Disciplina: Mecânica dos FluidosEscola de Engenharia de Lorena

EEL – USP

Profa. Dra. Daniela Helena Pelegrine Guimarães (email: dhguima@uol.com.br)

1) CONCEITOS E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DOS FLUIDOS;

2) ESTÁTICA DOS FLUIDOS;

3) CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS;

4) ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS;

5) ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL.

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA;

CONCEITOS DE SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE;

3. CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:

CARACTERÍSTICAS E DEFINIÇÕES DOS ESCOAMENTOS;

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE Q.M.;

INTRODUÇÃO Á ANÁLISE DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE FLUIDOS:

ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO;

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA;

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.

I. CARACTERÍSTICAS E DEFINIÇÕES DE ESCOAMENTO:

DEFINIÇÃO: - É O ESTUDO DOS CONCEITOS REFERENTES AO MOVIMENTO DOS FLUIDOS

DE UM LOCAL A OUTRO, NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE TRANSPORTES, EM

UMA PLANTA PROCESSADORA, ONDE OS FLUIDOS COMEÇAM A ESCOAR A

PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELES. RESUMINDO, É UM BALANÇO DAS

FORÇAS QUE CONTRIBUEM PARA O ESCOAMENTO E DAS QUE SE OPÕE A

ESTE MOVIMENTO.

IMPORTÂNCIA:

PROJETOS DOS EQUIPAMENTOS PROCESSADORES (BOMBAS, TANQUES, TROCADORES DE CALOR, TUBULAÇÕES,...);

MINIMIZA AS PERDAS DE ENERGIA NAS INDÚSTRIAS;

EVITA UM SUB OU SUPER DIMENSIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS.

TROCADORDE

CALOR

TANQUE

BOMBA

FORÇAS DE INÉRICA

FORÇAS VISCOSAS

- FLUIDO ESCOA A PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELE (PRESSÃO, GRAVIDADE, FRICÇÃO E EFEITOS TÉRMICOS): TANTO A MAGNITUDE QUANTO A DIREÇÃO DA FORÇA QUE AGE SOBRE O FLUIDO SÃO IMPORTANTES.

UM BALANÇO DE FORÇAS EM UM ELEMENTO DE FLUIDO É ESSENCIAL PARA A DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS QUE CONTRIBUEM PARA O ESCOAMENTO E DAS QUE SE OPÕE A ESTE MOVIMENTO.

VISCOSASFINERCIAISFVELOCIDADE .,.,

SESCOAMENTODETIPOS

OBOMBEAMENTENERGIA

VEGETALÓLEOÁGUAEVISCOSIDADEVISCOSIDAD

LENTAMENTEMAISESCOAÓLEO

BOMBEARPARAPOTÊNCIA

DESCRIÇÃO QUANTITATIVA DAS CARACTERÍSTICAS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE:

NÚMERO DE REYNOLDS:

REGIMES OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE.

VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO

ESCOAMENTO LAMINAR

ESCOAMENTO TURBULENTO

VARIADO: V=f(x,y,z,t)

PERMANENTE: V=f(x,y,z)

:t FLUIDO EM MOVE-SE ATÉ ,XX ,YY

- PARA QUE A MATÉRIA SEJA CONSERVADA:

,, YYEMMASSAXXEMMASSA

222111 AVAV

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

1dA

2dA

1x

2x,XX Y

,Y

II. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA:

EXEMPLO:

COMBUSTÍVEL

slitrosQ 8,1

cm3

?V

COMBUSTÍVEL

slitrosQ 8,1

cm,51

?V

EXEMPLO 2:

EXEMPLO 3: Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na seção (1), tem-se A1=20 cm2, 1=4 kg/m3 e V1=30 kg/m3 . na seção (2), A2=10 cm2 e 2=12 Kg/m3. Qual é a velocidade na seção (2)?

(1) (2)

ESCOAMENTO LAMINAR:

ESCOAMENTO DE TRANSIÇÃO:

12 mm

1m

III. ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO:

ESCOAMENTO TURBULENTO:

13 mm

D

mDv

ascosvisforças

inerciaisforçasNRe

4

LAMINARESCOAMENTO.Re 1002

TRANSIÇÃO.Re. 00041002

TURBULENTOESCOAMENTO.Re 0004

PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO NO INTERIOR DE UM TUBO:

PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO SOBRE UMA PLACA :

LAMINARESCOAMENTO 000.500Re

TURBULENTOESCOAMENTO 000.500Re

1) QUAL O TEMPO MÍNIMO PARA ENCHER TODO O TANQUE, SOB CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO LAMINAR?

2) QUAL O TEMPO MÁXIMO PARA ENCHER TODO O TANQUE, SOB CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO TURBULENTO?

EXEMPLO:

BOMBA

TANQUE

cm3

m5,1

m3

- FLUIDO:

3040.1m

Kg

sPa 610600.1

Z1

A B

1S

C D

2S

1P

1u

2P2u

Z2

INICIALMENTE UMA CERTA QUANTIDADE DO FLUIDO ESTÁ ENTRE OS PONTOS A E C E, APÓS UM PEQUENO INTERVALO DE TEMPO t, A MESMA QUANTIDADE DO FLUIDO MOVE-SE PARA OUTRA LOCALIZAÇÃO, SITUADA ENTRE OS PONTOS B E D.

II. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA:

- SUPOSIÇÕES:

ESCOAMENTO CONTÍNUO E ESTACIONÁRIO, SENDO A VAZÃO MÁSSICA CONSTANTE;

PROPRIEDADES DO FLUIDO CONSTANTES;

CALOR E TRABALHO DE EIXO ENTRE O FLUIDO E A VIZINHANÇA SÃO TRANSFERIDOS À TAXA CONSTANTE.

ENERGIAS ELÉTRICA E MAGNÉTICA SÃO DESPREZÍVEIS.

Z1

A B

1S

C D

2S

1P

1u

2P2u

Z2

CADBaumento EEE

CBBACA EEE

DCCBDB EEE

BADCaumento EEE

2

222 2

1zgVUmE DC

1

211 2

1zgVUmE BA

122

12

212 2

1zzgVVUUmEaumento (*)

- MAS DE QUE MANEIRA OCORRE A TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA ENTRE O SISTEMA E SUAS VIZINHANÇAS ?

CALOR (Q)

TRABALHO (W)

1) COMO CALOR – ENERGIA TRANSFERIDA, RESULTANTE DA DIFERENÇA DE TEMPERATURA ENTRA O SISTEMA E SUAS VIZINHANÇAS.

-T.AMB.>T.S. SISTEMA RECEBE CALOR DO AMBIENTE

-T.AMB.<T.S. AMBIENTE RECEBE CALOR DO SISTEMA

0Q

0Q2) COMO TRABALHO - ENERGIA TRANSFERIDA COMO RESULTADO DO MOVIMENTO MECÂNICO.

SISTEMA REALIZA TRABALHO ENERGIA DO SISTEMA

0W

0W

VIZINHANÇA REALIZA TRABALHO ENERGIA DO SISTEMA

A B

1S

C D

2S

Z1

1P

1v

2P2v

Z2

TRABALHO DEVE SER REALIZADO SOBRE O SISTEMA PARA QUE O FLUIDO ENTRE NO SISTEMA;

TRABALHO DEVE SER REALIZADO PELO FLUIDO, SOBRE A VIZINHANÇA, PARA QUE O FLUIDO DEIXE O

SISTEMA.

AMBOS OS TERMOS DEVEM SER INCLUÍDOS NA EQUAÇÃO DO BALANÇO DE ENERGIA.

WQE CONSIDERANDO: (**)

TRABALHOS DE FLUXO E DE EIXO:

- O TRABALHO LÍQUIDO, W, REALIZADO EM UM SISTEMA ABERTO POR SUAS VIZINHANÇAS PODE SER ESCRITO COMO:

WWW fs

W sTRABALHO DE EIXO, REQUER A PRESENÇA DE UM DISPOSITIVO MECÂNICO (POR EXEMPLO, UMA BOMBA);

W f TRABALHO DE FLUXO, OU TRABALHO FEITO PELO FLUIDO NA SAÍDA DO SISTEMA MENOS O TRABALHO FEITO SOBRE O FLUIDO NA ENTRADA DO SISTEMA.

xAPxFW f

VPW f

VPW f 111

- ENTRADA DO SISTEMA: TRABALHO FEITO SOBRE ELE, PELO FLUIDO LOGO ATRÁS:

- SAÍDA DO SISTEMA: FLUIDO REALIZA TRABALHO SOBRE A VIZINHANÇA:

O TRABALHO DE FLUXO TOTAL É: VPVPW f 1122

VPW f 222

1122 VPVPWQE S PORTANTO:

(***)

- (***)=(*):

m,i

,im WEEzgu

Pzgu

PQ

121

21

1

12

22

2

2

2

1

2

1

EQUAÇÃO GERAL DE ENERGIA

- PARA UM FLUIDO IDEAL, INCOMPRESSÍVEL, EM UM PROCESSO QUE NÃO ENVOLVA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E SEM REALIZAÇÃO DE TRABALHO E COM A ENERGIA INTERNA DE ESCOAMENTO DO FLUIDO PERMANECENDO CONSTANTE:

22221

211 2

1

2

1zguPzguP

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

EXEMPLO 1: ESCOAMENTO DE ÁGUA ATRAVÉS DE UM BOCAL, CONFORME MOSTRADO:

A1=0,1 m2

LINHA DE CORRENTEA2=0,02 m2

V2=5,0 m/s

P2=Patm

1 2

DETERMINAR P1-Patm

EXEMPLO 2: UM TUBO EM U ATUA COMO UM SIFÃO DE ÁGUA. A CURVATURA DO TUBO ESTÁ A 1 METRO ACIMA DA SUPERFÍCIE DA ÁGUA E A SAÍDA DO TUBO ESTÁ A 7 METROS ABAIXO DA SUPERFÍCIE DA ÁGUA. A ÁGUA SAI PELA EXTREMIDADE INFERIOR DO SIFÃO COMO UM JATO LIVRE PARA A ATMOSFERA. DETERMINAR A VELOCIDADE DO JATO LIVRE E A PRESSÃO ABSOLUTA MÍNIMA NA CURVATURA.

(1)

(2)

(A)

8,0 m

1,0 m

III. INTRODUÇÃO Á ANÁLISE DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE FLUIDOS:

- PARA QUE A MATÉRIA SEJA CONSERVADA:

,, YYEMMASSAXXEMMASSA

xAxA 222111

222111 uAuA

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

1dA

2dA

1x

2x,XX Y

,Y

- CONSIDERANDO UM ESCOAMENTO DE UM SISTEMA (QUANTIDADE FIXA DE UM FLUIDO) AO LONGO DE UM VOLUME DE CONTROLE:

SISTEMA

VOLUMEDECONTROLE

tt t tt

SCVCSIS

dAnVdt

dDt

D ^

- COMO A MASSA PERMANECE CONSTANTE, EM UM ESCOAMENTO PERMANENTE:

0Dt

DM SIS

SCVC

dAnVdt

^

III.1 SOBRE UM ELEMENTO DE VOLUME xyz:

Z

x

Y

(x,y,z)

(x+x,y+ y,z+ z)

y

x

z

xu xxu

massade

saída

detaxa

massade

entrada

detaxa

massade

acúmulo

detaxa

zyxtmassade

acúmulo

zyumassade

entradax

- NA DIREÇÃO x:

Z

x

Y

(x,y,z)

(x+x,y+ y,z+ z)

z

x

y

xu xxu

zyumassade

saídaxx

- NA DIREÇÃO y:

- NA DIREÇÃO Z:

zxvmassade

entraday

zxv

massade

saídayy

yxwmassade

saídayy

yxwmassade

saídayy

zzzyyy

xxx

wwyxvvxz

uuzyt

zyx

x

Y

(x,y,z)

(x+x,y+ y,z+ z)

y

x

z

xu xxu

Z

0

z

w

y

v

x

uP/ REGIME PERMANENTE, FLUIDO INCOMPRESSÍVEL:

EXEMPLO: OS COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE DE UM ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL E QUE OCORRE EM REGIME PERMANENTE SÃO DEFINIDOS POR:

DETERMINE A FORMA DO COMPONENTE DA VELOCIDADE NA DIREÇÃO Z (w) QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.

EXEMPLO 2: NO CONJUNTO CILINDRO-PISTÃO MOSTRADO NA FIGURA ABAIXO, DETERMINAR A TAXA DE VARIAÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA E UMA POSSÍVEL EQUAÇÃO QUE EXPRESSE TAL VARIAÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO.

L

xVu

mL 15,0

smV 12

zyzxyv

zyxu

222

30 18 mKg

- ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO:

Vmzydx

dF

,

VmM - DA FÍSICA:

- FLUIDO: ESCOA QUANDO UMA FORÇA AGE SOBRE ELE. ESTA FORÇA, CAUSA VARIAÇÃO NA QUANTIDADE DE MOVIMENTO (M).

III.4. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO:

- FORÇAS SOBRE UM ELEMENTO DE FLUIDO:

- SUPERFÍCIE- NORMAIS

- TANGENCIAIS

PRESSÃO

CISALHAMENTO

- CORPO (OU CAMPO)

- GRAVIDADE*

- CAMPOS ELÉTRICOS

- CAMPOS MAGNÉTICOS

- FORÇAS SOBRE UM ELEMENTO DE FLUIDO:

- SUPERFÍCIE

- NORMAIS

- TANGENCIAIS

PRESSÃO

CISALHAMENTO

- CORPO (OU CAMPO)

- GRAVIDADE*

- CAMPOS ELÉTRICOS

- CAMPOS MAGNÉTICOS

III.4.1 FORÇAS DEVIDO À PRESSÃO:

x

y

(x,y,z)

(x+ x,y+ y,z+z)

y

x

zXP

- FORÇA DE PRESSÃO SOBRE A FACE ESQUERDA:

- FORÇA DE PRESSÃO SOBRE A FACE DIREITA:

- FORÇA LÍQUIDA DE PRESSÃO NA DIREÇÃO DO MOVIMENTO:

z

xxP

zyPx

zyP xx

zyxx

P

- COMO O EIXO Y É VERTICAL E ORIENTADO PARA CIMA:

0

0

z

y

x

g

gg

g

dxdydzz

pf

dxdydzgy

pf

dxdydzx

pf

z

yy

x

III.4.2 FORÇAS VISCOSAS:

GENERALIZAÇÃO DA LEI DE NEWTON:

Y

V

A

F dy

duyx OU

Y 0tFLUIDO INICIALMENTE EM

REPOUSO

PLACA INFERIOR POSTA EM MOVIMENTO

0t

DESENVOLVIMENTO DE VELOCIDADE EM

ESCOAMENTO TRANSIENTE

pequenot

grandety

x

DISTRIBUIÇÃO FINAL DE VELOCIDADES EM

ESCOAMENTO PERMANENTE

x

y

z(x,y,z)

x

y

z

x

px

z

Pzx

y

z

y Py

x

y

z

x

y

z

yyyz

yxxy

xz

xx

zyzz

zx

XXÁREA

FORÇA

yzyx

zxzy

xyxz

,

,

,

FORÇAS SUPERFICIAIS TANGENCIAIS

(TANGENCIAL À ÁREA DEFORMA)

zzzz

yyyy

xxxx

p,

p,

p,

FORÇAS SUPERFICIAIS NORMAIS(NORMAL À ÁREA)

- TENSÕES MOLECULARES: z,y,xj,ip ijijij

jise

jise

ij0

1

ijijij p Força na direção j sobre uma área unitária perpendicular à direção i.

ijijij p Fluxo de momento de direção j na direção i positiva.

- TRANSPORTE CONVECTIVO DE MOMENTO:

x

y

z(x,y,z)

y

x

y

zxv

x

z zv

x

y

zyv

SUMÁRIO DOS COMPONENTES DE TENSOR TENSÃO MOLECULAR (OU TENSOR FLUXO MOLECULAR DE MOMENTO):

Direção normal à área

sombreada

Vetor força por unidade de área agindo sobre a área

sombreada

Componentes das forças agindo sobre a área sombreada

x y z x

xxx p xxxx p xyxy xzxz

y yyy p yxyx yyyy p yzyz

z zzz p zxzx zyzy zzzz p

SUMÁRIO DOS COMPONENTES DE FLUXO CONVECTIVO DE MOMENTO:

Direção normal à área

sombreada

Fluxo de momento através da superfície sombreada

Componentes do fluxo convectivo de momento x y z

x vx xx yx zx

y vy xy yy zy

z vz xz yz zz

O fluxo combinado de momento é: vvpvv

xxxxxxxxxx p

yxxyyxxyxy

Exemplos:xxxxxxxxxx p

-EQUAÇÕES DE BALANÇO DE MOMENTO PARA COORDENADAS RETANGULARES:

fluidoo

sobre

externataxa

momentode

saída

detaxa

momentode

entrada

detaxa

momentode

aumento

detaxa

x

Y

Z

xxx

xxxx

yyx

yyyx

zzx

zzzx

zymomentode

entradaxxx

x

zymomentode

saídaxxxx

xx

xzmomentode

entradayyx

y

xzmomentode

saídayyyx

yy

yxmomentode

entradazzx

z

yxmomentode

saídazzzx

zz

- COMPONENTE X:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

pg

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

- COMPONENTE y:

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

pg

z

vw

y

vv

x

vu

t

vy

- COMPONENTE z:

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pg

z

ww

y

wv

x

wu

t

wz

-EQUAÇÕES DE BALANÇO DE MOMENTO PARA COORDENADAS RETANGULARES PARA UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL:

DETERMINE:

- EXEMPLO: LÍQUIDO ESCOANDO PARA BAIXO SOBRE UMA SUPERFÍCIE PLANA, INCLINADA, EM UM FILME LAMINAR, PERMANENTE E DE ESPESSURA h.

h=1mm

Largura = 1m=15

A) AS EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS DE NAVIER-STOKES;

B) O PERFIL DE VELOCIDADES;

C) A DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO;

D) A FORÇA QUE O LÍQUIDO FAZ SOBRE A PLACA.

- EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:

x

z

y Força exercida pelo fluido na direção de + sobre um elemento de superfície (R)dz:

zRdRrr

rx

y

(x,y,z) ou (r,,z)z

x

y

zcosrx rseny

zz

x

z

y Força exercida pelo fluido na direção de +z sobre um elemento de superfície (Rd)dz:

zRRrrz

x

z

y

Força exercida pelo fluido na direção de +z sobre um elemento de superfície (dr)(dz):

rdzz 2

- COMPONENTE r:

rrr

rr

zrr

rr g

z

vv

r

v

rrv

rrrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

2

2

22

2

2

2 211

- COMPONENTE :

g

z

vv

r

v

rrv

rrr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v rz

rr

2

2

22

2

2

2111

- COMPONENTE z:

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

2

2

2

2

2

11

- EXEMPLO: ESCOAMENTO VISCOMÉTRICO LAMINAR EM REGIME PERMANENTE DE UM LÍQUIDO NEWTONIANO NO ESPAÇO ANULAR ANTRE DOIS CILINDROS VERTICAIS CONCÊNTRICOS. O CILINDRO INTERNO É ESTACIONÁRIO E O EXTERNO GIRA COM VELOCIDADE CONSTANTE.

Z

R1

R2

z

r

DETERMINE:A)AS EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS DE NAVIER-STOKES;B) O PERFIL DE VELOCIDADES NA FOLGA ANULAR;C) A DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA FOLGA ANULAR.

D

KD

V

D

KD

V

- EXEMPLO 3: CONSIDERE O SISTEMA DA FIGURA, NA QUAL UM ARAME É MOVIMENTADO NUM CILINDRO COAXIAL A UMA VELOCIDADE V. ENCONTRE A DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NO FLUIDO E A FORÇA NECESSÁRIA PARA MOVIMENTAR O ARAME. A PRESSÃO NO TANQUE 2 É LIGEIRAMENTE SUPERIOR À PRESSÃO NO TANQUE 1. O FLUIDO É INCOMPRESSÍVEL E NEWTONIANO E ESCOA EM REGIME LAMINAR. CONSIDERE REGIME PERMANENTE.

r

z