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Mecânica Técnica Aula 1 – Conceitos Fundamentais Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecanica Vetorial

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Mecnica TcnicaAula 1 Conceitos FundamentaisProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Apresentao do Curso. Apresentao da Bibliografia Definio da Mecnica Tcnica. Sistema Internacional de Unidades.Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaApresentao do Curso Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 9 - Avaliao 1 Aula 10 - Momento de uma Fora, Formulao Escalar Aula 11 - Momento de uma Fora, Formulao Vetorial, Princpio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um Binrio Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas Aula 15 - Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas e Trs Dimenses Aula 17 - Estudo de Trelias Planas Aula 18 - Estudo de Mquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliao 2 Aula 20 - Exame FinalAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaBibliografia Recomendada HIBBELER, R. C. Mecnica Esttica. 10 ed. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecnica Vetorial para Engenheiros: Esttica.5.ed. So Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics Statics 3 ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002, 583p.Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDefinio de Mecnica A mecnica pode ser definida como o ramo das cincias fsicas dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos ao de foras. Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica dos corpos rgidos, a mecnica dos corpos deformveis e a mecnica dos fluidos.Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica dos Corpos Rgidos A mecnica dos corpos rgidos pode ser dividida em esttica (equilbrio de um corpo rgido) e dinmica(movimento de um corpo rgido). A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um corpo em repouso ou em movimento com velocidade constante. A dinmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a parte da mecnica dos corpos rgidos dedicada ao estudo do movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja, movimentos acelerados dos corpos. Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaGrandezas Fsicas Presentes na MecnicaAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues a) Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posio de um ponto no espao. A partir do comprimento possvel descrever com exatido a dimenso de um sistema fsico. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade bsica de comprimento o metro (m). b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medies desse intervalo podem ser realizadas por comparaes, como por exemplo, eventos repetitivos tal como a rotao da Terra ao redor de seu prprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade bsica de tempo o segundo (s). Como o presente curso trata apenas dos problemas de esttica, a quantidade tempo no possui influncia significativa na soluo dos problemas, porm em problemas de dinmica, o tempo uma grandeza muito importante para descrever as variaes de posio, velocidade, acelerao e foras em um corpo. c) Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posio do corpo e do local no qual o mesmo colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade bsica de massa o quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matria que permite comparar a ao de um corpo em relao a outro e de um modo geral pode ser interpretada com a resistncia que um corpo oferece a mudanas em seu movimento de translao. d) Fora: Pode ser definida como a ao de um corpo em outro corpo. Como um corpo no pode exercer uma fora em um segundo corpo a menos que este oferea uma resistncia, pode-se concluir que uma fora nunca existe s, ou seja, as foras sempre ocorrem aos pares, e as duas foras possuem a mesma magnitude e sentidos contrrios. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade bsica de fora o Newton (N), que representado a partir da seguinte relao, 1 N = 1 kgm/s.Mecnica TcnicaSistema Internacional de UnidadesAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues A 11 CGPM, em 1960, atravs de sua Resoluo n12, adotou finalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, com abreviao internacional SI para o sistema prtico de unidades, e instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares, alm de outras indicaes, estabelecendo uma regulamentao para as unidades de medidas. A definio de Quantidade de Matria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969 e adotada pela 14 CGPM, em 1971. CGPM - Confrence Gnrale de Pois et Mesures Mecnica TcnicaUnidades de Base do SI So sete unidades bem definidas que, por conveno, so tidas como dimensionalmente independentes. Essas unidades so apresentadas na Tabela a seguir. Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicacd candela intensidade luminosa mol mol quantidade de matria K kelvin temperatura termodinmica A ampre corrente eltrica s segundo tempo kg quilograma massa m metro comprimento Smbolo Unidade GrandezaDefinio das Unidades de BaseAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Metro (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo. Quilograma (kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina - irdio, dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite. Segundo (s): a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entre os dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental. Ampre (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos, de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro no vcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro de comprimento. Kelvin (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua. Mol (mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementares quantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentrios: a) O nome desta quantidade vem do francs "quantit de matire",derivado do latim "quantitas materiae", que antigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em ingls usa-se o termo "amount of substance". Em portugus, consta no Dicionrio como "quantidade de substncia", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matria", at uma definio mais precisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser tomos, molculas, ons, eltrons ou outras partculas ou agrupamentos de tais partculas. Candela (cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite radiao monocromtica de freqencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direo de 1/683 watt por esteradiano. Mecnica TcnicaUnidades Suplementares do SIAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues So apenas duas as unidades suplementares: o radiano, unidade de ngulo plano e o esteradiano, unidade de ngulo slido. Mecnica Tcnicasr esteradiano ngulo slidorad radiano ngulo planoSmbolo Unidade GrandezaUnidades Derivadas do SI So formadas pela combinao de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaes algbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolos para as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadastm nomes e smbolos especiais. Aula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicamol/m3mol por metro cbico concentraom3/kg metro cbico por quilograma volume especficokg/m3quilograma por metro cbico densidadem-1metro recproco nmero de ondam/s2metro por segundo quadrado aceleraom/s metro por segundo velocidadem3metro cbico volumem2metro quadradorea Smbolo Unidade GrandezaUnidades Derivadas do SIAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaK C grau celcius temperatura celciusWb/A H henry indutnciaWb/m2T tesla densidade de fluxo magnticoV s Wb weber fluxo magnticoA/V S siemens condutncia eltricaV/A ohm resistncia eltricaC/V F farad capacitncia eltricaW/A V volt potencial eltricoA s C coulomb quantidade de eletricidadeJ/s W watt potncia, fluxo radianteN m J joule energia, trabalhoN/m2Pa pascal presso, tensokg m/s2N newton foras-1 Hz hertz freqnciaExpresso(*) Smbolo Unidade GrandezaUnidades Derivadas do SIAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaW/(m K) watt por metro kelvin condutividade trmicaN/m newton por metro tenso superficialJ/(kg K) joule por quilograma kelvin entropia especficaJ/kg joule por quilograma energia especficaW/sr watt por esteradiano potncia radianteW/(m2 sr) watt por metro quadrado esteradiano radinciaW/m2watt por metro quadrado densidade de potnciaJ/(mol K) joule por mol kelvin entropia molarJ/mol joule por mol energia molarA/m ampre por metro fora do campo magnticoJ/K joule por kelvin entropiaJ/m3joule por metro cbico densidade de energiaV/m volt por metro fora do campo eltricoC/m2coulomb por metro quadrado densidade de carga eltrica A/m2ampre por metro quadrado densidade de correnterad/s radiano por segundo velocidade angularrad/s2radiano por segundo quadrado acelerao angularExpresso(*) Unidade GrandezaMltiplos e SubmltiplosAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicaz zepto 0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21a atto 0,000 000 000 000 000 001 = 10-18f femto 0,000 000 000 000 001 = 10-15p pico 0,000 000 000 001 = 10-12n nano 0,000 000 001= 10-9 micro 0,000 001 = 10-6m mili 0,001 = 10-3c centi 0,01 = 10-2d deci 0,1 = 10-1da deca 10 = 101h hecto 100 = 102k quilo 1 000 = 103M mega 1 000000 = 106G giga 1 000 000 000 = 109T tera 1 000 000 000 000 = 1012P peta 1 000 000 000 000 000 = 1015E exa 1 000 000 000 000 000 000 = 1018Z zetta 1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021Smbolo Prefixo FatorEscrita de UnidadesAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Os princpios gerais relativos escrita de smbolos das unidades foram adotadas pela 9 CGPM, em 1948, alguns comentrios so apresentados a seguir. a) Os smbolos usados para discriminar quantidades fsicas devem ser apresentados em itlico, mas os smbolos das unidades so digitados em romano [ex: F = 23 N]. b) As unidades derivadas de nomes prprios devem ser escritas com a primeira letra em maisculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minsculo [ex: newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minsculo ou maisculo ( l ou L ). c) O smbolo da unidade geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade [ex: grama, g e no gm; segundo, s e no seg ou sec], com algumas excees [ex: mol, cd e Hz]. Tambm, o smbolo da unidade no deve ser seguido por um ponto e o seu plural no seguido de "s" [ex: 3 kg e no 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu smbolo "" devem ser omitidos da unidade de temperatura termodinmica, T [isto , usa-se apenas kelvin ou K e no Kelvin ou K], mas so retidos quando se quer designar temperatura Celcius, t [ex: graus Celcius ou C]. e) Os smbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 so escritos em maisculo, enquanto que todas os outros so escritos em minsculo [ex: mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas no M/m3]. g) No deve ser colocado espao entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos devem ser evitados [ex: 1 pF, e no 1 p F ou 1 F; 1 nm, e no 1mm].Mecnica TcnicaEscrita de UnidadesAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues h) O agrupamento formado pelo smbolo do prefixo ligado ao smbolo da unidade constitui-se em um novo e inseparvel smbolo, de modo que pode ser elevado a potncias positivas ou negativas e ser combinado com outros smbolos de unidades para formar smbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1 cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 102 V/m]. i) Quando um mltiplo ou submltiplo de uma unidade escrito por completo, o prefixo deve ser tambm escrito por completo, comeando com letra minscula [ex: megahertz, e no Megahertz ou Mhertz]. j) O quilograma a nica unidade de base cujo nome, por razes histricas, contm um prefixo. Seus mltiplos e submltiplos so formados adicionando-se os prefixos palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e no 1 microquilograma ou 1kg]. k) A multiplicao de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou deixando-se um espao entre as unidades [ex: ou N m]. l) A diviso pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de frao horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido da barra inclinada no permitido [ex: m/s2, mas no m/s/s; m kg/ (s3 A), mas no m kg/s3/A]. Para se evitar m interpretao, quando mais de uma unidade aparece no denominador, deve-se utilizar parntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou W m-2 K-4].Mecnica TcnicaEscrita de UnidadesAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues m) Os nomes das unidades no devem ser misturados com os smbolos das operaes matemticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas no metro/segundo ou metro segundo-1]. n) Quando o produto de duas unidades escrito por extenso, recomenda-se o uso de espao entre elas mas nunca o uso do ponto. tolervel o emprego de hfen nestes casos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas no newtonmetro]. Nmeros com mais de quatro dgitos devem ser separados por um espao a cada grupo de tres dgitos. Nunca utilizar pontos ou vrgulas nas separaes, para evitar confuses com as marcaes de decimais [ex: 299 792 458, mas no 299.792.458 ou 299,792,458]. Esta conveno tambm aplicada direita do marcador de decimais [ex: 22,989 8]. o) O valor numrico e o smbolo da unidade devem ser separados por um espao, mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas no 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de fraes decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J ao invs de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possvel, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA].Mecnica TcnicaPrxima Aula Escalares e Vetores. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Regra do ParalelogramoAula 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 2 Lei dos Senos e Lei dos CossenosProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Clculo de Fora Resultante. Operaes Vetoriais. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaGrandezas Escalares Uma grandeza escalar caracterizada por um nmero real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaGrandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio, fora e momento. A posio de um ponto no espao em relao a outro ponto caracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambas esto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A. A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se na mesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel e com a direo desejada para o movimento.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaRepresentao de uma Grandeza Vetorial Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta, que utilizada para definir seu mdulo, sua direo e seu sentido. Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimento da seta, a direo definida atravs do ngulo formado entre um eixo de referncia e a linha de ao da seta e o sentido indicado pela extremidade da seta. A figura mostra a representao grfica de dois vetores fora atuando ao longo dos cabos de fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta. Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e subtrao vetorial, bem como a determinao das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria e so descritas a seguir a partir da figura a seguir e das respectivas equaes. Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaLei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidas dos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica senCsenBsenA= = cos AB B A C 22 2 + = A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.B AC Soma Vetorial Regra do Paralelogramo O Clculo da fora resultante pode ser obtido atravs da soma vetorial com a aplicao da regra do paralelogramo.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica10Soluo do Exerccio 1Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica11011070702Fr1FrRFryx702Fr 1FrRFrConstruir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar quais so as incgnitas do problema.A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores. cos F F F F FR + = 2 12221 2 + = 70 300 200 2 300 200 2 2cos FR senFsenF R=1RFsen Fsen = 1|||

\| =RFsen Fasen 1 ||

\| =25 298 70 200,senasen = 06 39, = = 30 06 39, = 06 9, Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o mdulo da fora resultante FR.O ngulo determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o valor calculado para FR.Com relao ao eixo x positivo, o ngulo dado por:FR= 298,25 NExerccio 2 2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica== 30 40 110 senFsenFsenF CB CA R = =11040 3011040sensensensen FF RCA52 , 20 =CAF = =11030 3011030sensensensen FF RCB96 , 15 =CBFFCAFCBFR= 30 kN3040110A partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um tringulo de vetores envolvendo as foras atuantes nos cabos CA e CB e a fora resultante, de forma a identificar as incgnitas do problema.A partir da aplicao da lei dos senos, pode-se determinar os mdulos das foras atuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma.Resolvendo para FCAtem-se que:Resolvendo para FCB tem-se que:kNkNExerccios PropostosAula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo, medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo x positivo.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo, medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) A chapa est submetida a duas foras FAe FBcomo mostra a figura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e sua intensidade em relao ao eixo horizontal. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ngulo e o valor da fora F de modo que a fora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determine os valores de FAe FBde modo a produzir uma fora resultante de 950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50. Mecnica TcnicaExerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duas foras F1e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das foras FAe FB. Considere = 15.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaPrxima Aula Sistemas de Foras Coplanares. Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.Aula 2Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 3 Sistemas de Foras Coplanares, Vetores CartesianosProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Foras Coplanares. Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaComponentes de um Vetor Quando um vetor R expresso segundo a soma de dois vetores A e B, cada um dos vetores A e B so chamados de componentes de R, portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duas componentes a partir da aplicao da regra do paralelogramo. Um exemplo de decomposio vetorial pode ser observado na figura a seguir, onde, conhecendo-se as linhas de ao de cada componente, o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B. Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaFora ResultanteAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica1Fr2FrRFrAdio de Foras Vetoriais Quando os problemas envolvem a adio de mais de duas foras, pode-se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o tringulo de vetores de modo a se obter a fora resultante. Um exemplo desse tipo de situao mostrado na figura representada a seguir.Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMtodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o nmero de foras envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra do paralelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho de geometria e trigonometria para se determinar o valor numrico da resultante do sistema e sua respectiva direo. Porm, este exaustivo processo suprido de forma rpida atravs da aplicao de uma metodologia que utiliza uma soma algbrica das componentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema. Este mtodo denominado mtodo das componentes retangularese consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores, formando desse modo um sistema de foras colineares projetados nos eixos de coordenadas do sistema de referncia. Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDecomposio de Foras Conveno de Sinais. x Positivo para a direita, negativo para a esquerda. y Positivo para cima, negativo para baixo. No plano, utilizam-se os versores e .Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicairjrReduo a uma nica Fora Resultante Decompor as foras nos eixos x e y. Utilizar trigonometria, decomposio em seno e cosseno.Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicaj F i F F y xr r r1 1 1 + = j F i F F y xr r r2 2 2 + = j F i F F y xr r r3 3 3 = + + + + = = n R F F F F F F r r r r r r......3 2 1Fora Resultante:Soma VetorialVetores Cartesianos:Mdulo e Direo da Fora ResultanteAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMdulo da Fora Resultante: Direo da Fora Resultante:= x Rx F F= y Ry F F2 2Ry Rx R F F F + =|||

\|=RxRyFFarctg Exerccio 1 1) O elo da figura est submetido as foras F1e F2, determine a intensidade e a orientao da fora resultante.Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 30 30 cos ( 1 1 1 j sen F i F F r r r + =) 30 600 30 cos 600 (1 j sen i F r r r + =) 45 45 cos ( 2 2 2 j sen F i F F r r r + =) 45 400 45 cos 400 (2 j sen i F r r r + =) 45 400 45 cos 400 ( ) 30 600 30 cos 600 ( j sen i j sen i FRr r r r r + + + =j sen sen i FRr r r) 45 400 30 600 ( ) 45 cos 400 30 cos 600 ( + + =) 8 , 582 8 , 236 ( j i FRr r r+ =Decomposio das Foras: Fora 1:Fora 2:Fora Resultante:NNNSoluo do Exerccio 1Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica2 28 , 582 8 , 236 ( + =RF629 =RF|||

\|=xyFFarctg ||

\|=8 , 236 8 , 582arctg = 9 , 67 Mdulo da Fora Resultante:Direo da Fora Resultante:NExerccio 2 2) A extremidade da barra est submetida a trs foras concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientao da fora resultante.Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 400 (1 i F r r =) 45 cos 45 ( 2 2 2 j F i sen F F r r r + =) 45 cos 250 45 250 (2 j i sen F r r r + =|||

\|||

\| +||

\| = j F i F F r r r53543 3 3|||

\|||

\| +||

\| = j i F r r r53200542003) 120 160 (3 j i F r r r+ =Decomposio das Foras:Fora 1:Fora 2:Fora 3:NNNSoluo do Exerccio 2Aula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 120 160 ( ) 45 cos 250 45 250 ( ) 400 ( j i j i sen i FRr r r r r r+ + + + =j i sen FRr r r) 120 45 cos 250 ( ) 160 45 250 400 ( + + + =2 28 , 296 2 , 383 ( + =RF 485 =RF|||

\|=xyFFarctg ||

\|=2 , 383 8 , 296arctg = 8 , 37 Fora Resultante:Mdulo da Fora Resultante:Direo da Fora Resultante:NN) 8 , 296 2 , 383 ( j i FRr r r+ =296,8N383,2NFR xyExerccios PropostosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo e a intensidade de F1de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo x positivo e tenha intensidade de 1kN. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine o ngulo e a intensidade de F1de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) O gancho da figura est submetido as foras F1e F2, determine a intensidade e a orientao da fora resultante.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Determine o ngulo e a intensidade de FBde modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Determine o ngulo e a intensidade de F1de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo x positivo e tenha intensidade de 600N. Mecnica TcnicaPrxima Aula Operaes com Vetores Cartesianos. Vetor Unitrio. ngulos Diretores CoordenadosAula 3Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 4 Adio e Subtrao de Vetores CartesianosProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Operaes com Vetores Cartesianos. Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaComponentes retangulares de um vetor Um vetor A pode ter um, dois ou trs componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z. A quantidade de componentes depende de como o vetor estorientado em relao a esses eixos. Sistema de coordenadas utilizando a regra da mo direita.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaVetor Unitrio A direo de A especificada usando-se um vetor unitrio, que possui esse nome por ter intensidade igual a 1. Em trs dimenses, o conjunto de vetores unitrios usado para designar as direes dos eixos x, y e zrespectivamente.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak j i rr r, ,AAuArr=FFuFrr=Para um vetor A: Para um vetor Fora:Representao de um Vetor Cartesiano Um vetor cartesiano escrito sob a forma de suas componentes retangulares. As componentes representam a projeo do vetor em relao aos eixos de referncia. Quando se escreve um vetor na forma cartesiana suas componentes ficam separadas em cada um dos eixos e facilita a soluo da lgebra vetorial.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak A j A i A A z y xrr rr+ + =2 2 2z y x A A A A + + =Mdulo do vetor cartesiano:Vetor cartesiano:ngulos Diretores Coordenados A orientao de um vetor no espao definida pelos ngulos diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor e os eixos positivos x, y e z. Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaAAxr= cosAAyr= cosAAzr= cosDeterminao dos ngulos Diretores CoordenadosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicakAAjAAiAAAAu zyxArr rrr+ + = =k j i uArr rr cos cos cos + + =1 cos cos cos 2 2 2= + + Sistemas de Foras Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica + + = = k F j F i F F F z y x Rrr rr rExerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados dafora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaNNSoluo do Exerccio 1Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica + = = 2 1 F F F FRr r r r) 80 60 ( ) 100 100 50 ( k j k j i FRrrrr r r+ + + =) 180 40 50 ( k j i FRrr r r+ =191 =RFNMdulo da fora resultante:Vetor fora resultante:NN2 2 2180 40 50 + + =RFSoluo do Exerccio 1Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicakFFjFFiFFFFuRRzRRyRRxRRFRrr rrr+ + = =k j i u RFrr rr1911801914019150+ =k j i u RFrr rr942 , 0 209 , 0 261 , 0 + =RRxFFr= cos 261 , 0 cos = ) 261 , 0 arccos( = = 8 , 74 RRyFFr= cos209 , 0 cos = ) 209 , 0 arccos( = =102 RRzFFr= cos942 , 0 cos = ) 942 , 0 arccos( = = 6 , 19 Vetor unitrio da fora resultante:ngulos diretores:Exerccio 2 2) Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora resultante FRatue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica2 1 F F FRr r r+ =k F j F i F F rr r r1 1 1 1 1 1 1 cos cos cos + + =k j i F rr r r + + = 120 cos 300 60 cos 300 45 cos 3001k j i F rr r r150 150 2 , 2121 + =2150 150 2 , 212 800 F k j i j r rr r r+ + =k j i j F rr r r r150 150 2 , 212 8002 + =k j i F rr r r150 650 2 , 2122 + + =2 2 22 150 650 2 , 212 + + = F7002 = FDeterminao de F2:Mdulo de F2:NNFora Resultante:NDeterminao de F1:j FRr r800 =NSoluo do Exerccio 2Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica|||

\|=222 arccosFF x||

\| =700 2 , 212arccos2 =1082|||

\|=222 arccosFF z||

\|=700150arccos2 = 6 , 772|||

\|=222 arccosFF y||

\|=700650arccos2 = 8 , 212ngulos Diretores de F2:Exerccios PropostosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Expresse a fora F como um vetor cartesiano.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60N. Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetor cartesiano.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) O mastro est sujeito as trs foras mostradas. Determine os ngulos diretores 1, 1, e 1de F1, de modo que a fora resultante que atua sobre o mastro seja NMecnica Tcnica) 350 ( i FRr r=Exerccios PropostosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Os cabos presos ao olhal esto submetidos as trs foras mostradas. Expresse cada fora na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) O suporte est sujeito as duas foras mostradas. Expresse cada fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante, a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.Mecnica TcnicaPrxima Aula Vetores Posio. Vetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecnica.Aula 4Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 5 Vetor Posio, Aplicaes do Produto EscalarProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Vetores Posio. Vetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecnica.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaVetores Posio O vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espao em relao a outro. O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak z j y i x r rr rr+ + =Vetor Posio entre Dois Pontos A e BFora da Origem O vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em anlise. O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre dois pontos no espao.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaA B AB r r r r r r =k z z j y y i x x r A B A B A B ABrr rr) ( ) ( ) ( + + =Aplicaes do Vetor PosioAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaVetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio orientado do ponto A para o ponto B na corda.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica||

\| = =rrF u F F rrrExerccio 1 1) a corda mostrada na figura est presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direo, medidos de A para B.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 3 , 0 , 1 ( A) 3 , 2 , 2 ( Bk z z j y y i x x r A B A B A B ABrr rr) ( ) ( ) ( + + =k j i rABrr rr)) 3 ( 3 ( ) 0 2 ( ) 1 2 ( + + =) 6 2 3 ( k j i rABrr rr+ + =2 2 26 2 3 + + =ABr7 =ABrABABABrru rr=7 6 2 3 k j iuABrr rr + + =7 6 2 3 k j iuABrr rr + + =k j i uABrr rr857 , 0 285 , 0 428 , 0 + + =Vetor Posio AB:Mdulo do Vetor Posio:Vetor Unitrio AB:mmmmSoluo do Exerccio 1Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica|||

\|=ABABxrrrarccos ||

\| =73arccos =115 |||

\|=ABAByrrrarccos ||

\|=72arccos = 4 , 73 |||

\|=ABABzrrrarccos ||

\|=76arccos = 31 ngulos Diretores:Exerccio 2 2) A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a fora no cabo em A igual a 500N, expresse essa fora como um vetor cartesiano.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 2 , 0 , 0 ( A) 0 ; 707 , 0 ; 707 , 1 Bk z z j y y i x x r A B A B A B ABrr rr) ( ) ( ) ( + + =k j i rABrr rr) 2 0 ( ) 0 707 , 0 ( ) 0 707 , 1 ( + + =) 2 707 , 0 707 , 1 ( k j i rABrr rr + =2 2 22 707 , 0 707 , 1 + + =ABr723 , 2 =ABrABABABrru rr=723 , 2 2 707 , 0 707 , 1 k j iuABrr rr +=k j i uABrr rr734 , 0 259 , 0 626 , 0 + =ABu F F rr =) 734 , 0 259 , 0 626 , 0 ( 500 k j i F rr r r + =Vetor Posio AB:Mdulo do Vetor Posio:Vetor Unitrio AB:Vetor Fora:) 367 130 3 , 31 ( k j i F rr r r + =mmmmNProduto Escalar Em determinados problemas de esttica necessrio se determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os componentes paralelo e perpendicular de uma fora em relao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rpida de se obter o resultado desejado a partir da lgebra vetorial. O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entre dois vetores.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaFormulao do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica cos = B A B A r r111= = = k k j j i ir rr rr r000= = = k i j k j irrrrr rngulo entre dois Vetores:|||

\|=B A B A r rarccos Componentes Paralelo e Perpendicular de um VetorAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica2//2A A A =u A A A rr = = cos//Exerccio 3Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) A estrutura mostrada na figura est submetida a uma fora horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa fora paralela e perpendicular ao elemento AB.Mecnica TcnicaSoluo do Exerccio 3Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaAB AB u F F F rr = = cos//ABABABrru rr=k j i rABrr rr3 6 2 + + =2 2 23 6 2 + + =ABr7 =ABrFora Paralela a Barra AB:Clculo do Vetor Unitrio AB:Vetor Posio AB:Mdulo do Posio AB:mmSoluo do Exerccio 3Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica7 3 6 2 k j iuABrr rr + +=k j i uABrr rr429 , 0 857 , 0 286 , 0 + + =) 429 , 0 857 , 0 286 , 0 ( ) 300 (// k j i j F ABrr r r+ + =) 429 , 0 0 ( ) 857 , 0 300 ( ) 286 , 0 0 (// + + =ABF1 , 257// =ABFAB AB AB u F F rv = // //) 429 , 0 857 , 0 286 , 0 ( 1 , 257// k j i F ABrr r v+ + =) 110 220 5 , 73 (// k j i F ABrr r v+ + =AB AB F F F //v r v =) 110 220 5 , 73 ( ) 300 ( k j i j F ABrr r r v+ + =) 110 80 5 , 73 ( k j i F ABrr r v + =2//2AB AB F F F + =2 21 , 257 300 + =ABF155 =ABFABABABrru rr=Clculo do Vetor Unitrio AB:AB AB u F F F rr = = cos//Fora Paralela a Barra AB:Vetor Fora Paralela a Barra AB:Fora Perpendicular a Barra AB:Em Mdulo:NNNNExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a intensidade da fora resultante que atua em A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine o comprimento do elemento AB da trelia. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motor mostrado. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel Dest no centro entre A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados dafora resultante que atua sobre o ponto A. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tenso em AB e CD for FAB= 300N e FCD= 250N, expresse cada uma dessas foras como um vetor cartesiano. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone. Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante. Considere x = 20m e y = 15m.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra AC. O ponto B est no ponto mdio de AC. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir. Mecnica TcnicaPrxima Aula Equilbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio. Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.Aula 5Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 6 Equilbrio do Ponto Material em Duas DimensesProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio. Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaCondio de Equilbrio do Ponto Material Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que esteja em repouso ou ento possua velocidade constante. Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto:Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0 FDiagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material que mostra todas as foras que atuam sobre ele.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExemplo de Diagrama de Corpo LivreAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaEsferaCorda CE N CMolas K = Constante elstica da mola. S = Deformao da mola.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicas k F = Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar em proporo direta com a fora que atua sobre ela. A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.Cabos e Polias Cabos suportam apenas uma fora de trao que atuam na direo do mesmo.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaEquaes de Equilbrio Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vria foras coplanares e colineares, cada fora poderser decomposta em componentes x e y e para a condio de equilbrio necessrio que as seguintes condies sejam atendidas.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF = 0yFExerccio 1 1) Determine a tenso nos cabos AB e AD para o equilbrio do motor de 250kg mostrado na figura.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1 Diagrama de corpo livre:Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF = 0yF0 30 cos = D B T T0 30 = P sen TB0 2452 30 = sen TB 302452senTB =4904 =BT0 30 cos 4904 = DT 30 cos 4904 =DT4247 =DTg m P = 81 , 9 250 = P2452 = P Peso do motor: Equaes de equilbrio: Resolvendo a equao II: Substituindo em I:NNN(I)(II)Exerccio 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimento no deformado da mola lAB= 0,4m e a mola tem rigidez kAB= 300N/m.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2 Diagrama de corpo livre:Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF = 0yF0 30 cos = Ac AB T T0 30 = P sen TAC0 5 , 78 30 = sen TAC 305 , 78senTAC =157 =ACT 30 cos 157 =ABT136 =ABTg m P = 81 , 9 8 = P5 , 78 = P Peso da luminria: Equaes de equilbrio: Resolvendo a equao II: Substituindo em I:(I)(II)0 30 cos 157 = ABTNNNSoluo do Exerccio 2 Alongamento da mola:Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica Comprimento deformado da mola: Comprimento do cabo AC:mmmAB AB AB s k T =ABs = 300 136300136=ABs453 , 0 =ABsAB AB AB s l l + = '453 , 0 4 , 0 + =ABl853 , 0 =ABlAB AC l l + = 30 cos 2 853 , 0 30 cos 2 + = ACl 30 cos 853 , 0 2 =ACl32 , 1 =AClExerccios PropostosAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Determine o ngulo e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilbrio esttico.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine a fora necessria nos cabos AB e AC para suportar o semforo de 12kg.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Determine a deformao que cada mola deve ter para equilibrar o bloco de 2kg. As molas encontram-se em posio de equilbrio.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) A mola ABC da figura tem rigidez de 500N/m e comprimento sem deformao de 6m. Determine a fora horizontal F aplicada a corda que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel em relao a parede seja d=1,5m. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Determine as foras necessrias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de 20kg em equilbrio. Dados: F = 300N e d = 1m. Mecnica TcnicaPrxima Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas Tridimensionais. Diagrama de Corpo Livre de Sistemas Tridimensionais. Equaes de Equilbrio de Sistemas Tridimensionais.Aula 6Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 7 Equilbrio do Ponto Material em Trs DimensesProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas Tridimensionais. Diagrama de Corpo Livre de Sistemas Tridimensionais. Equaes de Equilbrio de Sistemas Tridimensionais.Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaFormulao Matemtica para o Equilbrio em Trs DimensesAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica===000zyxFFF = 0 Fr = + + 0 k F j F i F z y xrr rPara o Equilbrio necessrio que:A soluo obtida por um sistema de trs equaes e trs incgnitasExerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora Fnecessrios para o equilbrio do ponto O. Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDeterminao das foras:) 400 (1 j F r v=) 800 (2 k F rv =OBu F F rv = 3 3OBOBOBrru rr=k j i rOBrr rr6 3 2 + =2 2 26 3 2 + + =OBr7 =OBr7 6 3 2 k j iuOBrr rr + =k j i uOBrr rr857 , 0 429 , 0 286 , 0 + =OBu F F rv = 3 3) 857 , 0 429 , 0 286 , 0 ( 7003 k j i F rr r v+ =) 600 300 200 (3 k j i F rr r v+ =k F j F i F F z y xrr r r+ + =Vetor unitrio e Vetor posio:NmmNNNSoluo do Exerccio 1Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0 Fr03 2 1 = + + + F F F F r r r r0 600 300 200 800 400 = + + + + k F j F i F k j i k j z y xrr rrr rrr = 0xF 0 200 = + xF 200 =xF = 0yF 0 300 400 = + yF 100 =yF = 0zF 0 600 800 = + + zF 200 =zF) 200 100 200 ( k j i F rr r+ =2 2 2200 100 200 + + = F300 = FCondio de equilbrio:Sistema de equaes:Vetor fora F:Mdulo de F:NNNNNSoluo do Exerccio 1Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaFFuFrr=300 200 100 200 k j iuFrr rr + =k j i uFrr rr||

\|+||

\|||

\|=300200300100300200||

\|=300200arccos = 2 , 48 ||

\| =300100arccos = 109 ||

\|=300200arccos = 2 , 48 ngulos diretores de F:Exerccio 2 2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas, uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas cordas AC e AD e a deformao da mola.Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) ( i F F B Br v=) 60 cos 135 cos 120 cos ( k F j F i F F C C C Crr r v + + =) 5 , 0 707 , 0 5 , 0 ( k F j F i F F C C C Crr r v + =AD D D u F F rv =ADADADrru rr=k j i rADrr rr2 2 1 + + =2 2 22 2 1 + + =ADr3 =ADr3 2 2 1 k j iuADrr rr + + =k j i uADrr rr667 , 0 667 , 0 333 , 0 + + =) 667 , 0 667 , 0 333 , 0 ( k j i F F D Drr r v+ + =) 667 , 0 667 , 0 333 , 0 ( k F j F i F F D D D Drr r v + + =) 981 ( k W r r =Determinao das foras:Vetor unitrio e Vetor posio:AD D D u F F rv =NNNNmmSoluo do Exerccio 2Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaCondio de equilbrio:Sistema de equaes: = 0 Fr0 = + + + W F F F D C Br r r r0 981 667 , 0 667 , 0 333 , 0 5 , 0 707 , 0 5 , 0 = + + + k k F j F i F k F j F i F i F D D D C C C Br rr rrr r r = 0xF 0 333 , 0 5 , 0 = D C B F F F = 0yF 0 667 , 0 707 , 0 = + D C F F = 0zF 0 981 667 , 0 5 , 0 = + D C F F(I)(II)(III)Soluo do Exerccio 2Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica813 =CF862 =DF7 , 693 =BFSoluo das equaes:Deformao da mola:s k FB =s = 1500 7 , 69315007 , 693= s462 , 0 = s667 , 0707 , 0 CD FF = C D F F = 059 , 10 981 )) 059 , 1 ( 667 , 0 ( 5 , 0 = + C C F F0 981 706 , 0 5 , 0 = + C C F F0 981 207 , 1 = CF207 , 1981=CF813 059 , 1 =DF0 862 333 , 0 813 5 , 0 = BF04 , 287 5 , 406 + =BFDe (II):(IV):Substituindo (IV) em (III):Em (IV):Em (I):NNNmExerccios PropostosAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Determine a intensidade e o sentido de F1necessrios para manter o sistema de foras concorrentes em equilbrio.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine as intensidades de F1, F2e F3para a condio de equilbrio do ponto material.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Determine as intensidades de F1, F2e F3para a condio de equilbrio do ponto material.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Determine a intensidade e o sentido de P necessrios para manter o sistema de foras concorrentes em equilbrio.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Os trs cabos so usados para suportar a luminria de 800N. Determine a fora desenvolvida em cada cabo para a condio de equilbrio. Mecnica TcnicaPrxima Aula Soluo de Exerccios. Equilbrio em Trs Dimenses.Aula 7Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 8 Equilbrio do Ponto Material em Trs DimensesProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Soluo de Exerccios. Equilbrio em Trs Dimenses.Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccio 1 1) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma fora de 700N. Determine as foras de trao nos cabos AC e AD e a intensidade da fora vertical F.Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) 6 , 0 , 0 ( A) 0 , 3 , 2 ( B) 0 ; 2 ; 5 , 1 ( C) 0 , 6 , 3 ( Dk j i rABrr rr6 3 2 + =2 2 26 3 2 + + =ABr7 =ABr7 6 3 2 k j iuABrr rr +=k j i uABrr rr857 , 0 429 , 0 286 , 0 + =AB AB AB u F F rv =) 857 , 0 429 , 0 286 , 0 ( 700 k j i FABrr r v + =) 600 300 200 ( k j i FABrr r v + =) ( k F F r r=Determinao da Fora em Cada Cabo:Fora F:Cabo AB:Vetor posio:Mdulo do vetor posio:Vetor unitrio:Vetor Fora AB:mmNSoluo do Exerccio 1Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak j i rACrr rr6 2 5 , 1 + =2 2 26 2 5 , 1 + + =ACr5 , 6 =ACr5 , 6 6 2 5 , 1 k j iuACrr rr + =k j i uACrr rr923 , 0 307 , 0 230 , 0 + =AC AC AC u F F rv =) 923 , 0 307 , 0 230 , 0 ( k j i F F AC ACrr r v + =) 923 , 0 307 , 0 230 , 0 ( k F j F i F F AC AC AC ACrr r v + =k j i rADrr rr6 6 3 =2 2 26 2 5 , 1 + + =ADr9 =ADr9 6 6 3 k j iuADrr rr =k j i uADrr rr666 , 0 666 , 0 333 , 0 =AD AD AD u F F rv =) 666 , 0 666 , 0 333 , 0 ( k j i F F AD ADrr r v =) 666 , 0 666 , 0 333 , 0 ( k F j F i F F AD AD AD ADrr r v =Cabo AC:Vetor posio:Mdulo do vetor posio:Vetor unitrio:Vetor Fora AC:Cabo AD:Vetor posio:Mdulo do vetor posio:Vetor unitrio:Vetor Fora AD:NNmmmmSoluo do Exerccio 1Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaCondio de equilbrio:Sistema de equaes: = 0 Fr0 = + + + F F F F AD AC ABr r r r0 666 , 0 666 , 0 333 , 0 923 , 0 307 , 0 230 , 0 600 300 200 = + + + k F k F j F i F k F j F i F k j i AD AD AD AC AC ACr rr rrr rrr r = 0xF 0 333 , 0 230 , 0 200 = AD AC F F = 0yF 0 666 , 0 307 , 0 300 = + AD AC F F = 0zF 0 666 , 0 923 , 0 600 = + F F F AD AC(I)(II)(III)Soluo do Exerccio 1Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo das equaes:Substituindo (IV) em (II):Em (IV):Em (III):333 , 0 230 , 0 200 ACAD FF =AC AD F F = 690 , 0 6000 )) 690 , 0 600 ( 666 , 0 ( 307 , 0 300 = + AC AC F F0 459 , 0 400 307 , 0 300 = + + AC AC F F0 766 , 0 100 = + ACF766 , 0100=ACF 57 , 131 =ACFAC AD F F = 690 , 0 60057 , 131 690 , 0 600 =ADF21 , 509 =ADF0 666 , 0 923 , 0 600 = + F F F AD AC0 21 , 509 666 , 0 57 , 131 923 , 0 600 = + F21 , 509 666 , 0 57 , 131 923 , 0 600 + + = F13 , 339 43 , 121 600 + + = F57 , 1060 = FDe (I):(IV)NNNExerccio 2 2) Determine a deformao necessria em cada mola para manter a caixa de 20kg na posio de equilbrio. Cada mola tem comprimento de 2m sem deformao e rigidez k = 300N/m.Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicaj F F OA OAr r =i F F OB OBr r =k j i rOCrr rr12 4 6 + + =2 2 212 4 6 + + =OCr 14 =OCr14 12 4 6 k juOCrrrr + +=k j i uOCrr rr857 , 0 285 , 0 428 , 0 + + =OC OC OC u F F rv =) 857 , 0 285 , 0 428 , 0 ( k j i F F OC OCrr r v+ + =) 857 , 0 285 , 0 428 , 0 ( k F j F i F F OC OC OC OCrr r v + + =) 81 , 9 20 ( k W r r =) 2 , 196 ( k W r r =Determinao das Foras :Peso:Cabo OA:Vetor posio:Mdulo do vetor posio:Vetor unitrio:Vetor Fora AB:Cabo OB:Cabo OC:NNNNmmSoluo do Exerccio 2Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaCondio de equilbrio:Sistema de equaes: = 0 Fr0 = + + + W F F F OC OB OAr r r r0 ) 2 , 196 857 , 0 285 , 0 428 , 0 = + + + k k F j F i F i F j F OC OC OC OB OAr rr r r r = 0xF 0 428 , 0 = + OC OB F F = 0yF 0 285 , 0 = + OC OA F F = 0zF 0 2 , 196 857 , 0 = OCF(I)(II)(III)Soluo do Exerccio 2Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo das equaes:Em (II):Em (I):De (III):Nm N857 , 0 2 , 196=OCF93 , 228 =OCF0 93 , 228 285 , 0 = + OAF24 , 65 =OAF0 93 , 228 428 , 0 = + OBF98 , 97 =OBFNDeformao da Molas:OB OB s k F =OBs = 300 98 , 9730098 , 97=OBs326 , 0 =OBsOA OA s k F =OAs = 300 24 , 6530024 , 65=OAs217 , 0 =OAsMola OA: Mola OB:mExerccios PropostosAula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e o poste, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso da luminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atua alongo de seu prprio eixo. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de 300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD e AE e a fora na parte AB do cabo para a condio de equilbrio. A fora em cada escora atua ao longo do seu prprio eixo. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada uma das trs escoras para suportar o bloco de 500kg.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) O vaso suportado pelos cabos AB, AC e AD. Determine a fora que atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d = 2,5m.Mecnica TcnicaPrxima Aula Avaliao 1.Aula 8Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 9 Avaliao 1Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesAvaliao 1 Matria da Prova: Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs DimensesAula 9Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaPrxima Aula Momento de uma Fora. Problemas em Duas Dimenses. Formulao Escalar para Clculo de Momentos.Aula 9Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 10 Momento de uma Fora, Formulao EscalarProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Momento de uma Fora. Formulao Escalar. Momentos em Sistemas Bidimensionais.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento de uma Fora - Definio O momento de uma fora em relao a um ponto ou a um eixo, fornece uma medida da tendncia dessa fora provocar a rotao de um corpo em torno do ponto ou do eixo. Para problemas em duas dimenses mais conveniente se utilizar uma formulao escalar e para problemas em trs dimenses a formulao vetorial mais conveniente.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento de uma Fora - Definio Quanto maior a fora ou a distncia (brao de momento), maior o efeito da rotao. A tendncia de rotao tambm chamada de torque, momento de uma fora ou simplesmente momento.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExemplos de MomentoAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento Eixo z Momento Eixo x No h momento no tuboFormulao Escalar para Momento Momento uma grandeza vetorial, possui intensidade direo e sentido.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicad F MO =Conveno de sinais:Segue a regra da mo direitaRotao no sentido horrio Momento negativoRotao no sentido anti-horrio Momento positivoMomento Resultante de um Sistema de Foras CoplanaresAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = d F MROExerccio 1 1) Determine o momento da fora em relao ao ponto O em cada uma das barras mostradas.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicad F MO =75 , 0 50 =OM5 , 37 =OMNmd F MO =2 100 =OM200 =OM NmCaso (a) Caso (b)Exerccio 2 2) Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontos A, B, C e D.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicad F MC =0 800 =CM0 =CMd F MD =5 , 0 800 =DM400 =DMd F MB =5 , 1 800 =BM1200 =BM Nmd F MA =5 , 2 800 =AM2000 =AM NmNmExerccios PropostosAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostrada em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Determine o momento da fora de 200N em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Determine o momento da fora de 400N em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) A chave de boca utilizada para soltar o parafuso. Determine o momento de cada fora em relao ao eixo que passa atravs do ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostrada em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaPrxima Aula Princpio dos Momentos. Regras do Produto Vetorial. Momento em Sistemas Tridimensionais.Aula 10Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 11 Momento de uma Fora, Formulao VetorialProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Regras do Produto Vetorial. Princpio dos Momentos. Momento em Sistemas Tridimensionais.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento de uma Fora Anlise Vetorial O momento de uma fora em relao a um ponto pode ser determinado atravs da aplicao das regras de produto vetorial. A regra do produto vetorial para o clculo de momentos geralmente aplicada para sistemas em trs dimenses.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaF r M OA Orrr =Princpio dos Momentos Conhecido como teorema de Varignon. O teorema estabelece que o momento de uma fora em relao a um ponto igual a soma dos momentos dos componentes das foras em relao ao mesmo ponto.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) ( ) ( 2 1 F r F r MOrrrrr + =Regras do Produto Vetorial O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor Ce matematicamente a operao escrita do seguinte modo:Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaB A C r r r =Formulao Vetorial CartesianaAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicaz y xz y xB B B A A A k j iB Arr rr r= z y xz y xF F F r r r k j iF rrr rrr= j i k i k j k j ir rrrrrrr r= = = i j k k i j j k ir rrrr rrrr = = = 000= = = k k j j i ir rr rr rExerccio 1 1) Determine o momento da fora F em relao ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak j i rOArr rr4 7 3 + =F r M OA Orrr =) 20 30 60 ( ) 4 7 3 ( k j i k j i MOrr rrr r r + =i j i k j k MOr r rrrr r120 240 140 420 60 90 + + + + =k j i MOrr r r510 180 260 + + =Vetor Posio:Clculo do Momento no Ponto A:NmmExerccio 2 2) O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa fora em relao ao suporte no ponto A.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak j i rCBrr rr) 0 2 ( ) 4 3 ( ) 3 1 ( + + =k j i rCBrr rr2 1 2 + =2 2 22 1 2 + + =CBr 3 =CBr3 2 1 2 k j iuCBrr rr + =k j i uCBrr rr666 , 0 333 , 0 666 , 0 + =CBu F F rv =) 666 , 0 333 , 0 666 , 0 ( 60 k j i F rr r v+ =) 40 20 40 ( k j i F rr r v+ =) 40 20 40 ( ) 2 3 1 ( k j i k j i M Arr rrr r r+ + + =i j i k j k M Ar r rrrr r40 80 120 120 40 20 + + + =k j i M Arr r r100 120 160 + =2 2 2100 120 160 + + =AM 224 =AMVetores Posio:Mdulo do Vetor Posio:Vetor Unitrio:Vetor Fora:Clculo do Momento no Ponto A:NmNmNmmmmF r M AB Arrr =k j i rABrr rr2 3 1 + + =j i rACr rr4 3 + =Exerccios PropostosAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) Determine o momento da fora F em relao ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) O basto curvado se estende no plano x-y e tem uma curvatura de 3m. sabendo que a fora F igual a 80N, determine o momento dessa fora em relao ao ponto o.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) A fora N, atua na extremidade da viga. Determine o momento dessa fora em relao ao ponto A.Mecnica Tcnica) 600 300 600 ( k j i F rr r r + =Exerccios PropostosAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) A estrutura mostrada na figura est sujeita a uma fora de 80N. Determine o momento dessa fora em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) A escora AB de uma comporta de 1m de dimetro exerce uma fora de 450N no ponto B. Determine o momento dessa fora em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaPrxima Aula Momento em Relao a um Eixo Especfico. Momento de um Binrio.Aula 11Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 12 Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um BinrioProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Momento em Relao a um Eixo Especfico. Momento de um Binrio.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento em Relao a um Eixo Especfico Determina-se o momento da fora em relao a um ponto do sistema e depois se realiza a projeo sobre o eixo que se deseja a partir do produto escalar. A soluo contempla duas etapas, um produto vetorial seguido de um produto escalar.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMomento em Relao a um Eixo Especfico Formulao MatemticaAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica) ( F r u M OA a arr r =z y xz y x a a a aF F F r r r k j ik u j u i u Mrr rrr r + + = ) (z y xz y xaz ay axaF F F r r r u u uM =Calcular o DeterminanteExerccio 1 1) A fora F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa fora em relao ao eixo x.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaVetor Posio:k j i rOArr rr6 4 3 + + =) 10 20 40 ( k j i F rr r v+ + =i uxrr=) ( F r u M OA x xrr r =z y xz y xxz xy xxxF F F r r r u u uM =10 20 40 6 4 3 0 0 1 =xM2040403110 20 40 6 4 3 0 0 1 =xM)] 20 3 0 ( ) 40 6 0 ( ) 10 4 1 [( )] 0 3 10 ( ) 1 6 20 ( ) 0 4 40 ( [ + + + =xM] 0 0 40 [ ] 0 120 0 [ + =xM ] 40 120 [ + =xM 80 =xMVetor Unitrio:Vetor Fora:Soluo do Determinante:Momento em Relao ao Eixo x:NmmNMomento de um Binrio Um binrio definido como duas foras paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por um distncia d. O efeito de um binrio proporcionar rotao ou tendncia de rotao em um determinado sentido.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaFormulao Matemtica de um BinrioAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicad F M = F r M rrr =Formulao Escalar: Formulao Vetorial:Binrios Equivalentes Dois binrios so ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois binrios obtido pela soma dos binrios.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = ) ( d F MR) ( = F r MRrrrNotao Escalar:Notao Vetorial:Exerccio 2 2) Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binrio por um equivalente, composto por um par de foras que atuam nos pontos A e B.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicad F M =6 , 0 40 = M24 = MABdMF =2 , 024= F120 = FMomento do Binrio:NmClculo das Foras:NExerccios PropostosAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) A barra mostrada na figura suportada por dois mancais em A e B. Determine o momento MABproduzido por N que tende a girar a barra em torno do eixo AB.Mecnica Tcnica) 300 200 600 ( k j i F rr r r + =Exerccios PropostosAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Substitua os dois binrios que atuam na estrutura por um nico binrio resultante.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) As extremidades da chapa triangular esto sujeitas a trs binrios. Determine a dimenso d da chapa de modo que o momento de binrio resultante seja 350Nm no sentido horrio.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) O redutor de velocidade est sujeito ao binrio mostrado na figura. Determine o momento de binrio resultante especificando sua intensidade e os ngulos coordenados diretores.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) As engrenagens esto sujeitas aos momentos de binrio mostrados na figura. Determine a intensidade do momento de binrio resultante e especifique seus ngulos coordenados diretores.Mecnica TcnicaPrxima Aula Reduo de um Sistema de Cargas Concentradas. Sistemas Equivalentes de Foras e Momentos.Aula 12Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 13 Sistemas Equivalentes de Cargas ConcentradasProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Reduo de um Sistema de Cargas Concentradas. Sistemas Equivalentes de Foras e Momentos.Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSistema Equivalente Representa um sistema no qual a fora e o momento resultantes produzam na estrutura o mesmo efeito que o carregamento original aplicado.Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaReduo de um Sistema de Foras Coplanares Converter o sistema de foras aplicadas na estrutura em uma nica fora resultante e um momento atuantes em um determinado ponto.Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica= x Rx F F= y Ry F F = M MRExerccio 1 1) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica fora resultante e um momento atuante no ponto A. Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica= x Rx F F = 45 cos 400 100RxF8 , 382 =RxF 8 , 382 =RxF= y Ry F F = 45 400 600 sen FRy8 , 882 =RyF 8 , 882 =RyF2 2) ( ) ( Ry Rx R F F F + =2 2) 8 , 882 ( ) 8 , 382 ( + =RF962 =RF|||

\|=RxRyFFarctg ||

\|=8 , 382 8 , 882arctg = 6 , 66 Clculo da fora resultante:No eixo x:No eixo y:NN NNNDireo da fora resultante:Soluo do Exerccio 1Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica= A RA M M3 , 0 ) 45 cos 400 ( 8 , 0 ) 45 400 ( 4 , 0 600 0 100 = sen MRA551 =RAM551 =RAMMomento resultante:NmNmSistema equivalente:Exerccio 2 2) A estrutura mostrada na figura est submetida a um momento M e as foras F1e F2. Substitua esse sistema por uma nica fora e um momento equivalente atuante no ponto O.Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnicak F r r8001 =CBu F F rr = 2 2 |||

\| =CBCBrrF F rr2 2j i rCBr rr1 , 0 15 , 0 + =2 21 , 0 15 , 0 + =CBr180 , 0 =CBr|||

\| + =180 , 0 1 , 0 15 , 03002 j iF r rr( ) j i F r r r555 , 0 833 , 0 3002 + =j i F 5 , 166 9 , 2492 + = r rk j M rr r||

\| +||

\| =5350054500k j M rr r300 400 + =Determinao dos vetores de Fora e Momento:Fora 1Fora 2Vetor PosioMdulo do Vetor PosioMomentoNNNmmmSoluo do Exerccio 2Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDeterminao da Fora Resultante:= F FRr r2 1 F F FRr r r+ =j i k FRr rr r5 , 166 9 , 249 800 + = k j i FRrr r r800 5 , 166 9 , 249 + == M MROr r) ( ) ( 2 1 F r F r M M OB OC ROrrrrr r + + =k rOCrr1 = k j i rOBrr rr1 1 , 0 15 , 0 + + =| | | | ) 5 , 166 9 , 249 ( ) 1 1 , 0 15 , 0 ( ) 800 ( ) 1 ( ) 300 400 ( j i k j i k k k j MROr rrr rr r rr r+ + + + + + =) 5 , 166 9 , 249 99 , 24 99 , 24 ( 0 ) 300 400 ( i j k k k j MROr rr r rr r + + + + =) 5 , 166 9 , 249 300 400 ( i j k j MROr rrr r + =) 300 9 , 649 5 , 166 ( k j i MROrr r r+ =NDeterminao do Momento Resultante no Ponto O:NmmmVetor Posio:Exerccios PropostosAula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) A viga est submetida a um sistema de foras coplanares. Determine a intensidade o sentido e a localizao de uma fora equivalente ao sistema de foras em relao ao ponto E. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) A placa mostrada na figura est submetida a quatro foras. Determine a fora resultante equivalente e especifique sua localizao (x, y) sobre a placa. Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica fora resultante e um momento equivalentes no ponto A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica fora resultante. Especifique onde a fora atua, tomando como referncia o ponto B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) A laje da figura est submetida a quatro pilares com cargas. Determine a fora resultante equivalente e especifique sua localizao (x, y) sobre a laje. Considere que F1= 30kN e F2= 40kN.Mecnica TcnicaPrxima Aula Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas.Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 14 Sistemas Equivalentes de Cargas DistribudasProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas.Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSistema de Cargas DistribuidasAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica A intensidade da fora resultante equivalente a soma de todas as foras atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada por integrao, uma vez que existem infinitas foras atuando sobre o sistema. A fora resultante igual a rea total sob o diagrama de carga.A dA dx x w F A LR = = = ) (Localizao da Fora ResultanteAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica A localizao da linha de ao da fora resultante em relao ao eixo x pode ser determinada pela equao de momentos da fora resultante e da distribuio de foras em relao ao ponto O. A fora resultante tem uma linha de ao que passa pelo centride da rea definida pelo diagrama de carregamento. = =AALLdAdA xdx x wdx x w xx) () (Exemplo de Carregamento DistribudoAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccio 1 1) Determine a intensidade e a localizao da fora resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica= F FR= AR dA F = 20 2) 60 ( dx x FR203360

= xFR

=303260 3 3RF3860 =RF160 =RFDeterminao da fora resultante:NSoluo do Exerccio 1Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica =AAdAdA xx160 ) 60 (20 2 = dx x xx160 ) 60 (20 3 = dx xx160460 204

=xx160 404260 4 4

= x4 16016 60= x1604 60 = x5 , 1 = xLocalizao da fora resultante:mExerccio 2 2) Um carregamento distribudo com p = 800x Pa atua no topo de uma superfcie de uma viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a localizao da fora resultante equivalente.Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica2 , 0 ) 800 ( = x w ) 160 ( x w == AR dA F2h bFR =21440 9=RF6480 =RFDeterminao da fora resultante:P/ x = 9m tem-se que w = 1440N/mNSoluo do Exerccio 2Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica||

\| = 9319 x6 = xLocalizao da fora resultante: Pelo Centride do tringulo:mExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) O suporte de alvenaria gera a distribuio de cargas atuando nas extremidades da viga. Simplifique essas cargas a uma nica fora resultante e especifique sua localizao em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 6) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 7) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto A.Mecnica TcnicaExerccios Propostos 8) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante equivalente e especifique sua localizao sobre a viga AB medido em relao ao ponto A.Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaPrxima Aula Apoios Submetidos a Foras Bidimensionais. Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Isostticas.Aula 14Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 15 Reaes de Apoio em Vigas e EstruturasProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Apoios Submetidos a Foras Bidimensionais. Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Isostticas.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaEquaes de Equilbrio da Esttica Sistema BidimensionalAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF = 0yF = 0 MTipos de Apoios 1) Rolete ou Apoio Mvel. Possui apenas uma incgnita, a reao uma fora que atua perpendicularmente superfcie do ponto de contato.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaTipos de Apoios 2) Articulao ou Pino. Possui duas incgnitas, as reaes so os dois componentes da fora resultante e atuam paralela e perpendicular superfcie do ponto de contato.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaTipos de Apoios 3) Apoio Fixo ou Engastamento. Possui trs incgnitas, as reaes so os dois componentes da fora resultante que atuam paralela e perpendicular superfcie do ponto de contato e um momento.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExemplos de ApoiosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDiagrama de Corpo Livre Analogia Prtica/TericaAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaDiagrama de Corpo Livre Analogia Prtica/TericaAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccio 1 1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e C.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1 Equilbrio de momentos em relao ao ponto A.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaRAVRCV = 0AM0 4 2 5 = + CVR410=CVR 5 , 2 =CVR = 0yF0 5 = + CV AV R R5 , 2 5 =AVR5 , 2 =AVR Equilbrio de foras em relao ao eixo y.kNkNExerccio 2Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica 2) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Soluo do Exerccio 2 Equilbrio de momentos em relao ao ponto B.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica Equilbrio de foras em relao ao eixo y.NN Diagrama de Corpo Livre. = 0BM0 7 2 , 0 45 cos 600 5 45 600 2 100 = + yA sen7 2 , 0 45 cos 600 5 45 600 2 100 + = senAy319 =yA = 0yF0 45 600 200 100 = + sen B A y yy y A sen B + + = 45 600 200 100319 45 600 200 100 + + = sen By405 =yB = 0xF 0 45 cos 600 = xBxB = 45 cos 600 424 =xB Equilbrio de foras em relao ao eixo x.NExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica 1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios.Exerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e C.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 3) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 4) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 5) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 6) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 7) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 8) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 9) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 10) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 11) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e D.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 12) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e C.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 13) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 14) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 15) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 16) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 17) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e C.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 18) Para a estrutura mostrada na figura determine as reaes nos apoios A e B.Mecnica TcnicaPrxima Aula Equilbrio do Corpo Rgido em Duas Dimenses. Equilbrio do Corpo Rgido em Trs Dimenses.Aula 15Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaMecnica TcnicaAula 16 Equilbrio do Corpo Rgido em Duas e Trs DimensesProf. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Corpo Rgido em Duas Dimenses. Equilbrio do Corpo Rgido em Trs Dimenses.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaEquaes de Equilbrio da Esttica Sistema BidimensionalAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF = 0yF = 0 MTipos de Apoios 1) Rolete ou Apoio Mvel. Possui apenas uma incgnita, a reao uma fora que atua perpendicularmente superfcie do ponto de contato.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaTipos de Apoios 2) Articulao ou Pino. Possui duas incgnitas, as reaes so os dois componentes da fora resultante e atuam paralela e perpendicular superfcie do ponto de contato.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaTipos de Apoios 3) Apoio Fixo ou Engastamento. Possui trs incgnitas, as reaes so os dois componentes da fora resultante que atuam paralela e perpendicular superfcie do ponto de contato e um momento.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExemplos de ApoiosAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaExerccio 1 1) Determine os componentes horizontal e vertical das reaes no pontos A e B para a viga mostrada na figura a seguir.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 1Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaEquaes de Equilbrio: = 0xF0 45 cos 600 = xB424 =xB = 0BM0 ) 7 ( ) 2 , 0 45 cos 600 ( ) 5 45 600 ( ) 2 100 ( = + yA sen72236=yA319 =yA = 0yF0 200 100 ) 45 600 ( 319 = + yB sen405 =yBNNNEquaes de Equilbrio Sistemas TridimensionaisAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica===000zyxFFF===000zyxMMMEquilbrio de Foras:Momentos:Apoios de Sistemas TridimensionaisAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaModelos de Apoios TridimensionaisAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaJunta EsfricaMancal de EncostoArticulaoMancal SimplesExerccio 2 2) O molinete mostrado na figura apoiado por um mancal de encosto em A e um mancal simples em B, que esto adequadamente alinhados no eixo. Determine a intensidade da fora vertical P que deve ser aplicada ao cabo da manivela para manter em equilbrio um balde de 100kg. Calcule tambm as reaes nos mancais.Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica TcnicaSoluo do Exerccio 2Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xM0 ) 30 cos 3 , 0 ( ) 1 , 0 981 ( = P =30 cos 3 , 0 1 , 98P 6 , 377 = P = 0yM0 ) 4 , 0 6 , 377 ( ) 8 , 0 ( ) 5 , 0 981 ( = + + zA8 , 0 04 , 151 5 , 490 =zA3 , 424 =zA = 0zM0 ) 8 , 0 ( = yA0 =yAEquaes de Equilbrio:NNSoluo do Exerccio 2Aula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecnica Tcnica = 0xF0 =xA = 0yF0 = + y y B A0 0 = + yB0 =yB = 0zF0 981 = + P B A z z0 6 , 377 981 3 , 424 = + zB3 , 934 =zBEquilbrio de Foras:NExerccios PropostosAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 1) A haste mostrada na figura conectada por um pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo apoio liso em B. Calcule os componentes horizontal e vertical da reao no pino A.Mecnica TcnicaExerccios PropostosAula 16Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues 2) A chave de boca mostrada na figura utilizada para apertar o parafuso em A. Se a chave no gira quando a carga aplicada ao seu cabo, determine o momento e a fora da chave aplicados ao parafuso. Mecnica TcnicaExerccios Propostos