _|, o cronmetro ser disparado quando o corpo for liberado pelo eletroim e parado quando a passagem do corpo interromper o feixe de luz.10 11. Ajusta-se a altura do sensor para que o feixe seja interrompido pela aleta posicionadasobre o corpo na parte frontal.Em seguida, determina-se como a velocidade varia em funo da posiomedindo-se o tempo (t) que o carrinho leva para percorrer uma distncia pequena (x)em torno da posio escolhida. A velocidade quase instantnea dada por v = x/t.Faz-se a medida para as mesmas 10 posies escolhidas anteriormente, de modo a ter 10pares de posio e velocidade associados (x,v).Para medir este intervalo de tempo a posio da chave CH1 mudada para A e aconfigurao do cronmetro para: |_| . Assim, a cronometragem se inicia quando o feixede luz bloqueado pela aleta e termina assim que ele desbloqueado. Mede-se a largurada aleta para determinar x. Ajusta-se a altura do sensor para que o feixe seja bloqueadopela aleta.Recomenda-se que as medies sejam feitas na seqncia, isto , mede-se (x, t) eento (x, t ), aps cada ajuste de posio do sensor.Uma tabela de dados da velocidade em funo do tempo montadacorrelacionando os dados dos dois procedimentos anteriores.Sugesto para o registro dos dados experimentaisInclinao da pistaLMedida do comprimento L = HMedida da alturaH= Figura 1 Mostra-se a Inclinao sen = H/L (H/L) da pista.Tabela 1.: Medida do tempo t em funo do espao percorrido S. Para um corpo emmovimento num plano inclinado sem atrito.Tempo transcorrido (seg) S(cm) t1t2t3 ......tn tmedtale tinst10,020,030,040,050,060,070,080,090,0100,0Tabela 2.: Medida do intervalo de tempo t para o corpo percorrer a largura da aleta emfuno da posio S desta.Intervalo de tempo (seg) 11 12. S(cm) t1t2t3.... tn tmed tale tinst 10,0 20,0 30,0 40,0 ....... 80,0 90,0 100,0Medida da largura da aleta L=Sugesto para conduzir a anlise de dados3.1. Clculo da velocidade instantnea.Operacionalmente a velocidade instantnea pode ser determinada como L / t, onde L a largura da aleta e t o intervalo de tempo registrado na segunda tabela. Calcule asvelocidades instantneas e construa uma tabela com trs colunas: o tempo, a posio e avelocidade instantnea correspondentes. Tabela 3.: Posio e velocidade instntanea do corpo no trilho inclinado e o tempo correspondente. Tempo (s) Posio (cm) Velocidade (cm/s) ..................Observao: Todos os dados da tabela deve ser escritos como X = Xmdio X. Como avelocidade foi determinada indiretamente, deve-se fazer a propagao de erros do quocienteL / t para estimar o erro na medida da velocidade.3.2. Construa o grfico de velocidade versus tempo em papel milimetrado. Analise o grfico.O grfico uma reta? Qual a forma geral da equao que relaciona as variveis V e t?Determine os valores e as unidades do parmetro linear e do parmetro angular. Qual osignificado fsico de cada parmetro? Qual foi a equao obtida experimentalmente pararepresentar a relao entre V e t? Esta equao indica que o movimento uniformementeacelerado? No plano inclinado, a acelerao do corpo depende da inclinao do plano e dovalor da acelerao da gravidade local ( g ). Com os valores determinados para ainclinao do plano e a acelerao do corpo estime o valor de g.3.3.Construa um grfico de posio versus tempo em papel milimetrado. Analise o grfico.O grfico uma curva voltada para cima? Este comportamento sugere que S sejaproporcional a uma potncia de t. Supe-se que S = c tn com n>1, onde c e n so constantesque precisam ser determinadas. A determinao destas constantes feita utilizando-se oartifcio de linearizao da funo. Aplicando logaritmo nos dois membros da equaoobtm-se log S = log c + n log t. Isto significa que traando-se um grfico de S verus t em12 13. papel log-log obtm-se uma reta, onde o parmetro angular a potncia de t e o parmetrolinear igual a log c, isto , o ponto de corte no eixo das ordenadas c.3.4. Construa o grfico de posio versus tempo em papel log-log. Analise o grfico.O grfico uma reta? Os valores de c e n so determinados sabendo-se que o grfico uma representao da equao linearizada log S = log c + n log t. Assimi) n o coeficiente angular, calculado como a inclinao geomtrica da reta. Isto,porque as escalas nos eixos das ordenadas e abscissas so iguais.ii) Quando t=1 tem-se log t =0 e resulta que log S = log c, ou seja S = c. Isto ,obtm-se o valor de c por extrapolao da reta para t=1.Substituindo os valores de c e n na expresso S = c t n, escreve-se a equao querepresenta a relao entre S e t.Esta equao descreve um movimento uniformemente acelerado? Qual o significadofsico da constante c? Obtenha o valor da acelerao da gravidade, tendo em vista osignificado da constante c.At este ponto, espera-se ter conseguido mostrar que o movimento uniformementeacelerado. Sendo assim, a equao que relaciona a velocidade com o espao percorrido tema forma v2=v02 + 2 a S. Sabendo que 2 a potncia de v, utiliza-se outro artifcio delinearizao, que consiste em traar um grfico em papel milimetrado de v2 em funo de S.O que confirmar um movimento uniformemente acelerado.3.5 Construa uma tabela do quadrado da velocidade em funo da posio e depois construao grfico do quadrado da velocidade versus posio em papel milimetrado. Analise o grfico. O grfico uma reta? Qual a forma geral da equao que relaciona as variveis v2 e S?Qual o valor e a unidade do parmetro linear? E do parmetro angular?. Qual o significadofsico de cada parmetro? Qual foi a equao obtida experimentalmente para representar arelao entre v2 e S? Qual o valor da acelerao da gravidade local (g) obtida a partirdestes dados?Observao: o erro associado a v 2 dado por (v2) = 2 v v. Use a expresso quedetermina o erro numa multiplicao e obtenha este resultado.4. ConclusoEscreva as equaes v = f(t); S = f(t) e v = f(S) obtidas experimentalmente. Asequaes revelam que o movimento uniformemente acelerado? Qual o valor encontradopara a acelerao do corpo no plano inclinado? Qual o valor encontrado para a acelerao dagravidade no local? 13 14. EXPERIMENTO III ANLISE GRFICA ATRAVS DO COMPUTADORIntroduo Neste experimento o aluno aprender a trabalhar com grficos no computador erealizar a anlise grfica atravs de um programa, bastante poderoso e muito utilizado porpesquisadores nas universidades. Nosso objetivo usar alguns desses recursos parainterpretar nossos resultados, e aprofundar os conhecimentos sobre ajuste de curvas. No teremos necessariamente que trabalhar com equipamentos para obter resultadosexperimentais, j que os dados a serem trabalhados correspondem aos valores obtidos noexperimento II, mas nem por isso o experimento pode ser considerado de menor importncia.As atividades desenvolvidas apresentam nuances de laboratrio de pesquisa que outrosexperimentos no tm. Por exemplo, neste experimento voc poder perceber a importnciado bom registro de dados em um livro ata. Os resultados obtidos devem ser basicamente osmesmos do experimento II. As diferenas que voc observar podem indicar um melhorresultado atravs do computador, j que neste caso as anlises so basicamente numricas,sem subjetividade, mas tambm pode indicar um resultado muito pior, devido a um usoinadequado do computador. Assim, o uso de resultados anteriormente trabalhados serve parailustrar algumas situaes em laboratrio. Para o bom desenvolvimento das atividades recomendvel que voc faa otreinamento sugerido no pr-relatrio, para familiarizar-se com os procedimentos bsicos deutilizao dos computadores nos laboratrios de ensino e com os principais comandos doprograma GRACE.PR-RELATRIO Reveja os conceitos e resultados sobre cinemtica do movimento em uma dimenso.1) Escreva as equaes que caracterizam um movimento uniformemente acelerado : 1 - Expresso da posio do corpo em funo do tempo. 2 - Expresso da velocidade em funo do tempo. 3 - Expresso da velocidade em funo da posio.2) Escreva a expresso que relaciona a acelerao de um corpo num plano inclinado com a inclinao do plano.Leia na pgina seguinte o item: INSTRUES PARA USO DOS COMPUTADORESNOS LABORATRIOS DE ENSINO. Texto contendo mais detalhes voc encontra nolaboratrio de Fsica 1 Experimental: Referncia Rpida do Grace. Passe no laboratrio,pegue com o tcnico o nome de usurio e a senha que correspondem ao seu cadastro na redeLinux (LabFis). Faa um treinamento seguindo as instrues do texto para construir eanalisar o grfico de posio versus tempo correspondente aos dados da tabela abaixo.14 15. Tabela.: Posio versos tempo no movimento de um corpo.T(s) 0,1s1,0 2,0 3,04,05,0 S(cm) 0,2cm6,7 9,312,3 14,817,8a) Qual foi a equao obtida pelo ajuste linear no computador?b) Qual o significado fsico do parmetro linear? Qual o significado fsico do parmetro angular?c) Qual a posio inicial do objeto? Qual a velocidade do objeto?Leia com ateno o roteiro do experimento III para fazer um planejamento doexperimento.1) Quais so os objetivos do experimento?2) Enumere as atividades que voc vai desenvolver, listando-as numa seqncialgica. INSTRUES PARA USO DOS COMPUTADORES NOSLABORATRIOS DE ENSINO1. Ligue o monitor, a CPU j est ligada.2. Entre com o nome do usurio e a senha, que voc deve solicitar ao tcnico do laboratrio.3. Na tela do monitor aparece a janela de inicializao do KDE. Espere at aparecer a janela Bem-vindo ao Mandriva, feche esta janela.CRIANDO UM ARQUIVO DE DADOS1. Na rgua horizontal na parte inferior do vdeo clique no primeiro cone, correspondente ao start application.2. Na caixa de dialogo que se segue selecione application; editors; Kwrite (text editor). Aparece a janela do editor de texto com o cursor na primeira linha.3. Entre com os dados em quatro colunas: x, y, x, y, separadas por tabulao. Digite os dados usando ponto e no vrgula. Exemplo: 1.23 e no 1,23. Digite linha por linha e d enter a cada final de linha, inclusive na ltima linha. Observao: Se no quiser incluir os erros, entre com os dados em duas colunas: x, y.4. Para salvar os dados, clique em File na rgua horizontal superior do editor de texto. Escolha a opo Salve, e salve o arquivo colocando um nome e extenso .dat (exemplo: grfico1.dat).5. Feche ou minimize a janela do editor de texto. 15 16. FAZENDO UM GRFICO NO GRACEPara iniciar o programa e abrir a janela principal1. Clique no primeiro cone, correspondente ao start application, na rgua horizontal na parte inferior do vdeo.2. Na caixa de dialogo que se segue selecione application;Sciences;other;grace. Aparece no vdeo a janela principal do GRACE.Para ler os dados da tabela criada anteriormente1. Clique em Data, na rgua horizontal superior, escolha a opo Import e em seguida, escolha a opo ASCII.2. Na janela que se abre a seguir, na caixa de dilogo Files, ao lado de Directories, procure e selecione o arquivo . dat criado anteriormente. Caso o arquivo no tenha sido encontrado acrescente na caixa de dilogo Selection onome correto do arquivo. Exemplo: ..Documents/grfico1.dat3. Na caixa de dilogo Set type, escolha o tipo de grfico: para o grfico com barras de erro selecione XYDXDY, para duas colunas, selecione XY.4. Clique no boto OK.5. Feche a janela.O grfico que aparece na tela do computador pode mostrar os dados experimentaisrepresentados por smbolos e pelas barras de erro, e uma linha que une os pontos dois a dois.A aparncia do grfico deve ser melhorada para mostrar apenas as barras de errosrepresentando os dados e uma reta que representa o melhor ajuste dos dados experimentaisfeito pela regresso linear. Retira-se, ento, os smbolos dos pontos e a linha. Faz-se aregresso. Ajusta-se as escalas, incluem-se ttulo e legendas nos eixos, para que o grficofique com a aparncia dos grficos encontrados em trabalhos cientficos. Faa isso seguindoas instrues:Para melhorar a aparncia do grfico1. D um clique duplo no campo do grfico que se deseja melhorar. Por exemplo, para incluir legendas nos eixos, d um clique duplo sobre um eixo. Com isso, abre-se uma janela contendo vrias pastas. Na pasta Main, preencha o campo correspondente para a legenda e clique no boto apply. Para incluir legenda no outro eixo, clique no boto que indica o eixo em considerao e selecione o outro eixo.2. Para alterar o tipo de ponto ou de linha, d um clique duplo sobre a linha do grfico ou sobre um ponto especfico. Com isso abre-se uma janela com vrias pastas. Na pasta Main, escolha o tipo de ponto, no campo Symbol properties. No campo Line properties, escolha o tipo de linha.3. Para alterar as barras de erros, d um clique duplo sobre um ponto, e na janela que se abre, selecione a pasta Error bars.4. Para mudar a escala de linear para logartmica e vice-versa, clique sobre a escala, e na janela que se abre, mude a opo de escala.5. Para incluir um ttulo, d um clique duplo na parte superior do grfico e na janela que se abre, na pasta Main, preencha o campo Title e se desejar o campo Sbtitle.16 17. Para fazer a regresso linear (ou outra)1. Clique em Data na rgua horizontal superior2. Nas opes que se abrem, escolha Transformations, e nas novas opes escolhaRegression.3. Na caixa de dilogo da nova janela, selecione o arquivo ou conjunto de dados.4. Escolha o tipo de regresso desejada, clicando no boto Type to fit.5. Clique no boto Accept.6. Os parmetros ajustados, so abertos na janela console, que voc pode salvar em umarquivo, clicando a tecla save. Esta mesma janela, console, pode ser aberta clicando emwindows na barra horizontal superior, e em seguida em console.7. Em geral, os valores dos parmetros aparecem com vrios algarismos. Use a barra derolamento direita na janela console para encontrar o erro associado determinao decada parmetro. E assim, definir o nmero de algarismos significativos. Exemplo: Regression Constant (Intercept) = 3.977143Standard error of Constant = 0.02643694 Significa que a incerteza estimada para o ponto de corte 0,03 e o valor deve ser registrado como 3,98.8. Copie a equao como subttulo do grfico.Para salvar o seu trabalho1. Clique em File; Save as;2. No campo Selection da janela Grace: Save Project, digite o nome do arquivo que conter o seu trabalho. Ao salvar um arquivo inclua a extenso .agr aps o nome do mesmo pois esta a extenso que o Grace reconhece.3. Clique OK.Para imprimir o seu trabalho1. Clique em File; Print.Encerre a sesso, fechando todas as janelas abertas; Clique no cone start applications,selecione Logout e d ok.ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1. Objetivos Construir e analisar grficos no computador utilizando o programa GRACE.2. Material UtilizadoComputadores com sistema operacional Linux, editor de texto Kwrite e programaGRACE.3. Procedimentos, Dados e Anlises Experimentais17 18. As atividades a serem desenvolvidas sero baseadas nas medidas efetuadas noexperimento II. Portanto, registre como dados experimentais a tabela 3 com os dados deposio e velocidade instantnea em funo do tempo. Voc vai precisar tambm da medidado sen , o ngulo de inclinao da pista. Siga passo a passo, as etapas da anlise grficaapresentada a seguir. Consulte o texto referncia rpida do Grace para instrues maisdetalhadas sobre o uso do programa .Etapa 1: (grfico v versus t)1) No editor de texto, crie um arquivo com os dados de velocidade e tempo com as colunas na seqncia t, v, t, v.2) Abra o arquivo no Grace e melhore a aparncia do grfico de velocidade versus tempo. Faa e regresso linear. Anote a equao que resulta do ajuste. Salve o grfico e Imprima para anexar na ata. Faa as anlises: Qual o valor e o significado fsico do ponto de corte? Qual o valor e o significado fsico da inclinao? A equao obtida a mesma do experimento II? Determine o valor de g usando os dados da regresso e compare com o obtido no experimento II. Justifique as possveis diferenas.Etapa 2: (grfico x vs t)3) Esconda o grfico anterior. Clique em Main: Data/ Data set operations, na janela que se abre, selecione o conjunto de dados a serem escondidos, clique no boto da esquerda do mouse e na lista que se abre, clique em Hide. Algumas vezes este comando no funciona bem, ento a melhor opo fechar o GRACE antes de iniciar um novo trabalho.4) No editor de texto modifique o primeiro arquivo de dados, retirando as colunas dos erros de v e t e acrescentando uma coluna com as posies. Salve este arquivo com outro nome.5) Use o arquivo modificado para abrir o grfico de posio versus tempo. Como agora a tabela tem trs colunas, para l-la no GRACE clique em data; Import; ASCII e na janela que se abre, selecione o arquivo desejado na caixa de dilogo Files, clique no boto esquerda, dentro da janela com os dizeres single set sobre o boto (e load as: ao lado do boto). Com isso, abrem-se algumas opes. Escolha a opo block data no lugar de single set. Por fim, clique OK. Deve se abrir novas opes, solicitando o tipo de grfico. Agora, escolha a opo XY, clicando no boto correspondente e selecione as colunas correspondentes aos eixos X e Y, clicando nos botes abaixo.6) Melhore a aparncia do grfico. Faa o ajuste com a funo potncia x= a t n. Anote a equao que resulta do ajuste. Tente tambm o ajuste com a funo quadrtica. Anote a equao. Compare os valores dos parmetros obtidos nos dois ajustes. Atribua significado fsico a cada um dos parmetros e decida qual dos dois representa o melhor ajuste. Salve o grfico com o melhor ajuste e imprima para anexar na ata.Etapa 3:(gfico x vs t em escala log-log)7) Retome o grfico de posio versus tempo, sem as curvas que representam os ajustes tentados no item 6. Faa a mudana de escala dos eixos de linear para logartimica. Depois de mudar as escalas, clique no boto As , ao lado do grfico, para fazer ajuste automtico da escala e melhorar a visualizao. Salve este grfico (a).8) Faa a regresso linear. Salve este grfico (b) Voc obteve o que esperava? Mude novamente as escalas dos eixos para linear e veja a curva correspondente aos pontos experimentais e a curva correspondente regresso linear. O que acontece? Que concluso voc pode tirar? Esconda este grfico.18 19. 9) Abra o grfico (a) e faa um ajuste com a funo potncia x= a t n. Que curva vocvisualiza neste grfico com escalas logartmicas? Por qu? Salve este grfico (c). Tenteum ajuste por polinmio de grau 3 ou 4. O importante aqui verificar se os resultadoscorrespondem aos que voc esperava. Veja os valores dos coeficientes e discuta com seuscolegas se so razoveis. Tente um ajuste por uma funo exponencial. O que vocobserva visualmente? Voc deve ter percebido que a curva correspondente regressolinear, quando apresentada em grfico com as duas escalas logartmicas, no uma reta, (a menos que o coeficiente linear seja zero), mas a curva correspondente ao ajuste porfunes potncia, quadrtica, ou polinomiais so visualizadas como retas em grficoscom as duas escalas logartimicas.10) Decida qual o melhor ajuste. Atribua significado fsico a cada um dos parmetros dafuno ajustada. Salve e imprima o grfico com o melhor ajuste para anexar a sua ata.11) A equao obtida a mesma da etapa correspondente no experimento II? Determine ovalor de g usando os dados da regresso e compare com o obtido no experimento II.Justifique as possveis diferenas.Etapa 4:(grfico v2 vs x)12) Esconda o grfico anterior.13) Retome o segundo arquivo para abrir o grfico de velocidade versus posio no GRACE.14) Siga as instrues na seo como manipular um conjunto de dados no texto Resumode comandos para transformar v (no eixo y) em v2. Lembre-se que a funo y2 noGRACE tratada como y^2.15) Se voc obteve a curva esperada, melhore a aparncia do grfico colocando ttulo elegendas nos eixos.16) Faa a regresso linear. Salve o grfico e Imprima para anexar na ata. Faa as anlises:Qual o valor e o significado fsico do ponto de corte? Qual o valor e o significado fsicoda inclinao? A equao obtida a mesma da etapa correspondente do experimento II?Determine o valor de g usando os dados da regresso e compare com o obtido noexperimento II. Justifique as possveis diferenas.Etapa 5: (grficos v vs t e x vs t)17) Mate todos os dados anteriores antes de prosseguir (clique em Main:Data/Data setoperations, na janela que se abre, selecione o conjunto de dados, clique no boto daesquerda do mouse e na lista que se abre, clique em kill data).18) Retome a tabela criada na etapa 2, para ler a tabela com trs colunas (clique Data; Import;ASCII e na janela que se abre, selecione o arquivo desejado na caixa de dilogos Files),clique no boto ( esquerda, dentro da janela), com os dizeres single set sobre o boto (eload as: ao lado do boto). Com isso, abre-se algumas opes. Escolha a opo NXY nolugar de single set. Por fim, clique OK. Voc consegue ver os dois grficos (x vs t e vvs t) que representam um movimento uniformemente acelerado simultaneamente? Salveeste grfico e imprima para anexar ao seu relatrio.4. ConclusoFaa sua concluso tendo em vista os experimentos II e III.19 20. EXPERIMENTO IV FORA DE ATRITOIntroduoO atrito surge sempre que as superfcies de dois corpos deslizam-se ou tendem adeslizar uma sobre a outra. O valor da fora de atrito depende, da natureza e das condiesdas duas superfcies envolvidas.O atrito tambm est presente quando um corpo desloca-se em um meio fluido. Esse o caso de um carro em movimento onde o atrito aparece como sendo a resistncia que o aroferece a esse movimento. A fora de atrito em fluidos mais complexa de ser obtida vistodepender da velocidade e da forma do corpo em movimento.Neste experimento voc estudar apenas o atrito de deslizamento existente entresuperfcies de corpos slidos.Voc j deve ter visto em alguma etapa da sua formao escolar a afirmao de que afora de atrito entre duas superfcies proporcional fora normal, ou dito de outra maneira:Fatrito = N, onde a constante de proporcionalidade conhecida como coeficiente de atrito.Faremos um grfico de F versus N para verificar se F e N so de fato diretamenteproporcionais, e depois investigaremos se depende da qualidade das superfcies em contato.PR-RELATRIO Procure desenvolver as questes abaixo estudando um texto sobre fora de atrito.1) Faa um diagrama das foras que agem sobre o corpo na situao abaixo, considerando que existe atrito entre as superfcies.FFigura 1. Corpo num plano horizontal sob ao de uma fora F.- Descreva o que voc espera que acontea quando lentamente comea a puxar o blocosobre a superfcie, aumentando gradativamente o valor da fora F ( a partir de F=0 ).- A fora de atrito esttica Fe (ou seja, aquela que se desenvolve quando o corpo est emrepouso relativo superfcie de contato) sempre igual a eN ?- A fora de atrito dinmica Fd sempre igual a dN ?2) Faa um diagrama das foras que agem sobre o corpo no plano inclinado com atrito, na situao abaixo.- Mostre que se o corpona figura Figura 2. Corpo num planoestiver em repouso, o inclinado.coeficiente de atritoestticosatisfaz a condio e tan .- Mostre que se o corpo estiver descendo com velocidade constante, o coeficiente de atritodinmico d = tan .20 21. 3) Descreva um procedimento simples para determinar operacionalmente os coeficientes de atrito esttico e dinmico no caso de um corpo sobre um plano inclinado. Leia com ateno o roteiro do experimento IV. Defina os objetivos do experimento. Enumere as atividades que vai desenvolver, listando-as numa seqncia lgica.ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1.Objetivos Verificar se a relao existente entre a fora de atrito e a fora normal deproporcionalidade, e ento, determinar o coeficiente de atrito entre as superfcies de algunscorpos slidos. Identificar a diferena entre a fora de atrito esttica e a fora de atritodinmica.2. Material utilizado i) Plano inclinado ii) Dinammetro com preciso de 0,05N; iii) Blocos de madeira e bloco metlico; iv) Balana digital com preciso 0,1g.3. Procedimentos, Dados e Anlises Experimentais Primeira etapa: Determinar a fora de atrito puxando um bloco sobre o planohorizontal, paralelamente superfcie, com um dinammetro. A fora de atrito estticacorresponde leitura no dinammetro enquanto o bloco estiver em repouso. A fora de atritodinmica corresponde leitura no dinammetro quando o bloco arrastado sobre a superfciecom velocidade constante (MRU).Dinammetro Na iminncia de movimento F = Fe =eNEm MRU F = FaFigura 3. Bloco num planohorizontal.Para verificar a relao entre a fora de atrito e a normal, medir a fora de atrito paradiferentes normais. A normal variada acrescentado-se blocos de pesos conhecidos sobre oprimeiro bloco.Os pesos dos blocos so determinados suspendendo-os na vertical com o dinammetro.Para cada normal escolhida repetir o procedimento de medir a fora de atrito comodescrito anteriormente pelo menos dez vezes.21 22. Traar um grfico da fora de atrito em funo da normal para a situao de atritoesttico e outro para a situao de atrito dinmico. A partir da anlise dos grficos determinara relao entre a fora de atrito e a normal e depois os coeficientes de atrito esttico edinmico. Segunda etapa: O coeficiente deatrito esttico determinado inclinando-e = tg se lentamente o plano at que o blocoentre em iminncia de movimento. A tangente deste ngulo corresponde aoFigura 4. Bloco num planocoeficiente de atrito esttico (Figura 4.). vertical.Determine o coeficiente de atrito esttico para o bloco de madeira e depois para o blocometlico utilizando este mtodo. Repetir o procedimento pelo menos dez vezes para cadabloco.Sugesto para o registro dos dados1 EtapaTabela 1.1: Pesos dos blocos: Identificao do bloco Peso (N)1234Tabela 1.2: Valores da normal obtida pela combinao de blocosCombinao de blocos Normal (N)4 4+3 4+3+24+3+2+1 4+2 4+2+1 4+3+1 4+1- Informe qual foi a regra utilizada para a determinao de erro. Tabela 1.3: Fora de atrito esttica em funo da normalNormal(N)Fora (N) F1F2 F3F4 .......F8 F9 F10 Fmed Fale F22 23. Normal(N) Fora (N)- Informe qual foi a frmula utilizada para clculo do erro aleatrio.Tabela 1.4 : Fora de atrito dinmica em funo da normalNormal(N) Fora (N)F1 F2F3 F4 ....F8 F9 F10 Fmed Fale F2 Etapa Tabela 2.1: ngulo de inclinao mnima do plano para o bloco de madeira deslizar1 23 4......nmed ale=Tabela 2.2: ngulo de inclinao mnima do plano para o bloco metlico deslizar1 23 4......nmed ale=Sugesto para conduzir a anlise de dados3.1.Construa o grfico de fora de atrito esttica versus a normal.3.2.Analise o primeiro grfico procurando responder as seguintes questes: O grfico defora de atrito versus a normal uma reta que passa pela origem? A forma geral daequao que relaciona as variveis do tipo F = A + BN ou do tipo F = B N? Quais osvalores e o significado fsico das constantes A e B ? Qual a equao obtida 23 24. experimentalmente? Pode-se afirmar que a fora de atrito diretamente proporcional normal?3.3. Construa o grfico de fora de atrito dinmica versus a normal.3.4. Faa a anlise do segundo grfico tal como foi feito para o primeiro.3.5. Compare os dois grficos: As retas tm inclinaes diferentes? Qual o significado destadiferena?3.6. Determine os coeficientes de atrito esttico e dinmico a partir da anlise dos grficos.3.7.Calcule o coeficiente de atrito esttico entre a superfcie e o bloco de madeira, e depoisentre a superfcie e o bloco metlico, usando a relao e = tg . Compare os valores obtidos.Os coeficientes de atrito so diferentes? Qual o significado da diferena?3.8.Compare as duas determinaes do coeficiente de atrito esttico para o bloco de madeira (o da 1 etapa com o da 2 etapa). Qual voc considera a melhor determinao? Porque?4. Concluso Conclua comparando os dois mtodos utilizados e seus resultados. E compare,comentando, se os resultados obtidos com os procedimentos experimentais esto de acordocom a teoria estabelecida.Observao referente ao tem 3.7: o erro da tangente no a tangente do erro. Sugiro quefaa uma estimativa do erro mximo da seguinte maneira: considere como exemplo o ngulo = 20,9 0,4 (a) determine a tangente do valor mximo de (0,390), (b) determine atangente do valor mnimo de (0,374), (c) o intervalo de valores provveis determinadopela diferena entre estes dois (0,016), (d) e o erro ser a metade deste intervalo(0,016/2=0,008). Desta forma: e = 0,382 0,008.Este procedimento pode e deve ser aplicado a outras funes tais como seno, co-seno,logaritmo, exponencial, etc... Utilize sempre que for oportuno durante este curso. 24 25. EXPERINCIA V COEFICIENTE DE RESTITUIOIntroduoNeste experimento voc estudar a coliso de um corpo, movendo-se sobre um trilhode ar inclinado, com uma mola existente na parte inferior do trilho de ar. E devercaracterizar a coliso observando o que acontece antes, durante e aps a coliso.Em Fsica, o conceito de coliso mais abrangente do que o simples choque entredois slidos. De fato, coliso pode ser pensada como qualquer interao entre dois corpos emmovimento relativo. Em conseqncia, o tpico colises estende-se, praticamente, a todasas reas da Fsica. Nele, incluem-se tanto o choque entre bolas de bilhar, como a coliso denutrons com um ncleo atmico visando liberao de energia, ou, a coliso de um fton(luz) com tomos de um cristal para estudo das propriedades vibracionais do cristal. Emverdade, todo o nosso conhecimento do mundo subatmico vem de experimentos em que sejoga o jogo da coliso, cujo principal objetivo descobrir o que for possvel sobre as forasque agem durante a coliso, sabendo o estado das partculas tanto antes quanto depois dacoliso. As regras do jogo da coliso so as leis de conservao de momento linear, momentoangular e energia.As colises so normalmente classificadas entre elsticas e inelsticas, dependendo daperda de Energia Mecnica no processo. Se no h perda durante a coliso, esta ditaperfeitamente elstica e, neste caso, o mdulo da velocidade relativa das partes que colidemse mantm aps a coliso. No extremo oposto, a coliso chamada de perfeitamenteinelstica e, neste caso, as partes que colidem se juntam e, conseqentemente, a velocidaderelativa aps a coliso zero. As colises ocorrem com diversos graus de elasticidade,dependendo do caso especfico. Com a finalidade de classificar quo elstica uma coliso,definimos o coeficiente de restituio como sendo: = vvOnde v e v so, respectivamente, os mdulos das velocidades relativas antes e aps acoliso. Assim, numa coliso perfeitamente elstica = 1, e numa coliso perfeitamenteinelstica = 0.Aproveitaremos o experimento, tambm, para estudar um exemplo de decaimentoexponencial, caracterizado por uma relao do tipo Y = C e-nX que representa muitosfenmenos fsicos. E introduziremos como ferramenta de anlise da funo exponencial umgrfico do tipo mono-log (ou semi-log). 25 26. PR-RELATRIO Estude um texto sobre colises e procure desenvolver as questes abaixo:1) Considere um corpo solto de uma altura h sobre um plano inclinado, sem atrito, que se desloca at o final do plano. Mostre, usando o princpio da conservao de energia, que a velocidade do corpo no final do plano dada por v f = 2gh .2) Considere, agora, que o corpo solto de uma altura h colide na extremidade inferior do plano, e retorna at uma altura h. Sabendo que o coeficiente de restituio em uma coliso definido como a razo entre as velocidades relativas depois e antes da coliso, mostre que = h/h .3) Mostre que no plano inclinado a altura h pode ser expressa em termos da distncia percorrida (X) ao longo do plano , e que o coeficiente de restituio pode, ento, ser determinado como = X/X .4) Faa uma anlise do que pode estar ocorrendo fisicamente, especialmente com relao conservao de energia, durante colises com os seguintes coeficientes de restituio: a) = 1 b) < 1 c) > 1 d) = 0Leia com ateno o roteiro do experimento V. Defina os objetivos do experimento.Enumere as atividades que voc vai desenvolver, listando-as numa seqncia lgica.ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1. ObjetivosMedir o coeficiente de restituio numa coliso e verificar se h perda de energiamecnica no processo. Estudar um exemplo de decaimento exponencial fazendo uma anlisegrfica do tipo mono-log.2. Material Utilizadoi)Trilho de ar com escala graduada ao longo do comprimento e mola amortecedora emuma das extremidades;ii) Tubo de ensaio preso ao corpo que desliza sobre o trilho;iii)Cilindro metlico para inclinar o trilho;iv) Balana digital;v)gua, em diversos volume no tubo de ensaio.3. Procedimentos, Dados e Anlises Experimentais 26 27. O procedimento consiste basicamente em soltar o corpo de uma posio ao longo dotrilho e registrar a posio para a qual ele retorna. O coeficiente de restituio determinadoa partir destas duas medidas e assim fica caracterizado o tipo de coliso. Se a mola nointroduz perdas na energia mecnica o coeficiente de restituio do corpo com tubo vaziodeve ser igual a 1 (um). No entanto, o comportamento da mola na base do trilho podeinfluenciar os resultados no seguinte aspecto: se o peso do corpo for muito grande ou se ocarro for lanado de uma altura h muito grande a mola poder ser comprimida alm do seulimite de elasticidade ideal, no sendo capaz de reimpulsionar o carro com a mesmaeficincia. Para facilitar as anlises dividiu-se o procedimento em trs etapas:1 Etapa Para verificar se o comportamento elstico da mola alterado durante o experimento,assim influenciando no resultado, faa as seguintes medidas:Com a pista inclinada, solte o corpo de uma determinada posio e anote a distnciaque ele alcana aps o choque com o batente. Repita ao menos cinco vezes para a mesmaposio. E depois repita o procedimento variando a posio em que o corpo solto ao longode toda a pista. Calcule o coeficiente de restituio para cada posio. Faa o grfico docoeficiente de restituio em funo da distncia que o corpo solto.Encha o tubo de ensaio completamente com gua e repita o procedimento acima.Faa o grfico do coeficiente de restituio em funo da distncia para os dois casosno mesmo papel de grfico e determine (se houver) a distncia mxima em que o corpo podeser solto sem que o comportamento da mola influencie os resultados.2 Etapa Para determinar o coeficiente de restituio em funo do volume de gua no tubo,solte o corpo sempre da mesma posio, escolhida dentro dos limites de distncia em que amola responde linearmente. Anote a posio para a qual ele retorna aps a coliso, para cadauma das seguintes volumes: tubo vazio, tubo com , , e o tubo cheio de gua. Paraajudar na sua analise observe o comportamento da gua no interior do tubo no momento dacoliso. Faa o grfico do coeficiente de restituio em funo da quantidade de gua.3 EtapaPara mostrar que a distncia que o corpo atinge aps sucessivas colises decaiexponencialmente, realize uma seqncia de medidas, com o tubo vazio, da seguinte maneira:a) Escolha um ponto inicial X0 para soltar o corpo(dentro da faixa de linearidade da mola);b) Solte o corpo que ir colidir e retornar posio X1, anote este dado.c) Em seguida, coloque o corpo nesta ltima posio X1 e solte novamente. Aps a coliso,ele atingir uma nova posio X2, anote a posio X2.d) Solte o corpo da posio X2, anote a posio X3 para a qual ele retorna. Repita o processoat que a posio X10 seja registrada.Faa um grfico em papel milimetrado da posio atingida versus o nmero dacoliso (n).Faa um grfico em papel mono-log da posio Xn (em escala logartmica ) versus onmero da coliso ( em escala linear ).Repita o procedimento acima com o tubo de ensaio preenchido at a metade e, depois,com ele totalmente cheio. 27 28. Faa os grficos dos trs casos no mesmo papel. Observe o que acontece com ainclinao das retas obtidas ao se variar a quantidade de gua no tubo. As mais inclinadascorrespondem a coeficientes maiores ou menores?Sugesto para o registro de dados experimentais1 Etapa - Definio da regio de linearidade da mola Tabela 1.: Para o tubo vazio. Volume = 0 V X (cm) X(cm) X(cm) X(cm) X (cm)Xmed(cm) = x/x20,0030,0040,00........90,00 100,00 110,00Obs.: i) = [( X/ X)1/2] = (X/ X)-1/2 [ (X X + XX) / X2] ii) A unidade V o volume da gua para o tubo cheio. Tabela 2.: Para o tubo cheio. Volume = 1 VX (cm)X(cm) X(cm) X(cm) X (cm) Xmed(cm) = x/x20,0030,0040,00..........90,00100,00110,00Fazer os dois grficos de versus x no mesmo papel milimetrado.Fazer a anlise do grfico e determinar a distncia a partir da qual a mola no respondelinearmente.2 Etapa - Relao entre o volume de gua e o coeficiente de restituioTabela 3.: Colises com diferentes quantidades de gua no carrinho. Naprimeira coluna apresenta-se o volume de gua no tubo na unidade V. Naltima tem-se os coeficientes de restituio . 28 29. gua(V) X(cm) X(cm)X(cm)X(cm) X(cm)X(cm) Xmed 0,0 1Fazer o grfico do versus a quantidade de gua, em papel milimetrado.3 Etapa Decaimento da altura em colises sucessivas Tabela 4.: Apresenta-se o decaimento da altura em colises sucessivas. Considera-se trs quantidades de gua distntas. Posio Tubo vazioTubo cheioTubo cheio X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9X10Fazer os grficos de Xn versus n para o tubo vazio em papel milimetrado.Fazer os trs grficos de Xn versus n em papel mono-log.Sugestes para conduo da anlise.1. Se a mola responde linearmente, o coeficiente de restituio no deve depender da distncia em que o carro solto nem da massa do carro. E neste caso, o grfico de versus X, para as duas massas de gua, deve ser uma reta paralela ao eixo X. A partir da posio X, em que o coeficiente de restituio comea a variar com a distncia ou com a massa, a mola deixou de responder linearmente. Analise o grfico de versus X e determine a distncia abaixo da qual o comportamento da mola no vai influenciar os resultados.2. O grfico de coeficiente de restituio em funo do volume de gua deve ser simtrico. Isto , o coeficiente de restituio do corpo com o tubo vazio deve ser igual ao do corpo com o tubo completamente cheio, o mesmo deve acontecer com o tubo com de gua e de gua. Isto mostra que o coeficiente de restituio no depende propriamente da massa de gua, mas do movimento da gua dentro do tubo que depende do volume. Procure analisar isto em termos de conservao de energia.3. O formato da curva obtida no grfico de Xn versus n deve sugerir um decaimento exponencial do tipo Xn = X0 e -a n. O mesmo comportamento esperado para os dados 29 30. obtidos com os outros volumes de gua, por isso no necessrio fazer os outros dois grficos.4. Faz-se ento o grfico mono-log de Xn versus n para linearizar a funo e determinar os valores dos parmetros X0 e a. Neste procedimento estamos particularmente interessados na determinao do parmetro a, que est associado ao coeficiente angular da reta no grfico mono-log. Faa os trs grficos de Xn versus n no mesmo papel mono-log. Observe o que acontece com a inclinao das retas obtidas ao se variar a quantidade de gua no tubo. Determine o coeficiente angular de cada reta.5. Qual o significado da inclinao da reta no grfico mono-log ? Faa a seguinte analise: Xn / X0 = e -a n , em particular, para n=1 X1 / X0 = e -a . Por outro lado, da definio de coeficiente de restituio 2 = X1 / X0 e ento 2 = e -a . Portanto, o coeficiente de restituio pode ser determinado como = e-a /2. As retas mais inclinadas correspondem a coeficientes maiores ou menores?6. Determine o coeficiente de restituio a partir do grfico para cada um dos casos.4. Concluso Faa consideraes gerais sobre os resultados obtidos. EXPERIMENTO VI CONSERVAO DO MOMENTO LINEARIntroduo A elaborao de teorias capazes de descrever fenmenos fsicos um processo longoe complicado, normalmente envolvendo vrias etapas de proposio e de testes experimentaisde diferentes hipteses sobre o fenmeno analisado. Nesse processo comum procurar 30 31. quantidades que se mantm constantes, uma vez que atravs delas pode-se obter relaesentre as vrias quantidades que determinam o fenmeno. Em sistemas isolados, ou seja,naqueles sobre os quais no ocorre ao de foras externas, observa-se que duas quantidadesse conservam: a energia total do sistema, e o momento linear. Em um processo de colisoentre dois corpos (se o sistema formado por estes um sistema isolado) a lei da conservaodo momento linear traduz-se na seguinte expresso: P1 + P2 = P1 + P2(1)Onde P1 e P2 so os momentos lineares dos corpos antes da coliso, e P1 e P2 so osmomentos lineares aps a coliso. Esta uma equao de natureza vetorial e, portanto,equivalente a trs equaes escalares correspondentes conservao do momento linear emtrs direes perpendiculares x, y e z. Se o sistema no isolado, dependendo da direo dasforas externas que agem sobre o sistema, o momento linear pode ser conservado em uma ouduas direes, mas no em todas, ou melhor, o momento se conserva nas direesperpendiculares fora resultante.Neste experimento voc ter a oportunidade de analisar a conservao do momentolinear numa coliso bidimensional no frontal, utilizando regras de operao com grandezasvetoriais como: soma de vetores utilizando a regra do paralelogramo e decomposiovetorial.PR RELATRIO Estude um texto sobre sistemas de partculas e desenvolva as questes abaixo:1) O vetor posio do centro de massa de um sistema de partculas definido como a mdia ponderada do vetor posio de cada partcula que compe o sistema, sendo a massa da partcula o peso nesta mdia. Escreva a expresso do vetor posio (Rcm) do centro de massa para um sistema de dois corpos.2) O momento linear total (P ) de um sistema de partculas definido como a soma vetorial dos momentos lineares de todas as partculas. Mostre que o momento linear de um sistema de partculas P = M vcm, onde M a massa total do sistema e vcm o vetor velocidade do centro de massa do sistema.3) A segunda lei de Newton para um sistema de partculas pode ser escrita na forma Fext = d P / dt . Mostre que, se a soma das foras externas que agem sobre o sistema zero, o momento linear do sistema se conserva em uma coliso, e o centro de massa do sistema no altera o seu estado de movimento retilneo uniforme (MRU).4) Demonstre a relao de conservao do momento linear para a coliso de duas partculas: m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2(2) onde v1 , v2 , v1 e v2 so, respectivamente, as velocidades das partculas 1 e 2 antes e aps a coliso.5) Uma esfera rola com velocidade v1 sobre uma mesa horizontal de altura h. A esfera rola alm da beirada da mesa e cai sobre o cho. Mostre que: (a) O tempo de queda da esfera s depende da altura da mesa (h) e da acelerao da gravidade (g).31 32. (b) O alcance da esfera sobre o cho, a partir da beirada da mesa depende da velocidade (v1) da esfera no instante em que deixa a mesa, da altura da mesa (h) e da gravidade (g).6) Considere que a esfera de massa m1, que rola sobre a mesa com velocidade v1, colide com uma segunda esfera de massa m2 que est em repouso na beirada da mesa, e ambas caem no cho. Mostre que a equao (1) pode ser rescrita em funo do alcance de cada esfera como:m1 r1 = m1 r1 + m2 r2(3) onde r1 o alcance da primeira esfera se no houvesse coliso, r1 e r2 so os alcances das duas esferas aps a coliso.Leia com ateno o roteiro do experimento VI. Defina os objetivos do experimento.Enumere as atividades que voc vai desenvolver, listando-as numa seqncia lgica.ROTEIRO DO EXPERIMENTO E ESTRUTURA DO RELATRIO1. Objetivos Verificar se h conservao do momento linear em uma coliso bidimensional no frontal entre duas esferas.2. Material Utilizado Esferas de ao e de plstico; Trilho curvo com parafuso ajustvel e fio de prumo na base; Papel jornal; Papel carbono; Rgua milmetrada, esquadro.3. Procedimentos, Dados e Anlises Experimentais Voc dispe de duas esferas, uma de plstico e uma de ao, que sero usadas na coliso. Um trilho curvo ser utilizado para imprimir uma velocidade inicial a esfera de ao soltando-a de uma altura h. Na base do trilho deve ser posicionada sobre um parafuso regulvel a esfera de plstico. O parafuso deve ser usado para alinhar a altura do centro da esfera alvo com o da esfera incidente. Ele tambm permite que se coloque a esfera alvo numa posio oblqua para evitar o choque frontal. A figura abaixo ilustra a montagem experimental. 32 33. A lei de conservao do momento aplicada a esta coliso estabelece que no planohorizontal m1 v1 = m1 v1 + m2 v2 (4)Neste plano o movimento das esferas uniforme, e os vetores velocidade podem serdeterminados pelos alcances das esferas (r) e os tempos de queda (t) da base do trilho ato cho, V = r / t. Como o tempo de queda s depende da altura e do valor de g, e portanto o mesmo para as duas esferas, a equao de conservao do momento pode ser rescritacomo: m1 r1 = m1 r1 + m2 r2 (5)Para verificar esta igualdade experimentalmente devemos medir as massas das esferase os alcances no plano horizontal.Para determinar os alcances r1, r1 e r2 deve ser fixado no cho uma folha de papeljornal de modo que as esferas caiam sobre ela. Algumas folhas de papel carbono sodistribudas sobre o papel jornal, de modo a registrar as marcas das posies atingidaspelas esferas no papel .Proceda da seguinte maneira:1) Com o fio de prumo alinhado com a base do trilho marque a posio do choqueprojetada no plano horizontal. Este ponto ser a origem do plano xy na folha de papeljornal.2) Sem a presena da esfera alvo, solte a esfera de ao de uma certa altura no trilho.Coloque o papel carbono na posio apropriada para registrar a posio atingida pelaesfera. Repita cuidadosamente, vrias vezes o processo, soltando a esfera sempre damesma posio no trilho. As marcas iro se espalhar em torno de uma posio mdia queligada por uma reta com a origem ir determinar o vetor r1. Esta reta tambm define adireo do eixo y, no plano xy, sendo a direo x perpendicular a esta.3) Coloque a esfera de plstico no parafuso ajustado para a posio oblqua e provoque acoliso soltando a esfera de ao da mesma posio que na etapa anterior. Repita vriasvezes o processo. As posies mdias atingidas pelas esferas de ao e de plstico 33 34. determinam os vetores mdios r1 e r2. As respectivas barras (ou regies) de erro so determinadas envolvendo os pontos por crculos e medindo-se o raio. 4) Pese as esferas para determinar as massas de cada uma. No papel jornal marca-se o eixo y traando-se uma reta que passa pela origem e pelo ponto mdio que determina o vetor r1. O eixo x passa pela origem e est a 90 do eixo y. Os vetores r1, r1 e r2 sero retas marcadas da origem aos respectivos pontos mdios (centro dos crculos cujos raios determina os erros) marcados no papel. Faa uma soma vetorial no prprio papel jornal para verificar a conservao do momento linear no plano xy. No papel jornal encontre os componentes x e y de cada vetor r com suas respectivas margens de erro.Construa em escala, num papel milimetrado, um diagrama que mostre os vetores momento linear (vetores posio multiplicados pelas massas correspondentes) com as respectivas barras de erros. Analise o diagrama em termos dos componentes, faa a soma vetorial, e verifique se houve conservao do momento linear.Sugesto para o registro de dados experimentaisMassa da esfera de plstico =Massa da esfera de ao =Anexar o papel jornal com o esquema dos alcances no plano xy.Sugesto para a anlise de dados Numa primeira etapa, depois de traar os eixos x e y e os vetores r1, r1 e r2 nopapel jornal, faz-se uma verificao preliminar da conservao do momento. Em geral, no setem espao no papel jornal para verificar a equao na forma (5), mas dividindo-se por m1,escrever-se a nova relaom r 1=r 2 r 2 . 1 m (6)1como m2/m1< 1, o vetor r2 = m2 r2 /m1 uma frao do vetor r2. Desta forma pode-severificar a equao de conservao do momento na forma (6) somando-se vetorialmente r1 er2, e verificando se o vetor resultante da soma igual a r1. Numa segunda etapa, decomponha no papel jornal os vetores r1 e r2 nas suascomponentes r1x, r1y e r2x, r2y. Multiplique os componentes pelas massas correspondentes,faa os clculos de propagao de erros e verifique separadamente cada uma das duasequaes escalares correspondentes conservao do momento linear (5) nas duas direesperpendiculares x e y. Tabela 1.:rij rijmirij (mirij)34 35. Verificao da equao (5) na direo x:Verificao da equao (5) na direo y:Transporte para um papel milimetrado os dados experimentais, isto , construa em escalaum diagrama que mostre os vetores posio multiplicados pelas massas correspondentes,represente as respectivas barras (ou regies) de erros . Verifique se voc conseguiu mostrar aconservao do momento linear (5) atravs da adio vetorial (regra do paralelograma).3. CONCLUSO Faa comentrios gerais sobre o experimento. 35 36. TEXTOS DE APOIO36 37. 1. MEDIDAS, ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E ERROS Um dos principais objetivos de qualquer cincia experimental determinar o valornumrico de uma grandeza. A medida de uma grandeza obtida, em geral, atravs de umaexperincia, na qual o grau de complexidade do processo (ou ato) de medir est relacionadocom a grandeza em questo. Diferentes grandezas sero medidas atravs de processos demaior ou menor complexidade, mas todas as medidas devero seguir o mesmo sistema derepresentao.1.1. MEDIDAS Na medio de uma grandeza, importante que se saiba como a grandeza definida equais so os procedimentos para a obteno do valor numrico. A medida de uma grandezapode ser feita direta ou indiretamente. Medidas diretas so feitas quando a grandeza comparada diretamente com valorespadres. Usa-se para comparao, instrumentos previamente ajustados com o padro, demodo a indicar resultados numricos da grandeza. Dependendo do instrumento utilizadoesses resultados podem ser fornecidos na forma digital ou analgica. No caso de resultadodigital, fornece-se um valor numrico em um mostrador; e no caso de resultado analgico,deve-se fazer a leitura do resultado em uma escala. Exemplo: ao medir a distncia entre doispontos com a rgua, comparamos diretamente as distncias marcadas na rgua com adistncia entre os dois pontos. Medidas indiretas so feitas por comparao com grandezas correlacionadas com agrandeza a ser medida. Exemplo: a medida da variao do comprimento da coluna demercrio em um termmetro uma medida indireta da temperatura. Medidas indiretastambm so obtidas atravs de manipulaes numricas, usando frmulas matemticas.Exemplo: a densidade de um lquido determina a partir da medida da massa e do volume.1.2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOSO resultado de uma medida deve ser apresentado de forma que qualquer pessoa tenhauma noo da preciso do instrumento utilizado, sem a necessidade que se tenha que escreverno relatrio todas as caractersticas tcnicas da aparelhagem utilizada. Para isso utiliza-se oconceito de algarismos significativos. A regra geral apresentar a medida com todos osalgarismos que no temos dvidas de leitura e apenas um algarismo estimado, ou duvidoso.Exemplo 1: Suponha que na leitura em uma rgua milimetrada obteve-se o valor 3,25 cm. Osdgitos 3 e 2 so lidos diretamente na escala. O digito 5 no lido na escala, ele um nmeroestimado, mas ele tem um significado fsico. Este digito indica que o ponto usado na leituraestava entre o segundo e o terceiro trao aps a marca na rgua indicando 3 centmetros. Noestava portanto, nem exatamente sobre o segundo trao e nem sobre o terceiro trao, mas simentre os dois traos. Se o resultado da medida fosse registrado como 3,256 cm estariaincorreto, pois o dgito 6 carece de significado, j que o digito 5 j estimado.37 38. Exemplo 2: Na leitura da massa numa balana digital obteve-se o valor 16,4 g. O resultadono pode ser escrito como 16,40 g, pois o instrumento nada informa sobre o quarto digito. Oresultado tanto poderia ser 16,41 quanto 16,39.Um fato importante a se destacar o de que a localizao da vrgula nada tem a vercom o nmero de algarismos significativos. Assim, o resultado de uma medida pode serescrito como 32,5mm ou 3,25cm ou 0,0325m e apesar da vrgula decimal ter sido deslocada,o nmero de algarismos significativos so trs em cada caso. A presena de zeros em umacerta medida pode causar dificuldades, mas se usarmos a notao cientfica, esta dificuldadedeixa de existir. Assim, no exemplo anterior, se reescrevermos o resultado na forma 3,25 x10-2m, fica evidente que temos apenas 3 algarismos significativos. Sem reescrever o resultadopara a notao cientfica, pode-se verificar se os zeros apresentados so significativos ou no,usando as seguintes regras:(a) Se os zeros se localizam no incio de um nmero ( esquerda no nmero), isto , se estol apenas para localizar a vrgula, eles no so considerados significativos, como no caso0,0325m do exemplo anterior, onde existem trs algarismos significativos;(b) Se os zeros se localizam entre dois algarismos significativos, ento eles so sempresignificativos: por exemplo, se a leitura de um termmetro nos d 30,8C, o zero significativo e este resultado possui, ento, trs algarismos significativos;(c) Se os zeros estiverem no final de um nmero ( direita no nmero), necessrio que setenha certo cuidado. Se no temos informaes explcitas sobre a leitura feita, nosabemos, a princpio, se um algarismo significativo ou se est l apenas para localizar oponto decimal.Na determinao de uma dada grandeza, quanto mais precisa for a medida, maior onmero de algarismos significativos que aparecem no resultado. Se medirmos uma pequenaespessura com uma rgua milimetrada, teremos uma leitura com menos algarismossignificativos do que a leitura da mesma espessura medida com um micrmetro. Exemplo: amedida da espessura de uma placa feita com uma rgua foi 3,25 cm. Mas a mesma medidafeita com um micrmetro foi 3,2465 cm.Ao serem feitas manipulaes aritmticas com resultados de medidas, preciso tercuidado para no introduzir nas respostas, algarismos no significativos. O nmero dealgarismos significativos que devem ser mantidos no resultado final de uma operaoaritmtica depende do nmero de algarismos significativos dos dados experimentais e dasoperaes aritmticas usadas. As regras comumente utilizadas nestas operaes so asseguintes:Adio e SubtraoRegra: antes de efetuar a adio ou a subtrao, deve-se arredondar as grandezas paraa casa decimal do nmero com menor preciso.Exemplo 1: 96 cm 967,6 cm8 0,32 cm0104Neste exemplo o resultado 104 cm, apresenta a casa das unidades como estimada,coerente com o fato de o valor 96 possuir o mesmo grau de confiabilidade. Observe que o 38 39. nmero de algarismos significativos aumenta em decorrncia dos clculos e no comprometea preciso com que os resultados foram obtidos.Exemplo 2:1,93 m1,931,91 m1,910,02Neste exemplo o resultado da subtrao 0,02 m deve ser apresentado com apenas umalgarismo significativo, embora as duas medidas iniciais possussem trs algarismossignificativos.Multiplicao e Diviso Regra: o resultado deve apresentar o mesmo nmero de algarismos significativos damedida que apresenta o menor nmero de algarismos significativos.Exemplo 1: 12,387 Nx 8,23 m101,94501Nm Resposta correta:102 JExemplo 2:157,20 m 39,3 s4m/s Resposta correta: 4,00 m/s Neste exemplo, embora a diviso seja exata, a resposta deve ser dada com trsalgarismos significativos, coerentemente com a medida que possui o menor nmero dealgarismos significativos.ArredondamentosAo se eliminar algarismos no significativos nas operaes aritmticas, as seguintesregras devem ser utilizadas:(a) se o primeiro algarismo a ser desprezado for maior ou igual a 5, o resultado deve seracrescido de uma unidade.Exemplo: 8,34796 torna-se 8,35 se arredondado para trs algarismos significativos.(b) se o primeiro algarismo a ser desprezado for menor do que 5, simplesmente despreza-seeste e os algarismos sucessivos.Exemplo: 7,3623 torna-se 7,362 se arredondado para quatro algarismos significativos.(c) O critrio de arredondamento para algarismos significativos deve ser usado apenas noresultado final. Exemplo: (10,00 / 6,00) x 3,2 = 5,3333 que deve ser escrito como 5,3. O critrio de algarismos significativos um critrio aproximado, empregado para daruma noo preliminar sobre a confiabilidade do valor numrico do resultado da medida.Formas mais rigorosas para estabelecer a confiabilidade de resultados experimentais soapresentadas a seguir. 39 40. 1.3. RESULTADO EXPERIMENTALO resultado de uma medida, obtido direta ou indiretamente, constitudo por trsitens e deve ser escrito como: X = ( X X ) u.(1)Onde, X um nmero que representa o valor mais provvel ou a melhor estimativa para amedida da grandeza, X um nmero que representa o erro absoluto da medida ou a incerteza nadeterminao, e tem a funo de evidenciar o intervalo de confiabilidade da medida, e u representa a unidade da medida.A figura 1 abaixo representa um valor experimental: (X) 012 3 4 Fig.1 Nesta figura, X representa a melhor estimativa de uma determinada grandeza. O intervaloassinalado pela regio entre parnteses o intervalo de valores provveis, e significa que se a medida forrealizada mais uma vez, ela tem grande probabilidade de se encontrar neste intervalo. O intervalo de valoresprovveis obtido pelo clculo do erro absoluto.Exemplo: o comprimento de um objeto expresso como L= 2,4 0,5 cm, significa que 2,4 amelhor estimativa, 0,5 o erro absoluto calculado de acordo com as condies doexperimento e significa que a medida do comprimento confivel dentro dos limites 1,9 e2,9 cm.1.4. TIPOS DE ERROSEm Fsica, a palavra erro tem um significado bem amplo e no se reduz s falhascometidas por inabilidade, inexperincia ou distrao por parte do experimentador. A tarefapara determinar a incerteza na medida, na prtica, no simples. A maior dificuldade resideno fato de que no processo de medida h uma combinao de inmeros fatores que influem,de forma decisiva, no seu resultado.Existem diversas classificaes de erros na literatura. Optou-se por classificar osdiversos tipos de erros em duas categorias: erros de acurcia e erros de preciso. Na categoriaerros de acurcia esto as falhas (ou erros grosseiros) e os erros sistemticos. Na categoriaerros de preciso esto os erros instrumentais e os erros aleatrios.Erros grosseiros:So erros cometidos por inabilidade, distrao ou mesmo por desconhecimento doassunto tratado, etc. Podem surgir atravs de uma leitura errnea da escala utilizada, de umerro aritmtico, da aplicao da teoria onde ela no vlida etc.Exemplo 1: Se na montagem de um circuito eltrico, esquece-se de conectar um dosdispositivos do circuito, esta falha constitui em um erro grosseiro. O bom experimentalista 40 41. deve ter o cuidado na preparao do experimento, tanto em relao aos aspectos tericosquanto em relao aos aspectos tcnicos e prticos no uso e manuseio dos equipamentos eprocedimentos de laboratrio. A prtica e o cuidado na realizao dos experimentos reduzemdrasticamente tais falhas. Naturalmente, adquire-se a prtica no contato e manuseio direto dosequipamentos e do sistema a ser estudado.Exemplo 2: O erro grosseiro tambm acontece se, no clculo da rea de um retngulo delados a e b, usamos a expresso A = 2 a b. O fator 2 produz um erro grosseiro de 100% emrelao ao resultado.Os erros grosseiros devem ser eliminados. Portanto, se no decorrer de umexperimento constata-se o uso de um procedimento errneo, necessrio reiniciar todo otrabalho usando o procedimento correto. Isto pode acarretar a perda de horas de trabalho.Assim, faz parte de uma boa prtica experimental, o estudo prvio da teoria e doprocedimento experimental a ser realizado, e s iniciar o trabalho no laboratrio sabendo qualo objetivo do experimento e depois de checar os equipamentos e a montagem do sistema.Erros sistemticosSo aqueles que, sem praticamente variar durante a medida, entram de igual modo emcada resultado desta, fazendo com que o valor da medida se afaste do valor real em umsentido definido, para mais ou para menos. Podem ser causados por falhas no aparelho demedida, por calibrao incorreta, por aproximaes tericas incorretas que muitas vezesrepresentam apenas uma primeira aproximao ao problema e que num experimento comrelativa preciso podem aparecer como discrepncia.Exemplo: Ao se calcular o tempo de queda de um corpo de uma altura h, admitir desprezvela resistncia do ar pode produzir um erro sistemtico.O erro sistemtico aparece seguindo alguma regra definida, e descoberta a suaorigem, possvel elimin-lo ou reduzi-lo a algum valor extremamente pequeno. Mesmo queos efeitos que causam esses erros no possam ser eliminados na montagem experimental, emmuitos casos possvel fazer a correo dos valores obtidos de modo a eliminar o errosistemtico. Porm, em um laboratrio, a identificao de erros sistemticos uma dastarefas mais difceis, j que neste caso no possvel detect-los pela mera repetio doexperimento e comparao dos resultados, j que todas as medidas realizadas apresentam omesmo desvio sistemtico, para mais ou para menos. Para identificar esses erros, deve-seprocurar a comparao de resultados feitos independentemente por outras pessoas ouequipes. Muitas vezes necessrio fazer uma remontagem do experimento com troca deinstrumento e dispositivos ou procurar outros procedimentos para a medida das mesmasgrandezas.Erro Instrumental o mximo erro aceitvel cometido pelo operador, devido ao limite de resoluo daescala do instrumento de medida. Na obteno de medidas utilizamos equipamentos, entoestes devem ser calibrados a partir de padres convenientemente definidos. A construo deuma escala implica a escolha de subdivises, em partes iguais, da unidade padro. Noentanto, pode ocorrer que a grandeza a ser medida no corresponda a um nmero inteiro dassubdivises existentes no aparelho. Deparamo-nos desta forma, com o problema de estimar afrao da subdiviso considerada. Ao estimar esta frao, introduzimos o Erro Instrumental 41 42. que indica o grau de preciso de um dado instrumento. Assim, quanto mais preciso for uminstrumento, menor ser o valor do erro instrumental.Erro AleatrioDependendo da montagem experimental e dos instrumentos de medida utilizados, osresultados de uma medida podem no ser exatamente iguais a cada nova leitura. Por exemplo,ao realizarmos a medida do comprimento de uma mesa com uma rgua, provvel que seobtenha sempre o mesmo valor, dentro da preciso do aparelho, se a medida for repetidavrias vezes. No entanto, o resultado pode ser diferente a cada medida caso seja utilizado uminstrumento de altssima preciso, como um interfermetro tico. Neste caso, as variaesobservadas na leitura do instrumento podem ser causadas por vibraes ou variaes detemperatura. Ou seja, existe no resultado experimental um erro que pode ser inerente aoprprio processo de medio ou pode ser decorrente do sistema em estudo. As pequenasvariaes percebidas na medida, provocadas por fatores no controlveis, podem ocorrer emqualquer sentido. A margem de flutuao, decorrente de processos aleatrios, o que sedenomina Erro aleatrio. Como no seguem qualquer regra definida, no se pode evit-los edevem ser tratados estatisticamente. A figura 2 com dois alvos em situaes diferentes, onde os pontos indicam asposies de impacto, ilustram a diferena entre erro sistemtico e erro aleatrio. (a) sistemtico (b) aleatrioFig. 2 -Em (a) todos os impactos encontram-se concentrados em uma determinada regio, deslocados docentro. As causas deste deslocamento poderiam ser mira desregulada, vento constante, etc. Como o desvioatuou na mesma direo em todos os disparos, isto caracteriza um erro sistemtico. Uma vez identificada ascausas reais do desvio, estas poderiam ser eliminadas ou compensadas. Em (b), os impactos esto distribudosao acaso em torno do centro do alvo, o que caracteriza um erro aleatrio. Deve-se notar que em (a) tambmocorre erro aleatrio, tendo em vista o espalhamento dos impactos.1.5. CLCULO DO ERRO EXPERIMENTAL ABSOLUTOFoi dito anteriormente que ao relatar um resultado experimental, alm da melhorestimativa, devemos tambm relatar a margem de confiabilidade deste valor. Como decidir,em meio a tantos tipos diferentes de erros, qual a margem de confiabilidade ? Para responder pergunta acima, devemos levar em considerao a natureza de cada tipo de erro.Como regra geral, parte-se do pressuposto de que o experimentalista fez todos osesforos para eliminar os vrios tipos de falhas ou erros sistemticos. Assumindo que os errosgrosseiros e os erros sistemticos foram eliminados, o Erro Experimental Absoluto ser dadopela soma dos erros Instrumental e Aleatrio, ou seja: 42 43. X = X Instrumental + X Aleatrio(2)X chamado de erro absoluto porque sua determinao independe do valor da grandeza X. Existem situaes em que um dos tipos de erro predomina. Nestes casos, usualassumir como erro absoluto o erro predominante.Clculo do Erro instrumental (X Instrumental ) Este tipo de erro encontra-se presente em qualquer medida, j que inerente escalado instrumento utilizado para efetu-la. Ao registrar uma medida de comprimento 12,85cmsabe-se que o ltimo dgito incerto, pode sofrer pequenas variaes na leitura. Mas ocritrio de algarismos significativos no informa qual a magnitude aceitvel para essasvariaes. Seria aceitvel uma variao de 0,01 cm? Ou 0,02cm? Para estimar de quanto podevariar o valor lido, necessrio analisar qual a variao aceitvel na leitura do instrumento:(a) No caso de um instrumento analgico, a variao deve ser estimada a partir da acuidadevisual na leitura da escala. Em se tratando de um instrumento de preciso, a menordiviso da escala normalmente estreita de tal forma que objetivamente s se pode fazeruma estimativa da metade dessa menor diviso. Naturalmente esta estimativa pode variarde aparelho para aparelho, mas para efeitos prticos, na maioria dos casos adota-se comoerro instrumental a metade da menor diviso da escala. Exemplo: Numa rguamilimetrada a menor diviso da escala o milimetro, ento o erro instrumental domilimetro, ou seja 0,5mm ou 0,05cm.(b) No caso de instrumento digital, para estimar a variao aceitvel na leitura da medidaseria necessrio ter informaes tcnicas do instrumento, e que tipo de arredondamento utilizado. Sem esse conhecimento, pode-se adotar o erro instrumental como a menorvariao possvel no ltimo dgito de leitura, ou seja, a prpria preciso do instrumento.Exemplo: Numa balana digital em que a menor diviso da escala 0,1g , o erroinstrumental 0,1g.Clculo do Erro aleatrio ( X Aleatrio ) No erro de natureza aleatria, existe uma possibilidade igual de se errar para mais oupara menos. Por exemplo, ao realizar uma srie de medidas de tempo obteve-se os resultados1,55s; 1,58s; 1,60s; 1,63s; 1,61s; 1,56s; 1,59s; 1,60s; 1,62s; 1,60s. Observando que o menorvalor medido 1,55s, e o maior valor medido 1,63, estima-se que o valor mais provvel 1,59s e a variao mxima em torno de 0,04s. Esta, alm de ser uma forma grosseira deestimar o erro associado grandeza, uma superestimativa, j que em uma srie de medidasobtm-se um nmero maior de resultados em torno do valor mais provvel, como no nossoexemplo, que temos trs resultados iguais a 1,60s e apenas um resultado igual a 1,55s. Umaestimativa melhor para o erro aleatrio deve basear-se no conceito que o erro aleatrio umamedida da disperso dos resultados em torno do valor mais provvel. Devido a sua imprevisibilidade, impossvel determinar o valor verdadeiro do erroaleatrio. Mas, possvel fazer uma estimativa deste erro utilizando um tratamentoestatstico. Para que a anlise estatstica faa algum sentido, o nmero de medidas no deveser inferior a dez, e determina-se o erro aleatrio calculando:(a) A melhor estimativa da grandeza como a mdia aritmtica das diversas medidas dagrandeza. Efetuando-se N medidas de uma grandeza, obtendo-se os valores, x1, x2,x3,....xN, o valor mais provvel da grandeza 43 44. N 1 x = x 1x 2 x3. ..x N = xi .(3) N i=1No exemplo acima, x = 1,594s.(b) O desvio padro para medidas () que indica a tendncia das medidas de se distriburem em torno do seu valor mais provvel e dado por: x i 2 Nx = . (4)i= 1 N-1 A idia existente na expresso acima a seguinte: a diferena xi d uma medida de xxquanto o valor de cada medida xi se afasta do valor . O efeito cumulativo destas diferenas N obtido tomando-se a soma dos quadrados das diferenas, isto , xi 2 . Apenas o xi= 1valor absoluto do desvio importante, da, considerar a soma dos quadrados que uma somade termos positivos. Em seguida, determina-se a mdia desses desvios quadrticos. Comoxexistem apenas (N-1) desvios independentes, pois, a mdia representa um vnculo entre osN valores, o denominador N-1. Para servir como medida do desvio na grandeza x, necessrio que a expresso de tenha a mesma dimenso de x, por isso tomada a raizquadrada.O desvio padro uma estimativa da preciso do instrumento, ou seja, d idia de qual a diferena entre o valor obtido numa observao particular e o valor mdio. Ele estabeleceum intervalo de valores [ x , x + ] tal que a probabilidade de uma observao cair nesseintervalo 68%.O desvio padro para medidas no varia com o nmero de dados, uma medida dapreciso do instrumento e s depende deste.No exemplo acima, = 0,025s. fcil verificar que a margem de erros deixa de foraquatro valores da tabela, os dois maiores e os dois menores. Isto significa que a nossa faixa x , engloba 60% dos resultados obtidos, e este