MECÂNICA DOS FLUIDOS Capítulo - baixardoc.com

26/03/201226/03/2012

Eliane Justino - Curso de Eliane Justino - Curso de EngenhariEngenhariaaCCiivviil l - - UUFFGG//CCaattaallãão o 11

MECÂNICA DOS FLUIDOSMECÂNICA DOS FLUIDOSCapítuloCapítulo 0022 -- ESESTTÁÁTITICCA DA DOOSS

FLFLUIDUIDOS–OS– 2ª P2ª PARTEARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSUNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL E DE MINASENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Profa. Eliane JustinoProfa. Eliane Justino

2.82.8 –– FORÇFORÇA HIDRA HIDROSTÁTICOSTÁTICA NUMA NUMA SUPA SUPERFÍCERFÍCIE PLIE PLANAANA

Existem forças nas Existem forças nas superfícsuperfícies dos corpos ies dos corpos que estão submersos nos que estão submersos nos fluidos.fluidos.

hh p p .. ==

Peso Específico =Peso Específico = γ γ

Superfície livreSuperfície livrep = pp = patmatm

hh FFRR

p = pp = patmatm

O O mómódudulo lo da da foforçrça a reresusultaltantnte e sosobrbre e aasuperfície inferior do tanque do líquido é:superfície inferior do tanque do líquido é:

A A p pF F

F F F F

R R

R RV V

..====∑∑

Onde:Onde:p = pressão da superfície inferior p = pressão da superfície inferior A = A = área desta superfícieárea desta superfície

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Se a Se a prespressão atmosfsão atmosféricérica a atuar na superfícatuar na superfície livre do ie livre do fluifluido e do e na superfícna superfícieieinferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido somente aoinferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido somente aolíquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se anulam, já líquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se anulam, já que sãoque sãoiguais mais iguais mais sentidos inversos.sentidos inversos.

A força resultaA força resultante atua no nte atua no centcentróidróide da e da área da área da supesuperfícirfície e infinferioerior porque ar porque apressão é constante e pressão é constante e está distribuída uniformementestá distribuída uniformemente nesta superfície.e nesta superfície.


SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA E INCLINADASUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA E INCLINADA

A A foforça hidrorça hidroststátiática ca aplaplicaicada da em em uma uma supsuperferfíciície e plaplana na e e incinclinlinada ada e e comcomformato aleatório.formato aleatório.

VVamoamos s detdetererminminar ar a a dirdireçãeção, o, sensentidtido,o,módulo e ponto de aplicação.módulo e ponto de aplicação.

Admitindo, por Admitindo, por enquanto, que enquanto, que a a superfíciesuperfícielilivrvre e do do flfluiuido do esestá tá em em cocontntatato o cocom m aaatmosfera.atmosfera.

O plano coincide com a superfície que estáO plano coincide com a superfície que estásendo analisada intercepta a superfície livresendo analisada intercepta a superfície livredo líquido emdo líquido em O O e seja e seja θ θo ângulo entre oso ângulo entre osdois planos.dois planos.

O sistema de coordenadas x-y é definidoO sistema de coordenadas x-y é definidode modo que ode modo que o O O está na origem do sistema está na origem do sistemade de coocoorderdenadnadas as ee y y pert pertencence e ao ao plaplanonocoincidente com a superfície que está sendocoincidente com a superfície que está sendoansalisada.ansalisada.

A superfície que A superfície que estamos analisando podeestamos analisando podeapresentar uma forma apresentar uma forma qualquerqualquer..

2.82.8 –– FORÇFORÇA HIDRA HIDROSTÁTICOSTÁTICA NUMA A NUMA SUPERSUPERFÍCIE FÍCIE PLANAPLANA

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A força que atua em A força que atua em dA dA (área diferencial (área diferenciallocalizada a uma localizada a uma profundidadeprofundidade h h) é:) é:

e é perpendicular à superfície.e é perpendicular à superfície.

O O mómódudulo lo da da foforçrça a reresusultltaantnte e nanasupsuperferfície ície é é detdetermerminainado do somsomandando-so-seetodas as forças diferenciais que atuam natodas as forças diferenciais que atuam nasuperfície que é:superfície que é:

Onde:Onde:

dAdAhhdF dF .... ==

sensen y yhh ..==


∫ ∫ == A A

R R ydAydAsensenF F ..

SeSe γ γ ee θθ são constante, logo: são constante, logo:

∫ ∫ A A

ydA ydA É É o o momento momento de de primeira primeira ordem ordem (momento (momento de de primeira primeira ordemordemda área) em relação aoda área) em relação ao eixo X eixo X . Portanto, pode escrever:. Portanto, pode escrever:

A A y y ydA ydA cc

A A

..==∫ ∫ Onde:Onde:

yc yc – coordenada – coordenada y y do centróide medido a do centróide medido a partir do eixopartir do eixo X X que passa através de que passa através de O O..

Portanto:Portanto:

hc hc – distância vertical entre a superfície livre do fluido e o centróide da área. – distância vertical entre a superfície livre do fluido e o centróide da área.

sensen y y A AF F cc R R....== AAhhF F cc R R .... ==


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Como Como todtodas as foforças rças difdiferenerenciais ciais que que comcompõempõem são são perpperpendiendicularculares es aasuperfície, a resultante destas forças também será superfície, a resultante destas forças também será perpendicular a superfície.perpendicular a superfície.

Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultante Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultantedeveria passar através do centróide da área este não é o caso.deveria passar através do centróide da área este não é o caso.

A coordenada A coordenada da força resultante pode ser determinada pela soma dosda força resultante pode ser determinada pela soma dosmomentos em torno domomentos em torno doser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou seja,ser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou seja,

∫ ∫ ∫ ∫ ==== A A A A

R R R R dAdA y ysensen ydF ydF y yF F 22

......

Como:Como:

sensen y y A AF F cc R R ......== A A y y

dAdA y y y y

cc

A A R R

..

22∫ ∫ ==

, ou seja, o momento da força resultante precisa, ou seja, o momento da força resultante precisa


∫ ∫ A A dAdA y y22 É o momento de segunda ordem (momento de segunda ordemÉ o momento de segunda ordem (momento de segunda ordem

da área ou momento de inércia da área),da área ou momento de inércia da área), Ix Ix , em relação ao eixo, em relação ao eixoformado pela interseção do plano que contém a superfície e aformado pela interseção do plano que contém a superfície e asuperfície livresuperfície livre (eixo X) (eixo X), obtem-se:, obtem-se:

A A y y

I I y y

cc

x x R R

..==

Se utilizarmoSe utilizarmos o teorems o teorema dos eixos a dos eixos paralelos,paralelos, pode ser expresso por:pode ser expresso por:22

.. cc xc xc x x yy A A I I I I ++==

,, I I xc xc é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa no é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa nocentróide e é paralelo aocentróide e é paralelo ao eixo X eixo X , obtem-se:, obtem-se:

cc

cc

xc xc R R yy

A A y y

I I y y ++==

..

O que mostra que a O que mostra que a força resultantforça resultante não passae não passaatravés da centróide, mas sempre atua através da centróide, mas sempre atua abaixoabaixo

dele, porquedele, porque


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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA

PropriedadesGeométricas deAlgumas Figuras

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA A coordenada do ponto de aplicação da força resultante pode ser

determinada de forma análoga, ou seja, somando-se os momentos em relaçãoao

∫ = A

R R xydAsen xF ...

A y

I

A y

xydA x

c

xy

c

A R

..== ∫

Para

sen y AF c R ...=

, I xy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y , utilizandonovamente o teorema dos eixos paralelos, escreve-se:

c

c

xyc

R x A y

I x +=

.

I xyc é o produto de inércia em relação aosistema de coordenadas ortogonal quepassa através do centróide da área e criadopor uma translação do sistema decoordenadas x-y .

. Desta modo:

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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA Se a área submersa é simétrica em relação ao eixo que passa pelo centróide e

paralelo a um dos eixos (x ou y), a força resultante precisa atuar ao longo da

linha é nulo, neste caso.

O ponto de aplicação da força resultante é denominado de centro de pressão.

Um aumento de provoca uma aproximação do centro de pressão para ocentróide da área.

Como

sen

h y c

c =

A distância cresce se o aumentar ou, se para uma dada profundidade, aárea for rotacionada de modo que o ângulo diminua.

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA

A Figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circular inclinada que estálocalizada num grande reservatório de água (γ = 9,8 kN/m 3 ). A comporta estámontada num eixo que corre ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixoestá localizado a 10m da superfície livre, determine: (a) o módulo e o ponto deaplicação da força resultante na comporta, e (b) o momento que deve ser aplicando noeixo para abrir a comporta.

, porque

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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANASolução:

(a) Para determinar a força resultante, AhF c R .. =

Como a distância vertical entre o centróide e a superfície livre da água é de10 m, temos:

( ) ( ) ( ) MN N x x x xF R 23,11023,1410108,9 63 ===

Localizar o ponto de aplicação da força resultante (centro de pressão):

c

c

xyc

R x A y

I x +=

.c

c

xc R y

A y

I y +=

.

Para o sistema de coordenadas mostrado, Xr = 0 porque a superfície dacomporta é simétrica e o centro de pressão precisa estar localizado ao longoda linha A-A.

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANASolução:

O momento de inércia em relação ao eixo que passa no centróide e é paralelo aoeixo X, é:

4

4 R I xc

=

E que yc está mostrado na figura, assim:

( ) ( )

( ) ( )

m y

sensen y

A y

I y

R

c

c

xc R

6,1155,110866,0

60

10

4.6010

2.4

.

2

=+=°

+°

=+=

A distância entre o eixo da comporta e o centro de pressão (ao longo dacomporta) é:

m y y c R 0866,0=−

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES

A figura mostra a distribuição de pressão na superfície da placa. A pressão numdado ponto da placa é composta por uma parcela devido a pressão do arcomprimido na superfície do óleo,linearmente com a profundidade). Nós vamos considerar que a força resultante naplaca com área é composta pelas forças e

Assim,

( ) ( )( ) N x x x x x Ah pF s

333

11 104,2436,021081,99,01050 =+=+=

e

( ) ( ) N x x x Ahh

F 33122

1095,036,02

6,0.1081,99,0

2=

=

−

=

O módulo da força resultante,

kN N xF F F R 4,25104,25 3

21 ==+=

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES

A localização vertical do ponto de aplicação de pode ser obtida somando osmomentos em relação ao eixo que passa através do ponto

( ) ( )2,03,0 21 F F yF o R +=

ou

( )( ) ( )( )

( )m

x

x x yo 296,0

104,25

2,01095,03,0104,243

33

=+

=

, e outra devida a presença do óleo (que varia

.

, é :

. Assim,

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Tipos de superfície que não são planas: superfícies de barragens, Tubulações e

Tanques.

É possível determinar a força resultante em qualquer superfície por integração,mas este procedimento é trabalhoso e não é possível formular equaçõessimples e gerais.

Por isso, como alternativa, considera-se o equilíbrio deum volume de fluidos delimitado pela superfície curvaconsiderada e por suas projeções vertical e horizontal.

Para determinar a força resultante que atua sobre estaseção que apresenta

l.

Primeiro isola-se o volume de fluido que é delimitadopela superfície curva considerada, neste caso a oplano horizontal e o plano vertical

2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS O diagrama de corpo livre deste volume é apresentado por:

Os módulos e as pressões dos pontos de aplicaçãode e podem ser determinados utilizando asrelações aplicáveis a superfícies planas.

O peso do fluido contido no volume,peso específico do fluido multiplicado pelo volume e oponto de aplicação desta forma coincide com o centrode gravidade da massa de fluido contido no volume.

As forças representam as componentes daforça que o tanque exerce no fluido.

Para que o sistema de forças esteja equilibrado os módulos das componente F He F V devem:

W F F

F F

V

H

+==

1

2

, é igual ao

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Como três forças atuam na massa de fluidos ( com e a

forças concorrentes.

Isto é uma decorrência do seguinte princípio da estática:

E o módulo da força resultante é obtido pela equação:

A linha de ação da passa pelo ponto e o ponto de aplicação pode serum eixo apropriado.

W F F

F F

V

H

+==

1

2

( ) ( )22

V H R F F F +=

2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Assim, o módulo da força que atua na superfície curva pode ser calculada

com as informações do diagrama de corpo livre.

A figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na drenagem de umtanque e que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a distância entre ospontos e é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o sentidoda força que atua sobre a seção curva (devida a presença da água). Admita queesta seção apresenta comprimento igual a

, a resultante deforça que o tanque exerce sobre o fluido), estas precisam formar um sistema de

localizado somando-se os momentos em relação a

.

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