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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS MANOMÉTRICAS

No mundo contemporâneo, torna-se cada vez mais necessária a medição e controle de determinados parâmetros dos processos, com a finalidade de atender aos mais variados tipos de especificações técnicas, por este motivo a PRESSÃO pode ser considerada como uma das mais importantes grandezas físicas que atua nestes referidos processos.

Por definição, Pressão é igual à relação entre a Força uniformemente distribuída sobre a unidade de área e atuando sobre ela; e um dos métodos mais preciosos para medi-la consiste em equilibrar a coluna de líquido, cujo peso específico é conhecido, com a pressão aplicada. Para instrumentos com Coluna de Líquido, o princípio da medição consiste no fato de que ao se aplicar a lei D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser medida deve ser comparada com a altura "h" da coluna de líquido.

Figura 10 – Variação da altura.

Os Instrumentos que empregam tal princípio são denominados "Manômetros de Coluna" e a precisão da medição, com auxílio de tais instrumentos, pode chegar até 0,3%. Para se fazer medições com maior precisão é necessário que sejam considerados vários fatores, tais como:

a - Temperatura: realizar cálculos de correção se a temperatura de medição diferir da temperatura de referência, pois a variação de temperatura provoca mudanças na densidade do líquido manométrico.

b - Aceleração da gravidade deve ser considerada no local da medição com o seu valor de referência.

c - Impurezas contidas no líquido manométrico também provocam mudanças na densidade, conseqüentemente causando erros de leitura.

d - A influência da Tensão Superficial e sua mudança causada por efeitos externos, assim como a compressibilidade do líquido manométrico deve ser considerada. A tensão superficial dos líquidos é apresentada pela forma que apresentam nas paredes do recipiente. Em tubos de diâmetro pequeno a forma da superfície total do líquido será curvada, sendo que, para os líquidos que tiverem baixa tensão superficial, a superfície terá a forma convexa em relação ao ar. Com a finalidade de minimizar qualquer efeito de distorção no aumento da capilaridade em

tubos de diâmetros pequenos estes devem possuir diâmetros constantes.

As unidades de pressão mais usadas na prática são:

a - Milímetros ou polegadas de mercúrio ( mmHg ou "Hg )

b - Milímetros ou polegadas de coluna d'água ( mmH2O ou "H2O )

c - Bar ou milibar ( bar ou mbar ) d - Libra (força) por polegada quadrada

(PSI ) A IOPE fornece escalas com as unidades de pressão acima citadas e em diversos tamanhos para atender a vários campos de leitura. Tais escalas podem ser construídas de materiais tais como: alumínio, aço inox, etc.., de acordo com a aplicação do instrumento.

Flanges

Figura 10 – Flanges e tubos.


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Viscosidade

INTRODUÇÃO: Ao promover o movimento de uma esfera em

um fluido ideal de viscosidade η em regime estacionário, as linhas de corrente formam um desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma. Haverá uma força de arrastamento viscoso.

Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico francês que realizou experimentos relacionados à viscosidade de fluidos. Em homenagem a seus trabalhos, denomina-se a unidade de viscosidade como Poise.

A Lei de George Stokes da viscosidade

estabeleceu a ciência de hidrodinâmica. Realizou trabalho sobre esferas e várias

relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus trabalhos na transmissão de ondas acústicas por materiais viscosos é de interesse na Física.

Investigando a teoria de onda de luz, nomeou e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve certos comprimentos de onda. Porém quando Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se quaisquer descobertas anteriores.

A seguir analisaremos a força dada pela Lei de Stokes em fluidos viscosos.

TEORIA

A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos gases cresce com o aumento da temperatura, nos líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo que as moléculas passam umas junto das outras, menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e menor a viscosidade. Para entender a natureza da viscosidade nos líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas. Aplicando uma força constante a uma das placas, a experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma velocidade constante (chamada velocidade terminal). Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por exemplo, a velocidade terminal também duplica. A velocidade terminal é proporcional à força aplicada. Pensando que o líquido entre as placas se separa em lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de produzir diferenças de velocidade entre lâminas

adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se move junto com ela e a lâmina adjacente à placa imóvel permanece também imóvel. O atrito entre lâminas adjacentes causa dissipação de energia mecânica e é o que causa a viscosidade no líquido. É um fato experimental que o módulo F da força aplicada, necessária para manter o movimento da placa com velocidade de módulo v constante, é diretamente proporcional à área A da placa e ao módulo da velocidade e inversamente proporcional à distância L entre as placas. Assim, podemos escrever:

vdvF AdL

η=

definindo o chamado coeficiente de viscosidade η do fluido, que depende do fluido e da temperatura. No SI, a unidade correspondente é pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra alguns coeficientes de viscosidade.

Coeficientes de Viscosidade Líquidos (poise) Gases (10-4 poise)

Glicerina (20 oC) 8,3 Ar (0 oC) 1,71

Água (0 oC) 0,0179 Ar (20 oC) 1,81 Água (100 oC) 0,0028 Ar (100 oC) 2,18

Éter (20 oC) 0,0124 Água (100 oC) 1,32

Mercúrio (20 oC) 0,0154 CO2 (15 oC) 1,45

Os coeficientes de viscosidade dos óleos lubrificantes automotivos são normalmente expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise. Ao definirmos o coeficiente de viscosidade escolhemos o caso em que o fluido, por efeito do movimento de uma das placas, separava-se em camadas muito estreitas, com a camada em contato com cada placa tendo a velocidade desta placa e as camadas intermediárias tendo velocidades que variam linearmente de uma placa para a outra. Tal escoamento é chamado laminar ou lamelar.


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3

O cociente τ = F/A é chamado tensão de cisalhamento. De modo geral:

dvAdL

τ =

mostrando a variação da velocidade das camadas de fluido com a distância à placa parada. Esta expressão representa a chamada lei de Newton para a viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem fluidos como os que são suspensões de partículas que não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma suspensão de partículas com formas características, como discos, no caso das células vermelhas. As partículas têm orientações aleatórias em pequenas velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade crescendo mais rapidamente do que a força.

Equação de Poiseuille A equação que governa o movimento de um fluido

dentro de um tubo é conhecida como equação de Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, embora ela realmente só é válida para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em primeira ordem, e leva a implicações interessantes. A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento (volume por unidade de área), Q, é dada por:

4

8R pQ

Lπ ∆

=

vF ma P E F

onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do tubo, e h é o coeficiente de viscosidade. Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10-3 Pa s.

A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente dependente no raio do tubo: r4. Logo, um decréscimo relativamente pequeno no raio do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16! Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução das artérias. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo. Sob todas as circunstâncias em que se pode checar experimentalmente, a velocidade de um fluido real diminui para zero próximo da superfície de um objeto sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às paredes de um tubo possui velocidade zero. A velocidade do fluido aumenta com a distância às paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for

pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro, uma grande região central irá fluir com velocidade uniforme. Para um fluido de alta viscosidade a transição acontece ao longo de uma grande distância e em um tubo de pequeno diâmetro a velocidade pode variar através do tubo.

Cálculo da Viscosidade em uma esfera:

A esfera caindo com velocidade constante, termos a = 0.

A segunda Lei de Newton fica:

= = − −

E Fv

P

A força viscosa é dada por: rvF πη6=

mgrvgm f =+ πη6

eee

e VmVm ρρ =⇒=

ffff

ff Vm

Vm

ρρ =⇒=

3

34 RVe π=

Substituindo na equação (1) teremos:

gRrvgR ef33

346

34 πρπηπρ =+

gRrvgR ef33

323

32 πρπηπρ =+

( ) 092 3 =+− rvgRef πηπρρ

( ) 092 3 =+− RvgRef ηρρ

( )v

gRfe

2

92 ρρη −=


R: Raio da esfera. v: Velocidade terminal. Sistemas de Unidades:

M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ] onde : 1 [ N ] = [ 1 Kg * m / s2 ]

C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ] M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m2 ] Outras unidades:

1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física. 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a.

4 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 1 ” = 2,54 cm 1 ’ = 1 pé = 12 ” 1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ’ 1 jd = 91,44 cm 1 pé = 30,48 cm 1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg 1 litro = 1l = 10-3 m3

C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ]

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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5

Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP

Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP

Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP

Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP

Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP

Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP

Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP

Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP

Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP

Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP

Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP

Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP

Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP

Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP

Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 30,000,000,000 cP

Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 1,000,000,000,000,000 cP

Mercury @ 20°C 1.554 cP

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http://www.physics.uq.edu.au/pitchdrop/pitchdrop.shtml


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Perfil de velocidades Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl

Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl

Introdução e Teoria:

Ludwig Prandtl (1875-1953) As contribuições de Ludwig Prandtl à mecânica dos

fluidos incluem seu desenvolvimento da teoria para descrever o fenômeno de turbulência, e de seus estudos experimentais e teóricos da dinâmica de gases. Prandtl estudou mecânica e contribuiu à mecânica de meios contínuos durante toda a maioria de sua carreira.

Entretanto, sua descoberta da camada do limite é considerada como uma das descobertas mais importantes da mecânica dos fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da mecânica dos fluidos moderna.

O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para medir a velocidade do fluido em um escoamento. Em particular, pode ser utilizado para medir a velocidade de um avião em relação ao ar.

Outro fenômeno interessante é a condensação causada pela singularidade de Prandtl-Glauert que pode ser vista no vôo nivelado constante geralmente em baixas alturas, estando o ar em condições de umidade. Quando um avião se submete a certo tipo de manobra, pode causar pressões muito baixas na superfície superior das asas. As temperaturas correspondentes serão baixas, de forma que o vapor de água se condensa no lado superior da asa. Uma característica da condensação é que haverá muito mais condensação no lado superior da asa do que no lado mais baixo, e que está associado geralmente com voltas de elevadas acelerações g. Pode-se escrever, na transformação adiabática:

PV k PV nRTγ = ⇔ =

nRT nRTV P kP P

γ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

1

T cPγγ−

= Para o ar, γ = 1.4, assim: 1 0, 28γ

γ−

≈ . Assim, a

temperatura do ar aumentará e diminuirá conforme a pressão aumenta e diminui. As regiões da alta pressão corresponderão necessariamente às regiões da alta temperatura e as regiões da pressão baixa corresponderão às regiões da temperatura baixa. O fenômeno causa uma aparência como vista na figura 1: Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima à do som no ar.

A equação de Bernoulli:

2222

121

212

11 gyvpgyvp ρρρρ ++=++

Chamando de 221 2

1 vppp ρ=−=∆

ff

phgvρ∆

=∆=22

A figura mostra a seção reta de um duto cilindro, com a posição dos pontos nos quais se deve medir a velocidade, conforme a norma americana PIC 11-1946.

Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório

conforme a norma americana PIC 11-1946.

37.5 mm

32.6 mm 27.6 mm

21.4 mm 12.3 mm 0


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7

Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot instalado no laboratório:

Gaveta de Amianto

Metal: LatãoPitot: InoxGaveta de Amianto: AlumínioC oring: 1/8Parafusos: Ø 3/8Porca: 2,5"

A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 é:

2

21 vp ρ+

A altura manométrica h3 é proporcional à diferença

entre elas, ou seja: à pressão dinâmica 2

21 vρ . Assim:

Lei de Poiseuille

Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento (pg. 150 livro R. V. Guiles). p1A p2A v ro r

vc r

0 r dr

L

Uma vez que o fluxo é constante, a soma das forças

sobre o corpo livre é zero:

( )

LrpprLrprp

202 212

22

1−

=⇒=−− τπτπ

( )L

rppdrdv

221 −

=−= ητ

( )1 2

2c

v R

v r

p p rdvdv drdr Lη

−= − ⇒∫ ∫

( ) ( )1 2 2 2

4c

p pv v R r

Lη−

− = −

( ) ( )2221

4rR

Lpp

vv c −−

+=η

Ou

f

fphgv

ρ∆

=∆=22

Taxa: Seja o volume de fluido dV que atravessa

seus extremos no tempo dt dado por: ( ) ( ) rdrdtrR

Lpp

dV πη

24

2221 ⋅−−

=

dArvQdArvdtdV

∫=⇒⋅=⇒ )()(

4

8pRQL

πη

∆=

Perfil de velocidades


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Vazão em Vertedores Introdução

A forma básica mais comum de medida de descarga

em um canal aberto é a utilização de um vertedor. Basicamente, um vertedor é um dispositivo colocado num canal que força o escoamento através de uma abertura projetada para medir a descarga. É uma obstrução em um canal aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga sobre o vertedor é função da geometria e da carga sobre o vertedor.

Vertedores especializados têm sido projetados para fins específicos; dois tipos são considerados fundamentais: o de crista larga e o de crista delgada.

Um vertedor projetado de forma apropriada exibirá um escoamento subcrítico na corrente a montante da estrutura e o escamento convergirá e acelerará até uma condição crítica próxima ao topo ou à crista do vertedor. Como resultado, poderá ser feita uma correlação entre a descarga e uma corrente de profundidade a montante do vertedor. O transbordo da corrente a jusante é denominado lâmina, a qual normalmente é descarregada livremente na atmosfera. Há uma série de fatores que afetam o desempenho de um vertedor; os mais significativos entre eles são os padrões do escoamento tridimensional, os efeitos da turbulência a resistência do atrito, a tensão superficial e a quantidade de ventilação abaixo da lâmina. As derivações simplificadas apresentadas nesse relatório se baseiam na equação de Bernoulli; outros efeitos podem ser levados em conta por meio da modificação da descarga ideal com um coeficiente de descarga Cq; a descarga real é a descarga ideal multiplicada pelo coeficiente de descarga.

Teoria:

Vertedor de crista larga Um vertedor de crista larga é mostrado na figura 1. Figura 1 - Vertedor com crista larga.

2

2cvg

LE Y ye h (1) (2)

Ele tem elevação suficiente acima do fundo para bloquear o escoamento e é suficientemente longo para que as linhas de corrente no transbordo se tornem paralelas, resultando em uma distribuição hidrostática de pressões. Pode-se aplicar a equação de Bernoulli:

2 21 2

1 1 2 22 2v vp gh p ghρ ρρ ρ+ + = + +

Ou 2 2

1 1 21 22 2

2p v p vh hg gγ γ

+ + = + +

Com γ = ρg para os pontos (1) e (2) da figura. Assim:

( )2

22

cc c c

vh Y h y v g Y yg

+ = + + ⇔ = −

( )

Para um vertedor cuja largura normal ao escoamento é b, a descarga ideal é:

2c c c cQ by v by g Y y= = −

Vertedor de crista delgada

Um vertedor de crista delgada é uma placa vertical

colocada na direção normal ao escoamento contendo uma crista de borda delgada, de forma que a lâmina vertente se comporte como um jato livre.

A figura 2 mostra um vertedor retangular com uma crista horizontal que se estende por toda a largura do canal.

Figura 2 - Vertedor de crista delgada. η Y= H Lâmina crista v2 (2) v1 h (1) (1) (2) (a) Escoamento ideal (b) Escoamento real As contrações laterais não estão presentes por causa da existência de paredes laterais. Pode-se definir uma situação idealizada (Figura 2 – (a)), na qual o escoamento no plano vertical não se contrai a medida que passa sobre a crista, de forma que as linhas de corrente sejam paralelas e a pressão atmosférica esteja presente na linha vertente e exista um escoamento uniforme no ponto (1), com energia cinética desprezível (v1≈0). A equação de Bernoulli é aplicada ao longo de uma linha de corrente representativa e resolvida para a velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente será:

2 2v gη=


9

9

Se b é a largura da crista normal ao escoamento a descarga ideal é dada por:

20 0

2Y Y

Q b v d b g dη η η= =∫ ∫

3 22 23bQ g= Y

Os experimentos têm mostrado que a magnitude do expoente é aproximadamente correta; porém deve ser aplicado um coeficiente de descarga Cq para que seja previsto com acurácia para o escoamento real, mostrado na figura 2 (b):

3 22 23qQ C gbY=

A carga H=Y sobre o vertedor é definida como a

distância vertical entre a crista do vertedor e a superfície do líquido a sua montante de tal forma que se evite a curvatura da superfície livre do líquido.

A equação básica para a descarga do vertedor é definida como a integração de:

VldhVdA = Aqui V é a velocidade a uma altura h (vertical) da superfície livre e L=b é a largura do vertedor.

• Vertedor Retangular:

2

32 LHgCQ r=

L

• Vertedor Triangular

θ

25

22

158 HtggCQ t

θ=

• Vertedor de Parede espessa

32

32 gHLCQ e=

Sistema de Unidades:

M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2 ] Q = [ L * s - 1

] = [ dm 3 * s - 1] Viscosidade: [kg][m]-1[s]-1 (MKS) [poise] (CGS)

• Equações de Navier Stokes

As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão. A equação é uma equação diferencial parcial não-linear da

segunda ordem,como segue:

( ) 2tv v v p v gµ ρ+ ⋅∇ = −∇ + ∇ +

Onde: v : é um vetor que representa a velocidade de um

elemento infinitesimal da massa em um ponto no espaço 3-D;

p é a pressão escalar no mesmo ponto; ρ: é a densidade maciça no ponto e é constante

suposta durante todo o meio; µ: é a viscosidade do meio; g : é a aceleração da gravidade A equação de N-S refere-se ao movimento de

uma única partícula minúscula do campo fluido, não o movimento total do líquido.

Entretanto, pode ser usada para calcular o fluxo de gases e de líquidos incompressíveis de objetos da forma arbitrária.

É usada na dinâmica dos fluidos e na engenharia como um modelo padrão para o estudo da turbulência, o comportamento da camada do limite, a formação de ondas de choque, e o transporte maciço. Entre outras coisas, é usado para calcular o teste padrão do fluxo de ar nas asas de um avião. Foi estudada e aplicada por muitas décadas.

.

Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, que nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da lista dos Prêmios Clay e a sua resolução vale US$1000000.


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• Hidráulica Aplicada à tubulações http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido

Entende-se por conduto forçado àquele no qual o fluido

escoa à plena seção e sob pressão. Muitas vezes os condutos de seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme quando a sua seção transversal não varia com o seu comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer seção do conduto não variar com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente.

A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua pressão ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água tem compressibilidade igual a 5.10-5 cm / Kgf2 , isto significa que em condições normais seria necessário um incremento de pressão de 20 Kgf /cm2 para que um litro de água se reduza de 1 cm3, ou seja, para que sua densidade aumente um milésimo. Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e de qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão.

Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel, água, vinho, vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se aplicam os conceitos aqui comentados.

É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica também como turbulento ou laminar. No escoamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, seguindo trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção, com trajetórias irregulares, e podendo uma mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora próxima da parede do tubo.

O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou laminar, é a utilização do número de Reynolds:

4e

QRDπ υ

=

onde: Re = Número de Reynolds (admensional)

Q = vazão (m / s3 ) π = 3,1416... D = diâmetro (m) ν = viscosidade cinemática do líquido (m / s2 )

Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds é interpretado conforme segue:

Re > 4000, então o escoamento é turbulento.

Re < 2000, então o escoamento é laminar.

Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se pode determinar com precisão os elementos do dimensionamento.

Em geral, o regime de escoamento na condução de líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em

situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas vazões, como ocorre em gotejadores de irrigação, onde o escoamento é laminar.

Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devido à viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do escoamento e, logo, maior será a perda de carga.

Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vem sendo realizados, procurando estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia, como as fórmulas de Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o domínio de aplicação pretendido por seus autores.

Atualmente a expressão mais precisa e usada universalmente para análise de escoamento em tubos, que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach:

2

2 5

8f

fLQhgDπ

=

onde: hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca) f = fator de atrito (adimensional) L = comprimento do tubo (m) Q = vazão (m / s3 ) D = diâmetro interno do tubo (m) g = aceleração da gravidade local (m / s2) π = 3,1416...

Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White:

10

1 22 0,27loge

kD

,51f R f

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

onde: f = fator de atrito (adimensional) k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) D = diâmetro interno do tubo (m) Re = número de Reynolds (adimensional)

Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto é, a variável f aparece nos dois membros da equação, de forma não ser possível explicitá-la. Mas isto não sugere que seja impossível resolver equações implícitas. Os métodos numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver equações implícitas com a precisão que se desejar. São métodos basicamente computacionais pois incorrem em operações matemáticas repetidas. Encontram, contudo, muita utilidade em hidráulica.

É o caso dos métodos iterativos, nos quais ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido


11

11

inicial qualquer para a variável procurada que está no seu segundo membro. Com o valor inicial já arbitrado, calcula-se um novo valor para esta mesma variável procurada, mas para a que está no primeiro membro. Se a diferença entre o valor inicial e o novo valor calculado estiver fora da precisão desejada, repete-se esta operação, porém colocando como valor inicial o novo valor calculado. Se a diferença aumentar diz-se que os valores estão divergindo, e se diminuir diz-se que os valores estão convergindo para a solução. O número de repetições, isto é, o número de iterações poderá ser pequeno ou não, dependendo do método a ser utilizado, e se sucederá até que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível com a precisão desejada.

Um esquema básico de cálculo, passo-a-passo, seria algo do tipo:

1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável do segundo membro.

2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que está no primeiro membro.

3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o valor inicial com a tolerância estabelecida.

4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5).

5- O corrente valor da variável é o valor procurado. Métodos iterativos como o de Newton são muito

potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcançar resultados altamente precisos com três ou quatro iterações.

Na prática, em termos específicos, a análise do escoamento em tubos basicamente envolve três gradezas a se calcular:

• o diâmetro • a vazão (ou velocidade) • a perda de carga

Estas são em síntese, as três variáveis principais envolvidas no cálculo hidráulico, pois as demais (material do tubo, tipo de líquido, temperatura, etc), são básicas. Por qualquer método que viermos a empregar, para se determinar qualquer uma dessas três variáveis, as duas demais deverão ser conhecidas. Em que pese a técnica iterativa associada à precisão das equações dar um pouco de velocidade ao cálculo, contudo permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que não deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso de programas para computadores digitais, tal como o HidroTec Calculador, a resolução torna-se simples, fácil, automática, rápida e sem erros.

• Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach

Quando um líquido escoa de um ponto para outro no interior de um tubo, gerará sempre uma perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devida à viscosidade do líquido em escoamento. Portanto quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso for o líquido, maior será a perda de carga. Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos, já há cerca de dois séculos

estudos e pesquisas vem sendo realizados. Atualmente a expressão mais precisa e utilizada universalmente para análise de escoamento em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach:

2

2fL Vh fD g

= ⋅ ⋅

onde: hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca) f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional) L = comprimento do tubo (m) V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s) D = diâmetro interno do tubo (m) g = aceleração da gravidade local (m / s2)

Mas não se encontrou logo uma maneira segura para determinação do fator de atrito. Somente em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu definitivamente uma lei para fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White:

10

1 2,5123,7log

e

kDf R f

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

em que: k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) Re = número de Reynolds (adimensional) A equação de Colebrook-White tem sido considerada como a mais precisa lei de resistência ao escoamento e vem sendo utilizada como padrão referencial. Mas, apesar disto, e de todo o fundamentalismo e embasamento teórico agregado à mesma, tem uma particularidade a alguns pouco conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou seja, a grandeza f está presente nos dois membros da equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação às demais grandezas. Sua resolução requer um processo iterativo.

Isto resultou em motivos para que muitos pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se empenhassem em encontrar equações explícitas, que pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de Colebrook-White. Algumas mais compactas e simples, mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes desvios; outras, menos compactas e complexas, mais difíceis de serem memorizadas, porém com desvios menores; outras tantas combinando simplicidade e precisão, com erros até bem reduzidos, em relação ao fator de atrito calculado com a equação de Colebrook-White.

No presente trabalho seleciona e apresenta a seguir um pequeno conjunto destas equações explícitas, considerando apenas aquelas que pesquisadores, conforme bibliografia consultada, avaliaram e concluíram terem os menores erros em relação à equação de Colebrook-White: 1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro = 0,123%):

http://paginas.terra.com.br/servicos/hidrotec/

http://paginas.terra.com.br/servicos/hidrotec/


12

12

0,8710 10

1 5,1623,7 3,7log log

e e

k kD R D Rf

⎛ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

5,09 ⎞⎟⎟⎠⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%):

1,11

10

1 1,83,7log

e

kD Rf

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

6,9

3- Barr, 1972 (erro = 0,375%):

0,89210

1 523,7log

e

kD Rf

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

,15

4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%):

0,910

1 523,7log

e

kD Rf

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 74

5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%):

0,9

10

1 723,7log

e

kD Rf

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Um exame superficial mostra que, por mais simples

ou compactas que possam ser estas equações explícitas, as mesmas requerem também algum esforço computacional com operações matemáticas de potenciação, radiciação, logaritmicas, etc. Contudo, tendo em vista as elevadas velocidades dos processadores dos computadores atuais, praticamente será imperceptível a diferença no esforço computacional do cálculo feito com uma equação implícita e com uma equação explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a conclusão óbvia é que parece ser mais razoável e lógico usar-se logo a equação de Colebrook-White, dado à sua precisão.

• Hipertensão Arterial A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é uma das

doenças com maior prevalência no mundo moderno e é caracterizada pelo aumento da pressão arterial, medida com esfigmomanômetro ("aparelho de pressão"), tendo como causas a hereditariedade, a obesidade, o sedentarismo, o etilismo, o stress e outras (veja causas de Hipertensão, mais abaixo). : A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32 (A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue através das artérias do braço seja bloqueado.

A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons

ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica sistólica. À medida que o ar é eliminado, a intensidade do som ouvido através do esteie aumenta. A pressão correspondente ao último som audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa pressão consegue fluir pela artéria não oclusa.

Hipertensão Arterial é uma situação na qual a

pressão arterial está elevada. A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue contra a superfície interna das artérias. A força original vem do batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada instante, seguindo um comportamento cíclico. São vários os ciclos que se superpõe, mas o mais evidente é o determinado pelos batimentos cardíacos. Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de acontecimentos desde uma batimento cardíaco até o próximo batimento.

No momento em que o coração ejeta seu conteúdo na Aorta a energia é a máxima, gerando força máxima e consequentemente pressão máxima. Esta fase no ciclo cardíaco chama-se Sístole, sendo que a pressão neste instante é chamada de Pressão Arterial Sistólica. Imediatamente antes do próximo batimento cardíaco a energia é mínima, com a menor força exercida sobre as artérias em todo o ciclo, gerando portanto a menor pressão arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada de Diástole, sendo que a pressão neste instante é chamada de Pressão Arterial Diastólica.

Quando se fala em dois valores de pressão arterial (140 por 90, por exemplo), estamos dizendo que neste momento os ciclos cardíacos estão gerando uma pressão arterial que oscila entre 140 e 90 unidades de medida, 140 no pico da Sístole e 90 no final da Diástole.

Esta situação aumenta o risco de problemas cardiovasculares futuros, como Infarto agudo do miocárdio e Derrame Cerebral, por exemplo.

A pressão normal seria aquela onde o risco destes problemas seria o mínimo.

Na verdade não existe um nível "seguro". A possibilidade de problemas é log-linear, ou seja cresce de maneira contínua em uma escala logarítmica.

O valor normal é um tanto arbitrário, definido pelos especialistas no assunto, para fins práticos e operacionais. É semelhante a definição de maioridade,


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13

onde para fins práticos se considera 18 anos de idade e não 18 anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por exemplo, embora o amadurecimento seja possivelmente o mesmo. Para a maior parte das pessoas o valor de 140/90 mmHg é relacionado a baixo risco de problemas futuros, sendo considerado o "normal".

Como é verificada a Pressão Arterial Para verificar a pressão arterial, o profissional envolve um dos braços do paciente com o esfigmomanômetro, que nada mais é do que uma cinta larga com um pneumático interno acoplado a uma bomba de insuflação manual e um medidor desta pressão. Ao insuflar a bomba, o pneumático se enche de ar e causa uma pressão no braço do paciente, pressão esta monitorada no medidor. Um estetoscópio é colocado sobre a artéria braquial (que passa na face interna medial do cotovelo). Estando o manguito bem insuflado, a artéria estará colabada pela pressão exercida e não passará sangue na artéria braquial. Não haverá ruído algum ao estetoscópio. Libera-se, então, a saida do ar pela bomba, bem devagar e observando-se a queda da pressão no medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua passagem pela artéria provocando em ruído de esguicho (fluxo turbilionar). Neste momento anota-se a pressão máxima (sistólica). O ruído persistirá até que o sangue passe livremente pela artéria, sem nenhum tipo de garroteamento (fluxo laminar). Verifica-se no medidor este momento e teremos a pressão mínima (pressão diastólica). Em geral, medimos a pressão em milímetros de mercúrio (mmHg), sendo normal uma pressão diastólica (mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 cmHg) e pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14 cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio).

• Sintomatologia

A "pressão alta" é considerada uma doença silenciosa, pois pode não produzir nenhum sintoma no paciente. Alguns podem queixar-se de dor ou pressão na nuca e cefaléia, mas não é necessário nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode fazer com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou até mesmo questione sua necessidade. Isto faz com que as complicações ocorram em grande número.

• Complicações da HAS O aumento contínuo da pressão arterial faz com que ocorram danos as artérias de diversas partes do organismo vivo. A Hipertensão Arterial é um fator de risco para Aterosclerose. Como conseqüência desta, podem acontecer tanto o Acidente Vascular Cerebral - AVC, como o Infarto agudo do miocárdio - IAM). Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão podem sofrer alterações decorrentes da hipertensão.

• Causas de Hipertensão Arterial Na grande maioria dos casos a Hipertensão Arterial é

considerada essencial, isto é, ela é uma doença por si mesma. No entanto, devem ser descartadas outras doenças que causam a hipertensão arterial apenas como um sinal, pois pode então ser tratada a causa básica melhorando naturalmente a hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão nefrogênica, onde um rim com algum problema em sua irrigação sanguínea produz substâncias visando aumentar a pressão e receber mais sangue. Nestes casos tratando este rim a pressão normaliza. Outro caso é o do feocromocitoma, um tumor que produz substâncias vasoconstrictoras que aumentam

a pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão..

• Tratamento

Casos iniciais e leves respondem bem à dieta pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e prática de esportes. Outros casos necessitarão de medicamentos. São várias as classes de medicamentos possíveis de ser usadas, isoladas ou associadas. Entre outras temos os diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os bloqueadores de canais de cálcio, os inibidores de enzima conversora de angiotensina II e os bloqueadore do receptor da angiotensina II.

Diuréticos são medicamentos que estimulam a produção de urina como as tiazidas. Casos mais graves necessitam de medicamentos inibidores da ECA (IECA)), como o captopril e enalapril. É interessante notar que o captopril é uma substância que foi isolada primariamente do veneno da cobra jararaca

Bibliografia:

(Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., Wiggert D. C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora Thomson).


14

14

Bombas e Turbinas

A equação de Bernoulli, quando há uma máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da forma, considerando que há uma perda de carga Hp12 (Energia perdida por unidade de peso):

h

h2 (2) H2( p2, ,h2v 2) M H1( p1, ,h1v 1) h1 (1)

121 2M pH H H H+ = +

Se HM > 0 ⇔ Bomba

otP=

TotP

• Potência da Bomba e rendimento:

Totot B B

ot

PP QH

P= ⇔ =γ η

Se HM < 0 ⇔ turbina

otP =

TotP

• Potência da Turbina e rendimento:

Totot B T

ot

PP QH

Pγ η= ⇔ =

Equação da energia para fluido real Nesse item será retirada a hipótese de fluido ideal;

logo, serão considerados os atritos internos no escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta última significa que não existe uma troca de calor provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será visto a seguir, a construção da equação da energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda de calor.

Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido fosse perfeito. H1 = H2

Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da energia, de forma que H1 > H2.

Querendo restabelecer a igualdade, será necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.

121 2 pH H H= +

12p

H : energia perdida entre (l) e (2) por unidade de peso do fluido.

Como

12 1p 2H H H= − e como H1 E H2 são chamados

cargas totais, 12pH é denominado 'perda de carga'.

Se for considerada também a presença de uma máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:

121 2M pH H H H+ = +

12

2 21 1 2 2

1 22 2M pv p v pz H z Hg g

+ + + = + + +γ γ

Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um

fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina entre as duas.

A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada por:

12diss pN QH= γ


15

15

Exemplos:

Exemplo 1 - Na instalação da figura, verificar se a

máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m.

Não é dado o sentido do escoamento,

2

410H O N mγ = 3 ; g = 10 m/s2. Solução: Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível

do reservatório inferior sem incluir a parte interna do tubo, já que nesta não se conhece a pressão. Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido das

cargas decrescentes, num trecho onde não existe máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas seções (l) e (2).

21 1

1 1 0 0 24 242v pH z mg

= + + = + + =γ

22 2

2 22v pH zg

= + +γ

3

2 4

10 10 1010 10

Qv mA

−

−

⋅= = =

⋅s

22 2

2 22v pH zg

= + +γ

2 6

2 4

10 0,16 10 4 252 10 10

H m⋅= + + =

⋅

Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o

sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a máquina, portanto, uma bomba.

Aplicando-se a equação da energia entre as seções (4) e (1), que compreendem a bomba.

Lembrar que a equação deve ser escrita no sentido do escoamento.

144 1B pH H H H+ = + 24 4

4 42v pH zg

= + +γ

1 24H m=

4 0H =14

2pH⇔ =

141 4 24 0 2 26B pH H H H= − + = − + = 4 310 10 10 26 3470 3,47

0,75B

Bot

B

QHP W kW−γ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =η

Exemplo 2 - Considere que não há perda de carga

(Hp12=0) na figura abaixo: (1) (2) 20 m 5 m Considere o reservatório grande fornecendo água para o tanque a 12L/s. Verifique se a máquina instalada é bomba ou turbina e determine sua potência, se o seu rendimento é de 85%. Supor fluido ideal. Dados: Atubos = 10 cm2; g = 10m/s2; γa=104N/m3.

M

Exemplo 3 - Dados:

232pH m= ;

010.8pH m= ; 75%Bη =

23 20A cm= ; 2

2 1A cm= ; 32

310 kgH O m

ρ = ; 3410 N

mγ =

Determinar: (a) A vazão (L/s). (b) A área da seção 1 em cm2. (c) A potência fornecida pela bomba ao fluído. (0)


16

16

Máquinas de Fluxo

(Do Livro Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed. Pearson) As máquinas de fluxo são dispositivos mecânicos que

tanto extraem energia de um fluido (turbina) quanto adicionam energia ao fluido (bomba). Estas transferências de energia são propiciadas pelas interações dinâmicas entre o dispositivo e o fluido. Enquanto o projeto e a construção destes dispositivos envolvem muita experiência anterior, os seus princípios operacionais básicos são muito simples. A interação dinâmica entre um fluido e um sólido normalmente ocorre através do escoamento e das forças detectadas na interface fluido sólido.

Por exemplo, nós realizamos um trabalho com nossos músculos quando mexemos uma colher numa xícara de chá. O movimento da colher através do chá causa uma diferença de pressão entre a parte da frente e a de trás da colher. Note que esta diferença de pressão produz uma força sobre a colher que é vencida por nossos músculos. Esta força atuando numa certa trajetória requer uma determinada quantidade de trabalho.

Deste modo nós realizamos um trabalho sobre o fluido, ou seja, nós aumentamos a energia contida no chá.

De modo inverso, o efeito dinâmico do vento soprando sobre a vela de um barco cria uma diferença de pressão na vela. Assim, a força do vento na vela propulsiona o veleiro e o conjunto vela e barco se comporta como uma máquina que extrai energia do ar.

As máquinas de fluxo operam segundo os princípios descritos acima. Ao invés de uma colher ou uma vela, um grupo de pás, aerofólios, canecas, canais de fluxo e passagens são colocados em torno de um eixo. Note que a energia é fornecida ao fluido nas bombas (por exemplo, o movimento das pás da máquina induz um aumento de energia do fluido) e que a energia é extraída do fluido nas turbinas (por exemplo, o escoamento transfere energia as pás da máquina).

As máquinas de fluxo podem operar com gases (como o ventilador de um ar condicionado ou uma turbina a gás) ou com líquidos (como a bomba d'água de um automóvel ou a turbina de uma usina hidrelétrica). Mesmo que os princípios básicos de operação das máquinas que trabalham com gases e das que trabalham com líquidos sejam os mesmos, podem existir diferenças importantes na dinâmica dos escoamentos nestas máquinas. Por exemplo, a cavitação pode ser muito importante no projeto de dispositivos que envolvem escoamentos de líquidos e os efeitos da compressibilidade podem ser importantes no projeto de equipamentos que envolvem escoamentos com número de Mach significativos.

Muitas máquinas de fluxo apresentam algum tipo de carcaça ou cobertura que envolve as pás rotativas (rotor). Este tipo de arranjo forma uma passagem interna por onde o fluido escoa (veja a Figura A). Outras máquinas, como o moinho de vento ou o ventilador de teto, não apresentam carcaça. Algumas máquinas de fluxo também apresentam pás estacionárias, ou direcionadoras, além das pás móveis do rotor. Estas pás estacionárias podem ser utilizadas tanto para acelerar o fluido (operam como bocais) quanto para desacelerar o escoamento (operam como difusores).

Figura A - Máquina de fluxo com escoamento (a) radial e (b) axial.

A análise da operação de um ventilador doméstico (bomba) e de um moinho de vento (turbina) podem fornecer informações sobre a transferência de energia nas máquinas de fluxo.

Mesmo que os escoamentos reais nestes dispositivos sejam muito complexos (i.e. tridimensionais e transitórios), os fenômenos essenciais podem ser analisados com um modelo simples de escoamento e com os triângulos de velocidade. Considere o rotor de um ventilador (veja a Figura B) que apresenta velocidade angular constante, ω. Note que o rotor mantém esta rotação porque está acoplado a um motor elétrico. Nós denominamos a velocidade da pá por U = ω r, onde r é a distância radial medida a partir do eixo do ventilador. A velocidade absoluta do fluido (que é vista por um observador estacionário) é denominada V e a velocidade relativa (que é vista por um observador solidário às pás) é denominada W. A velocidade real do fluido (absoluta) é igual a soma vetorial da velocidade relativa com a velocidade das pás. Deste modo V = W+ U A Figura B (b) mostra um esquema simplificado das velocidades do escoamento que "entra" e que "sai" do ventilador a uma distância r do eixo do rotor. A superfície sombreada legendada como a − b − c − d é uma parte da superfície cilíndrica mostrada na Fig. B (a). Nós vamos admitir, para simplificar o problema, que o escoamento é "suave" ao longo da pá, ou seja, a velocidade relativa do escoamento é paralela a superfície da pá da borda inicial até a borda final da pá (pontos 1 e 2). Por enquanto, nós vamos considerar que o fluido entra e sai do ventilador a mesma distância do eixo de rotação, logo U1 = U2 = ωr. Nas máquinas de fluxo reais, os escoamentos de entrada e saída não são necessariamente tangentes às pás e as linhas de fluxo podem apresentar raios diferentes.


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17

A bomba Centrífuga

A bomba centrífuga é uma das máquinas de fluxo radial mais comuns. Este tipo de bomba apresenta dois componentes principais: um rotor montado num eixo e uma carcaça (voluta) que envolve o rotor. O rotor contém uma série de pás (geralmente curvas) arranjadas de um modo regular em torno do eixo. A Figura C mostra um esboço das partes principais de um bomba centrífuga. Conforme o rotor gira, o fluido é succionado através da seção de alimentação da bomba e escoa radialmente para fora da bomba. A energia é adicionada ao fluido pelas pás móveis e tanto a pressão quanto a velocidade absoluta são aumentadas ao longo do escoamento no rotor. No tipo mais simples de bomba centrífuga, o fluido é descarregado diretamente na carcaça. O formato da carcaça (voluta) é projetado para reduzir a velocidade do escoamento que é descarregado do rotor.

Note que esta diminuição da energia cinética é convertida, em parte, num aumento de pressão. O formato da carcaça (em formato de voluta) é tal que a seção transversal do canal formado pelo rotor e a carcaça aumenta na direção da seção descarga. Observe que isto é feito para que a velocidade do escoamento neste canal seja aproximadamente constante. Normalmente, as grandes bombas centrífugas, apresentam um projeto diferente no qual pás direcionadoras de escoamento envolvem o rotor. Estas pás fixas desaceleram o fluido conforme ele é direcionado para dentro da carcaça. Este tipo de bomba centrífuga é conhecida como bomba difusora – Bomba d’água para limpador de pára-brisa).

Os rotores podem ser classificados em dois tipos básicos: os abertos e os fechados. A Figura C (a) mostra um rotor do tipo aberto onde as pás estão arranjadas numa placa traseira e estão expostas para o lado da carcaça. A Figura D (b) mostra um rotor fechado. Nesta configuração as pás estão confinadas entre duas placas.

Os rotores também podem ser classificados como de simples ou dupla sucção. Para os rotores de sucção simples, o fluido entra no rotor por um dos lados da bomba. Já nos rotores de dupla sucção, o rotor é alimentado, ao longo do eixo, pelos dois lados da bomba. A montagem em dupla sucção diminui a forca axial sobre o eixo e também reduz as velocidades de entrada no rotor (desde que a área da seção transversal de alimentação seja maior).

As bombas podem apresentar um único ou múltiplos estágios. Para uma bomba de único estágio, somente um rotor é montado no eixo, enquanto vários rotores são montados no mesmo eixo nas bombas multi-estagiadas. Os estágios operam em série, isto é, a descarga do primeiro estágio escoa para o olho do segundo e assim por diante. A vazão é a mesma através dos estágios, mas cada estágio fornece um aumento de pressão. Normalmente, as bombas de multi-estagiadas são utilizadas nas aplicações onde a pressão na seção de descarga da bomba é alta.

A variedade de bombas centrífugas comercialmente disponíveis é imensa mas os princípios básicos de funcionamento de todas elas são os mesmos. O trabalho é realizado no fluido pelas pás móveis (que induzem um aumento significativo da velocidade do escoamento no rotor).

Esta energia cinética é convertida num aumento de pressão conforme o fluido escoa do rotor para a seção de descarga da bomba.

Figura B - Modelo de escoamento num ventilador: (a) geometria da pá do ventilador; (b) velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor.

Figura C - Esquema de uma bomba centrífuga.

Figura D – Esquema de rotores.


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Turbinas Como foi discutido, as turbinas são dispositivos que

extraem energia de um escoamento. A geometria das turbinas é tal que o fluido exerce um torque sobre um rotor na direção de sua rotação. A potência de eixo gerada é disponibilizada para o uso em geradores elétricos e em outros dispositivos.

Apresentaremos vários tópicos ligados, principalmente, a operação de turbinas hidráulicas (aquelas que operam com água) para depois estender a discussão para as turbinas a gás e a vapor (nas quais a massa específica do fluido de trabalho pode variar muito da seção de alimentação para a seção de descarga da turbina).

Figura E – (a) Esquema de uma turbina Pelton, (b) fotografia da roda de uma turbina Pelton (Cortesia da Voith Hydro).

(b)

Ainda que existam numerosos projetos de turbinas hidráulicas, a maioria destas turbinas podem ser classificadas em dois tipos básicos - as turbinas de ação (impulso) e as turbinas de reação. (A reação está relacionada com a queda pressão estática que ocorre através do rotor e com a queda da pressão estática através do estágio da turbina. Quanto maior a queda de pressão através do rotor, maior o grau de reação da turbina). A queda de pressão através do rotor é zero nas turbinas de ação e toda a queda de pressão no estágio ocorre num bocal fixo. A turbina do tipo Pelton, veja a Fig. E, é um exemplo clássico de uma turbina de ação. Nestas máquinas, a carga total do fluido que entra (a soma da carga de pressão, de velocidade e de elevação) é convertida em uma

grande carga de velocidade na saída do bocal de alimentação (ou bocais se for utilizada uma configuração de múltiplos bocais). Tanto a queda de pressão nas canecas (pás) quanto a variação na velocidade relativa do escoamento (isto é, a velocidade do fluido em relação as canecas) são desprezíveis. Note que o espaço em torno do rotor não é completamente preenchido com o fluido.

É o impulso dos jatos individuais, que empurram as canecas, que produz o torque.

Já nas turbinas de reação, o rotor está envolvido por uma carcaça (ou voluta) e o espaço entre estes dois componentes está completamente preenchido com o fluido de trabalho. Nas turbinas de reação nós detectamos tanto uma queda de pressão quanto uma variação da velocidade relativa no escoamento através do rotor. Uma turbina de reação com alimentação radial possui as pás fixas de alimentação que funcionam como bocais e direcionadores do escoamento de alimentação. Assim, parte da queda de pressão ocorre nos bocais fixos e parte no rotor. Sob muitos aspectos, a operação de uma turbina de reação é similar a de uma bomba com escoamento invertido (ainda que este tipo de simplificação possa levar a muitos enganos).

A operação das turbinas de ação e de reação podem ser analisadas com a os princípios do momento da quantidade de movimento. Genericamente, as turbinas de ação são dispositivos de carga alta e vazão baixa, enquanto turbinas de reação são dispositivos de carga baixa e vazão alta.

Turbinas de Ação Ainda que existam vários tipos de projetos de

turbina, talvez, o mais fácil de entender seja a roda de Pelton. Lester Pelton (1829-1908), um engenheiro de minas americano durante a época da mineração de ouro na Califórnia, foi o criador de muitas das características ainda utilizadas neste tipo de turbina. Estas turbinas são mais eficientes quando operadas sob uma grande carga (como aquela fornecida por um lago localizado muito acima da seção de alimentação do bocal da turbina).


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Escoamento em canal aberto Existem muitos modos de classificar o escoamento

em condutos (em desenvolvimento, plenamente desenvolvido, laminar, turbulento etc.). A existência de uma superfície livre nos escoamentos em canal aberto permite que existam outras classificações de escoamento. Note que agora o fluido escolhe" a posição da superfície livre e a configuração do escoamento (porque ele não preenche totalmente o tubo ou conduto).

Assim, nós detectamos novos fenômenos nos escoamentos em canais abertos. Nós apresentaremos a seguir algumas das possíveis classificações destes escoamentos. O modo com que a profundidade do escoamento, y, varia com o tempo, t, e com a distância ao longo do canal, x, podem ser utilizado para classificar o escoamento. Por exemplo, o escoamento é transitório quando a profundidade numa dada posição do canal varia ao longo do tempo. Alguns escoamentos transitórios podem ser encarados como escoamentos em regime por cima de um rio é um escoamento transitório para um observador posicionado na margem do rio mas é um escoamento em regime permanente para um observador que se desloca ao longo da margem com velocidade igual a da frente de onda da pororoca. Existem escoamentos que são transitórios para qualquer observador. Os escoamentos nas ondas geradas pelo vento num lago se enquadram nesta categoria.

Um escoamento em canal aberto é classificado como uniforme (EU) se a profundidade do escoamento não varia ao longo do canal (dy/dx = 0). De modo contrário, o escoamento é não uniforme, ou variado, se a profundidade varia com a distância ao longo do canal (dy/dx≠ 0).

Escoamentos não uniformes são classificados como escoamentos com variação rápida (EVR) se a profundidade do escoamento varia consideravelmente numa distância relativamente pequena (dy/dx ~ 1). Escoamentos com variação gradual (EVG) são aqueles em que a profundidade do escoamento varia pouco ao longo do canal (dy/dx << 1). A Fig. 10.1 mostra alguns exemplos destes tipos de escoamento. É oportuno observar que a importância relativa dos vários tipos de forças (pressão, peso, atrito e inércia) são diferentes em cada um destes tipos de escoamento.

Os escoamentos em canal aberto, dependendo das várias condições envolvidas, podem ser laminares, de transição ou turbulentos. O tipo de escoamento no canal é função do número de Reynolds:

he

V RR ρη

⋅ ⋅=

onde V é a velocidade média do escoamento e Rh é o raio hidráulico do canal. Uma regra geral é: o escoamento no canal aberto é laminar se Re < 500, turbulento se Re > 12500 e de transição se 500 < Re < 12500. Os valores que definem os limites dos regimes são aproximados e é necessário um conhecimento preciso da geometria do canal para estabelecer valores limite mais precisos. É incomum encontrarmos escoamentos em canal aberto laminares porque a maioria destes escoamentos envolve água (que apresenta uma viscosidade bem reduzida) e apresentam comprimentos característicos relativamente grandes. Por exemplo, um escoamento de água a 20 ºC (⎨ = 1,00 ⋅ 10 6 m2/s) com velocidade média V = 0,3 m/s num rio que apresenta raio hidráulico Rh = 3,1 m apresenta Re = VRh /⎨ = 9,3 ⋅105 (o

escoamento é turbulento). Entretanto, o escoamento numa lâmina de água sobre uma estrada com velocidade média V = 0,08 m/s e Rh = 6 mm (nestes casos o raio hidráulico é aproximadamente igual a profundidade do escoamento, veja a Sec. 10.4) apresenta Re = 480 (o escoamento é laminar).

Todos os escoamentos em canal aberto considerados neste livro são homogêneos, ou seja, o fluido apresenta propriedades uniformes no campo de escoamento. Em algumas ocasiões, os escoamentos estratificados são importantes. Nestas ocasiões nós encontramos duas ou mais camadas de fluidos que apresentam massas específicas diferentes escoando no canal. Uma camada de óleo sobre a água é um bom exemplo deste tipo de escoamento.

Os escoamentos em canal aberto sempre apresentam uma superfície livre. Esta superfície pode ser alterada de uma configuração não perturbada (relativamente plana) e formar ondas que se deslocam através da superfície com uma velocidade que depende do seu tamanho (peso, comprimento) e das propriedades do canal (profundidade, velocidade do escoamento etc.). As características de um escoamento em canal aberto dependem muito de como o fluido se movimenta e como uma onda típica se desloca em relação ao fluido. O parâmetro adimensional que descreve este comportamento é o número de Froude, Fr = V/(gl)1/2, onde l é um comprimento característico do escoamento.

Figura F – Classificação dos escoamentos em canal aberto.

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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr ... · PDF fileMecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 Exemplos de Viscosidade