Escultura andarilha de Theo JansenProf. Dr. Newton Landi GrilloMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo1SUMRIO1. Vetores e Escalares1.1 Vetores ................................................................................................................. 41.2 Adio de Vetores ............................................................................................. 41.3 Subtrao de Vetores ......................................................................................... 51.4 Decomposio de Vetores ................................................................................. 61.5 Escalar ............................................................................................................... 71.6 Multiplicao de um Escalar por um Vetor ....................................................... 71.7 Sistemas de Coordenadas .................................................................................. 81.8 Algumas Relaes Trigonomtricas .................................................................. 91.9 Notao de Vetor Expresso no Plano ................................................................ 111.10 Produto Vetorial .............................................................................................. 111.11 Produto Escalar ................................................................................................ 121.12 Vetor no Plano: Notao Complexa .............................................................. 132. Mecanismos2.0 Definies ........................................................................................................ 142.1 Noes Bsicas Sobre Mecanismos ................................................................ 152.2 Tipos de Movimentos no Plano ....................................................................... 162.3 Juntas Cinemticas .......................................................................................... 172.4 Graus de Liberdade ......................................................................................... 182.5 Inverso Cinemtica ........................................................................................ 213. Mecanismos Elementares3.1 Definies ......................................................................................................... 233.2 Mecanismo de Quatro Barras ........................................................................... 243.3 Regra de Grashof .............................................................................................. 253.4 Fase de Ponto Morto ......................................................................................... 273.5 ndices de Mrito .............................................................................................. 273.6 Aplicaes e Configuraes de Mecanismos Articulados ................................ 303.7 Noes Sobre Metodologia de Projeto ............................................................. 33Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo24. Posio e Deslocamento4.1 Deslocamento Absoluto .................................................................................... 384.2 Deslocamento Relativo ..................................................................................... 384.3 Mtodos Analticos para a Determinao de Posies ..................................... 414.3.1 Anlise de Posio de um Mecanismo Biela-Manivela .................... 414.3.1.1 Mtodo Algbrico ............................................................... 414.3.1.2 Mtodo da Notao Complexa ............................................ 424.3.2 Anlise de Posio de um Mecanismos de Quatro Barras ................ 454.3.2.1 Mtodo da Notao Complexa ............................................ 455. Velocidades em Mecanismos Articulados5.1 Regra da Cadeia para Derivadas ....................................................................... 485.2 Velocidade Angular .......................................................................................... 505.3 Equao de Velocidade Relativa ...................................................................... 515.4 Mtodos para a Determinao de Velocidades em Mecanismos ..................... 525.4.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela Manivela .......... 525.4.2 Mtodo do Polgono de Velocidades ................................................. 545.4.3 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao ................................... 575.4.4 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Quatro Barras ........... 585.4.5 Mtodo do Polgono de Velocidades ................................................. 615.4.6 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao ................................... 636. Aceleraes em Mecanismos Articulados6.1 Equao de Acelerao Relativa ...................................................................... 686.2 Mtodos para a Determinao de Aceleraes em Mecanismos ...................... 696.2.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela Manivela .......... 696.2.2 Mtodo do Polgono de Aceleraes ................................................. 716.2.3 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo de Quatro Barras ...... 756.2.4 Mtodo do Polgono de Aceleraes ................................................. 786.3 Acelerao em um Ponto no Sistema Mvel Acelerao de Coriolis ........... 82Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo37. Anlise Esttica em Mecanismos Articulados7.1 Anlise Esttica................................................................................................. 877.1.1 Momento do Binrio .......................................................................... 887.1.2 Foras e TorquesEstticos em Mecanismos Articulados ................ 907.2 Anlise Dinmica ............................................................................................. 937.2.1 Princpio dAlembert ......................................................................... 937.2.2 Foras e Torques Dinmicos em Mecanismo Articulado Mtodo do Trabalho Virtual ................................................................................ 957.2.3 Determinao do Momento de Inrcia Centro de Percusso .......... 977.2.3.1 Determinao do Perodo de Oscilao do Pndulo Fsico ............ 987.3 Exemplo de Aplicao ...................................................................................... 1028. Bibliografia ................................................................................................ 104 Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo41. VETORES E ESCALARES1.1 VetoresVetoressoentesmatemticosquepossuemmagnitude,direoesentido,equese somam de acordo com a regra do paralelogramo.Intensidade de um vetor: caracterizada por um certo nmero de unidades,Direo de um vetor: definida por sua linha de ao horizontal, vertical, inclinada,Sentidodeumvetor:identificadoporumasetadireita-esquerda,cima-baixo,vice-versa. Exemplo:Umaforade15Newtonsaplicadanahorizontal,daesquerdaparaadireita.A intensidade,omdulooumagnitudedovetorser15N,suadireohorizontal,eseusentido da esquerda para a direita.Umvetorrepresentadograficamenteporumasetapossuindoumaorigemeuma extremidade, ex:Analiticamenteumvetorrepresentadoporumaletraemnegritooucomumaflexa sobre a letra, ex:V ou V .Em nosso texto usaremos a representao em negrito.1.2 Adio de VetoresSendo dados dois vetores A e B, a notao A + B expressa a adio do vetor B ao vetorA,resultando emumterceiro vetorCdenominadovetor resultante. Pararealizarmosa operao utilizamos a regra do paralelogramo:origemextremidadeMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo5A soma de dois vetores A e B pode ser realizada tanto adicionando o vetor A ao vetor BquantoovetorBaovetorAresultandonovetorC.Estapropriedadechamada comutativa.A + B = B + A = CSendo dados trs vetores A, B e C. Para realizarmos a adio entre eles fazemos:(A+B) + C ou A + (B + C) = D. Esta propriedade chamada associativa.As propriedades comutativa e associativa significam que quando se realiza a adio de vriosvetores,oresultadoindependedaordememqueosvetoressosomados.A adio de uma srie de vetorespara se obter um nico vetor denominado composio de vetores, e o resultado da operao chamado vetor resultante.1.3 Subtrao de VetoresA operao de subtrao de vetores definida pela expressoA - B = A + (-B), onde o sinal (-) significa sentido inverso de B.Considere dois vetores A e B. Queremos realizar a operao A B = C C ABABBAA BCABCDA+BB+CMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo6Quando se realiza a soma ou subtrao de vetores, acopla-se a origem de um vetor na extremidade de outro.1.4 Decomposio de VetoresSendo dado um vetor C, determinar dois vetores A e B, tal que A + B = CObtermos infinitas solues. Para obtermos uma nica soluo, necessrio fornecer as direes dos vetores A e B, exemplo, o vetor A na direo ST e o vetor B na direo UV.CCABABABA-BCT SCVUSTUVCABMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo7Em um caso particular quando as componentes A e B do vetor C so perpendiculares entre si, so denominados componentes retangulares de C.1.5 EscalarUm escalar qualquer grandeza que pode ser especificada por um nmero real. So simplesmente nmeros positivos, negativos ou nulos utilizados na especificao de grandezas como tempo, temperatura, energia, volume, comprimento, etc.1.6 Multiplicao de um Escalar por um VetorConsiderandoasomadetrsvetores:A+A+A.Estasomapodesersimplificada escrevendo-se3A,queamultiplicaodeumescalarporumvetor.Chamandoderumescalar, oprodutorAdefineoutrovetorquesernuloserforzero,etersentido contrrio de A se o escalar r for negativo.A diviso de um vetor por um escalar equivale multiplicao do vetor pelo inverso do escalar(1/r).Seoescalarforigualaomdulodovetor,oresultadodaoperao denomina-se vetor unitrio, cuja grandeza igual a 1, podendo ser positivo ou negativo, indicando somente direo e sentido.rRr =onder = vetor unitrioR = vetorr = escalar, o qual possui a mesma direo e sentido de RCAAB BMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo81.7 Sistemas de CoordenadasEmalgunssistemasdereferncia,sonormalmenteutilizadoscertossmbolospara designarvetoresunitriosassociadosaoseixosdereferncia.Nosistemade coordenadascartesianosretangulares,oternodevetoresk j i , , ounanotaoi,j, kdefine as direes X, Y, Z respectivamente.Considere um ponto A no espao com coordenadas xa, ya, za definindo sua posio em relao origem do sistema de coordenadas O. A posio de A expressa por: A = xa i + ya j + zakO mdulo do vetor A dado por2 2 2a a az y x A + + =kXYZij-i-j-k OAyajza kxaiXYZMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo9Os cossenos diretores de A socos = Axacos = Ayacos = Aza1.8 Algumas Relaes TrigonomtricasConsidereotringuloescaleno;suasgrandezaspodemserencontradaspelasleisdos senos e dos cossenosLei dos cossenos:a2 = b2 + c2 2bc cosb2 = a2 + c2 2ac cosc2 = a2 + b2 2ab cosLei dos senos:csenbsenasen = =Considere o tringulo retnguloa = hipotenusa a2 = b2 + c2, portanto,a = 2 2c b +b = cateto adjacente, b = a cosc = cateto oposto, c = a sen abcabcMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo10O ngulo encontrado atravs da relao entre seno e cosseno:bctg = A medida de uma circunferncia dada por 2.r,A medida de um arco (S) de um circulo dado por S=.r, onde (rad)ConsidereduasretasparalelasenocoincidentesAAeBBearetainclinadaCC, sendo e vrtices. Tomando as anlises em funo dos ngulos , teremosCA = AC : ngulos opostos pelo vrtice,CA = CB: ngulos correspondentes,AC = CB: ngulos alternos internos,CA = BC: ngulos alternos externosr r SA AB BCC Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo111.9 Notao de Vetor Expresso no PlanoConsidereumvetorAexpressonoplanocartesiano,equeremosdecomp-loemduas coordenadas cartesianas retangularesNotao retangular de A: A =A cos i + A sen j( soma de vetores)Notao polar de A: A = AZ. O ngulo medido a partir do eixo X, tomado positivo no sentido anti-horrio (s.a.h.), e negativo quanto tomado no sentido horrio (s.h.).A determinao do ngulo dada pela razo entre o termo em j pelo termo em i: = tg-1cos AAsenQuandorealizamosasomadevetoresexpressosnanotaoretangular,somam-seos termos referentes aos respectivos vetores unitrios: i + i, j + j,k + k.1.10 Produto Vetorial Produto Entre Dois VetoresConsidere dois vetores A e B no plano, formando um ngulo entre eles. A resultante doprodutoentreosvetoresserumterceirovetorCcujalinhadeao(direo) perpendicular ao plano formado pelos vetores A e B, de mdulo dado por: C = ABsen,esentidodadopelaregradamodireita.Rotaodenosentidoanti-horriopositivo+ , e sentido horrio negativo- -jji-iA XYA cos iA sen jAMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo12:vetorunitrio,direoperpendicularaoplanoformadoporAeB.Considerandoo sistema de coordenadas cartesianas e considerando sen00 = 0 e sen900 = 1, teremos:i x i = j x j = k xk = 0 (sen00 = 0)i x j = kj x i = -k sen 900 = 1j x k = ii x k = -jk x i = j k x j = -i1.11 Produto Escalar entre Dois VetoresO produto escalar entre dois vetores A e B nos d um escalar c obtido pela expresso:c = A.B = AB cos Sendo cos 00 = 1 e cos 900 = 0, ento:i . j = j . k = k . i = 0,i . i = j . j = k . k = 1kXYZij-i-j-kABC = A.B sen C = AxBMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo131.12 Vetor no Plano Notao ComplexaTal como vimos, a representao vetorial no plano requer duas componentes horizontal evertical.Qualquervetornoplanoxeypodeserrepresentadocomoumnmero complexo;A = a + ib,onde i =1 a e b denotam as componentes x e y do vetor A, tambmdenominados as partes real e imaginria do vetor AA = mdulo do vetor A = argumento ou ngulo entre o vetor e o eixo XO vetor A pode ser escrito como:A = Aei = A cos + iAsen A = 2 2b a + = tg-1abX RealY ImaginrioabA = a + ib = AeiMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo142. MECANISMOS 2.0 Algumas definies Ummecanismoumconjuntodeelementos demquinasligadosdeformaa produzir ummovimentoespecfico.Podemsersubdivididosconformesuasaplicaes: mecanismoscomelementosmecnicos,hidrulicos,pneumticos,eltricosou combinados.Nosso interesse localiza-se nos mecanismos com elementos mecnicos, os quais podem ser subdivididos, de uma maneira geral, em:- Mecanismosdemovimentouniforme:Engrenagens,rodasdeatrito,de acoplamento flexvel ( correias, correntes, etc.),- Mecanismosdemovimentoperidico:mecanismosdebarras,mecanismosde cames.Osmecanismosdemovimentouniformesocomumentefornecidoscomounidades completasdemontagem.Seuestudocinemticomaissimples,eseusproblemasde aperfeioamento localizam-se nos materiais e na manufatura.Os mecanismos de movimento peridico fazem parte integrante de uma mquina, e no sofornecidoscomounidadespr-fabricadasesimprojetados,devidoaofatodas exignciasvariaremdeacordocomascircunstncias,decasoacasodeprojeto. Distingue-se,nestecaso,omecanismode4barras,tambmchamadodequadriltero articulado, pois o mais utilizado devido sua simplicidade e robustez. ACinemticaoestudodomovimentoindependentementedasforasqueo originaram, portanto, as peas so consideradas corpos rgidos desconsideram-se suas deformaes. Na cinemtica estuda-se a posio, geometria, deslocamento (translao e rotao), velocidade e acelerao.Na Cinemtica Aplicada estuda-se a aplicao dos conceitos da Cinemtica na Sntese e Anlise dos Mecanismos. Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo15A Sntese Cinemtica, ou Sntese Dimensional, considera a determinao da geometria bsicadaspartesconstituintesdeummecanismo,necessriaparaarealizaodeuma transmisso ou transformao especfica do movimento. Pressupe basicamente:- DeslocamentosOdeslocamentorepresentaamudanadeposio, independentementedocaminhopercorrido.Distinguem-seosdeslocamentos lineares e angulares.- Trajetrias A trajetria representa as posies sucessivas de um ponto mvel, ou seja, o caminho (lugar geomtrico) deste ponto traado no plano fixo.NaAnliseCinemticaodeslocamentojnomaisconsideradodeordem exclusivamentegeomtricapoisotempointroduzidocomoumnovoparmetro, resultando em duas novas grandezas cinemticas: a velocidade e a acelerao.A disciplina Mecnica Aplicada abrange os contedos de Cinemtica dos Mecanismos e DinmicadasMquinas,ondeseincluemoscontedosdeanliseestticaedinmica dos mecanismos, alm de Vibraes Mecnicas. 2.1 Noes Bsicas sobre MecanismosNosmecanismos,oscomponentesquetransmitemforasoumovimentosso denominados ligaes ou pinos, e para que o movimento seja transmitido os elementos devem ser ligados entre si. Oconjuntodoselementosqueestabeleceocontatoentreasdiversasbarrasdeum mecanismochamadojuntacinemticaouparcinemtico.Acomposiodepeas (barras, conexes) ligadasentre siconstitui umacadeia cinemtica, a qualtransforma-se em mecanismo quando uma das peas se torna base (pea fixa).Considereomecanismobiela-manivelacomcorredia,oqualconstitudoporquatro elementos:Oblocoouestruturafixaoupea(1)queocorpoaoqualomecanismo est rigidamente ligado, a manivela (2), pea que imprime movimento ao mecanismo, a biela (3), pea de ligao ou acoplador, e a corredia (4). Essas peas esto unidas por trs juntas de rotao (R12, R23, R34), e uma junta de translao (T14).Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo16Asligaesoubarraspodemserbinrias,ternrias,quaternrias,etc.,conforme possuam dois, trs ou quatro elementos de junta, ex:Quando os diversos componentes de um mecanismo partem de uma posio, descrevem umdeterminadomovimentoeretornamposioinicialpara,destemodo, recomearemamesmatrajetria,diz-sequeomecanismocompletouumciclo,coma duraodeumdeterminadoperododetempo,tendoassumidofases,ouseja,vrias posies instantneas relativas durante o ciclo.2.2 Tipos de Movimentos PlanosNomovimentoplanooubidimensional,aspeasdeummecanismodescrevem movimentos de rotao, translao, composto ou misto.Rotao: Quando todas as partculas do corpo (pea) traam trajetrias em torno de um eixo, passando pelo corpo, chamado eixo de rotao.Pea BinriaR12R2323 R34T1414Pea TernriaPea QuaternriaMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo17Translao:Quando todasaspartculasdocorpo(pea)apresentamumanica trajetria, podendo ser retilnea ou curvilnea.Composto: Quando o corpo apresenta ambos os movimentos.2.3 Juntas CinemticasEm um mecanismo, para que o movimento seja transmitido, necessrio que as barras estejamligadasentresiporjuntasouparescinemticos.Cadatipodejuntatemsuas prpriascaractersticas,asquaisdeterminamotipodemovimentoexistenteentreos corpose,pelocritriodeReuleaux,baseadonotipodecontatoentredoiselementos, elas podem agrupar-se em duas classes: juntas superiores e juntas inferiores.Nas juntas superiores ocontato pontualou linear, comoporexemploo contato entre osdentesdeumpardeengrenagens,entreduasrodasdeatrito,entreorolamentode ABBAretilneaB BAAcurvilneaBVBA VAEixo de rotaoABMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo18agulha e a pista do rolamento, entre o came e o seguidor, etc. Nesses tipos de juntas as superfcies esto sujeitas a tratamento trmico ou de superfcie.Nas juntas inferiores o contato uma superfcie, e as comumente utilizadas so as juntas cinemticasderotao(pinoligandoduasbarrasnasquaisasposiesangulares variam),easdetranslao(cursoremtranslao-movimentodeescorregamento), podendosercitadastambmasjuntasesfricasouglobular(homocintica),helicoidal ou parafuso, etc.Os termos superiores e inferiores derivam-se do fato de que as juntas superiores so de fabricao e constituio de material mais complexas, portanto, mais nobres, superiores, aopassoqueasjuntasinferioressomaisfceisdeseobterem,menosnobres,epor isso, inferiores.2.4 Graus de Liberdade ou de MobilidadeDeumamaneirageral,grausdeliberdade(GDL)sorepresentadospelonmerode coordenadasindependentes,necessriasparaespecificaraposiodeumcorpoou sistema mecnico no plano ou no espao. Podeserdefinidotambmcomoonmerodemovimentosdeacionamentoqueum determinadomecanismonecessita,paraquealocalizaodesuaspeasseja completamente conhecida em relao a um referencial pr-definido. O nmero de graus deliberdades,deumamaneirageral,paraummecanismofechado,podeser determinado pelo critrio de Grubler, onde:GDL = 3(n 1) H 2Ln = nmero de peas,H = nmero de juntas superiores,L = nmero de juntas inferiores.Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo19Revoluta movimento de rotao: 2 barras descrevem movimento de rotao em torno de um pino, L = 1.Prismtico movimento de translao , L = 1a)Mecanismode4barras,4peas,todasbinrias-2peasdescrevemumngulode rotaoem torno de cada articulao (pino).n = 4, H = 0, L = 4 ........ GDL = 1b) Mecanismo biela manivela, 4 peasn = 4, H = 0, L = 4 ( 3 ngulos de rotao + 1 componente de translao)....GDL = 112341234xMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo20c) Mecanismo de retorno rpido, 6 peasn = 6, H= 0, L = 7 ( 6 ngulos de rotao + 1 componente de translao)......GDL = 1d) Mecanismo de retorno rpido plaina limadora, 6 peasn = 6, H = 0, L = 7 ( 5 ngulos de rotao + 2 componentes de translao).......GDL = 1De uma maneira geral, temos:Se GDL) 0, o sistema um mecanismo com GDL graus de liberdade;Se GDL = 0, o sistema uma estrutura estaticamente determinada;Se GDL( 0, o sistema uma estrutura estaticamente indeterminada.1234561123456Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo21e) Estrutura isosttican = 3, H = 0, L = 3 (3 ngulos de rotao) ................ GDL = 0f) Estrutura Hiperesttican = 6, H = 0, L = 8 ( 8 ngulos de rotao - 2 em cada pino) ...............GDL = -12.5 Inverso CinemticaAinversodeummecanismonoalteraomovimentorelativoentreasbarras,mas modifica o movimento absoluto de cada barra relativamente a um referencial fixo. Fixando-seaspeasdiferentesemsequncia,ouseja,invertendoabase,pode-secriar uma variedade de mecanismos com diferentes caractersticas de transmisso. A tcnica til para o desenvolvimento de mecanismos novos ou soluo de problemas da sntese e anlise cinemtica. Pelo fato do mecanismo de quatro barras possuir quatro elementos, significa que h trs inverses possveis, correspondentes fixao das barras 2, 3 e 4, exemplos:12 3123456Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo221234123412341234Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo233. - MECANISMOS ELEMENTARES 3.1 Algumas definiesUmcritriodeclassificaodosmecanismosquetemcomobaseotipode transformaodomovimentoentreosrgos motoremovido.Osmecanismospodem transformar movimento de:- Rotaoemrotaocomoumpardeengrenagens(motoraemovida),apolia motora correia polia movida, mecanismo de 4 barras (manivela balancim), etc.- Rotao em translao como em manivela corredia, came seguidor, morsa (parafuso - garra), etc.- Translaoemtranslaocomoempeasdeslizantesligadasporumabarra, came de translao (perfil inclinado deslizante) e seguidor, etc.Em muitas aplicaes prticas, um nico mecanismo pode no permitir a realizao do efeitocinemticodesejado,nestecaso,procura-secombinarosmecanismosde movimento peridico entre si em composies. Aaplicaodosmecanismostemsidodosmaisvariadospossveis,abrangendo praticamente todos os setores da engenharia mecnica tais como:- Mquinasindustriaiscomoastxteis,asoperatrizes,osmanipuladorese dispositivosdemanufatura,acionadoresdeprensa,deimpresso,de embalagem, etc.- Mquinas e implementos agrcolas,- Veculosautomotivossuspensodianteiraetraseira,sistemadedireo,de embreagem,doacelerador,limpadordeparabrisa,levantadordevidro, dobradias, etc. - Guindastes e mquinas rodovirias, - Aparelhos de biomecnica,- Brinquedo mecanizado,- Utilidades domsticas, etc.Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo243.2 Mecanismo de Quatro Barras ou Quadriltero ArticuladoOmecanismodequatrobarrasomaiscomumeomaissimplesdosmecanismos articulados,sendoqueosdemaismecanismospodemserobtidosapartirdele.Sua principalcaractersticaresidenofatodequeapresentadiferentesrelaesgeomtricas entreasbarras,ediferentesrelaesentreotipodemovimentodeentradaesada. constitudo por quatro barras ou peas, sendo uma fixa (barra 1), uma motora (barra 2), uma intermediria (barra 3) e uma movida (barra 4).Abarra1fixa,aestruturaquesuportaomecanismo.Abarra2denomina-se manivelapoisabarraqueimprimemovimentoaomecanismo,etemmovimentode rotaoemumsentido.Abarra3denomina-seacopladorpoisapeaqueacoplaa manivelasdemaispeasdomecanismo,apresentandomovimentosdetranslaoe rotaonosdoissentidos,eapea4denomina-seosciladoroubarra oscilantequando descrevemovimentoderotaonosdoissentidose,obviamentesemtranslao,pois est articulada estrutura fixa.1234Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo253.3 Regra de GrashofEm projetos de mecanismos busca-se a simplicidade. A menor quantidade de peas que podemrealizarumtrabalhogeralmenteforneceasoluomaisbarataeconfivel,eo mecanismo de quatro barras deve estar entre as primeiras solues propostas. Em geral, a manivela acionada por um motor com movimento contnuo em um nico sentido, descrevendo um ngulo de 3600 em torno de um eixo passando pela articulao comapea1.Paraqueomovimentosecompleteenohajatravamento,achamada regra de Grashof de aplica:paramecanismosdequatrobarrasquedescrevem movimentoplano,seasomados comprimentos das barrasmais curta e mais comprida for inferior ou igual soma dos comprimentosdasduasbarrasrestantes,entoabarramaiscurtapoderodar continuamente, ou seja:S + L s P +QSocomprimentodabarramenor,Locomprimentodabarramaior,PeQsoos comprimentosdasbarrasremanescentes. Osmecanismosqueobedecem aessa relao sochamadosdeMecanismosdeGrashof,eosquenoobedecemsochamadosde Mecanismos de no-Grashof.Quandoumabarrarealizaumarotaocompletaomecanismoatendecondiode Grashof, e a cadeia cinemtica chamada de Classe I. S+L menor que P+Q.S + L ( P +QQuando nenhuma barra capaz de girar totalmente em torno de um pino ou articulao ou junta a equao acima no se aplica, e o mecanismo chamado de no-Grashof, e a cadeia cinemtica chamada de Classe II.S+L maior que P+QS + L) P +QQuando a equao acima se iguala o mecanismo chamado caso especial de Grashof ou de Classe III, e as configuraes so chamadas de dupla manivela.S + L = P +QMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo26SQLPMecanismos de quatro barras de GrashofPL SQMecanismo de manivela barra oscilante Mecanismo de dupla manivelaClasse I Classe IIISQPLMecanismo de dupla barra oscilanteMecanismo de no-Grashof Classe IIMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo273.4 Fase de Ponto MortoNomecanismodequatrobarraspossvel,dadasuaconfigurao,queduasdesuas barras estejam alinhadas uma com a outra, como indica a figura abaixo:Quandoissoocorre,avelocidadeangulardabarra4(4)passaporzeroe,sefor aplicadoummomentona barra 4,(BO4),abarra2(AO2),estarsubmetidasomentea trao ou compresso de forma que ela no sofrer qualquer movimento. Nesta situao omecanismoestarnaposiochamadadepontomorto.Asfasesdepontomorto devem ser evitadas a fim de minimizar esforos nas barras e nas juntas.3.5 ndices de MritoEm um dado mecanismo de quatro barras obedecendo a regra de Grashof, isto , a barra 2completandoumgirode3600,edesconsiderandoasforasdeatritoedeinrcia,a relao entre o conjugado aplicado barra 2 (T2), conjugado de entrada, necessrio para acionarabarra4evenceroconjugadoresistente(T4),estabeleceoconceitode vantagem mecnica (VM), que a razo entre o conjugado resistente e o conjugado de entrada.VM = 24TT= 42O2O4AB2 4Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo28A vantagem mecnica est relacionada com o chamado ngulo de transmisso, o qual medidoentreabarraintermediria(3)eabarramovida(4).Essesconceitossero aplicadosnotpicoAnliseEstticaemMecanismosArticulados,porm, algebricamente, podemos determina-lo: Nomecanismode4barrasabaixo,onguloochamadongulodetransmissoe, aplicando a lei dos cossenos para os tringulos ABD e BCD, teremos: (BD)2 = r12 + r22 2.r1.r2.cos2,(BD)2 = r32 + r42 2.r3.r4.cosIgualando as duas equaes e resolvendo em funo da varivel : = cos-1((

+ +4 32 2 1222124232cos 2r rr r r r r r O ngulo de transmisso () deve estar no intervalo aproximado entre 400 ou 500 e 1400pois, dado que fora deste intervalo as barras intermedirias (3) e movida (4) podem ficar alinhadas,coincidentesentresi,tornandoonguloigualazero,eomecanismose travaria ou emperraria. Alm do mais, ser possvel provar que quando = 900, para um 1T23T4A DBCr1r2r3r42Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo29dadoconjugadoresistente(T4),aplicadonabarra4,aforaexercidanabarra intermediria (3) ser mnima tornando esse ngulo a de melhor vantagem mecnica.QuandoaplicadoumtorqueT2,emesmoantesdequalquermovimentoocorrer, surgirumaforacolinearestticaF34aplicadapelabarra3barra4nopontoB.as componentes de F34 podem ser decompostas nas componentes radial (Fr34) e tangencial (Ft34), decompostas paralela e tangencialmente.OidealseriaquetodaaforaF34produzisseotorquedesadaT4,porm,somentea foratangencialgeraessetorque.AforaradialFr34fornecesomentetraoou compressonabarra4,contribuindocomoatritonajuntaB;porestarazo,ovalor ideal para o ngulo de transmisso () 900. Quandoonguloformenorque450,acomponenteradialmaiorqueacomponente tangencialcomopodeserverificadotrigonometricamente,oquereduz significativamenteavantagemmecnica.Dadoqueomecanismosemovimenta,o ngulo de transmisso varivel e por essa razo, o ngulo de transmisso mnimo para uma boa condio de projeto deve ser maior que 400.Fr34 = F34cosO2O4ABT234 F34Ft34 = F34senT4Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo303.6 Aplicaes e Configuraes de Mecanismos ArticuladosExistemvriasaplicaesemdiferentesconfiguraesdemecanismosarticulados,eo aluno dever buscar na literatura as representaes e as respectivas utilidades, porm, possvel aqui citar algumas especficas:Mecanismo Pisto- Biela-Manivela: Largamente utilizado principalmente em motores de combusto interna e compressores. Transforma o movimento de rotao da manivela em translao do pisto e vice-versa.Mecanismo Biela-Manivela com excentricidade:Existeumaexcentricidadeentreoeixoderotaodamanivelaealinhadeaoda corredia; tambm utilizado como mecanismo de retorno rpido.Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo31Mecanismo Scotch-YokeO mecanismo fornece o movimento harmnico simples, utilizado em bombas a vapor, uma variante do mecanismobiela-manivela onde a manivela tem comprimento infinito transformando-se em uma corredia.Mecanismo de WhitworthEssemecanismoumavariaodainversodomecanismobiela-manivela,ondese considerafixaamanivela.Tantoabarrabquantoabarraddescrevemmovimentode rotaocontnua,sendoconsideradasmanivelas,eacorrediafestcondicionadaao movimentogiratriodamanivelad.frequentementeutilizadaemmquinas ferramentas, em particular em mquinas da industria txtil. Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo32Mecanismo de AvanoMecanismo derivado de um sistema articulado de quatro barras de dupla manivela, onde a barra 2 o rgo motor girando com velocidade angular constante. O cursor 6 move-secomvelocidadeaproximadamenteconstantenamaiorpartedoavano,esermais lentoparaoretornorpidoquandoabarra2giranosentidohorrio.Dentreos mecanismosderetornorpido,onicoquenopossuijuntascinemticasde translao ou deslizantes entre as barras que constituem o mecanismo base.123456O2O4ABCcursoMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo333.7. Algumas Noes Sobre Metodologias de ProjetoUmprojetodeengenhariaenvolvealgumasatividadesdotipodesign(projeto)que significadesignaroumarcar,epodeserdefinidocomoesboar,desenhar,conceber, inventar, planejar uma ao de trabalho, etc. Engineering design (projeto de engenharia) o processo de aplicao de diversas tcnicas e princpios cientficos, com o objetivo de definir um processo ou sistemasuficientemente detalhado para permitir suarealizao, podendo ser simples ou complexo, matemtico ou no matemtico, fcil ou difcil.Osprojetosdeengenharianormalmenteconstituem-seemumproblemano estruturado,isto,identifica-seumanecessidade,algocomoumtipodemquinaa resolverumdeterminadotrabalho.Istoumproblemapoucodefinido,difcildeser resolvido,porisso,necessrioestruturarproblemasdesestruturados.Norton(2010) relaciona etapas de um tipo de metodologia:- Identificao da necessidadeNs precisamos de... Este um problema no estruturado pois indica a necessidade de umamquinapararesolverdeterminadatarefa,oudodesenvolvimentodeum dispositivo a ser acoplado em uma determinada mquina, mas possvel perguntar: Que tipodemquinaoudispositivoseresse?Comoirfuncionar?Quaisseroos elementos mecnicos, eltricos, hidrulicos, etc. necessrios?- Pesquisa preliminarEssaetapasignificaidentificarseoproblemaououtroparecidojfoisolucionado,ou seja,no sereinventaaroda.Seamquinajexistenomercadomaiseconmico compr-la que produzi-la e, alm disso, aprende-se muito na resoluo de um projeto ao estudarumprodutooutecnologiasimilarprocurada,sendocomumoprocessode comprarumproduto,desmonta-loeestuda-lo.Noprocessodepesquisa,ainternet uma fonte muito til assim como publicaes tcnicas e checagem de patentes.- Estabelecimento do objetivoMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo34Umavezentendidooquesequereresolvidoesseproblematerico,necessrio estabelecer oobjetivooqualdeve serconciso,porm,semprevera soluo.Deveser guiadopelavisualizaofuncional,aqualrequeroutroobjetivo:comoprojetarum mododeresolverumadeterminadatarefaestabelecidanosdoisitensanteriores, necessitando para isso pensar, idealizar maneiras de resoluo, ou seja, como o objetivo deveseralcanado,comoselecionaroproblema,comoelepodesersolucionado, realando as solues mais baratas porm efetivas. O projeto final deve ser comparado com o objetivo.- IdealizaoAidealizaoumprocessodifcilpoisenvolveacriatividade.Oprocessocriativo significageraridiassemjulgarsuasqualidades.Todasdevemseracolhidaspois mesmoasmaispfiaspoderogerarnovasidias;noprocessodecriaoemgrupo utiliza-seatcnicadebrainstorming(tempestadedeidias).Trabalhandosozinho, tcnicas de analogias e sinnimos so teis, exemplo: MovaumobjetodopontoAaopontoB.Sinnimosdemoversoempurrar,puxar, deslizar, impelir, jogar, ejetar, pular, transbordar. necessrio, portanto,deixarabrir o espectrodepossibilidadesfsicasparaasoluodatarefa,cumpriroobjetivoaser realizado.- AnliseUma vez estruturado o problema, idealizado a soluo ou a construo do projeto ou te-loesboadomesmoquetemporariamente,necessrioestudarseudesempenho.Das vrias solues pensadascomovrios projetos,sonecessriasaelaboraode itensa fim de comparaes na busca de melhor soluo, sendo necessria a construo de uma matrizdetomadadedecisesutilizandofatoresdeponderaoosquaismedema importnciarelativadoquesito,relacionadoscomoocusto,segurana,desempenho, confiana, ergonomia, etc. em uma linha e, em uma coluna estaro dispostos os projetos ou solues pensadas. Notequeamatrizaserelaboradarelacionandoosfatoresdeponderaoeitensou quesitos so variveis de acordo com o projeto, e h muita literatura disponvel sobre o assunto. Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo35Figura 3.1: Matriz de tomada de decisesCusto Segurana Desempenho Confiana ErgonomiaTotal()Fatorde Ponderao0,xx 0,yy 0,zz 0,uu 0,vv 1,0Projeto 1Projeto 2Projeto 3- SeleoUmavezque, pela anlise, destacou-se umprojetopotencialmente vivel, ele deve ser selecionado para o projeto detalhado, prototipagem e teste.- Projeto detalhado: Inclui a criao de conjuntos completos de desenhos de montagem, desenhosdecadapeautilizadanoprojeto.Osdesenhos dedetalhedevemespecificar as dimenses e o material necessrio para produzir a pea.- Prototipagem: Ocorre que fundamentalmente no se tem certeza se o projeto vivel, correto,sefuncionarcomoprojetadoatquesejamontadoetestado.Emprojetosde mecanismosdebarraspossvelconstruirmodeloscompapeloduroemescalas compatveis para testar os movimentos e as funes do projetado.Teste:Verificaraatuao,verificarofuncionamentoparavincularaeleelementosde instrumentaoparatornarprecisosparmetroscomodeslocamentos,velocidades, aceleraes,foras,torques,temperaturas,etc.,possvelutilizarocomputadorpara monitoramentos de preciso a custos reduzidos.- Relatrio tcnicoA apresentao de idias e resultados est contida no relatrio tcnico. Disciplinas como MetodologiadoTrabalhoCientficoespecificamsuasnormasdeconstruo,asetapas Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo36contendomemorialdeclculoe,tambmalgomuitoimportante,escritosemerros ortogrficos.- UnidadesOsistemadeunidadesutilizadooSistemaInternacional(SI).Aconstante gravitacional aproximadamente 9,81 m/s2, massa, comprimento e tempo so unidades fundamentais e fora uma unidade derivada. Note: em clculos dinmicos no se usa milmetro(mm)esimmetro(m).Emumaequaoescritacorretamente,todasas unidades de cada lado da igualdade devem ser anuladas, caso contrrio, algo deve estar incorreto.Tabela 3.1: Variveis e unidadesVarivel Smbolo Unidade no SIFora F newtons (N)Comprimento l metrosTempo t segundos (s)Massa m quilogramas (kg)Peso W newtons (N)Velocidade v m/sAcelerao a m/s2Pulso j m/s3ngulo graus (o)ngulo radianos (rad)Velocidade angular rad/sAcelerao angular rad/s2Pulso angular rad/s3Torque T N.mMomento de inrcia de massa I N.m.s2Energia E joules (J)Potncia P watts (W)Volume V m3Peso especfico N/m3Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo37Densidade kg/m34. - POSIO E DESLOCAMENTOEmcinemtica,aanlisedodeslocamentorefere-sedeterminaodasposies ocupadasporqualquerumouportodosospontosdeumapeadeummecanismo quando este se move descrevendo um ciclo de operao. Tal anlise necessria para se determinarasposiesangularesdecadabarraparausoposteriornasanlisesde velocidade,aceleraoeforas,ouparatraaratrajetriadeumpontoemumadada pea. Em anlise de deslocamento as peas so rgidas e os comprimentos conhecidos.Corporgido: Aplicando-seumaforaexternaaocorpo,adistnciaentredoispontos, contidos no corpo, permanece constante.Trajetria: Constitui-se nos lugares geomtricos ocupados pelo ponto em movimento.Distnciapercorridapelocorpo:Emumintervalodetempot1at2,ocomprimento medidosobreatrajetria,entreduasposiesreferentesaesseintervalodetempo. Comprimento uma grandeza escalar.Deslocamentodeumponto:umvetorqueexpressaaposiofinaldopontoem relao sua posio inicial.Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo384.1 Deslocamento AbsolutoConsidere um ponto movendo-se no plano, da posio 1 (t = t1) para a posio 2 (t = t2), ao longo de uma trajetria qualquer.R1 e R2: so chamados vetores posio, pois definem as posies do ponto nos instantes 1 e 2 em relao origem do centro de coordenadas X e Y.R: chamado vetor deslocamento.Da figura temos: R2 = R1 + R, portanto, R = R2 R1 (translao)Da figura, = 2 1 ( deslocamento de rotao)XYR2 (t = t2)R1 , (t = t1)RTrajetria12YXMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo394.2 Deslocamento RelativoConsidere um corpo rgido, e localizando dois pontos A e B neste corpo, o qual desloca-se em movimentos de translao e rotao no plano. Queremos descrever uma equao que expresse o deslocamento total do ponto B entre as posies inicial e final.Translao: O corpo desloca-se da posio 1 para a posio 2Rotao:Ocorpodesloca-sedaposio2paraaposio3,girandoemtornodeum eixo que passa pelo ponto A2.Da figura, RB3A2 = RB2A2 + RBA, portanto, RBA = RB3A2 RB2A2Movimentogeral:Ocorpodescreveosmovimentosdetranslaoerotao,eo deslocamento total do ponto B dado por:RB = RB + RBou YXA1B1A2B2RB1A1RB2A2RARB = RAYXA3A2B2B3RB2A2RB3A2RB= RBAMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo40RB = RA + RBA Equao do Deslocamento Relativo. O vetor RBA representa o deslocamento de B em um sistema de coordenadasno rotativo, cuja origem est em A.Emcinemtica,anlisededeslocamentorefere-sedeterminaodasposies ocupadasporalgunsoutodosospontosdebarrasdeumdadomecanismo,oqualse moveatravsdeumciclodeoperao.Talanlisenecessriaparadeterminaras posiesangulares decadabarrapara usoposterioremanlises defora, velocidade e acelerao, ou para traar a trajetria de um ponto acoplado barra.Um mecanismo dito haver completado um ciclo de operao quando move-se atravs de todas as possveis posies e retorna posio original. Qualquer posio antes de se completar um ciclo referida como sendo fase.Paraanlisededeslocamentoassume-sequeocomprimentodetodasasbarrassejam conhecidos,equetodassejamrgidas.Estaanlisepodeserrealizadapormtodos grficososquaisbaseiam-senainterpretaogeomtricadomecanismoeusode desenhoauxiliadoporcomputador,pelomtododanotaovetorial,epormtodos analticos.Autilizaodealgummtodoanalticopossibilitaaconstruode algoritimos para o desenvolvimento de programas de uso computacional.A1B1A3A2B2B3RB= RARB=RBARBYXMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo414.3 Mtodos Analticos para a Determinao de Posies4.3.1 Anlise de Posio de um Mecanismo Biela-ManivelaO problema, para anlise de posio e deslocamento, consiste na localizao dos vrios pontos de interesse do mecanismo, para tanto, deduz-se expresses analticas capazes de expressaraposiodeumdeterminadocorpo,exemplomanivela,ouopontoemum corpo, em funo da configurao geomtrica do mecanismo e do tipo de acionamento.4.3.1.1 Mtodo AlgbricoConsidereomecanismobiela-manivela,epretende-sedeterminaraposiodopisto (corredia) localizada pelo ponto B, o qual representa seu centro de massa. A manivela (barra2)abarra motoragirando emtornodeO2comvelocidadeangularconhecida, tal que: 2t = 2. r13BC O24222r23r3A1Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo42Escrevemosasexpressesatravsdasrelaestrigonomtricasexpressaspelasleisdo senoecosseno,epelasprojeescartesianas.PodemosescreverparaopontoBem relao a O2:r1 = O2C + CB = r2cos2 + r3cos3............................................................................ eq.4.1O mecanismo biela-manivela tal como visto no item 2.4 tem um grau de liberdade, e as coordenadasouvariveis2e3nosoindependentes,ouseja,3dependede2. Podemos tambm escrever:AC = r2sen2 = r3sen3 (lei dos senos)Isolando sen3: sen3 = 32rr sen2Substituindo esta expresso na lei fundamental da trigonometria, sen2 + cos2 = 1, ou, cos =21 sen :cos3 =2233221 senrr ........................................................................................eq. 4.2Inserindo a eq. 4.2 em 4.1, obtemos:r1 = r2cos2 + r32233221 senrr , a qual pode ser reescrita:r1 = r2cos2 + 22223 sen r r...................................................................................eq.4.3onde 2 equivale e pode ser substitudo por 2t4.3.1.2 Mtodo da Notao ComplexaAequao4.3acimapodeserescritaatravsdanotaocomplexa.Comofimde relembrarmos a manipulao complexa, escrevemos:Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo43R = rx + iryR: vetor que representa o nmero complexo,rx e ry: representam respectivamente a parte real e a parte imaginria,i: representa a unidade imaginria tal que i =1 O vetor R representado no espao complexo:O mdulo de R dado por:r =( ) ( )2 2y xr r +O vetor R pode ser escrito em notao complexa e coordenadas polares:R = rcos + isen, ouR = r(cos + isen) = reiDas sries numricas de MacLaurin, temos:ei = 1+ i ...! 7 ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 27 6 5 4 3 2+ + + i i icos = 1- ...! 6 ! 4 ! 26 4 2+ + isen = i - ...! 7 ! 5 ! 37 5 3+ + i i iLembre-se que: 2! (2 fatorial = 2x1)3! (3 fatorial = 3x2x1)4! (4 fatorial = 4x3x2x1).. e assim por diante. O ngulo expresso em radianos.rxY imagryRX RealMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo44Provar que: cos 200 = 0,9396926, e que sen200 = 0,3420201Asbarrasdomecanismobiela-maniveladescritonomtodoalgbricoacimaesto sendo representadas por vetores posio, formando uma cadeia cinemtica fechada.Da figura podemos escrever a soma de vetores:R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0Em notao complexa, r2ei2 + r3ei3 r1ei3 = 0Aplicando as sries de MacLaurinr2(cos2 + isen2) + r3(cos3 + isen3) r1(cos1 + isen1) = 0Separando as partes real e imaginria,r2cos2 + r3cos3 r1cos1 = 0r2sen2 + r3sen3 r1sen1 = 0Dado que 1 = 0, cos1 = 1 e sen1 = 0, reescrevemos:r2cos2 + r3cos3 r1 = 0 ..........................................................................................eq. 4.4r2sen2 + r3sen3 = 0Isolando 3 e inserindo na equao acima com r1 isolado, temos:sen3=232 senrr, onde 3 = arcsen ||.|

\|32 2rsen r ...............................................eq. 4.5podemos escrever 3 atravs da equao fundamental da trigonometriaR12AO2B3R2R3Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo45cos23= 1-sen23,cos3=321 sen , inserindo sen3 da equao 4.5 acima dentro da raiz, teremoscos3 =2223221 senrr ........................................................................................eq. 4.6onde3 = arcos2233221 senrr ....................................................................................eq. 4.7Reescrevendo a eq. 4.4,isolando r1, e inserindo a equao 4.7r1 = r2cos2 + r3cos3, fica:r1 = r2cos2 +22223 sen r r ..................................................................................eq. 4.8Como era de se esperar, a eq.4.3 igual eq. 4.84.3.2 Anlise de Posio de um Mecanismo de Quatro Barras4.3.2.1 Mtodo da Notao ComplexaNestaanliseoscomprimentosdasbarrasr1,r2,r3er4soconhecidos,eoproblema consistenadeterminaodasposiesangularesdasbarras3e4,3e4respectivamente, sendo 2 conhecido.Representandoomecanismoatravsdevetoresposioformandoumacadeia cinemtica fechada, e representando-a pela seguinte equao vetorial:R1 + R2 + R3 + R4 = 0Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo46 = d 3, = d 4Aplicando a lei dos cossenos para o tringulo O2AO4rd2 = r12 + r22 2.r1.r2.cos2O vetor auxiliar Rdpode ser escrito:Rd = R1 + R2Na forma polar complexa:rdeid = r1ei1 + r2ei2Aplicando as sries de MacLaurin e separando as partes real e imaginria,rdcosd = r1cos1 + r2cos2rdsend = r1sen1 + r2sen2Dado que 1 = 1800, cos1 = -1 e sen1 = 0, as duas equaes acima ficam:rdcosd = -r1 + r2cos2rdsend = r2sen2d = arcsen||.|

\|22 senrrdAplicando a lei dos cossenos para o tringulo ABO4, e lembrando que = d 3r42 = r32 + rd2 2.r3.rd.cos(d 3) Resolvendo em funo de 3:O4BAO2Rd, rdR4, r4R3, r3R2, r2R1, r1d432Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo473 = arcos 3242322 r rr r rdd +- dAplicando novamente a lei dos cossenos para o tringulo ABO4, e que = d 4r32 = r42 + rd2 2.r4.rd.cos(d 4). Resolvendo em funo de 4: 4 = arcos 4232422 r rr r rdd ++ d5. VELOCIDADES EM MECANISMOS ARTICULADOSConsiderando o movimento de uma partcula descrevendo uma trajetria qualquer, e localizando dois pontos R1 e R2 referentes aos instantes t1 e t2.Durante o intervalo de tempo, t = t1 t2, o deslocamento da partcula dado pelo vetor deslocamento R = R2 R1.Define-se a sua velocidade mdia durante o intervalo de tempo t como sendo: Vm = tRAAA velocidade instantnea, que a velocidade da partcula em um determinado instante t, chamada somente velocidade, dada por:V =0lim AAAttR= tRAA = dtdR = .R

RR2R1XYR1 (t=t1)R2 (t=t2)trajetriaMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo48Como R um vetor, no limite haver duas convergncias: mdulo e direo, portanto, a velocidade a razo da variao do deslocamento em relao ao tempo.Com o objetivo de definirmos as duas convergncias, vamos recordar alguns elementos matemticos:5.1 Regra da Cadeia para DerivadasConsiderando uma partcula movendo-se em uma trajetria plana e curva:Determina-se sua posio no instante t por meio de equaes que expressam X e Y em funo de t.X = f(t), Y = g(t)Eliminando-se t, podemos escrever:Y = F(X), mas X = f(t)A regra da cadeia para derivadas nos d:Y = F(X): funo diferencivel em x,X = f(t) : funo diferencivel em tPodemos escrever: Y(t) = F[ f(t) ] = g(t)funo diferencivel em t, portanto, Y(t) = F(x).f(t), ou, dtdXdXdYdtdY =YXMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo49Retornandoaonossoestudosobrevelocidadeeconsiderandoumapartculaem movimento,deslocando-sedaposio1(t=t1)ataposio2(t=t2),seguindouma trajetria circular S. R: vetor posio com origem no sistema e , e : vetores unitrios,S: trajetria, grandeza escalar.De acordo com a figura, R depende de S, portanto,a velocidade depende da trajetria.Como R e S so grandezas que dependem do tempo, ento so grandezas em funo do tempo. Chamando:S = f(t),R = g(t)Eliminando-se t, podemos escrever:R = F(S), mas S = f(t)Aplicando a regra da cadeia:R = F(S): funo diferencivel em S,S = f(t): funo diferencivel em t.Podemos escrever: R = F[ f(t) ] = g(t) funo diferencivel em t, portanto,1 (t = t1)SRYX2 (t = t2)Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo50R(t) = F(S).f(t), ou, 0lim AAAAA=AAttSSRtR, ou , dtdSdSdRdtdR = , onde:dtdR = V (vetor velocidade, mdulo e direo)dSdR = (somente direo, vetor tangente trajetria)dtdS = .S(velocidade da partcula na trajetria)Podemos escrever a expresso:V = .S .....................................................................................................................eq. 5.1Em qualquer posio, a velocidade sempre tangente trajetria.5.2 Velocidade AngularConsiderandoumcorporgidorepresentadopelodiscogirandoemtornodoeixoOA. Istosignificaquetodosospontosdocorpo,talcomoopontoP,semovemnuma trajetriacircularemtornodoeixoOA.Avelocidadeangulardocorpodadapelo vetor , que tem direo OA, e sentido dado pela regra da mo direita. A magnitude da velocidadeangulararazodevariaodequalquersegmentoderetadocorpo,com direonormalaoeixoderotao.Designandoodeslocamentoangulardosegmento por no intervalo de tempo t, sua magnitude fica: = 0lim. A=AAttMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo51OvetorposiorexpressaaposiodopontoPemrelaoaorigemdosistemade coordenadasO,eocorpogiracomvelocidadeangular.Oprodutoentreosdois vetores nos d um terceiro vetor perpendicular ao plano formado por eles tal que:V = r.sen , onde um vetor unitrio perpendicular ao plano formado por r e .Representando a origemdo sistema de coordenadas O no corpo, o ngulo torna-se 900,eo vetorrtorna-se oraio docirculo sendo queoponto Pdesloca-se natrajetria circular. A figura acima fica representada abaixo:Como sen 900 = 1, a expresso de velocidade fica: V = .r ou simplesmente V = .rAvelocidade deumpontoqualquer emumcorpo rgido comvelocidadede rotao, igualaoprodutodavelocidadeangularpeladistnciaentreessepontoeoeixode rsenAYXOr PVPr V Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo52rotao,comdireotangenteaocrculoderotaodoponto.Sintetizando,ovetor velocidade sempre tangente trajetria5.3 Equao de Velocidade RelativaConsiderandoumcorporgidoqueapresentamovimentosdetranslaoerotao, girandocomvelocidadeangularemtornodeumeixoquepassapelopontoA,e destacando um ponto B localizado por RBA em relao ao ponto A. = velocidade angular do corpo,VA = velocidade de translao do corpo.A posio de B dada pela equao: RB = RA + RBAA velocidade de B dada pela equao: dtdRBAdtdRAdtdRB+ = , ou, VB = VA + VBA denominada equao de velocidade relativa.VBA = x RBA pois RBA um vetor fixo ao corpo.Aequaodevelocidaderelativaexpressaqueavelocidadedeumpontoqualquerdo corporgido(B)igualsomadavelocidadedeA,componentedetranslaodo movimento,maisavelocidadedeBemrelaoaA,componentederotaodo movimento.5.4 Mtodos para a Determinao de Velocidades em Mecanismos5.4.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela-ManivelaBRARBAVAYXRBAMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo53Considerandoomecanismobielamanivelajvistonoestudosobreposio,item4, queremosagoradeterminaravelocidadeangulardabarra3(3),eavelocidadedo ponto B, VB.Da figura podemos escrever a soma de vetores:R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0Em notao complexa, r2ei2 + r3ei3 r1ei3 = 0Derivandoestaequaoemrelaoaotempoobtemosaexpressodavelocidadeda corredia (B),Lembrando que dxdue edxdu u= , a expresso para a velocidade fica:01 111 1 3 333 3 2 222 2= + + + i i i i i iedtdi r edtdredtdi r edtdredtdi r edtdr............... eq. 5.2Dado que os comprimentos r2 e r3 das barras 2 e 3 so constantes assim como o ngulo 1dacorrediasuasrespectivasderivadassonulas,almdisso,daexpressoacima teremos:22=dtd33=dtd11vdtdr=R1(r1)2AO2B3R2 (r2)R3(r3)Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo54A eq. 5.2 pode ser simplificada e reescrita:ir22ei2 + ir33ei3 v1ei1 = 0Lembrando a identidade de Euler: ei = cos + isen e aplicando na expresso acima:ir22(cos2 + isen2) + ir33(cos3 + isen3) v1(cos1 + isen1) = 0Nesta equao acima 3 e v1 so incgnitas, 1 = 90 (na anlise do deslocamento 1 = 0) e dado que 2 sempre conhecido. Separando as partes real e imaginria, e resolvendo em funo das incgnitas:r22cos2 + r33cos3 v1cos1 = 0 .......................................................................eq. 5.3r22sen2 + r33sen3 v1sen1 = 0 .......................................................................eq. 5.4Isolando 3 da expresso (5.3): 3 = 3 32 2 2coscos rr ................................................................................................eq. 5.5Comojvistoemanlisedeposionoitem4,ongulo3dadopelaexpresso abaixo:3 = arcsen ||.|

\|32 2rsen r Isolando v1 na expresso (5.4) e inserindo 3 da expresso (5.5), chega-se na expresso de velocidade:v1 = r22sen2 + r33sen3v1 = r22sen2 + r3||.|

\|3 32 2 2coscos rrsen3A expresso acima fica:Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo55v1 = r22[sen2 cos2.tg3], lembrando que v1 = VB5.4.2 Mtodo do Polgono de Velocidades Mecanismo Biela-ManivelaOmtodobaseia-senaconstruoeresoluogrficadeequaesvetoriais,isto,o mtodoconstitui-seemumasomadevetoresvelocidadesinstantneasqueesto ocorrendo na condio do mecanismo.Devemosnoslembrarqueovetorvelocidadedeumpontoqualquercontidonabarratem direo tangente sua trajetria e, por consequncia, este vetor ser perpendicular barra em questo, exemplo:Considereabarradescrevendomovimentoderotao,articuladaemO,portanto girandoemtornodeOcomvelocidadeangular,equeremosexpressarovetor velocidade instantnea do ponto A em relao a articulao O.AdireodeVAserperpendicularbarra,sentidoparabaixodevidoaosentidoda velocidade angular ser anti-horria, e sua magnitude dada pela expresso VA = .AOConsiderandoomecanismoarticuladobiela-manivela.Queremosdeterminara velocidade da corredia B assim como a velocidade angular da barra 3 (biela) 3.AVAOMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo56Na determinao das velocidades parte-se sempre de uma velocidade conhecida que a dabarra2manivela,poissuavelocidadeangulartambmconhecidadadoquea barra motriz girando com velocidade n, de onde obtemos a expresso: = 260n, onde n = rpm Aobtenodasvelocidadespelomtododospolgonosresultadasomadevetoresobtidos da equao de velocidade relativa onde:VB = VA + VBAAmagnitudedovetorvelocidadeVAencontrado:VA=2AO2.Conhecidasua magnitudeadireotambmconhecidapoisopontoAdescreveumatrajetria circular e, por conseqncia, a direo perpendicular barra AO2, e o sentido do vetor VA acompanha o sentido da velocidade angular 2.A origem do vetor VA define o plo de velocidades (Ov), o qual a origem tambm do vetor resultante VB. Dado que o ponto B est localizado na corredia e esta desloca-se em translao, traamos uma reta na horizontal a partir de Ov. Nomecanismo,abarraAB(3)temcomoextremidadesospontosAeB.Estabarra descrevemovimentosdetranslaoerotao,portanto,suavelocidadetangencial tambm ser perpendicular.ParadeterminarmosavelocidadeVBAtraamosumaretaperpendicularbarraAB, reta essa quepassa peloponto A e,ao traarmosessa reta haver ocruzamento coma reta horizontal onde se localiza o vetor VB. O cruzamento define o ponto B comum aos vetores VB e VBA.3BO242223A1Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo57Naconstruodopolgonodevelocidades,avelocidadedeumacorredia,cursorou pisto, pea que descreve movimento de translao somente, sempre temcomo origem o plo. O polgono de velocidades fica representado na figura abaixo: UmavezdeterminadoVBA,adeterminaodavelocidadeangular3trivial,dado por: 3 = BAVBA5.4.3 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao Mecanismo Biela-ManivelaNo mtodo chamado linha de centros admite-se a velocidade VA conhecida, e pretende-sedeterminarasvelocidadesdeoutrospontosdomecanismobiela-manivela,quatro barras e/ou outros. O primeiro passo consiste em achar todos os plos, e um mecanismo temtantosplosquantos forem asformas de unioentre aspeas.Onmerodeplos de um mecanismo de n peas :N = 2) 1 ( n n ...........................................................................................................eq.5.6OvVBVA VBAReta perpendicular barra AO2ABReta perpendicular barra ABReta tangente, paralela ao deslocamento da corrediaMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo58O plo de velocidade definido como a localizao instantnea de um ponto comum a dois corpos que tm a mesma velocidade em cada, ou seja, a localizao instantnea de um ponto em um corpo, em torno do qual outro corpo instantaneamente girado.Apsachadosessesplos,osrestantessolocalizadospeloteoremadeAronhold-Kennedy:Quandotrscorpossemovem commovimentorelativoentre si,eles tm trsplosde velocidade, estando todos na mesma linha reta.Anlise considerando o mecanismo biela-manivela. O plo A pertence manivela pea 2, e o plo B pertence corredia pea 4. Essas peas2e4tmemcomumopoloP13,eapresentamamesmavelocidadequerse considere fazendo parte de uma ou outra pea.OploP13opontodeintersecoentreoprolongamentodaretacoincidentecomabarra2ecomapea4,sendochamadocentroinstantneodospontosAeB. Analisandoapea2,manivela,todosospontosqueaelapertencegiramemtornode O2, assim, podemos escrever:3 = 13 13BPVBAPVA=Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo595.4.4 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo de Quatro BarrasUtilizandoa notao complexa,aequao que representaacadeia cinemticaformada pelos vetores R1, R2, R3 e R4 dada por:r1ei1 + r2ei2 + r3ei3 + r4ei4 = 0Ostermosr1,r2,r3,r4e1novariamnotempo,derivandoaexpressoacimaem relao ao tempo,04 443 332 22= + + i i iedtdi r edtdi r edtdi r ..........................................................eq.5.7Sendo que,2O4BAO2Rd, rdR4, r4R3, r3R2, r2R1, r1d4323BO242223 A1P13Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo6022=dtd33=dtd43=dtdA equao (e)acima fica reescrita:044 433 322 2= + + i i ie i r e i r e i r , aplicando Euler ( ei =cos - isen) obtemos:r2i2(cos2- isen2) + r3i3(cos3- isen3) + r4i4(cos4- isen4) = 0Separando as partes real e imaginria:- r22sen2 r33sen3 r44sen4 = 0r22cos2 + r33cos3 + r44cos4 = 0 Essasequaesacimaconstituem-seemequaeslineareshomogneascomduas incgnitas, 3 e 4, e a sua resoluo pode ser obtida pela Regra de Cramer. Essa regra ummtodoparaaresoluodeumsistemadeequaes,esebaseianousode determinantes cuja soluo dada por: Xi = DDxi onde D o determinante da matriz doscoeficientes,formadapeloscoeficientesdasincgnitasdosistema,eDxio determinanteobtidopelasubstituio,namatrizincompleta,dacolunaipelacoluna formada pelos termos independentes.Resolvendo para a incgnita 3, obtemos:Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo61Resolvendo os determinantes,3 = 3 4 4 3 4 3 4 34 2 2 4 2 4 2 2 4 2cos coscos cos sen r r sen r rsen r r sen r r+ + Lembrando que sen(a+b) = senacosb cosasenb, 3 fica:3 = ( )( )3 4 4 34 2 2 4 2 sen r rsen r rPara adeterminao davelocidade angular 4 oprocedimento serepete,e a expresso fica:4 = ( )( )3 4 43 2 2 2 sen rsen rOs ngulos 3, 4, d e a grandeza rd foram obtidos na anlise de posio.3 = arcos 3242322 r rr r rdd +- d4 = arcos 4232422 r rr r rdd ++ dd = arcsen||.|

\|22 senrrdrd2 = r12 + r22 2.r1.r2.cos25.4.5 Mtodo do Polgono de Velocidades Mecanismo de Quatro Barras-r22sen2-r4sen4r22cos2r4cos4-r3sen3-r4sen4r3cos3 r4cos43 =Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo62Considere o mecanismo de quatro barras onde a barra 2, manivela, gira com velocidade angular 2 conhecida. A barra 2 ao completar um ciclo permite coneco A descrever umatrajetriacirculare,amagnitudedavelocidadedopontoAemrelao articulao O2 dada pela expresso: VA = 2 AO2O vetor velocidade VA totalmente definido emsua magnitude, direo sua direo tangencia a trajetriadopontoA,portanto, perpendicular barra AO2,e sentido o sentido do vetor velocidade acompanha o sentido do vetor velocidade angular.Para se determinar a velocidade da articulao B e as velocidades angulares das barras 3 e 4 , 3 e 4 respectivamente, utilizamos a soma de vetores velocidade estabelecida na equao de velocidade relativa,VB = VA + VBAO vetor velocidade VB expressa a velocidade da articulao B em relao articulao fixaO4,esuadireoperpendicularbarraBO4,demesmaforma,avelocidadeVBA, est relacionada com a barra BA sendo perpendicular a essa barra 4. O polgono de velocidades fica:2O4BAO2C3243VBAVCCOvVAVBVCAABMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo63Naconstruodopolgonoimportanteatentarqueasvelocidadesdepontos relacionados s barras que esto ligadas em articulaes fixas como O2 e O4 tm o plo Ov como origem comum. A velocidade relacionada barra 3, a qual est articulada aos pontos A e B, expressa pelo vetor VBA o qual perpendicular barra 3, e cuja origem coincidecomopontoAdefinidonaextremidadedovetorVA,eopontoB ser encontrado no cruzamento com a reta (direo) onde est localizado o vetor VB.As velocidades angulares so determinadas fazendo:VBA = 3.BA BAVBA= 3VB = 4.BO444BOVB= A determinao da velocidade de um ponto C localizado na barra 3, realizada atravs da equao de velocidade relativa para o ponto C, efetuando a seguinte soma vetorial:VC = VA + VCAVCA a velocidade do ponto C em relao ao ponto A. Como o ponto C est localizado na barra 3, a velocidade fica:VCA = 3.CA Uma vez determinada a grandeza de VCA, localiza-se a posio do ponto C no polgono develocidades,eovetorVCexpressodoploatopontoC,realizandoaequao acima.5.4.6 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao Mecanismo de Quatro BarrasOprocedimentoparaadeterminaodasvelocidadespelomtododoscentros instantneosderotaosegueosmesmosparmetrosjdefinidosnomecanismobiela manivela,porm,determinamos2centrosdenominadosP13eP24relacionadoscomas Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo64peas1,3e2,4respectivamente.Ocomprimentodaspeasoubarrassoconhecidos assim como a velocidade angular da barra 2, 2.A velocidade angular da barra 2 conhecida: VA = 2.AO2Pela semelhana de tringulos podemos escrever: P24 O2 N P24 O4 MOcentroP24obtidopelocruzamentodoprolongamentodaslinhas1e3 respectivamente,AcentroP13obtidopelocruzamentodoprolongamentodaslinhas2e4 respectivamente.AsretastracejadasNO2eMO4soperpendiculareslinhaBP24,aqualparalela barra AB ou barra 3.Emqualquermecanismodequatrobarras,vlidoochamadoteoremadarazode velocidades angulares postulado como:A razo de velocidades angulares entre dois elementos, relativamente a um terceiro, inversamenteproporcionalaocomprimentodossegmentosformadosnalinhade centros pela interseco do centro instantneo de rotaoMP24NO4BAO2

CO242P13Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo65Determinao de 4Do mecanismo acima podemos escrever:24 424 224P OP O=Utilizando as relaes angulares acima, escrevemos:4. O4P24 = 2.O2P24, isolando 4,24 424 2 24P OP O =AsexpressesdevelocidadeAeBcontidosnomecanismo podemserescritasdevido as relaes trigonomtricas:VA= 2 .NO2,VB= 4 .MO4, onde VA= VB por conseqncia,2.NO2 = 4.MO4, isolando 4,42 24MONO =Uma vez determinado 4 determinamos VB poisVB = 4 BO4Determinao de 3As velocidades VA e VB podem ser encontradas fazendo;VA = 3.AP13,VB = 3.BP13Portanto 3 pode ser obtido:Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo6613 133BPVBAPVA= = Determinao de VCA velocidade em qualquer ponto ao longo da barra 3 pode ser obtida tomada em relao ao centro P13VC = 3.CP136. ACELERAO EM MECANISMOS ARTICULADOSAaceleraomedearapidezcomqueumcorpovariasuavelocidade.Acelerarou desacelerarumcorposignificavariarsuavelocidadeemumintervalodetempoe,em umcorpoacelerado,ovetoraceleraotemamesmadireoesentidodovetor Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo67velocidade, enquantoque umcorpo que sofredesacelerao,ovetor aceleraopossui mesma direo do vetor velocidade, porm, os sentidos so opostos.A acelerao mdia pode ser definida como sendo a razo da variao da velocidade em umintervalodetempo,equandoointervalodetempotendeazeroaacelerao denomina-seaceleraoinstantnea.Aaceleraoinstantnea,tambmchamada simplesmente de acelerao, definida pela equao:0lim A= = =AA=tr vdtdvtva v = o incremento de v durante o intervalo de tempo t. Analogamente, a acelerao angular de um corpo que gira definida pela equao0lim A= = =AA=tdtdt Retornando ao equacionamento visto na seo anterior, da equao 4.1 temosV = SOndeS a velocidade do ponto P ao longo da trajetria, e o vetor unitrio tangente mesma trajetria.Derivando duas vezes em relao ao tempo a expresso de velocidade tangencial acima, teremos: S S A + =A expresso acima nos indica que na acelerao aparecem duas componentes:Acelerao tangencial: at = S , pois tangente trajetria,Acelerao normal ou radial: an = S , pois um vetor unitrio defasado 900 de Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo68Considereumcorpodeslocando-sedaposio1paraaposio2acelerado positivamente tal que V2 ) V1V = Vn + VtComoV2 ) V1,eocorpodescreveumatrajetriacircularportantoRpermanece constante, significa que 2 ) 1 numa taxa de variao do vetor velocidade ondeV1 = 1.RV2 = 2.RDa segunda figura podemos escreverVn = V., tVtVnAA=AA , dtdVdtdVn= an = VVt = R(2 1) = R, tRtVtAA=AA ,dtdRdtdVt=at = R6.1 Equao de Acelerao RelativaVnVV2V1SV121RV2VtMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo69Considere um corpo girando acelerado em torno de uma articulao O,destacando um ponto P neste corpo, e chamando de R a distncia do ponto P at o centro de curvatura O. Os vetores acelerao podem ser representados: Ocomponentetangencialdaacelerao,At,medeataxadevariaodavelocidade escalar,portanto,tangentetrajetria.SeopontoPmovimenta-secomvelocidade constante At = 0, e a acelerao do ponto reduz-se a seu componente normal.Ocomponentenormaldaacelerao,An,sempredirigidaaocentroderotao definindo a acelerao centrpeta. Esses dois componentes so perpendiculares entre si:An AtTal como visto no item 4.3, a equao de velocidade relativa, que derivada da equao do deslocamento relativo, dada pela expressoVB = VA + VBAConsequentemente, a equao de acelerao relativa expressa na forma:AB = AA + ABA, em notao minscula, aB = aA + aBA a qual pode ser desmembrada emaBn + aBt = aAn + aAt + aBAn + aBAt6.2 Mtodos para a Determinao de Aceleraes em MecanismosOAnVAtAYXTrajetria de PPonto PMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo706.2.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela-ManivelaConsiderando omecanismobielamanivela jvistonoestudosobreposio, item3,e velocidade, item 4, queremos agora determinar a acelerao angular da barra 3 (3), e a acelerao dopontoB, aB.Torna-se relevante dizerque asexpressesquedefinem a posio e velocidade j foram trabalhadas e determinadas anteriormente. Repetindo-as: Da figura podemos escrever a soma de vetores:R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0Em notao complexa, r2ei2 + r3ei3 r1ei3 = 0Atentandoaofatodequer2,r3e1soconstantes,ederivandoemrelaoaotempo encontramos a expresso para a velocidadeir22ei2 + ir33ei3 v1ei1 = 0Derivando em relao ao tempo encontramos a expresso para a aceleraoir2 |.|

\|+2 222 2 i iedtdi edtd + ir3 |.|

\|+3 333 3 i iedtdi edtd1 1 iedtdv= 0...........eq.6.1sendo que R1(r1)2AO2B3R2 (r2)R3(r3)Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo7102=dtd33=dtdaB adtdv= =11Substituindo esses termos na equao 6.1, esta pode ser simplificadai2r222ei2 + ir33ei3 + i2r332ei3 a1ei1 = 0........................................................ eq.6.2 Nesta equao 6.2 h duas incgnitas 3 e a1. Utilizando a frmula de Euler, separando as partes real e imaginria, e resolvendo o sistema obtemos:3 3323 3 222 23cos rsen r sen r +=.................................................................................eq.6.23: acelerao angular da biela, barra 3.Uma vez determinado 3, encontramos a1 ou aBa1 = aB = - 22r2(cos2 + sen2.tg3) 32r3(cos3 + sen3.tg3)a1 = aB: acelerao linear da corrediaAsexpressesdaposioevelocidadeangulardabiela,3e3respectivamente,j foram obtidos nos itens 3 e 4:3 = arcsen ||.|

\|32 2rsen r 3 = 3 32 2 2coscos rr 6.2.2. Mtodo do Polgono de Aceleraes Mecanismo Biela ManivelaMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo72Omtodobaseia-senaconstruoeresoluogrficadeequaesvetoriais,isto,o mtodoconstitui-seemumasomadevetoresaceleraesinstantneasqueesto ocorrendo na condio do mecanismo.Devemosnoslembrarqueovetoraceleraodeumpontoqualquercontidonabarra temduascomponentessendoqueuma,aaceleraonormal,paralelabarraecujo vetorapontaaosentidodocentroderotaoenquantoqueaoutracomponente, aceleraotangencial,temdireotangentetrajetriadopontoe,porconsequncia, este vetor ser perpendicular barra em questo, exemplo:Considereabarradescrevendomovimentoderotao,articuladaemO,portanto girandoemtornodeOcomvelocidadeangulareaceleraoangular,equeremos expressar o vetor acelerao instantnea do ponto A em relao a articulao O.Considerandoomecanismoarticuladobiela-manivela.Queremosdeterminara acelerao da corredia B assim como a acelerao angular da barra 3 (biela) 3.Na determinao das aceleraes parte-se sempre de uma acelerao conhecida que a dabarra2manivela,poissuavelocidadeangulartambmconhecidadadoquea barra motriz girando com velocidade n.aAnAVAOaAtMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo73A equao de acelerao relativa da forma:aB = aA + aBA .......................................................................................................eq.6.3AnalisandoomovimentodomecanismopossvelperceberqueabarraAO2(2)gira emtornodocentroderotaoO2,eque,na medidaemqueessabarra2descreve seu movimentoderotao,aarticulaoAdescreveumatrajetriacircular.Comoabarra BA (3) est articulada em A, ela acompanha o movimento da barra 2, propiciando quea barra ABdescreva movimentos de translao e rotao.Uma vez que descreve movimento de rotao haver um centro de rotao, e este centro definidoemA.Comrelaoacorredia(B),omecanismoimperestriesaoseu movimento permitindo somente a translao em um dado sentido, no caso, horizontal. A translao da corredia B ocorre devido a translao da barra AB.Os vetores componentes acelerao podem ser desmembrados como se segue abaixo,aA = aAn + aAtaA representa a acelerao da articulao A em relao ao centro de rotao O2aBA = aBAn + aBAtaBA representa a acelerao da articulao B em relao a articulao AaBnopossuicomponentesnormaletangencialdevidoaalgumarotaopoisa corredia B somente translada na horizontal.Quandosepretendedeterminarasaceleraespelomtododospolgonosparte-se sempre de umaacelerao conhecida, a qualest relacionada barra 2,manivela, pois essa a pea motriz.3BO242223A1Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo74Normalmenteestuda-seomovimentoemregimepermanentesignificandoquea manivela gira com velocidade constante implicando em acelerao angular(2) igual a zero,porm,satisfazendoasegundaLeideNewton(F=ma),haveraacelerao centrpeta devido a velocidade de rotao da barra.Quandoseestudaaaceleraoemmecanismosnecessrioconhecerostermosde velocidade. Como as aceleraes normais dependem das velocidades, isso significa que a direoe sentidodos vetoresacelerao normalsoconhecidos, porm, com relao aosvetoresaceleraotangencial,somenteadireoconhecida,ouseja, perpendicularbarraemquesto,masosentidodesconhecidopoisdependedo sentido da acelerao angular a qual, obviamente, desconhecida.Representando os vetores no mecanismo biela-manivela, e considerando 2 = 0A magnitude dos vetores componentes pode ser determinada:aAn = 2.VA = 22.AO2 (conhecido)aAt = 2.AO2, supondo 2 = 0, aAt = 0.aBAn = 3.VBA = 32.BA (conhecido)aBAt = 3.BA (desconhecido)aB translao somente (desconhecido) O polgono de aceleraes pode ser construdo obedecendo a equao 6.3aBAnaBO2422aAnA1aBAtMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo75OpontoBencontradoatravsdocruzamentoentrealinhaquecontmovetor acelerao tangencial de BA (aBAt), e a linha que contm a acelerao de B (aB). Tanto ovetoraBquantoovetoraAnoqualoprpriovetoraceleraodeA(aA)so chamadosvetoresaceleraoabsolutopoisexprimemaaceleraodospontos relacionados, e tm como origem o plo de acelerao (OA).OvetoraBAchamadovetoraceleraorelativopoisnotemoplocomoorigemdado que a barra 3 (AB) no gira em torno da articulao fixa O2.Umavezqueopolgonodeaceleraesfoiconstrudoemescalausandoasgrandezas dasaceleraesconhecidas,aaceleraoangulardabarra3(AB)determinada fazendo:BAaBAt=3O sentido de 3 dado pela regra da mo direita sendo que a origem do vetor aBAt est localizada em B.aBAaB BaAn AO2AaBAn BAaBAt BAOA Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo766.2.3 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo de Quatro BarrasAsexpressesparaadeterminaodasaceleraesderivamdasexpressesde velocidade,portanto,paraomelhorentendimentoseqencialnaobtenodas expresses de acelerao, estamos repetindo as expresses de velocidades j encontrada no item 4.Utilizandoa notao complexa,aequao que representaacadeia cinemticaformada pelos vetores R1, R2, R3 e R4 dada por:r1ei1 + r2ei2 + r3ei3 + r4ei4 = 0Ostermosr1,r2,r3,r4e1novariamnotempo,derivandoaexpressoacimaem relao ao tempo,04 443 332 22= + + i i iedtdi r edtdi r edtdi r ..........................................................eq.6.4Sendo que,22=dtd33=dtd44=dtdA equao 6.4acima fica reescrita:2O4BAO2Rd, rdR4, r4R3, r3R2, r2R1, r1d432Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo77044 433 322 2= + + i i ie i r e i r e i r , .....................................................................eq. 6.63 = ( )( )3 4 34 2 2 2 sen rsen rPara adeterminao davelocidade angular 4 oprocedimento serepete,e a expresso fica:4 = ( )( )3 4 43 2 2 2 sen rsen rOs ngulos 3, 4, d e a grandeza rd foram obtidos na anlise de posio.3 = arcos 3242322 r rr r rdd +- d4 = arcos 4232422 r rr r rdd ++ dd = arcsen||.|

\|22 senrrdrd2 = r12 + r22 2.r1.r2.cos2Paraadeterminaodasaceleraesangularesnecessrioderivaraexpresso6.6 acima sendo,22=dtd33=dtd44=dtdA equao 6.6 acima fica reescrita:r2i222ei2 + r3i3ei3 + r3i232ei3 + r4i4ei4 + r4i242ei4 = 0Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo78Atendendo ao fato de que a manivela gira com velocidade angular constante, 2 zero, e o ngulo 2 igual a 2t. Aplicando Euler os termos da expresso acima ficam:r2i222ei2 = r2i222(cos2 + isen2)r3i3ei3 = r3i3(cos3 + isen3)r3i232ei3 = r3i232(cos3 + isen3)r4i4ei4 = r4i4(cos4 + isen4)r4i242ei4 = r4i242(cos4 + isen4)Separando as partes real e imaginria, obtemos o sistema de equaes lineares;r222cos2 + r33cos3 + r332cos3 + r44cos4 + r442cos4 = 0r222sen2 + r33sen3 + r332sen3 + r44sen4 + r442sen4 = 0Asincgnitasdosistemadeequaesso3e4.ResolvendopelaRegradeCramer resulta:) () cos( ) cos(3 4 324 4 4 323 3 4 222 23 + + =sen rr r r) () cos( ) cos(3 4 423 3 4 324 4 3 222 24 + + =sen rr r rMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo796.2.4 Mtodo do Polgono de Aceleraes Mecanismo de Quatro BarrasConsidereomecanismodequatrobarras,epretende-sedeterminarasaceleraesnas articulaes AeB,nopontoC,easaceleraesangularesdasbarras3e4.Talcomo vistonadeterminaodasvelocidades,pretende-seexpressarumpolgonodevetores acelerao a fim de resolver a soma estabelecida na equao de acelerao relativa:aB = aA + aBA.Para resolver esta soma de vetores, parte-se sempre de uma acelerao conhecida a qual seraaceleraodaarticulaoAexpressanabarra2manivela,poisestaabarra motora. Pressupe-se, normalmente, que o mecanismo esteja trabalhando em regime, ou seja,avelocidadeangulardamanivelaconstantefazendocomquesuaacelerao angularsejazero,definindoassimaaceleraodaarticulaoAemrelao articulao fixa O2.Deve-senotarqueasbarras2,3e4descrevemmovimentosderotaosendoquea barra2giraemtornodaarticulaofixaO2,abarra3descrevemovimentosde translao e rotao girando em torno de A, e a barra 4 descreve movimento de rotao girando em torno da articulao fixa O4.Devido a esses movimentos as trs barras possuem velocidades angulares conhecidas, o que torna possvel determinar as suas aceleraes normais. Os vetores que expressam as aceleraes normais so totalmente conhecidos em suas direes e sentidos, e os vetores queexpressamasaceleraestangenciaisseroperpendicularesaosnormais,sendo conhecidossomentesuasdireesmasnoossentidos.Podemosexpressarosvetores no mecanismo abaixo: Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo80Retornando a equao de acelerao relativa:aB = aA + aBAA magnitude decada umdesses vetores podeser encontrada comose segue, dado que se conhece o comprimento das barras e as velocidades lineares e angulares:aBn = 4.VB ou 42.BO4aBt = 4.BO4 (incgnita)aAn = 2.VA ou 22.AO2aAt = 2.AO2 (conhecido)aBAn = 4.VBA ou 42.BAaBAt = 4.BA (incgnita)Aomontarmosopolgonodeaceleraestraamosovetoraceleraoquedefinea acelerao da articulao A. Em sua origem, define-se o polo de aceleraes. O plo de aceleraes o ponto de onde partem os vetores acelerao normal de A e de B, pois as barras 2 e 4 giram em torno das articulaes fixas O2 e O4.NaextremidadedovetoraceleraonormaldeBtraa-seumaretaperpendicularna qual estar contido o vetor acelerao tangencial de B.Na extremidade do vetoracelerao normalde Aou do vetor acelerao de A traa-se umvetorparalelobarraBA,vetoraceleraonormaldeBA.Naextremidadedeste vetortraa-seumaretaperpendicularnaqualestarcontidoovetoracelerao tangencialdeBA,aqualirnecessariamentesecruzarcomaretaperpendicularonde estar contido o vetor acelerao tangencial de B.2O4BO214343AaAnaBAnaBnaBtaBAtMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo81NocruzamentodestasduasretasserlocalizadoopontoB,esuaaceleraoserum vetor que tem como origem o plo e extremidade em B.Considerando que 2 seja zero, e as velocidades conhecidas. O polgono de aceleraes seria representado:2O4BAO2C13243aCCaBAaBaBAnAOAaBnaBtaAn = aABaBAtMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo82Tantoopolgonodevelocidadesquantoopolgonodeaceleraessoconstrudos adotandoescalasdegrandezasmtricasrepresentandoamagnitudedosvetoresem questo,portanto,asmedidasdosvetoresaceleraotangencialnosdarsuas magnitudes, e dessa forma determinamos as aceleraes angulares.3 = BAaBAt4 = 4BOaBtOpontoCestlocalizadonabarraAB.ArazoentreCAeBAnosdarumvalor proporcional, o qual representar o mesmo valor entre as aceleraes de CA (aCA) e de BA (aBA). Ao determinarmos aCA localizamos o ponto C sobre o vetor aBA, e o vetor aC ser representado do plo ao ponto C.Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo836.3. Acelerao de um Ponto no Sistema Mvel Acelerao de CoriolisEmnossoestudosobrevelocidadeeaceleraoemmecanismosvistosatagora consideroudoispontosAeB,sendoqueopontoA(articulao)descreveuma translao curvilnea devido ao movimento de rotao da barra 2 (manivela), e o ponto B(articulao)descreveummovimentoemtornodeAdevidoaocomportamentodetranslaoerotaodabarra3(acoplador),chamadodemovimentoplanogeral.Com isso escrevemos as equaes de velocidade e acelerao relativas.ConsiderandoagoraumabarraBOgirandoemtornodeOcomvelocidadeangular constante,equeentreasposies1e2umacorredia(P)deslizaradialmentepara fora com velocidade V constante ao longo da barra BO.No instante t = t1 a corredia (P) est na posio A com velocidade V,No instante t + t = t2 a corredia (P) est na posio A com velocidade VV= V (constante)EmfunodarotaodabarraedodeslocamentodacorrediaentreasposiesAA com velocidade V, surge uma acelerao chamada de acelerao de Coriolis, que uma componentedaaceleraodacorrediaassociadacomamudanadoraioderotao AO e AO.Considere as figuras abaixo, e chamando de ( r ) a distancia AO, e (r + r) a distncia AO.roincrementodegrandezadoraioentreasposiesAA,enquantoabarra sofre deslocamento angular , girando com velocidade angular .Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo84A variao da velocidade ( VA) entre as posies 1 e 2 pode ser expressa pelos vetoresA velocidade no instante t1 = t pode ser decomposta em seus componentes V e VA,A velocidade no instante t2 = t + t pode ser decomposta em seus componentes Ve VAAvariaodavelocidadedacorrediaduranteointervalodetempotpodeser representadopelasomadostrsvetoresRR,TTeTT.OvetorTTmedea variaonadireodavelocidadeVA,portanto,aaceleraodeAquandottendea zero, fica:VAAVVA = .rOBrAVan = 2.r t1 = trrVA = rVA=(r+r)At2 = t + tOVA TVAVRRVTTPosio 1, t = t1Posio 2, t2 = t + tMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo850lim' ' AAttTT= 0lim AAAttVA= VA. = r = 2.r = aAnO vetor RR mede a variao na direo de V devido a rotao da barra.OvetorTTmedeavariaodaintensidadedeVAdecorrentedomovimentoda corredia na barra.Ambos os vetores RR e TT resultam do efeito combinado da velocidade relativa da corrediaedarotaodabarra.Elesdesapareceriamsequalquerumdessesdois movimentoscessasse.AsomadessesdoisvetoresdefineaaceleraodeCoriolis.Quando t tende a zero, teremos:0'lim' ' ' ' A||.|

\|A+AttT TtRR = 0lim A|.|

\|AA+AAttrtV = V + V = 2VPodemos escrever: aC = 2VPara demonstrarmos esta acelerao, considere o mecanismo de retorno rpido. A barra 2 a motora com velocidade angular constante, articulada na corredia P, pea 3, a qual desliza ao longo da barra 4, enquanto a barra 2 descreve movimento de rotao em torno de O2. De mesmaforma, devido a aoda corredia, a pea 4descreve movimentode rotao em torno da articulao 4. So conhecidos:PO2 = P2O2PO4 = P4O2O2O422 = 0Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo86O polgono de velocidades pode ser traadoVP2=2P2O2(conhecido),VP2P2O2representaavelocidadedacorrediaem relao a O2. traado uma reta perpendicular barra 4 a partir do plo OV,Na extremidade de VP2 traado uma reta paralela barra 4.Haver umcruzamentoentre essasduasretasdefinindoovetor VP4,VP4P4O4,que representa a velocidade da corredia em relao a O4, e o vetor VP2P4, paralelo barra 4, que representa a velocidade da corredia articulada na barra 2 deslizando na barra 4.4 pode ser determinada fazendo:4 = 4 44O PVPA equao de aceleraes pode ser escrita:2 O2O4143P2P4OVVP2VP4VP2P4VP2P42VP2P444Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo87AP2 = AP4 + AP2P4 + 2VP2P44AP2n = 22 .P2O2 - Conhecidos mdulo e direo,AP2t = 0AP4n = 42. P4O4 Conhecidos mdulo e direo,AP4t = 4. P4O4 Conhecido a direoAP2P4n=0,poisAP2P4n= RVP P24 2) (,sendoRoraiodecurvaturadatrajetriadeP4na barra 4infinito,2VP2P44 = conhecidos mdulo e direo, Ap2P4t = conhecido a direo.As aceleraes podem ser determinadas atravs do polgono de aceleraes.AP2nAP4n2VP2P44AP2P4tAP4tMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo887. ANLISE ESTTICA E DINMICA EM MECANISMOS ARTICULADOS7.1 Anlise Esttica -Uma fora representa a ao de um corpo sobre outro. caracterizada por seu ponto de aplicao, intensidade, direo e sentido sendo, portanto, uma quantidade vetorial.Supondo condio esttica, F = 0F1e F2tm a mesma intensidade, mesma direo, porm, os sentidos so opostos (F1 = - F2).Binrio:duasforasiguaiseopostasagindoaolongodeduasretasparalelaseno coincidentesemumcorpo,nopodemsercombinadasparaseobterumaresultante. Essas duas foras constituem um binrio.Brao do binrio (R): a distncia perpendicular entre as linhas de ao,Momentodobinrio(T):outrovetordirigidoaoplanoqueocontm,eosentido dado pela regra da mo direita.F1F2F2F2RT = RxFFFMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo897.1.1 Momento do BinrioConsiderandoduasforasiguaisedesentidosopostos,localizadaspelosvetores posio R1e R2 em relao ao centro de referncia O.Da figura temos: R2 = R1 + R21R21 = R2 R1O momento do binrio a soma dos momentos produzidos por cada fora:T = R1 x F1 + R2 x R2, mas F1 = - F2(sentidos opostos)T = - (R1 x F1) + R2 x F2T = (R2 R1) x F2T = R21 x F2 ( anlise vetorial)A magnitude do momento tambm pode ser obtida fazendo:R21 = R21n + R21tR21nXYZF1F2R21tR21R1XYZF1F2R2R21Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo90T = ( R21n + R21t ) x F2T = R21n x F2 + R21tx F2 masR21n perpendicular linha de ao de F2 T = R21n x F2R21t paralela linha de ao de F2T = R21tx F2 = 0.Expressando as magnitudes;R21n = R21 senT = R21sen . F2Chamando R21 sen = h,T = h.F2h = reta perpendicular linha de ao da fora.Um corpo est em equilbrio esttico se:- A soma vetorial de todas as foras que agem sobre ele zero,- A soma dos momentos de todas as foras em torno de um eixo que passa pelo corpo zero.Exemplo de fixao: Determinar o torque aplicado na barra pela fora F Determinao analtica:T = h.F (s.a.h.)h FAOXYMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo91h:adistnciaperpendiculardalinhadeaodaforaataarticulao;huma grandeza medida. Determinao vetorial:T = AO x FAO = AOZ = AO cos i + AO sen jF = FZ = F cos i + F sen j7.1.2 Foras e Torques Estticos em Mecanismo ArticuladoPara calcular as foras e torques em qualquer mecanismo necessrio isolar cada pea destemecanismoconsiderando-acomoumcorpolivre,eaplicarascondiesde equilbrio. A fora F est aplicada na barra 4. Determinar as foras que surgem em O2 e O4, assim comootorqueaseraplicadonabarra2(T2)paramanteromecanismoemequilbrio esttico.Nafigurarepresentandoomecanismoasforaseomomento(T2)estoexpressos, porm,paradetermina-los,necessrionecessrioanalisarmosacondiode equilbrio esttico de cada barra. Parte-se inicialmente da barra onde a fora conhecida est aplicada que a barra 4.F32F34h2O2h3O43AB342 T2O2O4h4FFO2FO4 ?Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo92Ao ser aplicada a fora F, surgiro nas articulaes B e O4 as foras de reao F34 e FO4. ComrelaoforaF34conhece-sesuadireo(paralelabarra4),esentido(da esquerda para a direita), tendo como incgnita a intensidade.Desconhece-setodasasinformaessobreaforaFO4poisumaforaaplicadano pontoarticulao.AmagnitudedeF34determinadaatravsdasomatriados momentos em relao a O2.Acondiodeequilbrioestticoaplicadobarra4indicaqueasomatriadasforas que atuam nela seja igual a zero, e que a somatria dos momentos causados pelas foras que atuam nela em relao a articulao O4 tambm seja igual a zero:= 04F : F + F34 + FO4= 0= 02T : F.h4 F34.h3O4 = 0As grandezas h4 e h3O4 so medidas tomadas por retas perpendiculares s linhas de ao das foras em questo. A partir dessas medidas determina-se F344 3434.Ohh FF =Uma vez determinado F34, a fora FO4 determinada atravs da somatria de momentos. A fora FO4 representada pelo vetor que fecha o polgono. A grandeza do vetor na sua respectiva escala e sua inclinao definem a fora.

Uma vez definida F34, necessrio elaborar a condio de equilbrio esttico da barra 3.F34FFO4Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo93= 03F : F34 + F32 = 0Comoasforassoiguaiseopostas,aintensidadedeF32igualdeF34j determinada.AforaF32atuandonaarticulaoApromoveareaonaarticulaoO2dadapela foraFO2.Essasduasforasconstituemumbinrioatuandonabarra2.Omomento aplicado na barra 2 que mantm o mecanismo em equilbrio, o momento com sentido oposto ao causado pela fora FO2.= 02T : F32. h2O2 T2 = 0A grandeza h2O2 a medida tomada perpendicular entre a linha de ao da fora F32 e a articulao O2.T2 = F32. h2O2 (s.h.)Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo947.2 Anlise DinmicaQuandoummecanismoestemmovimentosurgemaceleraes,easforasetorques resultantessoreferidascomoforasetorquesdeinrcia.Tambmsoconhecidos comoforasetorquesdinmicos,esoaltasparticularmenteemmecanismosque desenvolvemaltasvelocidades.Taisforasetorquespodemseradicionadas vetorialmente s foras e torques estticas discutidas no item 7.1. 7.2.1 Princpio DAlembertOPrincpiodAlembertumcorolriodasequaesdeNewton.Considereumcorpo demassamsubmetidoaodeforascujaresultantenopassapeloseucentrode massa G (figura a). h : distncia perpendicular entre a linha de ao da fora resultante (F ) e o centro de massa G.F = F1 + F2 + F3Devido ao fato de a fora resultante no passar por G, surgem as aceleraes linear (aG) e angular (), as quais definem a fora de inrcia e o torque de inrcia ou conjugado de inrcia, (figura b).F1FF2F3GhYXFigura aMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo95=Gma F- translao fora de inrcia= I TG - rotao torque de inrcia ou conjugado de inrcia, onde = h F T .O Princpio dAlembert estabelece que a soma vetorial de todas as foras externas e as deinrciaagindosobreumcorporgidozero,equeasomavetorialdetodosos momentos externos e os conjugados de inrcia agindo sobre um corpo rgido tambm zero. O princpio estabelece a condio de equilbrio dinmico, onde:= 0Gma F(figuras a e b)= 0 I TG(figuras a e b)FGhYXFigura a= I TGGYXFigura b=Gma FMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo967.2.2ForaseTorquesDinmicosemMecanismoArticuladoMtododo Trabalho Virtual.Omtodoadmiteumsupostotrabalho,trabalhovirtual,realizadopelaaodeuma forarealagindoemumdeterminadocorpooqual,pelaaodafora,sofreum deslocamento imaginrio (deslocamento virtual).Trabalho = fora x deslocamento ( = F.R)Trabalho virtual = fora real x deslocamento virtual ( = F.R )Otrabalhooresultadodoprodutoescalarentreosvetoresforaedeslocamento, portanto, ele pode ser: Positivo: 2700((900 Nulo: +/- 900 Negativo: 900((2700Considere o mecanismo:- maGGYXFigura b- IAAFRAAFRFAARY Y YX X XMecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo97F12e F14no executam trabalho pois os pontos O2 e O4 no se deslocam.FC e FCno executam trabalho pois nesse ponto, as foras realizam quantidades iguais de trabalho positivo e negativo, os quais se anulam. (FC = -FC).FBe T2realizam trabalho caso a articulao sofra um pequeno deslocamento.Trabalho virtual realizado por uma fora: = F.RTrabalho virtual realizado por um torque: = T.Supondoumdeslocamentovirtualaosistema,esendoqueomesmodevaestarem equilbrio sob a