Mecânica quântica aplicada

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Aulas em Fısica para pos-graduacao

Mecanica Quantica

Ph.W. CourteilleUniversidade de Sao Paulo

Instituto de Fısica de Sao Carlos17 de outubro de 2017

2

Sumario

0 Preface 10.1 Organizacao do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Literatura recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I Mecanica Quantica 3

1 Fundacao da mecanica quantica 51.1 Antecedentes historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Relacao de dispersao e equacao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Ondas de partıculas relativısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Interpretacao de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Equacao de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Distribuicoes no espaco e no momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Evolucao temporal de valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Postulados da mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Principio de superposicao (Postulado 1.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Interpretacao da funcao de onda (Postulado 2.) . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Notacao bra-ket de Dirac e representacao com vetores . . . . . . . . . . . 121.2.4 Observaveis (Postulado 3.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Representacao de operadores como matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Princıpio de correspondencia (Postulado 4.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.7 Equacao de Schrodinger e medidas quanticas (Postulado 5.) . . . . . . . . 151.2.8 Equacao estacionaria de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Formalismo abstrato da mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Bases completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Degenerescencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4 Bases como operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5 Sistema completa de operadores comutandos . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.6 Relacao de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.7 Simetrias na mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.8 Teorema de Noether e leis de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.9 Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Evolucoes temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.1 Transformacoes unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2 Imagens de Heisenberg e de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.3 Teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1 Antecedentes historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.2 Postulados da mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3 Formalismo abstrato da mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 SUMARIO

1.5.4 Evolucoes temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Movimento linear / Potenciais separaveis 35

2.1 Movimento translacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Bom comportamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Separacao das dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Potencial retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Potencial de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Potencial de caixa multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Potenciais com varias secoes de profundidades constantes . . . . . . . . . 37

2.2.4 Poco de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Matriz T de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Matriz S de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.3 Reflexao quantica num degrau de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.4 Continuidade do fluxo de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.5 Tunelamento e reflexao quantica num poco de potencial . . . . . . . . . . 42

2.4 Oscilador harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.1 Fatorizacao do hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.2 Oscilador harmonico na representacao espacial . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.3 Propriedades do oscilador harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.4 Oscilador harmonico multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.5 Estados coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.6 Evolucao temporal do oscilador harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.7 Quantizacao do campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.1 Movimento translacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Potencial retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.3 Barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.4 Oscilador harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Rotacoes / Potenciais centrais 55

3.1 Partıcula num potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Transformacao em coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.2 Partıcula num potencial cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 Hamiltoniano em coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.4 Separacao do movimento radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Tratamento quantico do hidrogenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 O modelo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 O teorema virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Operador do momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2 Algebra SU(2) do momento angular e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.3 O spin do eletron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Acoplamento de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 Sistema de dois eletrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.2 Estados singleto e tripleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3 Bases desacopladas e acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

SUMARIO 5

3.4.4 Coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.1 Partıcula num potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.2 Tratamento quantico do hidrogenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5.3 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.4 Acoplamento de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Metodos de aproximacao 83

4.1 Perturbacoes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Metodo de perturbacao independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.2 TPIT com estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Metodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.1 A fracao de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.2 Metodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Aproximacao WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1 Aproximacao WKB aplicada a equacao de Schrodinger . . . . . . . . . . . 89

4.3.2 Formulas de conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4 Perturbacoes temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.1 Sistema de dois nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.2 Metodo de perturbacao dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.3 Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Transicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.1 Taxas de transicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.2 Perturbacoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5.3 Radiacao do corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5.4 Probabilidades de transicoes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.5 Largura natural de uma transicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.1 Perturbacoes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.2 Metodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6.3 Aproximacao WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6.4 Perturbacoes temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6.5 Transicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 O spin do eletron 109

5.1 Tratamento relativıstico do hidrogenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1 A equacao de Klein-Gordon para bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.2 A equacao de Dirac para fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1.3 O eletron relativıstico no campo coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.1.4 O limite nao-relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2 O spin e a equacao de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.1 Equacao de Dirac no campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.2 Acoplamento spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.3 Outras correcoes em α4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.4 Forma covariante e relativisticamente invariante . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3 Estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.1 Acoplamento ao spin do nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 SUMARIO

5.4.1 Tratamento relativıstico do hidrogenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.2 O spin e a equacao de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.3 Estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Atomos com spin em campos externos 123

6.1 Partıculas carregada em campo eletromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.1 Lagrangiano e hamiltoniano de partıculas carregadas . . . . . . . . . . . . 123

6.1.2 Acoplamento mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Interacao com campos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.1 Efeito Zeeman normal da estrutura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.2 Efeito Zeeman anomalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2.3 Efeito Paschen-Back e campos magneticos intermediarios . . . . . . . . . 126

6.2.4 Efeito Zeeman da estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.2.5 Efeito Paschen-Back da estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3 Interacao com campos eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.1 Efeito Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4.1 Partıculas carregada em campo eletromagneticos . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4.2 Interacao com campos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4.3 Interacao com campos eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7 Sistemas periodicos 131

7.1 O modelo de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1 Aproximacao para eletrons quase-ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.1.2 Aproximacao para eletrons quase-livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.1.3 Aplicacao a redes opticas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.4 Oscilacoes de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.2.1 Sistemas periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8 Medida quantica 143

8.1 O observador e a realidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1.1 Projecao, soma direta, produto externo e traco . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1.2 O gato de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.1.3 O salto quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.1.4 Medidas fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2 Medicoes repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2.1 Efeito Zeno quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2.2 Medicao quantica de nao-demolicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Informacoes tipo welcher Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3.1 O problema de testar bombas por Elitzur and Vaidman . . . . . . . . . . 156

8.4 Medidas ruidosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.4.1 Ruıdo de projecao quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.5 Fases topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.5.1 Efeito de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.6.1 O observador e a realidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.6.2 Medidas repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

SUMARIO 7

8.6.3 Informacoes tipo welcher Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.6.4 Medidas ruidosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.6.5 Fases topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

0 SUMARIO

Capıtulo 0

Preface

A mecanica quantica de Heisenberg e Schrodinger e, junto com a teoria da relatividade de Eins-tein, a teoria mais fundamental da fısica. Essas teorias concernam a fısica inteira, da fısica doestado solido a fısica dos partıculas elementares. De certa maneira, a mecanica quantica e ateoria da relatividade podem ser consideradas como meta-teorias, pois cada teoria ou modeloque trata de um qualquer sistema ou fenomeno especifico tem uma interpretacao classica ouquantica, respectivamente relativista. Sistemas altamente excitados sao normalmente bem des-critos pelas leis da mecanica classica, mas em baixas energias observe-se experimentalmente umcomportamento totalmente diferente, incompatıvel com as leis classicas e, frequentemente, como entendimento saudavel.

Nao obstante, a mecanica quantica entrou no mundo cotidiano. Sistemas quanticos fraca-mente excitados precisam de menos energia para funcionar e frequentemente sao pequenos ecompactaveis. Eles sao menos sujeito a ruido ou o ruıdo pode ser controlado. Eles sao mani-pulaveis exibindo dinamicas, como interferencia quantica ou tunelamento, que podem ser utili-zados para operacoes rapidas e precisas. O transistor, o laser ou a bomba nuclear sao exemplosde dispositivos escapando qualquer interpretacao classica. O computador quantico pode ser aproxima etapa.

Apesar do fato que nao existe nenhuma observacao experimental contradizendo a a mecanicaquantica, muitas perguntas ficam ainda sem resposta. Por exemplo, nao sabemos como incorpo-rar o fenomeno da gravitacao, e o fenomeno da coerencia quantica na transicao entre o mundoquantico e o mundo classico ainda e muito mal entendido. Assim, 100 anos depois da suaformulacao a mecanica quantica ainda representa um desafio para nossa razao exercendo umafascinacao ininterrompida sobre cada nova geracao de fısicos.

O auditorio desse curso de Mecanica Quantica Aplicada sao alunos de varias ciencias exatascom varias nıveis de nocoes basicas da mecanica quantica. Por isso, comecaremos o cursocom uma introducao nos fundamentos definindo os operadores e introduzindo os postulados damecanica quantica. Apresentaremos a equacao de Schrodinger e a mecanica matricial, que setornam representacoes equivalentes da mecanica quantica. Discutiremos tambem o papel desimetrias e a representacao de grupos.

Com estes fundamentos podemos discutir varios exemplos, os mais importantes sendo o mo-vimento linear de uma partıcula em baixa energia e o oscilador harmonico fracamente excitado.Historicamente a primeira aplicacao da mecanica quantica foi o atomo de hidrogenio com o fa-moso modelo de Bohr a qual sera dedicado uma parte importante deste curso com a discussao domomento angular. Introduziremos tambem metodos matematicos de aproximacao como a teoriade perturbacao e o metodo variacional. Estes metodos sao essenciais para obter informacoessobre sistemas mais complexos como a estrutura eletronica de atomos e a ligacao molecular.Discutiremos rotacoes e vibracoes moleculares, transicoes eletronicas e propriedades eletricas eopticas de moleculas.

Hoje em dia, os sistemas de baixa energia mais puros sao atomos individuais ou gases de

1

2 CAPITULO 0. PREFACE

atomos frios presos em potenciais localizados. Tecnicas poderosas de resfriamento nos levaramate a criacao de estados quanticos quase macroscopicos, chamados de ”condensados de Bose-Einstein”, que serao discutidos no fim deste curso.

0.1 Organizacao do curso

A apostila foi desenvolvida para o curso Mecanica Quantica Aplicada (SFI5774) oferecido peloInstituto de Fısica de Sao Carlos (IFSC) da Universidade de Sao Paulo (USP). O curso e des-tinado a estudantes em Fısica de pos-graduacao. A apostila e uma versao preliminar continu-amente sujeita a correcoes e modificacoes. Notificacoes de erros e sugestoes de melhoramentosempre sao bem-vindas. A apostila incorpora exercıcios as solucoes das quais podem ser obtidasdo autor.

Informacoes e anuncios a respeito do curso serao publicados na pagina web:http://www.ifsc.usp.br/ strontium/ − > Teaching − > SFI5774

A avaliacao do estudante sera feita baseado em provas escritas e um seminario sobre umtopico especial escolhido pelo estudante. No seminario o estudante apresentara um topico em 15minutos. Ele tambem entregara um trabalho cientıfico de 4 paginas em forma digital. Topicospossıveis sao:- Condensacao de Bose-Einstein,- O metodo de Hartree-Fock,- A aproximacao WKB,- O metodo de simulacao de Monte Carlo da funcao de onda,- A radiacao do corpo negro e sua influencia sobre os estados dos atomos,- O efeito Zeno quantico,- As equacoes de Bloch: derivacao e interpretacao,- Atomos exoticos: o muonio,- O salto quantico. A sua historia e observacao,- O gato de Schrodinger,- O atomo de helio,- A hipotese de Einstein-Podolski-Rosen e a sua falsificacao experimental,- Elitzur and Vaidman bomb testing problem,- Fases topologicas e o efeito de Aharonov-Bohm,- O modelo de Jaynes-Cummings,- Ruıdo quantico de projecao,- Medida quantica de nao-demolicao,- Calculo de efeito fotoeletrico a partir da regra de ouro de Fermi,- O metodo de combinacao de orbitais atomicos (LCAO).

0.2 Literatura recomendada

P.W. Atkins e R.S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics (Oxford University, 1997, 2001)I.N. Levine, Quantum Chemistry, (Boston, Allyn and Bacon, 1983)C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum mechanics, vol. 1, (Wiley Interscience)Leonard I. Schiff, Quantum mechanics (McGraw-Hill Book Company)Christopher J. Foot, Atomic physics, (Oxford Master Series in Atomic, Optical and Laser Phy-sics, 2005)David J. Griffiths, Introduction to quantum mechanics, (Pearson Education International)

Parte I

Mecanica Quantica

3

Capıtulo 1

Fundacao da mecanica quantica

1.1 Antecedentes historicos

A ideia fundamental da mecanica quantica e a suposicao da existencia de entidades que, che-gando a um limite, nao podem mais ser subdivididas. Exemplos sao a massa de um corpo, avelocidade de um eletron orbitando um atomo ou a intensidade de um feixe de luz. Essa ideia foipronunciada pela primeira vez por Leucipo 500 anos a.c. e seu aluno Democrito, que imaginarama materia feita de partıculas mınimas que eles chamaram de atomos. Estes atomos se movemlivremente, colidem, combinam-se e separam-se: ”Ha nada mais do que atomos e espaco li-vre.” Os atomos microscopicos teriam as mesmas caracterısticas como os objetos macroscopicosque eles formam quando se combinam, por exemplo a cor e a forma. A ideia do atomo ressurgiue foi afinado no decorrer do seculo 18 (vide Tab. 1.1 abaixo). Hoje sabemos que a ideia basicaera bom, mas a realidade e um pouco mais complicado 1.

Tabela 1.1: Esboco historico da quantizacao da materia

500 a.c. Democrito invencao do atomo1800 Avogadro, Dalton reinvencao do atomo1897 Thomson transporte de cargas, modelo de passas num bolo1909 Rutherford, Geiger, Marsden espalhamento α, concentracao da carga num nucleo1911 Rutherford modelo planetario1900 Bohr orbitais quantizados1923 de Broglie materia tem caracterısticas de ondas1927 Davisson, Germer, Stern experiencias de difracao de eletrons e atomos

No final do seculo 19 o mundo fısico do parecia simples: a materia e a luz era tudo queexistia. A materia e constituıda de atomos e luz e uma onda. Portanto, para descrever umsistema real, so basta calcular as trajetorias das suas partıculas elementares, a propagacao daluz e a maneira como eles interagem. Sabemos agora que a vida nao e tao simples, e que osatomos tambem sao ondas e luz tambem se comporta como partıculas.

Friccoes entre as nocoes antigas e observacoes novas apareceram no fim do seculo 19, comopor exemplo a divergencia infravermelha da radiacao do corpo negro. O pioneiro das novasideias foi Max Planck, que em 1905, com uma pequena ajuda de Einstein quantizou o campoeletromagnetico, e portanto a luz, em pequenos osciladores harmonicos. Isso foi o ponto departida do desenvolvimento de uma nova teoria chamada de mecanica quantica. Logo essa teoriafoi aplicada para explicar o efeito fotoeletrico. A segunda etapa importante foi inicializada porNiels Bohr que quantizou em 1913 o atomo de hidrogenio em nıveis de excitacao discretos.

1Para uma discussao mais extensa do conceito atomico vide a apostila do curso Fısica atomica e molecular domesmo autor.

5

6 CAPITULO 1. FUNDACAO DA MECANICA QUANTICA

Nesse curso de mecanica quantica aplicada concentraremos na materia, isto e, aplicar essateoria em eletrons, atomos e moleculas. So daremos uma pequena perspectiva para a quantizacaoda luz 2.

Tabela 1.2: Esboco historico da quantizacao da luz

1801 Young luz e difratada como uma onda1860 Maxwell teoria unificada da eletrodinamica incluindo a luz1888 Hertz deteccao de ondas radio∼ 1890 medidas precisas do espectro de radiacao do corpo negro1900 Planck hipotese dos quantas: E = hν1905 Einstein efeito foto eletrico, a luz se comporta como uma partıcula

No seguinte, em vez de seguir o curso historico, introduziremos primeiramente o formalismoda mecanica quantica e discutiremos depois, como interpretar e aplicar o formalismo.

1.1.1 Relacao de dispersao e equacao de Schrodinger

Um problema fundamental e a questao da propagacao de entidades fısicas. Temos de um lado aluz, cuja propagacao no vacuo e descrita pela relacao de dispersao ω = ck ou

ω2 − c2k2 = 0 . (1.1)

Como a luz e uma onda, na forma mais geral, supondo a validade do princıpio de superposicao,ela pode ser descrita por um pacote de onda, A(r, t) =

∫ei(k·r−ωt)a(k)d3k. E facil verificar que

a equacao de onda,∂2

∂t2A− c2∇2A = 0 , (1.2)

reproduz a relacao de dispersao.

Do outro lado, temos partıculas massivas lentas possuindo energia cinetica,

E =p2

2m. (1.3)

Com a hipotese do de Broglie que mesmo uma partıcula massiva tem qualidade de onda podemostentar um ansatz 3 de equacao de onda satisfazendo a relacao de dispersao (1.3). A partir daformula de Planck, E = ~ω, e da formula de Louis de Broglie, p = ~k, descrevendo a partıculapor um pacote de ondas nao sujeito a forcas exteriores ψ(r, t) =

∫ei(k·r−ωt)ϕ(k)d3k, e facil

verificar que a equacao,

i~∂

∂tψ =

(− ~2

2m∇2

)ψ , (1.4)

reproduz a relacao de dispersao. Se a partıcula e sujeito a um potencial, sua energia total eE = p2/2m+ V (r, t). Esta relacao de dispersao corresponde a famosa equacao de Schrodinger,

i~∂

∂tψ =

(− ~2

2m∆ + V (r, t)

)ψ . (1.5)

2Para quantizacao de campos escalares ou vetoriais vide as apostilas dos cursos Optica Atomica e Interacaode luz com materia do mesmo autor.

3Chute, hipotese de trabalho.

1.1. ANTECEDENTES HISTORICOS 7

1.1.2 Ondas de partıculas relativısticas

Apesar das similaridades entre partıculas de luz e partıculas de material, existem diferenciasnotaveis: O foton e uma partıcula relativıstica, nao tem massa de repouso. Como podemosestabelecer uma relacao entre objetos tao diferentes?

Para esclarecer essa relacao consideramos agora partıculas que sao similares a luz no sentidoque tem velocidades altas, isto e, partıculas relativısticas. A partir do principio relativıstico deequivalencia entre massa e energia, obtemos para uma partıcula massiva E2 = m2c4 + c2p2 ou

ω2 − c2k2 =m2c4

~2. (1.6)

Essa relacao de dispersao e obtida a partir da equacao,

∂2

∂t2A− c2∇2A = −m

2c4

~2A , (1.7)

inserindo, por exemplo, o pacote de ondas ja proposto A(r, t) =∫ei(kr−ωt)a(k)d3k, que nao e

sujeito a forcas externas. A equacao (1.7) e uma equacao de onda chamada equacao de Klein-Gordon. Para partıculas sem massa de repouso, como no caso de fotons, a equacao se reduz aequacao de onda luminosa (1.2).

Agora fazendo a transicao para velocidades nao-relativısticas, v c, podemos expandir arelacao de dispersao,

E =√m2c4 + c2m2v2 = mc2

(1 +

v2

2c2+ ..

)ou ~ω ' mc2 +

~2k2

2m. (1.8)

Em analogia com a equacao de Klein-Gordon podemos derivar a relacao de dispersao aproximada(1.8) a partir de uma equacao de ondas,

i~∂

∂tA =

(mc2 − ~2

2m∇2

)A . (1.9)

Com a transformacao ψ = e−imc2t/~A, redescobrimos a equacao de Schrodinger (1.4),

i~∂

∂tψ = − ~2

2m∆ψ (1.10)

como limite nao-relativıstico da equacao de Klein-Gordon.E interessante notar que, em todos os casos discutidos, obviamente as relacoes de dispersao

e as equacoes diferenciais podem ser interconvertidas pelas substituicoes,

E −→ i~∂

∂te p −→ −i~∇ . (1.11)

Discutiremos esta observacao mais tarde na discussao do teorema de Ehrenfest nas Secs. 1.1.6,1.1.7 e 1.4.3 .

1.1.3 Interpretacao de Born

A primeira parte deste curso sera dedicada a partıculas individuais ou sistemas de partıculas mas-sivas distinguıveis, e somente tornaremos nossa atencao para a luz ou partıculas indistinguıveisao discutir a (segunda) quantizacao de campos.


Segundo nossa conviccao atual, a verdade completa (negligenciando efeitos relativısticos)sobre um qualquer sistema e conteudo na equacao de Schrodinger (1.5). Essa declaracao naonos deixe mais esperto sem precisar a significacao da funcao de onda ψ. Numa tentativa de casaros conceitos de partıcula e de onda, Max Born propos no ano 1926 a interpretacao da grandeza

∫

V|ψ(r, t)|2d3r (1.12)

como probabilidade de encontrar a partıcula no volume V .

Se |ψ(r, t)|2 tem a significacao de uma densidade de probabilidade ou distribuicao de proba-bilidade, o quadrado da funcao de onda deve ser integravel,

‖ψ(r, t)‖2 ≡∫

R3

|ψ(r, t)|2d3r <∞ . (1.13)

Isso nos permite de proceder a uma normalizacao da funcao de onda,

ψ(r, t) ≡ ψ(r, t)√∫R3 |ψ(r, t)|2d3r

, (1.14)

tal que ‖ψ(r, t)‖ = 1.

1.1.4 Equacao de continuidade

Em mecanica quantica associamos a funcao de onda que descreve um sistema quantico a umaonda de probabilidade. Como a equacao de Schrodinger descreve uma evolucao temporal, paraser util, a funcao de onda deve permitir fluxos de probabilidade. Definimos a densidade deprobabilidade e o fluxo de probabilidade por

ρ(r, t) ≡ ψ∗(r, t)ψ(r, t) , (1.15)

j(r, t) ≡ ~2mi

[ψ∗(r, t)∇ψ(r, t)− ψ(r, t)∇ψ∗(r, t)] .

Partindo da equacao de Schrodinger podemos facilmente derivar a equacao de continuidade (videExc. 1.5.1.1),

ρ(r, t) +∇ · j(r, t) = 0 , (1.16)

ou na forma integral,

− d

dt

∫

Vρd3r =

∫

V∇ · jd3r =

∮

∂Vj · dS , (1.17)

usando a lei de Gauss. Sendo I ≡∫S j · dS a corrente de probabilidade que flui atraves da

superfıcie S delimitando a carga de probabilidade Q ≡∫V ρ(r, t)d3r, obtemos

−Q = I . (1.18)

A equacao da continuidade e obviamente similar daquela do electromagnetismo.

1.1. ANTECEDENTES HISTORICOS 9

1.1.5 Distribuicoes no espaco e no momento

Ate agora so falamos de distribuicoes espaciais, ψ(r, t). Mas tambem poderıamos considerardistribuicoes de velocidade ou de momento. Em mecanica classica, uma partıcula tem umaposicao e uma velocidade bem definida. Sabendo a posicao e a velocidade, as equacoes deNewton permitem predizer as coordenadas em tempos futuros. Vamos agora investigar, se aequacao de Schrodinger permite isso tambem.

A solucao mais geral da equacao de Schrodinger pode ser escrita como superposicao de ondasplanas ei(r·k−ωt) com frequencias ω = p2/2~m e vetores de onda k = p/~. Cada onda plana temuma amplitude individual ϕ(p), tal que

ψ(r, t) = 1h3/2

∫d3pϕ(p)ei(r·k−ωt) =

∫d3p 1

h3/2ϕ(p)ei(r·p/~−p

2t/2m~) , (1.19)

com h ≡ 2π~. No tempo t = 0, essa expansao e nada mais do que uma transformacao de Fourier,

ψ(r, 0) = 1h3/2

∫d3pϕ(p)eir·k , (1.20)

que podemos inverter,

ϕ(p) = 1h3/2

∫d3rψ(r, 0)e−ir·k . (1.21)

Na ausencia de forcas a distribuicao de momento fica estacionaria. Podemos agora utilizara distribuicao de momento ϕ(p) como coeficientes da expansao da funcao de onda temporalψ(r, t), como mostrado acima. Assim, a expansao representa uma solucao geral da equacao deSchrodinger dependente do tempo. A grandeza |ϕ(p)|2 e a densidade de probabilidade no espacode momento.

Exemplo 1 (Normalizacao da funcao de onda no espaco de momento): E facilmostrar que a densidade de probabilidade no espaco de momento tambem e normalizada:

∫|ϕ(p)|2d3p = 1

h3

∫d3p

∫d3rψ∗(r)eir·k

∫d3r′ψ(r′)e−ir

′·k

=

∫d3r

∫d3r′ψ∗(r)ψ(r′) 1

(2π)3

∫d3keik·(r−r

′)

=

∫d3r

∫d3r′ψ∗(r)ψ(r′)δ3(r− r′) =

∫|ψ(r)|2d3r = 1 ,

sabendo que a transformada de Fourier de uma onda plana e nada mais do que a distribuicao

de Dirac.

Como as distribuicoes de probabilidade |ψ(r)|2 e |ϕ(p)|2 sao interligadas por transformacaode Fourier, ja sabemos que nao podemos localizar 4 as duas simultaneamente. Se uma delas estabem localizada, a outra e necessariamente deslocalizada. Faz o Exc. 1.5.1.2.

1.1.6 Valores esperados

Ja vimos que as distribuicoes posicao e momento de uma partıcula sao repartidas. Calculamosos valores medios dessas distribuicoes, denotados por 〈r〉 e 〈p〉, como primeiros momentos dasrespectivas distribuicoes:

〈r〉 =

∫d3r|ψ(r, t)|2r e 〈p〉 =

∫d3p|ϕ(p, t)|2p . (1.22)

4Localizar: Restringir indefinidamente a area da distribuicao.


Usando as expansoes (1.19) e (1.20) podemos calcular,

〈p〉 =

∫ϕ∗(p)pϕ(p)d3p =

∫1

h3/2

∫ψ∗(r)e−ir·kd3rpϕ(p)d3p

= 1h3/2

∫ψ∗(r)

∫ϕ(p)pe−ir·kd3pd3r

= 1h3/2

∫ψ∗(r)~i∇

∫ϕ(p)e−ir·kd3pd3r =

∫ψ∗(r)~i∇ψ(r)d3r .

Este calculo mostra, que o valor esperado do momento pode ser exprimido atraves de um ope-rador p ≡ (~/i)∇ agindo sobre a funcao de onda 5,6.

Mais geralmente, podemos calcular o valor esperado de uma funcao em r e p

〈f(r,p)〉 =

∫d3rψ∗(r)f(r, p)ψ(r) . (1.23)

No entanto, e importante notar, que os operadores r e p nao necessariamente comutam.

Exemplo 2 (Nao-comutacao do espaco e do momento): Considerando um movimentounidimensional, verificamos,

pxxψ =~i

d

dxxψ =

~iψ + x

~i

d

dxxψ 6= x

~i

d

dxxψ = xpxψ .

1.1.7 Evolucao temporal de valores esperados

Consideramos agora a evolucao temporal da posicao de uma partıcula. Utilizaremos no seguintea regra de integracao parcial

∫V ψ∇ξ =

∮∂V ψξ −

∫V ∇ψξ = −

∫V (∇ψ)ξ, assumindo que pelo

menos uma das funcoes, ψ ou ξ, desaparece na borda do volume, o que pode ser garantidoescolhendo o volume suficientemente grande. Para comecar concentraremos na componente xda posicao, a derivada temporal da qual e calculada usando a equacao de continuidade (1.16),

d

dt〈x〉 =

∫d3r

d

dt|ψ|2x = −

∫d3r x∇j = −

∫dS · j x+

∫d3r j · ∇x =

∫d3r jx , (1.24)

Generalizando para tres dimensoes podemos escrever

d

dt〈mr〉 = m

∫d3r j = m

∫d3r

~2mi

[ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗] (1.25)

= 12

∫d3r[ψ∗pψ + ψpψ∗] =

∫d3rψ∗pψ = 〈p〉 ,

desde que o valor esperado de p e uma grandeza real.Agora definimos o abreviacao:

H ≡ − ~2

2m+ V (r, t) , (1.26)

5Daqui para frente o chapel sobre uma grandeza fısica denotara operadores quanticos.6Notamos aqui, que as regras 〈ψ|x|ψ〉 ↔ 〈φ| − ~

i∇p|φ〉 e 〈ψ| ~

i∇r|ψ〉 ↔ 〈φ|p|φ〉 derivadas da transformacao

de Fourier sao uteis para simulacoes numericas da equacao de Schrodinger: Em vez calcular a derivada espacial( ~i∇)2

da funcoes de onda, faz uma Fast Fourier Transform (FFT) para o espaco de momento, multiplique comp e transforme de volta.

1.2. POSTULADOS DA MECANICA QUANTICA 11

chamada de operador de Hamilton ou hamiltoniano e calculamos a segunda derivada da posicaousando a equacao de Schrodinger (1.4),

d

dt〈p〉 =

∫d3r

[(1i~Hψ

)∗pψ + ψ∗p 1

i~Hψ]

= i~

∫d3r ψ∗(Hp− pH)ψ = i

~〈[H, p]〉 , (1.27)

introduzindo o comutador [a, b] ≡ ab− ba como abreviacao. Depois,

i~〈[H, p]〉 = i

~〈[V , p]〉 = i~

∫d3rψ∗

[V ~i∇ψ − ~

i∇(V ψ)]

= −∫d3rψ∗ψ∇V = 〈F〉 . (1.28)

Em resumo, encontramos uma lei

〈F〉 =d2

dt2〈mr〉 , (1.29)

muito parecido a lei de Newton, mas em vez de se aplicar a corpusculos localizados, a lei seaplica a valores esperados de distribuicoes de probabilidade. Leis similares podem ser derivadaspara o momento angular e a conservacao de energia.

A observacao feita por Paul Ehrenfest, que na mecanica quantica os valores medios seguemas mesmas leis da mecanica classica se chama teorema de Ehrenfest.

1.2 Postulados da mecanica quantica

Nesta secao introduziremos os fundamentos e principais metodos da mecanica quantica. Apren-deremos o que sao observaveis e conheceremos os postulados que estabelecem a fundacao damecanica quantica e o famoso principio da incerteza de Heisenberg.

1.2.1 Principio de superposicao (Postulado 1.)

Um sistema fısico pode se encontrar em varios estados. Por exemplo, uma partıcula pode ser emrepouso ou em movimento, um atomo pode ser excitado ou deexcitado. Na mecanica quantica,cada estado possıvel e descrito por uma funcao de onda ψ. As funcoes de ondas podem ser funcoesde varios tipos de coordenadas, por exemplo da posicao ψ = ψ(r), do momento ψ = ψ(p) ou daenergia ψ = ψ(E). A escolha das coordenadas se chama representacao.

Uma particularidade de sistemas quanticos e que eles podem estar em uma superposicao deestados. Isto e, se ψ1, ψ2, ..., ψk sao estados possıveis com amplitudes ck, automaticamente afuncao

ψ =∑

k

ckψk (1.30)

e um estado possıvel tambem. Isso se chama principio de superposicao, e significa, por exemplo,que uma partıcula pode estar simultaneamente em varios lugares ou que um atomo pode estarno mesmo tempo excitado ou deexcitado.

Existem sistemas que so podem existir num numero restrito de estados, como o atomo dedois nıveis. Outros podem existir num numero infinito de estados ou mesmo numa distribuicaocontinua de estados.

1.2.2 Interpretacao da funcao de onda (Postulado 2.)

A funcao de estado (ou funcao de onda) caracteriza um sistema do qual podemos calcularvarias propriedades. A funcao pode adotar valores complexas destituıdos de interpretacao fısica


imediata. De fato, a funcao de onda e sobretudo um construto matematico. Por outro lado, anorma |ψ|2 tem a significacao de uma probabilidade do sistema de estar no estado ψ. Isso e afamosa interpretacao de Max Born da funcao de onda (vide Sec. 1.1.3).

Se ψk com k = 1, 2, . . . sao todos os estados possıveis de um sistema, a interpretacao comoprobabilidade requer ∑

k

|ψk|2 = 1 . (1.31)

Analogicamente, para uma distribuicao contınua, por exemplo na representacao espacial,

∫ ∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1 . (1.32)

Isto e, a probabilidade precisa de normalizacao.

1.2.3 Notacao bra-ket de Dirac e representacao com vetores

Para distinguir em formulas mais facilmente as amplitudes (que sao numeros complexos) e asfuncoes de onda utilizaremos desde agora a notacao Bra-Ket introduzida por Paul Dirac. Asfuncoes sao representadas por kets,

|ψ〉 =∑

k

ck|k〉 . (1.33)

As transposicoes complexas destes estados sao representados por bras,

〈ψ| = |ψ〉† =∑

k

c∗k〈k| . (1.34)

Mas a notacao tem outras vantagens. Por exemplo, supondo que conhecemos os tres estadospossıveis de um sistema, |1〉, |2〉 e |3〉, que sao linearmente independentes. Entao podemos definiros estados como vetores:

|1〉 =

100

, |2〉 =

010

, |3〉 =

001

. (1.35)

Esses tres estados podem ser interpretados como uma base de um espaco vetorial representandoo sistema. Agora, cada funcao de onda pode ser expandida nesta base e exprimida por um vetor.Um estado ket arbitrario deste sistema sera entao

|ψ〉 =

c1

c2

c3

. (1.36)

O estado bra correspondente sera

〈ψ| =(c∗1 c∗2 c∗3

). (1.37)

Agora podemos facilmente calcular a probabilidade para um sistema de estar num estado|ψ〉,

||ψ〉|2 = 〈ψ|ψ〉 =(c∗1 c∗2 c∗3

)·

c1

c2

c3

= |c1|2 + |c2|2 + |c3|2 . (1.38)


1.2.4 Observaveis (Postulado 3.)

O unico jeito de achar informacoes sobre um sistema consiste em medir os valores de grandezascaracterısticas do sistema, p.ex., a energia ou o momento linear. Na mecanica classica aprende-mos, que um sistema pode ser completamente caracterizado por um conjunto de grandezas fısicasmensuraveis. Por exemplo, o movimento de um corpo rıgido de massa m e momento inercial Ie definido por sua posicao r, seu momento p e seu momento angular L. Na mecanica quanticadescrevemos grandezas fısicas observaveis por operadores agindo sobre o espaco de Hilbert dasfuncoes de onda, por exemplo, |ψ〉 7→ p|ψ〉, onde p seria o operador do momento linear. Paradistinguir melhor as observaveis, colocamos um chapeu no sımbolo. Veremos mais para frente(vide Sec. 1.3.5) que cada sistema quantico e completamente descrito por um conjunto completode observaveis.

Para achar os valores atuais aψ de uma qualquer observavel A numa situacao especıfica dadapor uma funcao de onda ψ precisamos resolver uma equacao de autovalores,

A|ψ〉 = aψ|ψ〉 . (1.39)

Podemos reescrever a equacao como aψ = 〈ψ|A|ψ〉. Os valores an sao numeros reais, se aobservavel e hermitiana, isto e,

A = A† =⇒ aψ = a∗ψ . (1.40)

Deixamos a prova desta afirmacao para o Exc. 1.5.2.1.

Assim, postulamos a substituicao das variaveis dinamicas caracterizando um sistema classicopor objetos abstratos chamado operadores. Esses operadores podem ser entendidos como pres-cricoes matematicas, p.ex., operadores diferenciais, agindo sobre um estado do sistema. O valoresperado de um qualquer operador A caracterizando um sistema num estado |ψ〉 e aψ ≡ 〈A〉ψ ≡〈ψ|A|ψ〉/〈ψ|ψ〉. Tais operadores sao especıficos para um sistema mas independentes do seu es-tado. As variaveis dinamicas para um estado especıfico sao obtidas como autovalores de umvetor de estado na variavel respectiva. A evolucao temporal ou dos operadores ou dos estados egovernada por equacoes de movimento (vide Sec. 1.4) 7.

1.2.5 Representacao de operadores como matrizes

Do mesmo jeito como ja representamos funcoes de ondas por vetores podemos tambem repre-sentar operadores por matrizes,

A ≡∑

i,j

|i〉aij〈j| =

:.. aij ..

:

=

:

.. 〈j|A|i〉 ..:

. (1.41)

Para extrair componentes de uma matriz fazemos, 〈i|A|j〉, por exemplo,

〈1|A|1〉 =(1 0 ..

)· A ·

10:

= a11 . (1.42)

7Note que existem tentativas teoricas de generalizar o conceito de observaveis para operadores nao-hermitianos[7, 8] so exibindo simetria PT .


Projetores sao operadores particulares definidos por,

Pk ≡ |k〉〈k| =

0 : 0.. 1 ..0 : 0

. (1.43)

O valor esperado de um projetor, 〈Pk〉 = 〈ψ|Pk|ψ〉 = |〈k|ψ〉|2, e nada mais do que a probabilidadede encontrar um sistema no estado |ψ〉 no estado particular, pois expandindo como feito na(1.33),

〈Pk〉 =∑

m,n

c∗mcn〈m|k〉〈k|n〉 = |ck|2 . (1.44)

Utilizando o formalismo de matrizes podemos definir outros operadores interessantes e veri-ficar os seus propriedades,

|1〉〈1| =(

1 00 0

), |2〉〈2| =

(0 00 1

), (1.45)

|1〉〈2| =(

0 10 0

)= σ− , |2〉〈1| =

(0 01 0

)= σ+ .

Os operadores de subida e descida, σ±, tambem se chamam matrizes de Pauli, pois foramintroduzidas por Wolfgang Pauli. O vetor

~σ ≡

σ+ + σ−

i(σ− − σ+)[σ+, σ−]

(1.46)

e chamado vetor de Bloch 8,9. O valor esperado do vetor de Bloch tem um comprimento fixo(vide Exc. 1.5.2.2).

A representacao de grandezas fısicas por matrizes permite a descricao de estados de super-posicao quantica. O objetivo do Exc. 1.5.2.3 e de ilustrar isto no exemplo de uma partıculapassando por uma fenda dupla.

1.2.6 Princıpio de correspondencia (Postulado 4.)

Operadores nao necessariamente comutam. Ja verificamos na Sec. 1.1.6, que em uma dimensaoos operadores posicao e momento nao comutam. Podemos generalizar para tres dimensoes,

[pj , xk] = −i~δjk e [pj , pk] = 0 = [xj , xk] , (1.47)

o que e facilmente verificado substituindo os operadores por xk = xk e pk = ~i∇ e deixando os

comutadores agir sobre uma funcao de onda ψ(x).Inversamente, a mecanica quantica segue da mecanica classica com a prescricao 10, A(qk, pk, t) −→

A(qk, pk, t) = A. Deixando a menor quanta de energia possıvel, ~ −→ 0, o comutador desaparece,o espectro de energia torna-se continuo e recuperamos a mecanica classica.

8O vetor de Bloch e muito utilizado na descricao da interacao de um sistema de dois nıveis com um campo deluz (vide a apostila do curso Interacao de luz com materia do mesmo autor).

9O Schrodinger inventou a mecanica das ondas quando derivou a sua equacao de ondas a partir da relacaode dispersao para partıculas massivas. O Heisenberg inventou a mecanica (detalhada nas ultimas secoes) que elechamou de mecanica das matrizes. Mais tarde ele mostrou a equivalencia formal das duas teorias.

10Considerando o ordem de Weyl.


1.2.7 Equacao de Schrodinger e medidas quanticas (Postulado 5.)

A evolucao temporal e dada pela equacao de Schrodinger

i~∂

∂t|ψ〉 = H|ψ〉 . (1.48)

Um sistema fechado, desconectado do resto do mundo (chamaremos desde agora o resto domundo de reservatorio) nao e sujeito a dissipacao, isto e, nao perde energia para o reservatorio.Um tal sistema e sempre descrito por um hamiltoniano hermitiano. Infelizmente, este sistematambem nao permite vazamento de informacao, isto e, nao podemos medir o sistema. Isso sereflete no fato que a equacao de Schrodinger nao permite descrever o processo de uma medidaquantica. Pois antes da medida o sistema pode ser em varios estados ou mesmo uma superposicaode estados, enquanto depois da medida sabemos exatamente o estado. Isso equivale a umareducao de entropia, que nao e permitida num sistema fechado.

O famoso postulado de von Neumann de reducao do estado ou de projecao da funcao de ondaformulado pelo John von Neumann descreve o processo de uma medida quantica em duas etapasdistintas 11. Numa primeira fase o aparelho de medida projeta o operador medido A numa basede autovetores. Isto e, se a medida e compatıvel com o operador 12, obtemos uma distribuicaode amplitudes de probabilidade dos resultados,

〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|A|∑

k

ck|k〉 =∑

k

akck〈ψ|k〉 =∑

k

ak|ck|2 , (1.49)

com 〈ψ|ψ〉 =∑

k |ak|2 = 1. Por isso, podemos entender |〈k|ψ〉|2 como a probabilidade do sistemade estar no autoestado |k〉 13.

Na segunda fase, o medidor vai ler o aparelho de medida e notar o resultado. Se o estadoe estacionario, ele nunca vai mudar mais. Isto e, cada medida subsequente vai dar o mesmoresultado. O Exc. 1.5.2.4 ilustra o processo da medida quantica no exemplo da medida daenergia de excitacao de um atomo de dois nıveis.

1.2.8 Equacao estacionaria de Schrodinger

A forma geral da equacao de Schrodinger em uma dimensao e

HΨ(t, x) = i~∂

∂tΨ(t, x) , (1.50)

com H ≡ p2

2m + V (x, t) e p ≡ −i~ ∂∂x . Se o potencial e independente do tempo, V (x, t) = V (x),

podemos fazer o seguinte ansatz, Ψ(x, t) ≡ ψ(x)f(t). Inserindo na equacao de Schrodinger,obtemos,

1

ψ(x)

(− ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

)ψ(x) =

i~f(t)

d

dtf(t) = const. ≡ E . (1.51)

A solucao da parte direita da equacao e i~(ln f − ln f0) = E(t− t0). Portanto,

f(t) = f(0)e−iE(t−t0)/~ . (1.52)

11Simplificacao para um estado puro.12Para entender o significado de compatıvel devemos estabelecer uma teoria de medicao mais completa incluindo

o reservatorio na descricao quantica.13Alternativamente, A −→

∑k |k〉〈k|A|k〉〈k|.


Obviamente, |Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2.Agora podemos ver que a equacao de Schrodinger estacionaria,

Hψ(x) = Eψ(x) , (1.53)

e nada mais do que uma equacao de autovalores. Isso significa que a mecanica de ondas doSchrodinger e equivalente a mecanica dos matrizes do Heisenberg. Os Excs. 1.5.2.5 e 1.5.2.6pedem primeiros calculos de autovalores e autovetores para sistemas de dois nıveis.

1.3 Formalismo abstrato da mecanica quantica

O desenvolvimento formal da mecanica quantica sera o assunto dessa secao. Aprenderemos comoachar um conjunto completo de observaveis caracterizando um sistema, discutiremos o papel dassimetrias na mecanica quantica e mostraremos como mudar entre varias representacoes de ummesmo sistema.

1.3.1 Algebra de Lie

Os operadores formam uma algebra de Lie L2. Isso significa que L2 e no mesmo tempo umespaco vetorial complexo e linear a respeito da adicao e multiplicacao escalar e um anel nao-comutativo com produto interno escalar. Em particular, L2 e unitario, normalizado, completo eage sobre um espaco de Hilbert de estados quanticos e,

(A+ B)|ψ〉 = A|ψ〉+ B|ψ〉, (1.54)

(αA)|ψ〉 = α(A|ψ〉) ,(AB)|ψ〉 = A(B|ψ〉) .

As propriedades do espaco Hilbert sao

A|ψ + ϕ〉 = A|ψ〉+ A|ϕ〉 , (1.55)

A|aψ〉 = aA|ψ〉 .

Para um operador hermitiano, A = A†, temos 〈ψ|A|ψ〉 = 〈Aψ|ψ〉 ou 〈A〉 ≡ 〈ψ|A|ψ〉 = 〈A〉∗,utilizando a notacao bra-ket de Dirac,

〈ψ|† ≡ |ψ〉 . (1.56)

Existem operadores de identidade e de nulidade,

1|ψ〉 = |ψ〉 e 0|ψ〉 = 0 . (1.57)

Definimos o (anti-)comutador como

[A, B]∓ ≡ AB ± BA , (1.58)

que pode ser 6= 0. A soma e o produto de dois operadores hermitianos sao hermitianos, porque

(A+ B)† = A† + B† = A+ B e (AB)† = B†A† = BA . (1.59)

As seguintes relacoes sao sempre hermitianos,

AB + BA e i(AB − BA) . (1.60)

1.3. FORMALISMO ABSTRATO DA MECANICA QUANTICA 17

Definimos o produto escalar como,〈ψ|ϕ〉 . (1.61)

Dois estados sao chamados ortogonais, se 〈ψ|ϕ〉 = 0. A norma e escrita,

|ψ|2 = 〈ψ|ψ〉1/2 , (1.62)

o desvio e,

∆A ≡√〈A2〉 − 〈A〉2 . (1.63)

Um operador unitario e definido por A−1 = A†.

1.3.2 Bases completas

Se e impossıvel achar um conjunto de amplitudes cn,

@cn tal que∑

n

cn|n〉 = 0 , (1.64)

as funcoes sao chamadas de linearmente independentes. Um conjunto de funcoes linearmenteindependentes pode formar uma base. O espaco aberto por um conjunto de funcoes linearmenteindependentes se chama espaco de Hilbert.

Um operador A e completamente caracterizado por seus autovalores e autofuncoes. Se umconjunto de autofuncoes |n〉 e completa, cada estado permitido do sistema pode ser expandidonessas autofuncoes

|ψ〉 =∑

n

cn|n〉 e A|n〉 = an|n〉 . (1.65)

Para calcular propriedades de um sistema especifico, frequentemente queremos achar umarepresentacao matricial para o operador A. Para isso, resolvemos a equacao de Schrodingerestacionaria, isto e, calculamos os autovalores e autovetores. Quando todos os autovalores saodiferentes, an 6= am, sabemos que os autovetores correspondentes sao ortogonais, 〈n|m〉 = 0,

A|n〉 = an|n〉 , A|m〉 = an|m〉 , ∀n,m an 6= am (1.66)

=⇒ ∀n,m 〈n|m〉 = δm,n .

O Exc. 1.5.3.1 pede para demonstrar isso.Frequentemente, por exemplo, no caso de uma partıcula confinada num potencial, existem

autovalores discretos (para E < 0) simultaneamente com autovalores contınuos (para E > 0).Assumindo 〈m|m′〉 = δm,m′ , 〈m|k〉 = 0 e 〈k|k′〉 = δ(k− k′), com uma base completa,

∑

m

|m〉〈m|+∫d3k|k〉〈k| = 1 , (1.67)

um vetor arbitrario pode ser expandido numa base ortogonal,

|ψ〉 =∑

m

|m〉〈m|ψ〉+

∫d3k |k〉〈k|ψ〉 . (1.68)

Isso tambem vale para observaveis,

A =∑

m,n

|m〉〈m|A|n〉〈n|+∫d3kd3l |k〉〈k|A|l〉〈l| , (1.69)

e funcoes de observaveis,

f(A) =∑

m,n

|m〉f(〈m|A|n〉)〈n|+∫d3kd3l |k〉f(〈k|A|l〉)〈l| . (1.70)


1.3.3 Degenerescencia

Os autovetores formam uma base natural para o espaco Hilbert. No entanto, um problema surgeem caso de degenerescencia, isto e, quando alguns autovalores sao iguais, an = am. Nesse casoos autovetores que correspondem aos autovalores degenerados nao sao completamente definidos,e temos que construir uma base verificando que todos autovetores construıdos sao ortogonais.Para isso, existe o metodo de ortogonalizacao de Schmidt, que funciona assim: Supomos que jaresolvemos a equacao de autovalores e que encontramos um autovalor degenerado, A|ak〉 = a|ak〉para cada k = 1, .., gk, onde gk e o grau da degenerescencia. Tambem achamos uma basecompleta de autovalores |am〉, mas que nao e ortogonal, isto e, 〈an|am〉 6= 0 para todos os n,m.A tarefa consiste em construir outra base |bm〉 satisfazendo 〈bn|bm〉 = δn,m.

O primeiro vetor da base ortogonal pode ser escolhido livremente, p.ex.

|b1〉 ≡ |a1〉 . (1.71)

Como a base |ak〉 e suposta completa, o segundo vetor e necessariamente uma combinacaolinear dos vetores |ak〉, isto e, |b2〉 = |a2〉+λ|b1〉. Com a condicao 〈b1|b2〉 = 0 = 〈b1|a2〉+λ〈b1|b1〉podemos determinar o λ, e obtemos para o segundo vetor

|b2〉 ≡ |a2〉 − |b1〉〈b1|a2〉〈b1|b1〉

. (1.72)

Do mesmo jeito podemos, calcular para um terceiro vetor, |b3〉 = |a3〉+µ|b1〉+ν|b2〉, as condicoes〈b1|b3〉 = 0 = 〈b1|a3〉+ µ〈b1|b1〉 e 〈b2|b3〉 = 0 = 〈b2|a3〉+ ν〈b2|b2〉 e obter

|b3〉 ≡ |a3〉 − |b1〉〈b1|a3〉〈b1|b1〉

− |b2〉〈b2|a3〉〈b2|b2〉

. (1.73)

Uma maneira geral de escrever e,

|bk〉 ≡(

1− |b1〉〈b1|〈b1|b1〉− |b2〉〈b2|〈b2|b2〉

− ..)|ak〉 . (1.74)

No Exc. 1.5.3.2 praticamos a ortogonalizacao de um conjunto de tres vetores linearmente inde-pendentes mas nao ortogonais, e no 1.5.3.3 achamos uma base ortogonal para um sistema detres nıveis parcialmente degenerado.

1.3.4 Bases como operadores unitarios

Uma maneira de formular o problema de autovalores e a seguinte: Seja |n〉 uma base ortonormalcom os autovalores respectivos an de um operador A:

A|n〉 = an|n〉 com 〈n|m〉 = δmn . (1.75)

Construımos as matrizes,

U ≡(|1〉 |2〉 · · ·

)e E ≡

a1 0 · · ·0 a2...

. . .

. (1.76)

Com a definicao de U temos,

U † =

〈1|〈2|...

e U †U =

〈1|1〉〈1|2〉 · · ·〈2|1〉〈2|2〉 · · ·

......

. . .

= 1 . (1.77)


Portanto,

U †U = 1 =⇒ U †UU−1 = 1U−1 =⇒ U † = U−1 (1.78)

U †U = 1 =⇒ UU †UU−1 = U 1U−1 =⇒ UU † = 1 .

Tambem vale,A|n〉 = E|n〉 e AU = UE . (1.79)

Isto e, conhecendo a matriz unitaria (ou de transformacao) U , podemos resolver o problema dosautovalores simplesmente por E = U−1AU .

Note, que isso nao vale para uma base nao ortonormal. Nesse caso, precisamos fazer umaortogonalizacao de Schmidt e utilizar a condicao det U = 1. Usamos a tecnica detalhada nestasecao para resolver os Excs. 1.5.3.4 e 1.5.3.5.

1.3.5 Sistema completa de operadores comutandos

Mesmo quando um sistema e simples, podemos fazer varios tipos de perguntas (medidas). Consi-derando, por exemplo, uma partıcula voando livremente no espaco, podemos procurar a posicaoou a velocidade dela. Seja a o resultado de uma medida da observavel A, isto e, a = 〈ψa|A|ψa〉.Devido a medida sabemos que o sistema esta no estado |ψa〉. Imediatamente depois dessa pri-meira medida, fazemos uma outra medida de uma outra observavel B dando 〈ψa|B|ψa〉. Oresultado desta medida so pode dar um autoestado b = 〈ψa|B|ψa〉, se os comutadores comutam,[A, B] = 0. Ou seja, se dois operadores A e B comutam e se |ψ〉 e um autovetor de A, entaoB|ψ〉 tambem e um autovetor de A com o mesmo autovalor:

[A, B] = 0 , a = 〈ψ|A|ψ〉 (1.80)

=⇒ A(B|ψ〉) = a(B|ψ〉) e 〈ψ|B|ψ〉 ∈ R .

Alem disso, observamos que, se dois operadores comutam, a base ortonormal construıdapara um dos operadores tambem e ortonormal para o outro. Ou seja, se dois operadores A e Bcomutam e se |ψ1〉 e |ψ2〉 sao dois autovetores de A com diferentes autovalores, o elemento dematriz 〈ψ1|B|ψ2〉 e igual a zero:

[A, B] = 0 , ak = 〈ψk|A|ψk〉 para k = 1, 2 (1.81)

=⇒ 〈ψ1|B|ψ2〉 = 0 .

Finalmente afirmamos que, se dois operadores A e B comutam, podemos construir uma baseortonormal |ψa,b〉 com autovetores comuns a A e B:

[A, B] = 0 (1.82)

=⇒ ∃ |ψa,b〉 tal que A|ψa,b〉 = a|ψa,b〉 e B|ψa,b〉 = b|ψa,b〉 .

As demonstracoes das afirmacoes (1.80) to (1.82) sao feitas no Exc. 8.6.1.1.

A fato que operadores comutandos tem um sistema comum de autovetores autorizando au-tovalores afiados pode ser utilizado para a construcao e caracterizacao de um estado.

Exemplo 3 (Medicao do momento em direcoes ortogonais): Por exemplo, as solucoesobvias das equacoes de autovalores,

px|ψpx〉 = ~i∇|ψpx〉 = px|ψpx〉 e py|ψpy 〉 = py|ψpy 〉


sao as ondas planas eipxx/~ e eipyy/~. Portanto, o estado total da partıcula pode ser descritopor

|ψpx,py,pz 〉 = |ψpx〉|ψpy 〉 = e(i/~)(pxx+pyy)f(z) .

No entanto, essas autofuncoes sao infinitivamente degeneradas, pois o momento linear nadirecao z nao esta especificado. O terceiro operador pz|ψ〉 = pz|ψ〉 comuta com os outros,

[pk, pm] = δk,m .

Portanto,

|ψpx,py,pz 〉 = e(i/~)(pxx+pyy+pzz) ,

e um estado possıvel do sistema.

Por outro lado, se nos escolhemos p2z = −~2 ∂2

∂z2 como terceiro operador, dando autovaloresp2z, o estado teria sido

|ψpx,py,p2z 〉 = e(i/~)(pxx+pyy) cos pzz~ ou |ψpx,py,p2z 〉 = e(i/~)(pxx+pyy) sin pzz~ . (1.83)

Portanto, existem duas solucoes com os mesmos autovalores, px, py, p2z. Para levantar essa

degenerescencia, precisamos introduzir mais uma observavel. Essa observavel pode ser, por

exemplo, a paridade P , isto e, o comportamento da funcao de onda sobre espelhamento

z −→ −z no plano x-y. O fato, que os CCOC px, py, pz de um lado, e px, py, p2z, P do

outro lado sao equivalentes mostra, que o numero necessario de observaveis para um CCOC

depende da escolha judiciosa deles.

Tambem, o numero necessario para um conjunto completo de operadores comutandos (CCOC)depende do numero de graus de liberdade e da simetria do sistema. No caso da partıcula livre emuma dimensao basta considerar uma observavel so, por exemplo X ou P . Em tres dimensoes, japrecisamos pelo menos tres observaveis comutandos. No Exc. 1.5.3.7 tentamos achar um CCOCpara uma matriz com autovalores parcialmente degenerados.

1.3.6 Relacao de incerteza

Ja aprendemos que observaveis que nao comutam nao podem ser medidas com precisao arbitra-ria. Esse principio pode ser quantificado da seguinte maneira: Sejam A e B duas observaveis.Entao,

∆A∆B ≥ 12 |〈[A, B]〉| . (1.84)

Isso e a famosa relacao de incerteza de Heisenberg. Por exemplo, [p, x] = −i~, e portanto∆p∆x≥ ~/2. Veremos mais tarde (vide Sec. 3.3.1) que [Lx, Ly] = i~Lz tal que ∆lx∆ly ≥ ~〈lz〉/2.Mais difıcil mostrar, pois o tempo nao tem operador simples, e ∆E∆t ≥ ~/2. No Exc. 1.5.3.8provamos a inigualdade de Schwartz, e no Exc. 1.5.3.9 pedimos uma derivacao formal do principioda incerteza de Heisenberg.

1.3.7 Simetrias na mecanica quantica

Ja vimos na Sec. 1.3.4 que, alem das observaveis, existe uma outra categoria de operadoresque nao corresponde a grandezas fısicas mensuraveis, mas e muito util no formalismo quantico.Esses sao os operadores de transformacao unitaria. Nesta secao conheceremos alguns exemplosinteressantes.


1.3.7.1 Operador de translacao temporal

A evolucao temporal de um sistema e descrito pela equacao de Schrodinger cuja solucao formalpode ser pronunciada da maneira seguinte,

|ψ(t)〉 = e−iHt/~|ψ(0)〉 . (1.85)

Com isso podemos definir um operador de translacao temporal,

US(τ) ≡ e−iHt/~ tal que US(τ)|ψ(t)〉 = |ψ(t+ τ)〉 . (1.86)

Discutiremos a evolucao temporal de maneira mais extensiva na Sec. 1.4.

1.3.7.2 Operador de translacao espacial

Antes de discutir o operador de translacao precisamos derivar a seguinte regra de calculo comcomutadores, o que sera feito no Exc. 1.5.3.10:

eABe−A = B + [A, B] + 12! [A, [A, B]] + ... . (1.87)

Agora aplicamos essa formula para os dois operadores P e R relacionados pela regra decomutacao,

[P , R] = −i~ . (1.88)

Obtemos

e(i/~)aP Re(−i/~)aP = R+ [(i/~)aP , R] +1

2![(i/~)aP , a] + ... = R+ a . (1.89)

Isto e, o operador Utr(a) ≡ e(−i/~)aP faz uma translacao espacial do operador de posicao. Ooperador e unitario,

Utr(a)−1 = Utr(a)† , (1.90)

e forma um grupo desde que Utr(a)Utr(b) = Utr(a + b). Resumindo o impacto do operador detranslacao sobre os operadores do espaco,

U †tr(a)RUtr(a) = R+ a , U †tr(a)PUtr(a) = P , (1.91)

onde a segunda relacao e obvia.Para demonstrar como ele age num estado, vamos calcular,

Re(−i/~)aP |r〉 = e(−i/~)aP (R+ a)|r〉 = (r + a)e(−i/~)aP |r〉 . (1.92)

Portanto,

Utr(a)|r〉 = e(−i/~)aP |r〉 = |r + a〉 . (1.93)

Finalmente, comparando a expansao do operador de translacao

e(−i/~)aP |r〉 =

(1− i

~aP − 1

~2

(aP )2

2!+ ..

)|r〉 , (1.94)

com a expansao de Taylor do estado translado,

|r + a〉 =

(1 + a

d

dr+a2

2!

d2

dr2+ ..

)|r〉 . (1.95)

obtemos

P |r〉 = −~i

d

dr|r〉 . (1.96)


1.3.7.3 Operador de rotacao

Calculamos,

e~α×r =∑

n

(~α×)n

n!r = r + ~α× r + 1

2~α× (~α× r) + .. (1.97)

= eα(eα · r) + eα × r sinα− eα × (eα × r) cosα , (1.98)

como pode ser mostrado no Exc. 1.5.3.11. Definimos o operador de rotacao por,

U †rt(~α)RUrt(~α) = e~α×r , Urt(~α)|r〉 = |e~α×r〉 . (1.99)

Para derivar a forma explicita do operador de rotacao, consideramos duas rotacoes em tornodo mesmo eixo ~α = λ1eα + λ2eα, tal que

Urt(λ1eα)Urt(λ2eα) = Urt(λ1eα + λ2eα) . (1.100)

Calculando a derivada desta equacao por λ1 e colocando depois λ1 = 0, temos,

dUrt(λ1eα)

dλ1

∣∣∣∣λ1=0

Urt(λ2eα) =dUrt(λ1eα + λ2eα)

d(λ1 + λ2)

∣∣∣∣λ1=0

d(λ1 + λ2)

dλ1

∣∣∣∣λ1=0

(1.101)

=⇒ dλ1eαdλ1

∣∣∣∣λ1=0

· ∇~βUrt(~β)∣∣∣λ1=0

=dUrt(λ2eα)

dλ2

=⇒ eα ·L

i~=dUrt(λ2eα)

dλ2,

onde definimos o operador do momento angular L ≡ i~ ∇~βUrt(~β)

∣∣∣λ1=0

. A solucao da ultima

equacao e,

Urt(~α) = e(−i/~)L·~α . (1.102)

A forma explicita de L segue a partir da sua aplicacao num estado |r〉. Comparando a expansaodo operador (1.102),

Urt(α)|r〉 =(1− i

~L · ~α+ ...)|r〉 (1.103)

com a expansao de Taylor do estado

|e~α×r〉 = |r + ~α× r + ...〉 = |r〉+ (~α× r) · ∇r|r〉+ ... , (1.104)

achamos

L|r〉 = −~i r×∇r|r〉 = r×P|r〉 = −P× r|r〉 , (1.105)

isto e,

L = R× P = P× R . (1.106)

Portanto, a observavel L e o momento angular orbital da partıcula produzindo as rotacoes.


1.3.7.4 Transformacao de Galilei

A transformacao de Galilei (ou Galilei boost) e definida por,

Tvr = r + vt e Tvp = p +mv . (1.107)

Vale Tv1Tv2 = Tv1+v2 . Procuramos o operador desta transformacao a partir das suas acoessobre estados de posicao e de momento. Para a posicao temos,

UG(v)|r〉 = eiϕ(r)|r + vt〉 = eiϕ(r)e(−i/~)P·vt|r〉 = e(−i/~)P·vteiϕ(R)|r〉 . (1.108)

O fator de fase eiϕ(r) e necessario para poder descrever simultaneamente o impacto sobre omomento,

UG(v)|p〉 = UG(v)e(−i/~)R·vm|p +mv〉 = e(−i/~)P·vteiϕ(R)e(−i/~)R·vm|p +mv〉 . (1.109)

Para este estado pertencer ao autovalor p + mv, os prefatores nao devem depender de R, talque,

ϕ(R) = 1~R · vm . (1.110)

Inserindo na Eq. (1.108) obtemos,

UG(v) = e(−i/~)P·vte(i/~)R·v = e(−i/~)v·G . (1.111)

Com o comutador de P e R derivamos,

[G · a,G · b] = 0 , (1.112)

e com isso,UG(v1)UG(v2) = UG(v1 + v2) . (1.113)

A observavel i~∇vUG(v)|v=0 = G = Pt = Rm define (para t = 0) o operador de posicao atravesda transformacao de Galilei.

1.3.7.5 Transformacao de calibre

O hamiltoniano de uma partıcula carregada interagindo com um potencial eletrico φ e umpotencial vetor magnetico A e,

H = 12m

(p− e

cA)2

+ eφ . (1.114)

O campo eletrico e o campo magnetico

E = −∇φ− 1c∂tA e B = ∇×A (1.115)

sao invariantes a respeito da substituicao

φ→ φ− 1c∂tχ e A→ A +∇χ , (1.116)

onde χ(r) e um campo escalar chamado de campo de calibre. A transformacao de calibre definidapor,

Ucl(χ) = e−ieχ(r,t)/~ (1.117)


deixe a equacao de Schrodinger invariante.Transformando os operadores e as funcoes de onda como,

H → UclHU−1cl ≡ HU e |ψ〉 → Ucl|ψ〉 ≡ |ψU 〉 , (1.118)

calculamos para a energia,

HU |ψU 〉 = Ucli~ ddtU

−1cl |ψU 〉 = Ucli~U−1

clddt |ψ〉+ Ucli~

(−ie~ U−1

cldχdt

)|ψ〉

= i~(ddt − ie

~

(dχdt

))|ψ〉 , (1.119)

e para o momento,

pU |ψU 〉 = Ucl(−i~∇)U−1cl |ψU 〉 = Ucl(−i~)U−1

cl (∇|ψU 〉) + (−i~)(−ie

~ U−1cl ∇χ

)|ψU 〉

= (−i~)[∇− ie

~ (∇χ)]|ψU 〉 , (1.120)

Isto corresponde as substituicoes 14,

Ucld

dtU−1cl =

d

dt− ie

~

(dχ

dt

)e UclpU

−1cl = p− ie

~∇χ . (1.121)

Verificamos, que isto e valido para r e p− ecA mas nao para p.

1.3.8 Teorema de Noether e leis de conservacao

As leis fundamentais da fısica frequentemente sao exprimidas como simetrias. O conhecimentodas simetrias permite a caracterizacao de um sistema e do seu comportamento sem a necessidadede conhecer os seus detalhes. Muitas vezes podemos deduzir a equacao diferencial do movimentoa partir das simetrias. As simetrias fundamentais definem as leis fundamentais da fısica. Seguinteo teorema de Noether cada simetria corresponde a uma grandeza conservada, isto e, invariavelpara todos os tempos. Ou seja, a invariancia de um sistema para transformacao de simetriarepresenta uma lei de conservacao. Por exemplo, a homogeneidade do espaco corresponde aconservacao do momento linear.

Uma transformacao de simetria e definida por

|ψ〉 −→ U |ψ〉 e Q −→ UQU † . (1.122)

Portanto, para achar uma lei de conservacao, isto e, uma observavel invariavel (tambem cha-mada de constante do movimento) devemos verificar que a observavel e as funcoes de ondatransformadas satisfazem simultaneamente as mesmas equacoes fundamentais (isto e, a equacaode Schrodinger ou a equacao de Heisenberg) como a observavel e as funcoes de onda originais.Por exemplo, se a funcao de onda |ψ〉 satisfaz a equacao de Schrodinger, a funcao de onda U |ψ〉deve fazer isso tambem,

HU |ψ〉 != i~

d

dtU |ψ〉 = i~

dU

dt|ψ〉+ i~U

d

dt|ψ〉 = i~

dU

dt|ψ〉+ UH|ψ〉 . (1.123)

Por consequencia, obtemos a relacao,

[H, U ] = i~U . (1.124)

14Em notacao quadrivetorial ∂µ −→ ∂µ − ie~ (∂µχ).


Exemplo 4 (Observaveis conservadas): Um operador B que comuta com o hamiltonianonao depende explicitamente de tempo,

i~d

dt〈B〉 = 〈[B, H]〉 .

isto e, ele e conservado. Para ver isso fazemos o seguinte calculo,

i~d

dt〈ψ|B|ψ〉 = i~〈ψ|B|ψ〉+ i~〈ψ| ˙

B|ψ〉+ i~〈ψ|B|ψ〉

= 〈ψ|H†B|ψ〉+ 0 + 〈ψ|B|Hψ〉 = 〈ψ|[B, H]|ψ〉 .

1.3.8.1 Homogeneidade temporal

A homogeneidade temporal significa invariancia a respeito de uma translacao no tempo, isto e,a respeito da transformacao unitaria temporal

U(τ) ≡ |ψ(τ)〉〈ψ(0)| = e(i/~)Eτ . (1.125)

Como ddte

(i/~)Eτ = 0, isso significa [e(i/~)Eτ , H] = 0, o que implica a conservacao de energia

[E, H] = 0. Isso sera verificado no Exc. 1.5.3.12.

Exemplo 5 (Homogeneidade do tempo): Imaginamos a seguinte experiencia mental ou

Gedankenexperiment: Consideramos dois corpos atraentes que se afastam um do outro ate

chegar no perihelo. Neste momento, antes que os corpos se aproximam de volta, mudamos

as leis, por exemplo, modificando a forca da atracao. Quando os corpos chegam no ponto

inicial a energia total nao e nula. Por isso, a conservacao da energia indica que as leis sao

invariaveis.

1.3.8.2 Isotropia temporal

As leis fundamentais da fısica classica e da mecanica quantica sao todas simetricas a respeitodo reverso do tempo. Isto e, elas sao invariantes quando trocamos a seta temporal, t→ −t.

1.3.8.3 Homogeneidade do espaco

Homogeneidade do espaco significa invariancia para translacao espacial, isto e, a respeito datransformacao unitaria translacional

Utr(a) ≡ |r + a〉〈r| = e(−i/~)p·a . (1.126)

Isso e equivalente a conservacao de momento [p, H] = 0 15.

15Imagine que as forcas de atracao de dois corpos nao sao iguais. Contrario a terceira lei de Newton o corpoA atrai o corpo B, mais do que o corpo B atrai o corpo A. Nesse caso depois de um tempo os dois corpos temmomentos diferentes. Como a transformacao unitaria Utr(a) = e−ip·a/~ ' 1− iεp · a/~ + ... temos

UtrH|ψ〉 = UtrEψ|ψ〉 = EψU |ψ〉 = H|ψ(r + a)〉 =? = H|ψ(r〉 .

Como [H,p] = 0, a equacao de Heisenberg da,

∂

∂t〈ψ|p · a|ψ〉 =

1

i~〈ψ|[p · a, H]|ψ〉 = 0 .


Exemplo 6 (Homogeneidade do espaco): O teorema de Ehrenfest diz que [p, H] =

−i~∂H∂p . Portanto, o comutador nao e nulo quando tem um potencial, H = p2/2m + V (r).

Isso e obvio, pois o potencial introduz uma inomogeneidade de energia para uma partıcula

interagindo com o potencial. No entanto, isso nao significa que o espaco mesmo e inomogeneo,

pois para verificar a invariancia translacional do espaco devemos deslocar o sistema inteiro,

isto e, a partıcula junto com o potencial. Por exemplo, se o potencial e gerado por uma outra

partıcula devemos considerar o hamiltoniano H = p21/2m1 + p2

2/2m2 + V (r1 − r2).

1.3.8.4 Isotropia espacial

Isotropia espacial significa invariancia para rotacao, isto e, a respeito da transformacao unitariarotacional

Urt(φ) ≡ e(−i/~)Lφ . (1.127)

Isso e equivalente a conservacao do momento angular [L, H] = 0.

Exemplo 7 (Isotropia do espaco): Imaginamos agora que as forcas de atracao de dois

corpos nao sao iguais. Isto e, contrario a terceira lei de Newton o corpo A atrai o corpo B

mais do que o corpo B atrai o corpo A. Nesse caso depois de um tempo os dois corpos tem

momentos diferentes.

1.3.8.5 Conservacao da paridade

Alem das transformacoes de simetrias continuas existem transformacoes discretas. As simetriasdiscretas sao importantes na fısica das partıculas elementares. A conservacao da paridade sig-nifica invariancia a reflexao espacial: r → −r. A transformacao de paridade e definida peloespalhamento da funcao de onda num ponto do espaco, por exemplo x = 0,

P |ψ(x)〉 ≡ |ψ(−x)〉 . (1.128)

comP 2 = P . (1.129)

Falamos de paridade par, quando P |ψ(x)〉 = |ψ(x)〉 e de paridade ımpar, quando P |ψ(x)〉 =−|ψ(x)〉. Vide 1.5.3.13.

1.3.8.6 Invariancia a velocidade do sistema inercial

O Galilei boost demanda invariancia de Galilei a respeito da transformacao,

UG(v ≡ |r + vt,p +mv〉〈r,p| , (1.130)

isto e, a independencia da velocidade v do sistema inercial.

1.3.8.7 Conservacao da carga

A conservacao da carga significa invariancia a respeito das transformacoes de calibre,

Ucl(χ) ≡ e−ieχ(r,t)/~ , (1.131)

onde χ e o campo de calibre. Notamos que e e χ sao observaveis conjugadas. Portanto, se[χ, H] = 0, a carga e e uma grandeza conservada.

As transformacoes podem ser combinadas. Por exemplo, achamos hoje em dia que todas leissao invariaveis a respeito da transformacao CPT, isto e, a combinacao de conjugacao da carga,inversao da paridade e transformacao θ.


1.3.9 Representacoes

1.3.9.1 Representacao espacial

O espaco de Hilbert pode ser discreto ou continuo como no caso do momento de uma partıculalivre. Neste caso, os autovalores sao distribuıdas continuamente, pois a equacao

−i~∇rψ(r) = pψ(r) , (1.132)

tem solucoes para cada valor de E. As autofuncoes sao ψ(r) = aeip·r/~. A Eq. (1.132) claramentetem a forma de uma equacao de autovalores para a qual ja introduzimos o formalismo matricialde Heisenberg. A pergunta agora e, como estas descricoes se combinam.

Observaveis que nao comutam correspondem a expansoes em diferentes bases e geram re-presentacoes alternativas. Por exemplo, podemos representar a mecanica quantica em espaco deposicao ou em espaco de momento linear. Se |r〉 e uma base do espaco de estados da partıcula,

R|r〉 = r|r〉 , 〈r′|r〉 = δ3(r′ − r) ,

∫

R3

|r〉〈r|d3r = 1 , (1.133)

podemos expandir um vetor de estado numa base de posicao como

|ψ(t)〉 =

∫

R3

|r〉ψ(t, r)d3r . (1.134)

As grandezas 〈r|ψ(t)〉 = ψ(t, r) sao as funcoes de onda de Schrodinger. Tambem podemos dizerque as funcoes de onda sao as coordenadas do estado na base particular |r〉. Por consequencia

〈r|R|r′〉 = rδ3(r− r′) (1.135)

〈r|f(R)|r′〉 = f(r)δ3(r− r′) . (1.136)

Tambem vale

〈r|A|ψ(t)〉 =

∫

R3

A(r, r′)ψ(t, r′)d3r′ , (1.137)

onde a grandeza A(r, r′) ≡ 〈r|A|r′〉 e chamada kernel do operador. A transicao a partir damecanica abstrata de Heisenberg ate a mecanica de ondas de Schrodinger e feito pelas substi-tuicoes |ψ(t)〉 → ψ(t, r) e A→ A(r, r′).

1.3.9.2 Representacao de momento

A relacao de incerteza e simetrica em r e p. Nada nos impede escolher como base

P|p〉 = p|p〉 , 〈p′|p〉 = δ3(p′ − p) ,

∫

P 3

|p〉〈p|d3p = 1 , (1.138)

com as funcoes de onda

|ψ(t)〉 =

∫

R3

|p〉ϕ(p, t)d3p , (1.139)

onde 〈p|ψ(t)〉 = ϕ(t,p). As formulas sao analogas a representacao espacial. Em particular narepresentacao de momento o operador de posicao e r = i~∇p.


As representacoes seguem uma da outra por transformacao de by Fourier. Desde−i~∇r〈r|p〉 =p〈r|p〉, sabemos

〈r|p〉 = 1~3/2 exp( i~r · p) , (1.140)

onde o prefator ~−3/2 e introduzido para tomar conta das unidades dos estados 16. ψ e ϕ saorepresentacoes diferentes do mesmo estado quantico relacionadas por

〈r|ψ(t)〉 =

∫

R3

〈r|p〉〈p|ψ(t)〉d3p = 1~3/2

∫

R3

eir·p/~ϕ(p, t)d3p = ψ(r, t) (1.141)

〈p|ψ(t)〉 =

∫

R3

〈p|r〉〈r|ψ(t)〉d3r = 1~3/2

∫

R3

e−ir·p/~ψ(r, t)d3r = ϕ(p, t) .

Ou usando o vetor de onda ~k = p,

ψ(r) =

∫

R3

eir·kϕ(k)d3k e ϕ(k) =

∫

R3

e−ir·kψ(r)d3r , (1.142)

definindo a funcao ϕ(k) ≡ ~3/2ϕ(p). Aplicando a transformacao de Fourier sobre funcoes deoperadores podemos calcular,

〈r|G(P)|r′〉 =

∫d3p〈r|G(P)|p〉〈p|r′〉 =

∫d3pG(p)〈r|p〉〈p|r′〉 (1.143)

= 1~3/2

∫d3pG(p)eik(r−r′) = 1

~3 (FG)(r− r′) .

No Exc. 1.5.3.14 mostraremos 〈r|P|ψ〉 = (~/i)∇〈r|ψ〉, justificando assim, que podemos enten-der um operador como uma regra determinando o que acontece com uma funcao. Por exemplo,a regra px, diz que a funcao deve ser derivada para x.

1.4 Evolucoes temporais

1.4.1 Transformacoes unitarias

O melhor que podemos fazer para caracterizar um sistema e obviamente medir todas as ob-servaveis. No entanto, as funcoes do estado nao sao fixadas sem ambiguidade. Pois definindoum operador unitario, U † = U−1, obtemos

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|U †U AU †U |ψ〉 = 〈Uψ|U AU †|Uψ〉 . (1.144)

Isto e, trocando |ψ〉 por U |ψ〉 e no mesmo tempo A por U AU †, obtemos grandezas descrevendoa mesma realidade fısica, isto e, os autovalores ficam inalterados. Isso nos permite escolher amelhor representacao matematica para um problema especifico. Como exemplo, aplicaremos atransformacao unitaria temporal para resolver a dinamica de um sistema de dois nıveis acopladosno Exc. 1.5.4.1.

16Note que as unidades das funcoes de onda sao definidas por normalizacao: 〈r′|r〉 = δ3(r− r′). Introduzindoa parentese [...] para extrair a unidade de uma grandeza fısica, constatamos, [|r〉] = [ψ(r)] = [r−3/2] e [|p〉] =[ϕ(p)] = [p−3/2]. Nao atribuımos unidade para o estado abstrato |ψ〉, ou seja, [|ψ〉] = 1.

1.4. EVOLUCOES TEMPORAIS 29

1.4.2 Imagens de Heisenberg e de Schrodinger

Um exemplo importante sao as imagens de Heisenberg e de Schrodinger.

Consideramos um hamiltoniano estacionario,

H = H(PS , RS) comd

dtPS =

d

dtRS = 0 . (1.145)

Isto e, as observaveis do sistema AS(PS , RS , t) so podem depender explicitamente do tempo,mas nao atraves dos operadores PS e RS ,

d

dtAS(t, PS , RS) =

∂

∂tAS(t) +

˙PS

∂AS∂PS

+˙RS

∂AS∂RS

=∂

∂tAS(t) . (1.146)

Nesse caso a solucao formal da equacao de Schrodinger,

i~d

dt|ψS(t)〉 = H|ψS(t)〉 , (1.147)

pode ser escrita,

|ψS(t)〉 = e−(i/~)Ht|ψS(0)〉 ≡ U(t)|ψS(0)〉 . (1.148)

Isto e, a dinamica temporal e completamente dentro das funcoes de ondas. Os operadores PS eRS sao estacionarios. Isso se chama a imagem de Schrodinger.

Do outro lado sabemos ja, que transformacoes unitarias nao mudam a fısica do sistema.Portanto, o sistema descrito por

|ψS(t)〉 −→ U(t)†|ψS(t)〉 ≡ |ψH〉 com AS(t) −→ U(t)†AS(t)U(t) ≡ AH(t) (1.149)

e equivalente. Nessa imagem de Heisenberg as funcoes de onda sao independentes do tempo,

d

dt|ψH〉 =

d

dt|ψS(0)〉 = 0 . (1.150)

Mas os operadores dependem im- e explicitamente do tempo,

d

dtAH(t) =

d

dt

(U(t)†AS(t)U(t)

)=dU †

dtAS(t)U(t) + U(t)†AS(t)

dU

dt+ U(t)†

∂AS(t)

∂tU(t)

(1.151)

=i

~H†U(t)†ASU(t) + U(t)†AS

−i~HU(t) + U †

∂AS(t)

∂tU(t) =

i

~[H, AH ] +

∂AH(t)

∂t.

O Exc. 1.5.4.2 pede para calcular ddt PH e d

dtRH e no Exc. 1.5.4.3 usaremos a imagem de Heisen-berg para derivar as equacoes do movimento de uma partıcula confinada num potencial.

Os teoremas podem ser generalizados para hamiltonianos dependentes do tempo, H(t) =H0 + V (t). Uma imagem frequentemente utilizada e a imagem de interacao 17 mas nao vamosaprofundar aqui (vide Sec. 4.4).

17Vide a apostila do curso Interacao de luz com materia do mesmo autor.


1.4.3 Teorema de Ehrenfest

As observaveis na imagem de Heisenberg seguem as mesmas equacoes de movimento como asgrandezas classicas correspondentes. Esse princıpio de correspondencia se chama teorema deEhrenfest. Por exemplo, quando trabalhamos com variaveis de posicao e de momento [x, k] = i

e H = ~22m k

2 + V (x) obtemos

[x, H] = i~δH

δpe [p, H] = −i~δH

δx, (1.152)

e utilizando a equacao de Heisenberg,

˙x =δH

δpe ˙p = −δH

δx. (1.153)

Demonstraremos isso no Exc. 1.5.4.4 para o caso de um potencial harmonico.A equacao do movimento para os valores esperados das observaveis na imagem de Schrodinger

adota a forma

d

dt〈AS〉 = 〈∂tψ|AS |ψ〉+ 〈ψ|∂tAS |ψ〉+ 〈ψ|AS |∂tψ〉 (1.154)

=∂

∂t〈AS〉+

i

~〈[H,AS ]〉 .

Os valores esperados se comportam como observaveis de Heisenberg na Eq. (1.151), isto e,seguem as leis da mecanica de Hamilton e de Newton.

O resultado importante agora e que as equacoes que governam os valores esperados das ob-servaveis sao iguais nas duas imagens, pois da imagem de Heisenberg obtemos com a Eq. (1.151),

d

dt〈AH〉 =

∂

∂t〈AH〉+

i

~〈[H,AH ]〉 .

1.4.3.1 Generalizacao do comutador

Para operadores lineares satisfazendo [A, B] = i podemos dar a seguinte relacao: [A, F (A, B)] =

i δF (A,B)

δB. Isso pode ser verificado facilmente por uma expansao de Taylor de F (A, B) por B em

torno de B = 0. Uma consequencia imediata de [p, r] = −i~ e

[p, F (r)] = −i~δF (r)

δr. (1.155)

A observavel do momento nao e definido singularmente pela relacao de comutacao, por-que cada operador transformado unitariamente satisfaz a relacao tambem. Podemos expandirum momento unitariamente equivalente como p = UpU+ = eiF (r)pe−iF (r) = p + i[F (r), p] +12! [F (r), [F (r), p]] + ... usando a relacao (1.122).

1.5 Exercıcios

1.5.1 Antecedentes historicos

1.5.1.1 Ex: Conservacao da probabilidade

Demonstre a conservacao local da probabilidade atraves das definicoes das densidades de pro-babilidade, ρ(r, t), e de corrente j(r, t).

1.5. EXERCICIOS 31

1.5.1.2 Ex: Teorema de Fourier

A distribuicao espacial de uma partıcula seja dada por uma funcao gaussiana com a largura ∆x.Calcule a distribuicao de momento e a sua largura ∆p. So considere uma dimensao espacial.Mostre ∆x∆p = ~ utilizando a definicao rms para as larguras.

1.5.2 Postulados da mecanica quantica

1.5.2.1 Ex: Realidade dos autovalores

Demonstre que os autovalores de uma observavel sao reais.

1.5.2.2 Ex: Vetor de Bloch

Calcule o valor esperado do comprimento do vetor de Bloch.

1.5.2.3 Ex: Superposicao quantica

Discute como matrizes podem descrever a criacao de estados de superposicao no exemplo deuma partıcula passando por uma fenda dupla. Identifique as fendas com os estados 〈1| =

(1 0

)

e 〈2| =(0 1

)e constroi uma observavel para a posicao da partıcula. Como esta observavel

deve se comportar no e limite classico.

1.5.2.4 Ex: Medida quantica

Explique a ideia da medida quantica no exemplo de uma medida da energia de excitacao de umatomo de dois nıveis.

1.5.2.5 Ex: Atomo de dois nıveis

Considere um atomo de dois nıveis. O hamiltoniano e dado por,

H =

(0 00 ~ω0

).

Usando a equacao de Schrodinger estacionaria, calcule autovalores e autovetores.

1.5.2.6 Ex: Molecula de amonia

Considere os dois estados |1〉 e |2〉 da molecula de amonia esquematizados na figura. Suponhaque eles estao ortonormalizados, 〈i|j〉 = δij , e que apenas esses dois estados sejam acessıveis aosistema, de forma que podemos descreve-lo usando a base formada por |1〉 e |2〉. Nessa base ohamiltoniano H do sistema e dado por

H =

(E0 −E1

−E1 E0

).

a. Se inicialmente o sistema estiver no estado |1〉, ele permanecera nesse estado em um instanteposterior? E se estiver no estado |2〉?b. Obtenha os autovalores EI e EII e os respectivos autovetores |I〉 e |II〉 de H, expressando os


em termos de |1〉 e |2〉.c. Qual a probabilidade de medirmos uma energia EI no estado seguinte

|ψ〉 = 1√5|1〉 − 2√

5|2〉 .

d. Baseado no resultado acima, podemos prever pelo menos uma frequencia de emissao deradiacao eletromagnetica possıvel para uma amostra de amonia. Qual e essa frequencia?

EUF 2014, 1 Semestre, Mecânica Quântica - Q1 1

(a) Não, já que estes estados não são autoestados do hamiltoniano. A evolução temporal do sistema mistura os dois e temos duas combinações específicas com energia bem definida, os autoestados de H. Começando em |1> ou |2> teremos a possibilidade de medir qualquer uma das duas energias possíveis dependendo do tempo esperado.

|1> |2>

(b)

Figura 1.1: Os dois estados da molecula de amonia.

1.5.3 Formalismo abstrato da mecanica quantica

1.5.3.1 Ex: Ortogonalidade

Demonstre que dois autovetores de um operador hermitiano associados a dois autovalores dife-rentes sao ortogonais.

1.5.3.2 Ex: Ortonormalizacao

Ortonormalize a base 〈a1| =(1 −1 0

), 〈a2| =

(0 1 0

), 〈a3| =

(0 1 1

).

1.5.3.3 Ex: Base ortonormal

Construe uma base ortonormal para o seguinte operador descrevendo um sistema de tres nıveisparcialmente degenerados

A =

1 1 11 1 11 1 1

.

1.5.3.4 Ex: Equacao de autovalores

Calcule a matriz unitaria U transformando o hamiltoniano H =

(1 −ii 1

)para a a matriz

diagonal E = U †HU .

1.5.3.5 Ex: Autovalores e autovetores

Acha os autovalores e -vetores do operador A =

1 1 11 1 11 1 1

e constroi a matriz unitaria trans-

formando este operador numa matriz diagonal.

1.5. EXERCICIOS 33

1.5.3.6 Ex: Operadores comutandos

a. Demonstre que, se dois operadores A e B comutam e se |ψ〉 e um autovetor de A, B|ψ〉tambem e um autovetor de A com o mesmo autovalor.b. Demonstre que, se dois operadores A e B comutam e se |ψ1〉 e |ψ2〉 sao dois autovetores deA com diferentes autovalores, o elemento de matriz 〈ψ1|B|ψ2〉 e igual a zero.c. Demonstre que, se dois operadores A e B comutam, podemos construir uma base ortonormalcom autovetores comuns a A e B.

1.5.3.7 Ex: Autovalores

a. Acha os autovalores e os autovetores do operador A =

1 0 10 µ 01 0 1

para 0 < µ < 2.

b. Escreve a matriz unitaria U que satisfaz a auto-equacao: AU = UEA, onde EA e a matrizque tem todos autovalores de A na diagonal.c. Agora considere o caso µ = 0. Acha um CCOC conjunto completo de operadores comutandos.Isto e, calcule as componentes de um segundo operador B comutando com A em funcao dassuas autovalores λ1, λ2 e λ3, e verifique [A, B] = 0.

1.5.3.8 Ex: Inigualdade de Schwartz

Demonstre a inigualdade de Schwartz |〈u|v〉|2 ≤ 〈u|u〉〈v|v〉.

1.5.3.9 Ex: Principio da incerteza de Heisenberg

Desenvolva a derivacao formal do principio da incerteza de Heisenberg.

1.5.3.10 Ex: Calculo com comutadores

Derive a regra (1.122) por uma expansao de Taylor do operador

G(τ) ≡ eτABe−τA .

1.5.3.11 Ex: Calculo com comutadores

Derive a regra e~α×r =∑

n(~α×)n

n! r = eα(eα · r) + eα × r sinα− eα × (eα × r) cosα.

1.5.3.12 Ex: Constante do movimento

Mostre no exemplo da conservacao da energia utilizando a relacao (??), que a energia comutacom o hamiltoniano se E = 0.

1.5.3.13 Ex: Paridade

Demonstre que as autofuncoes do hamiltoniano H = −(~/2m)(d2/dx2)+V (x) possuem paridadedefinida, isto e, a paridade e um bom numero quantico no caso em que a energia e uma funcaopar da posicao, V (x) = V (−x).


1.5.3.14 Ex: Transformacao de Fourier

Demonstre que 〈r|P|ψ〉 = ~i∇〈r|ψ〉 escreva a equacao de Schrodinger na representacao de

posicao.

1.5.4 Evolucoes temporais

1.5.4.1 Ex: Atomo de dois nıveis acoplados

Calcule a evolucao temporal de um atomo com dois nıveis acoplados por um campo de luzusando o hamiltoniano,

H =

(0 1

2~Ω12~Ω ~∆

),

onde ∆ = ω − ω0 e a dessintonizacao entre a frequencia da luz e a frequencia da transicaoe Ω a frequencia de Rabi. Ajuda: Determine a matriz dos autovalores E e a transformacaounitaria U dada por U †HU = E e utilize a solucao formal da equacao de Schrodinger: |ψ(t)〉 =

e−iHt/~|ψ0〉 = e−iU†EUt/~|ψ0〉 = U †e−iEt/~U |ψ0〉 18.

1.5.4.2 Ex: Imagem de Heisenberg

Calcule ddt PH e d

dtRH .

1.5.4.3 Ex: Movimento na imagem de Heisenberg

Considere o hamiltoniano H = p2

2m + m2 ω

2x2. Usando a relacao [p, x] = −i~ calcule na imagemde Heisenberg a equacao de movimento para as observaveis p, x e px.

1.5.4.4 Ex: Teorema de Ehrenfest

Compare as equacoes do teorema de Ehrenfest com aquelas de Hamilton-Jacobi para umapartıcula classica sujeita a um potencial independente do tempo. Discuta o limite classico,isto e, quando as equacoes de Hamilton-Jacobi aproximam-se daquelas de Ehrenfest.

18O codigo MATLAB para calcular a evolucao temporal (QA Fundacao Evolucao.m) se encontra na pagina webrelativo a este curso.

Capıtulo 2

Movimento linear / Potenciaisseparaveis

Nesse capitulo analisaremos os movimentos de translacao e de vibracao de uma partıcula quantica.Daremos uma consideracao especial para o potencial retangular e o oscilador harmonico.

2.1 Movimento translacional

Em uma dimensao o hamiltoniano de uma partıcula livre e,

H = − ~2

2m

d2

dx2. (2.1)

Portanto, a solucao geral da equacao estacionaria de Schrodinger,

Hψ(x) = Eψ(x) , (2.2)

e

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx com k =√

2mE~2 . (2.3)

Note que as funcoes eikx nao sao quadraticamente integraveis, pois∫∞−∞ |eikx|2dx =

∫∞−∞ dx →

∞. Mas do outro lado, elas nao representam sistemas fısicos reais. Em pratica, precisamosconsiderar pacotes de ondas ou especificar um volume finito para a partıcula. Note tambem,que o espectro dos autovalores e contınuo.

2.1.1 Bom comportamento

Para garantir a interpretacao como densidade de probabilidade exigimos integrabilidade quadratica,

∫|ψ|2d3r = 1 . (2.4)

Isso significa, que a funcao de onda nao pode ser infinita em um volume finito. Mas pode serinfinita num volume infinitamente pequeno. Tambem, como a equacao de Schrodinger contem asegunda derivada pela posicao, a funcao de onda deve ser contınua e ter uma derivada contınua.

2.1.2 Separacao das dimensoes

Frequentemente, um potencial 3D pode ser escrito da forma,

V (x, y, z) = Vx(x) + Vy(y) + Vz(z) . (2.5)

35

36 CAPITULO 2. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARAVEIS

Isso e o caso, por exemplo, para um poco retangular, com Vx(x) = Vy(y) = Vz(z) = V0/3 dentrodo poco e V (x, y, z) = 0 fora. Tambem vale para um potencial harmonico,

V (r) =m

2

(ω2xx

2 + ω2yy

2 + ω2zz

2). (2.6)

Nesses casos, e geralmente util fazer o seguinte ansatz para a funcao de onda,

ψ(r) = ψx(x)ψy(y)ψz(z) . (2.7)

Pois inserindo o ansatz na equacao de Schrodinger,[− ~2

2m

(d2

dx2+

d2

dy2+

d2

dz2

)+ Vx(x) + Vy(y) + Vz(z)

]ψx(x)ψy(y)ψz(z) = Eψx(x)ψy(y)ψz(z) ,

(2.8)a equacao separa em tres equacoes unidimensionais independentes,

− ~2

2m

ψ′′x(x)

ψx(x)+ Vx(x) = const. ≡ Ex , (2.9)

e assim para y e z. Como E = Ex+Ey+Ez pode ter o mesmo valor para diferentes combinacoesdos Ex, Ey e Ez, sistemas multidimensionais frequentemente sao degenerados.

2.2 Potencial retangular

2.2.1 Potencial de caixa

Vamos agora colocar a partıcula dentro de um poco de potencial retangular, tal que o hamilto-niano seja,

H = − ~2

2m

d2

dx2+ V (x) com V (x) =

0 para x ∈ [0, L]∞ para x /∈ [0, L]

. (2.10)

Como as barreiras de potencial sao altas, as paredes sao duras, isto e, a partıcula, mesmo sendouma partıcula quantica, nao pode penetrar. A funcao de onda e os valores possıveis de energiasao

ψ(x) =

√2

Lsin

nπx

Le En =

n2~2π2

2mL2. (2.11)

O Exc. 2.5.2.1 pede para demonstrar o resultado (2.11) ilustrado na Fig. 2.1 1.Obviamente o espectro dos autovalores agora e discreto. Eles podem ser enumerados por

um numero integro n chamado de numero quantico. Note que os nıveis de energia nao saoequidistantes.

Exemplo 8 (Energia de localizacao): Existe uma energia mınima E1 = ~2π2

2mL2 que sechama energia do ponto zero ou energia de localizacao. Essa energia pode ser entendido comoconsequencia do principio de incerteza de Heisenberg. Podemos fazer a seguinte estimacaogrossa da energia do ponto zero. A partıcula e localizada com incerteza inferior a ∆x < L.Portanto, ∆p > ~/∆x > ~/L. A energia cinetica media e

〈p2〉2m

=〈p〉2 + ∆p2

2m=

∆p2

2m>

~2

2mL2.

O fato que o valor numerico e diferente do valor calculado pela formula (2.11) vem da

geometria particular do potencial de caixa.

1O codigo MATLAB para calcular a evolucao temporal se encontra na pagina web relativo a este curso.

2.2. POTENCIAL RETANGULAR 37

0 0.5 10

5

10

15

20

25

30

35

40

x / L (μm)

E , ψ

(μ

m)

Figura 2.1: (Codigo: QA Movimento SquareWell.m) Funcoes de onda e energias no poco retan-gular.

2.2.2 Potencial de caixa multidimensional

Num poco multidimensional pode ter degenerescencia, se o poco e simetrico. No caso de umpoco 2D quadratico Lx = Ly, as autoenergias sao duplamente degeneradas, pois Enx,ny = Eny ,nx .No caso de um poco 3D cubico Lx = Ly = Lz, as autoenergias sao 6 vezes degeneradas, poisEnx,ny ,nz = Eny ,nz ,nx = Enz ,nx,ny = Enz ,ny ,nx = Eny ,nx,nz = Enx,nz ,ny . Os estados e energias dopoco 2D sao calculados no Exc. 2.5.2.2.

2.2.3 Potenciais com varias secoes de profundidades constantes

Para achar a funcao de onda global em potenciais com varias secoes de profundidades constantes,resolvemos equacoes de Schrodinger separadamente para cada secao,

(− ~2

2m

d2

dx2+ Va

)ψa(x) = Eψa(x) . (2.12)

A solucao geral para uma secao a com a energia potencial Va e,

ψa(x) = Aaeikax +Bae

−ikax , (2.13)

onde ka = 1~√

2m(E − Va). Se E > Va, a onda esta propagante. ka e o vetor de onda da ondade Broglie. Se E < Va, a onda esta evanescente. Isto e, a onda decai dentro de um comprimentoκa = −ika.

Se a partıcula e confinada, isto e, se E < V (x → ±∞), os possıveis nıveis de energia saoquantizadas e o espectro e discreto.

Para cada transicao entre dois secoes a = 1 e a = 2 exigimos as condicoes de contorno,

ψ1(x) = ψ2(x) e ψ′1(x) = ψ′2(x) . (2.14)

Junto com a normalizacao, 1 =∫∞−∞ |ψ|2dx, esses condicoes sao suficiente para determinar a

funcao de onda sem ambiguidade.


Figura 2.2: Esquema de um potencial com varias secoes de profundidades constantes.

2.2.4 Poco de potencial

Considere uma partıcula com energia E e um poco de energia potencial de profundidade finitatal que V (x) = V0 < 0 para −L/2 > x > L/2 e V (x) = 0 senao, como ilustrado no lado esquerdada Fig. 2.3. A partıcula seja confinada, E < 0.

Figura 2.3: Esquema de um poco de potencial bilateral (esquerda) e unilateral (direito).

Os vetores de onda sao

k1 = k3 = 1~

√2mE = i1

~

√2m|E| = iκ1 e k2 = 1

~

√2m(E − V0) . (2.15)

com κ1 ∈ R+. As condicoes de contorno dao,

A1e−ik1L/2 +B1e

ik1L/2 = A2e−ik2L/2 +B2e

ik2L/2 (2.16)

−ik1A1e−ik1L/2 + ik1B1e

ik1L/2 = −ik2A2e−ik2L/2 + ik2B2e

ik2L/2

A2eik2L/2 +B2e

−ik2L/2 = A3eik1L/2 +B3e

−ik1L/2

ik2A2eik2L/2 − ik2B2e

−ik2L/2 = ik1A3eik1L/2 − ik1B3e

−ik1L/2 .

Para partıculas confinadas, E < 0, o problema e totalmente simetrico. Alem disso, a funcao deonda deve desaparecer para x→ ±∞. Por isso, podemos simplificar,

A1 = 0 = B3 e A3 = B1 . (2.17)

As duas primeiras equacoes (2.16) agora dao,

B1eik1L/2 = A2e

−ik2L/2 +B2eik2L/2 =

k2

k1

(−A2e

−ik2L/2 +B2eik2L/2

). (2.18)

Consideramos agora o quociente B2/A2. Usando a parte direita da equacao (2.18),

B2

A2=e−ik2L/2(k2 + k1)

eik2L/2(k2 − k1)=e−ik2L(k2 + iκ1)2

k22 + κ2

1

. (2.19)

2.3. BARREIRA DE POTENCIAL 39

Como as amplitudes sao reais, a parte imaginaria do quociente (2.19) deve desaparecer, o que eo caso quando,

0 = Im e−ik2L(k2 + iκ1)2 = 2κ1k2 cos k2L+ (κ21 − k2

2) sin k2L (2.20)

=⇒ tan k2L =2κ1k2

−κ21 + k2

2

.

Para construir graficamente os valores dos momentos k2 associados aos nıveis de energiapermitidos a partıcula introduzimos uma constante β ≡ ~/(L

√2m|V0|). Assim,

tan k2L = tan1

β

√1− |E/V0| =

2√|E/V0|

√1− |E/V0|

1− 2|E/V0|=

2κ1k2

−κ21 + k2

2

. (2.21)

−10 0 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

tan k2L ,2κ1k2

−κ21 + κ2

2

E ,

En

(V0)

Figura 2.4: (Codigo: QA Movimento SquareFinite.m) Solucao grafica para um poco de potencialbilateral finito. As curvas pontilhadas vermelhas representam as tangentes (lado esquerda daequacao (2.21)), as curvas solidas verdes as hiperboles (lado direita da equacao), os cırculos emciano sao os auto-energias. Quando 0 < E − V0 E, elas convergem para as auto-energias dopoco infinitamente profundo (cruzes pretas e linha vertical preta).

No fundo de potenciais profundos, isto e, 0 < E − V0 E, ou equivalente, E ' V0, temosk2 κ1 e portanto, tan k2L→ 0 =⇒ k2L = nπ. As energias sao entao,

E − V0 =~2

k22

2m =~2π2

2mL2n2 . (2.22)

Aplicaremos as nocoes obtidas nesta secao para o Exc. 2.5.2.3.

2.3 Barreira de potencial

O momento linear de uma partıcula descrita por ψ(x, t) = Aeikx e

〈ψ|p|ψ〉 = 〈ψ|~i

d

dx|ψ〉 = ~k . (2.23)

Portanto, essa partıcula se propaga em direcao +∞. Ao contrario, a partıcula Be−ikx se propagaem direcao −∞. Assim, as duas solucoes (2.13) da equacao de Schrodinger (2.12) correspondem


a ondas de partıculas propagantes. Daqui para frente usaremos a letra A (B) para denotaramplitudes de ondas propagando direcao ∞ (−∞).

Em lugares em que o potencial muda de maneira abrupta, a partıcula pode ser parcialmenterefletida.

2.3.1 Matriz T de espalhamento

Como ja mostramos na secao anterior, podemos escrever a transformacao das amplitudes porum degrau de potencial no lugar L como

A2eik2L +B2e

−ik2L = A1eik1L +B1e

−ik1L (2.24)

ik2A2eik2L − ik2B2e

−ik2L = ik1A1eik1L − ik1B1e

−ik1L .

Podemos resumir essas duas equacoes num formalismo matricial,

(A2

B2

)= T

(A1

B1

), (2.25)

com a matriz T de espalhamento para uma partıcula com a energia E (ver Fig. 2.2),

T = 12

(

1 + k1k2

)ei(k1−k2)L

(1− k1

k2

)ei(−k1−k2)L

(1− k1

k2

)ei(k1+k2)L

(1 + k1

k2

)ei(−k1+k2)L

(2.26)

= 12

(e−ik2L 0

0 eik2L

)(1 + k1

k21− k1

k2

1− k1k2

1 + k1k2

)(eik1L 0

0 e−ik1L

).

Se existem mais zonas com profundidades diferentes, podemos concatenar as matrizes deespalhamento. Denotando por Tm→n a matriz de espalhamento descrevendo uma transicao deum potencial da profundidade Vm para um potencial Vn na posicao Lm,n,

T = T2→3T1→2 . (2.27)

2.3.2 Matriz S de espalhamento

Uma outra definicao comum e a matriz S de espalhamento.

(A2

B1

)= S

(B2

A1

). (2.28)

Para ver como as matrizes de espalhamento sao interligadas comecamos com(A2

B2

)= T

(A1

B1

)=

(T11A1 + T12B1

T21A1 + T22B1

), (2.29)

Multiplicando a primeira linha com T22 e a segunda com −T12 e adicionando elas,

T22A2 − T12B2 = (T11T22 − T12T21)A1 . (2.30)

Essa equacao resolvida por A2 junto com a segunda equacao (2.29) resolvida por B1 dao,

(A2

B1

)= S

(B2

A1

)=

(T12/T22 T11 − T12T21/T22

1/T22 −T21/T22

)(B2

A1

). (2.31)

2.3. BARREIRA DE POTENCIAL 41

A S descreve de maneira mais adequada a causalidade do espalhamento: A amplitude A2 naregiao (2) resulta da superposicao de uma onda B2 sendo refletida pela barreira e de uma ondaA1 sendo transmitida pela barreira. A amplitude B1 na regiao (1) resulta da superposicao deuma onda A1 sendo refletida pela barreira e de uma onda B2 sendo transmitida pela barreira.Por isso, a matriz S e mais apropriada para descricao da reflexao quantica, como discutiremosna secao seguinte. No entanto, ela tem a desvantagem de nao poder ser concatenada do mesmojeito como a matriz T .

Diferentemente da matriz T a matriz S e unitaria, pois

detS = S11S22 − S12S21 = −T11

T22= −e2ik1L . (2.32)

Tambem e possıvel mostrar,

S†S =

(S∗11 S∗21

S∗12 S∗22

)(S11 S12

S21 S22

)=

(1 00 1

). (2.33)

O Exc. 2.5.3.1 pede para calcular a transmissao e reflexao de uma partıcula por uma barreirade potencial.

2.3.3 Reflexao quantica num degrau de potencial

A reflexao quantica e uma propriedade nao classica do movimento de uma partıcula. Um exemploe a reflexao de uma partıcula quantica por um potencial atrativo. Para estudar este efeito,consideramos uma onda plana eik1x na regiao (1) propagante (E1 > V1) ao encontro de umdegrau subindo ou descendo na posicao x = 0 para outra regiao (2). Usamos o formalismo damatriz S introduzido na secao anterior,

S =1

k1 + k2

(k2 − k1 2k1

2k2 k1 − k2

), (2.34)

achamos que uma parte da onda e refletida na regiao (1), outra e transmitida na regiao (2),

(A2

B1

)= S

(01

)=

(T11 − T12T21/T22

−T21/T22

)=

((1+k1/k2)2−(1−k1/k2)2

2(1+k1/k2)

−1−k1/k21+k1/k2

)(2.35)

=1

k1 + k2

(2k1

k1 − k2

).

Utilizamos B2 = 0, pois nao entra onda pelo lado da regiao (2), e A1 = 1, porque simplifica asformulas e nao atrapalha a generalidade dos resultados. Os resultados interessantes sao:

• Mesmo com E2 < V2, a partıcula entra na regiao classicamente proibida: ψ2(x) ∝ e−κ2x

com κ2 = 1~√

2m(V2 − E2), ou seja a transmissao e nao-nula, |A2| > 0.

• Mesmo com E2 > V2, a partıcula tem uma probabilidade de ser refletida no degrau,|B1| > 0.

Exemplo 9 (Contraste de uma onda parcialmente refletida): Definindo K± ≡12

(max |ψ1|2 ±min |ψ1|2

), o contraste da funcao de onda na regiao (1) e dado por K−/K+.

Escrevendo a funcao como ψ1 = eik1x +B1e−ik1x e facil mostrar

|B1| =√K+ +K− −

√K+ −K−√

K+ +K− +√K+ −K−

' K−2K+

. (2.36)


Essa formula pode ser entendida como analogo da formula de Fresnel para ondas de materia 2.

No Exc. 2.5.3.2 calcularemos o comportamento da onda de Broglie passando por um degraude potencial e penetrando numa regiao classicamente proibida. No Exc. 2.5.3.3 estudamos ummodelo descrevendo a colisao entre partıculas atrativas ou repulsivas por uma reflexao parcialnum degrau de potencial.

2.3.4 Continuidade do fluxo de probabilidade

A equacao de continuidade (1.16) requer que o fluxo de probabilidade seja preservado em situacoesestacionarias,

0 =dj

dx=

d

dx

~2mi

[ψ∗(d

dxψ

)−(d

dxψ∗)ψ

]. (2.37)

Aplicando isso para um degrau de potencial com as regioes n = 1, 2, achamos,

jn =~

2mi

[ψ∗

d

dxψ − ψ d

dxψ∗]

(2.38)

=~

2mi

[(A∗ne

−iknx +B∗neiknx)(iknAne

iknx − iknBne−iknx)

− (Aneiknx +Bne

−iknx)(−iknA∗ne−iknx + ikB∗neikx)]

=~knm

(|An|2 − |Bn|2) .

Portanto, j1 = j2 implica k1|A1|2−k1|B1|2 = k2|A2|2−k2|B2|2. Assumindo que a partıcula vemdo lado 1 e B2 = 0, temos,

1 = |B1|2 + k2k1|A2|2 = R+ T , (2.39)

definindo a transmissao T e a reflexao R como,

T ≡ k2k1|S12|2 = k2

k1|A2|2 e R ≡ |S22|2 = |B1|2 . (2.40)

2.3.5 Tunelamento e reflexao quantica num poco de potencial

Partıculas lancadas com a energia cinetica E podem atravessar barreiras de potenciais V0 > Eou ser refletidas por barreiras com V0 < E. Isso pode ser verificado considerando uma partıculapropagante de x = −∞ ate x = +∞ atraves de um poco de potencial x ∈ [0, a]. Determinamosa concatenacao T = T2→3T1→2. Depois achamos a matriz S que corresponde a matriz T eresolvemos o problema do mesmo jeito como na secao anterior. Por exemplo, podemos calcularas probabilidades de transmissao e de reflexao (vide Fig. 2.5).

2.4 Oscilador harmonico

Muitos sistemas oscilam. Exemplos comuns sao vibracoes de atomos ligados em uma molecula,de atomos numa rede cristalina, de partıculas armadilhadas em campos eletricos ou magneticosaplicados, ou a luz em um modo eletromagnetico. A maioria dos movimentos periodicos saoaproximadamente harmonicos para vibracoes de pequena amplitude e podem ser tratados deuma maneira que vamos detalhar agora.

2Nesse sentido a reflexao de luz numa interface optica (com as perdas tıpicas de 4% para vidro) pode serinterpretada como reflexao quantica de luz.

2.4. OSCILADOR HARMONICO 43

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

R , T

E/V

0

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

T

E/V

0

β = 3

β = 10

Figura 2.5: (Codigo: QA Movimento Reflection.m) Esquerda: Efeito tunel e reflexao quantica enuma barreira de potencial. Direita: Coeficientes de transmissao e reflexao (horizontal) atravesda barreira de potencial ilustrada em funcao da energia normalizada a altura da barreira E/V0.A curva tracejada vermelha corresponde a uma barreira baixa, β ≡ 1

~L√

2mV0 = 3, a curvasolida azul corresponde a uma barreira profunda β = 10.

Comecamos com o oscilador harmonico (OH) unidimensional,

[−−~

2

2m

d2

dx2+ V (x)− E

]ψ(x) = 0 onde V (x) =

m

2ω2x2 . (2.41)

2.4.1 Fatorizacao do hamiltoniano

Respeitando o fato que os operadores p e x nao comutam, i~ [p, x] = 1, podemos reescrever o

hamiltoniano do oscilador harmonico da maneira seguinte,

H = − ~2

2m

d2

dx2+m

2ω2x2 (2.42)

= ~ω

[(√mω

2~x− i

√1

2m~ωp

)(√mω

2~x+ i

√1

2m~ωp

)+ 1

2

]= ~ω

(a†a+ 1

2

),

com a abreviacao a ≡√

mω2~ x+ i

√1

2m~ω p e sua transposicao hermitiana a†. Agora vamos tentar

descobrir as propriedades dos operadores a† e a. Primeiro o comutador e

[a, a†] =

[√mω

2~x+ i

√1

2m~ωp,

√mω

2~x− i

√1

2m~ωp

]=

i

2~[x+ p, x− p] =

i

~[p, x] = 1 .

(2.43)Sabendo H|ψ〉 = E|ψ〉 e claro que a†a e uma observavel com o autovalor n ≡ E

~ω − 12 ,

a†a|ψ〉 =(E~ω − 1

2

)|ψ〉 ≡ n|ψ〉 =⇒ |ψ〉 = |n〉 . (2.44)


Agora, mostramos que os estados a|ψ〉 sao autoestados do operador definido como n ≡ a†a, pois,

a†aa|ψ〉 = (aa† − [a, a†])a|ψ〉 = (aa†a− a)|ψ〉 = a(a†a− 1)|ψ〉 = (n− 1)a|ψ〉 (2.45)

=⇒ a|ψ〉 ∝ |n− 1〉=⇒ n = 〈n|a†a|n〉 = C2〈n− 1|n− 1〉=⇒ C =

√n .

Notamos que o numero quantico do novo autoestado |n − 1〉 e diminuıdo de uma unidade.Similarmente mostramos para o estado a†|ψ〉,

a†aa†|ψ〉 = a†([a, a†] + a†a)|ψ〉 = a†(1 + a†a)|ψ〉 = (n+ 1)a†|ψ〉 (2.46)

=⇒ a†|ψ〉 ∝ |n+ 1〉=⇒ n+ 1 = 〈n|a†a+ [a, a†]|n〉 = C2〈n+ 1|n+ 1〉=⇒ C =

√n+ 1 .

Portanto, este novo estado tambem e um autovetor |n + 1〉, mas com um numero quanticoaumentado de uma unidade. a† e a sao operadores de criacao e de aniquilacao de um corpusculode energia

a†|n〉 =√n+ 1|n+ 1〉 e a|n〉 =

√n|n− 1〉 . (2.47)

A representacao matricial dos operadores de campo e

a† =∑

n

√n+ 1|n+ 1〉〈n| e a† =

∑

n

√n|n− 1〉〈n| . (2.48)

Agora fica claro, que n pode ser entendido como operador de numero. O espectro de energia dooscilador harmonico e equidistante,

E = ~ω(n+ 1

2

). (2.49)

O estado com n quanta pode ser criado a partir do vacuo,

|n〉 =a†√n|n− 1〉 =

a†n√n!|0〉 . (2.50)

O estado |n〉 se chama estado de numero ou estado de Fock.

2.4.1.1 Incerteza em estados de Fock

Consideramos um OH de massa m e frequencia angular ω preparado no estado estacionario|n〉 que consiste num autoestado do hamiltoniano H com autovalor (n + 1

2)~ω. Definindo o

comprimento caracterıstico do OH aho =√~/mω, os operadores de aniquilacao e criacao podem

ser escritos,

a =1√2

(x

aho+ i

aho~p

)e a† =

1√2

(x

aho− iaho

~p

). (2.51)

Portanto, os operadores posicao e momento sao,

√2

1

ahox = a+ a† e

√2iaho~p = a− a† . (2.52)


Os desvios quadraticos medios da posicao x e do momento p sao

∆x2 = 〈n|x2|n〉 =a2ho

2〈n|aa+ aa† + a†a+ a†a†|n〉 =

a2ho

2〈n|2n+ 1|n〉 =

a2ho

2(2n+ 1) (2.53)

∆p2 = 〈n|p2|n〉 =−~2

2a2ho

〈n|aa− aa† − a†a+ a†a†|n〉 =−~2

2a2ho

〈n| − 2n− 1|n〉 =~2

2a2ho

(2n+ 1) .

(2.54)

A partir dos resultados do item anterior obtemos a relacao de incerteza ∆x∆p para o OHno estado |n〉,

∆p∆x =~2

(2n+ 1) . (2.55)

Exemplo 10 (Energia de localizacao): A energia mınima acima de zero do estado fun-damental do oscilador harmonico, E0 = ~ω/2, e uma consequencia direita do principio deHeisenberg ∆x∆p ≥ ~, pois em analogia com o Exemplo 8 calculamos,

〈p2〉2m

=∆p2

2m>

~2

2m∆x2>

~2

2ma2ho

=~ω2.

No caso de um campo eletromagnetico essa energia se chama flutuacao do vacuo.

2.4.2 Oscilador harmonico na representacao espacial

Para simplificar a equacao de Schrodinger na representacao espacial,[− ~2

2m

d2

dx2+m

2ω2x2

]ψ(x) = ~ω

(n+

1

2

)ψ(x) , (2.56)

usamos a escala x ≡ x/aho, onde aho =√~/mω e a extensao espacial do estado fundamental.

Assim,

2

~ω

[− ~2

2m

d2

d(ahox)2+m

2ω2(ahox)2

]ψ(x) =

2

~ω

[−~ω

2

d2

dx2+

~ω2x2

]ψ(x)

=

[− d2

dx2+ x2

]ψ(x) = (2n+ 1)ψ(x) .

Agora, comecamos buscando solucoes assintoticas. Para x→ ±∞, isto e, quando a partıculaentra na regiao classicamente proibida, podemos negligenciar a energia total da partıcula,

[− d2

dx2+ x2

]ψ∞(x) ' 0 . (2.57)

A solucao dessa equacao e ψ∞(x) = Ce−x2/2, pois

[− d2

dx2+ x2

]e−x

2/2 = − d

dx(−x)e−x

2/2+x2e−x2/2 = −x2e−x

2/2+e−x2/2+x2e−x

2/2 = e−x2/2 ' 0 .

(2.58)Isso motiva o ansatz ψ(x) = e−x

2/2H(x) para a equacao diferencial completa (2.56),[− d2

dx2+ x2

]e−x

2/2H(x) = −e−x2/2d2H(x)

dx2− 2

de−x2/2

dx

dH(x)

dx− d2e−x

2/2

dx2H(x) + x2e−x

2/2H(x)

(2.59)

= −e−x2/2d2H(x)

dx2− 2(−x)e−x

2/2dH(x)

dx+[−x2e−x

2/2 + e−x2/2]H(x) + x2e−x

2/2H(x)

≡ (2n+ 1)e−x2/2H(x) .


Assim, as funcoes H(x) devem satisfazer a equacao diferencial,

H ′′(x) = 2xH ′(x)− 2nH(x) . (2.60)

Podemos verificar que os polinomios de Hermite definidos por,

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x

2, (2.61)

levam a equacao diferencial para a formula de recursao,

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) , (2.62)

que nos permite de facilmente calcular os polinomios,

H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x2 − 2 , ... (2.63)

Resumindo, a autofuncao de um oscilador harmonico no estado de excitacao n e,

〈x|n〉 = ψn(x) = Ce−x2/2a2hoHn(x/aho) , (2.64)

onde a constante C e determinada pela condicao de normalizacao, 〈ψm|ψn〉 = δm,n. As funcoesde Hermite, Hn, sao encontradas em tabelas matematicas. Aqui so mostraremos a representacaografica de |ψ|2 na Fig. 2.6. O Exc. 2.5.4.1 pede para avaliar o OH numa regiao classicamenteproibida e no Exc. 2.5.4.2 calcularemos o espectro de um OH semi-harmonico.

−5 0 50

1

2

3

4

5

6

7

x/aho

E/hω

ho

,ψ

(x)

Figura 2.6: (Codigo: QA Movimento Harmonic.m) Funcoes de onda e energias no poco retan-gular.


2.4.3 Propriedades do oscilador harmonico

Anotamos que tem regioes em que ψ(x) 6= 0 apesar de V (x) > E. Isto e um efeito puramentequantico. Classicamente, nao pode encontrar uma partıcula quando a energia dela e embaixodo potencial.

Anotamos tambem que para numeros quanticos altos, n → ∞, esperamos reproduzir asprevisoes classicas, isto e,

limn→∞

|ψ(x)|2 = PE(x) , (2.65)

onde PE e a densidade de probabilidade de encontrar a partıcula oscilante no lugar x. Aprobabilidade de encontrar a partıcula num intervalo dx perto do lugar x e facilmente calculada,

E =m

2v2 +

m

2ω2x2 ⇒ PE(x)dx =

t(x+ dx)− t(x)

T=dx

vT=dx

T

1√2E/m− ω2x2

. (2.66)

Vemos que por altos valores da energia a funcao de onda se aproxima da expectativa classica.

Ja dizemos que so tem solucoes para certas energias En = ~ω(2n+1). Consequentemente, osnıveis de energia sao equidistantes, En+1 −En = ~ω, como se tivesse uma caixa onde voce bota

n+3

n+2

n+1

n

E

Figura 2.7: Escada de nıveis.

dentro uma partıcula com a energia ~ω, e mais uma, etc. ate ter n porcoes de energia. Essespartıculas sao chamados fonon no caso de vibracoes de partıculas massivas, e foton no caso deum campo de radiacao.

O fato que a distribuicao da energia e a mesma que essa proposta por Planck pela radiacaodo corpo negro sugere o uso do oscilador harmonico para descrever a segunda quantizacao.

2.4.4 Oscilador harmonico multidimensional

O potencial harmonico 3D e dado por

Vho(r) =m

2ω2xx

2 +m

2ω2yy

2 +m

2ω2zz

2 . (2.67)

Fazendo o ansatz

ψ(r) = ψx(x)ψy(y)ψz(z) , (2.68)

podemos separar as direcoes espaciais e obtemos uma equacao um-dimensional para cada coor-denada, tal que as coordenadas podem ser consideradas separadamente. As energias sao,

Ek = ~ωk(n+ 12) , (2.69)

onde k = x, y, z.


2.4.5 Estados coerentes

2.4.5.1 Formula de Glauber

Uma formula bem util, que utilizaremos depois e a formula de Glauber (ou de Baker-Hausdorff),

eAeB = eA+B+[A,B]/2 , (2.70)

valida quando operadores A e B comutam com o comutador deles, isto e [A, [A, B]] = [B, [A, B]] =0.

Exemplo 11 (A formula de Baker-Hausdorff ): Para provar a formula de Baker-Hausdorff, consideramos o operador,

G(τ) ≡ eτ(A+B)e−τBe−τA .

A derivada e

G′(τ) = (A+ B)eτ(A+B)e−τBe−τA − eτ(A+B)Be−τBe−τA − eτ(A+B)e−τBAe−τA

= eτ(A+B)[Ae−τB − e−τBA

]e−τA = eτ(A+B)

[A− e−τBAeτB

]e−τBe−τA

= eτ(A+B)[A−

(A+ [−τB, A] + 1

2! [−τB, [−τB, A]] + ..)]e−τBe−τA ,

utilizando a formula (1.122). Se agora [A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]],

G′(τ) = eτ(A+B)τ [B, A]e−τBe−τA = −τ [A, B]eτ(A+B)e−τBe−τA = −τ [A, B]G(τ) .

A solucao geral desta equacao diferencial e,

G(τ) ≡ e−(τ2/2)[A,B]G(0) .

Com G(0) = 1 obtemos no ponto τ = 1,

eA+Be−Be−A = e−(1/2)[A,B] .

2.4.5.2 Operador de deslocamento

Consideramos agora o operador de deslocamento

D(α) ≡ eαa†−α∗a, (2.71)

e tentaremos descobrir as suas propriedades.

D(α) e um operador unitario. Pois utilizando a formula de Glauber, eAeB = eA+B+[A,B]/2,temos

D†(α)D(α) = eα∗a−αa†eαa

†−α∗a = eα∗a−αa†+αa†−α∗a+[α∗a−αa†,αa†−α∗a]/2 (2.72)

= e[α∗a−αa†,αa†−α∗a]/2 = e[α∗a,αa†]/2+[−αa†,αa†]/2+[α∗a,−α∗a]/2+[−αa†,−α∗a]/2

= e|α|2[a,a†]/2+|α|2[a†,a]/2 = e0 = 1 .

Podemos reescrever o operador de deslocamento assim:

D(α) = eαa†−α∗a = eαa

†e−α

∗ae−[αa†,−α∗a]/2 = eαa†e−α

∗ae|α|2[a†,a]/2 = eαa

†e−α

∗ae−|α|2/2 . (2.73)


O estado obtido da atuacao do operador D(α) no estado fundamental e

|α〉 ≡ D(α)|0〉 = e−|α|2/2eαa

†e−α

∗a|0〉 = e−|α|2/2

∞∑

n=0

(αa†)n

n!|0〉 (2.74)

= e−|α|2/2

(1 + αa† +

(αa†)2

2!+

)|0〉 = e−|α|

2/2

(|0〉+

α

1!

√1|1〉+

α2

2!

√2!|2〉+ ..

)

= e−|α|2/2

∞∑

n=0

αn√n!|n〉 .

Aplicando o operador de descida a sobre o estado |α〉,

a|α〉 = e−|α|2/2

∞∑

n=0

αn√n!a|n〉 = e−|α|

2/2∞∑

n=0

αn√n!

√n|n−1〉 = e−|α|

2/2∞∑

n=0

αn√(n− 1)!

|n−1〉 = α|α〉 .

(2.75)Tambem podemos escrever

〈α|a† = (a|α〉)† = (α|α〉)† = 〈α|α∗ .

O estado |α〉 e chamado de estado coerente ou de estado de Glauber.

2.4.5.3 Incerteza em estados de Glauber

O OH seja preparado no estado |α〉. Os valores esperados das observaveis x ≡ aho√2

(a† + a) e

p ≡ i~aho√

2(a† − a) sao,

√2

aho〈α|x|α〉 = 〈α|a+ a†|α〉 = α+ α∗ e iaho

√2

~ 〈α|p|α〉 = 〈α|a− a†|α〉 = α− α∗. (2.76)

Com isso, os valores esperados das quadraturas ficam,

2a2ho〈α|x2|α〉 = 〈α|(a+ a†)2|α〉 = 〈α|aa+ 1 + 2a†a+ a†a†|α〉 (2.77)

= α2 + 1 + 2|α|2 + α∗2 = 1 + (α+ α∗)2 = 1 + 2a2ho〈α|x|α〉2

−a2ho2~2 〈α|p

2|α〉 = 〈α|(a− a†)2|α〉 = 〈α|aa− 1− 2a†a+ a†a†|α〉= α2 − 1− 2|α|2 + α∗2 = −1 + (α− α∗)2 = −1− 2a2ho

~2 〈α|p|α〉2 .

As incertezas definidas em (1.63) ficam,

∆x2 = 〈α|x2|α〉 − 〈α|x|α〉2 =a2ho2 e ∆p2 = 〈α|p2|α〉 − 〈α|p|α〉2 = ~2

2a2ho. (2.78)

E finalmente a relacao de Heisenberg,

∆p∆x = ~2 . (2.79)

Comparando com a relacao de incerteza (2.55) derivada para estados de Fock, concluımosque a incerteza sempre e mınima para estados de Glauber. Neste sentido os estados de Glaubersao aqueles que mais se aproximam aos estados classicos caraterizados pela ausencia de incerteza.


2.4.5.4 Ortogonalidade dos estados de Glauber

Os estados de Glauber nao sao ortogonais, pois

|〈α|β〉|2 = e−|α−β|2. (2.80)

Deixamos a demonstracao para o Exc. 2.5.4.3, mas notamos ja que para |α− β| 0 os estadossao aproximadamente ortogonais. A razao disso e, que as respectivas distribuicoes de populacoes|cαn|2 e |cβn|2 nao se sobrepoem e assim nao interferem.

2.4.6 Evolucao temporal do oscilador harmonico

Aqui estudamos a evolucao temporal de uma distribuicao de populacoes num oscilador harmonico.A solucao formal da equacao de Schrodinger e,

|ψ(t)〉 = e−iHt/~|ψ(0)〉 . (2.81)

Como o hamiltoniano e diagonal na base |n〉,

H = ~ω(n+ 1

2

). (2.82)

podemos escrever,

e−iHt/~ =∑

n

|n〉e−iωt(n+1/2)〈n| . (2.83)

Se o estado inicial e |ψ(0)〉 =∑

m cm|m〉, o estado final sera,

|ψ(t)〉 =∑

n

|n〉e−iωt(n+1/2)〈n|ψ(0)〉 =∑

n

e−iωt(n+1/2)cn|n〉 (2.84)

〈ψ(t)|A|ψ(t)〉 =∑

m

〈m|eiωt(m+1/2)c∗m|A|∑

n

e−iωt(n+1/2)cn|n〉 =∑

m,n

c∗mcneiωt(m−n)〈m|A|n〉 .

Se o oscilador esta inicialmente num autoestado, |ψ(0)〉 = |k〉,

|ψ(t)〉 = e−iωt(k+1/2)|k〉 e 〈ψ(t)|A|ψ(t)〉 = 〈k|A|k〉 , (2.85)

o estado permanece estacionario. Movimento precisa de elementos nao-diagonais de A.Uma outra observacao e que as populacoes nao mudam, mesmo no caso de uma superposicao

inicial, poisPk(t) = |〈k|ψ(t)〉|2 = |e−iωt(k+1/2)ck|2 = |ck|2 . (2.86)

Concluımos que

• movimento de uma observavel A e possıvel, mas somente devido as variacoes dos fatoresde fase;

• para realizar transicoes entre os estados vibracionais e preciso perturbar o oscilador, e.g. porcampos de radiacao eletromagnetica.

Exemplo 12 (Movimento de um oscilador harmonico): Consideramos agora algunsexemplos especıficos. Se a observavel e o hamiltoniano e o estado inicial uma superposicaoarbitraria,

〈ψ(t)|H|ψ(t)〉 = ~ω∑

m,n

c∗mcneiωt(m−n)〈m|n+ 1

2 |n〉 = ~ω∑

n

|cn|2(n+ 1

2

).


Isto e, a energia total do oscilador e a soma das energias dos estados ponderadas com aspopulacoes daqueles estados. No caso do operador posicao,

〈ψ(t)|x|ψ(t)〉 = aho√2

∑

m,n

c∗mcneiωt(m−n)〈m|a+ a†|n〉

= aho√2

∑

n

(c∗n−1cne

−iωt√n+ c∗n+1cneiωt√n+ 1

)

m,n→∞−→ aho√

2∑

n

√n|cn|2 cosωt .

Isto e, a partıcula so pode oscilar, se existem populacoes em estados consecutivos. Se isso nao

e o caso, 〈ψ(t)|x|ψ(t)〉 = 0. A frequencia de oscilacao e sempre ω, independente da energia

da partıcula. Os Excs. 2.5.4.4 e 2.5.4.5 analisam a evolucao temporal de osciladores sujeitos

a uma perturbacao subita.

2.4.7 Quantizacao do campo eletromagnetico

Historicamente a quantizacao da luz por Max Planck (tambem chamada segunda quantizacao) foia primeira. Essa quantizacao resolveu o problema da divergencia ultravioleta e explicou o efeitofoto eletrico. A quantizacao do atomo por Niels Bohr (tambem chamada primeira quantizacao)explicou a estrutura interna do atomo.

O operador do campo eletrico de um modo de laser e dado por

E = iEm[aeik·r−iωt − a†e−ik·r+iωt] , (2.87)

onde Em =√

~ω/2ε0V e V e o volume do modo. O Exc. 2.5.4.6 pede para calcular os valores

Figura 2.8: Visualizacao dos estados de Glauber. Aqui, x1 ≡ a+ a† e x1 ≡ i(a− a†).

esperados 〈E〉 e ∆E.

As vezes e conveniente representar o campo da luz pelas quadraturas. Com a definicaoa ≡ x1 + ix2, onde x1,2 sao operadores nao comutandos ([x1, x2] = i/2), podemos reescrever ocampo,

E = −2Em[x1 sin(k · r− ωt) + x2 cos(k · r− ωt)] . (2.88)

A relacao de incerteza de Heisenberg requer

∆x1∆x2 ≥ 14 . (2.89)

Para estados coerentes, ∆x1 = ∆x2 = 12 .


2.5 Exercıcios

2.5.1 Movimento translacional

2.5.2 Potencial retangular

2.5.2.1 Ex: Partıcula numa caixa

Obtenha as funcoes de onda e os nıveis de energia associados de uma partıcula confinada emuma caixa, em que V (x) = 0 para 0 ≤ x ≤ l e V (x) =∞ sonst.

2.5.2.2 Ex: Partıcula numa caixa bidimensional

Obtenha as funcoes de onda e os nıveis de energia associados de uma partıcula confinada em umacaixa bidimensional, no qual a partıcula e confinada a uma superfıcie retangular com dimensoesL1 na direcao x e L2 na direcao y, V (x, y) = 0 para 0 ≤ x ≤ L1 e 0 ≤ y ≤ L2 e V (x, y) = ∞senao.

2.5.2.3 Ex: Partıcula no poco

Obtenha as energias dos estados ligados de uma partıcula no poco de potencial em que V (x) =∞para x < 0, V (x) = −V0 para 0 ≤ x ≤ L/2 e V (x) = 0 para x > L/2. Compare os valores obtidoscom aqueles do poco simetrico discutido na Sec. 2.2.4 e com o poco com paredes infinitamentealtas discutido na Sec. 2.2.1.

2.5.3 Barreira de potencial

2.5.3.1 Ex: Barreira de energia

Considere que uma partıcula com energia E seja lancada (na direcao ex) de encontro a umabarreira de energia potencial de altura e largura finitas, tal que V (x) = 0 para x < 0 ou x > Le V (x) = V0 para 0 ≤ x ≤ L.a. Obtenha os coeficientes de reflexao R e transmissao T para o caso em que E > V0. Discutao resultado.b. Faca o mesmo para o caso E < V0.

2.5.3.2 Ex: Tunelamento

Um atomo de rubıdio-87 se move no espaco livre (regiao 0) com a velocidade v = 1 cm/s (videesquema). De repente ele encontra um desnıvel com a profundidade V1 = −kB · 1µK.a. Qual e o comprimento de onda de Broglie da partıcula na regiao 1?b. Agora o atomo encontra uma barreira de altura V2 = −V1. Qual e a probabilidade para apartıcula entrar na regiao 2?c. Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula dentro da regiao 2 ate uma profundidadex2 = 10 nm?

2.5.3.3 Ex: Colisoes

Uma colisao entre partıculas atrativas ou repulsivas pode ser descrita como um espalhamentounidimensional pela equacao de Schrodinger

− ~2

2mψ′′(x) + αδ(x)ψ(x) = Eψ(x) .

2.5. EXERCICIOS 53

Figura 2.9: Partıcula num paisagem de potencial.

O espectro de energia pode ser um espectro discreto de estados ligados e um continuo de estadoslivres. Calcule o coeficiente de transmissao para o caso de uma partıcula com energia E lancadade encontro a barreira de energia potencial V (x) = αδ(x). O resultado se altera para o casoem que V (x) = −αδ(x), com α > 0? Para esta ultima energia potencial, encontre a energia doestado ligado da partıcula e sua correspondente funcao de onda.

2.5.4 Oscilador harmonico

2.5.4.1 Ex: Estado fundamental do oscilador harmonico

Igualando a energia do estado fundamental do OH quantico aquela do seu analogo classico,obtenha a elongacao maxima xm. Agora, sabendo que a funcao de onda do estado fundamentale proporcional a gaussiana ψ0 ∝ e−x

2/2x2m , obtenha a expressao para a probabilidade de seencontrar o OH fora dos limites classicos e estime o seu valor.

2.5.4.2 Ex: Partıcula num poco semi-harmonico

Encontre os nıveis de energia de uma partıcula num poco de energia potencial da forma V (x) =

∞ para x < 0 e V (x) = mω2x2

2 para x > 0. Qual e a paridade dos estados permitidos?

2.5.4.3 Ex: Oscilador harmonico e estado coerente

a. Verifica a ortogonalidade para um oscilador harmonico num estado de Glauber.b. Mostre 〈α|n|α〉 = |α|2, 〈α|n2|α〉 = |α|4 + |α|2 e ∆n = |α|.c. Qual e a populacao do estado |n〉 de um oscilador harmonico num estado de Glauber?

2.5.4.4 Ex: Vibracao de um oscilador harmonico

Considere um OH de massa m e frequencia angular ω. No tempo t = 0 o estado do oscilador e|ψ(0)〉 =

∑n cn|n〉, onde |n〉 sao os estados estacionarios do OH com energia (n+ 1/2)~ω.

a. Qual e a probabilidade P para que uma medida da energia do OH, realizada num tempoarbitrario t > 0, resulte ser maior que 2~ω? Para o caso em que P = 0, quais sao os coeficientescn nao nulos?b. De agora em diante, assuma que somente c0 e c1 sejam nao nulos. Escreva a condicaode normalizacao para |ψ(0)〉 e o valor medio 〈H〉 da energia em termos de c0 e c1. Com orequerimento adicional 〈H〉 = ~ω, calcule |c0|2 e |c1|2.c. Dado que o vetor de estado normalizado |ψ(0)〉 e definido a menos de um fator de fase global,determinamos este fator atraves da escolha dos coeficientes c0 real e positivo e c1 = |c1|eiθ.Assumindo 〈H〉 = ~ω e 〈x〉 = 1

2

√~/mω, calcule θ.


d. Com |ψ(0)〉 determinado (conforme o item anterior), escreva |ψ(t)〉 para t > 0 e calcule ovalor de θ neste tempo t. Deduza o valor medio 〈x〉(t) da posicao no tempo t.

2.5.4.5 Ex: Oscilador harmonico deslocado

Considere um OH de massa m, frequencia angular ω e carga eletrica q imerso num campo eletricouniforme e paralelo ao eixo ex de deslocamento do oscilador.a. Obtenha as energias dos estados estacionarios do OH e mostre como obter os correspondentesautoestados.b. Calcule os valores esperados 〈x〉 e 〈p〉 para o oscilador deslocado usando estados de Glauberou superposicoes arbitrarias de estados (mais complicado).c. Agora, o campo eletrizo seja desligado de repente. Calcule a evolucao temporal do oscilador.

2.5.4.6 Ex: Estado de Glauber

Calcule 〈E〉 e ∆E.

Capıtulo 3

Rotacoes / Potenciais centrais

3.1 Partıcula num potencial central

Muitos potenciais nao tem simetria cartesiana. Felizmente, muitos problemas tem algum tipode simetria, cilındrica, esferica ou periodica. Aqueles com simetria cilındrica ou esferica podemser resolvidos por separacao das coordenadas curvilıneas, como mostraremos no seguinte. Par-ticularmente importante sao potenciais esfericos causados por forcas centrais, por exemplo, aforca de Coulomb entre o proton e o eletron no atomo de hidrogenio.

3.1.1 Transformacao em coordenadas relativas

O atomo de hidrogenio representa um problema de dois corpos. Consideramos as duas massasm1,2 do proton e do eletron separadas por uma distancia r e interagindo atraves de um potencialV (r). O hamiltoniano e

H =−~2

2m1∇2r1 +

−~2

2m2∇2r2 + V (r1 − r2) , (3.1)

onde R1,2 sao as posicoes do proton e do eletron. Para comecar, a equacao de Schrodingerdependente do tempo

HΞ(t, r1, r2) = i~d

dtΞ(t, r1, r2) , (3.2)

torna-se estacionaria com o ansatz Ξ(t, r1, r2) = Ξ(r1, r2)e−iEtott/~,

[−~2

2m1∇2r1 +

−~2

2m2∇2r2 + V (r1 − r2)

]Ξ(r1, r2) = EtotΞ(r1, r2) . (3.3)

Agora, transformamos para o sistema de centro-de-massa com o ansatz para a funcao de ondatotal Ξ(r1, r2) = e−iP·R/~Ψ(r) com R ≡ m1

M r1 + m2M r2 e r ≡ r1 − r2, introduzindo a abreviacao

M = m1 + m2. Isto corresponde a um produto de uma onda plana, descrevendo o movimentolinear do centro das massas, e uma funcao de onda radial, que descreve o movimento relativodos atomos:

EtotΞ(r) =−~2

2m1∇2r1e−iP·R/~Ψ(r) +

−~2

2m2∇2r2e−iP·R/~Ψ(r) + V (r)Ψ(r) (3.4)

= − ~2

2m1e−iP·R/~∇2

r1Ψ(r)− ~2

2m2e−iP·R/~∇2

r2Ψ(r)

+i~P

Me−iP·R/~ [∇r1 +∇r2 ] Ψ(r) +

P2

2Me−iP·R/~Ψ(r) .

55

56 CAPITULO 3. ROTACOES / POTENCIAIS CENTRAIS

Utilizando ∇r1 = −∇r2 = ∇r o terceiro termo se cancela, tal que,

P 2

2MΨ(r) +

−~2

2m1∇2rΨ(r) +

−~2

2m2∇2rΨ(r) + V (r)Ψ(r) = EtotΨ(r) . (3.5)

Subtraindo a energia do movimento do centro de massa com E = Etot − P 2

2M e introduzindo aabreviacao m−1 = m−1

1 +m−12 , obtemos finalmente

[−~2

2m∇2r + V (r)

]Ψ(r) = EΨ(r) . (3.6)

3.1.2 Partıcula num potencial cilındrico

A equacao (3.6) e tridimensional, pois Ψ(r) e um campo escalar e o operador de momento emcoordenadas cartesianas e dado por

∇2r =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (3.7)

No entanto, em algumas situacoes, a simetria do sistema permite reduzir a dimensionalidadesimilarmente aos casos do poco de potencial e o oscilador harmonico tridimensional. Vamosagora discutir os casos de simetria cilındrica e esferica.

Eletrons em campos magneticos sao sujeitos a forca de Lorentz que mante eles num movi-mento de rotacao. Podemos reescrever o operador de momento em coordenadas cilındricas,

x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ , z = z , (3.8)

como

∇2r =

∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2. (3.9)

Agora, com a suposicao que o potencial somente depende de r, podemos tentar o ansatz Ψ(r) =R(ρ)ξ(ϕ)ζ(z),

1

R(ρ)

[− ~2

2m

(∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+ V (ρ)

)]R(ρ)− ~2

2m

1

ζ(z)

∂2

∂z2ζ(z)− ~2

2mr2

1

ξ(ϕ)

∂2

∂ϕ2ξ(ϕ) = E . (3.10)

Primeiramente separamos o movimento axial,

−ζ′′

ζ= const ≡ 2mEz

~2, (3.11)

a solucao desta equacao sendo uma superposicao de duas ondas planas contrapropagantes aolongo do eixo z, ζ(z) = Aeikzz +Be−ikzz. Agora separamos o movimento azimutal,

ρ2

R(ρ)

∂R(ρ)2

∂ρ2+

ρ

R(ρ)

∂R(ρ)

∂ρ+

2mρ2

~2[E − V (ρ)]− k2

z = −ξ′

ξ= const ≡ m2

ϕ . (3.12)

A solucao da equacao e ξ(ϕ) = Ceimϕϕ +De−imϕϕ. Finalmente, temos a equacao radial,

1

R(ρ)

∂R(ρ)2

∂ρ2+

1

ρR(ρ)

∂R(ρ)

∂ρ− 2m

~2[E − V (ρ)]− k2

z −m2ϕ

ρ2= 0 , (3.13)

com o potencial efetivo Vef = m2 ω

2ρ2 +~2m2

ϕ

2mρ2. Para um potencial homogeneo, V (ρ) = V0, a

solucao sera uma superposicao de funcoes de Bessel.

3.1. PARTICULA NUM POTENCIAL CENTRAL 57

Exemplo 13 (Rotor rıgido em coordenadas cilındricas): Para dar um exemplo, des-consideramos o potencial, V (ρ) = 0, e consideramos uma orbita com raio constante dapartıcula, ρ = const tal que R′(ρ) = 0. Neste caso, so precisamos tratar o movimento orbitaldescrito pela parte direita da Eq. (3.12). Para a solucao desta equacao, ξ(ϕ) = Aeimϕϕ, serbem-definida, precisamos ξ(ϕ) = ξ(ϕ+ 2π). Isso implica,

mϕ = 0,±1,±2, ..

e

Eϕ =~2m2

ϕ

2mρ2.

As energias permitidas Emϕ= Eϕ podem ser obtidas acionando o hamiltoniano

H = −~2

2I

∂2

∂ϕ2,

com o momento de inercia I = mρ2 sobre a funcao de onda azimutal ξ(ϕ). Definimos agorao operador,

lz =~i

∂

∂ϕ.

Esse operador age sobre a funcao de onda ξ da maneira seguinte,

lzξ(ϕ) = ~mϕξ(ϕ) .

E facil mostrar que as funcoes de onda com diferentes valores ml sao ortogonais.

Note: 1. O estado mϕ = 0 tem zero energia; isto e, nao tem energia do ponto zero. 2. A

partıcula esta delocalizada no anel de raio r: ∆lz∆ sinϕ ≥ ~2 |〈cosϕ〉|.

3.1.3 Hamiltoniano em coordenadas esfericas

Podemos reescrever o operador de momento em coordenadas esfericas,

x = r sinϑ cosϕ , y = r sinϑ sinϕ , z = r cosϑ , (3.14)

como

∇2r =

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2

L2

~2onde

L2

~2≡ 1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2, (3.15)

e uma abreviacao chamada de legendriano. Para um potencial isotropico, V (r) = V (r), podemostentar o ansatz Ψ(r) = R(r)Y (ϑ, ϕ) para resolver a equacao de Schrodinger (3.6),

r2

R(r)

[− ~2

2m

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ V (r)− E

]R(r) =

−1

2m

L2Y (ϑ, ϕ)

Y (ϑ, ϕ)= const ≡ − ~2

2m`(`+1) , (3.16)

onde escolhemos uma constante de separacao, `(`+ 1), a significacao da qual aprenderemos embreve. Consideramos so a parte angular,

L2Y (ϑ, ϕ) = ~2`(`+ 1)Y (ϑ, ϕ) , (3.17)

e fazemos mais um ansatz de separacao, Y (ϑ, ϕ) = Θ(ϑ)Φ(ϕ),

sin2 ϑ

(1

Θ(ϑ)

1

sinϑ

∂

∂ϑsinϑ

∂

∂ϑΘ(ϑ) + `(`+ 1)

)= − 1

Φ(ϕ)

∂2

∂ϕ2Φ(ϕ) = const ≡ m2 , (3.18)


onde escolhemos uma constante de separacao, m2. Introduzindo outra abreviacao

Lz ≡~i

∂

∂ϕ, (3.19)

a equacao azimutal adota a forma

LzΦ(ϕ) = ~mΦ(ϕ) . (3.20)

Como no caso do potencial cilındrico, a solucao da equacao azimutal e, utilizando a normalizacao

Φ(ϕ) = 1√2πeimϕ , (3.21)

com o numero quantico magnetico m = 0,±1,±2, ...A equacao polar,

1

Θ(ϑ)

1

sinϑ

∂

∂ϑsinϑ

∂

∂ϑΘ(ϑ) + `(`+ 1) =

m2

sin2 ϑ, (3.22)

se chama equacao diferencial de Legendre e pode ser resolvida por uma serie de potencias emcosk ϑ. Para m = 0, as solucoes sao os polinomios de Legendre, P`(cosϑ) com

P`(z) =1

2``!

d`

dz`[(z2 − 1)`] . (3.23)

Os primeiros polinomios sao,

P0(z) = 1 , P1(z) = z , P2(z) = 12(3z2 − 1) , P3(z) = 1

2(5z3 − 3z) . (3.24)

Para m > 0, as solucoes sao os polinomios associados,

Pm` (z) = (−1)m(1− z2)m/2dm

dzmP`(z) =

(−1)m

2``!(1− z2)m/2

d`+m

dz`+m[(z2 − 1)`] (3.25)

P−m` (z) = (−1)m(`−m)!

(`+m)!Pm` (z) .

A funcao polar ainda deve ser normalizada,

Θm` (ϑ) = Pm` (cosϑ)

√2`+ 1

2

(`−m)!

(`+m)!. (3.26)

As funcoes Y`m(ϑ, ϕ) sao as harmonicos esfericos. Eles formam um sistema ortonormal,∫ π

0

∫ 2π

0Y ∗`′m′(ϑ, ϕ)Y`m(ϑ, ϕ) sinϑdϑdϕ = δ`′`δm′m . (3.27)

Solucoes finitas so existem, quando o numero quantico do momento angular e ` = 0, 1, .. e para|m| ≤ `.

As solucoes da parte angular da equacao de Schrodinger do atomo de hidrogenio sao final-mente,

Y`m(ϑ, φ) =1√2π

Pm` (cosϑ)

√2`+ 1

2

(`−m)!

(`+m)!eimφ . (3.28)

Os harmonicos esfericos sao simultaneamente autofuncoes dos operadores L2, como pode servisto na Eq. (3.17), e do operador Lz conforme a Eq. (3.20). As quantidades representadas pelosoperadores quanticos H, L2, Lz sao conservadas no sistema do hidrogenio. A conservacao domomento angular deve-se a simetria esferica do potencial de Coulomb.

Verificaremos a paridade dos harmonicos esfericos no Exc. 3.5.1.1.

3.1. PARTICULA NUM POTENCIAL CENTRAL 59

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

l = 0

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

l = 1

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

l = 2

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

l = 3

Figura 3.1: (Code: AM Hidrogenoido Legendre.m) Funcoes de onda angulares. Mostradas saoos polinomios de Legendre Pml (cosϑ) para ` = 0, 1, 2, 3 e m = 0, .., `. Vermelho: m = 0, verde:|m| = 1, azul: |m| = 2 e magenta: |m| = 3.

3.1.4 Separacao do movimento radial

Na Sec. 3.1.3 derivamos, depois de ter separado o movimento do centro-de-massa (ou seja donucleo pesado) e as coordenadas angulares a equacao radial (3.16) descrevendo a componenteradial do movimento do eletron,

1

R(r)

[− ~2

2m

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ V (r)− E

]R(r) = − L2

2mr2, (3.29)

Agora fazemos a substituicao R(r) = u(r)/r e a equacao radial fica,

[− ~2

2m

∂2

∂r2+

L2

2mr2+ V (r)

]u(r) = Eu(r) . (3.30)

Essa equacao e bem similar a uma equacao de Schrodinger unidimensional, so que aparece umpotencial adicional que se chama potencial centrifugal,

V`(r) ≡L2

2mr2. (3.31)

Por exemplo, para o potencial de um eletron orbitando um proton temos,

[− ~2

2m

∂2

∂r2− Ze2

4πε0r+

~2`(`+ 1)

2mr2− E

]uE`(r) = 0 . (3.32)

Discutiremos esta equacao intensamente no ambito da discussao do atomo de hidrogenio.


0 5 10r/a

B

V(r

)

Figura 3.2: (Code: AM Hidrogenoido Centrifugal.m) Soma de um potencial coulombiano e umpotencial centrıfuga para ` = 0 (curva inferior), ` = 1 (curva no meio) e ` = 2 (curva superior).

No Exc. 3.5.1.2 derivamos a equacao de Gross-Pitaevskii radial para um condensado de Bose-Einstein aprisionado num potencial esferico. No Exc. 3.5.1.3 estudaremos partıculas dentro deum potencial central de profundidade nula, nos Excs. 3.5.1.4 e 3.5.1.5 consideramos pocos depotenciais esfericos 3D e no Exc. 3.5.1.6 um potencial esferico harmonico.

Exemplo 14 (Rotor rıgido em coordenadas esfericas): Continuamos a discussao dorotor rıgido, agora em coordenadas esfericas. No caso em que a orbita da partıcula e fixo aum raio R, podemos negligenciar a energia cinetica devido ao movimento radial e o potencial,ambos sendo constantes. Nesse caso a equacao de Schrodinger radial e

[~2`(`+ 1)

2mr2

]uE` = E`uE` .

As energias do rotor rıgido sao

E` =~2`(`+ 1)

2I,

com o momento de inercia I = mR2.

3.2 Tratamento quantico do hidrogenio

Seguinte o modelo planetario do atomo de Rutherford e Bohr podemos imaginar um atomocomo um nucleo muito pesado com carga eletrica positiva cercado por uma nuvem de eletronsmuito leve com carga negativa. Como o nucleo e muito pequeno em comparacao com a nuvemeletronica, tratamo-lhe como uma entidade com a massa M e a carga Ze, onde Z e o numerode protons e corresponde a ordem do elemento no sistema periodico.

O procedimento canonico para calcular todas as propriedades de um atomo e de estabelecero seu hamiltoniano, isto e, determinar as energias cineticas de todos os componentes e todasenergias de interacao entre eles, e de resolver a equacao de Schrodinger. Para cada componenteescrevemos a energia cinetica

Tncl =P 2

2Me Tele =

Z∑

i=1

p2i

2m. (3.33)

Aqui (R,P) sao as coordenadas do nucleo e (ri,pi) aquelas dos eletrons. A energia que corres-ponde as interacoes, isto e, atracao ou repulsao coulombiana, entre as componentes do atomoe

Vncl−ele = −Z∑

i=1

Ze2

4πε0|R− ri|e Vele−ele =

Z∑

i 6=j=1

e2

4πε0|ri − rj |. (3.34)

Tambem existem interacoes devido ao spin das partıculas, que trataremos posteriormente.

3.2. TRATAMENTO QUANTICO DO HIDROGENIO 61

Obviamente, a solucao desse problema de muitos corpos e muito complicado. Por isso, nessecapitulo, baseado na equacao de Schrodinger, calcularemos o espectro completo do atomo maissimples possıvel, o hidrogenio. Esse atomo consiste de um proton e um eletron, so.

Ze-

e-

( -1)Z e-

Figura 3.3: O modelo do hidrogenio se aplica em outros atomos desde que eles tem um eletronde valencia ocupando um espaco tao grande, que ele esta vendo o nucleo e o resto dos eletronsblindando o nucleo como uma unica carga positiva.

3.2.1 O modelo de Bohr

Vamos agora voltar para a parte radial da equacao de Schrodinger descrevendo uma partıculanum potencial radial. Esperamos que as solucoes quanticas para o atomo de hidrogenio saoparecidas as predicoes do modelo de Bohr. Seguinte esse modelo, a orbita e estavel quando aforca de atracao e igual a forca centrıfuga. Mas alem disso, Bohr postulou, que apenas certasenergias sao permitidas. Para o atomo de hidrogenio ele achou

En = −1

2

Ze2

4πε0

1

rn= − Z2~2

2ma2B

1

n2= −Z

2e2

4πε0

1

2aBn2= −Z

2

n213.6 eV , (3.35)

com o raio de Bohr

aB ≡ 4πε0~2

me2. (3.36)

Com essa equacao ele consegui explicar as observacoes espectrais. Os eletrons so podem saltarde um nıvel para um outro, dessa vez emitindo ou absorvendo um foton. As serias observadasno espectro do hidrogenio (En − Em)/~ foram a serie de Lyman (m = 1), de Balmer (m = 2),de Paschen (m = 3) e de Brackett (m = 4).

Ba

llme

r

Pa

sch

en

Lym

an

Bra

cke

tt

Figura 3.4: As transicoes do hidrogenio.

A discussao do atomo de hidrogenio dentro da mecanica quantica pode comecar a partir da


equacao de Schrodinger radial (3.32) com o potencial de atracao coulombiano,

[− ~2

2m

∂2

∂r2− Ze2

4πε0r+

~2`(`+ 1)

2mr2− E

]uE`(r) = 0 . (3.37)

Para facilitar a comparacao, vamos exprimir a energia em termos da energia de Bohr, E ≡ En =E1/n

2, e escrever o raio em unidade de aB, isto e, r ≡ Zr/aB. Isso da,

u′′n,`(r) +

(−`(`+ 1)

r2+

2

r− 1

n2

)un,`(r) = 0 . (3.38)

Para garantir que para grandes raios, r → ∞, a solucao fica finita, precisamos um comporta-mento assimptotico como un,`(r →∞) = e−r/n. Para garantir que para pequenos raios, r → 0,a solucao fica finita, precisamos un,`(r → 0) = r`+1. Derivamos as solucoes assimptoticas noExc. 3.5.2.1. A equacao diferencial resultante so tem solucoes para um numero quantico principaln inteiro e positivo e quando ` = 0, 1, .., n− 1. Ou seja, na relacao E = E1/n

2 o parametro n einteiro e positivo, tal que os nıveis de energia permanecem degenerados em ` e m. Isso significa,que o postulado de Bohr de nıveis de energias discretos, isto e, quantizados, e valido (uff!)

Figura 3.5: Esquema dos nıveis.

Substituindo o ansatz,

un`(r) = Dn`r`+1e−r/nL(r) , (3.39)

e facil mostrar (vide Exc. 3.5.2.2), que a equacao diferencial (3.38) se reduz para,

rL′′(r) + 2[(`+ 1)− 1

n r]L′(r) + 2

[1− 1

n(`+ 1)]L(r) = 0 . (3.40)

Ainda com a abreviacao ρ ≡ 2r/n = 2Zr/naB o ansatz

un`(ρ) = Dn`ρ`+1e−ρ/2L(ρ) , (3.41)

3.2. TRATAMENTO QUANTICO DO HIDROGENIO 63

leve ate a equacao diferencial 1

ρL′′(ρ) + [2(`+ 1)− ρ]L′(ρ) + [n− `− 1]L(ρ) = 0 . (3.42)

As solucoes desta equacao diferencial, L(2`+1)n−`−1(r), sao os polinomios de Laguerre. Esses po-

linomios figuram em tabelas matematicas. Utilizando as propriedades desses polinomios epossıvel mostrar, que as funcoes radiais sao ortogonais e podem ser normalizadas (vide Exc. 3.5.2.3).A figura 3.6 mostra as curvas para os orbitais mais baixos.

0 5 10 15 20 25−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

r/aB

a B3/

2 R(r

)

0 5 10 15 20 250

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

r/aB

a B [r

R(r

)]2

⟨ r10 ⟩

⟨ r20 ⟩

⟨ r30 ⟩

0 5 10 15 20 25−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

r/aB

a B3/

2 R(r

)

0 5 10 15 20 250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

r/aB

a B [r

R(r

)]2

⟨ r30 ⟩

⟨ r31 ⟩

⟨ r32 ⟩

Figura 3.6: (Code: AM Hidrogenoido Laguerre.m) Funcoes de onda radiais, esquerda R; direitau. Acima para (n, `) = (1..3, 0); embaixo (n, `) = (3, 0..2).

Finalmente, podemos escrever as solucoes totais

ψn,`,m(r, θ, φ) =un,`(r)

rY`,m(θ, φ) com En = − ~2

2ma2B

Z2

n2, (3.43)

onde n = 1, 2, 3, .. e ` = 0, 1, .., n− 1 e m = −`,−`+ 1, .., `. E claro, que cada nıvel n de energiae

n−1∑

`=0

(2`+ 1) = n2 (3.44)

vezes degenerado.

1A equacao diferencial associada de Laguerre e

ρ∂2ρL

(α)ν + (α+ 1− ρ)∂ρL

(α)ν + νL(α)

ν = 0 .

Os polinomios de Laguerre sao gerados por

L(α)ν (ρ) =

eρρ−α

α!

dν

dρν(e−ρρν+α

).


Aqui e uma lista das primeiras funcoes do atomo de hidrogenio,

ψ100 = 1√π

(ZaB

)3/2e−r (3.45)

ψ200 = 14√

2π

(ZaB

)3/2(2− r)e−r/2

ψ210 = 14√

2π

(ZaB

)3/2re−r/2 cos θ

ψ21±1 = 18√

2π

(ZaB

)3/2re−r/2 sin θe±iϕ

ψ300 = 181√

3π

(ZaB

)3/2(27− 18r + 2r2)e−r

ψ31±1 =√

281√

3π

(ZaB

)3/2(6− r)re−r/3 sin θe±iϑ

ψ320 = 181√

6π

(ZaB

)3/2r2e−r/3(3 cos2 θ − 1) ,

onde usamos a abreviacao r ≡ Zr/aB. Usando estas funcoes de onda podemos agora calcularvarios valores esperados como, por exemplo,

〈1〉n`m = 1 (3.46)

〈r〉n`m = n2

[1 +

1

2

(1− `(`+ 1)

n2

)]

〈r2〉n`m = n4

[1 +

3

2

(1− `(`+ 1)− 1

3

n2

)]

〈r3〉n`m = n6

[35

8− 35

8n2− 15

4n2(`+ 2)(`− 1) +

3

8n4(`+ 2)(`+ 1)`(`− 1)

]

〈r4〉n`m = n8

[63

8+

35

8n2(2`2 + 2`− 3) +

5

8n45`(`+ 1)(3`2 + 3`− 10) +

12

n8

]

⟨1

r

⟩

n`m

=1

n2

⟨1

r2

⟩

n`m

=1

n3(`+ 12)⟨

1

r3

⟩

n`m

=n

n4`(`+ 12)(`+ 1)

⟨1

r4

⟩

n`m

=32n

2 − 12`(`+ 1)

n5(`+ 32)(`+ 1)(`+ 1

2)`(`− 12)

.

Estes resultados serao importantes posteriormente. No Exc. 3.5.2.4 calcularemos o valor espe-rado 〈r〉 para varios orbitais |Ψn`m〉.

3.2.2 O teorema virial

Originalmente derivado para a mecanica classica, o teorema virial tambem vale para a mecanicaquantica, como mostrado pela primeira vez por Vladimir Aleksandrovich Fock. Avaliamos ocomutador entre o hamiltoniano

H = p2/2m+ V (r) , (3.47)

3.3. MOMENTO ANGULAR 65

e o produto do operador de posicao r com o operador de momento p = −i~∇ da partıcula:

[H, r · p] = [H, r] · p + r · [H, p] = −i~ p2

m+ i~r · ∇V , (3.48)

usando os teoremas de Ehrenfest. Portanto, achamos para o operador Q = r · p o comutador,

i

~[H, Q] = 2Ekin − r · ∇V . (3.49)

O lado esquerda desta equacao e justamente −dQ/dt, seguinte a equacao de movimento de Hei-senberg. O valor esperado 〈dQ/dt〉 da derivada temporal zera no estado estacionario, portantoobtemos o teorema virial,

2〈Ekin〉 = 〈r · ∇V 〉 . (3.50)

Exemplo 15 (Teorema virial aplicado num potencial central): Por exemplo, paraum potencial central V (r) ∝ rs obtemos,

2〈Ekin〉 = 〈r · er∂V

∂r〉 = s〈V 〉 .

No Exc. 3.5.2.5 calcularemos os valores esperados 〈r−1〉 e 〈p2〉 e verificaremos o teoremavirial. Finalmente, no Exc. 3.5.2.6 calculamos elementos da matriz de transicao entre diferentesorbitais.

3.3 Momento angular

3.3.1 Operador do momento angular orbital

A definicao do momento angular orbital e adotada da mecanica classica:

l = r× p = −i~r× ∇ = −i~

∣∣∣∣∣∣

ex ey ezx y z∂x ∂y ∂z

∣∣∣∣∣∣. (3.51)

Para entender melhor as propriedades do operador do momento angular na mecanica quanticaderivaremos nos Excs. 3.5.3.1 e 3.5.3.2 algumas das suas propriedades.

Figura 3.7: Ilustracao do momento angular na mecanica quantica.


3.3.1.1 Constantes do movimento

O capıtulo anterior dedicou-se a resolucao das equacoes radial e angular no caso de um potencialradial. A equacao radial permitiu calcular as auto-energias do hamiltoniano H,

H|ψ〉 = En`|ψ〉 . (3.52)

Tambem encontramos os autovalores e autofuncoes comuns dos operadores l2 e lz [vide Eqs. (3.17)e (3.20)]. Utilizamos agora a notacao |`,m〉 ≡ Y`m(θ, φ) para as autofuncoes,

l2|`,m〉 = ~2`(`+ 1)|`,m〉 e lz|`,m〉 = ~m|`,m〉 . (3.53)

Com isso temos,

[H, lz]|ψ〉 = H~m|ψ〉 − lzE|ψ〉 = 0 e [H, l2]|ψ〉 = H~2`(`+ 1)|ψ〉 − l2E|ψ〉 = 0 . (3.54)

Portanto, os operadores l2 e lz sao constantes do movimento,

[H, lz] = 0 = [H, l2] . (3.55)

O Exc. 3.5.3.3 pede para mostrar explicitamente no exemplo de um oscilador harmonico tres-dimensional isotropico que l2 e lz sao constantes do movimento.

3.3.2 Algebra SU(2) do momento angular e spin

Ate aqui, resolvemos a equacao angular de autovalores na representacao espacial para um mo-mento angular orbital, l = r × p. Mas nao e claro que cada momento angular tem essa re-presentacao derivada de nocoes classicas. Na verdade, veremos que o eletron tem um spinintrınseco sem cargas orbitandos. O que devemos mostrar agora e, que para um qualquer spin,j, satisfazendo

j× j = i~j , (3.56)

ou [jm, jn] = i~εkmnjk usando o sımbolo de Levi-Civita, obtemos uma algebra consistente.

Como j2 e jz comutam (mostramos isso a partir da Eq. (3.56) no Exc. 3.5.3.4), eles temautofuncoes comuns |j,m〉. Podemos escrever os autovalores assim,

j2|j,m〉 = ~2j(j + 1)|j,m〉 e jz|j,m〉 = ~m|j,m〉 , (3.57)

onde, por enquanto, so sabemos que m e real e j ≥ 0. Mas com 〈j,m|j2|j,m〉 ≥ 〈j,m|j2z |j,m〉 e

claro que j(j + 1) ≥ m2.

3.3.2.1 Operador de subida e descida

Agora introduzimos o operador de subida j+ e o operador de descida j− por

j± ≡ jx ± ijy tais que j− = j†+ .

E facil verificar as seguintes relacoes

[jz, j±] = ±~j± e [j2, j±] = 0 e j∓j± = j2 − j2z ∓ ~jz . (3.58)

3.3. MOMENTO ANGULAR 67

Com isso achamos

jz j±|j,m〉 = ([jz, j±] + j±jz)|j,m〉 = ~(m± 1)j±|j,m〉 (3.59)

j2j±|j,m〉 = j±j2|j,m〉 = ~2j(j + 1)j±|j,m〉 . (3.60)

Isto e, j±|j,m〉 e um autoestado de j2 e jz com os autovalores j e m±1 se j±|j,m〉 6= 0. Portanto,

j+|j,m〉 ∝ |j,m+ 1〉 . (3.61)

Para nao ultrapassar a condicao m2 ≤ j(j + 1) precisamos fixar j±|j,±j〉 = 0. Portanto, paraum j especificado, o m pode ter um dos 2j + 1 valores possıveis m = −j,−j + 1, .., j. Como2j + 1 e um numero inteiro, j so pode ter os valores j = 0, 1

2 , 1,32 , ... Com isso, a equacao de

autovalores das observaveis j2, j e resolvida, pois poderıamos ter escolhido, em vez de jz, cadauma das componentes de j, sabendo que as outras nao comutam com a escolhida.

Todas as componentes do spin jz e do raio j2 so tem autovalores discretos. A menor unidadee ~/2. Com a normalizacao 〈j,m|j′,m′〉 = δj,j′δm,m′ temos

〈j,m|j∓j±|j,m〉 = 〈j,m|(j2 − j2z ∓ ~jz)|j,m〉 = ~2[j(j + 1)−m(m± 1)] , (3.62)

e

j±|j,m〉 = ~√j(j + 1)−m(m± 1)|j,m± 1〉 . (3.63)

No Exc. 3.5.3.5 calculamos a incerteza das componentes do momento angular e no Exc. 3.5.3.6escrevemos o operador jx numa forma matricial.

3.3.3 O spin do eletron

Cada momento angular l gera um momento dipolar ~µ` ∝ l, que interage com campos magneticosexternos, V (B) = ~µ` · B. Campos magneticos inhomogeneos exercem forcas sobre momentosdipolares, F = −∇(~µ` ·B), que sao detectadas pelo experimento de Stern-Gerlach. Esse expe-rimento revela nao so a quantizacao do momento angular, mas tambem a presencia de valoressemi-integrais para o numero quantico magnetico.

Em 1925 Uhlenbeck e Goudsmit propunham que o eletron teria um momento angularintrınseco com o numero quantico s = 1/2. Esse momento angular, chamado spin, nao cor-responde a nenhuma orbita de massas ou de distribuicoes de cargas dentro do raio classicodo eletron do tipo l = r × p. O spin e um fenomeno puramente quantico, pois desaparecequando ~ → 0. Se acredita, hoje em dia, que o eletron e realmente puntiforme sem desviacaodetectavel da lei de Coulomb em todas as distancias. O spin do eletron nao segue da equacao deSchrodinger, mas pode ser incluıdo, ad hoc. E interessante, que e uma consequencia necessariada derivacao estringente relativıstica da mecanica quantica pelo Paul Dirac.

Para caracterizar o spin, podemos usar todo o aparelho formal SU(2) da mecanica quanticado momento angular:

s× s = i~s , (3.64)

e

s2|12 ,±12〉 = ~2 3

4 |12 ,±12〉 , sz|12 ,±1

2〉 = ±~2 |12 ,±1

2〉 , s± = σ± = |12 ,±12〉〈|12 ,∓1

2 | . (3.65)

Os operadores σ± sao as matrizes de Pauli.


3.4 Acoplamento de momentos angulares

Partıculas orbitandas eletricamente carregadas produzem um campo magnetico. Esse campopode influenciar o movimento de outras partıculas. Do mesmo jeito, o spin de um eletron podeinfluenciar o seu proprio movimento orbital. Isto e, os momentos angulares podem se acoplare interagir de maneira complicada. Mesmo para descrever o comportamento de um atomotao simples como o hidrogenio num campo exterior, precisamos construir os auto-estados domomento angular total resultando de um acoplamento do spin intrınseco do eletron e do seumovimento orbital.

Do outro lado, consideramos ate agora predominantemente hidrogenio e hidrogenoides, istoe, atomos com um nucleo e um unico eletron. Na verdade atomos podem ter ate mais o que 100eletrons, o que complica a descricao exata. Em atomos com muitos eletrons, um dos sistemasde acoplamentos mais comuns e aquele dos momentos angulares de todos os eletrons para ummomento angular total, L =

∑k lk, seguido por um acoplamento de L com o spin total, S =∑

k sk, para formar o momento angular, J = L + S. Designamos momentos totais por letrasmaiusculas.

Adotando uma notacao sem preconceitos estudamos algumas propriedades do momento an-gular total, j ≡ j1 + j2. No Exc. 3.5.4.1 verificamos que a adicao de momentos angulares produzuma grandeza que tambem e um momento angular, mas nao a subtracao.

3.4.1 Sistema de dois eletrons

Nesta secao consideramos primeiramente os estados de spin de dois eletrons, que podem sercombinados em dois grupos com spin bem-definido. Com isso podemos entender o espectro deenergia do helio, que e muito dominado temente pelo principio de Pauli e a estatıstica quantica.Os conceitos introduzidos podem ser estendidos para atomos com muitos eletrons.

O momento angular e um numero quantico importante no tratamento da estrutura internados atomos. Os dois eletrons da camada do helio contribuem cada um spin de 1

2 , que acoplampara um momento angular total 2. Consideramos dois eletrons livres. O estado do sistema deduas partıculas e um elemento do espaco de produto dos dois espacos de Hilbert, nos quais oseletrons individuais sao descritos. Para entender o que e o espaco produto, devemos introduziro produto tensorial de dois vetores (estados),

|α〉 =

(α1

α2

)= (αi)i ∈ A e |β〉 =

(β1

β2

)= (βj)j ∈ B . (3.66)

onde A e B sao os espacos dois-dimensionais dos dois eletrons. O produto tensorial entre vetores(estados) e definido como,

|γ〉 ≡ |α〉 ⊗ |β〉 =

(α1|β〉α2|β〉

)=

α1β1

α1β2

α2β1

α2β2

∈ C , (3.67)

onde k = 1, 2, 3, 4 e identificado com (i, j) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2). O novo vetor e elementodo espaco vetorial 4-dimensional C. Aqui e importante distinguir de qual espaco o vetor vem.

2As consideracoes se aplicam de maneira analoga para a estrutura hiperfina do hidrogenio, que tambem edevida a interacao de duas partıculas com spin 1

2. Indiretamente ja aprendemos o seguinte na descricao do

positrons e do eletron dentro da teoria de Dirac.

3.4. ACOPLAMENTO DE MOMENTOS ANGULARES 69

Nesta notacao, o vetor antes do simbolo para o produto tensorial (⊗) e o vetor vem do espacoA, e aquele depois do ⊗ vem do espaco B. Para a dimensao do novo espaco C temos,

dim C = dimAdimB , (3.68)

Se |α〉n e |β〉m sao bases nos respetivos espacos A e B, entao |γ〉k e uma base do espacode produto C.

O produto tensorial entre matrizes (operadores) e definido assim:

A⊗B ≡

A11B11 A11B12 A12B11 A11B12

A11B21 A11B22 A12B21 A11B22

A21B11 A11B12 A22B11 A22B12

A21B21 A11B22 A22B21 A22B22

. (3.69)

Com essa definicao podemos verificar que os operadores somente agem sobre os estados respeti-vos:

(A⊗B)(|α〉 ⊗ |β〉) = A|α〉 ⊗B|β〉 . (3.70)

Exemplo 16 (Definicao do produto tensorial): Verificamos,

[(A11 A12

A21 A22

)⊗(B11 B12

B21 B22

)][(α1

α2

)⊗(β1

β2

)]=

A11B11 A11B12 A12B11 A11B12

A11B21 A11B22 A12B21 A11B22

A21B11 A11B12 A22B11 A22B12

A21B21 A11B22 A22B21 A22B22

α11β11

α11β21

α21β11

α21β21

=

A11B11α11β11 +A11B12α11β21 +A12B11α21β11 +A11B12α21β21




=

(A11α1 +A12α2)(B11β1 +B12β2)(A11α1 +A12α2)(B21β1 +B22β2)(A21α1 +A22α2)(B11β1 +B12β2)(A21α1 +A22α2)(B21β1 +B22β2)

=

(A11α1 +A12α2

A21α1 +A22α2

)⊗(B11β1 +B12β2

B21β1 +B22β2

)=

(A11 A12

A21 A22

)(α1

α2

)⊗(B11 B12

B21 B22

)(β1

β2

).

3.4.2 Estados singleto e tripleto

Podemos exprimir o produto tensorial de dois operadores pelas matrizes da identidade I2:

A⊗B = (A⊗ I2)(I2 ⊗A) . (3.71)

Verificaremos isso no 7.2.1.2. O operador A = A ⊗A e a extensao de A agindo no espaco deproduto C.

Aplicaremos agora este formalismo sobre um par de eletrons. Os estados que os dois eletronspodem ocupar sao:

|γ1〉 =

(10

)⊗(

10

)=

1000

≡ | ↑↑〉 , |γ2〉 = | ↑↓〉 , |γ3〉 = | ↓↑〉 , |γ4〉 = | ↓↓〉 . (3.72)


As matrizes de Pauli agem sobre os spin dos eletrons individuais a e b. Elas podem ser estendidasao espaco C da maneira seguinte,

~2σx ⊗ I2 = ~

2

(0 I2I2 0

), ~

2I2 ⊗ σx = ~2

(σx 00 σx

)(3.73)

~2σy ⊗ I2 = ~

2

(0 iI2−iI2 0

), ~

2I2 ⊗ σy = ~2

(σy 00 σy

)

~2σz ⊗ I2 = ~

2

(I2 00 I2

), ~

2I2 ⊗ σz = ~2

(σz 00 σz

).

Com estes operadores podemos agora construir outros operadores. Consideramos primeiramenteas tres componentes do momento angular total,

Sx = ~2(σx ⊗ I2 + I2 ⊗ σx) = ~

2

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

(3.74)

Sy = ~2(σy ⊗ I2 + I2 ⊗ σy) = i~

2

0 −1 −1 01 0 0 −11 0 0 −10 1 1 0

Sz = ~2(σz ⊗ I2 + I2 ⊗ σz) = ~

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 −1

.

O operador para o quadrado do valor absoluto do momento angular total se calcula da seguintemaneira:

S2 = S2x + S2

y + S2z = ~2

2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2

. (3.75)

Agora procuramos os autovalores do momento angular total. A equacao de autovalores de Sz,

Sz|φ〉 = s|φ〉 , (3.76)

ja e diagonal na base introduzida γi. Portanto, os autovalores sao:

s = ~, 0, 0,−~ . (3.77)

Para S2 a situacao e mais interessante. Sabemos que a combinacao linear de dois autoestadoscom o mesmo autovalor tambem e um autoestado. Os estados,

|γa〉 = 1√2(|γ2〉 − |γ3〉) e |γs〉 = 1√

2(|γ2〉+ |γ3〉) , (3.78)

portanto, sao autoestados de Sz. Mas eles tambem sao autoestados de S2, pois podemos facil-mente verificar,

S2|γs〉 = 2~2|γs〉 e S2|γa〉 = 0~2|γa〉 , (3.79)


usando as matrizes (3.74). Os estados |γ1〉 e |γ4〉 tambem sao autoestados de S2 para autovalor|γ2〉. Para 〈S2〉 = 2 existem os seguintes tres estados:

|γ1〉 ms = 1|γ4〉 ms = −1|γs〉 ms = 0

tripleto , s = 1 (3.80)

Para 〈S2〉 = 0 somente existe um estado:

|γa〉 ms = 0 singleto , s = 0 (3.81)

Comutando os dois eletrons, os vetores |γ1〉 e |γ4〉 conservam a sua forma, enquanto os vetoresmistos trocam a sua forma: γ2 ←→ γ3. Sob troca de partıcula |γa〉 inverte seu signo, isto e, eantisimetrico, enquanto |γ1〉, |γ4〉 e |γc〉 conservam seu signa, isto e, sao simetricos.

Em resumo, os estados tripletos tem o numero quantico do momento angular total (com ovalor esperado para S2 de S(S + 1) = 2), e eles sao simetricos a respeito da troca de partıculas.O estado singleto tem o numero quantico do momento angular total S = 0, e ele e antisimetricoa respeito da troca de partıculas.

3.4.3 Bases desacopladas e acopladas

Os momentos angulares de dois partıculas ou dois momentos angulares de origens diferentes emuma partıcula representam graus de liberdade independentes, [j1, j2] = 0. Sem interacao entreos momentos angulares os espacos de Hilbert sao ortogonais:

H1 ⊗H2 =

(H1 00 H2

). (3.82)

As autofuncoes agem sobre um espaco da dimensao, dimH1 + dimH2:

|j1,mj1; j2,mj2〉 . (3.83)

Isto e, existe um conjunto completo de operadores comutandos j21, j1z, j

22, j2z. Por isso, po-

demos especificar os numeros quanticos j1, j2, mj1 e mj2 simultaneamente. Do outro lado, oconjunto j2

1, j22, j

2, jz tambem represente um conjunto completo de operadores comutandos,como mostramos no Exc. 3.5.4.2. Ele tem a base

|(j1, j2)j,mj〉 . (3.84)

No Exc. 3.5.4.3 derivamos a representacao matricial de dois spins em bases desacopladas eacopladas.

Para descrever os dois momentos angulares simultaneamente devemos escolher entre a ima-gem desacoplada |j1,mj1; j2,mj1〉 e a imagem acoplada |(j1, j2)j,mj〉. Por enquanto, a escolhada imagem nao faz diferencia, mas veremos mais tarde que pode existir uma energia associadaao acoplamento 3. Neste caso, mostraremos mais tarde, que a escolha da base acoplada e maisnatural, porque a energia comuta como [H, j2] = 0 = [H, jz] mas [H, j2

1] 6= 0 6= [H, j22].

3Isto e, o hamiltoniano do sistema nao contem termos do tipo j1 · j2, mas sim pode ter termos proporcionaisa j1 + j2.


Figura 3.8: Ilustracao do acoplamento de dois momentos angulares.

3.4.3.1 Valores permitidos do momento angular total

Como nao especificamos energia de interacao entre os spins ou entre spins e campos externos,todos estados sao energeticamente degenerados. Na imagem desacoplada a degenerescencia efacilmente calculada,

# =

j1∑

mj1=−j1

j2∑

mj2=−j21 = (2j1 + 1)(2j2 + 1) . (3.85)

Agora precisamos encontrar os valores possıveis de j e mj na imagem acoplada. Os valoresde mj seguem imediatamente de j1 + j2 = j,

mj = mj1 +mj2 . (3.86)

Com |mj1| ≤ j1 e |mj2| ≤ j2 os valores de mj sao limitados a

|mj | ≤ j1 + j2 . (3.87)

Frequentemente conhecemos os dois momentos angulares j1 e j2 e todas as suas projecoesna base desacoplada,

|mj1| ≤ j1 e |mj2| ≤ j2 . (3.88)

Para achar os numeros quanticos na base acoplada, arranjamos os estados seguinte o numeroquantico magnetico total mj . Podemos, sem restricao da generalidade concentrar na situacaoj1 ≥ j2. A seguinte tabela reproduz as combinacoes possıveis. Os x representam os coeficientesde Clebsch-Gordan.

jmj1 +mj2 = mj

jj

j j − 1j − 1 j − 1

j j − 1 j − 2j − 2 j − 2 j − 2

j j − 1−j + 1 −j + 1

j−j

j1 j2 x

j1 j2 − 1j1 − 1 j2

x xx x

j1 j2 − 2j1 − 1 j2 − 1j1 − 2 j2

x x xx x xx x x

. . .

−j1 + 1 −j2−j1 j2 + 1

x xx x

−j1 −j2 x


Os valores possıveis de j sao todos aqueles permitindo que j ≥ |mj | = |mj1 +mj2|, ou seja,

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 . (3.89)

Cada valor de j tem a degenerescencia 2j+1. Portanto, como devera ser verificado no Exc. 3.5.4.4,a degenerescencia total e

j1+j2∑

j=|j1−j2|2j + 1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1) . (3.90)

Exemplo 17 (Acoplamento L ·S): Como exemplo consideramos dois eletrons. O primeiro

eletron tem s1 = 12 e `1 = 0, o segundo tem s2 = 1

2 e `2 = 1. Como ilustrado na Fig. 3.9, o

acoplamento da primeiramente S = s1 +s2 = 0, 1 e L = `1 + `2 = 0, 1. Depois determinamos

os valores possıveis do momento angular total J = L + S = 0, 1, 2 dependendo dos valores

de L e S.

Figura 3.9: Acoplamento spin-orbita L · S para dois eletrons.

3.4.4 Coeficientes de Clebsch-Gordan

Por enquanto, so vamos descrever como adicionar dois momentos angulares, j1 e j2. Como elesagem sobre diferentes graus de liberdade,

[~α1 · j1, ~α2 · j2] = 0 , (3.91)

para arbitrarios vetores ~αk. Temos um sistema de autovetores comuns, |η, j1, j2,m1,m2〉, ondeη sao os autovalores de outras observaveis comutando com j1 e j2. Esses autovetores dao osvalores ~2j1(j1 + 1) e ~2j2(j2 + 1) para as observaveis j2

1 e j22 e ~m1 e ~m2 para as observaveis

jz1 e jz2. O numero de estados e (2j1 + 1)(2j2 + 1). Agora queremos construir os autoestadosdo momento angular total j = j1 + j2. Como

[j, j21] = 0 = [j, j2

2] , (3.92)

existem autoestados |j1, j2, j,m〉 comuns para o conjunto de observaveis j21, j2

2, j2 e jz. Essesautoestados sao combinacoes lineares dos estados individuais,

|(j1, j2)j,m〉 =∑

m1,m2

|j1, j2,m1,m2〉〈j1, j2,m1,m2|(j1, j2)j,m〉 (3.93)

=∑

m1,m2

|j1, j2,m1,m2〉(j1 j2m1 m2

∣∣∣∣jm

).


O coeficiente matricial se chama coeficiente de Clebsch-Gordan. Os Clebsch-Gordans desapare-cem se as condicoes 4

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 e m = −j1 − j2,−j1 − j2 + 1, .., j1 + j2 (3.94)

nao estao satisfeitas.As matrizes unitarias de transformacao entre bases desacopladas e acopladas,

|(j1, j2)j,m〉 = UCGC |j1,m1; j2,m2〉 , (3.95)

sao listadas em tabelas dos coeficientes de Clebsch-Gordans.

Exemplo 18 (Clebsch-Gordans para o acoplamento de dois spins 12): Por exemplo,

para o sistema de dois spins 12 temos,

|( 12 ,

12 )1,+1〉

|( 12 ,

12 )1, 0〉

|( 12 ,

12 )0, 0〉

|( 12 ,

12 )1,−1〉

=

1 0 0 0

0√

12

√12 0

0√

12 −

√12 0

0 0 0 1

| 12 ,+ 12 ; 1

2 ,+12 〉

| 12 ,− 12 ; 1

2 ,+12 〉

| 12 ,+ 12 ; 1

2 ,− 12 〉

| 12 ,− 12 ; 1

2 ,− 12 〉

.

Nos Excs. 3.5.4.5 e 3.5.4.6 escrevemos todos estados possıveis de dois momentos angulares embases desacopladas e acopladas. Nos Excs. 3.5.4.7, 3.5.4.8, 3.5.4.9, 3.5.4.10, 3.5.4.11 e 3.5.4.12praticamos a transformacao entre bases desacopladas e acopladas e no Exc. 3.5.4.13 verificamosuma regra garantindo a unitariedade das transformacoes de Clebsch-Gordan.

3.4.4.1 Acoplamento de tres momentos angulares

Tres momentos angulares podem acoplar-se em tres configuracoes diferentes: Primeiro j1 comj2, depois o spin total (j1, j2)j12 com o terceiro j3. Utilizamos a notacao |[(j1, j2)j12, j3]J〉 ou|[(j1, j3)j13, j2]J〉 ou |[(j2, j3)j23, j1]J〉. O reacoplamento de tres spins e descrito por sımbolos6j, por exemplo,

|[(j1, j2)j12, j3]J〉 =∑

j13

6j|[(j1, j3)j13, j2]J〉 . (3.96)

3.4.4.2 Notacao para estados em atomos com acoplamento LS

Num atomo, frequentemente os spins dos eletrons se acoplam para um spin total, S =∑

k sk,e separadamente os momentos angulares orbitais se acoplam para um momento angular orbitaltotal, L =

∑k lk. Esse dois spins totais agora se acoplam para um momento angular total,

J = L + S. Quando esse acoplamento LS acontece, para caracterizar os estados eletronicos ematomos se usa a notacao seguinte:

2S+1LJ . (3.97)4Ver [4], p.111 ou [32], p.119. Os Clebsch-Gordans sao relacionados com os sımbolos (3j) de Wigner:(

j1 j2m1 m2

∣∣∣∣ jm)

=

(j1 j2 jm1 m2 −m

)= (−1)j1−j2+m

√∆(j1j2j3)×

×√

(j1 +m1)!(j1 −m1)!(j2 +m2)!(j2 −m2)!(j +m)!(j −m)!∑t

(−1)t

t!(m1 − j2 + j + t)!(−j1 −m2 + j + t)!(j1 + j2 − j − t)!(j1 −m1 − t)!(j2 +m2 − t)!

onde ∆(j1j2j) ≡(j1 + j2 − j)!(j1 − j2 + j)!(−j1 + j2 + j)!

(j1 + j2 + j + 1)!.

3.5. EXERCICIOS 75

3.4.4.3 Acoplamento jj

Tambem existe o caso que para cada eletron o spin se acopla com o momento orbital, jk = lk+sk,antes de se acoplar os momentos angulares de todos os eletron, J =

∑k jk. Isso se chama

acoplamento jj. O reacoplamento dos quatro spins e descrito por sımbolos 9j =

l1 l2 Ls1 s2 Sj1 j2 J

,

|[(l1, s2)j1, (l2, s2)j2]J〉 =∑

L,S

9j|[(l1, l2)L, (s1, s2)S]J〉 . (3.98)

3.5 Exercıcios

3.5.1 Partıcula num potencial central

3.5.1.1 Ex: Paridade das funcoes harmonicas esfericas

Consideramos a transformacao de paridade P com (x, y, z)P−→ (−x,−y,−z). Use coordenadas

esfericas e mostre, que vale Y`mP−→ (−1)`Y`,m, e portanto, que uma funcao de superfıcie esferica

tem paridade par, quando ` e par, respectivamente impar, quando ` e impar.

3.5.1.2 Ex: Condensado de Bose-Einstein num potencial isotropo

A equacao de Gross-Pitaevskii descrevendo a funcao de onda de um condensado de Bose-Einsteine,

i~∂ψ(r)

∂t=

(− ~2

2m∆ + Vtrp(r) + g|ψ(r)|2

)ψ(r) ,

onde o fator g depende da forca de interacao interatomica e Vtrp e o potencial de aprisionamento

dos atomos. Para V (r) = V (r) a funcao de onda tera simetria radial, ψ(r) = φ(r)r . Reescreve a

equacao de Gross-Pitaevskii para a funcao φ.

3.5.1.3 Ex: Movimento de uma partıcula livre em coordenadas esfericas

Obtenha as autofuncoes da partıcula livre como caso limite do seu movimento num campode forca central com V (r) −→ 0. Compare as autofuncoes assim derivadas - associadas aoconjunto completo de observaveis H, L2 e Lz - aquelas descritas por ondas planas - associadas aomovimento caracterizado pelos observaveis px, py, pz e H = P2/2m -, que igualmente constituemum conjunto completo de observaveis.

3.5.1.4 Ex: Partıcula numa caixa esferica

Encontre os nıveis de energia e as funcoes de onda de uma partıcula confinada em uma caixaesferica descrita pela energia potencial, V (r) = 0 para r < a e V (r) =∞ para r ≥ a considerandoo momento angular ` = 0.

3.5.1.5 Ex: Poco de potencial 3D esferico finito

a. Derive os nıveis de energia possıveis e as funcoes de onda associadas para uma partıculapresa num poco de potencial 3D esferico de profundidade V0 e raio a. Note que este problemae analogico ao espalhamento de Mie com ondas escalares.b. Discute o caso de um poco cercado de paredes infinitas.


3.5.1.6 Ex: Partıcula num potencial harmonico esferico

Uma partıcula quantica de massa m esta sujeita a um potencial

V = 12mω

2(x2 + y2 + z2) .

a. Obtenha os nıveis de energia dessa partıcula. Isto e, determine os autovalores de

− ~2

2m∇2ψ + V ψ = Eψ .

b. Considere o nıvel fundamental e os dois primeiros nıveis excitados. Monte uma tabela mos-trando para cada um desses tres nıveis, o valor da energia, a degenerescencia e os respectivosestados em termos dos numeros quanticos.c. Utilizando

∇2ψ =

[1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)− L2

~2r2

]ψ

e lembrando que L2Y`m(θ, φ) = ~2`(`+ 1)Y`m, escreva a equacao diferencial do item (a) para aparte radial da funcao de onda (nao e preciso resolve-la). Identifique nessa equacao o potencialefetivo Vef (r).d. Resolva a equacao diferencial do item anterior para o caso em que ` = 0 e determine oautovalor correspondente. Para isso, admita uma solucao do tipo e−αr

2e determine α.

3.5.2 Tratamento quantico do hidrogenio

3.5.2.1 Ex: Assimptotas dos polinomios de Laguerre

Derive as solucoes assimptoticas das solucoes da equacao (3.38).

3.5.2.2 Ex: Equacao de Laguerre

Mostre que a equacao (3.38) se transforme com o ansatz (3.39) para a equacao (3.40).

3.5.2.3 Ex: Funcoes de Laguerre

Utilizando a relacao de ortogonalidade dos polinomios associados de Laguerre,∫ ∞

0ραe−ρL(α)

n (ρ)L(α)m (ρ)dρ =

Γ(n+ α+ 1)

n!δn,m

∫ ∞

0ρα+1e−ρL(α)

n ρ2dρ =(n+ α)!

n!(2n+ α+ 1) ,

e as formula de recursao,

nL(α+1)n (ρ) = (n− ρ)L

(α+1)n−1 (ρr) + (n+ α)L

(α)n−1(ρ)

ρL(α+1)n (ρ) = (n+ α)L

(α)n−1(ρ)− (n− ρ)L(α)

n (ρ) ,

a. calcule a constante de normalizacao Dn,l para um atomo hidrogenoide com numero atomicoZ;b. calcule o valor medio

〈r〉nlm =n2aBZ

[1 +

1

2

(1− `(`+ 1)

n2

)];

3.5. EXERCICIOS 77

c. calcule o valor medio ⟨1

r

⟩

n`m

=Z

n2aB.

3.5.2.4 Ex: Raios de orbitais no modelo de Bohr

A partir dos resultados acima, obtenha o valor esperado 〈r〉 para os estados Ψ100, Ψ210 e Ψ320

do atomo de hidrogenio. Compare os resultados com aqueles do modelo de Bohr.

3.5.2.5 Ex: Teorema virial e modelo de Bohr

Calcule, para o estado Ψ320 do atomo de hidrogenio, os valores esperados 〈1r 〉 e 〈p2〉.A partir dos resultados, obtenha os valores esperados das energias cinetica e potencial, 〈T 〉 e〈V 〉, e mostre que, de acordo com o teorema virial, 〈T 〉 = −(1/2)〈V 〉. Compare os resultadoscom o modelo de Bohr.

3.5.2.6 Ex: Elementos da matriz de transicao

Usando as seguintes funcoes de onda (nao normalizadas) do hidrogenio, ψ100(r) = e−r, ψ210(r) =re−r/2 cos θ e ψ21±1(r) = re−r/2 sin θe±iφ, calcule os elementos de matriz a. 〈ψ100|z|ψ210〉, b. 〈ψ100|z|ψ211〉,c. 〈ψ100|x− iy|ψ210〉 e d. 〈ψ100|x− iy|ψ211〉. Tente interpretar os resultados. Formulario:

∫ ∞

0x4e−3x/2dx = 256

81 ,

∫ π

0sin3 xdx = 4

3 ,

∫ π

0cosx sin2 xdx = 0 ,

∫ π

0cos2 x sinxdx = 2

3 .

3.5.3 Momento angular

3.5.3.1 Ex: Propriedades do momento angular orbital

Mostre l× l = i~l e [lx, ly] = i~lz.

3.5.3.2 Ex: Tensor de Levi-Civita

Mostre [lk, rm] = i~rnεkmn onde o Levi-Civita tensor e definido por εkmn = 1 quando (kmn) euma permutacao par de (123), εkmn = −1 para uma permutacao impar e εkmn = 0 se dois dosındices sao iguais.

3.5.3.3 Ex: Momento angular orbital de um oscilador harmonico

Mostre para um oscilador harmonico tres-dimensional isotropico [H, l2] = [H, lz] = 0. Fazcalculos explıcitos, isto e, mostre

[p2

2m , lz

]= 0 =

[m2ω2r2, lz

]e

[p2

2m , l2]

= 0 =[m

2ω2r2, l2

].

3.5.3.4 Ex: Comutacao do modulo e das componentes do momento angular orbital

Mostre [j2, j] = 0.


3.5.3.5 Ex: Incerteza das componentes do momento angular

Mostra que se jz e preciso, jx e jy sao imprecisos.

3.5.3.6 Ex: Representacao matricial das componentes do momento angular

Calcule os elementos da matriz de jx e j2x na base, onde jz e observavel.

3.5.4 Acoplamento de momentos angulares

3.5.4.1 Ex: Adicao/subtracao de momentos angulares

Mostre que j1 + j2 e um momento angular, mas nao j1 − j2.

3.5.4.2 Ex: CCOC de momentos angulares acoplados

Mostre que j21, j

22, j

2, jz e um CCOC; isto e, mostre quea. j2 comuta com j2

1 e j22;

b. j2 nao comute com j1z ou j2z e que nao podemos especificar mj1 ou mj2 junto com j.

3.5.4.3 Ex: Acoplamento spin-orbita

a. Mostre que o operador L · S associado ao acoplamento spin-orbita, satisfaz a relacao L · S =LzSz + (L+S− + L−S+)/2.Obtenha a representacao matricial do operador L · S, considerando as bases:b. |mL〉 ⊗ |mS〉 dos autoestados comuns aos operadores L2, S2, Lz, Sz;c. |J,M〉, associada aos operadores L2, S2, J2, Jz.

3.5.4.4 Ex: Multiplicidade de momentos angular acoplados

Verifique # = (2j1 + 1)(2j2 + 1) dentro da representacao acoplada.

3.5.4.5 Ex: Estados possıveis de dois momentos angulares (des-)acoplados

Ache todos estados possıveis com os momentos angulares j1 = 1 e j2 = 1/2 nas imagens desa-coplados e acoplados.

3.5.4.6 Ex: Estrutura fina e hiperfina do atomo de rubıdio 85Rb

1. O atomo de rubıdio 85Rb tem um eletron de valencia. No primeiro estado excitado esse eletrontem o momento angular orbital, L = 1. Quais sao os estados possıveis?2. No estado fundamental deste atomo o momento angular total dos eletrons, J , acopla com ospin do nucleo, I = 5/2, para formar o momento angular total F = J + I. Determine os valorespossıveis para o momento angular F e o numero quantico magnetico mF .

3.5.4.7 Ex: Expansao da estrutura hiperfina do atomo de rubıdio 87Rb

Determine para os estados S1/2 e P3/2 de um atomo com o spin nuclear I = 3/2 com acoplamento

hiperfino J · I como os autoestados da base acoplada se expandem na base desacoplada. Naoconsideramos campo magnetico externo.

3.5. EXERCICIOS 79

3.5.4.8 Ex: Amplitudes de transicao entre sub-estados Zeeman

a. Consideramos o atomo de 87Rb que tem o momento angular nuclear I = 3/2. Quais saoos estados hiperfinos F possıveis resultando de um acoplamento de I com o momento angulareletronico total do estado fundamental 2S1/2? Quais sao os sub-estados Zeeman possıveis dosF?b. Quais sao os estados hiperfinos F ′ possıveis resultando de um acoplamento de I com omomento angular eletronico total do estado excitado 2P3/2, F ′ = 2? Quais sao os sub-estadosZeeman possıveis dos F ′?c. Uma transicao entre um estado hiperfino fundamental e um estado hiperfino excitado podeser descrita por um acoplamento do momento angular total F com o momento angular do fotonκ formando o momento angular do estado excitado F ′. Para ver isso, consideramos agora osnıveis F = 1 e F ′ = 2. Expande o momento angular acoplado |(F, κ)F ′,mF ′〉 = |(1, 1)2,mF ′〉numa base desacoplada para cada valor de mF ′ possıvel. Utilize a tabela na Fig. 3.10 paradeterminar os coeficientes de Clebsch-Gordan.Note bem: Os Clebsch-Gordans comparam so as forcas das transicoes entre varios sub-estadosZeeman do mesmo par (F, F ′). Para comparar as forcas entre diferentes pares (F, F ′) e precisocalcular os coeficientes 6j.

3.5.4.9 Ex: Expansao do acoplamento spin-orbit

Considere o problema da adicao do momento angular orbital ` e de um spin 1/2. Obtenha os2l+ 1 estados |`+ 1/2,mj〉, alem dos 2l estados |`− 1/2,mj〉 (que constituem uma base comumaos operadores `21, s2

2, j2, jz), expandidos na base |m1,m2〉 dos autoestados dos operadores l2,s2, `z, sz Voce pode simplificar o procedimento derivando duas relacoes de recorrencia das quaisdecorrem os estados desejados.5

3.5.4.10 Ex: Ginastica de operadores de momento angular

Considere o problema da adicao dos momentos angulares j1 = 1 e j2 = 1/2:a. Quais os possıveis valores de m e j, em que j2|j,m〉 = j(j+ 1)~2|j,m〉 e jz|j,m〉 = m~|j,m〉?b. Quais as degenerescencias gj1,j2(m)?c. Encontre os estados da base |j,m〉, comum aos operadores j2

1, j22, j, jz, expandidos na base

|j1,m1〉 ⊗ |j2,m2〉 dos autoestados de j21, j2

2, j1z, j2z.

3.5.4.11 Ex: Bases (des-)acopladas dos harmonicos esfericos

Expande o estado tripleto 3PJ do estroncio numa base desacoplada e escreve a matriz da trans-formacao entre as bases.

3.5.4.12 Ex: Expansao do acoplamento l · s

Considere o problema da adicao do momento angular orbital l e de um spin 1/2. Obtenha os2l+ 1 estados |l+ 1/2,mj〉, alem dos 2l estados |l− 1/2,mj〉 (que constituem uma base comumaos operadores l21, s2

2, j2, jz), expandidos na base |m, ε〉 dos autoestados dos operadores l2, s2,lz, sz. Voce pode simplificar o procedimento derivando duas relacoes de recorrencia das quaisdecorrem os estados desejados.6

5Veja Cohen-Tannoudji, Vol.2, Complemento A X.6Veja Cohen-Tannoudji, Vol.2, Complemento A X.


3.5.4.13 Ex: Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan

Dado os momentos j1 e j2, e sendo Cm1,m2 os coeficientes de Clebsch-Gordan, prove que∑m1,m2

|Cm1,m2 |2 = 1.

3.5. EXERCICIOS 81

36. Clebsch-Gordan coefficients 1

36. CLEBSCH-GORDANCOEFFICIENTS, SPHERICALHARMONICS,

AND d FUNCTIONS

Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read −√

8/15.

Y 01 =

√3

4πcos θ

Y 11 = −

√3

8πsin θ eiφ

Y 02 =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)

Y 12 = −

√15

8πsin θ cos θ eiφ

Y 22 =

1

4

√15

2πsin2 θ e2iφ

Y −mℓ = (−1)mY m∗

ℓ 〈j1j2m1m2|j1j2JM〉= (−1)J−j1−j2〈j2j1m2m1|j2j1JM〉d ℓ

m,0 =

√4π

2ℓ + 1Y mℓ e−imφ

djm′,m = (−1)m−m′

djm,m′ = d

j−m,−m′ d 1

0,0 = cos θ d1/21/2,1/2

= cosθ

2

d1/21/2,−1/2

= − sinθ

2

d 11,1 =

1 + cos θ

2

d 11,0 = − sin θ√

2

d 11,−1 =

1 − cos θ

2

d3/23/2,3/2

=1 + cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,1/2

= −√

31 + cos θ

2sin

θ

2

d3/23/2,−1/2

=√

31 − cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,−3/2

= −1 − cos θ

2sin

θ

2

d3/21/2,1/2

=3 cos θ − 1

2cos

θ

2

d3/21/2,−1/2

= −3 cos θ + 1

2sin

θ

2

d 22,2 =

(1 + cos θ

2

)2

d 22,1 = −1 + cos θ

2sin θ

d 22,0 =

√6

4sin2 θ

d 22,−1 = −1 − cos θ

2sin θ

d 22,−2 =

(1 − cos θ

2

)2

d 21,1 =

1 + cos θ

2(2 cos θ − 1)

d 21,0 = −

√3

2sin θ cos θ

d 21,−1 =

1 − cos θ

2(2 cos θ + 1) d 2

0,0 =(3

2cos2 θ − 1

2

)

Figure 36.1: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 1959), also used by Condon and Shortley (TheTheory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 1953), Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 1957),and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 1974).

Figura 3.10: Coeficientes Clebsch-Gordan.


Capıtulo 4

Metodos de aproximacao

Praticamente cada problema indo alem do poco de potencial, do oscilador harmonico ou doatomo de hidrogenio sem spin e campos externos e impossıvel resolver analiticamente. Nessecapitulo vamos falar de tecnicas para resolver aproximadamente problemas em situacoes maisrealısticas. Existem varios metodos dos quais discutiremos os seguintes: 1. O metodo de per-turbacao estacionaria ou de perturbacao dependente do tempo e util para avaliar pequenas per-turbacoes do sistema, por exemplo, por campos eletricos ou magneticos externos; 2. o metodovariacional serve para achar e melhorar chutes para as funcoes de onda motivadas pelas sime-trias do sistema; 3. metodo WKB semiclassico; 4. o metodo de campos auto-consistentes e ummetodo iterativo de resolver a equacao de Schrodinger.

4.1 Perturbacoes estacionarias

4.1.1 Metodo de perturbacao independente do tempo

Introduzimos primeiramente a teoria de perturbacao independente do tempo (TPIT) para siste-mas de muitos nıveis. Separamos o hamiltoniano em uma parte nao perturbada

H(0)|ψ(0)〉 = E(0)|ψ(0)〉 , (4.1)

e perturbacoes proporcionais a pequenos parametros λ,

H = H(0) + λH(1) + λ2H(2) + .. . (4.2)

As funcoes de onda perturbadas sao

|ψ〉 = |ψ(0)〉+ λ|ψ(1)〉+ λ2|ψ(2)〉+ .. , (4.3)

e as energiasE = E(0) + λE(1) + λ2E(2) + .. . (4.4)

As contribuicoes ∝ λn sao as correcoes de ordem n. A equacao que precisamos resolver agora e

H|ψ〉 = E|ψ〉 . (4.5)

Inserindo todas as expansoes acima e segregando todos as ordens de λk, achamos o seguintesistema de equacoes,

H(0)|ψ(0)〉 = E(0)|ψ(0)〉 (4.6)

(H(0) − E(0))|ψ(1)〉 = (E(1) − H(1))|ψ(0)〉(H(0) − E(0))|ψ(2)〉 = (E(2) − H(2))|ψ(0)〉+ (E(1) − H(1))|ψ(1)〉

... .

83

84 CAPITULO 4. METODOS DE APROXIMACAO

4.1.1.1 Correcao de primeira ordem para a energia

Agora consideramos auto-estados |ψ(1)n 〉 do sistema perturbado e expandimos a correcao de

primeira ordem da funcao de onda em uma combinacao linear dos autovetores nao perturbados

|ψ(0)n 〉 ≡ |n〉,

|ψ(1)n 〉 =

∑

m

|m〉〈m|ψ(1)n 〉 . (4.7)

Inserimos esta expansao na segunda equacao (4.6) e multiplicamos com 〈n|

〈n|(H(0) − E(0)n )

∑

m

|m〉〈m|ψ(1)n 〉 = 0 = 〈n|E(1)

n − H(1)|n〉 . (4.8)

Obtemos para a correcao de primeira ordem para a energia de estados nao perturbados

E(1)n = 〈n|H(1)|n〉 . (4.9)

Como primeiro exemplo calcularemos no Exc. 4.6.1.1 a correcao de primeira ordem para aenergia de um poco unidimensional ligeiramente deformado.

4.1.1.2 Correcao de primeira ordem para a funcao de onda

Agora vamos olhar para a correcao de primeira ordem para a funcao de onda considerando asegunda equacao (4.6),

〈m|H(0) − E(0)n |ψ(1)

n 〉 = 〈m|E(1)n − H(1)|n〉 . (4.10)

Quando n = m, o lado esquerdo desta equacao desaparece. Portanto, E(1)n − 〈n|H(1)|n〉 = 0, e

podemos nos restringir aos termos n 6= m descartando os termos em E(1)n ,

〈m|ψ(1)n 〉 =

E(1)n δmn − 〈m|H(1)|n〉

E(0)m − E(0)

n

=〈m|H(1)|n〉E

(0)n − E(0)

m

. (4.11)

Obtemos para a correcao de primeira ordem para a energia dos estados,

|ψ(1)n 〉 =

∑

m

|m〉〈m|ψ(1)n 〉 =

∑

m 6=n|m〉〈m|H

(1)|n〉E

(0)n − E(0)

m

. (4.12)

Esse procedimento simula a distorcao do estado por misturas com outros estados. A perturbacaoinduz transicoes virtuais para outros estados. A perturbacao e grande quando os nıveis admistossao perto.

Vide Exc. 4.6.1.2. No Exc. 4.6.1.3 calculamos a correcao de primeira ordem devido a extensaofinita do nucleo do hidrogenio. No Exc. 4.6.1.4 tratamos o acoplamento de dos nıveis de energiade um sistema de dois nıveis como perturbacao em primeira ordem, e comparamos o resultadocom a solucao exata. O efeito Stark para um eletron confinado numa caixa pode ser discutido(vide Exc. 4.6.1.5) em primeira ordem TPIT.

4.1. PERTURBACOES ESTACIONARIAS 85

4.1.1.3 Correcao de segunda ordem para a energia

Para calcular a correcao de segunda ordem para a energia expandimos a correcao de segundaordem,

|ψ(2)n 〉 =

∑

m

|m〉〈m|ψ(2)n 〉 , (4.13)

e importamos na terceira equacao (4.6) e multiplicamos com 〈n|,

〈n|(H(0)−E(0)n )

∑

m

|m〉〈m|ψ(2)n 〉 = 〈n|(E(2)

n −H(2))|n〉+〈n|(E(1)n −H(1))

∑

m

|m〉〈m|ψ(1)n 〉 . (4.14)

Agora,

∑

m

〈m|ψ(2)n 〉(E(0)

n − E(0)m )δnm = 0 = E(2)

n − 〈n|H(2)|n〉+∑

m

〈m|ψ(1)n 〉

(E(1)n δnm − 〈n|H(1)|m〉

).

(4.15)O lado esquerdo desta equacao desaparece. Alem disso, no lado direito, para n 6= m, o termo

E(1)n δnm desaparece e para n = m a parentese inteira desaparece. Portanto, podemos descartar

o termo E(1)n inteiramente e nos restringir a soma para termos n 6= m. Inserindo os coeficientes

〈m|ψ(1)n 〉 calculados em (4.11), obtemos finalmente,

E(2)n = 〈n|H(2)|n〉+

∑

m 6=n

〈n|H(1)|m〉〈m|H(1)|n〉E

(0)n − E(0)

m

. (4.16)

O primeiro termo e similar a correcao de primeira ordem; o valor esperado da perturbacao desegunda ordem nos estados nao perturbados. O segundo termo descreve o deslocamento dasenergias atraves de transicoes possıveis temporarias para outros estados.

No Exc. 4.6.1.6 tratamos um sistema de 3 nıveis acoplados ate a segunda ordem perturbativa.O efeito Stark discutido no Exc. 4.6.1.7 precisa do calculo TPIT ate segunda ordem.

4.1.2 TPIT com estados degenerados

Calculos exatos mostram que o efeito de uma perturbacao e maior – porem finito – para estadosdegenerados. Do outro lado, pelas expressoes acima derivadas para as correcoes tanto dasenergias quanto das funcoes de onda, podemos inferir que estas correcoes podem tornar-se muitograndes para pequenas perturbacoes ou mesmo divergir.

Felizmente, o fato que cada combinacao linear de funcoes degeneradas tambem e uma auto-funcao do hamiltoniano nos da a liberdade de escolher a combinacao mais similar a forma finaldas funcoes perturbadas. Por exemplo, considerando uma perturbacao por um campo magneticopode tornar-se vantajoso expandir as funcoes esferica Ylm numa base de coordenadas cilındricas1.Veremos no seguinte que podemos resolver ambos os problemas, a selecao da combinacao iniciale a prevencao de denominadores divergentes em uma vez, sem especificar a expansao explicita-mente.

Consideramos auto-estados |n, ν〉 com a energia E(0)n sendo r vezes degenerada a respeito do

numero quantico ν, onde ν = 1, .., r. Todos estados satisfazem

H(0)|n, ν〉 = E(0)n |n, ν〉 . (4.17)

1Um outro exemplo seria a preferencia para a base acoplada |(l, s)j,mj〉 em comparacao com a base desacoplada|l,ml, s,ms〉 sabendo que a degenerescencia em j e levada quando existe uma energia associada a interacao dosmomentos angulares e a degenerescencia em mj e levada quando aplicamos um campo magnetico.


Construımos combinacoes que mais se assemelham aos estados perturbados

|ψ(0)nµ 〉 =

r∑

ν=1

cµν |n, ν〉 . (4.18)

Quando a perturbacao H(1) esta aplicada, supomos que o estado |ψ(0)nµ 〉 e distorcido para o

estado semelhante |ψnµ〉, e a energia muda de E(0)n para Enµ. Precisamos agora do ındice µ para

etiquetar a energia, pois a degenerescencia pode ser removida pela perturbacao. Como antes,escrevemos agora,

H = H(0) + λH(1) + .. (4.19)

|ψnµ〉 = |ψ(0)nµ 〉+ λ|ψ(1)

nµ 〉+ ..

Enµ = E(0)n + λE(1)

nµ + .. .

Substituicao dessas expansoes em H|ψnµ〉 = Enµ|ψnµ〉, e colecao das ordens de λ ate primeiraordem da,

H(0)|ψ(0)nµ 〉 = E(0)

n |ψ(0)nµ 〉 (4.20)

(E(0)n − H(0))|ψ(1)

nµ 〉 = (E(1)nµ − H(1))|ψ(0)

nµ 〉 .

Como antes, tentamos exprimir as correcoes de primeira ordem para as funcoes de onda

atraves das funcoes nao perturbadas degeneradas, |ψ(0)nµ 〉, e nao degeneradas, |ψ(0)

m 〉:2

|ψ(1)nµ 〉 =

∑

ν

bµν |ψ(0)nν 〉+

∑

m

anm|ψ(0)m 〉 . (4.21)

Colocando isso na equacao de primeira ordem (4.20), obtemos,

∑

ν

bµν(E(0)n − E(0)

n )|ψ(0)nν 〉+

∑

m

anm(E(0)m − E(0)

n )|ψ(0)m 〉 = (E(1)

nµ − H(1))|ψ(0)nµ 〉 . (4.22)

O primeiro termo desaparece. Inserindo a expansao (4.18),

∑

m

anm(E(0)m − E(0)

n )|ψ(0)m 〉 = (E(1)

nµ − H(1))∑

ν

cµν |n, ν〉 , (4.23)

e multiplicando os dois lados com 〈n, µ|, obtemos zero na esquerda, pois podemos escolher osestados nao-degenerados ortogonais 〈n, ν|m〉 = δm,n. Portanto,

∑

ν

cµν

[E(1)nµ 〈n, µ|n, ν〉 − 〈n, µ|H(1)|n, ν〉

]= 0 . (4.24)

Essa equacao secular (uma para cada µ), e um conjunto de r equacoes lineares para os coeficientescµν . A condicao para ter solucoes nao-triviais e,

det(〈n, ν|H(1)|n, µ〉 − E(1)

nµ δµ,ν

)µ,ν

= 0 . (4.25)

2Note, que etiquetamos todos os estados que nao sao degenerados com o estado sob investigacao |ψ(1)nµ 〉 com o

ındice m, mesmo se existem degenerescencias entre eles mesmo.

4.1. PERTURBACOES ESTACIONARIAS 87

A solucao dessa determinante secular da as energias E(1)µ procuradas. Depois, a solucao da

equacao secular (4.24) para cada valor de energia da os coeficientes definindo a melhor forma decombinacoes lineares adaptada a perturbacao. Diferentemente aos calculos anteriores com esta-dos degenerados, aqui consideramos combinacoes lineares dos vetores do subespaco degeneradoantes de por a perturbacao.

Na pratica, aplicamos a teoria de perturbacao somente ate a ordem mais baixa relevante.Isto e, somente calculamos a correcao de segunda ordem se a primeira ordem zera. Um exemplofamoso e o efeito Stark quadratico discutido na Sec. 6.3. No caso de autovalores degenerados naausencia de perturbacao a primeira ordem sempre vai produzir uma correcao notavel, como noexemplo do efeito Stark linear, tambem discutido na Sec. 6.3. Por essa razao, nao precisamosdiscutir ordens de perturbacao mais elevados no caso de autovalores degenerados.

Exemplo 19 (Perturbacao num sistema com dois estados degenerados): Comoexemplo consideramos o seguinte hamiltoniano,

H =

(∆ ΩΩ ∆

).

A solucao exata da os autovalores e os autovetores,

E1 = ∆ + Ω , E2 = ∆− Ω , |ψ1〉 = 1√2

(11

), |ψ2〉 = 1√

2

(−11

).

Agora dividimos o hamiltoniano em uma parte nao perturbada e uma perturbacao

H ≡ H(0) + H(1) =

(∆ 00 ∆

)+

(0 ΩΩ 0

).

Obtemos em ordem zero,

E(0)1 = ∆ = E

(0)2 , |1〉 =

(10

), |2〉 =

(01

),

A aplicacao da teoria de perturbacao nao-degenerada em primeira ordem daria,

〈1|H(1)|1〉 = 0 = 〈2|H(1)|2〉 , |ψ(1)1 〉 = |1〉〈1|H

(1)|2〉E

(0)1 − E(0)

2

→∞← −|ψ(1)2 〉 .

Isto e, a correcao da energia zera em primeira ordem enquanto a correcao da funcao de ondadiverge. Obviamente, a base |ν〉 obtida pela diagonalizacao da matriz H(0) nao e adaptadaao calculo dos elementos da matriz H(1).Agora, aplicando teoria de perturbacao degenerada, obtemos pela determinante secular,

0 = det[〈ν|H(1))|µ〉 − E(1)

µ δµ,ν

]= det

(−E(1)

µ Ω

Ω −E(1)µ

)= (E(1)

µ )2 − Ω2 ,

os autovalores sao E(1)1 = Ω e E

(1)2 = −Ω permitindo estabelecer a equacao secular,

c11

[E

(1)1 − 〈1|H(1)|1〉

]− c12〈1|H(1)|2〉 = c11[Ω− 0]− c12Ω = 0

−c21〈2|H(1)|1〉+ c22

[E

(1)2 − 〈2|H(1)|2〉

]= −c21Ω + c22[−Ω− 0] = 0 .

Obtemos c11 = c12 e c21 = −c22 e com isso,

|ψ(0)1 〉 =

∑

ν

c1ν |ν〉 = c11|1〉+ c12|2〉 = 1√2

(11

), |ψ(0)

2 〉 = c21|1〉+ c22|2〉 = 1√2

(−11

).


Assim, podemos verificar que as correcoes para as autoenergias,

E1 = E(0)1 + 〈ψ(0)

1 |H(1)|ψ(0)1 〉 = ∆ + Ω , E2 = E

(0)2 + 〈ψ(0)

2 |H(1)|ψ(0)2 〉 = ∆− Ω ,

coincidem com o calculo exato feito no inıcio. As autofuncoes |ψ(0)1 〉 deveriam ja estar

corrigidas em primeira ordem, por isso,

|ψ(1)1 〉 = |ψ(0)

1 〉〈ψ(0)

1 |H(1)|ψ(0)2 〉

E1 − E2= 0 = |ψ(1)

2 〉 .

No Exc. 4.6.1.8 estudamos um sistema de tres nıveis parcialmente degenerado e a quebra dadegenerescencia por uma perturbacao. No Exc. 4.6.1.9 trataremos uma perturbacao num pococom nıveis de energia degenerados.

4.2 Metodo variacional

4.2.1 A fracao de Rayleigh

Supondo que queremos calcular a energia do estado fundamental Eg de um sistema descritopor um hamiltoniano H, mas nao conhecemos a funcao de onda e nao sabemos como resolver aequacao de Schrodinger. Se pelo menos tivessemos uma boa ideia da forma generica da solucao(gaussiano, sinusoidal,..), poderıamos fazer um chute com um parametro livre e otimizar oparametro minimizando a energia, que deve ser mınima para o estado fundamental. Isso eexatamente a ideia do metodo variacional. Nota bem que o metodo variacional so funciona como estado fundamental.

Para qualquer funcao ψ sabemos que a fracao de Rayleigh E satisfaz,

Eg ≤〈ψ|H|ψ〉〈ψ|ψ〉 ≡ E , (4.26)

nao so quando ψ e a funcao de um estado excitado, mas mesmo quando representa um chute(imperfeito) para o estado fundamental. Assumindo funcoes normalizadas podemos descartaro denominador 〈ψ|ψ〉 = 1. Para verificar o teorema, expandimos a funcao ψ em auto-funcoes(desconhecidas) ortonormais, |ψ〉 =

∑n cn|ψn〉. Como ψ esta normalizada,

1 = 〈ψ|ψ〉 =∑

m,n

〈ψm|c∗mcn|ψn〉 =∑

n

|cn|2 . (4.27)

Do mesmo jeito,

〈ψ|H|ψ〉 =∑

m,n

〈ψm|c∗mHcn|ψn〉 =∑

n

En|cn|2 . (4.28)

Como o estado fundamental e aquele da energia mais baixa, Eg ≤ En, demonstramos a relacao(4.26)

Eg = Eg∑

n

|cn|2 ≤∑

n

En|cn|2 = 〈H〉 . (4.29)

Na pratica, o chute ψα para o estado fundamental permite calcular uma energia que deveser minimaliza por

∂〈ψα|Hα|ψα〉∂α

= 0 . (4.30)

Nos Excs. 4.6.2.1 e 4.6.2.2 nos aproximaremos do estado fundamental, respectivamente, deum potencial quartico e de um oscilador harmonico tentando varios chutes e optimizando osseus parametros livres.

4.3. APROXIMACAO WKB 89

4.2.2 Metodo de Rayleigh-Ritz

Uma modificacao do metodo variacional e o metodo de Rayleigh-Ritz. Aqui, em vez de utili-zar uma funcao ”chute”, utilizamos uma combinacao linear de auto-funcoes com coeficientesvariaveis: |ψ〉 =

∑k ck|k〉. Esses variaveis sao entao otimizadas para minimizar a fracao de

Rayleigh,

Eg ≤∑

k,m ckcm〈k|H|m〉∑k,m ckcm〈k|m〉

= E , (4.31)

onde supomos coeficientes e auto-funcoes reais. Para isso, as derivadas por todos os coeficientesdevem desaparecer:

∂E∂cq

=

∑k ck〈k|H|q〉+

∑m cm〈q|H|m〉∑

k,m ckcm〈k|m〉−∑

k,m ckcm〈k|H|m〉 (∑

k ck〈k|q〉+∑

m cm〈q|m〉)(∑k,m ckcm〈k|m〉

)2

(4.32)

=

∑k ck(〈k|H|q〉 − E〈k|q〉) +

∑m cm(〈q|H|m〉 − E〈q|m〉)∑

k,m ckcm〈k|m〉= 0 ,

utilizando a definicao de E (4.31). A equacao esta satisfeita quando o numerador desaparece:

0 =∑

m

cm(〈q|H|m〉 − E〈q|m〉) . (4.33)

A condicao para a existencia de solucoes e, que a determinante secular desaparece,

0 = det(〈q|H|m〉 − E〈q|m〉) . (4.34)

A solucao dessa equacao leve ate um conjunto de valores E , e o valor mais baixo, Emin, e amelhor aproximacao para a energia do estado fundamental. Os coeficientes da funcao de ondasao obtidos resolvendo a auto-equacao (4.33) com Emin.

No Exc. 4.6.2.3 usaremos o metodo de Rayleigh-Ritz para estimar o efeito da massa nuclearfinita no atomo de hidrogenio sobre as nıveis de energia. No Exc. 4.6.2.4 usaremos o metodode Rayleigh-Ritz para encontrar o numero maximo de atomos permitindo um condensado deBose-Einstein estavel feito de atomos com forca interatomica atraente.

4.3 Aproximacao WKB

A aproximacao WKB (de Wentzel-Kramers-Brillouin) [9, 22, 36] e um metodo para encon-trar solucoes aproximadas para equacoes diferenciais lineares com coeficientes espacialmentevariaveis. E tipicamente usada para calculos em mecanica quantica em que a funcao de ondae reformulada como uma funcao exponencial, semi-classicamente expandida, e entao a ampli-tude ou a fase e levada a mudar lentamente. No seguinte, apresentaremos a aproximacao WKBaplicada a equacao de Schrodinger e exemplificaremos-la em alguns sistemas canonicos.

4.3.1 Aproximacao WKB aplicada a equacao de Schrodinger

Partindo da equacao de Schrodinger [16] independente do tempo,

− ~2

2m

d2

dx2ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) , (4.35)


reescrevemos ela da seguinte maneira,

d2ψ

dx2= k(x)ψ(x) . (4.36)

com k(x) =√

2m[E − V (x)]/~2. Por enquanto, nos restringiremos a energias E > V (x). Nesseregime, em geral as funcoes de onda sao funcoes complexas, assim podemos escreve-la em coor-denadas polares, contendo uma amplitude A(x) e uma fase φ(x), ambos numeros reais:

ψ(x) = A(x)eiφ(x) . (4.37)

Substituindo essa funcao na equacao de Schrodinger obtemos um sistema de equacoes acopladosem termos de A(x) e φ(x),

A′′ = A[(φ′)2 − k2

]e (A2φ′)′ = 0 . (4.38)

As equacoes (4.39) e (4.37) sao completamente equivalentes a equacao de Schrodinger. A segundaEq. (4.38) e de facil solucao,

A =C√φ′, (4.39)

sendo C uma constante real. Nao podemos dizer a mesma coisa sobre a resolucao da primeiraEq. (4.38). Para resolve-la vamos fazer a aproximacao do metodo WKB, assumir que A varialentamente, assim o termo A′′ → 0. Fazendo essa aproximacao podemos reescrever a Eq. (4.39)da seguinte forma:

(φ′)2 = k2 . (4.40)

Resolvendo esta ultima expressao obtemos duas solucoes linearmente independentes, φ′

= ±k.Assim obtemos a expressao para o φ(x):

φ(x) = ±∫k(x)dx . (4.41)

Escrevemos essa integral indefinida porque o termo constante pode ser absorvido pela constanteC. Por fim obtemos a expressao para a funcao de onda na aproximacao WKB:

ψ(x) =C√|k(x)|

e±∫|k(x)|dx . (4.42)

Aqui, pegando o valor absoluto do vetor de onda, ja generalizamos para o caso que a energia Eda partıcula seja menor que o potencial V (x) (regiao classicamente proibida).

Exemplo 20 (Aproximacao WKB): A aproximacao WKB e um metodo semiclassicopara a solucao da equacao de Schrodinger que nao exige o potencial de ser uma perturbacaode um problema soluvel. Em vez disso, ele so assume que certas quantidades classicas tendoa dimensao da acao (energia por tempo) sao muito maiores do que a constante de Planck.Fazendo o ansatz

ψ(x) = AeiS(x)/~ ,

na equacao de Schrodinger unidimensional e independente do tempo, achamos,

− i~2mS

′′(x) + 12mS

′(x)2 + V (x)− E = 0 .


Agora expandimos o exponente em ordens de ~,

S(x) = S0(x) + ~S1(x) + ~2

2 S2(x) + ... ,

e inserimos na equacao de cima. Coletando as ordens em ~, achamos nas primeiras ordens,

[1

2mS′0(x)2 + V (x)− E

]~0 = 0

[− i~

2mS′′0 (x) + 1

mS′0(x)S′1(x)

]~1 = 0

[1

2mS′1(x)2 − i

2mS′′1 (x)

]~2 = 0 .

A solucao da equacao de zero ordem, S0(x) = ±∫ x√

2m[E − V (x′)dx′, da

ψ(x) = Ae±i~∫ x√

2m[E−V (x′)dx′ .

A aproximacao WKB pode ser utilizada descrevendo potencias (ou barreiras) contınuas porpotenciais constantes por partes. A transmissao |T |2 atraves destas partes pode ser obtidomultiplicando as probabilidades de tunelamento individuais,

ln |T |2 ' −2

∫

barrierκ(x)dx ,

com κ(x) = 1~√

2m[V (x)− E].

4.3.2 Formulas de conexao

Agora vamos obter as formulas de conexao que interligam as solucoes com E acima e abaixo deV (x) nos pontos de retorno, justamente as regioes em que o WKB falha. Aplicaremos em umpotencial confinante generico ilustrado na Fig. 4.1.

Figura 4.1: (a) Potencial no qual obteremos as formulas de conexao. (b) Ponto de retorno.

Comecemos por encontrar as formulas de conexao no ponto de retorno a direita [videFig. 4.1(a)]. Primeiro deslocamos o sistema de coordenadas de modo que o ponto de retornocoincide com o zero, conforme indicado na Fig. 4.1(b). As solucoes WKB conforme visto ante-riormente serao dadas pelas seguintes equacoes:

ψ(x) ≈

1√k(x)

[Bei

∫ 0x k(x′)dx′ + Ce−i

∫ 0x k(x′)dx′

]se x ≤ 0

1√k(x)

De−∫ x0 |k(x′)|dx′ se x ≥ 0

. (4.43)


Nas vizinhancas do ponto de retorno aproximamos o potencial por uma reta (expansao em seriede Taylor ate primeira ordem) com a seguinte dependencia funcional,

V (x) ≈ E + V ′(0)x . (4.44)

A equacao de Schrodinger para este potencial adquire o seguinte formato,

d2ψtdx2

= α3xψt , (4.45)

com α = [2m~2 V

′(0)]1/3. Atraves da mudanca de variavel z = αx, recaımos na equacao de Airy

d2ψtdz2

= zψt , (4.46)

tendo como solucao uma combinacao linear entre as duas solucoes da equacao de Airy,

ψt(x) = aAi(αx) + bBi(αx) . (4.47)

Agora vamos analisar as solucoes WKB nas duas regioes ao redor do ponto de retorno. Naregiao classicamente proibida temos que k(x) = α3/2

√−x, sendo assim∫ x

0 |k(x′)|dx′ = 23(αx)3/2.

Assim, a solucao WKB na regiao classicamente proibida nas proximidades do ponto de retornosera dada por:

ψ(x) ≈ D√~α3/4x1/4

e−23

(αx)3/2 . (4.48)

Usando as formas assintoticas das funcoes de Airy na solucao (4.47) obtemos a seguinte expressaopara ψt(x),

ψp(x) ≈ a

2√π(αx)1/4

e−23

(αx)3/2 +b√

π(αx)1/4e

23

(αx)3/2 , (4.49)

que quando comparada com a equacao (4.48) nos mostra que a =√

4πα~D e b = 0. Repetindo

os passos anteriores na regiao negativa vemos que a solucao WKB em formas assintoticas dassolucoes de Airy para potencial aproximadamente linear adquire o seguinte formato (com b = 0):

ψ(x) ≈ 1√~α3/4(−x)1/4

[Bei

23

(−αx)3/2 + Ce−i23

(−αx)3/2], (4.50)

e

ψp(x) ≈ a√π(−αx)1/4

1

2i

[eiπ/4ei

23

(−αx)3/2 − e−iπ/4e−i 23 (−αx)3/2]. (4.51)

Quando comparadas, a2i√πeiπ/4 = B√

~αe − a

2i√πe−iπ/4 = C√

~α. Em posse de todas essas in-

formacoes podemos reescrever as solucoes WKB para todas as posicoes no potencial, inclusivenos pontos de retorno (Note que fizemos um deslocamento do ponto de retorno para uma posicaoarbitraria x2):

ψ(x) ≈

2D√k(x)

sin[ ∫ x2

x k(x′)dx′ + π4

], se x ≤ x2

D√k(x)

e−

∫ xx2|k(x′)|dx′

, se x ≥ x2

. (4.52)

Repetindo o processo para um ponto de retorno decrescente [ponto de retorno esquerdo dopotencial da Fig. 4.1(a)] obtemos a seguinte expressao:

ψ(x) ≈

D′√k(x)

e−∫ x1x |k(x′)|dx′ , se x ≤ x1

2D′√k(x)

sin[ ∫ x

x1k(x′)dx′ + π

4

], se x ≥ x1

. (4.53)


Exemplo 21 (Oscilador harmonico): Agora aplicaremos o metodo WKB em um sistemabastante conhecido: o oscilador harmonico. Calcularemos seus nıveis de energia e suas res-pectivas autofuncoes.Auto-energias: Primeiramente note que para um potencial confinante, mais especifica-mente na regiao em que E ≥ V (x), temos a solucao obtida utilizando-se o ponto de retornoa esquerda e a direita, essas duas solucoes devem coincidir entre si, ou seja,

2D√k(x)

sin[ ∫ x2

x

k(x′)dx′ +π

4

]' 2D′√

k(x)sin[ ∫ x

x1

k(x′)dx′ +π

4

],

e consequentemente os zeros dessas funcoes, assim o argumento desses senos tem que seremiguais a menos de um multiplo de π,

∫ x2

x

kdx′ +π

4= −

∫ x1

x1

kdx′ − π

4+ nπ (4.54)

(∫ x

x1

+

∫ x2

x

)kdx′ =

(n− 1

2

)π

∫ x2

x1

kdx′ =(n− 1

2

)π ,

com n = 1, 2... (Note que n 6= 0, pois a integral (4.54) tem que ser maior que zero). Emposse dessas informacoes tomemos um potencial harmonico do tipo V (x) = 1

2κx2. Neste caso,

os pontos de retorno para uma dada energia E serao −√

2Eκ e

√2Eκ . Para este potencial

teremos que k(x) =√

2m~2 (E − 1

2κx2). Calculando a integral de k(x) entre esses dois pontos

de retorno teremos,

∫ x2

x1

k(x)dx = 2m~

∫ √2E/k

−√

2E/k

√E − 1

2κx2dx = πE

m

κ=(n− 1

2

)π~ ,

isolando para E e tomando ω =√κ/m teremos,

E =(n− 1

2

)~ω ,

com n = 1, 2..., espectro exato do oscilador harmonico, mas isso e apenas uma coincidencia.

Auto-estados: Agora calcularemos os autoestados do oscilador harmonico. As autofuncoes

foram calculadas no computador mas nao nos ateremos aos detalhes computacionais. O

primeiro grafico (Fig. 4.2) compara o primeiro estado excitado exato com aquele obtido

utilizando-se do metodo WKB.

Figura 4.2: Primeiro estado excitado calculados exatamente e atraves da aproximacao WKB.

Note que a aproximacao WKB e muito boa em x→ 0 e x→∞, regioes em que a diferenca


entre a energia do oscilador e o potencial sao grandes (E V (x → 0) e E V (x → ∞)),

pois justo nesses domınios o comprimento de onda λ(x) adquire o os menores valores, pois

e proporcional a |1/√E − V (x)|, assim a regiao espacial em que o potencial precisa ser

praticamente constante e menor, fazendo com que a aproximacao tenha seus resultados mais

proximos do exato. Agora nas regioes intermediarias a diferenca entra E e V (x) comeca a

diminuir, locais em que a aproximacao WKB adquire seus piores resultados.

Conforme aumentamos a energia do oscilador harmonico, a aproximacao comeca a se tornar

cada vez melhor (pelo mesmo motivo apresentado no paragrafo anterior). No grafico seguinte

observamos tal efeito para n = 10.

Figura 4.3: Estado n = 10 calculados exatamente e atraves da aproximacao WKB.

Exemplo 22 (Atomo de hidrogenio): Autoenergias: Vamos repetir o procedimentoexecutado para o atomo de hidrogenio. O potencial efetivo para o atomo de hidrogenio edado por

V (x) = − e2

4πε0

1

r+

~2

2m

l(l + 1)

r2.

Note que o metodo WKB para este caso obedece a relacao (4.54), assim teremos,

∫ r2

r1

p(r)dr =√

2m

∫ r2

r1

√E +

e2

4πε0

1

r− ~2

2m

l(l + 1)

r2dr

=√−2mE

∫ r2

r1

1

r

√−r2 − e2

4πε0Er +

~2

2mEl(l + 1)dr .

Note que E < 0. Vamos fazer a seguinte substituicao para facilitar as manipulacoes algebricas,

B = − e2

4πε0Ee C = − ~2

2mEl(l + 1) .

Os pontos de retorno r1 e r2 sao dados pelas seguintes expressoes,

r1 =B −

√B2 − 4C

2e r2 =

B +√B2 − 4C

2.

Assim, retomando a integral teremos o seguinte:∫ r2

r1

p(r)dr =√−2mE

∫ r2

r1

1

r

√(r − r1)(r2 − r)dr =

√−2mE

π

2(√r2 −

√r1)2

=√−2mE

π

2(r1 + r2 − 2r1r2) =

√−2mE

π

2(B − 2

√C)

=π

2

(− e2

√2m

4πε0√−E − 2~

√l(l + 1)

)=(n− 1

2

)π~ .

4.4. PERTURBACOES TEMPORAIS 95

Isolando E obtemos o espectro de energia do atomo de hidrogenio na aproximacao WKB:

E = −m2~

( e2

4πε0

)2 1[n− 1/2 + l(l + 1)

]2 = − 13.6[n− 1/2 + l(l + 1)

]2 eV .

Note que para altas energias (n l), recuperamos a expressao de Bohr.

4.4 Perturbacoes temporais

Perturbacoes temporais tipicamente ocorrem quando subitamente ligamos um campo externoque influencia o movimento ou o spin das partıculas, ou quando o campo varia com o tempo, porexemplo um campo eletromagnetico. Vamos primeiro estudar um sistema de dois nıveis sujeitoa uma perturbacao temporal.

4.4.1 Sistema de dois nıveis

Escrevemos a perturbacaoH = H(0) + H(1)(t) . (4.55)

Como no caso da perturbacao estacionaria, escrevemos as energias e auto-funcoes do sistemanao-perturbado,

H(0)|n〉 = En|n〉 . (4.56)

Lembrando que essa equacao de Schrodinger estacionaria foi obtida a partira da equacao deSchrodinger dependente do tempo mediante um ansatz de separacao (1.52), a evolucao temporaldessas auto-funcoes e dada por,

|ψ(0)n (t)〉 = |n〉e−iEnt/~ . (4.57)

Para pequenas perturbacoes podemos esperar que o ansatz,

|ψ(1)(t)〉 = a1(t)|ψ(0)1 (t)〉+ a2(t)|ψ(0)

2 (t)〉 , (4.58)

e bom. Note, que nao so as auto-funcoes oscilam, mas os coeficientes tambem dependem dotempo, pois a composicao dos estados pode mudar. A probabilidade instantanea de encontrar osistema no estado n e |an(t)|2. Importando a combinacao linear na equacao de Schrodinger,

[H(0) + H(1)(t)

]|ψ(1)(t)〉 = i~

∂

∂t|ψ(1)(t)〉 , (4.59)

achamos

a1H(0)|ψ(0)

1 〉+ a2H(0)|ψ(0)

2 〉+ a1H(1)|ψ(0)

1 〉+ a2H(1)|ψ(0)

2 〉

= i~

[∂a1

∂t|ψ(0)

1 〉+∂a2

∂t|ψ(0)

2 〉+ a1∂|ψ(0)

1 〉∂t

+ a2∂|ψ(0)

2 〉∂t

](4.60)

=⇒ a1H(1)|ψ(0)

1 〉+ a2H(1)|ψ(0)

2 〉 = i~a1|ψ(0)1 〉+ i~a2|ψ(0)

2 〉 ,

pois os outros temos satisfazem a equacao de Schrodinger de zero ordem. Substituindo pelasauto-funcoes estacionarias,

a1e−iE1t/~H(1)|1〉+ a2e

−iE2t/~H(1)|2〉 = i~a1e−iE1t/~|1〉+ i~a2e

−iE2t/~|2〉 , (4.61)


e multiplicando essa equacao com 〈1|× e 〈2|×, achamos com a abreviacao ~ω0 ≡ E2 − E1,

i~a1 = a1〈1|H(1)|1〉+ a2e−iω0t〈1|H(1)|2〉 e i~a2 = a1e

iω0t〈2|H(1)|1〉+ a2〈2|H(1)|2〉 . (4.62)

Frequentemente, a perturbacao so induz um acoplamento, mas nao influencia as energias dire-tamente, 〈n|H(1)|n〉 = 0,

a1 = a2e−iω0t

i~〈1|H(1)|2〉 e a2 = a1

eiω0t

i~〈2|H(1)|1〉 . (4.63)

Sem perturbacao, 〈m|H(1)|n〉 = 0, nao se desenvolve uma dinamica; as auto-funcoes evoluemindependentemente.

Exemplo 23 (A formula de Rabi): Agora, uma perturbacao seja de repente ligada notempo t = 0, 〈1|H(1)|2〉 ≡ ~Ω · Θ(t). Com as equacoes de movimento podemos, comecandocom a situacao inicial a1(0) e a2(0), calcular a evolucao temporal,

a1 = −iΩa2e−iω0t e a2 = −iΩ∗a1e

iω0t .

Resolvemos esse sistema de equacoes diferenciais diferenciando uma e substituindo a outra,

a2 = −ia1Ω∗eiω0t + ω0a1Ω∗eiω0t = −a2|Ω|2 + iω0a2 .

Achamos solucoes pelo ansatz a2 = eiω0t/2(AeiGt +Be−iGt). A equacao para a2 da,

(iG+ i2ω0)2AeiGt+iω0t/2 + (−iG+ i

2ω0)2Be−iGt+iω0t/2

= −|Ω|2(AeiGt+iω0t/2 +Be−iGt+iω0t/2)

+ iω0

[(iG+ i

2ω0)AeiGt+iω0t/2 + (−iG+ i2ω0)Be−iGt+iω0t/2

].

Separando as parte em A e em B obtemos duas equacoes com o mesmo resultado,

G2 = |Ω|2 + 14ω

20 .

Ω se chama frequencia de Rabi e G e a frequencia generalizada de Rabi. Utilizando ascondicoes iniciais, a1(0) = 1 e a2(0) = 0, podemos fixar um dos coeficientes A e B, poisa2(0) = A+B = 0,

a2 = 2iAeiω0t/2 sinGt .

Importamos agora essa solucao na a equacao diferencial para a1,

a1 = 2ΩAe−iω0t/2 sinGt .

A integral e

a1(t) =

∫ t

0

2ΩAe−iω0t′/2 sinGt′dt′ = −2A

Ω∗e−iω0t/2

(G cosGt+ 1

2 iω0 sinGt).

Utilizando a condicao de normalizacao,

1 = |a1|2 + |a2|2 =

∣∣∣∣−2A

Ω∗e−iω0t/2

(G cosGt+ 1

2 iω0 sinGt)∣∣∣∣

2

+∣∣∣A2ieiω0t/2 sinGt

∣∣∣2

=4A2

|Ω|2(G2 cos2Gt+ 1

4ω20 sin2Gt

)+ 4A2 sin2Gt = 4A2 G

2

|Ω|2 .

Portanto, A = |Ω|/2G. Em geral, podemos escolher Ω real, e a solucao final fica

a1(t) = −e−iω0t/2

(cosGt+

iω0

2GsinGt

)e a2(t) =

iΩ

Geiω0t/2 sinGt .

4.4. PERTURBACOES TEMPORAIS 97

Quando as energias En sao degeneradas, sob a influencia da perturbacao, as populacoes dosistema oscilam com a frequencia de Rabi Ω. Quando as energias sao diferentes, a frequencia deoscilacao e maior, mas a amplitude diminuı tambem. O estado inicialmente vazio nunca alcancaa populacao 1. No Exc. 4.6.4.1 calculamos o tempo necessario para permitir a perturbacaoinverter a populacao de um estado de dois nıveis.

4.4.2 Metodo de perturbacao dependente do tempo

Agora vamos estudar sistemas com muitos nıveis.Na teoria de perturbacao dependente do tempo (TPDT) separamos o hamiltoniano em uma

parte estacionaria e uma parte dependente do tempo,3,4

H(t) = H(0) + λH(1)(t) . (4.64)

Como sempre, esse hamiltoniano satisfaz e equacao de Schrodinger,

i~∂

∂t|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉 . (4.65)

Agora fazemos uma transformacao unitaria para imagem de interacao com S(t) = e−iH(0)t/~

substituindo |ψ(t)〉 ≡ S(t)|φ(t)〉 e H(1)(t) ≡ S(t)W (t)S−1(t) na equacao de Schrodinger. Esseprocedimento remove a parte estacionaria,

i~∂

∂t|φ(t)〉 = λW (t)|φ(t)〉 . (4.66)

Se W tambem seria independente do tempo, a solucao seria simplesmente |φ(t)〉 = e−iW t/~|φ(0)〉.Senao, integramos a equacao,

|φ(t)〉 = |φ(0)〉+λ

i~

∫ t

0W (τ)|φ(τ)〉dτ . (4.67)

Substituindo |φ(τ)〉 by |φ(t)〉 iteramos essa equacao,

|φ(t)〉 = |φ(0)〉+λ

i~

∫ t

0W (τ1)

(|φ(0)〉+

λ

i~

∫ τ1

0W (τ2)|φ(τ2)〉dτ2

)dτ1 (4.68)

= |φ(0)〉+λ

i~

∫ t

0W (τ1)dτ1|φ(0)〉+

(λ

i~

)2 ∫ t

0W (τ1)

∫ τ1

0W (τ2)|φ(τ2)〉dτ2dτ1〉

=

[∑N

n=1

(λ

i~

)n ∫ t

0W (τ1)

∫ τ1

0W (τ2)...

∫ τn−1

0W (τn)dτ1dτ2...dτn

]|φ(0)〉+ o(λN+1) .

Para N = 1, obtemos a primeira ordem da serie de perturbacao5

|φ(t)〉 =

(1 +

λ

i~

∫ t

0W (τ)dτ

)|φ(0)〉 . (4.69)

3Veja Becker-Sauter II, p.118ff e [32], p.104ff. Um tratamento alternativo se acha em [23], p.191ff ou emBlochinzew, p.332ff.

4Note, substituindo W por H(1) a equacao (4.66), i~∂t|φ(t)〉 = H(1)(t)|φ(t)〉, corresponde a uma aproximacaoperturbativa de primeira ordem, isto e, os autovalores da perturbacao H(1) sao calculados com os autovetores dosistema nao perturbado. Assim, em primeira ordem TPDT podemos substituir W por H(1).

5Para as ordens elevados

|φ(t)〉 ≈[∑N

n=1

(λ

i~

)n(∫ t

0

W (τ)dτ

)n]|φ(0)〉 = T

[exp

(λ

i~

∫ t

0

W (τ)dτ

)]|φ(0)〉 .


Os estados estacionarios do hamiltoniano nao-perturbado sejam dados por H(0)|f〉 = Ef |f〉.Agora, os estados perturbados sao expandidos nessa base, |ψ(t)〉 =

∑f |f〉af (t). Os coeficientes

da expansao sao,

af (t) = 〈f |ψ(t)〉 = 〈f |S(t)|φ(t)〉 (4.70)

= 〈f |S(t)|φ(0)〉+λ

i~〈f |S(t)

∫ t

0W (τ)|φ(0)〉dτ

= 〈f |ψ(0)〉+λ

i~〈f |∫ t

0S(τ)W (τ)S−1(τ)|ψ(0)〉dτ .

Agora, o sistema seja inicialmente no auto-estado |ψ(0)〉 = |i〉. As amplitudes sao entao,

ai→f (t) = 〈f |i〉+λ

i~

∫ t

0eiEf τ/~〈f |W (τ)|i〉e−iEiτ/~dτ (4.71)

= δif +λ

i~

∫ t

0〈f |W (τ)|i〉eiωif τdτ .

O potencial variavel e considerado como uma perturbacao, e uma variacao do estado do sis-tema esta observada. Como a energia nao e conservada, [∂t, H(t)] 6= 0, a dependencia do temponao e separavel e o sistema troca energia com o potencial. Na teoria de perturbacao de primeiraordem a gente so considera perturbacoes fracas, i.e. o estado inicial esta gradualmente esvazi-ado, ai→i(dt) ≈ ai→i(0) = 1. Para um estado inicialmente vazio o crescimento e obviamenteconsideravel. Para i 6= f temos

dai→f (t) = ai→f (dt)− ai→f (0) =λ

i~〈f |W (t)|i〉eiωif tdt . (4.72)

Essa formula e nada mais do que uma generalizacao da formula (4.63) obtida para um sistemade dois nıveis assumindo que o estado inicial nao se esvazia consideravelmente. No Exc. 4.6.4.2calculamos a dinamica de um oscilador harmonico perturbado por uma forca decaindo.

4.4.3 Metodos numericos

As softwares ”Maple”ou ”Matematica”sao bem uteis para calculos analıticos, isto e, multipli-car matrizes ou determinar autovalores. Para calculos numericos a software ”Matlab”e maisadaptada. Por exemplo, a evolucao temporal de uma equacao de Schrodinger,

|ψ(t)〉 = e−iHt/~|ψ(0)〉 , (4.73)

pode ser calculada numa linha so usando a funcao Matlab ”expm”.Quando o sistema varia com o tempo, H(t), podemos dividir o tempo em pequenas unidades

dt e propagar a funcao de ondo como,

|ψ(t+ dt)〉 = e−iH(t)dt/~|ψ(t)〉 ' |ψ(t)〉(

1− i H~ dt), (4.74)

e reinserir a solucao continuamente. Esse metodo de Newton nao converge rapidamente (dt deveser escolhido suficientemente pequeno, quando H(t) varia rapidamente), mas existem outrosmetodos mais sofisticados como o metodo de Runge-Kutta.

Uma variacao deste metodo e o metodo chamado de steepest descent. Este metodo e similarao metodo de Newton Eq. (4.74), mas substituı o tempo dt por um tempo imaginario. Com

4.5. TRANSICOES 99

isso, a evolucao temporal coerente da equacao de Schrodinger e substituıda por uma evolucaodissipativa. A perda de energia leva o sistema automaticamente para o estado fundamental. Ometodo tambem se aplica para equacoes mais complicadas do aque a equacao de Schrodinger,por exemplo, a equacao de Gross-Pitaevskii 6.

Um outro metodo numerico frequentemente utilizado na mecanica quantica e o metodochamado de simulacoes de Monte-Carlo da funcao de onda. Este metodo simula trajetoriasde sistemas quanticas tratando o ruido quantico intrınseco como processos aleatorios afetandoa uniformidade da trajetoria. A vantagem do metodo e que se aplica tambem para sistemasdissipativos.7.

4.5 Transicoes

4.5.1 Taxas de transicoes

Para comecar, consideramos uma perturbacao W constante subitamente ligada em t = 0. Naimagem de Schrodinger podemos escrever

ai→f (t) = δif +λ

i~〈f |W |i〉

∫ t

0eiωif τdτ = δif +

λ

i~〈f |W |i〉1− e

iωif t

iωif. (4.75)

Obtemos para i 6= f ,

|ai→f (t)|2 =λ2

~2|〈f |W |i〉|2 sin2(ωif t/2)

(ωfi/2)2. (4.76)

Assim8

d

dt|ai→f (t)|2 =

λ2

~2|〈f |W |i〉|2 sinωfit

ωfi/2=

2πλ2

~2|〈f |W |i〉|2δ(ωf − ωi) , (4.77)

para t→∞ utilizando sinxtx =

∫ t−t e

ixtdtt→∞−→ 2πδ(x).

A generalizacao dessa taxa de transicoes para todas ordens de perturbacao e

1

τ=

2πλ2

~2

∑f

∣∣∣∣〈f |W |i〉+λ

~∑

l

〈f |W |l〉〈l|W |i〉ωi − ωl

+ ... (4.78)

+λn

~n∑

l1,...,ln−1

〈f |W |l1〉〈l1|...|ln−1〉〈ln−1|W |i〉(ωi − ωl1) ...

(ωi − ωln−1

)∣∣∣∣∣

2

δ(ωif ) ,

onde varios canais de decaimento f tenham sido considerados. No Exc. 4.6.5.1 estudaremos

Figura 4.4: Visualizacao grafica das varias ordens de transicoes.

6Vide a apostila do curso Optica Atomica do mesmo autor.7Vide a apostila do curso Interacao da luz com a materia do mesmo autor.8Utilizamos as regras trigonometricas sinx = 2 sin x

2cos x

2e sin2 x = 1

2− 1

2cos 2x.


como a velocidade de uma perturbacao influencia a taxa de transicao.

Em pratica, muitas vezes as mudancas que fazemos num sistema sao lentes e os tempos dasobservacoes sao longos, pois as frequencias das transicoes sao altas ωfi/2π ' THz. Uma analisetemporal de |ai→f (t)|2 para tempos intermediarios mostre, que para variacoes lentas, γ ωfi,o sistema se aproxima adiabaticamente da situacao final. Para γ ' ωfi, o sistema recebe umchoque e exibe transientes oscilantes. Para γ > ωfi, observamos oscilacoes violentas com aamplitude maxima.

4.5.2 Perturbacoes periodicas

Consideramos, agora, o caso de uma perturbacao oscilatoria, por exemplo um campo eletro-magnetico. Em princıpio, o conhecimento das resposta do sistema para perturbacoes periodicasnos permite tratar perturbacoes arbitrarias, pois podemos expandir-lhes em series de Fourier.Tratamos primeiro transicoes entre nıveis discretos, antes de considerar estados incorporadosem contınuos,

W (t) =

0 para t < 0

2W0 cosωt para t ≥ 0. (4.79)

A taxa de transicao fica

ai→f (t) =〈f |W0|i〉

i~

∫ t

02eiωfiτ cosωtdτ =

〈f |W0|i〉i~

[ei(ωfi+ω)t − 1

i(ωfi + ω)+ei(ωfi−ω)t − 1

i(ωfi − ω)

]. (4.80)

O primeiro termo sendo pequeno, desprezamos ele na aproximacao da onda rotativa (rotatingwave approximation, RWA). Obtemos,

|ai→f (t)|2 =|〈f |W0|i〉|2

~2

sin2 12(ωfi − ω)t

14(ωfi − ω)2

. (4.81)

Isso e o mesmo resultado como na formula de Rabi (4.88), so que a diferencia de energia entre osestados ωfi e deslocada pela frequencia da perturbacao ω. A quantidade ∆fi ≡ ω−ωfi se chamadessintonia. A taxa de transicao e maxima quando tem ressonancia, isto e ∆fi = 0. Neste caso,

|ai→f (t)|2 −→ |〈f |W0|i〉|2~2

t2 . (4.82)

Isso pode ser visto, expandindo o numerador numa serie de Taylor para pequenos (ωfi − ω)t.

Note, que a probabilidade excede 1 para tempos longos, o que nao pode ocorrer. De fato, arestricao para a primeira ordem na expansao de Taylor utilizada na derivacao na ultima equacaodeixe de ser valida para tempos longos, quando (ωfi − ω)t > 1, e precisamos tomar em contaordens superiores.

4.5.2.1 Transicoes para nıveis continuas

Quando o estado final fica dentro de um contınuo, a formula (4.81) deve ser generalizada. Coma densidade dos estados escrita na forma ρ(E), onde ρ(E)dE e o numero de estados encontradosno intervalo de energias entre E e E + dE, a probabilidade de transicao e

Pi→F (t) =

∫ Emax

Emin

|ai→f (t)|2ρ(Ef )dEf , (4.83)

4.5. TRANSICOES 101

onde E ∈ [Emin, Emax] e o regime de energias alcancavel pela perturbacao. Agora,

Pi→F (t) =

∫ Emax

Emin

|〈f |W0|i〉|2~2

sin2 12~(Ef − Ei)t

14~2 (Ef − Ei)2

ρ(Ef )dEf . (4.84)

Com a substituicao x ≡ (Ef − Ei)/2~ escrevemos,

Pi→F (t) =

∫ xmax

xmin

|〈f |W0|i〉|2t2~2

sin2 xt

(xt)2ρ(x)dx . (4.85)

Utilizando a representacao da funcao δ, δ(x) = limn→∞

tπ sinc2nx, obtemos,

Pi→F (t) =

∫ xmax

xmin

|〈f |W0|i〉|2t2~2

π

tδ(x)ρ(x)dx =

π|〈f |W0|i〉|2t~2

ρ(x = 0) . (4.86)

A taxa de transicao e,dPi→F (t)

dt=π|〈f |W0|i〉|2

~2ρ(

Ef~ = Ei

~ ) , (4.87)

ou,dPi→Fdt

=2π

~|〈f |W0|i〉|2δ(Ef − Ei) . (4.88)

Essa expressao se chama regra de ouro de Fermi. No Exc. 4.6.5.2 calculamos o efeito fotoeletrico.

4.5.2.2 Distribuicao continua de frequencias

Para derivar a Eq. (4.81), consideramos perturbacoes com frequencias de oscilacao fixa. Paratratar distribuicoes de frequencias %(ω), devemos generalizar esta equacao calculando o integral

|ai→f (t)|2 =|〈f |W0|i〉|2

~2

∫%(ω)

sin2 12(ωfi − ω)t

(ωfi − ω)2dω (4.89)

' |〈f |W0|i〉|22~2

t%(ωfi)

∫ ∞

−∞sinc2xdx =

π

2~2t|〈f |W0|i〉|2%(ωfi) .

A aproximacao %(ω) = %(ωfi) pode ser feita, se a largura da funcao sinc e muito mais fina do quea distribuicao de frequencia, o que e o caso para tempos suficientemente longos, t π/2∆fi.

A forca da transicao depende da forma da perturbacao W e do jeito como ela acopla aosestados que ela esta conectando. Na aproximacao dipolar, que vale quando λ aB, a transicaoeletrica dipolar (notacao E1) e descrita por,

W = −er · E = −er · E0 cosωt , (4.90)

mas tambem existem a transicao quadrupolar (notacao E2) e transicoes de ordem superior.Veremos depois, que transicoes espontaneas so acontecem por radiacao dipolar. A matriz Dfi ≡〈f |er|i〉 se chama matriz de transicao dipolar. Escolhendo uma polarizacao linear da luz comoE0 = Ez0ez, e suficiente calcular a projecao do momento dipolar sobre o eixo z escrevendoz = r cos θ, a matriz para uma transicao |nilimi〉 → |nf lfmf 〉 pode ser calculada por

Dznf ,lf ,mf ;ni,li,mi

= e

∫Rnf lfYlfmf rRniliYlimid

3r (4.91)

= e

∫ ∞

0Rnlr

3Rn′l′dr

∫ π

0Pml P

m′l′ cos θ sin θdθ

∫ 2π

0ei(m−m

′)φdφ ,


O segundo integral desaparece, senao l− l′ = ±1. O terceiro integral desaparece, senao m−m′ =0,±1.

A taxa de absorcao de um campo de luz e,

Ri→f ≡ 13 Pi→f , (4.92)

porque o vetor E pode ter qualquer polarizacao, mas so polarizacoes em direcao da oscilacaodo momento dipolar contribuem. O resultado (4.89) e simetrico sobre intercambio dos estadosiniciais e finais. Portanto, a taxa para o processo de emissao induzida de luz e a mesma,

Rf→i = Ri→f =π

6~2E2

0 |Dfi|2%(ωfi) . (4.93)

4.5.3 Radiacao do corpo negro

Fazemos, agora, um passa por traz e calculamos a densidade dos estados de radiacao numa caixacubica. A equacao de onda para a radiacao pode ser derivada dos equacoes de Maxwell da teoriaeletromagnetica, (c−2∂2/∂t2 − k2)E = 0. Para resolver essa equacao inserimos o ansatz

E ∝ sin(nxπx/L) sin(nyπy/L) sin(nzπz/L) , (4.94)

para obtern2x + n2

y + n2z = 4L2/λ2 . (4.95)

O numero dos estados que podem ser colocados dentro de um raio de L/λ e

N =

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ L/λ

0dnxdnydnz =

∫ L/λ

04πn2dn =

4πL3

3λ3=L3ω3

6π2c3. (4.96)

Esse numero deve ser multiplicado com dois por causa da degenerescencia das polarizacoes. Issonos da finalmente a densidade dos estados (normalizada pelo volume da caixa cubica),

%(ω) =dN

L3dω=

ω2

π2c3. (4.97)

Na fısica classica, os estados sao povoados seguinte a distribuicao de Boltzmann, pbm(E) =e−E/kBT

kBT. Em temperaturas baixas, estados com energia menor sao favorecidos. O primeiro

momento dessa distribuicao e a energia media E = kBT seguinte a lei de equiparticao9,10. A

9Classicamente, cada modo tem a mesma probabilidade.10Para derivar a formula de Planck, consideramos estados termicos, pn = e−En/kBT∑

n e−En/kBT , com a abreviacao

U ≡ e−~ω/kBT usando a regra∑∞n=0 U

n = (1− U)−1 achamos o numero medio

n =∑

nnpn = (1− U)

∑nnUn = (1− U)U

∂

∂U

∑n

Un =U

1− U =1

e~ω/kBT − 1.

A energia media e, com a hipotese que a energia e quantizada, En = n~ω,

E =∑n

Enpn =∑n

n~ωe−n~ω/kBT =~ω

e~ω/kBT − 1.

A probabilidade de ocupacao do estado n e

pn = (1− U)Un =nn

(1 + n)1+n.

4.5. TRANSICOES 103

distribuicao dos estados multiplicado com a energia media da a lei de Rayleigh-Jeans,

J (ω) = E%(ν) =ω2

π2c3kBT . (4.98)

O problema dessa lei e que ela preve uma catastrofe UV. Isso motivou Planck tentar outraformula,

J (ω) =ω2

π2c3

~ωe~ω/kBT − 1

. (4.99)

0 200 400 6000

500

1000

1500

2000

ν (THz)

u (

eV)

T = 3000 K

Figura 4.5: Curvas de Rayleigh-Jeans e de Einstein.

4.5.4 Probabilidades de transicoes de Einstein

Considerando o problema da transferencia de energia entre o campo eletromagnetico e umaamostra de atomos em equilıbrio termico, Einstein chegou a conclusao que a regra de ouro deFermi descreve corretamente a absorcao mas nao contem todas contribuicoes a emissao.

Como E2 ∝ I, a perturbacao e proporcional a intensidade e a densidade de energia deradiacao monocromatica. Esta e

u(ω) = 12ε0E2

0 (ω) . (4.100)

Para radiacao nao monocromatica, precisamos multiplicar isso com a densidade dos estados ρ(ω)para obter a densidade espectral de energia,

J (ω) = u(ω)%(ω) . (4.101)

Podemos utilizar essa densidade espectral de energia para reescrever as taxas de absorcao eemissao (4.93),

Rf→i =π

6~2

J (ωfi)12ε0E2

0

E20 |Dfi|2 = Ri→f =

π

3~2ε0J (ωfi)|Dfi|2 , (4.102)

onde J e dado pela formula de Planck (??).Ate agora, estamos assumindo, que as populacoes dos estados estao inicialmente Ni = Nf =

1. Mas isso nao e verdade, pois a populacao dos nıveis de energia de um sistema em equilıbriotermico e dada pela lei de Boltzmann,

Ni > Nf = Nie−~ωfi/kBT . (4.103)

Sabemos como a luz pode induzir transicoes para cima ou para baixo. Mas o que acontece comatomos excitados sem luz injetada? Seguindo o raciocino de Einstein, supomos que dentro de


um corpo negro tem atomos em dois estados possıveis i e k (seja Ei < Ef ) em equilıbrio termicocom a radiacao. A taxa de absorcao i −→ f e proporcional a populacao inicial Ni e a densidadede energia espectral J ,

Ri→f = BifNiJ (ωfi) , (4.104)

onde Bif e uma constante, que depende das particularidades da transicao atomica. A taxa deemissao induzida e

Rf→i = BfiNfJ (ωfi) , (4.105)

onde Bfi = Bif . Como no equilıbrio termico Nf e Ni sao relacionados pela lei de Boltzmann(4.103), para garantir uma situacao estacionaria, devemos postular um processo de emissaoespontanea, Sf→i, que nao depende do campo da luz. Assim,

Ri→f = Rf→i + Sf→i (4.106)

BifNiJ (ωfi) = BfiNfJ (ωfi) +AfiNf .

Portanto,

J (ωfi) =AfiBfi

Nf

Ni −Nf=AfiBfi

1

e~ωfi/kBT − 1. (4.107)

Essa formula podemos agora comparar com a formula (4.99) e determinar os coeficientes deEinstein,

AfiBfi

=~ω3

fi

π2c3. (4.108)

A taxa de emissao espontanea esta agora,

Sf→i = AfiNf =~ω3

fi

π2c3BifNf =

~ω3fi

π2c3

Ri→fJ (ωfi)

=ω3fi

3πε0~c3|Dfi|2 . (4.109)

4.5.5 Largura natural de uma transicao

Seja Γ ≡ ∑i Sf→i a taxa de decaimento espontaneo do estado f . Isso significa, que a sua

populacao vai diminuindo,

Nf = −ΓNf . (4.110)

Como Nf = 〈ψf |ψf 〉, temos |ψf (t)〉 = |ψf (0)〉eiωfit−Γt/2. A transformada de Fourier e,

|ξ(ω)〉 =1√2π

∫ ∞

0|ψf (t)〉e−iωtdt =

1√2π

∫ ∞

0eiωfit−iωt−Γt/2dt|ψ0(t)〉 (4.111)

=1√2π

limt→∞

ei(ωfi−ω)t−Γt/2 − 1

i(ωfi − ω)− Γ/2|ψ0(t)〉 =

1√2π

1

i(ω − ωfi) + Γ/2|ψ0(t)〉 .

O espectro,

|ξ(ω)|2 =1

2π

1

(ω − ωfi)2 − Γ2/4, (4.112)

e uma distribuicao de Lorentz. Note, que a largura natural pode ser escondida por efeitos dealargamento de linha, como o efeito Doppler ou colisoes entre atomos.

4.6. EXERCICIOS 105

4.6 Exercıcios

4.6.1 Perturbacoes estacionarias

4.6.1.1 Ex: Poco unidimensional com deformacao central

Considere um poco de potencial unidimensional entre −L/2 e L/2 com paredes infinitos. Nocentro do poco seja uma pequena perturbacao

H(1) =

ε para −a2 ≤ x ≤ a

20 fora dessa regiao .

Calcule a correcao para a energia em primeira ordem e discute os limites a L e a→ L.

4.6.1.2 Ex: Perturbacao

Demonstre que o produto escalar 〈ψ(0)n |ψ(1)

n 〉 (da correcao de primeira ordem ao estado do sistema”perturbado” com o n-esimo estado do hamiltoniano livre), anula-se quando impomos que o

estado ”perturbado” |ψ(λ)〉 seja normalizado e que o produto 〈ψ(0)n |ψ(λ)〉 seja real.11

4.6.1.3 Ex: Nucleo estendido

A expressao V (r) = −e2/4πε0r para a energia potencial de um eletron no atomo de hidrogenioimplica, que o nucleo (o proton) seja tratamos partıcula puntiforme. Agora supoe que, emcontrario, a carga do proton +e seja distribuıda uniformemente sobre uma esfera de raio R =10−13 cm.a. Da o potencial modificado Vm, que corresponde a esta distribuicao da carga nuclear.b. Supoe que a funcao de onda do atomo de hidrogenio nao muda muito devido ao potencialmodificado. Calcule na ordem mais baixa em R/aB o deslocamento de energia media 〈∆V 〉 paraos estados (n = 1, l = 0,m = 0). Como sera em comparacao o deslocamento de energia para osestados (n = 2, l = 0,m = 0) e (n = 2, l = 1,m = 0)?c. Calcule na mesma maneira 〈∆V 〉 para hidrogenio muonico no estado fundamental.

4.6.1.4 Ex: Perturbacao de sistema de dois nıveis

Consideramos um sistema de dois nıveis. Sem perturbacao o sistema teria o hamiltoniano H(0),

as autoenergias E(0)1,2 e as autofuncoes ψ

(0)1,2. Agora ligamos uma perturbacao estacionaria da

forma H(1) = ε(|1〉〈2|+ |2〉〈1|).a. Calcule as autoenergias resolvendo diretamente a equacao de Schrodinger perturbada.b. Calcule as energias perturbadas usando TPIT e compare com o calculo exato das autoenergias.c. Calcule os autoestados resolvendo diretamente a equacao de Schrodinger perturbada.d. Calcule os estados perturbados usando TPIT e compare com o calculo exato das autofuncoes.

4.6.1.5 Ex: Efeito Stark para um eletron numa caixa

Considere um eletron numa ”caixa unidimensional”, isto e, num poco no intervalo x ∈ [0, a]delimitado por paredes infinitos. Quando um campo eletrico uniforme E e ligado tambem nadirecao x, o eletron experimenta uma forca igual a −eE , sendo −e a carga do eletron, de formaque a energia potencial no interior da caixa torna-se eEx.

11Veja [11], Cap XI, A-2.


a. Qual a energia do estado fundamental do eletron (em aproximacao de primeira ordem)?Podemos assumir que eEa seja muito menor que a energia do estado fundamental do eletron nacaixa, na ausencia do campo eletrico.b. Utilize a TPID em primeira ordem para obter uma aproximacao para a funcao de onda doestado fundamental, calculando o primeiro termo da correcao.

4.6.1.6 Ex: Sistema de tres nıveis perturbados ate segunda ordem TPIT

Considere o seguinte hamiltoniano perturbado:

H = H0 +Hλ =

E1 0 00 E2 00 0 E3

+

0 λ 0λ 0 λ0 λ 0

.

a. Determine os autovalores e as autofuncoes perturbados em primeira ordem TPIT.b. Determine os autovalores em segunda ordem TPIT.

4.6.1.7 Ex: Efeito Stark para uma carga num oscilador harmonico

Considere um oscilador harmonico carregado, imerso num campo eletrico uniforme E , descritopelo hamiltoniano H(1) = H + eEx, sendo H = p2/2m+mω2x2/2 o hamiltoniano do osciladorunidimensional livre, e e a carga do oscilador.a. Obtenha, via TPIT, as auto-energias (correcoes de primeira a segunda ordem). Compare osresultados obtidos via TPIT com os analıticos.12

b. Mesma coisa com uma perturbacao da forma ρmω2x2/2.c. Mesma coisa com uma perturbacao σ~ωx3.

4.6.1.8 Ex: Sistema de tres nıveis com degenerescencia

Considere seguinte o hamiltoniano H(0) e sua perturbacao H(1)

H(0) + H(1) =

∆ 0 00 ∆ 00 0 ∆′

+

0 Ω 0Ω 0 Ω0 Ω 0

.

Calcule as correcoes para os autovalores e autofuncoes ate primeira ordem.

4.6.1.9 Ex: Perturbacao num poco 3D com degenerescencia

Seja uma partıcula confinada a um poco cubico tri-dimensional e infinito, descrito pela energiapotencial V (x, y, z) = 0 para 0 < x < a, 0 < y < a e 0 < z < a e V (x, y, z) = ∞ alem da

regiao acima definida. Sabemos que os estados estacionarios da partıcula sao Ψ(0)nx,ny ,nz(x, y, z) =(

2a

)3/2sin(nxπa x)

sin(nyπ

a y)

sin(nzπa z), sendo nx, ny, nz inteiros positivos. As energias associ-

adas sao E(0)nx,ny ,nz = π2~2

2ma2(n2x + n2

y + n2z). Note que o estado fundamental nao e degenerado

enquanto o primeiro estado excitado e tres vezes degenerado. Considere que a partıcula nestacaixa seja submetida a uma perturbacao da forma H(1) = V0 para 0 < x < a/2 e 0 < y < a/2 eH(1) = 0 alem da regiao acima definida.a. Obtenha a correcao de primeira ordem da energia do estado fundamental.

12Veja [11], Complemento A XI.

4.6. EXERCICIOS 107

b. Obtenha a correcao de primeira ordem para a energia (degenerada) do primeiro estado exci-tado, alem da base otima (que decorre das combinacoes lineares dos estados degenerados) quemais se aproxima dos estados perturbados.

4.6.2 Metodo variacional

4.6.2.1 Ex: Metodo variacional aplicado um potencial quartico

Determine a energia do estado fundamental do potencial quartico V (x) = bx4 fazendo o ansatzvariacional ψα(x) = (α/π)1/4e−αx

2/2. Formulario:

∫ ∞

−∞e−x

2dx =

√π ,

∫ ∞

−∞x2e−x

2dx = 1

2

√π ,

∫ ∞

−∞x4e−x

2dx = 3

4

√π

4.6.2.2 Ex: Metodo variacional aplicado ao oscilador harmonico

Obtenha, atraves do metodo variacional, a energia do estado fundamental do oscilador harmonicounidimensional, descrito pelo hamiltoniano H = − ~2

2md2

dx2+ 1

2mω2x2, e a correspondente funcao

de onda, a partir das funcoes tentativasa. ψ(x) = Ae−αx

2sendo α uma constante;

b. ψ(x) = A/(x2 + β2) sendo β uma constante;c. ψ(x) = A cos(πx/a) entre os limites ±a/2 sendo a uma constante.

4.6.2.3 Ex: Efeito da massa nuclear finita no hidrogenio por Rayleigh-Ritz

Use o metodo de Rayleigh-Ritz para estimar o efeito da massa finita do nucleo do atomo dehidrogenio. Para isso, calcule a energia do estado fundamental utilizando o hamiltoniano exato,mas uma base de funcoes de onda assumindo um nucleo infinitivamente pesado. Somente tomaem conta os estados ψ100 e ψ200.

4.6.2.4 Ex: Colapso de um condensado com interacao atrativa

Um condensado de Bose-Einstein de 7Li pode se tornar instavel devido a forca interatomicaatrativa, o comprimento de espalhamento sendo as = −27.3aB. Considere o hamiltoniano deGross-Pitaevskii radial derivado no Exc. 3.5.1.2 com um potencial externo harmonico com afrequencia de oscilacao ωtrp/(2π) = 50 Hz. Usando o metodo variacional determine o numeromaximo de atomos permitindo um condensado estavel. (Note que a condicao de minimizacaoderivada precisa ser avaliada numericamente.)

4.6.3 Aproximacao WKB

4.6.4 Perturbacoes temporais

4.6.4.1 Ex: Oscilacao de Rabi

A populacao seja inicialmente no estado |1〉. Qual deve ser a duracao da perturbacao para deixarum sistema degenerado no estado |2〉?


4.6.4.2 Ex: Oscilador harmonico perturbado

Considere o oscilador harmonico (OH) unidimensional inicialmente preparado (t = −∞) noestado fundamental |0〉 do hamiltoniano nao perturbado H(0) = ~ωa†a, tal que H(0)|n〉 = En|n〉com En = n~ω.a. Atraves da expressao, af (t) ≈ 1

i~∫ tftiWfie

iωfitdt, e do hamiltoniano perturbativo W (t) =

−eExe−t2/τ2 (x e o operador posicao do OH), aplicado entre t = −∞ e t = +∞, calcule aprobabilidade de que o sistema esteja no estado excitado |n〉, especificando n, em t = +∞.Analise o resultado.b. Faca o mesmo para uma perturbacao da forma W (t) = Λx2e−t

2/τ2 .

4.6.5 Transicoes

4.6.5.1 Ex: Impacto da velocidade de uma perturbacao

Aqui consideramos uma variacao lenta,

W (t) =

0 para t < 0

W0(1− e−γt) para t ≥ 0,

com γ ωfi. Calcule a taxa de transicao para tempos longos, t γ−1.

4.6.5.2 Ex: Efeito fotoeletrico

Um atomo de hidrogenio no estado fundamental 1s e colocado num campo eletrico ~E(t) =~E0 cosωt, tal que W (t) = −er · ~E(t) = W0e

−iωt+W †0 eiωt com W0 = er · ~E0/2. Encontre, via regra

de ouro de Fermi,

R =2π

~|〈f |W (t)|i〉|2ρ(Ef − Ei ∓ ~ω) ,

utilizando a densidade de estados ρ(Ek)dEk = V/(2π)3k2dkdΩ, a probabilidade por unidadede tempo para que o atomo seja ionizado, excitando-se do estado fundamental ψ100(r) =e−r/aB/(πa3

B)1/2 para o estado descrito pela onda plana ψk(r) = e−ik·r/V 1/2. Simplifique o

calculo supondo ~E0 = E0eze k = kez.

Capıtulo 5

O spin do eletron

A estrutura energetica do hidrogenio calculada pelo modelo de Bohr a partir do hamiltoniano naorelativıstico concorde muito bem com as medidas experimentais. No entanto, em experiencias dealta resolucao foram observados finos desvios como deslocamentos de energia e desdobramentosdas linhas espectrais chamadas de estrutura fina, que nao eram previstos pela teoria. Isso sugere,que existem efeitos adicionais fracos, que nao afetam fortemente a posicao das linhas espectrais,mas levantam a degenerescencia energetica a respeito do numero quantico orbital `: E = En,`.

Como explicacao possıvel temos o fato que os eletrons apresentam massa e momento re-lativısticos. Para estimar a relevancia das correcoes relativısticas estimamos a velocidade doeletron no estados fundamental do hidrogenio dado por E1 = −~2/2mea

2B. Usando as definicoes

do raio de Bohr, aB = 4πε0~2/(mee2), e da constante da estrutura fina

α ≡ e2

4πε0~c' 1

137, (5.1)

obtemos,

v =

√2E1

me=

~meaB

=e2

4πε0~= αc , (5.2)

o que mostra, que a velocidade do eletron e muito alta e que efeitos relativısticos podem ser naonegligenciaveis.

5.1 Tratamento relativıstico do hidrogenio

5.1.1 A equacao de Klein-Gordon para bosons

A equacao de Schrodinger para uma partıcula livre basea-se na relacao de dispersao energia-momento nao-relativıstica,

E =p2

2m0. (5.3)

e as definicoes dos operadores quanticos de energia e momento,

E = i~∂

∂te p = −i~∇ . (5.4)

Como ja discutido na Sec. 1.1.2 podemos, para encontrar uma equacao de onda relativıstica,tentar como abordagem a insercao dos operadores quanticos na relacao de dispersao energia-momento relativıstica 1.

E2 = c2p2 +m20c

4 . (5.5)

1Usando a notacao covariante com pµ ≡ (E/c,p): pµpµ = E2/c2 − p2 = m2

0c2 e uma invariante de Lorentz.

109

110 CAPITULO 5. O SPIN DO ELETRON

Obtemos, [1

c2

∂2

∂t2−∇2 +

(m0c

2

~

)2]ψ = 0 . (5.6)

Esta e a equacao de Klein-Gordon. A solucao estacionaria desta equacao e,

ψ = ψ01

re−2πr/λC , (5.7)

onde λC = h/m0c e comprimento de onda de Compton. Mostramos isso no Exc. 5.4.1.1. Porexemplo, no caso de partıculas bosonicas pesadas, como um campo de mesons π, ψ e o potencialde Yukawa.

No quadro do modelo padrao, acredita-se que a materia e composta de dois tipos funda-mentais de partıculas, bosons e fermions. Bosons sao trocadas entre fermions transmitindo ainteracao entre eles. Exemplos tıpicos sao dois eletrons cuja interacao de Coulomb e mediadapela troca de fotons. Bosons obedecem a equacao de Klein-Gordon, fermions a equacao de Diracderivada na secao seguinte.

5.1.2 A equacao de Dirac para fermions

Em 1928 Paul Dirac, na idade de 26 anos, desenvolveu uma abordagem para uma equacao deonda relativıstica diferente da equacao de Klein-Gordon. Motivado pela observacao que o foton,sendo a partıcula relativıstica par excellence, obedece uma relacao energia-momento linear daforma ω = ck, ele tentou derivar uma relacao de dispersao linear em E e p para partıculaspesadas pelo ansatz:

E = α0m0c2 + α1cpx + α2cpy + α3cpz . (5.8)

Ao substituir energia e momento pelos respectivos operadores obtem-se 2:

i~∂

∂tφ = α0m0c

2φ− ic~(α1

∂

∂x+ α2

∂

∂y+ α3

∂

∂z

)φ . (5.9)

Devemos garantir que a condicao de energia-momento relativista (5.5) seja satisfeita.

Exemplo 24 (Derivacao da equacao de Dirac): Tomando o quadrado do lado direitoda equacao (5.9),

[α0m0c2 − ic~(α1∂x + α2∂y + α3∂z)][α0m0c

2 − ic~(α1∂x + α2∂y + α3∂z)]

= m20c

4α20 + ic~m0c

2[(α0α1 + α1α0)∂x + (α0α2 + α2α0)∂y + (α0α3 + α3α0)∂z]

− c2~2[α21∂

2x + α2

2∂2y + α2

3∂2z ]

− c2~2[(α1α2∂x∂y + α2α1∂y∂x) + (α2α3∂y∂z + α3α2∂z∂y) + (α3α1∂z∂x + α1α3∂x∂z)] .

Para essa expressao ser igual a condicao de energia-momento relativista (5.5),

m20c

4 − c2~2[∂2x + ∂2

y + ∂2z ] ,

precisamos postular para todos os i = 0, .., 4,

αi · αj + αj · αi = 2δij .

2Introduzindo a abreviacao ∂k ≡ ∂∂xk

5.1. TRATAMENTO RELATIVISTICO DO HIDROGENIO 111

Obviamente, a condicao[αi, αj ]+ = 2δij (5.10)

nao pode ser satisfeita se os αi sao numeros. A ideia de Dirac era interpretar as variaveis αicomo matrizes. Estas matrizes agem como operadores sobre estados apropriados, que nao saomais funcoes de onda escalares mas vetores. Cada componente do vector e uma funcao de ondano sentido usual. O espaco de Hilbert e estendido para ficar o espaco de produto das funcoes deonda espaciais habituais e um espaco vectorial de dimensao finita.

Exemplo 25 (Calculo com matrizes de operadores): Para dar uma ideia como a algebrafunciona consideramos um exemplo arbitrario. Como operador escolhemos o produto,

(0 11 0

)∂

∂x

e como vetor de funcao de onda vetorial escolhemos,(eik1x

eik2x

).

Aplicando o operador sobre o vetor do estado obtemos,(

0 11 0

)∂

∂x

(eik1x

eik2x

)=

(0 ∂

∂x∂∂x 0

)(eik1x

eik2x

)=

(0 + ∂

∂xeik2x

∂∂xe

ik1x + 0

)=

(ik2e

ik2x

ik1eik1x

).

As matrizes αi devem satisfazer a condicao (5.10). E possıvel mostrar que isso requer matrizespelo menos quatro-dimensionais da forma seguinte:

α0 =

(I 00 −I

)e αj =

(0 σjσj 0

), (5.11)

onde j = x, y, z = 1, 2, 3. Nesta notacao as componentes das matrizes tambem sao matrizes:

I =

(1 00 1

), σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

), (5.12)

chamadas de matrizes de Pauli. O vetor do estado tambem deve ter quatro dimensoes,

~~Φ(r, t) =

(~φ(r, t)~χ(r, t)

)com ~φ(r, t) =

(φ1(r, t)φ2(r, t)

)e ~χ(r, t) =

(χ1(r, t)χ2(r, t)

). (5.13)

Os φk sao chamadas de componentes grandes, os χk de componentes pequenas. Esta designacaoexplica-se mais tarde. Combinando as matrizes αk para um vetor tridimensional ~α, podemosagora escrever a equacao de Dirac (5.9) como,

i~∂t~~Φ(r, t) =

(m0c

2α0 + c~α · p) ~~Φ(r, t) . (5.14)

Ou, usando a notacao (5.11) e combinando as matrizes de Pauli σk para um vetor tridimensional~σ, podemos escrever a equacao de Dirac como:

i~∂

∂t

(~φ~χ

)=

[m0c

2

(1 00 −1

)+ c

(0 ~σ · p

~σ · p 0

)](~φ~χ

). (5.15)

A matriz nao-diagonal, (0 ~σ · p

~σ · p 0

)(5.16)

acopla as componentes grandes e pequenas.


5.1.2.1 Anti-partıculas

Desprezando por um momento a matriz nao-diagonal, a equacao de Dirac separa em duasequacoes independentes,

i~∂~φ

∂t= m0c

2~φ e i~∂~χ

∂t= −m0c

2~χ . (5.17)

Estas sao equacoes de auto-energias com os autovalores m0c2 e −m0c

2. O estado com energianegativa e interpretado como anti-partıcula. Portanto, a matriz nao-diagonal mistura partıculase anti-partıculas.

5.1.2.2 Equacao de Dirac estacionaria

Por um tratamento similar como na equacao de Schrodinger pode-se chegar a uma equacao deDirac (5.14) estacionaria por separacao da variavel temporal. Fazemos para o tempo imediata-mente um ansatz exponencial,

~φ(r, t) = ~φ(r)e−iEkint/~ e ~χ(r, t) = ~χ(r)e−iEkint/~ , (5.18)

e obtemos equacoes estacionarias acopladas para as componentes grandes e pequenas,

σ · p~χ(r) = 1c (Ekin −m0c

2)~φ(r) e σ · p~φ(r) = 1c (Ekin +m0c

2)~χ(r) . (5.19)

5.1.3 O eletron relativıstico no campo coulombiano

Na fısica atomica interessamos-nos principalmente para eletrons ligados a um potencial (p.ex.,um nucleo atomico). Precisamos entao introduzir um potencial eletrostatico na equacao deDirac. A equacao estacionaria de Dirac com potencial e:

σ · p~χ(r) = 1c (E − V (r)−m0c

2)~φ(r) e σ · p~φ(r) = 1c (E − V (r) +m0c

2)~χ(r) . (5.20)

Aqui, substituımos a energia cinetica da equacao de Dirac da partıcula livre Ekin pela diferenciaentre a energia total E e a energia potencial V (r). Para o potencial de Coulomb,

V (r) = − 1

4πε0

e2

r(5.21)

a equacao de Dirac pode ser resolvida algebricamente [15]. O calculo e mais complicado do quea resolucao da equacao de Schrodinger para o hidrogenio derivada nas Secs. 3.1.4 e 3.2.1. Aquiso damos o resultado:

En,j =m0c

2

√1 +

(1

n−δj

)2com δj ≡ j + 1

2 −√

(j + 12)2 − α2 e j =

∣∣∣∣`±1

2

∣∣∣∣ , (5.22)

com ` = 0, 1, ...A energia agora depende de dois numero quanticos. A degenerescencia do momento angular

orbital j e quebrada, e o novo numero quantico ao lado do numero quantico principal n e aqueledo momento angular total j. A expressao intransparente para a energia pode ser expandida porpotencias de α,

En,j ' m0c2

(1− α2

2n2− α4

2n3

(1

j + 1/2− 3

4n

)). (5.23)

O segundo termo reproduz a energia do modelo de Bohr, mas existem termos de correcaoproporcionais a α4. Mostraremos nas Secs. 5.2.2 e 5.2.3 que os nıveis de energia, chamadas deestrutura fina, resultam de varias correcoes relativısticas de origens diferentes.

5.1. TRATAMENTO RELATIVISTICO DO HIDROGENIO 113

5.1.4 O limite nao-relativıstico

Para reduzir a equacao de Dirac para a equacao nao-relativıstica de Schrodinger precisamos,primeiramente, nos livrar da energia de repouso. Para isso, separamos uma oscilacao rapida,cuja frequencia corresponde a massa e repouso do eletron fazendo o seguinte ansatz, onde u e vvariam lentamente com o tempo:

~~Φ(r, t) = e−iω0t

(u(r, t)v(r, t)

), ~ω0 = m0c

2 , (5.24)

com a derivada temporal,

i~~~Φ =

[m0c

2

(uv

)+ i~

(uv

)]e−iω0t . (5.25)

Inserimos isso na equacao de Dirac,

[m0c

2

(uv

)+ i~

(uv

)]e−iω0t =

[m0c

2

(u−v

)+ c~σ · p

(vu

)]e−iω0t (5.26)

obtendo finalmente,

i~u = c(~σ · p)v , i~v = c(~σ · p)u− 2m0c2v . (5.27)

Como u e v variam somente lentamente com o tempo, as derivadas no lado esquerda sao gran-dezas pequenas. Nao obstante, a condicao que ambas as derivadas devem zerar e forte demais,pois leva a solucao trivial u = 0 e v = 0. Achamos a primeira solucao nao trivial pela condicaov = 0. A segunda equacao entao fica,

v =1

2m0c(~σ · p)u . (5.28)

Inserido na primeira equacao:

i~u = c(~σ · p)2

2m0cu . (5.29)

Precisamos, portanto, avaliar a expressao (~σ · p)2,

~σ · p =

(pz px − ipy

px + ipy −pz

)e (~σ · p)2 = p2

(1 00 1

). (5.30)

Inserido na equacao diferencial (5.29) para u obtem-se justamente a equacao de Schrodingerpara uma partıcula livre,

i~u =p2

2m0u . (5.31)

Voltamos para a questao, porque chamamos a componente u de ”forte”. Temos pela equacao(5.28),

v†v =1

(2m0c)2(~σ · p)2u†u =

1

2m0c2

p2

2m0u†u , (5.32)

e como p2

2m0 m0c

2 segue imediatamente v†v u†u.Nesta aproximacao nao-relativıstica as componentes u sao muita maiores do que as compo-

nentes v. A mistura entre partıculas e anti-partıculas somente importa quando p2

2m0' m0c

2,


resp., 12m0v

2 ' m0c2 ou |v| ' c. O eletron somente recebe pequenas contribuicoes positronicas,

quando se aproxima da velocidade da luz. No atomo de hidrogenio isto acontece, p.ex., com oestado fundamental v/c = α ' 1/137. Isto e, a contribuicao das componentes fracas e pequena.Na expressao (5.23) para a energia do eletron no potencial de Coulomb, o ultimo termo e positivoe proporcional a 1/n4. Ele descreve o relaxamento da ligacao devido a contribuicao de compo-nentes fracas. O termo contendo o numero quantico j e a chamado de acoplamento spin-orbita.Para entender melhor esta contribuicao devemos primeiramente analisar mais profundamente asmatrizes ~σ.

5.2 O spin e a equacao de Pauli

Consideramos o operador definido por [13, 14],

S ≡ ~2~σ , (5.33)

e calculamos as relacoes de comutacao das suas componentes. A partir das definicoes (5.12)obtemos a relacao de comutacao,

[Sx, Sy] = ~24

(0 11 0

)(0 −ii 0

)− ~2

4

(0 −ii 0

)(0 11 0

)=

~2

4

(2i 00 −2i

)= i~Sz . (5.34)

De maneira geral vale: [Si, Sj ] = εijki~Sk. E interessante comparar com a relacao de comutacaodo momento angular orbital [Li, Lj ] = εijki~Lk. A coincidencia sugere um generalizacao doconceito do momento angular: Chamamos de operador de momento angular cada operadorvetorial tridimensional satisfazendo esta relacao de comutacao 3. Consideramos a equacao deautovalores para Sz,

Sz~φ = ~2

(1 00 −1

)(φ1

φ2

)= ms~

(φ1

φ2

). (5.35)

Os autovalores obviamente sao ms = ±12 . O momento angular relacionado com as matrizes

S obviamente e semi-inteiro. Se trata de um novo tipo de momento angular nao incluso nadefinicao habitual do momento angular orbital L = r × p. O novo momento angular se chamamomento angular proprio ou spin da partıcula. O spin e uma estrutura adicional ao espacoespacial comparavel com a polarizacao da luz. Os fotons de um feixe de luz circularmentepolarizado tambem contribuem a um momento angular proprio, mas que neste caso e inteiro.

5.2.1 Equacao de Dirac no campo eletromagnetico

Consideramos agora a interacao da partıcula carregada com um campo eletromagnetico dadopelo potencial vetorial A e pelo potencial eletrostatico U , tal que os campos eletricos e magneticos,

E = −∇U − ∂A

∂te B = ∇×A , (5.36)

permitem calcular a forca de Coulomb-Lorentz. Na formulacao hamiltoniana da eletrodinamicaa interacao pode ser descrita simplesmente pela transicao 4,

p −→ p− qA ≡ ~π e H −→ H + qU . (5.37)

3Este conceito pode ser derivado pelo requerimento de simetria sob rotacao do espaco discutido na Sec. 1.3.7.

4Em notacao quadrivetorial: πµ = pµ − qAµ com pµ =

(E/cp

)e Aµ =

(U/cA

).

5.2. O SPIN E A EQUACAO DE PAULI 115

chamado de acoplamento mınimo. Alem da substituicao do momento devemos adicionar opotencial escalar qU , e obtemos a equacao de Dirac no campo eletromagnetico aplicado,

i~~~Φ =(m0c

2α0 + c~α · ~π + qU) ~~Φ . (5.38)

No limite nao-relativıstico a equacao para a componente forte (5.29) fica:

i~u =

((~σ · ~π)2

2m0+ qU

)u . (5.39)

Para o caso de um eletron (e = −q e m0 = me) usando [σ1, σ2] = iσ3 e as relacoes (5.36),obtemos, depois de um calculo demonstrado no Exc. 5.4.1.2, a chamada equacao de Pauli,

i~u =

[1

2me

(~i∇+ eA

)2

+e~

2me~σ ·B− eU

]u . (5.40)

Comparamos o segundo termo com a energia de um momento magnetico no campo B,

H`s = −~µs ·B . (5.41)

Isto sugere a seguinte conexao entre o spin e o momento magnetico:

−~µs ·B =e~

2me~σ ·B =

e

meS ·B . (5.42)

Portanto, o eletron e portador, alem de massa, carga e spin, de um momento dipolar magnetico,

~µs = − e

meS = −2µB

S

~, (5.43)

introduzindo o magneton de Bohr µB ≡ e~2me

como abreviacao. Sabendo, que o fator g de umsistema tendo um qualquer momento angular J e definido como constante de proporcionalidadeentre o momento dipolar normalizado e o momento angular normalizado:

~µ

µB= g

J

~. (5.44)

Para o fator g do eletron obtemos portanto ge = 2. Neutron e proton tambem sao fermions comspin 1

2 , mas eles sao obedecem a equacao de Dirac! Os seus fatores g sao gproton = 5.5858 egneutron = −3.8261. Este desvio de g = 2 aponta a existencia de uma estrutura interna.

5.2.2 Acoplamento spin-orbita

Como o spin do eletron produz um momento magnetico e o atomo contem cargas movimentadas,isto e, correntes, podemos esperar a existencia de efeito magneticos no atomo. Eles nao saocontidos na equacao de Schrodinger, mas sim na equacao de Dirac. Fazendo o calculo daenergia do eletron no potencial de Coulomb somente consideramos o potencial eletrostaticodo nucleo, mas colocamos o potencial vetor A para zero. Enquanto nao aplicamos um campomagnetico externo, isto e correto, pois o magnetismo interno do atomo ja e completamenteincluso na equacao de Dirac. Na aproximacao nao-relativıstica o magnetismo interno desapareceda equacao. No entanto, podemos reintroduzir a correcao mais importante ”manualmente” na


teoria de Schrodinger, isto e, o chamado acoplamento spin-orbita, considerando na equacao dePauli o campo magnetico produzido dentro do atomo mesmo. Fazendo isso, conseguimos umavista melhor nas raızes fısicas desta correcao.

O movimento rapido do eletron dentro do campo eletrostatico E do nucleo produz, seguintea teoria da relatividade, no referencial do eletron um campo magnetico B′ com o qual o spin doeletron pode interagir. Calculamos no seguinte a energia de interacao.

Na mecanica relativıstica definida pela metrica e a transformacao de Lorentz,

gµν ≡

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, Lµν ≡

γ 0 0 −γβ0 1 0 00 0 1 0−γβ 0 0 γ

(5.45)

onde β ≡ v/c e γ ≡ 1/√

1− β2, o tensor de campo de Maxwell e dado por

Fµν ≡

0 −1cEx −1

cEy −1cEz

1cEx 0 −Bz By1cEy Bz 0 −Bx1cEz −By Bx 0

. (5.46)

Com isso podemos calcular o campo transformado num sistema inercial,

F ′µν = L αµ FαβL

βν = gµηL

ηαFαβLβκgκν (5.47)

=

0 −γcEx + γβBy −γ

cEy − γβBx −1cEz

γcEx − γβBy 0 −Bz −γ βcEx + γByγcEy + γβBx Bz 0 −γ βcEy − γBx

1cEz γ βcEx − γBy γ βcEy + γBx 0

,

dando para baixas velocidades (γ → 1) e sabendo v = vzez,

E′ =

E′xE′yE′z

=

Ex − βcByEy + βcBx

Ez

=

Ey + vyBz − vzByEy + vzBx − vxBzEz + vxBy − vyBx

= E + v ×B (5.48)

B′ =

B′xB′yB′z

=

Bx + β

cEyBy − β

cExBz

=

Bx + 1

c2vzEy − 1

c2vyEz

By + 1c2vxEz − 1

c2vzEx

Bz + 1c2vyEx − 1

c2vxEy

= B +

v

c2×E .

A primeira equacao e a forca de Lorentz. A segunda so fica importante para velocidades rela-tivısticas. Assim, o campo visto pelo eletron pode ser aproximado em primeira ordem em v/cpor,

B′ ≈ v

c2×E . (5.49)

A energia de interacao resultante ja foi obtida na derivacao da equacao de Pauli (5.41),

H`s = −~µs ·B′ =e

mec2s · (v ×E) = − e

m2ec

2s · (p×∇φ) (5.50)

= − e

m2ec

2s ·(

p× r

r

dφ

dr

)= − 1

m2ec

2rs · ldVcl(r)

dr,

com Vcl(r) = −eφ(r). Usando o potencial de Coulomb, derivamos o operador de interacao,

H`s = ξ(r)l · s , (5.51)

5.2. O SPIN E A EQUACAO DE PAULI 117

com a abreviacao,

ξ(r) ≡ 1

2

µ0

4π

e2

m2e

1

r3=

α~2cm2

e

1

r3. (5.52)

Aqui introduzimos mais um fator de 12 . Este chamado fator de Thomas considere a transformacao

a partir do sistema de repouso de eletron de volta ate o sistema de repouso do nucleo. A derivacaoexata e complicada 5. Aqui consideramos o fator como correcao heurıstica levando finalmenteao resultado correto ja conhecido pela equacao de Dirac.

Depois da introducao do spin, o espaco Hilbert das funcao de onda das partıculas deve serestendido. As funcoes de onda agora sao produtos de funcoes de onda espaciais e autovetoresde spin:

|φ〉n`m = Rn`(r)Y`m(θ, φ)

(s1

s2

). (5.53)

O novo espaco Hilbert e o produto tensorial do espaco de posicao e o espaco de spin. Ohamiltoniano radial para o atomo de hidrogenio inclusive o termo centrıfuga e o acoplamentospin-orbita agora adota a forma:

H =p2

2m+ U(r) +

l2

2mer2+ ξ(r)l · s . (5.54)

Para diagonalizar o hamiltoniano, precisamos das funcoes de onda comuns de l2 e l · s.Podemos reescrever o termo do acoplamento como:

l · s = 12(j2 − l2 − s) . (5.55)

No auto-sistema comum de j2, l2 e s2 o hamiltoniano, portanto, e diagonal. Conhecemos estesistema de base da teoria da adicao de momentos angulares. Os estados da base sao combinacoeslineares das funcoes,

Y`,m(θ, φ)

(s1

s2

). (5.56)

Aqui basta saber, que eles existem, e que nesta base o hamiltoniano e diagonal. Os operadoresdo momento angular podem entao ser substituıdos pelos seus valores proprios. Obtemos assima equacao radial:

∆E`s = 〈Rn,`|H`s|Rn,`〉 = ξn,`[j(j + 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)] , (5.57)

onde

ξn,` ≡~2

2〈n, `|ξ(r)|n, `〉 =

~2

2

α~2m2

ec

∫ ∞

0R∗n,`

1

r3Rn,`r

2dr =1

4mec

2(Zα)4 1

n3`(`+ 12)(`+ 1)

.

(5.58)

Usando as energias de Bohr, En = −me2

(Zα)2

n2 , obtemos,

∆E`s = −En(Zα)2 j(j + 1)− `(`+ 1)− 34

2n`(`+ 12)(`+ 1)

. (5.59)

Esta correcao e proporcional a α4 e depende do numero quantico do momento angular. Comisso, a degenerescencia da equacao de Schrodinger a respeito do momento angular e quebrada.

5Vide [15].


5.2.3 Outras correcoes em α4

Existem outras correcoes em α4 de natureza relativıstica. Podemos ver isso subtraindo a massade repouso do hamiltoniano e expandindo o resto por p:

Hrl =√p2c2 +m2

0c4 −m0c

2 + V =p2

2m− 1

8

p4

m3c2+ ...+ V . (5.60)

A energia relacionada ao segundo termo da expansao mais uma vez segue de um calculo deperturbacao de primeira ordem:

∆Erl = 〈φ|Hrl|φ〉 = −∫φ∗n`m

~4

8m3c2∇4φn`mr

2drdφd cos θ = En(Zα)2

(1

n(`+ 12)− 3

4n2

).

(5.61)Alem desta correcao relativıstica e do acoplamento spin-orbita existe mais uma correcao sendoproporcional a α4. Isto e o chamado termo de Darwin 6. Ele so age sobre estados s. A sua origemfısico vem do fato, que e impossıvel localizar um eletron num espaco menor que um comprimentode Compton. Considerando o eletron como uma esfera carregada do raio do comprimento deCompton, obtemos ja para o problema classico um deslocamento de energia de,

∆Edarwin =πe2~2

2m2ec

2|ψ(0)|2 . (5.62)

Somente estados s tem uma probabilidade de demora nao-zero |ψ(0)|2 no lugar do nucleo. Elae proporcional (como o acoplamento spin-orbita) a 1/n3. Todos os termos em α4 juntados dao:

∆Efs = ∆E`s + ∆Erl + ∆Edarwin = En(Zα)2

(1

n(j + 12)− 3

4n2

). (5.63)

Isso e justamente o termo α4 na expansao da equacao exata de Dirac. As correcoes em α4 saochamadas de estrutura fina . O novo esquema energetico e mostrado na Fig. 5.1.

Figura 5.1: Nıveis do hidrogenio.

Os nıveis sao etiquetados por n`j . Por exemplo, o estado 3d5/2 tem o numero quanticoprincipal n = 3, o momento angular orbital ` = 2 e o momento angular total j = 5/2. Estadoscom j iguais sao degenerados. Para grandes n ou j a estrutura fina desaparece. O novo esquemaenergetico e mostrado na Fig. 5.1. Notamos que, tomando em conta todas correcoes relativısticas(mas sem o deslocamento de Lamb), ainda temos uma degenerescencia parcial a respeito donumero quantico j. Por exemplo, os estados 2s1/2 e 2p1/2 tem a mesma energia. Isto e umaparticularidade do atomo de hidrogenio.

6Vide apostila Fısica atomica e molecular do mesmo autor.

5.3. ESTRUTURA HIPERFINA 119

5.2.4 Forma covariante e relativisticamente invariante

Para demonstrar a invariancia relativıstica e util reescrever a equacao de Dirac numa forma emque o tempo e o espaco parecem em bases iguais. Para isso introduzimos novas matrizes,

γ0 ≡ α0 e γk = γ0αk . (5.64)

Obtemos,

γ0 =

(I 00 −I

)e γk =

(0 σk−σk 0

). (5.65)

Com isso, usando a notacao de Einstein 7, a equacao de Dirac (5.13) adota a forma,

i~γµ∂µψ −mcψ = 0 . (5.66)

O sistema completa e resumido na metrica de Minkowski do tempo-espaco na forma,

[γµ, γν ]+ = 2ηµν . (5.67)

A equacao de Dirac pode agora ser interpretada como uma equacao de autovalores, onde amassa de repouso e proporcional ao autovalor de um quadrivetor de momento, a constante deproporcionalidade sendo a velocidade da luz:

Popψ = mcψ , (5.68)

Usando ∂/

na notacao Feynman slash, que inclui as matrizes gama, bem como um somatoriosobre os componentes do spinor na derivada, a equacao de Dirac torna-se:

i~∂/ψ −mcψ = 0 . (5.69)

Um teorema fundamental afirma que, se dois conjuntos distintos de matrizes forem dados,que ambos satisfacam as relacoes de Clifford, entao eles estao conectados uns aos outros poruma transformacao de similaridade:

γ′µ = S−1γµS . (5.70)

Se, alem disso, as matrizes sao todas unitarias, assim como o conjunto Dirac, entao o S eunitario,

γ′µ = U †γµU . (5.71)

5.3 Estrutura hiperfina

As medidas do Rutherford sugeriam um nucleo atomico puntiforme e infinitamente pesado. Defato, a massa e finita e a carga nuclear e distribuıda num volume finito e, frequentemente, demaneira nao isotropica, o que leve a interacoes multipolares com os eletrons. Alem disso, muitosnucleos tem um spin que pode interagir com o momento magnetico dos eletrons. As correcoesde energia devido a estes efeitos sao chamadas de estrutura hiperfina 8. No seguinte vamos sodiscutir o impacto do spin do nucleo desprezando efeitos ligados ao seu volume finito 9.

7∂0 ≡ 1c∂t

8Vide [11] p. 1229 e [33] p. 23 para leitura complementar.9Vide apostila Fısica atomica e molecular do mesmo autor.


5.3.1 Acoplamento ao spin do nucleo

5.3.1.1 Momento dipolar do spin nuclear

O nucleo tambem pode ter um momento angular interagindo com o momento angular doseletrons. No entanto, o momento depende inversamente das massas. Isto e, o momento an-gular do nucleo e µN/µB = me/mp ' 10−3 vezes menor, onde µN = ~e/2mp e uma abreviacaochamada de magneton nuclear. Por isso, podemos supor, que a interacao entre o nucleo e osatomos nao vai mexer com o acoplamento L · S entre o momento angular orbital e o spin doseletrons. O spin do nucleo se orientara ao momento total dos eletrons J. No entanto, essainteracao tera a capacidade de quebrar a degenerescencia do hidrogenio, mesmo se o desdobra-mento sera hiperfino. A ordem de grandeza do desdobramento hiperfino e 10−6 eV.

Analogicamente com a equacao (5.43), escrevemos o momento dipolar do nucleo,

~µI =e

2mpgpI =

µN~gpI , (5.72)

com gp ≡ µI/I e, mais uma vez, um fator tomando em conta correcoes possıveis entre a derivacaoclassica e a mecanica quantica. De fato, ja vimos numa secao anterior, que o fator g do protone anormal com gp = 5.58, o que diminuı a razao µl/µI .

5.3.1.2 Desdobramento hiperfino

Em analogia com o tratamento da interacao spin-orbita na estrutura fina [vide Eq. (5.43)],escrevemos a energia hiperfina,

Vhfs = −~µI ·B0 . (5.73)

Denotando por B0 a amplitude media do campo magnetico gerado pelos eletrons na posicao donucleo em direcao do momento J,

B0 = B0J

~J. (5.74)

Assim, a energia fica

Vhfs = −µN~gpI · B0

J

~J=AJ~2

J · I , (5.75)

com o fator de intervalo AJ ≡ −µNgpB0

J .O momento angular total dos eletrons se acopla com o momento do nucleo,

F = J + I . (5.76)

Agora

J · I =1

2(F2 − I2 − J2) . (5.77)

Como os spins precessam um em torno do outro, Jz e Iz nao sao boas observaveis, a basenao acoplada nao e adaptada. Mas I2, J2 e F2 sao boas observaveis. Na base acopladan, ((L, S)J, I)F,mF

〈n, ((L, S)J, I)F,mF |(J·I~)2 |n, ((L, S)J, I)F,mF 〉 = F (F + 1)− J(J + 1)− I(I + 1) . (5.78)

Assim achamos as energias da interacao hiperfina

∆Ehfs =AJ2

[F (F + 1)− J(J + 1)− I(I + 1)] . (5.79)

5.4. EXERCICIOS 121

Note, que o acoplamento J · I quebra a degenerescencia de J no atomo de hidrogenio, mas naode Jz. Podemos derivar a seguinte regra de intervalo,

∆EF+1 −∆EF = AJ(F + 1) . (5.80)

Alem da interacao magnetica entre os momentos angulares do nucleo e da camada eletronicaexiste uma interacao entre o nucleo, quando nao e esfericamente simetrico e a camada eletronica.Esta interacao causa desvios da regra de intervalo e um desdobramento adicional dos estadoshiperfinos.

5.4 Exercıcios

5.4.1 Tratamento relativıstico do hidrogenio

5.4.1.1 Ex: Potencial de Yukawa

Mostre, que o potencial de Yukawa satisfaz a equacao de Klein-Gordon.

5.4.1.2 Ex: Deducao da equacao de Pauli

Derive a equacao de Pauli para um eletron (q = −e) a partir da equacao de Dirac no acoplamentomınimo ao campo eletromagnetico assumindo o limite nao-relativıstico.

5.4.2 O spin e a equacao de Pauli

5.4.3 Estrutura hiperfina


Capıtulo 6

Atomos com spin em camposexternos

6.1 Partıculas carregada em campo eletromagneticos

6.1.1 Lagrangiano e hamiltoniano de partıculas carregadas

Uma carga sujeita a um campo eletromagnetico sente a forca de Lorentz,

F = qE + qr×B , (6.1)

onde

E = −∇φ− ∂A

∂te B = ∇×A , (6.2)

sendo φ e A respectivamente chamados potenciais escalar e vetorial.Como aprendemos em eletrodinamica e possıvel, derivar esta forca a partir do lagrangiano

do movimento eletronico,

L(ri, ri) =m

2r2 − qφ(r) + qr ·A(r) . (6.3)

Com este objetivo determinamos primeiramente o momento por

pi =∂L∂ri

= mri + qAi , (6.4)

e o hamiltoniano por,

H =∑

ipiri − L(ri, ri) = (mv + qA) · r− m

2r2 + qφ− qr ·A =

m

2v2 + qφ . (6.5)

Ou seja,

H(ri, pi) =1

2m(p− qA)2 + qφ . (6.6)

Valem as equacoes,

ri =∂H∂pi

e pi = −∂H∂ri

. (6.7)

A primeira equacao e facilmente verificada inserindo o hamiltoniano (6.6). A segunda leve aforca de Lorentz,

Fi = mvi = pi − qAi = −∂H∂ri− qAi = qEi + e(v ×B)i , (6.8)

onde o ultimo passo da derivacao sera mostrada no Exc. 6.4.1.1 usando o calibre de Coulomb∇ ·A = 0.

123

124 CAPITULO 6. ATOMOS COM SPIN EM CAMPOS EXTERNOS

6.1.2 Acoplamento mınimo

Note, que o mesmo resultado (6.6) pode ser obtido por uma substituicao canonica,

mv −→ p− qA e H −→ H+ qφ . (6.9)

Esta regra de substituicao, chamada de acoplamento mınimo, pode ser aplicada em mecanicaquantica,

mv −→ −i~∇− qA e H −→ H + qφ . (6.10)

No caso do eletron (q = −e) preso no potencial coulombiano central qφ = − Ze2

4πε0re na

presencia de um qualquer potencial magnetico A, obtemos assim,

H =m

2v2 − Ze2

4πε0r=−~2

2m∇2 − i~e

2mA · ∇ − i~e

2m∇ ·A +

e2A2

2m− Ze2

4πε0r. (6.11)

O quarto termo chamado de termo diamagnetico e quadratico em A e geralmente tao pequeno,que pode ser desprezado. O segundo e o terceiro termo descrevem a interacao do eletron atravesdo seu momento p com o potencial vetor A produzido por momentos magneticos no interiordo atomo ou campos magneticos exteriores. Dentro do calibre de Coulomb temos (∇ ·A)ψ =(A · ∇)ψ + ψ(∇ ·A) = (A · ∇)ψ, tal que

Hint = emA · p . (6.12)

6.2 Interacao com campos magneticos

6.2.1 Efeito Zeeman normal da estrutura fina

Os momentos dipolares dos atomos podem interagir com campos magneticos externos. A in-teracao leva a um deslocamento dos nıveis, que depende do numero quantico magnetico. Assim,a ultima degenerescencia na estrutura energetica do atomo esta quebrada. Isso se chama des-dobramento Zeeman. Consideramos um campo magnetico B = Bez uniforme com o potencialvetor,

A = 12B× r = −B

2 (−yex + xey) . (6.13)

Com isso a energia de interacao entre o eletron e o campo e dada pelo hamiltoniano (6.12),

Vzee(B) = − i~em

A · ∇ = − i~e2m

(B× r) · ∇ = − i~e2m

B · (r×∇) (6.14)

= − e2mB · L = −µB

~gLL ·B = −~µL ·B = −µB

~LzB ,

com gL = 1 usando a relacao ~µL = e2mL entre o momento angular do eletron e o momento

magnetico resultante. Essa relacao vale para um atomo sem spin (dois eletrons podem acoplaros seus spins para um estado singleto) e sem estrutura hiperfina (ou uma estrutura hiperfinanao resolvida). As energias sao portanto,

∆Ezee(B) = −µB~B〈n,L,mL|Lz|n,L,mL〉 = −µBmLB . (6.15)

Nos Excs. 6.4.2.1 e 6.4.2.2 representamos a interacao entre um momento angular atomico e umcampo magnetico em diferentes bases caracterizadas por diferentes eixos de quantizacao.

6.2. INTERACAO COM CAMPOS MAGNETICOS 125

6.2.2 Efeito Zeeman anomalo

O efeito Zeeman anomalo ocorre quando o conjunto dos eletrons tem um spin. Utilizando asexpressoes ja conhecidas para os momentos dipolares do momento orbital e do spin do eletron,obtemos para o momento magnetico dipolar,

~µJ = ~µL + ~µS =µB~gLL +

µB~gSS =

µB~

(L + 2S) , (6.16)

com gL = 1 e gS = 2. Podemos ver que o momento dipolar do atomo nao e paralelo ao momentototal, J = L + S.

Quando o campo magnetico e fraco, Vls Vzee(B), o momento total J sera a boa observavel.Portanto, devemos primeiro projetar os momentos L e S sobre J,

L −→(L · J|J|

)J|J| e S −→

(S · J|J|

)J|J| , (6.17)

antes de projetar o resultado sobre o campo B. O potencial fica

Vzee(B) = −~µJ ·B = −µB~

(L + 2S) ·B −→ −µB~

[(L · J|J|

)J|J| ·B + 2

(S · J|J|

)J|J| ·B

]

= − µB~|J|2 [L · J + 2S · J] J ·B = − µB

~|J|21

2

[J2 + L2 − S2 + 2(J2 + S2 − L2)

]J ·B

= −µB~

1

2

3J2 − L2 + S2

|J|2 J ·B . (6.18)

E a energia e,

∆Ezee(B) =

⟨µB~

(1 +

J(J + 1)− L(L+ 1) + S(S + 1)

2J(J + 1)

)J · B

⟩. (6.19)

Introduzindo o fator de Lande,

gJ ≡ 1 +J(J + 1) + S(S + 1)− L(L+ 1)]

2J(J + 1), (6.20)

podemos escrever

∆Ezee(B) = −µB~gJ〈JzB〉 = −µBgJmJB . (6.21)

Esta expressao descreve o efeito Zeeman anomalo, para o qual S 6= 0. Para o efeito Zeemannormal, para o qual o spin e zero, achamos de volta gJ = 1.

Figura 6.1: Acoplamento dos momentos angulares para o efeito (a) Zeeman normal, (b) Zeemananormal, (c) Paschen-Back, (d) Zeeman da estrutura hiperfina e (e) Paschen-Goudsmith.


6.2.3 Efeito Paschen-Back e campos magneticos intermediarios

Um campo magnetico externo muito forte (> 1 T), tal que Vls Vzee(B), pode quebrar oacoplamento L · S. Ambos os spins L e S agora se acoplam separadamente ao campo,

L −→(L · B|B|

)B|B| e S −→

(S · B|B|

)B|B| . (6.22)

Por isso,

Vpb(B) = −µB~

(L + 2S) ·B −→ −µB~

[(L · B|B|

)B|B| + 2

(S · B|B|

)B|B|

]·B , (6.23)

tal que,

∆Epb(B) = −µB(mL + 2mS)B . (6.24)

Isso e o efeito Paschen-Back.

As derivacoes que fizemos ate agora se concentraram em situacoes simples bem descritaspor CCOCs em varios esquemas de acoplamento. As projecoes sobre os diferentes eixos dequantizacao [o spin total (6.17) no caso Zeeman ou o campo magnetico aplicado (6.22) nocaso Paschen-Back] garantem que os hamiltonianos Vls e Vzee(B) nestes CCOCs sao descritospor matrizes diagonais. No entanto, em regimes intermediarios entre Zeeman e Paschen-Back,Vls ' Vzee(B), geralmente nao e possıvel achar uma representacao diagonal.

Para calcular o espectro energetico em regimes intermediares devemos, portanto, determinartodas as componentes da matriz

Vls + Vzee(B) = ξ(r)L · S +µB~

(L + 2S) . (6.25)

Utilizando L± ≡ Lx ± iLy e S± ≡ Sx ± iSy, podemos facilmente reescrever a energia na formaseguinte,

Vls + Vzee(B) = ξ(r)(LzSz + 1

2 L+S− + 12 L−S+

)+µB~

(L + 2S) ·B . (6.26)

Esse operador age sobre os estados nao acoplados,

∆Els + ∆Ezee(B) = 〈L′m′L;S′m′S |ξnl(LzSz + 12 L+S− + 1

2 L−S+) + µB(Lz + 2Sz)B|LmL;SmS〉= ~2ξnl

(mLmSδmL,m′LδmS ,m

′S

+ 12L+S−δmL,m′L−1δmS−1,m′S

+ 12L−S+δmL−1,m′L

δmS ,m′S−1

)

+ ~µB(mL + 2mS)BδmL,m′LδmS ,m′S, (6.27)

com as abreviacoes L± ≡√L(L+ 1)−mL(mL ± 1). As energias agora sao os auto-valores

dessa matriz. O fator ξnl e geralmente determinado experimentalmente deixando B = 0. NoExc. 6.4.2.3 calculamos o reacoplamento dos spins de dois eletrons em um campo magneticoexterno.

6.2.4 Efeito Zeeman da estrutura hiperfina

Quando a interacao com o campo magnetico e comparavel com as interacoes hiperfinas, masmuito mais fraco do que as interacoes finas, os campos nao perturbem o acoplamento entre omomento eletronico total J e o spin do nucleo I. Portanto, J, I, F, e mF sao numeros quanticosbons. Portanto, para calcular a energia de interacao,

Vhfs + Vzee(B) = Vhfs − ~µF ·B , (6.28)

6.2. INTERACAO COM CAMPOS MAGNETICOS 127

Figura 6.2: Transicao entre o regime Zeeman e o regime Paschen-Back para o caso de L = 1 eS = 1/2.

projetamos o spin nuclear e o momento eletronico total separadamente na direcao F,

J −→(J · F|F|

)F|F| e I −→

(I · F|F|

)F|F| . (6.29)

O momento magnetico total e,

~µF = ~µJ + ~µI = −µB~gJJ +

µN~gpI . (6.30)

Note o sinal negativo devido a carga negativa do eletron. O fator de Lande gJ e aquele (6.20),causado pelo acoplamento do momento angular orbital L e do spin de eletron S e depende doestado sob consideracao. Com isso,

Vzee(B) =[−µB

~gJ

(J · F|F|

)F|F| +

µN~gp

(I · F|F|

)F|F|

]B (6.31)

=

(− µB~|F|2 gJJ · F +

µN~|F|2 gpI · F

)(B · Fz) .

Usando J · F = 12(F2 + J2 − I2) e I · F = 1

2(F2 − J2 + I2) escrevemos,

Vzee(B) = −µB~gJ

F2 + J2 − I2

2|F|2 BFz + gpµN~

F2 − J2 + I2

2|F|2 BFz , (6.32)

tal que

∆Ehfs + ∆Ezee(B) ' ∆Ehfs + µBgFmFB , (6.33)

usando o fator de Lande gF para o estado F ,

gF ' gJF (F + 1) + J(J + 1)− I(I + 1)

2F (F + 1)− gJ

µNµB

F (F + 1)− J(J + 1) + I(I + 1)

2F (F + 1), (6.34)

onde o segundo termo pode ser desprezado.O desdobramento dos estados eletronicos com o momento F em 2F + 1 subnıveis mF =

−F, .., F e chamado efeito Zeeman da estrutura hiperfina. O resultado (6.31) so vale para camposfracos. Para campos fortes o desdobramento Zeeman muda para o desdobramento Paschen-Backda estrutura hiperfina.


6.2.5 Efeito Paschen-Back da estrutura hiperfina

Quando a interacao com o campo magnetico excede a interacao hiperfina, o spin nuclear Ise desacopla do momento total J, e ambos acoplam separadamente com o campo magneticoexterno,

J −→(J · B|B|

)B|B| e I −→

(I · B|B|

)B|B| . (6.35)

O efeito Zeeman da estrutura hiperfina se transforma numa estrutura hiperfina do efeito Zeeman,tambem chamada de efeito Paschen-Back da estrutura hiperfina ou efeito Paschen-Goudsmith.Podemos diagonalizar o potencial numa base, onde I,mI , J, e mJ sao numeros quanticos bons.Usando a expressao (5.75) mas desprezando a contribuicao quadrupolar para a interacao hiper-fina, BJ ' 0, obtemos

Vhfs + Vzee(B) = Vhfs − (~µJ + ~µI) ·B 'AJ~2

J · I + ~µJ ·B (6.36)

−→ AJ~2

(J · B

B

)B

B·(

I · BB

)B

B+ µJzB =

AJ~2JzIz + µJzB ,

onde negligenciamos a interacao do momento dipolar do nucleo com o campo magnetico externo,~µI ' 0. Obtemos,

∆Ehfs + ∆Ezee(B) ' AJmJmI + µBgJmJB . (6.37)

Aqui projetamos o momento angular J e o spin I separadamente sobre a direcao do campomagnetico. O reacoplamento do estado |FmF 〉 para |mImJ〉 em campos magneticos fortes edescrito por coeficientes de Clebsch-Gordan,

|FmF 〉 =∑

mI+mJ=mF|mImJ〉〈mImJ |FmF 〉 . (6.38)

6.3 Interacao com campos eletricos

6.3.1 Efeito Stark

Campos eletricos interagem com os eletrons do atomo,

Vstark = −ed · E . (6.39)

Isso e o efeito de Stark. Este efeito geralmente e fraco, e sua observacao requer campos fortesou resolucao espectral grande. A teoria de perturbacao estacionaria TPIT da,

E(1)n = 〈ψ(0)

n | − d · E|ψ(0)n 〉 = eEz ·

∫

R3

z|ψ(0)n |2d3r = 0 . (6.40)

Isso so vale, quando os estados tem paridade bem definida e NAO sao degenerados em `. QuandoSAO degenerados a respeito de `, o que e o caso do hidrogenio, os estados nao tem paridadedefinida. Por exemplo, os estados s e p contribuindo no mesmo estado |ψn,j〉 tem paridadesdiferentes. Neste caso, a condicao (6.40) nao precisa ser satisfeita, e a primeira ordem deperturbacao da um valor. E o caso do efeito Stark linear.

Em outros atomos, nao tem esta degenerescencia, e devemos calcular o efeito quadratico deStark em segunda ordem TPIT,

|ψ(1)n 〉 = eEz

∑

n′ 6=n|ψ(0)n′ 〉〈ψ(0)

n′ |z|ψ(0)n 〉

En − En′. (6.41)

6.4. EXERCICIOS 129

e

E(2)n = e2E2

z

∑

n′ 6=n

|〈ψ(0)n′ |z|ψ

(0)n 〉|2

En − En′. (6.42)

Para simplificar os elementos da matriz, separamos a parte radial da parte angular,

〈ψ(0)n′ |z|ψ(0)

n 〉 = 〈n′J ′m′J |z|nJmJ〉 =

∫ ∞

0r3Rn′J ′RnJdr

∫Y ∗J ′m′J

zrYJmJdΩ . (6.43)

A parte radial, escrita como

〈n′JJ ′||z||nJJ〉 ≡∫ ∞

0r3Rn′JJ ′RnJJdr , (6.44)

e chamada de elemento da matriz irreduzıvel, nao depende mais do numero quantico magnetico.Do outro lado, a parte angular pode ser exprimida por coeficientes de Clebsch-Gordan. Oresultado e o chamado teorema de Wigner-Eckart,

|〈n′JJ ′m′J |z|nJJmJ〉|2∣∣〈n′JJ ′||z||nJJ〉∣∣2 =

1

2J ′ + 1

(J 1 J ′

mJ 0 −m′J

). (6.45)

Com [z, Lz] = 0, o que foi mostrado no Exc. 3.5.3.2 achamos,

0 = 〈J ′m′J |[z, Jz]|JmJ〉 = (mJ −m′J)〈J ′m′J |z|JmJ〉 . (6.46)

Isso significa que para mJ 6= m′J , os elementos da matriz 〈J ′m′J |z|JmJ〉 devem desaparecer.Portanto, a matriz e diagonal em mJ . Consideramos transicoes dipolares com |J − J ′| ≤ 1 1,

(J 1 J + 1mJ 0 −mJ

)=

(J + 1)2 −m2J

(2J + 1)(J + 1), (6.47)

(J 1 JmJ 0 −mJ

)=

m2J

J(J + 1),

(J 1 J − 1mJ 0 −mJ

)=

J2 −m2J

J(2J + 1).

Estados com os mesmos |mJ | levam ao mesmo efeito quadratico de Stark

∆E ∼ A+B|mJ |2 . (6.48)

Os fatores A e B dependem do numero quantico principal n e tambem de L, S, J . Alem disso,dependem da distancia energetica para todos os nıveis contribuintes, por causa do denominadorna equacao de perturbacao (6.41). So os nıveis com paridade diferente (−1)L contribuem. No6.4.3.1 calculamos explicitamente o deslocamento de energia Stark para um atomo de hidrogeniosujeito a um campo eletrico.

6.4 Exercıcios

6.4.1 Partıculas carregada em campo eletromagneticos

6.4.1.1 Ex: Lagrangiano de um eletron em campo eletromagnetico

a. Mostre que o lagrangiano (6.3) reproduz a forca de Lorentz (6.1).b. Mostre que o hamiltoniano (6.5) reproduz a forca de Lorentz (6.1).

1Pois e possıvel mostrar que 〈n′JJ ′||z||nJJ〉 = 0 para JJ − J ′| > 1.


6.4.2 Interacao com campos magneticos

6.4.2.1 Ex: Efeito Zeeman com diferentes eixos de quantizacao

O efeito Zeeman pode ser descrito em varias maneiras dependendo da escolha do eixo de quan-tizacao. Considere um campo magnetico B = Bxex e calcule o hamiltoniano de interacaoV (B) = −~µJ ·Ba. escolhendo o eixo de quantizacao ex na direcao do campo magnetico,b. escolhendo o eixo de quantizacao ez perpendicular a direcao do campo magnetico.

6.4.2.2 Ex: Deslocamento Zeeman e eixos de quantizacao

Escolhendo o eixo de quantizacao fixo ez e um campo magnetico B em direcao arbitraria calcule ohamiltoniano de interacao Zeeman com um momento angular J = 1 e mostre, que o deslocamentode energia so depende do valor absoluto |B|.

6.4.2.3 Ex: Acoplamento de dois eletrons

Considere um sistema de dois eletrons.a. Mostre que o operador (~A/~2)s1 · s2 distingue os estados tripletos do singleto.b. Considere agora, que os eletrons sejam expostos a um campo magnetico B aplicado na direcaoez, de forma que adquiram as energias de interacao com o campo (µBB/~)(g1s1z + g2s2z).Obtenha a matriz associada ao hamiltoniano total e demonstre que no regime ~A µBB, arepresentacao que privilegia o momento total e mais adequada.c. Mostre que no regime ~A µBB, e conveniente a utilizacao da representacao que privilegiaos spins individuais do momento total.d. Trata o regime intermediario ~A ' µBB.

6.4.2.4 Ex: Formula de Breit-Rabi

Derive a formula analıtica de Breit-Rabi supondo J = 12 .

6.4.3 Interacao com campos eletricos

6.4.3.1 Ex: Efeito Stark no hidrogenio

Considere o atomo de hidrogenio imerso num campo eletrico uniforme E aplicado ao longo dadirecao ez. O termo que corresponde a esta interacao no hamiltoniano total e H(1) = −eEz.Para campos eletricos tıpicos, produzidos em laboratorio, a condicao H(1) H0, que permitea aplicacao da TPIT, e satisfeita. O efeito da perturbacao H(1) denominado efeito Stark, e aremocao da degenerescencia de alguns dos estados do atomo de hidrogenio. Calcule o efeitoStark para o estado n = 2 do atomo de hidrogenio.

6.4.3.2 Ex: Efeito Stark

Derive as Eqs. (6.47) a partir da formula dada na nota de rodape da Sec. 3.4.4.

Capıtulo 7

Sistemas periodicos

Muitos sistemas fısicos tratam partıculas quanticas em potenciais periodicos. Exemplos saoeletrons em cristais ou atomos frios em redes opticas. A periodicidade adiciona uma riqueza denovos fenomenos.

7.1 O modelo de Bloch

O movimento de um eletron dentro de um cristal e dominado por um potencial V (r) espa-cialmente periodico vindo dos atomos positivamente carregados do cristal e do campo medioproduzido pelos eletrons quase-livres,

V (r) = V (r + R) , (7.1)

onde R e um vetor conectando dois atomos arbitrariamente escolhidos da rede. Com o hamil-toniano

H = − ~2

2m∇2 + V (r) (7.2)

podemos escrever a equacao de Schrodinger,

[H + V (r)]ψ(r) = Eψ(r) . (7.3)

Como V e ∇ sao invariantes a translacao Utr(R)ψ(r) ≡ ψ(r+R) por uma distancia R constante,onde o operador de translacao foi definido na Eq. (1.93), temos,

HUtr(R)ψ(r) = EUtr(R)ψ(r) . (7.4)

Isto e, para um autovalor nao-degenerado 1,

ψ(r + R) = f(R)ψ(r) . (7.5)

Esta relacao vale para todos os vetores R da rede, tal que,

f(R1 + R2)ψ(r) = ψ(r + R1 + R2) = f(R1)ψ(r + R2) = f(R1)f(R2)ψ(r) . (7.6)

A relacao f(R1 + R2) = f(R1)f(R2) e satisfeita pelo ansatz f(R) ≡ eik·R, onde k e um vetorarbitrario do espaco reciproco. Obtemos o famoso teorema de Bloch,

ψk(r + R) = eik·Rψk(r) , (7.7)

1Isso tambem vale para autovalores degenerados escolhendo uma base adequada de autovetores.

131

132 CAPITULO 7. SISTEMAS PERIODICOS

que representa uma condicao necessaria para qualquer autofuncao ψk da equacao de Schrodingercom potencial periodico. O teorema de Bloch simplesmente postula que, fora de um fator defase, a funcao de onda tem a mesma periodicidade como o potencial.

A funcao de Bloch,

ψk(r) ≡ uk(r)eik·r com uk(r + R) = uk(r) , (7.8)

automaticamente satisfaz o teorema de Bloch. Isto e, a funcao de onda do eletron ψ e uma ondaplana eik·r modulada por uma funcao uk tendo a mesma periodicidade como a rede [21]. Apesardo vetor da onda eletronica ser arbitrario, e possıvel (e util) restringir o seu valor para a primeirazona de Brillouin definida por k ∈ [−π/a, π/a] onde a e um vetor elementar da rede. A razao e,que podemos reduzir um vetor de onda k numa funcao de onda ultrapassando a primeira zonade Brillouin por um vetor G adequado da rede reciproca,

k′ = k + G , (7.9)

dandoψk(r) = uk(r)eik·r = uk(r)e−iG·reik

′·r . (7.10)

Definimos agora uma outra funcao uk′(r) ≡ uk(r)e−iG·r que tambem satisfaz o requerimento(7.8), pois sabendo que G ·R = n2π, mostramos,

uk′(r + R) = uk(r + R)e−iG·(r+R) = uk(r)e−iG·r = uk′(r) . (7.11)

Portanto,ψk(r) = uk′(r)eik

′·r = ψk′(r) . (7.12)

7.1.1 Aproximacao para eletrons quase-ligados

Supomos agora, que o comportamento do eletron proximo de um atomo nao e influenciado poratomos mais afastados,

ψk(r) =∑

i∈lattice

ci(k)φ(r−Ri) . (7.13)

Isto e, negligenciamos estados de superposicao do eletron em varios sıtios da rede. O atomo esujeito a um potencial Uat(r−Ri) localizado perto do atomo que fica na posicao Ri e descritopela autofuncao φ(r−Ri) (so definida para o sıtio i) com a energia E0,

[− ~2

2m∇2 + Uat(r−Ri)

]φ(r−Ri) = E0φ(r−Ri) . (7.14)

Mesmo assim, a funcao ψk(r) deve satisfazer o teorema de Bloch. Isso e o caso quando ci(k) =eik·Ri e portanto,

ψk(r) =∑

i∈lattice

eik·Riφ(r−Ri) . (7.15)

Exemplo 26 (Ansatz para funcao de onda de eletrons quase-ligados): O ansatz(7.15) satisfaz o teorema de Bloch, pois,

ψk(r+Rj) =∑

i

eik·Riφ(r−(Ri−Rj)) = eik·Rj

∑

i

eik·(Ri−Rj)φ(r−(Ri−Rj)) = eik·Rjψk(r) .

7.1. O MODELO DE BLOCH 133

Calculamos agora a energia E(k) de um eletron com o vetor de onda k inserindo a funcaoψk(r) de (7.15) na equacao de Schrodinger e obtemos,

[− ~2

2m∇2 + U(r)

]∑

i

eik·Riφ(r−Ri) = E(k)∑

i

eik·Riφ(r−Ri) . (7.16)

U(r) e a energia potencial do eletron ilustrada na Fig. 7.1 junto com a energia Uat(r −Ri) deum eletron livre.

Substituindo o termo da energia cinetica de (7.16) pela energia cinetica de (7.14), calculamos,

∑

i

eik·Ri [−Uat(r−Ri) + E0 + U(r)− E(k)]φ(r−Ri) = 0 . (7.17)

Agora multiplicando esta equacao com ψ∗k(r) =∑

j eik·Rjφ∗(r−Rj) e integrando sobre o volume

do cristal obtemos,

[E(k)− E0]∑

i,j

eik·(Ri−Rj)

∫φ∗(r−Rj)φ(r−Ri)dV (7.18)

=∑

i,j

eik·(Ri−Rj)

∫φ∗(r−Rj)[U(r)− Uat(r−Ri)]φ(r−Ri)dV .

As funcoes φ∗(r−Rj) e φ(r−Ri) se sobrepoem pouco, mesmo para atomos adjacentes, tal quepodemos desprezar os termos i 6= j no lado esquerdo. A soma entao corresponde ao numero Nde sıtios na rede. No lado direito nao podemos desprezar os termos envolvendo outros sıtios,pois mesmo se as funcoes de onda de sıtios adjacentes se sobrepoem pouco, a contribuicao dadiferencia de potenciais |U(r)−Uat(r−Ri)| e bem menor para r = Ri do que para r = Rj . Dooutro lado, como as funcoes de onda φ(r −Ri) desaparecem rapidamente, quando |r −Ri| >|Rm −Ri|, podemos nos concentrar em sıtios adjacentes (chamados de Rm),

N [E(k)− E0] =N

∫φ∗(r−Ri)[U(r)− Uat(r−Ri)]φ(r−Ri)dV (7.19)

+N∑

m=adjacente

eik·(Ri−Rm)

∫φ∗(r−Rm)[U(r)− Uat(r−Ri)]φ(r−Ri)dV .

Figura 7.1: Energia potencial U(r) de um eletron do cristal (vermelho) e energia potencialUA(r−Ri) do eletron de uma atomo livre (azul).

Agora supomos adicionalmente, que a autofuncao φ exibe simetria radial correspondendo a


um estado s, obtemos para os autovalores da equacao de Schrodinger,

E(k) = E0 − α− γ∑

m adjacente de i

eik·(Ri−Rm) (7.20)

com α =

∫φ∗(r−Ri)[Uat(r−Ri)− U(r)]φ(r−Ri)dV

e γ =

∫φ∗(r−Rm)[Uat(r−Ri)− U(r)]φ(r−Ri)dV .

A interpretacao e a seguinte: A combinacao dos atomos numa rede produz um deslocamentode energia α. Alem disso, ela gera um desdobramento em uma banda de energias em funcao devetor de onda reduzido k...

7.1.2 Aproximacao para eletrons quase-livres

Aqui supomos um potencial essencialmente homogeneo agindo sobre os eletrons livres e consi-deramos a influencia da rede periodica como pequena perturbacao. O potencial periodico podeser decomposto em uma serie de Fourier pelos vetores G da rede reciproca,

U(r) =∑

G

UGeiG·r . (7.21)

Por consequencia, podemos fazer para as funcoes de Bloch (7.10) o seguinte chute periodico,

ψk(r) = uk(r)eik·r com uk(r) = 1√Vc

∑

G

uG(k)eiG·r , (7.22)

onde Vc e o volume do cristal.Sem potencial periodico, as autofuncoes seriam aqueles de uma partıcula livre,

ψk(r) = 1Vceik·r (7.23)

com as autoenergias

E0(k) = V0 +~2k2

2m. (7.24)

Inserindo as funcoes (7.21) e (7.22) na equacao de Schrodinger, obtemos,

[− ~2

2m∇2 +∑

G′′

UG′′eiG′′·r

]1√Vceik·r

∑

G′

uG′(k)eiG′·r = E(k) 1√

Vceik·r

∑

G

uG′(k)eiG′·r , (7.25)

ou seja,

1√Vc

∑

G′

[− ~2

2m(k + G′)2 − E(k)]uG′(k)ei(k+G′)·r + 1√

Vc

∑

G′′

UG′′eiG′′·r∑

G′

uG′(k)ei(k+G′)·r = 0 .

(7.26)

Multiplicando agora com 1√Vcei(k+G)·r e integrando sobre o volume do cristal (sabendo 1

Vc

∫VceiG·rdV =

δG,0) obtemos, [~22m(k + G)2 − E(k)

]uG(k) +

∑

G′

UG−G′uG′(k) = 0 , (7.27)

para qualquer valor de G.


Para estimar a dependencia das componentes de Fourier uG(k) para G 6= 0 inserimos asautoenergias nao-perturbadas na equacao (7.27) somente considerando, na soma sobre G′, ostermos da primeira ordem perturbativa, isto e, aqueles contendo U0 ou u0(k),

~2

2m[(k + G)2 − k2]uG(k)− U0uG(k) + U0uG(k) + UGu0(k) = 0 (7.28)

uG(k) =UGu0(k)

~22m [k2 − (k + G)2]

. (7.29)

Como os coeficientes de Fourier UG tem, para G 6= 0, valores pequenos, a funcao uG(k) e naonegligenciavel somente para k2 ' (k + G)2 ou seja,

−2k ·G ' |G|2 . (7.30)

Queremos agora descobrir o significado deste condicao...

Para os coeficientes u0(k) e uG(k) obtemos,

[~22mk

2 − E(k)]u0(k) + U0u0(k) + U−G(k)uG(k) = 0 (7.31)

[~22mk

2 − E(k)]uG(k) + UGu0(k) + U0(k)uG(k) = 0 .

Disso segue, [~22mk

2 + U0 − E(k)]2

= UGU−G = 0 . (7.32)

Como o potencial U(r) e real, U−GU∗G. Portanto, introduzindo as autoenergias E0(k) doseletrons livres (7.24),

E(k) = E0(k)± |UG| . (7.33)

Sob a influencia do potencial de perturbacao periodico encontramos nas superfıcies de uma zonade Brillouin um desdobramento de energias. O espectro energetico desenvolve um gap proibido.Podemos entender esta observacao da maneira seguinte: No cristal todas ondas eletronicas comvetores de onda terminando numa superfıcie de uma zona de Brillouin sao refletidas por reflexaode Bragg. No exemplo de uma rede unidimensional entendemos, que a superposicao de uma ondaincidente (k = nπ/a) com a refletida (k = −nπ/a) produz ondas estacionarias de densidade deprobabilidade eletronica ρ sendo proporcional a ρ1 ∝ cos2 nπ/a ou ρ2 ∝ sin2 nπ/a. A densidadede carga ρ1 e maxima no lugar do atomo do sıtio, o que corresponde a uma energia de interacaoaumentada; a densidade ρ2 e mınima no lugar do atomo. Isso explica o desdobramento.

O modelo de Bloch consegue explicar muitas propriedades de metais, semicondutores e iso-ladores.

7.1.3 Aplicacao a redes opticas unidimensionais

No seguinte, restringimos nos a um potencial unidimensional, V (z) = V (z+ a), agindo sobre (ocentro de massa de) atomos. Um tal potencial pode ser gerado por dois feixes de laser de ondaplana contrapropagantes com vetores de onda kL e −kL e sintonizados ao lado vermelho de umatransicao atomica. Nesta situacao os atomos sao atraidos aos maximos de intensidade luminosa,os anti-nos. Portanto, podemos escrever o potencial como V (z) = −V0

2 |eikLz + e−ikLz|2 =−V0(1 + cos 2kLz) ou, colocando K = 2kL,

V (z) = −2V0 cos2Kz . (7.34)


Na expansao de Fourier, V (z) =∑

K UKeiKz, este potencial corresponde aos coeficientes de

Fourier U0 = −V0 e U±K = −V02 . Expandimos tambem a funcao de onda em ondas planas,

ψ(z) =∑

q cqeiqz, e inserimos essas expansoes dentro da equacao estacionaria de Schrodinger

Hψ = εψ, obtemos,[−~2

2m

∂2

∂z2+∑

K

UKeiKz

]∑

q

cqeiqz = ε

∑

q

cqeiqz . (7.35)

Definindo q = k + nK, onde k ∈ [−K/2,K/2] e n ∈ Z,

[~22m(nK + k)2 − V0

]cnK+k − 1

2V0cnK+k−K − 12V0cnK+k+K = εcnK+k . (7.36)

Em notacao matricial,Mc = εc . (7.37)

onde a matriz fica em torno de n = ..,−1, 0,+1, ..:

M =

. . .~22m(k −K)2 − V0 −1

2V0

−12V0

~22mk

2 − V0 −12V0

−12V0

~22m(k +K)2 − V0

. . .

com c =

...ck−Kck

ck+K...

.

(7.38)Para potenciais rasos, V0 ~2K2/2m, podemos desprezar os coeficientes V0 na Eq. (7.36) e

achamos,ε ≈ ~2q2/2m , (7.39)

o que corresponde a relacao de dispersao para partıculas livres. Do outro lado, olhando no fundode potenciais profundos, V0 ~2K2/2m, podemos aproximar harmonicamente o potencialcosenoidal por V (z) ≈ −2V0 + m

2 ω2z2 com ω = K

√V0/m = ~−1

√2V0Er. Para este caso

esperamos,ε ≈ −2V0 + ~ω

(n+ 1

2

). (7.40)

O espectro exato de autovalores ε pode ser calculado determinando numericamente os autovaloresda matriz (7.38) para a primeira zona de Brillouin, k ∈ [−K/2,K/2], e os limites de cima saoverificados.

Para estimar a largura da banda proibida, cortamos uma matriz 2× 2 dentro da matriz Me desprezam os o seu acoplamento com as outras,

Ms =

(~22m(k −K)2 − V0 −1

2V0

−12V0

~22mk

2 − V0

). (7.41)

Nas beiras da zona de Brillouin, k = 12K, obtemos os autovalores ε = ~2K2

m − V0 ± V02 , isto e, o

band gap e ∆ε = V02. O teorema de Bloch diz, que a equacao de Schrodinger pode ser resolvida

para qualquer estado de Bloch. Estes sao superposicoes de estados de momento de onda plana[3],

ψk(z) = eikzuk(z) , (7.42)

2Para condensados de Bose-Einstein, o procedimento deve ser generalizado tomando em conta a energia docampo medio.


Figura 7.2: (Linha vermelha continua) Bandas de Bloch. (Linha preta pontilha) Sem potencial,V0 = 0. Os parametros sao ωr = (2π) 20 kHz, ωho = (2π) 12 kHz, λL = 689 nm e V0 = 0.2~ωr.

com uk(z) = uk(z + a).

O requerimento que ψ(z) satisfaz a equacao e Schrodinger e equivalente a condicao que csatisfaz uma equacao de autovalores. Deixando U ser a matriz dos autovetores de M e E a matrizdiagonal dos autovalores: M = U−1EU da EUc = εUc, tal que Uc podem ser entendidos comoautovetores.

Alternativamente, definimos dnK+k ≡ cnK+k+K/cnK+k, entao Eq. (7.36) fica

dnK+k−K =V0

~2m (nK + k)2 − 2ε− V0(2 + dnK+k)

. (7.43)

7.1.4 Oscilacoes de Bloch

A oscilacao de Bloch e um fenomeno da fısica do estado solido. Se trata da oscilacao de umapartıcula (por exemplo, um eletron) confinado num potencial periodico (por exemplo, um cris-tal), quando uma forca constante age sobre ele. Enquanto esse fenomeno esta muito difıcilobservar em cristais reais devido ao espalhamento de eletrons por defeitos da rede, ele foi obser-vado em superredes de semicondutores, em juncoes de Josephson ultrafinas e com atomos friosem redes opticas [17, 24].

Vamos primeiro mostrar um tratamento simples para eletrons sujeito a um campo eletricoconstante E. A equacao de movimento unidimensional e,

~dk

dt= −eE , (7.44)

com a solucao,

k(t) = k(0)− eE

~t . (7.45)


A velocidade v do eletron e dada por,

v(k) =1

~dEdk

, (7.46)

onde E(k) denota a relacao de dispersao para uma dada banda de energia. Supoe, que essa tema seguinte forma (tight-binding limit),

E = A cos ak , (7.47)

onde a e o parametro da rede e A uma constante. Entao, v(k) e dado por,

v(k) = −Aa~

sin ak , (7.48)

e a posicao do eletron por,

x(t) =

∫v(k(t))dt = − A

eEcos

(aeE

~t

). (7.49)

Isto mostre, que o eletron esta oscilando no espaco real. A frequencia das oscilacoes e dada por,

ωB =ae|E|~

. (7.50)

7.1.4.1 Oscilacoes de Bloch de atomos em redes opticas

Atomos neutros numa rede podem ser acelerados por gravitacao. Neste caso, simplesmentesubstituımos a forca eletrica −eE no calculo acima pela forca gravitacional mg, e obtemos oresultado,

ωB =mgλL

2~, (7.51)

com o comprimento de onda do laser retrorefletido λL = 2a fazendo a onda estacionaria.Para reproduzir a dinamica da onda de materia, comecamos a partir da equacao de Schrodin-

ger dependente do tempo com o mesmo potencial periodico. Agora, expandimos a funcao deonda dependente do tempo em ondas planas. Inserindo este ansatz na equacao de Schrodinger,obtem-se um conjunto de equacoes para os coeficientes de expansao cn, que pode ser simuladonumericamente.

Agora, tambem permitimos uma forca externa, cujo potencial pode ser adicionado ao po-tencial de Schrodinger. O termo adicional pode ser removido por uma transformacao para umsistema movido. Isso modifica as equacoes de movimento para as amplitudes de populacao dosmomentos cn,

i~∂ψ

∂t= − ~2

2m

∂2ψ

∂x2+

~W0

2sin(2klx)ψ −mgxψ . (7.52)

O termo adicional, que contem a frequencia da oscilacao Bloch νb aumenta linearmente notempo. A medida que o tempo passa, uma ressonancia e cruzada em t = −nτb, e o cruzamentoe periodicamente repetido em cada n = −1,−2, 0, ... Ao tracar o impulso da onda de materia nosistema do laboratorio, vemos que, sempre que a ressonancia e cruzada, o momento sofre umainversao correspondente a uma reflexao de seu movimento. Expandimos em ondas planas (deBloch) com |cn(t)|2 a populacao dos estados de momento [30, 31],

ψ(x, t) =

∞∑

n=−∞cn(t)e2inklx · eimgxt/~ (7.53)


transformamos para o sistema movido e obtemos a solucao dependente do tempo com a definicao

usual da frequencia do recuo ωr =~k2l2m e

νb =g

ωr. (7.54)

A equacoes do movimento agora se escrevem,

dcndt = −4iωr(n+ νbt)

2cn + W02 (cn+1 − cn−1) (7.55)

e o momento do centro das massas e,

〈p〉lab =∑

n

n|cn(t)|2 + νbt (7.56)

Figura 7.3: Dinamica das oscilacoes de Bloch.

Damos aqui outra representacao pictorica do processo de reflexao de Bragg. O requerimentode comensurabilidade dos comprimentos de onda de Broglie e da onda estacionaria de luz equivalea dizer que o momento da onda de materia e igual ao recuo de um unico foton. Em outraspalavras, a onda de materia esta na beira de uma zona de Brillouin. De fato, a relacao dedispersao para partıculas livre e distorcida devido a periodicidade do potencial gerado pela ondaestacionaria de luz, de modo a abrir uma banda proıbida. Como consequencia, em vez de seracelerado sem limites, o atomo entra na segunda zona de Brillouin, o que equivale a dizer que erefletido no outro lado da zona de Brillouin.

Uma pergunta importante e, de onde vem a interacao da onda de materia com a onda deluz estacionaria? A interacao so e possıvel, se o atomo tenha uma transicao interna capaz deespalhar fotons dos feixes de luz. Como qualquer processo de absorcao e emissao transfere umimpulso de recuo para o atomo, podemos visualizar o processo como um processo Raman: umfoton do feixe laser vindo da esquerda e absorvido e reemitido para a esquerda. Isso transfereduas vezes o recuo de um foton para o atomo, o que explica a reflexao de Bragg do atomo pelarede optica.

Claro que existem algumas condicoes que precisam ser satisfeitas para observar oscilacoes deBloch. A transferencia de momento e eficiente no regime da passagem adiabatica rapida (ARP)caracterizada pelas condicoes 2(νb/ωr) (W0/4ωr)

2 16. A primeira condicao requer, que aforca que leva os atomos a realizar as oscilacoes de Bloch deve ser fraca o suficiente para evitartransicoes interbancarias, o que garante a adiabaticidade do processo. A outra condicao exigeque a rede optica seja suficientemente fraca, de modo que a dinamica envolva apenas dois estadosde momento adjacentes ao mesmo tempo e a transferencia entre os dois seja bem sucedida.


Figura 7.4: Dinamica das oscilacoes de Bloch

7.2 Exercıcios

7.2.1 Sistemas periodicos

7.2.1.1 Ex: Aproximacao gaussiana para funcao de Wannier

Considere uma onda estacionaria de luz produzindo um potencial dipolar da forma V (x) =W0 sin2(kx) = W0

2 − W02 cos 2kx com W0 Er = (~k)2/2m.

a. Aproxima o potencial de um unico sıtio em torno de x = 0 por um potencial harmonico.b. Calcule para qual profundidade do potencial dipolar o potencial aproximado suporta pelomenos um estado ligado.c. Calcule o espacamento dos nıveis e o comprimento do oscilador harmonico aho.d. Use o estado fundamental apropriadamente normalizado deste oscilador harmonico comoaproximacao para a funcao de Wannier ω0,0(x). Assume a mesma profundidade da rede em

todas as direcoes de uma rede cubica 3D. Derive a formula U3d = 8πkad

(W0Er

)3/4a partir de

U3D = g3D

∫ω4

(0,0)(x, y, z)d3r

com g3D = 4π~adm .

W0E0

hw

(a) (b)

(c)

Figura 7.5: (a) Aproximacao de um potencial periodico por um potencial harmonico. (b-c) Umpotencial periodico infinito deve ser considerado como livre ou confinante?

7.2. EXERCICIOS 141

7.2.1.2 Ex: Perturbative treatment of a weak lattice

A weak lattice potential with V0 < Er can be treated in perturbation theory to motivate theresulting opening of a gap in the refolded energy parabola. The unperturbed HamiltonianH0 = p2/2m contains only the kinetic energy and the perturbation is V (x) = V0 sin2(kx) =12V0 − 1

4V0(e2ikx + e−2ikx).

a. Calculate V (x)φp(x) and show that 〈φp±~k|V |φp〉 are the only non-zero matrix elements of

the perturbation V (x) between the eigenstates of H0 (which are the orthonormal plane wavesφp = eipx/~). Neglect the constant term of the potential, which only yields a global energy shift.b. This coupling is relevant around those momenta p, where φp has the same energy φp+~k orφp−~k. Show that these momenta are p = ∓~k.c. Consider the perturbed system restricted to the basis |p = −~k〉, |p = +~k〉 and give theHamiltonian as 2x2 matrix.d. Diagonalize the matrix and consider the difference of the eigenenergies. Use them to estimatethe size of the gap, that the lattice opens between the two lowest bands.e. Calculate the eigenstates and interpret them by comparing the probability density to thelattice potential.


Capıtulo 8

Medida quantica

Desde a fundacao da mecanica quantica, a questao da relacao entre o mundo e o que podemosaprender sobre ele, isto e, entre a realidade e o observador, era em primeiro plano das discussoes.Cientistas como Bohr, Heisenberg, Schrodinger e Einstein ocuparam posicoes controversas e bri-garam sobre a interpretacao correta da mecanica quantica. O processo da medicao e supostofornecer informacao sobre o mundo la fora, mas nao era claro se esta informacao pode ser com-pleta e exata ou se existem limitacoes ou variaveis escondidas. Tambem, nao era claro se amedida pode ser nao-invasiva ou se o medidor sempre deve atrapalhar o fenomeno sob inves-tigacao. A etapa mais importante nesta questao foi a interpretacao de Copenhague formuladapor Bohr, Heisenberg e Born em 1927 e elaborada por von Neumann e Dirac depois. Contestadamuitas vezes no passado, ela ainda permanece valida hoje em dia.

Neste capıtulo vamos estudar o processo da medicao visto pela mecanica quantica e discutiralguns efeitos aparentemente paradoxos, que permitem aprofundar nosso entendimento. Entreeles sao o salto quantico, o gato de Schrodinger, o efeito Zeno quantico e paradoxo de Einstein-Podolski-Rosen.

8.1 O observador e a realidade

Seguinte a interpretacao de Copenhague, previsoes teoricas tem um carater probabilıstico. Noentanto, isto nao e uma expressao da imperfeicao da teoria, mas do carater intrinsecamenteindeterminıstico de processos quanticos 1. Alem disso, a interpretacao de Copenhague renunciaa atribuir aos objetos do formalismo quantico, como a funcao de onda e os operadores, umarealidade no sentido direto. Em vez disso, os objetos do formalismo somente representam ummeio de previsao probabilıstica dos resultados de uma medicao. Estes resultados sao os unicoselementos verdadeiramente reais.

A teoria quantica e as suas interpretacoes sao, portanto, de importancia fundamental paraa visao de mundo cientıfico e o conceito de natureza.

8.1.1 Projecao, soma direta, produto externo e traco

No ambito de preparar uma discussao formal e profunda da medida quantica, e util de definiras nocoes de projecao, soma direta, produto externo e traco. Com isso podemos descreverformalmente a interacao do medidor e do objeto medido no processo de medicao. Projetores

1Notamos que e problematico identificar imprevisibilidade e indeterminismo. E possıvel que nao podemosprever eventos especıficos, sem ter que assumir que estes eventos ocorrem de maneira aleatoria.

143

144 CAPITULO 8. MEDIDA QUANTICA

reduzem o domınio de um operador a para o subespaco que ele abre. Assumindo

a ≡∑

i,j

|i〉aij〈j| =

:.. aij ..

:

e PR ≡

∑

k

|k〉〈k| =

0 0 0

0

1..

1

0

0 0 0

(8.1)

temos

aR ≡ PRa = PRaR =∑

k

|k〉akl〈l| =

0 0 0

0

:.. akl ..

: 1

0

0 0 0

. (8.2)

A soma direta aumenta o domınio:

a =∑

RaR e

∑RPR = 1 , (8.3)

tal que

dim a =∑

Rdim aR .

O produto externo de dois operadores comutandos abre o espaco Hilbert de produto a di-mensao do qual e o produto das dimensoes dos espacos parciais. Assumindo que

a ≡∑

i,j|i〉aij〈j| e [a, b] = 0 . (8.4)

entaoa⊗ b ≡

∑

(ik)(jl)

|ik〉aijbkl〈jl| , (8.5)

tal quedim a⊗ b = dim adim b .

Por exemplo, |i〉〈j| ⊗ |k〉〈l| = |ik〉〈jl|.O traco do operador sobre o subspaco reduz o seu domınio para as dimensoes restantes:

Trba⊗ b =∑

(ik)(jl)(·m)

〈·m|ik〉aijbkl〈jl| ·m〉 =∑

(ik)(jl)(·m)

|i〉aijbkl〈j|δkmδlm (8.6)

=∑

(i)(j)(m)

|i〉aijbmm〈j| = a∑

m

bmm = aTrbb . .

Por exemplo, Trρa⊗ ρ = a. Vide Exc. 8.6.1.1.

8.1.2 O gato de Schrodinger

No mundo microscopico, a relacao entre a amostra e o observador e muito delicada. E dessadelicadeza que surgem efeitos quanticos que parecem paradoxos atraves da nossa visao classicado mundo. Assim, nao e surpreendente que uma das areas de investigacoes mais fascinantese a interface entre os mundos classicos e quanticos, macroscopicos e microscopicos. Para ospioneiros da mecanica quantica a questao mais importante era do tipo: ”Como e possıvel queuma partıcula microscopica voa simultaneamente atraves de duas aberturas?”. Hoje em dia,

8.1. O OBSERVADOR E A REALIDADE 145

nos acostumamos com este fato simplesmente aceitando de considerar partıculas como ondas.Mas ainda nao entendemos muito bem ”Porque o mundo classico e tao diferente do mundoquantico?”, ”Porque a mecanica quantica permite superposicoes quanticas de estados classica-mente proibidas?”, ”Porque as leis fundamentais da mecanica quantica sao invariaveis a respeitoda flecha do tempo, enquanto o mundo macroscopico sempre vai do passado para a futuro?”,”Como pode ser que na mecanica quantica permite efeitos sem causa como a emissao espontanea,enquanto o mundo cotidiano parece ser determinado?”

Figura 8.1: Fenda dupla.

Claramente, em algum limite, a mecanica quantica deve abranger a fısica classica. Masapesar do teorema de correspondencia de Ehrenfest, esse fato e longe de ser trivial. Algumasprevisoes da fısica classica e da fısica quantica sao fundamentalmente diferentes e, em algunscasos, contraditorias. Os estados do gato de Schrodinger sao o epıtome desse fato: Em umaversao do famoso paradoxo, uma partıcula atravessa uma fenda dupla. Por tras de uma dasfendas e um detector. Se ele registra uma partıcula, um aparelho matando um gato esta acionado.Sabemos que, na realidade quantica a partıcula atravessa as duas fendas em um estado desuperposicao, tal que o gato deveria ser num estado de superposicao tambem. Na mecanicaquantica os gatos podem estar em uma superposicao de ”morto” e ”vivo”.

Figura 8.2: A medida de um sistema quantica pressupoe a interacao do sistema com um reser-vatorio perturbando a sua dinamica.

Acreditamos hoje que as respostas das perguntas acima sao, de alguma maneira escondidasnos processos que destroem as superposicoes dos gatos de Schrodinger na transicao do mundo


microscopico ate o mundo macroscopico. No entanto, os detalhes deste processo de destruicao dascoerencias quanticas, chamado de decoerencia, sao muito complicadas e representam um assuntode pesquisa contemporanea. Na pesquisa moderna, isso e uma das motivacoes para tentar criarem laboratorios os maiores (quase macroscopicos) sistemas quanticos possıveis, colocar-lhes emestado de gato de Schrodinger e estudar a sua decoerencia 2.

8.1.2.1 Medida quantica

Cada sistema nao perturbado segue a equacao de Schrodinger. Uma vez que o hamiltoniano foideterminado, a solucao formal,

|ψ〉 = e−iHt/~|ψ0〉 , (8.7)

permite calcular a evolucao temporal, isto e, a trajetoria da funcao de onda. A evolucao ecoerente e reversıvel no tempo.

Agora, o processo da medida de uma estado quantico puro acontece —seguinte a inter-pretacao de Copenhague e como ja discutido na Sec. 1.2.7— em dois passos consecutivos: Noprimeiro passo, a interacao da amostra quantica com o medidor destroi todas as coerencias eprojeta o estado puro numa mistura estatıstica de estados proprios do dispositivo de medida 3.Seguinte von Neumann, o impacto do aparelho de medicao sobre o sistema quantico e tao forte,que a evolucao coerente e interrompida e o sistema quantico se projeta sobre o grau de liberdade,que o aparelho quer medir, e.g., a posicao ou o momento de uma partıcula, mas nao os doisno mesmo tempo. A projecao transforma um estado quantico puro |ψ〉 dentro de uma misturaestatıstica de auto-estados,ρ,

ρamostra = |ψ(t)〉〈ψ(t)|y ρproj =∑

k|〈ψ|k〉|2|k〉〈k| . (8.8)

Este processo e irreversıvel, isto e, separa o passado do futuro. Esta evolucao nao e descrita pelaequacao de Schrodinger. Em vez disso, a reducao subita do estado deve ser postulada, comofeito no famoso axioma de von Neumann.

Num segundo passo, o observador olha para o dispositivo de medicao confirmando um dosresultados possıveis. Assim, ele transforma o estado em um auto-estado do dispositivo:

ρproj y ρmedidor = |k〉〈k| . (8.9)

A partir deste momento, podemos de novo deixar o sistema quantico sozinho ate a proximamedida.

Visto dentro do sistema da amostra, a evolucao do processo de medida e descontinua, poisdestroi todas coerencias possıveis entre seus estados. De fato, o problema vem do comportamentonao-ideal do dispositivo de medida (simbolizado por | ↑〉 antes da medida). Uma medida idealnao-invasiva 4 deixaria o estado quantico |ψ〉 inalterado:

|ψ〉| ↑〉 H−→ |ψ〉| 〉 , (8.10)

enquanto o dispositivo de medida muda para um estado (| 〉 depois da medida) indicando oestado atual da amostra. No entanto, isto e normalmente, impossıvel sem correlacao previamenteestabelecida entre |ψ〉 e | ↑〉. Num dispositivo de medida real, o acoplamento entre |ψ〉 e | ↑〉requer que estes sistemas sejam nao ortogonais.

2Existem tentativas de introduzir o conceito da seta temporal tambem no mundo microscopico: ”In an isolatedsystem, spontaneous processes occur in the direction of increasing entropy.” [26].

3Notamos, que somente se todas as observaveis comutandas do sistema sao medidas e registradas, torna-seρmedidor um estado puro. Senao ρmedidor continua sendo uma mistura parcial.

4Vide a discussao da medida de nao-demolicao quantica.


8.1.2.2 Decoerencia induzida pelo medidor

Uma vista mais moderna da medida quantica e a seguinte: O mundo exterior (chamado dereservatorio) le o sistema quantico causando, devido a esta transferencia de informacao, umadestruicao nao-reversıvel de coerencia. Por consequencia, o operador densidade condensa so-bre a sua diagonal. Do outro lado, o sistema inteiro (incluindo o reservatorio) sempre evolvecoerentemente seguindo a equacao de von Neumann com o hamiltoniano de tudo Htudo:

ρ =i

~[ρ,Htudo] . (8.11)

Sendo Hamostra o pequeno sistema quantico sob investigacao, uma descricao completa do pro-cesso de medida necessita a inclusao do observador, isto e, o hamiltoniano total e

H = Hamostra ⊗Hmedidor =

(amostra 0

0 medidor

). (8.12)

Idealmente, o sistema evolui independentemente sem perturbacao do medidor que representaum reservatorio. Infelizmente, isso tambem significa que o medidor evolui independentemente,isto e, ele nao esta influenciado pelo sistema e, portanto, nao fornece informacao sobre o sistema.Para permitir a transferencia de informacao, precisamos acoplar os espacos respetivos por umainteracao Ω, tal que,

H =

(amostra Ω

Ω medidor

). (8.13)

Tracando sobre os graus de liberdade do universo menos aqueles do sistema quantico, obtemosuma equacao mestre,

ρamostra =i

~[ρ,Hamostra] + Lreservρ . (8.14)

Figura 8.3: A emissao espontanea pode ser visto como acoplamento do sistema sob investigacaoa um reservatorio externo.

Exemplo 27 (Medida quantica num sistema de dois qubits): Para discutir isso numexemplo, consideramos o sistema mais simples imaginavel: Dois atomos de dois nıveis, onde oprimeiro representa o sistema que nos queremos medir e o segundo o medidor. Introduzimosa seguinte base:

|1〉 ≡ | ↓〉| ↓〉 =

1000

, |2〉 ≡ | ↑〉| ↓〉 =

0100

, |3〉 ≡ | ↓〉| ↑〉 =

0010

, |4〉 ≡ | ↑〉| ↑〉 =

0001

.


O hamiltoniano dos atomos independentes e,

H = | ↓〉〈↓ | ⊗ | ↑〉〈↑ | .

A discussao sobre a interpretacao correta do processo de medida ainda esta em andamento.Teorias modernas descrevem a reducao do estado em termos de decoerencia quantica devido ainteracoes do sistema com o meio ambiente. Outras interpretacoes envolvem historias decoeren-tes ou assumem mundos multiplos [28]. Na pratica, o interesse atual na decoerencia quantica emotivado pelo fato que este fenomeno pode se revelar o fator limitante fundamental para utili-dade de computadores quanticos. Outra area interessante onde a mecanica quantica encontra afısica classica e a ocorrencia do caos quantico.

8.1.3 O salto quantico

Obviamente, o processo da medida quantica inclusive a descontinuidade na projecao do estadopoderia ser completamente entendido dentro de um tratamento completo do sistema que incluiriao dispositivo de medida. Na pratica, isto e ilusorio devido ao numero excessivo de graus deliberdade do dispositivo classico de medida (p.ex., um gato de Schrodinger).

Do outro lado, muitas caracterısticas da medicao quantica podem ser ilustradas num simplesatomo de tres nıveis com uma transicao fraca, representando a amostra quantica, e uma transicaoforte, representando o medidor. A tese defendida no seguinte e, que este sistema de tres nıveis,chamado de amplificador quantico, da uma visao profunda do que acontece no processo dareducao do estado e, por isso, pode ser considerado paradigmatico para a medida quantica.

Para discutir melhor a dinamica deste sistema, vamos primeiramente introduzir o metododa simulacao de Monte-Carlo da funcao de onda.

8.1.3.1 Simulacao quantica de Monte-Carlo do sistema de dois nıveis

A ocorrencia possıvel de emissao espontanea produz uma dinamica chamada de trajetoria quantica,que pode ser descrita por um hamiltoniano efetivo nao-hermitiano,

Heff = ~∆σz + ~Ωσ+ + c.c.− i

2Γσz =

(0 Ω

Ω ∆− iΓ2

). (8.15)

O problema deste hamiltoniano e, que a norm esta diminuindo

〈ψ|ψ〉 = 〈ψ0|e−iHteiHt|ψ0〉 −→ e−Γt . (8.16)

A perda da normalizacao durante a evolucao ate a ocorrencia do proximo salto quantico e devidoa dissipacao de energia dentro do reservatorio,

Tr ρamostra → 0 enquanto Tr

(ρamostra 0

0 ρreserv

)= 1 , (8.17)

e representa uma medida da probabilidade que um processo irreversıvel tem sido ocorrido. Nasimulacao resolvemos este problema por renormalizacao continua [25, 12].

Cada salto quantico projeta sobre o estado fundamental e constitui uma medicao, pois nosfala que fluorescencia tem sido detectada. O nosso sistema de tres nıveis, portanto, pode serconsiderado o prototipo de um aparelho de medida quase ideal, o objeto medido sendo a po-pulacao do estado metaestavel e o dispositivo de medicao sendo a transicao dipolar. Medicoes


demasiamento frequentes perturbam a evolucao coerente do sistema e inibem a sua dinamica:O estado metaestavel nao pode mais ser excitado: Quanto mais um observador tenta extrairinformacao do sistema, tanto mais este para de evoluir. Este efeito e conhecido como efeito deZeno quantico.

O procedimento da simulacao e ilustrado pelo seguinte diagrama,

reducao evolucao dinamica renormalizacao

|ψ(t)〉 ← |S1/2〉 −→ |ψ(t+ dt)〉 = e−iHeff t/~|ψ(t)〉 ←− |ψ(t)〉 ← |ψ(t+dt)〉〈ψ(t+dt)|ψ(t+dt)〉

↑ ↓ ↑nao ←− 〈ψ(t+ dt)|ψ(t+ dt)〉 ?

> ζ −→ sim

variavel estocastica

(8.18)

A simulacao so produz uma das varias trajetorias possıveis do sistema. A evolucao da matrizdensidade segue na media sobre todas as trajetorias possıveis, ρ(t) = |ψ(t)〉〈ψ(t)|. A emissaoespontanea e tomada em conta pela permissao ao sistema de reduzir (ou projetar) seu estadosobre um autoestado com a probabilidade ζ, que corresponde a probabilidade acumulada paraemissao espontanea. ζ e simulada por um numero quantico uniformemente distribuıdo. Amodificacao de |ψ(t)〉 por nao observacao de emissao espontanea reduz a populacao do estadoexcitado de 1− 1

2Γdt.

8.1.3.2 O sistema de tres nıveis: O epitome da medida quantica

A respeito da interacao misteriosa entre a amostra e o medidor, muito pode ser entendido poruma comparacao entre dois procedimentos possıveis: 1. tratar a amostra e o medidor separada-mente e explicar a extracao de informacao seguinte o postulado de von Neumann; 2. tratar aamostra e o medidor por uma teoria unificada.

Um dos sistemas mais simples imaginaveis permitindo esta comparacao e o sistema de tresnıveis com duas transicoes excitadas por campos de radiacao e conectadas por um estado fun-damental comum. Como ilustrado na Fig. 8.4(a) este sistema de tres nıveis pode ser um atomocom uma transicao forte (p.ex., a transicao S1/2 − P1/2 num ıon de bario Ba+) e uma transicaofraca (p.ex., a transicao quadrupolar proibida S1/2 − D5/2 no mesmo atomo). Chamamos atransicao forte de objeto sob medida e a transicao fraca de dispositivo de medida. Claramente,este sistema permite estudar o processo de medida de von Neumann inclusive a observacao di-reta de saltos quanticos. No mesmo tempo, ele e suficientemente simples para se prestar a umadescricao teorica completa. Assim, o sistema de tres nıveis se torna o epitome de um dispositivode medida quantica.

A pergunta agora e:

1. se existem processos de reducao subita de estados na realidade e se eles podem ser obser-vados em saltos quanticos entre estados 5;

2. ou se eles devem desaparecer dentro de uma teoria de tudo.

Tornamos nossa atencao para o atomo de tres nıveis: Obviamente, o atomo vai preferenci-almente espalhar fotons na transicao forte. No entanto, quando o eletron de valencia e ”arqui-vado”ou ”engavetado”no estado excitado, nada de fluorescencia pode ser observada na transicao

5”If we have to go on with these damned quantum jumps, then I’m sorry that I ever got involved.”(E. Schrodin-ger, 1952).


forte dipolar. Entendemos a transicao fraca como o objeto sendo medido pelo medidor, que nestecaso, e a transicao forte.

Figura 8.4: (a) Medida quantica no exemplo do atomo de tres nıveis incorporando uma transicaofraca observada e uma transicao forte observando. (b) Signal Random Telegraph na fluorescenciaressonante devido a saltos quanticos.

8.1.3.3 Simulacao quantica de Monte-Carlo do amplificador quantico

Para evitar o impedimento da evolucao do sistema (transicao fraca) pela presencia do lasermedindo a transicao forte podemos implementar so chamado amplificador quantico de Dehmelt,que consiste em irradiar de maneira alternante o laser de sistema (na fase S −D) e o laser demedida na fase (S − P ). A ausencia do laser S − P permite evitar alargamento de saturacao 6,desdobramento Stark dinamico, e deslocamento de luz (light shift).

A irradiacao alternada dos lasers S −D e S − P tambem pode ser tratada pelo metodo desimulacao quantica de Monte-Carlo da funcao de onda (8.18) usando o hamiltoniano

Heff =

0 12Ωsp

12Ωsd

12Ωsp −∆sp − i

2Γsp 012Ωsd 0 −∆sd

, (8.19)

onde as frequencia de Rabi Ωsd se Ωsd sao ligadas alternativamente.

Na simulacao 8.5 os saltos quanticos para estados engavetados aparecem com perıodos longossem populacao no P1/2 (primeiro perıodo S − P , onde a populacao do S1/2 ilustrada pela curvavermelha tende para 0 para tempos longos). Isto e, esta reducao do estado por nao-observacaoprecisa de um tempo de evolucao finito, que simplesmente vem da incerteza se a nao observacaoe realmente devido a um engavetamento ou a ausencia acidental de processos de espalhamentona transicao S − P : Afinal nao e previsıvel, quando o proximo foton da emissao espontaneasera emitido, mesmo o tempo de vida do estado excitado sendo curto. So que para tempos deobservacao mais longos e cada vez mais improvavel, que a ausencia de fotons nao e devido aum engavetamento. E esta improbabilidade que faz convergir a populacao rapidamente para oestado metaestavel. No segundo perıodo observamos transicoes rapida para o P1/2 seguidas dedecaimentos subitos para o estado fundamental. Estes correspondem a fotons espalhados pelatransicao forte.

6Isso e equivalente ao efeito quantico de Zeno, pois o alargamento de saturacao (ou efeito Stark dinamico) donıvel fundamental, que e comum as duas transicoes forte e fraca, reduz o overlap espectral entre transicao e lasere portanto a probabilidade de excitacao do nıvel metaestavel.


8.1.3.4 Comparacao com equacoes de Bloch

Alternativamente a simulacao quantica da equacao de Schrodinger efetiva, a evolucao podeser descrita por uma matriz densidade, cuja evolucao e governada pela equacao mestre, nestecontexto chamada de equacao de Bloch tracos verdes na Fig. 8.5. Obviamente, como estaequacao trata medias de muitas trajetorias, nao pode produzir saltos quanticos. No entanto, aequacao mestre descreve o conjunto objeto-medidor, mostrando que tambem podemos consideraro conjunto, isto e, os dois sistemas de dois nıveis como partes do mesmo sistema de tres nıveis.

0

0.5

1

D5/

2

S - D S - P S - D S - P S - D

0

0.5

1

S1/

2

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

t (ns)

P1/

2

Figura 8.5: Amplificador quantico comparando simulacoes quanticas de Monte-Carlo (linhasvermelhas) e as equacoes de Bloch (linhas pretas), que coincidem bem com as medias sobre 100trajetorias de Monte-Carlo (linhas verdes). Os perıodos S − D (fundo branco) representam aevolucao livre do sistema quantico, os perıodos S − P (fundo amarelo) representam os perıodosde medicao.

Neste sistema global o postulado de von Neumann da reducao do estado e substituıdo poruma separacao da escala temporal dentro da qual a medida e feita e da escala dentro da qual oprocesso observado acontece.

8.1.4 Medidas fracas

Medicoes fortes deixam o sistema quantico medido num auto-estado sem incerteza. Mas epossıvel imaginar, que o dispositivo de medido nao interage fortemente com sistema quantico,tal que o sistema nao e fortemente perturbado. O preco a pagar sera, que o resultado da medidafica incerto (teorema no free lunch).

Consideramos o uso de uma ancilla (donzela, grau de liberdade adjunto), por exemplo, umcampo ou uma corrente, para sondar um sistema quantico. A interacao entre o sistema e asonda correlaciona os dois sistemas.

8.1.4.1 Interacao fraca e medida por acoplamento de uma ancilla

Consideramos um sistema inicialmente no estado quantico |ψ〉 e uma ancilla inicialmente noestado |φ〉, tal que o estado combinado e, |Ψ〉 = |ψ〉 ⊗ |φ〉. Os dois sistemas interagem atraves


do hamiltoniano H = A ⊗ B, que gera a evolucao temporal U(t) = e−ixtH (em unidades onde~ = 1), onde x e a forca da interacao (em unidade de frequencia angular). Assumimos umtempo de interacao fixo t = ∆t tal, que λ = x∆t e muito pequeno, isto e, λ3 ≈ 0. A expansaode U em λ da,

U ≈ 1⊗ 1− iλH − λ2

2 H2 +O(λ3) = 1⊗ 1− iλA⊗B − λ2

2 A2 ⊗B2 . (8.20)

Quando e suficiente expandir a transformacao unitaria em baixas ordens de teoria de per-turbacao, falamos de interacao fraca. Como λ e λ2 sao pequeno, o estado combinado depois dainteracao nao sera muito diferente do estado inicial,

|Ψ′〉 = (1⊗ 1− iλA⊗B − λ2

2 A2 ⊗B2)|Ψ〉 . (8.21)

Agora fazemos uma medida sobre a ancilla para extrair informacao do sistema. Isto echamado de medida mediada por ancilla. Consideramos medidas na base |q〉 (do sistema daancilla), tal que

∑q |q〉〈q| = 1. A acao da medida sobre o sistema total e descrita pela acao do

projetor Πq = 1⊗ |q〉〈q| sobre |Ψ′〉. Seguinte a teoria da medida quantica, o estado condicionaldepois da medida e,

|Ψq〉 =Πq|Ψ′〉√〈Ψ′|Πq|Ψ′〉

=1⊗ |q〉〈q|

(1⊗∑k |k〉〈k| − iλA⊗B − λ2

2 A2 ⊗B2

)

N |ψ〉 ⊗ |φ〉 (8.22)

=1⊗∑k |q〉〈q|k〉〈k| − iλA⊗ |q〉〈q|B − λ2

2 A2 ⊗ |q〉〈q|B2

N |ψ〉 ⊗ |φ〉

=1〈q|φ〉 − iλA〈q|B|φ〉 − λ2

2 A2〈q|B2|φ〉

N |ψ〉 ⊗ |q〉 ,

onde N =√〈Ψ′|Πq|Ψ′〉 e o fator de normalizacao para a funcao de onda. Note, que o estado da

ancilla recorde o resultado da medida. O objeto

Mq ≡ 〈q|e−iA⊗B|φ〉 ' 1〈q|φ〉 − iλA〈q|B|φ〉 − λ2

2 A2〈q|B2|φ〉 (8.23)

e um operador sobre o espaco Hilbert total e chamado de operador de Kraus. A respeito dosoperadores de Kraus o estado do sistema combinado depois da medida e,

|Ψq〉 =Mq|ψ〉√〈ψ|M †qMq|ψ〉

⊗ |q〉 . (8.24)

Os objetos Eq = M †qMq sao elementos da chamada POVM ou Positive Operator Valued(Probability) Measure e deve obedecer

∑q Eq = 1, tal que as probabilidades correspondentes

se adicionam para unidade:∑

q Pr(q|ψ) =∑

q〈ψ|Eq|ψ〉 = 1. O sistema da ancilla nao e maiscorrelacionado com o sistema primario. Ele simplesmente recorde o resultado da medida, tal quepodemos calcular o traco sobre ele. Fazendo isso, chegamos ao estado condicional do sistemaprimario sozinho,

|ψq〉 =Mq|ψ〉√〈ψ|M †qMq|ψ〉

, (8.25)

que ainda etiquetamos com o resultado da medida q. De fato, estas consideracao permitemderivara uma trajetoria quantica.

8.2. MEDICOES REPETIDAS 153

8.1.4.2 Operador de Kraus para medida de posicao

Como exemplo canonico de um operador de Kraus usamos [5, 10] pegamos H = x ⊗ p, onde aposicao e o momento satisfazem a relacao de comutacao, [x, p] = i. A funcao inicial da ancillaseja uma distribuicao gaussiana,

|φ〉 =1

(2πσ2)1/4

∫dq′e−q

′2/4σ2 |q′〉 (8.26)

A funcao de onda de posicao da ancilla e,

φ(q) = 〈q|φ〉 =1

(2πσ2)1/4e−q

2/4σ2. (8.27)

Os operadores de Kraus sao (em comparacao com a discussao precedente colocamos λ = 1)

M(q) = 〈q|e−ix⊗p|φ〉 =1

(2πσ2)1/4e−(q−x)2/4σ2

, (8.28)

pois o operador e−ix⊗p faz uma translacao espacial quando aplicado no grau de liberdade daposicao. Os elementos POVM correspondentes sao,

E(q) = M †qMq =1√

2πσ2e−(q−x)2/2σ2

, (8.29)

que obedecem∫dqE(q) = 1.

Calcular 〈ψq|ψq〉 = 〈ψ′|M(q)†M(q)|ψ′〉.Note que limσ→0E(q) = |x = q〉〈x = q|. Isto e, num limite particular, estes operadores

convergem para uma medida forte da posicao. Para σ →∞, falamos de medida fraca.Outro exemplo seria o atomo de tres nıveis do exemplo do amplificador quantico de Dehmelt.

8.2 Medicoes repetidas

8.2.1 Efeito Zeno quantico

O famoso problema inventado pelo filosofo grego Zeno (490-430 AC) vai assim: Aquiles e umatartaruga organizam uma corrida. O Aquiles arrogante deixe uma vantagem de 100 metros paraa tartaruga, mas ele acha que nunca vai conseguir ultrapassar a tartaruga. Pois no instanteque ele cobriu os 100 metros a tartaruga avancou de 10 metros, e assim para frente. Na versaoquantica podemos imaginar um Gedankenexperiment onde um feixe laser passa atraves de umaserie infinitamente densa de n polarizadores, cada um sendo rotado por um angulo π

2n a respeitodo precedente. Cada polarizador representa uma medida instantanea da polarizacao do feixe.O resultado deste arranjo e que a medicao contınua do sistema governa a sua evolucao e roda apolarizacao por um angulo de π/2. Um experimento similar pode ser imaginado por uma seriede medidas de Stern-Gerlach do spin de um atomo.

Em cada versao do efeito Zeno, o sistema esta inibido de se desenvolver livremente por causade medidas frequentes do seu estado atual. Aquiles certamente seria capaz de ultrapassar atartaruga se ele nao sempre olhasse para ela para avaliar a distancia restante [19] 7.

7O efeito de Zeno quantico foi frequentemente usado para justificar a relevancia fısica do postulado de reducaodo estado. Foi mostrado, no entanto, que este postulado nao e essencial para o entendimento do efeito quanticode Zeno [6]. O efeito ja segue diretamente da equacao de Schrodinger e portanto tem uma natureza puramentedinamica. Isso mostra que a projecao e um construto puramente matematico sem realidade fısica. Isso pode servisto na discussao do amplificador quantico proposto pelo Hans Dehmelt que considerou um sistema atomico detres nıveis excitado numa transicao fraca e medido por saltos quanticos numa transicao forte (vide Sec. 4.4.3).


O efeito Zeno quântico Leandro Augusto Zago nº5882143

Resumo

O efeito Zeno quântico vem sendo questionado e estudado a mais de 50 anos, causando espanto

nos estudantes e pesquisadores novatos pelo fato de apresentar resultados não esperados do ponto de

vista determinístico. Nesse trabalho iremos detalhar um pouco esse problema tentando explicitar alguns

pontos relevantes para compreender o fenômeno.

Introdução

A evolução de um sistema instável é notoriamente governada por três tempos distintos: o tempo

curto, onde predomina uma função quadrática, o tempo intermediário, onde temos propriamente a

governança do padrão exponencial e o tempo longo, onde a função potência prevalece.

A equação de Schrödinger nos leva inevitavelmente a termos em tempos curtos, esse padrão é

predominado por uma função quadrática que foi batizada por Misra e Sudarshan em 1977 por região

“Zeno”, em alusão ao famoso filósofo Zenão de Eleia que propôs o paradoxo da flecha.

Zenão propôs vários paradoxos, no caso específico da flecha, ele diz que se uma flecha em voo

instantaneamente ocupa sempre o seu espaço, e que algo parado também ocupa sempre o seu mesmo

espaço, então uma flecha em voo em qualquer instante também está em repouso.

Fig.1- Gráfico dos distintos tempos de um sistema instável.

Figura 8.6: Decaimento quadratico da populacao de um estado sujeito a decaimento.

Consideramos um sistema descrito pelo hamiltoniano H. A equacao de Schrodinger descrevea evolucao temporal da funcao de onda |ψ(t)〉 = e−iHt/~|ψ0〉. Podemos entao calcular a amplitudee a probabilidade do estado permanecer no estado inicial,

〈ψ0|ψ(t)〉 = 〈ψ0|e−iHt/~|ψ0〉 e P (t) = |〈ψ0|ψ(t)〉|2 . (8.30)

Para tempos curtos podemos expandir

〈ψ0|ψ(δt)〉 = |ψ0〉 −i

~Hδt/~|ψ0〉 −

1

2~2Hδt2|ψ0〉+ ... = |ψ0〉+ |δψ〉 , (8.31)

tal que

〈ψ0|ψ(t)〉 ' 1− i

~Hδt− 1

2~2Hδt2 e P (t) ' 1− 1

~2(〈H2〉0 − 〈H〉20)δt2 . (8.32)

Dessa forma podemos explicitar o tempo de Zeno a partir das equacoes acima, τZ = ~2/√〈H2〉0 − 〈H〉20.

Realizamos agora medidas de von Neumann sucessivas. Realizando ao total N medidas ao longode um tempo t, isso nos leva a uma frequencia de medida τ−1. Iremos fazer essas medidas a fimde verificar se o sistema esta ainda no seu estado inicial, porem a cada medida nosso sistema eprojetado de volta ao estado inicial seguindo novamente seu processo de transicao. A populacaodo estado inicial entao sera dada por:

P (N)(τ) = P (N)(t/N)N . (8.33)

A Fig. 8.7 mostra a trajetoria para cinco medidas com intervalos de tempo τ . A linha tracejadamostra a populacao caso nao fosse feita medida alguma, notamos uma diferenca muito grande,pois a cada medida o sistema retorna ao estado de evolucao que esta em regime de temposcurtos. Ha ainda de se notar que caso extrapolassemos o numero de medidas para infinito nossaprobabilidade iria cada vez mais se aproximar da unidade,

[1−

(t

NτZ

)2]N

N grande−→ e−t2/Nτ2Z

N→∞−→ 1 . (8.34)

Vide Exc. 8.6.2.1 e 8.6.2.2 8

8A referencia [PRA50, 4582 (1994)] [6] que discute Itano et al. [19] mostra que o postulado da reducao doestado nao e essencial para o entendimento do efeito Zeno quantico. O efeito segue diretamente da equacao deSchrodinger e e de natureza puramente dinamica. Enquanto o efeito de Zeno quantico foi frequentemente usadopara justificar a relevancia fısica do postulado da reducao do estado, agora parece que a projecao e um construtopuramente matematico sem realidade fısica (vide a discussao dos saltos quanticos no sistema de tres nıveis [?].

8.2. MEDICOES REPETIDAS 155Podemos ilustrar esse efeito com um gráfico.

Notemos que foram feitas cinco medidas com intervalos de tempo τ e podemos ver pela linha

tracejada a expectativa de sobrevivência do estado caso não fosse feita medida alguma, notamos uma

diferença muito grande, pois a cada medida o sistema retorna ao estado de evolução que está em regime

de tempos curtos. Há ainda de se notar que caso extrapolássemos o numero de medidas para infinito

nossa probabilidade iria cada vez mais se aproximar da unidade, e esse resultado é absurdamente

surpreendente!

Sistema de dois estados quântico

Um dos sistemas mais simples para ilustrar esse fenômeno é o sistema de dois estados oscilando

pela frequência de Rabi. Podendo ser ilustrado pictoricamente por um átomo sendo incidido por um laser

que possui frequências de ressonância com estados de transição desse mesmo átomo.

Nesse caso temos a hamiltoniana da interação:

Onde os estados + e – são descritos pelas matrizes de Pauli e σ1,2,3 são auto estados.

Figura 8.7: Inibicao do decaimento da populacao de um estado sujeito a decaimento por me-didas repetidas (aqui para N = 5). A linha tracejada (solida) representa a probabilidade desobrevivencia com (sem) as medidas. A linha cinza representa uma funcao exponencial de in-terpolacao.

A supressao da evolucao de um sistema quantico foi observada experimentalmente em al-guns sistemas microscopicos. Em 1989, Itano, Heinzen, Bollinger e Wineland [19] conseguiramobservar o efeito Zeno quantico. Utilizando ions de berılio e um pulso ressonante eles contaramo numero de fotons emitidos devido a relaxacao do sistema. Depois disso, usando um pulsoultravioleta (para simular uma medicao), perceberam que um numero menor de fotons foi emi-tido, indicando que a ”observacao”fez com que os ıons demorassem mais para se excitarem (edecairem) do que em um sistema livre de observacao.

Entretanto, ainda hoje se e discutido no meio cientıfico a respeito da existencia do efeitoZeno. Alguns trabalhos chegaram a propor ate a possibilidade de um efeito anti-Zeno [35, 2, 34],onde a observacao aceleraria a evolucao do sistema. Atualmente o efeito Zeno ainda e estudado,tanto de um ponto de vista basico quanto para possıveis aplicacoes na metrologia, computacaoe informacao quantica [20].

8.2.1.1 Implicacoes filosoficas

Quando proposto pela primeira vez, o efeito foi considerado um paradoxo: como poderia umapartıcula instavel nunca decair, apenas por ser observada continuamente? Uma vez que o ques-tionamento remete ao famoso paradoxo da flecha que voa, proposto por Zenao, o efeito recebeuseu nome.

O paradoxo classico consiste em uma flecha que voa. Em qualquer instante de tempo elaocupa apenas um espaco igual ao seu tamanho. Ou seja, em momentos individuais ela estaparada, em um espaco que nao se move. Se ela esta parada em cada e em todos os instantes doseu voo, conclui-se que a flecha nao se move. Por um argumento similar Zenao concluiu que naoexiste movimento. Atualmente, sabemos que esse paradoxo e falso pois o tempo e o movimentonao sao discretos. Mas, essa questao so pode ser resolvida apos o desenvolvimento do calculo,que permitiu a definicao da velocidade instantanea [27].

Quando proposto, o efeito quantico tambem causou estranheza. Os autores propuseram emseu artigo original o que aconteceria com o gato de Schrodinger, caso o efeito fosse provado. Ogato esta numa caixa com um veneno, que esta associado a um atomo instavel. Se o atomodecair o veneno sera aberto e o gato morrera. Como ha uma superposicao entre o estado quedecaiu e o que nao decaiu, o gato esta numa superposicao de vivo e morto. Porem, o efeito Zenonos mostra que se medirmos o estado do atomo de maneira contınua, o atomo nunca ira decair.


Poderıamos assim salvar o gato do seu destino cruel?Essa pergunta so pode ser respondida alguns anos mais tarde, quando o efeito foi verificado

experimentalmente.Um questao interessante e a respeito da ”quanticidade”do efeito! Em qual aspecto ele e nao

classico? O efeito de Zeno quantico supoe a reducao completa do estado para um autoestado.No entanto, podemos imaginar medicoes classicas que tambem reduzem o estado (como p.ex. amedida da polarizacao de um feixe de luz).

8.2.2 Medicao quantica de nao-demolicao

8.3 Informacoes tipo welcher Weg

8.3.1 O problema de testar bombas por Elitzur and Vaidman

Misturando os conceitos de partıculas e ondas chegamos as vezes em conclusoes aparamenteparadoxas. Um exemplo, e o problema de testar bombas de Elitzur e Vaidman. Eles imaginaramum interferometro de Mach-Zehnder com a particularidade, que o espelho refletor em um dosbracos seja conectado a um dispositivo medindo o recuo fotonico. Isto e, quando um foton passapor este braco, o espelho sofre uma pequena aceleracao, que seja suficiente para ativar umabomba explosiva.

Agora, distinguimos dois casos: 1. O detetor de recuo nao funciona, isto e, a bomba naoe armada. 2. A bomba e armada. Para o caso da bomba falsa, ajustamos o interferometrode maneira a produzir interferencia destrutiva em uma das saıdas do interferometro. Isto e,depois de ter enviado muitos fotons atraves do interferometro, nunca observando nenhum fotonno saıda escura, podemos ter quase certeza de que a bomba nao e operacional.

No caso em que a bomba e operacional, a observacao de um recuo fotonico destroi o padraode interferencia nas saıdas do interferometro, pois a explosao da bomba nos informa em qualbraco o foton passou. No entanto, neste caso o padrao de interferencia tambem e destruıdo,quando o foton passa pelo outro braco. Entao, no caso (2) fotons podem ser detectados nasduas saıdas com igual probabilidade. Em particular, a deteccao de um foton na ”saıda escura”docaso (1).

Portanto, e possıvel acontecer que um foton atravessa o interferometro pelo braco que naocontem a bomba e sai pela ”saıda escura”. A probabilidade para isso acontecer e so 25%, masnao obstante a observacao de um foton na ”saıda escura”nos informe que a bomba e operacionalsem ter interagido com ela 9..

8.4 Medidas ruidosas

8.4.1 Ruıdo de projecao quantica

O indeterminismo intrınseco a mecanica quantica ocasiona consequencias graves na metrologia.Para mostrar isso, consideramos o exemplo de um sistema de dois nıveis |1〉 e |2〉. Este sistemapode ser num estado de superposicao |ψ〉. A probabilidade 10 de encontrar o sistema em um dosdois estados |i〉 e pi = 〈Pi〉 = |〈ψ|i〉|2, onde Pi e o operador de projecao. O resultado de umamedida da populacao e aflita por uma incerteza inerente expressa pela variancia (∆pi)

2 = pi(1−pi). Em outras palavras, a projecao aleatoria do sistema sobre a base dos auto-estados induz um

9Vide https://www.thorlabs.com/newgrouppage9.cfm?objectgroup id=663510Adotamos aqui o ponto de vista da interpretacao de Copenhague da reducao do estado quantico, mas notamos

que a interpretacao como mistura estatıstica baseada na matriz de densidade da os mesmos resultados.

8.5. FASES TOPOLOGICAS 157

ruıdo chamado ruıdo quantico de projecao 11 Este ruıdo inibe determinacao das probabilidadespi numa unica medida. No entanto, medindo as populacoes com uma amostra de n atomos ourepetindo a medida n vezes com um unico atomo em condicoes identicas, podemos reduzir aincerteza. A probabilidade de encontrar um atomo r vezes no estado |2〉 e,

Pn,r,2 =

(n

r

)pr2(1− p2)n−r . (8.35)

O valor esperado e a variancia desta distribuicao binomial sao [18],

r =

n∑

r=0

rPn,r,2 = np2 , (∆r)2 =

n∑

r=0

(r − np2)2Pn,r,2 = np2(1− p2) . (8.36)

Note que o desvio padrao diminuı com o numero de atomos, σ = ∆r/r ∼ 1/√n.

Sob a influencia de um campo de radiacao, a populacao do sistema de dois nıveis (suposto li-

vre de emissao espontanea) executa oscilacoes de Rabi, ρ22(t) = Ω2

G2 sin2 Gt2 , onde G =

√∆2 + Ω2.

A probabilidade de encontrar o sistema no estado |2〉, portanto, varia no tempo, p2(t) = ρ22(t),e a distribuicao binomial (8.35) fica,

Pn,r,2(t) =

(n

r

)(ΩG

)2nsin2r

(12Gt

)cos2n−2r

(12Gt

). (8.37)

Aumentando o numero de medidas, n→∞, essa funcao condensa em torno de um pico estreitona posicao Gt = 2 arcsin

√r/n. A largura do pico evolui como 2 arccos(2−1/2n).

Resumindo, mesmo supondo uma sensitividade perfeita para medida de populacoes (e.g.,usando o metodo de dupla ressonancia microonda-optica) e impossıvel medir a probabilidade p2

num unico atomo em um unico experimento. Como uma tal observacao so admite dois resultadospossıveis, ”fluorescencia observada”ou ”nao observada”, isto e, ρ22 = 1 ou ρ22 = 0, uma gamainteira de populacoes possıveis entre 0 e 1 e excluıda. Portanto, uma unica observacao so forneceinformacao parcial, que pode ser amelhorada gradualmente com cada observacao consecutiva.

8.4.1.1 Experimentos tipo Ramsey

O experimento de Ramsey e basicamente equivalente ao experimento de Rabi descrito acimaexceto por uma rotacao adicional no espaco de configuracao permitindo a medida da fase deprecessao via espectroscopia de populacao. Os franges de Ramsey sao aproximadamente dadospor p2 = 0.5(1 + cos[(ω − ω0)T ]). A grandeza interessante e a incerteza de frequencia,

∆r

(∂r/∂ω)|(ω−ω0)T=π/2=

√np2(1− p2)

n(∂p2/∂ω)=

1

T√n. (8.38)

8.5 Fases topologicas

Consideramos um hamiltoniano H(r(t)), que somente depende implicitamente do tempo, isto e,via algum parametro dependente do tempo RI(t). Entao o hamiltoniano evolui desenvolvendouma fase dinamica nao mensuravel e adicionalmente acumula uma fasegeometrica (tambem

11O ruıdo de projecao pode ser interpretado como shot noise. Enquanto, o shot noise optico em fotodetectorese gerado pela reparticao discreta da energia do campo em fotons, o ruıdo de projecao e a consequencia dadiscretizacao dos nıveis de excitacao eletronica.


chamada de fase topologica ou Berry fase de). Esta fase geometrica, que depende da trajetoria,e adiabaticamente seguido no espaco de parametros,

H|ψ(t)〉 = i~∂t|ψ(t)〉 . (8.39)

Assumimos que em qualquer instante de tempo o sistema fica num autoestado |n(r)〉,

H|n(r)〉 = En(r)|n(r)〉 . (8.40)

Quando H segue a trajetoria C : t→ r(t), entao vimos de

|ψ(t)〉 = exp[− i

~∫ t

0En(r(t′))dt′]

exp(iγn(C))|n(r(t))〉 (8.41)

que a fase γn : C → γn(C) nao e integravel. Berry mostra que o sistema acumulou, depois deum ciclo completo no espaco dos parametros r(T ) = r(0) e |n(r(0))〉 = |ψ(0)〉 a fase,

γn(C) =

∫∫

CVn(r)dS , (8.42)

onde

Vn(r) = Im∑

m6=n

〈n(r)|∇rH(r)|m(r)〉 × 〈m(r)|∇rH(r)|n(r)〉(Em(r)− En(r))2

. (8.43)

Consideramos o exemplo de um sistema de dois nıveis sem decaimento descrito pelo vetorde Bloch,

H =1

2Rσ ≡

Re ΩIm Ω∆/2

σxσyσz

. (8.44)

Os parametros r mudam adiabaticamente. E facil ver que,

E± = ±R/2 e ∇rH = σ/2 (8.45)

Vn(r) = Im〈n±(r)|∇rH(r)|n∓(r)〉 × 〈n∓(r)|∇rH(r)|n±(r)〉

(E+(r)− E−(r))2= ± r

2R3.

A fase geometrica resultante,

γn(C) = ∓∫∫

C

dS

2R2= ∓Ω(C)

2(8.46)

depende do angulo solido encerrado.

Exemplo 28 (Fase topologica no sistema de dois nıveis): Consideramos o seguinteestado [29],

n±(r) = cos θ|g〉 ± e±iφ sin θ|e〉 .Agora queremos calcular a fase topologica,

γ± =

∮

C

i〈n±(r)|∇r|n±(r)〉dr .

Aplicando o gradiente em coordenadas esfericas,

∇r = eθ1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ+ er

∂

∂r


na funcao |n+〉, achamos,

∇r|n+(r)〉 = −eθsin θ

r|g〉+ eθ

e±iφ cos θ

r|e〉+ eφ

ieiφ

r|e〉 ,

e

i〈n±(r)|∇r|n±(r)〉 = ieφi sin θ

r.

Finalmente,

γ+ =

∮

C

− sin θ

reφdR =

∮

C

− sin θ

rr sin θdφ =

∮

C

sin2 θφdt .

A condicao de adiabaticidade e essencial para emergencia de fases topologicas. O sistemasempre permanece num autoestado (numeros quanticos fixos) quando variamos parametros doambiente mais lentamente do que todas constantes caracterısticas do sistema, mesmo quando ohamiltoniano e dependente do tempo (autovalores variaveis).

8.5.0.1 Generalizacao da fase de Berry seguinte Aharonov

Aqui nao impomos condicoes ao hamiltoniano a respeito do seu comportamento adiabatico, e oestado sao precisa ser um aautoestado:

H|ψ(t)〉 = i~|ψ(t)〉 . (8.47)

Um processo e cıclico, quando existe um τ , tal que,

|ψ(τ〉 = ei[f(τ)−f(0)]|ψ(0)〉 . (8.48)

Definindo o espaco dos raios por |ψ(t)〉 = e−if(t)|ψ(t)〉, obtemos,

|ψ(τ)〉 = |ψ(0)〉 , (8.49)

e a partir da equacao de Schrodinger obtemos,

f(t)− f(0) = −1~

∫ t

0〈ψ(t)|H(t)|ψ(t)〉dt+

∫ t

0〈ψ(t)|i ddt |ψ(t)〉 ≡ δ + β . (8.50)

Portanto, no espaco dos raios temos uma curva fechada:

C : [0, τ ] −→ ψ(t) ∈ H (8.51)

↓ e−if(t)

C ′ : [0, τ ] −→ ψ(t) ∈ P .

A fase dinamica δ pode ser zerada por uma escolha apropriada de H(t), mas nao a fase topologicaβ. β nao depende de H(t), mas e uma propriedade geometrica da curva projetando H sobre P.Em contraste com eiβ, a fase β e somente determinada modulo 2πn.


8.5.0.2 Fase de Berry para sistemas de dois nıveis

Seguinte [1] consideramos o hamiltoniano,

H = ~(

∆/2 ΩΩ/2 −∆/2

). (8.52)

A solucao da equacao de Schrodinger e |ψ(t)〉e−iHt/~|ψ(0)〉. A matriz dos autovalores e,

E =~2Gσz com G ≡

√∆2 + Ω2 e σz =

(1 00 −1

). (8.53)

O deslocamento total depois de um ciclo de precessao e,

φ = H~ t = 1

2Gt = π . (8.54)

A fase dinamica e

δ = 1~

∫ 2π/G

0〈ψ(t)|H|ψ(t)〉dt = 1

~

∫ 2π/G

0〈eiGt/2ψ(0)|~2G|e−iGt/2ψ(0)〉dt . (8.55)

Partindo do estado inicial ψ =

(cos θi sin θ

),

δ = 1~~2

∫ 2π/G

0(cos2 θ − sin2 θ) > dt = −π cos θ . (8.56)

A fase geometrica corresponde ao angulo solido encerrado,

β = φ− δ = π(1− cos θ) = 12Ω(C) . (8.57)

Apesar do atomo nao estar num autoestado e de nao ter variacao adiabatica dos parametros.

8.5.1 Efeito de Aharonov-Bohm

Um caso particular para fase topologica e o efeito de Aharonov-Bohm. Se trata do seguintefenomeno: Na teoria eletrodinamica, os efeitos do electromagnetismo sempre se exprimem pelasforcas de Coulomb e de Lorentz, que podem ser descritas por campos eletricos e magneticos.Os potenciais eletromagneticos podem ser introduzidos para simplificar os calculos, mas elessao observaveis com realidade fısica. Em contraste, em mecanica quantica os potenciais eletro-magneticos sao mais fundamentais do que os campos eletromagneticos. Isso e demonstrado noefeito de Aharonov-Bohm.

A ideia deste efeito e esquematizado na Fig. 8.8: Um feixe de eletrons e coerentementedivido em dois bracos (e.g. por uma dupla fenda) passando pelos dois lados de um solenoideinfinitamente extenso e perfeitamente blindado. Desta maneira o campo magnetico B zera naregiao exterior ao solenoide, mas existe nao-obstante um potencial vetor A. Observamos natela um padrao de interferencia dos dois bracos do interferometro eletronico. Quando ligamos osolenoide observamos um deslocamento do padrao de interferencia.


dupla fenda tela

e-

solenoide

blindado

(a) (b)

e- e-

f

Figura 8.8: (a) Esquema para medir o efeito de Aharonov-Bohm. (b) Efeito de Aharonov-Casher: os eletrodos φ nao produzem campos eletricos dentro dos condutores; mesmo assim,observa-se na saıda do interferometro interferencia construtiva ou destrutiva dependendo dopotencial aplicado.

8.5.1.1 Aharonov-Bohm e transformacao de calibre

Sejam R e S duas regioes espaciais desconectadas. Suponha que os campos eletrico e magneticosao mantidos nulos na regiao R. Desse modo, classicamente seria impossıvel medirmos algumaalteracao na dinamica de um corpo confinado a regiao R decorrente da alteracao do campomagnetico confinado a regiao S. O efeito de Aharonov-Bohm mostra o contrario, isto e, eletronsna regiao R sem campo magnetico sentem fluxos de campo magnetico numa regiao S, sendo queR e S nao tem intersecao!

Na teoria classica do electromagnetismo, em uma regiao espacial de vacuo (a menos defontes de carga eletrica e de corrente eletrica) os campos eletrico E(r, t) e magnetico B(r, t) serelacionam com as densidades de carga eletrica ρ(r, t) e de corrente eletrica j(r, t) segundo asequacoes de Maxwell. Para uma situacao fısica numa regiao espacial, conhecidas as fontes ρ ej e as condicoes de contorno que os campos E e B devem satisfazer, e possıvel determinar oscampos como solucao desse sistema de equacoes diferenciais parciais.

Na eletrodinamica classica, observado de um referencial inercial, forca eletromagnetica Fem

sobre um corpo pontual de carga q, que no instante t esteja na posicao r com velocidade v, edada pela lei de forca de Lorentz:

Fem(r(t), t) = qE(r(t), t) + qv(t)×B(r(t), t) . (8.58)

A teoria eletrodinamica afirma a existencia de duas funcoes φ(r, t) e A(r, t), tais que:

B(r, t) = ∇×A(r, t) e E(r, t) = −∇φ(r, t)− ∂A(r, t)

∂t. (8.59)

Dessa forma, pode-se usar as equacoes (8.59) para reescrever as equacoes de Maxwell.Os potenciais φ e A nao sao unicamente obtidos, mas quaisquer φ e A que levam aos mesmos

campos E e B, e assim a mesma fısica, sao equivalentes. Iremos determinar φ e A adotandouma condicao adicional que devera ser obedecida. Isso significa adotar um calibre. Adotaremoso calibre deLorentz:

∇ ·A(r, t) +1

c2

∂φ(r, t)

∂t= 0 , (8.60)

onde c e a velocidade de propagacao da luz no vacuo.

8.5.1.2 A equacao de uma partıcula quantica sujeita a potencial vetor A

Suponha uma partıcula (sem spin), de massa m e carga q, cuja funcao de onda e confinadaa uma regiao R (conexa por caminhos). Exigimos φ = 0 e E = 0 = B, mas A 6= 0, isto e,


∇×A(r, t) = 0. Note que juntamente com (8.59) isso obriga que A seja estacionario. De acordocom a mecanica quantica a funcao de onda ψ da partıcula deve obedecer a seguinte equacao deSchrodinger:

1

2m

(~i∇− qA(r)

)2

Ψ(r, t) + V (r)Ψ(r, t) = i~∂Ψ(r, t)

∂t. (8.61)

Em (8.61) o potencial vetor A esta presente, mesmo que φ, E e B sejam mantidos nulos emtoda a regiao R.

Como o rotacional de A zera em R, ja que a integral pode ser calculada por qualquer caminhocontido em R que seja deformavel a um ponto, podemos definir o seguinte campo escalar:

g(r) ≡ q

~

∫ r

0A(x) · dx . (8.62)

Onde o ponto O, pertencente a R, e um ponto de referencia (escolhido arbitrariamente). Agora,definimos uma outra funcao de onda ψ(r, t) por:

Ψ(r, t) = eig(r)ψ(r, t) . (8.63)

De (8.62) temos:

∇g(r) =q

~A(r) . (8.64)

De (8.63), pela regra do produto, temos:

∇Ψ(r, t) = eig(r)(i∇g(r))ψ(r, t) + eig(r)(∇ψ(r, t)) . (8.65)

Substituindo (8.64) em (8.65) chega-se em:

(~i∇− qA(r)

)Ψ(r, t) =

~ieig(r)(∇ψ(r, t)) (8.66)

(~i∇− qA(r)

)2

Ψ(r, t) = −~2eig(r)(∇2ψ(r, t)) .

Substituindo (8.66) em (8.61) e usando (8.63) provamos que ψ satisfaz uma equacao de Schrodin-ger sem potencial vetor:

− ~2

2m∇2ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t) = i~

∂ψ(r, t)

∂t. (8.67)

Em resumo: A presencia de um potencial vetor na regiao R, mesmo na ausencia de campos(E, B e φ sao nulos, e portanto A e estacionaria) se traduz por um deslocamento de fase eig(r)

da funcao de onda. No entanto, a funcao de onda da partıcula obedece a mesma equacao deSchrodinger.

Exemplo 29 (Observacao do efeito Aharonov-Bohm): Suponha a situacao onde dentrode uma caixa cubica realizamos, no vacuo, o experimento da dupla fenda, usando eletrons.Temos uma fonte que incide um fluxo de eletrons sobre um primeiro anteparo, com duasfendas. A funcao de onda eletronica difrata por ambas as fendas, propaga interferindo ondese superpoe, e entao incide sobre um segundo anteparo, que mede (marca) onde o eletronincidiu. Entretanto, logo apos o primeiro anteparo, na posicao media das duas fendas, temosuma regiao cilındrica inacessıvel aos eletrons, dentro da qual existe um solenoide ideal de raioa que mantem um fluxo de campo magnetico constante. Pelos equipamentos do laboratorioesse fluxo pode ser ajustado, como um parametro, mas entre os ajustes ele e constante. O


campo magnetico (e tambem eletrico) do solenoide esta confinado numa regiao S, dentro daqual a funcao de onda eletronica e asseguradamente nula. Esse confinamento dos campose seguro, feito com camadas de materiais, inclusive supercondutores. Na regiao R em quea funcao de onda do eletron pode ser nao nula, os campos sao mantidos nulos. R e S teminsercao vazia, tanto R quanto S e conexa por caminhos.Mostraremos que o fluxo do campo magnetico na regiao S pode ser medido pela dinamicaeletronica na regiao R, ainda que que o eletron nunca esteja na regiao S, e esteja confinadoa uma regiao R livre de campos E e B. Esse e o Efeito Aharonov-Bohm (magnetico). Ocampo B do solenoide e dado por (I e a corrente eletrica no fio, N e a densidade de voltasdo fio):

B(r, t) = µ0IN ez ,

na regiao interna do solenoide, B(r, t), fora do solenoide

A(r, t) =ΦB2πρ

eφ ,

na regiao externa ao solenoide, isto e, ρ > a, onde ΦB = πa2B(0, t) e o fluxo do vetormagnetico B pela secao transversal a B no solenoide.Num ponto rsim do anteparo, localizado no plano de simetria do sistema, calculemos g(rsim)por dois caminhos diferentes: ambos comecam na fonte e terminam no anteparo final, masum atravessa pela fenda da esquerda e outro pela fenda da direita:

g(rsim) =q

~

∫ rsim

0

A(x) · dx =qΦB2π~

∫ (1

ρφ

)· (ρφdφ) = ±qΦB

2~.

O sinal + significa que a integracao foi feita no sentido de A, e assim no sentido de I nosolenoide. O sinal - e o contrario. A diferenca de fase, no ponto rsim, entre esses doiscaminhos sera:

δ =qΦB~

.

Isto e, a diferenca de fase (observavel no experimento, por exemplo, pelo padrao de inter-ferencia) e diretamente proporcional ao fluxo de campo magnetico B, mesmo que a funcaode onda seja nula na regiao S, dentro da qual o campo B esta confinado.Aproveitando a descricao que fizemos, imagina agora uma outra situacao. A fonte de eletronsesta desligada. Confinamos uma funcao de onda de um eletron a um trilho unidimensionalfechado, uma circunferencia de raio b que pode ser desenhada seguindo-se uma linha decampo de eφ numa regiao de R, e nao de S. Pode-se mostrar que o fluxo ΦB quebra adegenerescencia de nıveis de energia desse eletron:

En =~2

2mb

(n− qΦB

2π~

)2

,

com inteiro, isto e, n = 0,±1,±2, .... E como podemos notar, para qΦB

2π~ 6=inteiro, quebra-se

a degenerescencia entre os nıveis.

Poderıamos entender mais sobre a matematica e geometria por tras desse efeito: e irıamos

para o estudo de geometria em variedades diferenciaveis e fibrados principais, onde po-

derıamos entender que o efeito e intimamente ligado com a topologia do espaco disponıvel

para a funcao de onda: se a topologia fosse simplesmente conexa o efeito nao ocorreria, pois

um teorema matematico afirma que o fibrado principal seria trivial. Poderıamos seguir a

afirmacao do proprio Bohm, com a formulacao bohmiana da mecanica quantica poderıamos

ter uma intuicao melhor de que esse efeito e ligado a nao localidade da funcao de onda, que no

limite classico fica localizada numa distribuicao delta de dirac, com o denominado potencial

quantico tornando-se desprezıvel, o que faz esse efeito desaparecer no limite classico [16].


8.5.1.3 Generalizacoes do efeito de Aharonov-Bohm

O efeito de Aharonov-Bohm pode ser generalizada para os graus de de liberdade internos de umunico atomo, isto e, do espaco real para o espaco de configuracao. Imaginamos um interferometrode Mach-Zehnder, onde um dos bracos atravessa uma regiao de campo constante e homogeneo.A forca de Lorentz correspondente F =

∫d3r ρ(r)E(r)+ j(r)×B(r) zera, mas a onda de Broglie

sofre um deslocamento de fase χ =∫Hintdt:

potenciais escalares

χ = −∫eφdt ∇φ = 0 for e−

−∫

dEdt ∇×E = ∇E = 0 Mg, Yb+

−∫µBdt ∇×B = ∇B = 0 n, Yb+

potenciais vetoriais

−∮eAdr ∇×A = 0 e−, (ABE)

−∮d×Bdr ?

−∮µ×Edr n, Ca, (ACE)

8.5.1.4 Fase topologica no espaco de configuracao

Fazemos um experimento de Ramsey temporal com um unico ıon aprisionado excitando umatransicao hiperfina. Entre os pulsos aplicamos um campo magnetico por um tempo t. A aseacumulada sera φ = (~µ ·B/~)t. Essa fase corresponde a precessao do momento dipolar excitadopelo primeiro pulso de Ramsey. A fase pode ser interpretada pelo efeito de Aharonov-Bohmconsiderando 1. o campo magnetico e homogeneo e 2. mesmo assim age sobre o spin, nao poruma forca mas por um deslocamento de fase.

8.6 Exercıcios

8.6.1 O observador e a realidade

8.6.1.1 Ex: Sistema completo de operadores comutandos

Construe o espaco Hilbert para dois sistemas de dois nıveis independentes.

8.6.2 Medidas repetidas

8.6.2.1 Ex: Efeito de Zeno

Discute o efeito de Zeno quantico no exemplo de um feixe laser passando por um meio bire-fringente. Compare as situacoes sem polarizadores e com um numero infinito de polarizadoresverticais.

8.6.2.2 Ex: Efeito de Zeno

Um atomo de dois nıveis ressonantemente excitado por um laser pode ser descrito pelo hamil-toniano:

H =

(0 1

2Ω12Ω 0

).

A solucao da equacao de Schrodinger da

|ψ(t)〉 = e−itH/~|ψ0〉 =

(cos 1

2Ωt i sin 12Ωt

i sin 12Ωt cos 1

2Ωt

)(10

)

8.6. EXERCICIOS 165

se o atomo inicialmente esta no estado fundamental 〈ψ0| =(1 0

). A medicao da populacao do

estado fundamental so pode ser feita atraves uma projecao da funcao de onda, isto e, o resultadoda medicao e descrita por ‖|1〉〈1|ψ(t)〉‖2. Qual e o estado final do atomo quando a populacaodo estado fundamentala. e medida uma vez apos um tempo de evolucao t = π/Ω;b. e medida uma vez apos n intervalos de tempo tn = π/nΩ;c. quando e medida n vezes apos tempos de evolucao tn = π/nΩ;d. quando n→∞.

8.6.2.3 Ex: Efeito Zeno Quantico por Tiago S. do Espirito Santo

No efeito Zeno quantico temos que a evolucao temporal de um sistema e inibida por causa desucessivas medidas, do estado atual, em um curto intervalo de tempo. Considere um sistemadescrito por um hamiltoniano independente do tempo H e que a evolucao temporal do sistema

seja dado pelo operador unitario U = e−iHt/~.a. Calcule a probabilidade P (t) do sistema permanecer em um estado inicial |Ψ0〉 com a apro-ximacao de tempo curto, isto e, considere ate o termo de segunda ordem da expansao da ex-pressao para probabilidade. Utilize a simplificacao:

τz =~√

〈H2〉 − 〈H〉2,

onde o termo τz e chamado de tempo Zeno.b. Se forem realizadas N medidas no tempo t, temos T = t/N o intervalo entre as medidas.Quando uma medida e realizada, o sistema e projetado no estado inicial e recomeca a evolucaotemporal. Assim, apos N medidas, a probabilidade do sistema permanecer no estado iniciale dada por [P (T )]N . Mostre que para um numero infinito de medidas, N → ∞, o sistemapermanece no estado inicial sem perda de probabilidade: [P (T )]N = 1. Interprete o resultado.c. Um dos sistemas mais simples que se pode imaginar e um sistema de dois nıveis com oscilacaoRabi. Tem-se o hamiltoniano:

H =

(0 ΩΩ 0

).

Encontre a expressao para τz em funcao de Ω para o estado inicial (1 0)†.d. Se escolhermos um tempo de evolucao t = 0.01τz τz e realizarmos N = 5 medidas nesseintervalo, qual a probabilidade do sistema ter permanecido no estado inicial?e. Considerando, agora, um canal de decaimento para o estado (0 1)† com Γ = 4γ de formaque simulamos um sistema com medicao contınua. Isto e, o sistema e inicialmente preparado noestado (1 0)† e, se observamos emissao pelo decaimento, significa que o sistema saiu o estadoinicial. Temos agora o hamiltoniano:

H =

(0 ΩΩ −2iγ

).

Para esse sistema, a amplitude de probabilidade para o estado inicial vale:

〈Ψ0|Ψ(t)〉 =1

2

(1 +

γ

∆

)e−(γ−∆)t/~ +

1

2

(1− γ

∆

)e−(γ+∆)t/~

com ∆ =√γ2 − Ω2. Para uma taxa de decaimento γ Ω, encontre a probabilidade do sistema

permanecer no estado inicial. Interprete o resultado.


Formulario:

ex = 1 + x+x2

2+O(x3) , (1− x)N = 1−Nx+O(x2)

cos2(x) = 1− x2 +O(x3) , H =

(0 ΩΩ 0

)→ e−iHt/~ =

(cos Ωt

~ −i sin Ωt~

−i sin Ωt~ cos Ωt

~

).

8.6.3 Informacoes tipo welcher Weg

8.6.4 Medidas ruidosas

8.6.5 Fases topologicas

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167

168 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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[36] Gregor Wentzel, Eine verallgemeinerung der quantenbedingungen fur die zwecke der wel-lenmechanik, Zeitschrift fur Physik 38 (1926), 518.

Indice Remissivo.

estrutura fina, 118

algebra de Lie, 16

absorcao, 102

acoplamento jj, 75

acoplamento LS, 74

acoplamento mınimo, 115, 124

Aharonov-Bohm

efeito de, 160

amplificador quantico, 148, 150

anel nao-comutativo, 16

ansatz, 6

anti-comutador, 16

anti-partıcula, 112

aproximacao da onda rotativa, 100

aproximacao dipolar, 101

autofuncao, 17

autovalor, 17

autovetor, 17

Baker-Hausdorff

formula de, 48

base, 17

Bloch

estado de, 136

Felix, 14

funcao de, 132

oscilacao de, 137

teorema de, 131

vetor de, 14

Bohr

Niels, 5

raio de, 61

Boltzmann

distribuicao de, 102

lei de, 103

Ludwig, 102

bombas

problema de testar, 156

Born

Max, 8, 12

bra, 12

Brillouin

Leon, 89

zona de, 132

calibre

campo de, 23

transformacao de, 23, 26

calibre de, 161

CCOC, 20

Clebsch-Gordan

coeficiente de, 74

coeficientes de Einstein, 104

coerente

estado, 49

colisao, 52

completeza, 17

componentes grandes, 111

componentes pequenas, 111

Compton

comprimento de onda de, 110

um comprimento de, 118

comutador, 11, 16

conjugacao da carga, 26

conjunto completo de operadores comutan-dos, 20

conservacao

lei de, 24

conservacao da carga, 26

conservacao da paridade, 26

constante do movimento, 24

continuidade

equacao de, 8

contraste, 41

Copenhague

interpretacao de, 143

correspondencia

princıpio de, 30

Darwin

termo de, 118

de Broglie

Louis, 6

decoerencia, 146

decoerencia quantica, 148

degenerescencia, 18

Dehmelt

Hans, 153

169

170 INDICE REMISSIVO

Democrito, 5densidade dos estados, 100descida

operador de, 66desdobramento hiperfino, 120diamagnetico

termo, 124Dirac

Paul, 12, 67dispersao

relacao de, 138

efetivohamiltoniano, 148

EhrenfestPaul, 11teorema de, 11, 30, 145

emissao induzida, 102equacao azimutal, 58equacao polar, 58Erwin

Schrodinger, 29espaco de momento linear, 27espaco de posicao, 27espaco vetorial, 12, 16estrutura fina, 109, 112

constante da, 109estrutura hiperfina

efeito Paschen-Back da, 128efeito Zeeman da, 127

foton, 47fonon, 47fase, 157fase de

Berry, 158fator de intervalo, 120fator de Lande, 127Fermi

Enrico, 101flutuacao do vacuo, 45Fock

estado de, 44Vladimir Aleksandrovich, 44, 64

fotoeletricoefeito, 101

fracainteracao, 152

frequencia de Rabi, 96

frequencia generalizada de Rabi, 96Fresnel

formula de, 42funcao de estado, 11funcao de onda, 8, 11

Galileitransformacao de, 23

Galilei boost, 23, 26Gedankenexperiment, 25Glauber

estado de, 49formula de, 48Roy, 48

graus de liberdade, 20Gross-Pitaevskii

equacao de, 99

Hamiltonoperador de, 11

hamiltoniano, 11harmonicos esfericos, 58hermitiano

operador, 13, 16Hilbert

espaco de, 13, 16, 17hiperfina

estrutura, 119historias decoerentes, 148homogeneidade do espaco, 25homogeneidade temporal, 25

imagem de Heisenberg, 29imagem de interacao, 29, 97imagem de Schrodinger, 29incerteza

relacao de, 20intervalo

regra de, 121inversao da paridade, 26irreduzıvel

elemento da matriz, 129isotropia espacial, 26

Josephsonjuncoes de, 137

kernel, 27ket, 12

INDICE REMISSIVO 171

Klein-Gordonequacao de, 7, 110

KramersHendrik Anthony, 89

Krausoperador de, 152

LaguerreEdmond, 63equacao diferencial associada de, 63

Landefator de, 125

LegendreAdrien-Marie, 58

Leucipo, 5localizacao

energia de, 36

metodo variacional, 88magneton de Bohr, 115magneton nuclear, 120matriz T de espalhamento, 40matriz S de espalhamento, 40matriz de transicao dipolar, 101Maxwell

equacoes de, 161mecanica das matrizes, 14mecanica das ondas, 14medicao

processo da, 143medida mediada por ancilla, 152medida quantica, 15mestre

equacao, 151Mie

espalhamento de, 75modelo padrao, 110momento

espaco de, 9primeiro, 9

momento angular orbital, 22, 65momento de inercia, 60momento dipolar, 67Monte-Carlo da funcao de onda

simulacoes de, 99mundos multiplos, 148

numeroestado de, 44

numero quantico, 36bom, 33

numero quantico do momento angular, 58numero quantico magnetico, 58numero quantico principal, 62Newton

lei de, 11metodo de, 98

no free lunchteorema, 151

Noetherteorema de, 24

normalizacao, 8, 12

observavel, 13onda

equacao de, 6operador, 13ortogonal

estado, 17ortogonalizacao de Schmidt, 18oscilador

harmonico, 43oscilador harmonico, 43

paridade, 20Paschen-Back

efeito, 126Paschen-Goudsmith

efeito, 128Pauli

equacao de, 115matriz de, 14, 67matrizes de, 111Wolfgang, 14

perturbacao dependente do tempoteoria de, 97

perturbacao independente do tempoteoria de, 83

PlanckMax, 5

polinomios de Laguerre, 63polinomios de Legendre, 58ponto zero

energia do, 36Positive Operator Valued (Probability) Me-

asure, 152potencial centrifugal, 59POVM, 152

172 INDICE REMISSIVO

princıpio decorrespondencia, 145

principio de incerteza, 36probabilidade

carga de, 8corrente de, 8densidade de, 8distribuicao de, 8fluxo de, 42onda de, 8

problema de dois corpos, 55produto escalar, 17produto externo, 144projecao

ruıdo quantico de, 157projecao da funcao de onda, 15projetor, 14, 143

quantizacaoprimeira, 51segunda, 51

Rayleighfracao de, 88John William Strutt, 3. Baron, 88

Rayleigh-Ritzmetodo de, 89

reciprocarede, 132

reducao do estado, 15reflexao, 42reflexao quantica, 41regra de ouro de Fermi, 101representacao, 11reservatorio, 15reverso do tempo, 25rotor rıgido, 60Runge-Kutta

metodo de, 98

Schrodingerequacao de, 6gato de, 145

Schwartzinigualdade de, 20

seculardeterminante, 87equacao, 86

shot noise, 157

soma direta, 144

spin, 67, 114

Stark

efeito de, 128

efeito quadratico de, 128

Johannes Nikolaus, 128

Stark linear

efeito, 87, 128

Stark quadratico

efeito, 87

steepest descent, 98

Stern-Gerlach

experimento de, 67

subespaco, 144

subida

operador de, 66

superposicao

principio de, 11

Thomas

fator de, 117

topologica

fase, 158

tres nıveis

sistema de, 149

traco, 144

trajetoria quantica, 148, 152

transformacao, 19

transformacao θ, 26

transformacao de simetria, 24

transicao eletrica dipolar, 101

transicao quadrupolar, 101

translacao

operador de, 21

transmissao, 42

unitaria

transformacao, 20

unitario

operador, 17, 20

valor esperado, 10

variavel dinamica, 13

virial

teorema, 64

von Neumann

John, 15

postulado de, 15

INDICE REMISSIVO 173

WentzelGregor, 89

WernerHeisenberg, 29

WignerEugene Paul, 129

Wigner-Eckartteorema de, 129

WKBaproximacao, 89

Yukawapotencial de, 110

Zeemandesdobramento, 124Pieter, 124

Zeeman anomaloefeito, 125

Zeeman normalefeito, 125

Zenode Elea, 153efeito, 153

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Mecânica quântica aplicada