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Mecânica Estrutural e Resistência dos Materiais 1. INTRODUÇÃO 1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS Com o intuito de entendermos como funciona a geomecânica dos materiais geológicos é importante, primeiramente, partirmos para os conceitos fundamentais. A Geologia procura interpretar a história de desenvolvimento do planeta Terra, desde a sua formação, desenvolvimento até os fenômenos atuais. É um campo de atuação muito amplo, podendo descobrir a localização de recursos naturais, fontes de energia e até desastres naturais, dentre outros fenômenos. No entanto, é na utilização de matérias primas e na sua contribuição no cotidiano de uma sociedade que observam-se melhorias na qualidade de vida das pessoas e a importância da geologia. Toma-se como exemplo os imóveis construídos, que são constituídos de uma gama de constituintes minerais. O concreto é preparado com brita (rocha quebrada), areia e cimento (mistura de calcário, argila e gispsita). Os tijolos são confeccionados por argilas. A argamassa é uma mistura de cimento, areia e de Óxido de Cálcio (popularmente conhecido como cal). A instalação elétrica utiliza fios e cabos produzidos a partir de cobre e alumínio. É de suma importância considerar as características, propriedades e comportamento reológico dos materiais geológicos, principalmente em projetos para instalação e desenvolvimento de empreendimentos, tais como projetos de mineração, escavação de túneis, obras de contenção de encostas, etc. O objetivo de estudar a disciplina mecânica estruturale resistência dos materiais é entender o comportamento dos sólidos sob esforços e os efeitos das forças no comportamento interno dos sólidos. 1.2. CLASSE DE SOLICITAÇÕES Existem cinco tipos de esforços mecânicos na resistência dos materiais: 1) Tração ou Força 2) Compressão 3) Flexão 4) Torção 5) Cisalhamento

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Mecânica Estrutural e Resistência dos Materiais

1. INTRODUÇÃO

1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Com o intuito de entendermos como funciona a geomecânica dos materiais

geológicos é importante, primeiramente, partirmos para os conceitos

fundamentais. A Geologia procura interpretar a história de desenvolvimento do

planeta Terra, desde a sua formação, desenvolvimento até os fenômenos

atuais. É um campo de atuação muito amplo, podendo descobrir a localização

de recursos naturais, fontes de energia e até desastres naturais, dentre outros

fenômenos. No entanto, é na utilização de matérias primas e na sua

contribuição no cotidiano de uma sociedade que observam-se melhorias na

qualidade de vida das pessoas e a importância da geologia. Toma-se como

exemplo os imóveis construídos, que são constituídos de uma gama de

constituintes minerais. O concreto é preparado com brita (rocha quebrada),

areia e cimento (mistura de calcário, argila e gispsita). Os tijolos são

confeccionados por argilas. A argamassa é uma mistura de cimento, areia e de

Óxido de Cálcio (popularmente conhecido como cal). A instalação elétrica

utiliza fios e cabos produzidos a partir de cobre e alumínio. É de suma

importância considerar as características, propriedades e comportamento

reológico dos materiais geológicos, principalmente em projetos para instalação

e desenvolvimento de empreendimentos, tais como projetos de mineração,

escavação de túneis, obras de contenção de encostas, etc. O objetivo de

estudar a disciplina mecânica estruturale resistência dos materiais é entender o

comportamento dos sólidos sob esforços e os efeitos das forças no

comportamento interno dos sólidos.

1.2. CLASSE DE SOLICITAÇÕES

Existem cinco tipos de esforços mecânicos na resistência dos materiais:

1) Tração ou Força

2) Compressão

3) Flexão

4) Torção

5) Cisalhamento

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Aplicando as classes de solicitações para a geologia tem-se o

comportamento mecânico das rochas, que pode ser dúctil ou frágil, conforme

esquema a seguir:

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Figura 1.Blocodiagrama com a esquematização do comportamento mecânico das rochas.

Alguns agentes atuantes no comportamento mecânico das rochas são:

1.2.1. Tração ou Força

É o agente responsável pelos movimentos das rochas submetendo-as as

solicitações diversas. Caso a solicitação seja tangencial ocorre o cisalhamento,

que pode ser dividido em componente normal e componente de cisalhamento.

A intensidade da força ou tração depende da área da superfície por onde é

distribuída. A força é uma grandeza vetorial.

1.2.1.1. Stress em um ponto

É definido pela razão limite da força pela área quando a área da face se

aproxima de zero. As forças atuantes em cada uma das faces de um cubo de

referência, por exemplo, pode ser resolvida em 3 componentes ortogonais,

uma normal e duas paralelas à face. Se a magnitude de cada uma das três

componentes for dividida pela área da face do cubo obteremos a magnitude

das três componentes do stress.Então, em decorrência disso a distribuição de

forças sobre cada face tende a se uniformizar, as forças nas faces opostas se

Comportamento mecânico das

rochas

Dúctil

Deformação plástica -

Dobras

Frágil

Deformação frágil -

Falhas

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aproximam em direção e magnitude e são capazes de exercer um torque

resultante sobre o cubo que tendem a se anular.

1.3. COMPRESSÃO

Esforços tectônicos de compressão geram estruturas geológicas que

podem ser representadas por dobras, falhas, fraturas, xistosidade e

acamamento nas rochas sedimentares.

1.3.1. Deformação

Se referem as variações na forma e/ou volume. Essas deformações podem

ser plásticas, elásticas ou de rúpteis e envolvem tanto os conceitos de flexão,

quanto de torção e cisalhamento. Refletem o resultado do dinamismo interno

terrestre através de deformações nas rochas originadas por tensões

associadas às variações de temperatura, profundidade, pressão. A tensão é a

força exercida por unidade de área. Existem alguns tipos de tensão:

Compressão, Distensão e Cisalhamento, conforme Figura 2.

Figura 2. Comportamento deformacional das rochas. Fonte:http://metam.com.sapo.pt

O resultado das tensões de compressão é a redução do volume da

rocha em direção paralela à atuação das forças e o seu alongamento na

direção perpendicular e podem provocar falha inversa no caso de rochas com

comportamento frágil, mas para o caso de comportamento dúctil formam-se

dobras, conforme ilustrado na figura 2.

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No caso das tensões de distensão o resultado é o estiramento do corpo

rochoso em direção paralela a atuação das forças para corpos rochosos com

comportamento dúctil, e também pode provocar falhamento normal em rochas

frágeis.

As tensões de cisalhamento causam a deformação no corpo rochoso

devido a movimentos paralelos em sentidos opostos e podem causar falha de

desligamento/transformantes para rochas com comportamento frágil e

cisalhamento para rochas dúcteis.

1.3.1.1. Dobras

Uma das feições estruturais mais evidentes do regime dúctil são as

dobras geológicas, a escala varia desde a microscópica até quilométrica.

Figura 1- Fotomicrografias de amostras evidenciando dobras em escala milimétrica. Fonte:

Relatório de Mapeamento Geológico da Região de Pocinhas - Tunas do Paraná/PR

Figura 4. Dobra em escala métrica. Fonte: www.neotectonica.ufpr.br

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1.4. Falhas

São rupturas e deslocamentos ao longo de um plano rochoso e pelo qual

as paredes opostas se movem uma relação às outras. Ocorrem tanto em

escala milimétrica quanto quilométrica. As falhas refletem o comportamento

frágil das rochas. Os tipos de falhas podem ser baseados no movimento

aparente, conforme figura a seguir.

Figura 5 - Tipos de falhas. Fonte: http://espacociencias.com.pt

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1.5. TENSÃO DE ESTIRAMENTO OU RUPTURA

1.5.1. Deformação de estiramento

Se um objeto está sujeito a ação de uma força que tende a alongá-lo ou

comprimi-lo ocorre alteração da forma original. A variação relativa do

comprimento de um segmento de barra, por exemplo, chama-se deformação

específica, conforme figura 6.

Figura 6. Esquematização de deformação de estiramento. Fonte:https://slideplayer.com.br/slide/4049117

Tensão de estiramento ou de ruptura

Deformação de estiramento

Módulo de Young Módulo de cisalhamento

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1.5.2. Módulo de Young

É a razão entre a tensão normal e a deformação para um sólido. O

módulo de Young ou também chamado de módulo de elasticidade é um

parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material

sólido.

1.5.3. Módulo de cisalhamento

É a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação de

cisalhamento. Diz respeito a ruptura das estruturas.

1.6. COMPORTAMENTO REOLÓGICO DOS MATERIAIS GEOLÓGICOS

A reologia estuda o comportamento físico das rochas e solos mediante a

aplicação de forças e tensões.As propriedades mecânicas dos materiais

geológicos representam aspectos das forças e dos movimentos que os corpos

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experimentam. As rochas e os solos possuem propriedades plásticas e

elásticas concomitantes, que podem ser medidas através de ensaios

laboratoriais.

1.7. ENSAIOS PARA CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA DAS ROCHAS

A seguir serão discutidos alguns ensaios bastante utilizados para

caracterização mecânica das rochas.

1.7.1. Ensaio de compressão triaxial

O ensaio de compressão triaxial é um dos mais utilizados para

determinar propriedades mecânicas das rochas para um grande intervalo de

tensão e temperatura.

Um esquema típico de um ensaio triaxial está representado na figura 7a.

A amostra é envolvida por uma membrana flexível e selada no capsuperior e

inferior. A membrana flexível permite que a amostra se deforme radialmente e

que a poropressão gerada na amostra devido ao carregamento radial esteja

separado da tensão aplicada fora da amostra. O conjunto composto de

amostra, membrana, caps, extensômetro radial e axial são colocados em

pedestal. O vaso de pressão desce e é circulado óleo até que o vaso e as

linhas estejam completamente preenchidos , a tensão confinante é aplicada

axissimetricamente e na vertical no cap superior. Posteriormente uma força

axial 𝐹𝑎 é aplicada na vertical , no capsuperior pelo pistão, conforme figura 7b.

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Figura 7. a) Representação esquemática do ensaio triaxial. b) Representação esquemática das tensões e forças atuantes no ensaio triaxial.

Fonte: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/

Durante o ensaio triaxial é realizada a aquisição dos dados de tensão desviadora e confinante, deformação axial e radial. De posse desses dados calcula-se Módulo de Poisson, módulo de deformabilidade e módulo de deformabilidade no descarregamento, que corresponde ao módulo de elasticidade para cada tensão confinante.

Aplicação de tensões e forças

a) b)

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1.7.2. Ensaio de compressão Uniaxial

É um dos testes mais realizados devido a simplicidade para determinar

parâmetros de rocha. Consiste basicamente em montar um conjunto de

amostra cap superior e inferior e extensômetro lateral e axial, então um

conjunto é colocado no pedestal, aproxima-se a célula de carga até encostar-

se ao cap superior, conforme figura 8a. Então, aplica-se uma carga uniaxial a

uma carga constante de carregamento ou deformação, conforme figura 8b.

Durante o ensaio uniaxial é realizada a aquisição ao longo do tempo da tensão

axial, deformação axial e radial. Com estes dados calcula-se o Poisson e o

módulo de deformabilidade.

Figura 8. a) Representação esquemática do ensaio uniaxial. b) Representação esquemática da força atuante no ensaio uniaxial. Fonte: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/31864/31864_6.PDF

2. VÍNCULOS ESTRUTURAIS

2.1 INTRODUÇÃO

Denominamos vínculos ou apoio os elementos mecânicos que impedem

os movimentos de uma estrutura.Nas estruturas planas, podemos classificá-los

em 3 tipos.

Aplicação de carga uniaxial

a) b)

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2.1.1 Vínculo Simples ou Móvel

Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção

normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação

(normal ao plano de apoio).Representação Simbólica:

2.1.2 Vínculo Duplo ou Fixo

Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas

direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo

desta forma nos fornecer, desde que solicitado, duas reações, sendo uma para

cada plano citado. Representação Simbólica:

2.1.3 Engastamento

Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção,

impedindo também a rotação do mesmo, através de um contramomento, que

bloqueia a ação do momento de solicitação.

𝑅𝑥 – impede o movimento de translação na direção x;

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𝑅𝑦 – impede o movimento de translação na direção y;

𝑀 – impede a rotação.

2.2 ESTRUTURA

Denomina-se estrutura o conjunto de elementos mecânicos, composto

com a finalidade de receber e transmitir esforços.

2.2.1 Estrutura Hipoestática

Estes tipos de estruturas são instáveis quanto à estaticidade.A sua

classificação como hipoestáticas é devido ao fato de o número de equações de

estática ser superior ao número de incógnitas.

2.2.2 Estruturas Isostáticas

A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações

a serem determinadas coincide com o número de equações de estática.

2.2.3 Estruturas Hiperestáticas

A estrutura é classificada como hiperestática, quando as equações da

estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios.Para tornar

possível a solução destas estruturas, devemos suplementar as equações da

estática com as equações do deslocamento.

3. EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS

Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, é necessário que

sejam satisfeitas as condições a seguir:

Resultante de Forças

A resultante do sistema de forças será nula.

Resultante dos Momentos

A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do

plano de forças será nula.

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3.1. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA

Baseados nas condições vistas anteriormente, concluímos que para

forças coplanares

∑ 𝐹𝑥 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

e

∑ 𝑀 = 0.

3.2 FORÇA AXIAL OU NORMAL F

É definida como força axial ou normal a carga que atua, na direção do

eixo longitudinal da peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser

perpendicular, à secção transversal, conforme figura abaixo.

3.3 TRAÇÃO E COMPRESSÃO

A ação da força axial atuante, em um objeto estrutural, originará nesta

tração ou compressão.

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Tração num objeto estrutural

O objeto estrutural estará tracionada quando a força axial aplicada

estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior, conforme ilustrado

na figura abaixo.

Compressão num objeto estrutural

Oobjeto estrutural estará comprimido, quando a força axial aplicada

estiver atuando com o sentido dirigido para o interior, conforme ilustrado abixo.

Ligação ou Nó

Denominação nó todo ponto de interligação dos elementos de

construção componentes de uma estrutura.

3.4.TRAÇÃO E COMPRESSÃO EM RELAÇÃO AO NÓ (OU LIGAÇÃO)

Objeto estruturaltracionado

Sempre que um objeto estrutural estiver sendo tracionado, o nó estará

sendo “puxado”.

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Objeto estruturalcomprimido

Sempre que um objeto estrutural estiver sendo comprimido, o nó estará

sendo “empurrado”.

3.5 COMPOSIÇÃO DE FORÇAS

Consiste na determinação da resultante de um sistema, podendo ser

resolvida gráfica ou analiticamente.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

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3.6 DECOMPOSIÇÃO DE FORÇA EM COMPONENTES ORTOGONAIS

Consiste na determinação das componentes projetadas da resultante de

um sistema sobre os eixos de referência, podendo ser resolvida gráfica ou

analiticamente.

𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛼 = 𝐹 sin 𝛽

𝐹𝑦 = 𝐹 cos 𝛽 = 𝐹 sin 𝛼

3.7 CONHECIDOS𝐹𝑥e𝐹𝑦, DETERMINAR𝛼 e 𝛽

tan 𝛼 =𝐹𝑦

𝐹𝑥; sin 𝛼 =

𝐹𝑦

𝐹; cos 𝛼 =

𝐹𝑥

𝐹

tan 𝛽 =𝐹𝑥

𝐹𝑦; sin 𝛽 =

𝐹𝑥

𝐹; cos 𝛽 =

𝐹𝑦

𝐹

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3.8 DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DA RESULTANTE DE DUAS FORÇAS QUE

FORMAM ENTRE SI ÂNGULO𝛼

Através do Δ ODA, aplica-se o Teorema de Pitágoras, resultando:

I) 𝐹2 = (𝐹2 + 𝑥)2 + 𝑦2

Onde:

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑥

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑦

Pelo Δ CDA tem-se;

𝐹12 = 𝑥2 + 𝑦2

Portanto:

II) 𝑦2 = 𝐹12 − 𝑥2

no mesmo Δ CDA, conclui-se que:

III) 𝑥 = 𝐹1 cos 𝛼

Substituindo a eq. II na eq. I tem-se:

𝐹2 = 𝐹22 + 2𝐹2𝑥 + 𝑥2 + 𝐹1

2 − 𝑥2

Substituindo a eq. III na anterior tem-se:

𝐹2 = 𝐹12 + 𝐹2

2 + 2𝐹1𝐹2 cos 𝛼

𝐹 = √𝐹12 + 𝐹2

2 + 2𝐹1𝐹2 cos 𝛼

Para 𝛼 = 0

Quando 𝛼 = 0 → cos 𝛼 = 1, portanto

𝐹2 = 𝐹12 + 𝐹2

2 + 2𝐹1𝐹2

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𝐹2 = (𝐹1 + 𝐹2)2

𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2

Quando 𝛼 = 90° → cos 𝛼 = 0, portanto:

𝐹2 = 𝐹12 + 𝐹2

2

𝐹 = √𝐹12 + 𝐹2

2

Quando 𝛼 = 180° → cos 𝛼 = −1, portanto:

𝐹2 = 𝐹12 + 𝐹2

2 − 2𝐹1𝐹2

𝐹2 = (𝐹1 − 𝐹2)2 ou (𝐹2 + 𝐹1)2

|𝐹| = |𝐹1 − 𝐹2| ou |𝐹2 − 𝐹1|

3.9 MOMENTO DE UMA FORÇA

Define-se como momento de uma força em relação a um ponto qualquer

de referência, como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a

respectiva distância em relação ao ponto.É importante observar que a direção

da força e a distância estarão defasadas 90°.Na figura a seguir, o momento da

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força 𝐹 em relação ao ponto 𝐴 será obtido através do produto 𝐹 . 𝑐, da mesma

forma que o produto da carga 𝑃 em relação a 𝐴 será obtido através de

𝑃 . 𝑏.Convencionaremos positivo o momento que obedecer ao sentido horário.

3.9.1 Teorema de Varignon

O momento da resultante de duas forças concorrentes em um ponto 𝐸

qualquer do seu plano em relação a um ponto 𝐴 de referência, é igual à soma

algébrica dos momentos das componentes da força resultante em relação a

este ponto.

Para o caso da figura temos:

𝑅𝑑 = 𝐻𝑏 + 𝑉𝑐

Exemplo:

Determinar as reações nos apoios do objeto estrutural carregada

conforme mostra a figura a seguir:

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∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0

𝑅𝐵(𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑎 𝑅𝐴(𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑏

𝑅𝐵 =𝑃𝑎

(𝑎 + 𝑏) 𝑅𝐴 =

𝑃𝑏

(𝑎 + 𝑏)

4. CARGA DISTRIBUÍDA

Anteriormente foi estudado somente a ação de cargas concentradas, isto

é, cargas que atuam em um determinado ponto, ou região com área

desprezível. Neste capítulo, estudaremos a ação das cargas distribuídas,

cargas que atuam ao longo de uma parte de um objeto estrutural qualquer

conforme mostra a figura abaixo.

Genericamente, o caso de uma carga qualquer distribuída, como mostra a

figura abaixo:

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onde 𝑞 é a intensidade de carga no ponto correspondente.

Adotamos para o estudo, o infinitésimo de carga 𝑑𝑞 que é determinado

pelo produto 𝑞𝑑𝑥.

𝑑𝑄 = 𝑞𝑑𝑥

A superfície da figura é composta por infinitos 𝑞𝑑𝑥, que corresponde às

forças elementares das áreas elementares correspondentes. O somatório

dessas cargas elementares expressará a resultante 𝑄, determinada pela área

total 𝑂𝑚𝑛𝐴 da figura.

4.1.LINHA DE AÇÃO DA RESULTANTE

O momento de um infinitésimo de área em relação ao ponto 𝑂 será

expresso através do produto 𝑥𝑑𝑄, que podemos escrever 𝑞𝑥𝑑𝑥.O somatório de

todos os momentos em relação ao ponto 𝑂 será expresso por:

∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥𝐴

𝑂

Denominamos 𝑋𝐺, a abscissa que fixa o ponto de aplicação da

concentrada 𝑄 em relação ao ponto 𝑂. Podemos escrever que:

𝑄𝑋𝐺 = ∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥𝐴

𝑂

𝑋𝐺 =∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥

𝐴

𝑂

𝑄

De onde conclui-se que a resultante 𝑄 atuará sempre no centro de

gravidade da superfície que representa a carga distribuída. Através desta

superfície de carga, fica determinada a resultante e o ponto de aplicação da

carga distribuída.

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Exemplo:

Determinar as reações nos apoios do objeto estrutural solicitado pela

ação da carga distribuída, conforme a figura dada.

A resultante da carga distribuída de intensidade 𝑞 e comprimento 𝑙 será

𝑞𝑙, e atuará no ponto 𝑙 2⁄ em relação a 𝐴 ou 𝐵. Teremos então:

∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0

𝑅𝐵𝑙 = 𝑞𝑙 .𝑙

2 𝑅𝐴𝑙 = 𝑞𝑙 .

𝑙

2

𝑅𝐵 = 𝑞𝑙

2 𝑅𝐴 = 𝑞

𝑙

2

5. TRAÇÃO E COMPRESSÃO

5.1 FORÇA NORMAL OU AXIAL F

Define-se como força normal ou axial aquela que atua

perpendicularmente (normal) sobre a área da secção transversal de um objeto

estrutural qualquer, conforme ilustrado na figura abaixo.

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5.2.TRAÇÃO E COMPRESSÃO

Podemos afirmar que um objeto estrutural está submetido a esforço de

tração ou compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área da

secção transversal do objeto, na direção do eixo longitudinal.Quando a carga

atuar com sentido dirigido para o exterior do objeto (“puxado”), ele estará

tracionado. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior do objeto

material, ele estará comprimido (“empurrado”).

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5.3.TENSÃO NORMAL σ

A carga normal F, que atua em um objeto material, origina neste, uma

tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da

carga aplicada, e a área transversal.

𝜎 =𝐹

𝐴

onde: 𝜎 – tensão normal [Pa];

𝐹 – força normal ou axial [N];

𝐴 – área da secção transversal [𝑚2].

Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional)

A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N

atuando sobre uma superfície de 1m2.

Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com frequência, os seus

múltiplos:

𝑀𝑃𝑎(𝑚𝑒𝑔𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙) 𝑘𝑃𝑎(𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙)

𝑀𝑃𝑎 = 106𝑃𝑎 𝑘𝑃𝑎 = 103𝑃𝑎

A unidade 𝑀𝑃𝑎(mega pascal), corresponde à aplicação de 106𝑁 (um

milhão de newtons) na superfície de um metro quadrado (𝑚2). Como 𝑚2 =

106𝑚𝑚2, conclui-se que:

𝑀𝑃𝑎 = 𝑁 𝑚𝑚2⁄

𝑀𝑃𝑎 corresponde à carga de 1𝑁 atuando sobre a superfície de 1𝑚𝑚2.

5.4 LEI DE HOOKE

Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no

ano de 1678 constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação

de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear, bem como área da

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secção transversal inicial.Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou

alongamento, constatando que:

• Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial de

um objeto material, maior o alongamento, e que, quanto maior a

área da secção transversal e a rigidez do material medido através

do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando

daí a equação:

∆𝑙 =𝐹 ∙ 𝑙

𝐴 . 𝐸

Como 𝜎 =𝐹

𝐴, podemos escrever a Lei de Hooke: ∆𝑙 =

𝜎∙𝑙

𝐸

onde: ∆𝑙 – alongamento do material [m]

𝜎 – tensão normal [Pa];

𝐹 – carga normal [N];

𝐴 – área da secção transversal do material [𝑚2];

𝐸 – módulo de elasticidade do material [Pa];

𝑙 – comprimento inicial do material [m].

O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar o

material, e será negativo quando a carga aplicada comprimir o material.É

importante observar que a carga se distribui por toda a área da secção

transversal do material.

𝑙𝑓 = 𝑙 + ∆𝑙 𝑙𝑓 = 𝑙 − ∆𝑙

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onde: 𝑙𝑓 – comprimento final do material [m];

𝑙 – comprimento inicial do material [m];

∆𝑙 – alongamento [m].

A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação

longitudinal (𝜀) e a deformação transversal (𝜀𝑡)

Deformação Longitudinal (𝜺)

Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento

(u.c) de um material submetido à ação de carga axial.

Sendo definida através das relações:

𝜀 =∆𝑙

𝑙=

𝜎

𝐸

Deformação transversal (𝜺𝒕)

Determina-se através do produto entre a deformação unitária (𝜀) e o

coeficiente de Poisson (ʋ)

𝜀𝑡 = −ʋ𝜀

Como 𝜀 =∆𝑙

𝑙=

𝜎

𝐸, podemos escrever: 𝜀𝑡 =

ʋ𝜎

𝐸 ou 𝜀𝑡 = −ʋ

∆𝑙

𝑙

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onde:

𝜀𝑡 – deformação transversal adimensional;

𝜎 – tensão normal atuante [Pa];

𝐸 – módulo de elasticidade do material [Pa];

𝜀 – deformação longitudinal adimensional;

ʋ–coeficiente de Poisson adimensional;

∆𝑙 – alongamento [m];

𝑙 – comprimento inicial [m];

5.5 MATERIAL FRÁGIL

O material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de

tração, não apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica

para o rompimento.

Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite, etc.

Diagrama tensão deformação do material frágil

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Ponto O – Início de ensaio carga nula

Ponto A – limite máximo de resistência, ponto de ruptura do material.

5.6.COEFICIENTE DE SEGURANÇA K

O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos

elementos estruturais de qualquer tipo, visando assegurar o equilíbrio entre a

qualidade deum determinado cálculo/dimensionamento e seu custo.O calculista

poderá obter o coeficiente em normas ou determina-lo em função das

circunstâncias apresentadas.Os esforços são classificados em 3 tipos:

5.6.1 Carga Estática

A carga estática é aplicada na peça e permanece constante; como

exemplo tem-se:

- Um parafuso prendendo uma luminária.

- Uma corrente suportando um lustre.

5.6.2 Carga Intermitente

Neste caso, a carga é aplicada gradativamente no , fazendo com que o

seu esforço atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de

tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no

mesmo intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que

a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente.

Ex. o dente de uma engrenagem.

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5.6.3 Carga Alternada

Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo

positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação

para o material.

Ex. eixos, molas, amortecedores, etc.

Obs. Para cisalhamento substituir 𝜎 por 𝜏

Para determinar o coeficiente de segurança em função das

circunstâncias apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir:

𝑘 = 𝑥 . 𝑦 . 𝑧 . 𝑤

Valores para 𝑥 (fator de tipo de material)

𝑥 = 2 para materiais comuns

𝑥 = 1,5 para aços de qualidade e aço liga

Valores para 𝑦 (fator do tipo de solicitação)

𝑦 = 1 para carga constante

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𝑦 = 2 para carga intermitente

𝑦 = 3 para carga alternada

Valores para 𝑧 (fator do tipo de carga)

𝑧 = 1 para carga gradual

𝑧 = 1,5 para choques leves

𝑧 = 2 para choques bruscos

Valores para 𝑤 (que prevê possíveis falhas de fabricação)

𝑤 = 1 a 1,5 para aço

𝑤 = 1,5a 2 para ferro fundido

Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ 𝑘 ≤ 3 aplicado a𝜎𝑟

(tensão de ruptura o material) para o material frágil. Para o caso de cargas

intermitentes ou alternadas, o valor de 𝑘 cresce como nos mostra a equação

para sua obtenção.

5.7.TENSÃO ADMISSÍVEL𝝈 ou 𝝈𝒂𝒅𝒎

A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas

circunstâncias apresentadas. A tensão admissível é determinada através da

relação 𝜎𝑟 (tensão de ruptura) coeficiente de segurança para materiais frágeis.

𝜎 =𝜎𝑟

𝑘

5.8 PESO PRÓPRIO

Em projeto é necessário levar em conta, no dimensionamento dos

elementos de construção, o peso próprio do material, que será determinado

através do produto entre o peso específico do material e o volume do objeto,

conforme mostra o estudo a seguir:

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0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑙

𝑃𝑝 = 𝛾𝐴𝑦

Na secção AA:

𝑦 = 0 → 𝑃𝑝 = 0

Na secção BB:

𝑦 = 𝑙 → 𝑃𝑝𝑚á𝑥

𝑃𝑝𝑚á𝑥 = 𝛾 . 𝐴 . 𝑙

onde:

𝑃𝑝 – peso próprio do elemento dimensional [N];

A – área da secção transversal do material [𝑚2];

𝛾 – peso específico do material [𝑁 𝑚3⁄ ];

𝑙 – comprimento do material [m].

Exemplo:

A barra circular representada na figura. É de aço, possui 𝑑 = 20 𝑚𝑚 e

comprimento 𝑙 = 0,8𝑚. Encontra-se à ação de uma carga de 7,2 𝑘𝑁. Pede-se

determinar para a barra:

a) Tensão normal atuante (𝜎)

b) O alongamento (∆𝑙)

c) A deformação longitudinal (𝜀)

d) A deformação transversal (𝜀𝑡)

𝐸𝑎ç𝑜 = 210 𝐺𝑃𝑎 (módulo de elasticidade do aço)

ʋ𝑎ç𝑜 = 0,3 (coeficiente de Poisson)

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Solução:

a) Tensão normal atuante:

𝜎 =𝐹

𝐴=

4𝐹

𝜋𝑑2

𝜎 =4 × 7200

𝜋(20 × 103𝑚)2=

4𝐹

𝜋 × 202 × 10−6𝑚2

𝜎 =4 × 7200

𝜋202× 106

𝑁

𝑚2

𝜎 ≅ 22,9𝑀𝑃𝑎

b) Alongamento (∆𝑙):

∆𝑙 =𝜎 × 𝑙

𝐸𝑎ç𝑜=

22,9 × 106𝑃𝑎 × 0,8𝑚

210 × 109𝑃𝑎

∆𝑙 =22,9 × 0,8

210× 10−3𝑚

∆𝑙 = 0,087 × 10−3𝑚 ou ∆𝑙 = 0,087𝑚𝑚 ou ∆𝑙 = 87 𝜇𝑚

c) A deformação longitudinal (𝜀):

𝜀 =∆𝑙

𝑙=

87 𝜇𝑚

0,8 𝑚

𝜀 ≅ 109 𝜇

d) A deformação transversal (𝜀𝑡):

𝜀𝑡 = −ʋ𝑎ç𝑜 ∙ 𝜀

𝜀𝑡 = −0,3 × 109

𝜀𝑡 ≅ −33𝜇

6. CISALHAMENTO PURO

6.1 DEFINIÇÃO

Um elemento estrutural submete-se a esforço de cisalhamento, quando

sofre a ação de uma força cortante. Além de provocar cisalhamento, a força

cortante dá origem a um momento fletor, que por ser de baixíssima

intensidade, será desprezado nesta seção.

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6.2 FORÇA CORTANTE 𝑄

Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a

área de secção transversal de um material qualquer, conforme ilustrado abaixo.

6.3 TENSÃO DE CISALHAMENTO

A ação de carga sobre a área da secção transversal de um material

causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação

entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal do

material sujeito a cisalhamento.

𝜏 =𝑄

𝐴𝑐𝑖𝑠

Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento,

utiliza-se o somatório das áreas transversais para o dimensionamento. Se os

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elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a

área de secção transversal pelo número de elementos (𝑛).

Tem-se então:

𝜏 =𝑄

𝑛 . 𝐴𝑐𝑖𝑠

onde:

𝜏 – tensão de cisalhamento [Pa];

𝑄 – carga cortante [N];

𝐴𝑐𝑖𝑠 – área da secção transversal do material [𝑚2];

𝑛 – número de elementos submetidos a cisalhamento [adimensional].

Se as áreas das secções transversais forem desiguais, o esforço atuante

em cada elemento será proporcional a sua área de secção transversal.

6.4 DEFORMAÇÃO DO CISALHAMENTO

Supondo-se o caso da secção transversal retangular da figura a seguir,

observa-se que:

• Ao receber a ação da carga cortante, o ponto 𝐶 desloca-se para a

posição 𝐶′, e o ponto 𝐷 para a posição 𝐷′, gerando um ângulo

denominado distorção.

• A distorção é medida em radianos (portanto adimensional),

através da relação entre a tensão de cisalhamento atuante e o

módulo de elasticidade do material.

𝛾 =𝜏

𝐺

onde:

𝛾 – distorção [rad];

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𝜏 – tensão de cisalhamento atuante [Pa];

𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa].

6.5 TENSÃO NORMAL (𝜎) E TENSÃO DE CISALHAMENTO (𝜏)

A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal domaterial, ou seja,

perpendicular à secção transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento é

tangencial à secção transversal do material, conforme ilustrado na figura

abaixo.

6.6 PRESSÃO DE CONTATO𝜎𝑑

No dimensionamento de juntas, sejas elas de qualquer tipo, torna-se

necessária a verificação da pressão de contato entre o elemento e a parede na

junta em análise. Por exemplo, a figura abaixo mostra dois materiais que estão

unidos por um rebite.

A carga 𝑄 atuando na junta, tende a cisalhar a secção 𝐴𝐴 (figura

anterior).

Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento

(rebite) e a parede do furo (região 𝐴𝐵 ou 𝐴𝐶). A pressão de contato, que pode

acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da

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relação entre a carga de compressão atuante e a área da secção longitudinal

do elemento, que é projetada na parede do furo.

Tem-se então que:

Região de contato𝐴𝐵 e 𝐴𝐶.

6.6.1 Pressão de contato (Esmagamento)

𝜎𝑑 =𝑄

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗=

𝑄

𝑑𝑡

Quando houver mais de um elemento (rebite) utiliza-se:

𝜎𝑑 =𝑄

𝑛 . 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗=

𝑄

𝑛𝑑𝑡

onde:

𝜎𝑑 – pressão de contato [Pa];

𝑄 – Carga cortante aplicada na junta [N];

𝑛 – número de elementos [adimensional];

𝑡 – espessura da chapa [m].

7. FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR

7.1 CONVENÇÃO DE SINAIS

7.1.1 Força cortante 𝑸

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A força cortante será positiva, quando provocar no objeto momento fletor

positivo.

Objetos Estruturais Horizontais

Convenciona-se a cortante como positiva, aquela que atua à esquerda

da secção transversal estudada, de baixo para cima.

Objetos Estruturais Verticais

Convenciona-se cortante positiva, aquela que atua à esquerda da

secção estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita.

7.1.2 Momento Fletor 𝑴

Momento Positivo

O momento fletor é considerado positivo, quando as cargas cortantes

atuantes no objeto material tracionam as suas fibras inferiores.

Momento Negativo

O momento fletor é considerado negativo, quando as forças cortantes

atuantes no objeto material comprimirem as suas fibras inferiores.

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O momento fletor é definido através da integral da cortante que atua na

secção transversal estudada.Portanto, tem-se que:

𝑀 = ∫ 𝑄𝑑𝑥 𝑄 =𝑑𝑀

𝑑𝑥

Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à

esquerda da secção transversal estudada, como positivo.

7.2 FORÇA CORTANTE𝑄

Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção

transversal de um objeto material, através da resultante das forças cortantes à

esquerda da secção transversal estudada.

Exemplos:

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Secção 𝐴𝐴 𝑄 = 𝑅𝐴

Secção 𝐵𝐵 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃1

Secção 𝐶𝐶 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃1 − 𝑃2

7.3 MOMENTO FLETOR 𝑀

O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal de

um objeto material, obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à

esquerda da secção estudada.

Secção 𝐴𝐴 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋

Secção 𝐵𝐵 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋 − 𝑃1(𝑥 − 𝑎)

Secção 𝐶𝐶 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋 − 𝑃1(𝑥 − 𝑎) − 𝑃2[𝑥 − (𝑎 + 𝑏)]

Exemplo: Determinar as expressões de 𝑄 e 𝑀 e construir os respectivos

diagramas no materialbiapoiado, solicitado pela ação da carga concentrada P,

conforme mostra a figura.

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Solução:

a) Determinam-se as reações nos apoios através da ∑ 𝑀 = 0 e, em relação

a dois pontos do material. Os pontos considerados ideias para o caso

são 𝐴 e 𝐵.

∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0

𝑅𝐵 . (𝑎 + 𝑏) = 𝑃𝐴 𝑅𝐴 . (𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑏

𝑅𝐵 =𝑃𝐴

𝑎 + 𝑏 𝑅𝐴 =

𝑃 . 𝑏

𝑎 + 𝑏

b) Expressões de 𝑄 e 𝑀

0 < 𝑥 < 𝑎 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑏

𝑄 = 𝑅𝐴 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃 = −𝑅𝐵

𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑥 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑎)

𝑥 = 0 → 𝑀 = 0 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑀 = 0

𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎

c) Construção dos diagramas

𝐶1 – Diagrama Cortante (𝑄)

Com origem na linha zero da 𝑄, traça-se o segmento de reta vertical que

representa 𝑅𝐴. No trecho 0 < 𝑥 < 𝑎 a 𝑄 = 𝑅𝐴 portanto uma constante,

representada pelo segmento de reta paralelo, à linha zero. No ponto de

aplicação da carga P, traça-se o segmento de reta vertical que corresponde à

intensidade da carga P. Como 𝑃 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵, conclui-se que o valor da 𝑄 que

ultrapassa a linha zero é −𝑅𝐵 que corresponde a 𝑄 que atua no trecho 𝑎 < 𝑥 <

𝑎 + 𝑏; portanto novamente tem-se uma paralela à linha zero.

Ao atingir o apoio 𝐵, a 𝑄 = −𝑅𝐵 como reação é positiva, traça-se o

segmento de reta que sobe e zera o gráfico. Portanto, o gráfico sai da linha

zero e retorna à linha zero.

𝐶2 – Diagrama do Momento (𝑀)

Com origem na linha zero do 𝑀, traça-se o segmento de reta que une o

momento zero em 𝑥 = 0 até 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎 em 𝑥 = 𝑎. Observa-se que a equação

do Momento no trecho é do 10 grau, portanto, tem como gráfico, um segmento

de reta. Analogamente ao trecho 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑏 utiliza-se um outro segmento

de reta unindo os pontos 𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎 até 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑀 = 0.

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8. FLEXÃO, TORÇÃO E FLAMBAGEM

8.1 FLEXÃO

8.1.1 Introdução

O esforço de flexão configura-se em um objeto material, quando este

sofre a ação de cargas cortantes, que venham a originar momento fletor

significativo, como ilustrado abaixo.

8.1.2 Flexão Pura

Quando a peça submetida à flexão, apresenta somente momento fletor

nas diferentes secções transversais, e não possui força cortante atuante nestas

secções, a flexão é denominada pura.No intervalo compreendido entre 𝐶 e 𝐷, a

cortante é nula e o momento fletor atuante é constante. Neste intervalo, existe

somente a tensão normal, pois a tensão de cisalhamento é nula, portanto o

valor da força cortante é zero, conforme ilustrado na figura abaixo.

8.1.3 Flexão simples

A flexão é denominada simples, quando as secções transversais de um

objeto material estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor

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simultaneamente. Exemplos: intervalos 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 da figura anterior. Neste caso,

atua tensão normal e tensão tangencial.

8.1.4 Tensão Normal na Flexão

Suponha que a figura representada a seguir seja um objeto estrutural

com secção transversal 𝐴 qualquer e comprimento 𝑙, que encontra-se

submetido à flexão pela ação de cargas cortantes representadas.

As fibras inferiores do material encontram-se tracionadas, enquanto as

fibras superiores estão comprimidas.A tensão normal atuante máxima, também

denominada tensão de flexão, é determinada em relação à fibra mais distante

da secção transversal, através da relação entre o produto do momento fletor

atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia

baricêntrico da secção.

Tem-se, então:

𝜎𝑐 =𝑀𝑎

𝐽 𝜎𝑡 =

𝑀𝑏

𝐽

onde:𝜎𝑐 – tensão máxima nas fibras tracionadas. Como se convenciona o

momento fletor nas fibras comprimidas negativo, 𝜎𝑐 será sempre < 0

(negativo).

𝜎𝑡 – tensão máxima nas fibras tracionadas. Como, por convenção, o

momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, 𝜎𝑡 será sempre > 0 (positivo).

8.1.5 Dimensionamento na Flexão

Para o dimensionamento de materiais submetidos a esforços de flexão,

utiliza-se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais

afastada, não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.

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Tem-se, então, que:

𝜎𝑥 =𝑀 . 𝑦𝑚𝑎𝑥

𝐽𝑥

Como o módulo de resistência é dado por:

𝑊𝑥 =𝐽𝑥

𝑦𝑚𝑎𝑥

Logo:

𝜎𝑥 =𝑀

𝑊𝑥

Para dimensionar-se um material, utiliza-se 𝜎 = 𝜎𝑥.Quando a carga

aplicada for normal ao eixo 𝑦, tem-se que:

𝜎𝑦 =𝑀𝑥𝑚𝑎𝑥

𝐽𝑦

𝑊𝑦 =𝐽𝑦

𝑥𝑚𝑎𝑥

Portanto:

𝜎𝑦 =𝑀

𝑥𝑚𝑎𝑥

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Para dimensionar o material, utiliza-se: 𝜎 = 𝜎𝑦

onde:

𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 – tensão normal atuante na fibra mais afastada [Pa];

𝜎 – tensão admissível [Pa; 𝑁 𝑚𝑚2⁄ ];

𝑀 – momento fletor [Nm; Nmm];

𝑊𝑥 e 𝑊𝑦 – módulo de resistência da secção transversal [𝑚3; 𝑚𝑚3];

8.1.6 Tensão de Cisalhamento na Flexão

A força cortante que atua na secção transversal do material provoca

neste uma tensão de cisalhamento, que é determinada através da fórmula de

Zhuravski.

𝜏 =𝑄

𝑏∫ 𝑦𝑑𝐴

ℎ 2⁄

0

Como:

𝑀𝑒 = ∫ 𝑦𝑑𝐴𝐴

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Portanto:

𝜏 =𝑄𝑀𝑒

𝑏𝐽

onde:

𝜏 – tensão de cisalhamento [Pa;𝑁 𝑚𝑚2⁄ ];

𝑄 – força cortante atuante na secção [N];

𝑀𝑒 – momento estático da parte hachurada da secção (acima de y) [𝑚3; 𝑚𝑚3];

𝑏 – largura da secção [m; mm];

𝐽 – momento de inércia da secção transversal [𝑚4; 𝑚𝑚4].

Na prática, geralmente, atenção é nula na fibra mais distante, sendo

máxima na linha neutra.

8.1.7 Deformação na Flexão

Nos estudos práticos de flexão, é evidente que as fibras da parte

tracionada alongam-se e as fibras da parte comprimida encurtam-se. Ao aplicar

as cargas na peça, as secções transversais 𝑐𝑔 e 𝑑𝑓 giram em torno do eixo 𝑦,

perpendicular ao plano de flexão. As fibras longitudinais do lado côncavo

contraem-se e as do lado convexo alongam-se. A origem dos eixos de

referência 𝑥 e 𝑦 está contida na superfície neutra.

Para obter o ∆ 𝑑𝑏𝑒, traça-se uma paralela à secção 𝑐𝑔. O lado 𝑑𝑒 do

triângulo 𝑏𝑑𝑒 representa o alongamento da fibra localizada a uma distância 𝑦

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da superfície neutra (𝑆𝑁).A semelhança entre os triângulos 𝑜𝑎𝑏 e 𝑏𝑑𝑒 fornece a

deformação da fibra longitudinal.Escreve-se, então: 𝜀𝑥 =𝑑𝑒

𝑎𝑏=

𝑦

𝑟

O alongamento longitudinal das fibras na parte tracionada é acompanhado por

uma contração lateral, e a contração das fibras da parte comprimida é

acompanhada por uma distensão lateral. A deformação que ocorre na secção

transversal é determinada por:

𝜀𝑧 = −ʋ . 𝜀𝑥

onde:

𝜀𝑧 – deformação transversal

ʋ - coeficiente de Poisson

𝜀𝑥 – deformação longitudinal

𝜀𝑧 = −ʋ . 𝜀𝑥 = −ʋ𝑦

𝑟

onde:

𝑦 – distância da fibra estudada à superfície neutra [mm];

𝑟 – raio da curvatura do eixo do material [mm];

Pode-se perceber que o raio de curvatura 𝑅 da secção transversal é

maior que 𝑟, proporcional ao coeficiente de Poisson.

𝑟 = 𝑅 . ʋ

Através da lei de Hooke, encontra-se a tensão longitudinal das fibras.

𝜎𝑥 = 𝐸 . 𝑒𝑥 𝜎𝑥 = 𝐸𝑦

𝑟

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Considera-se agora um infinitésimo de área 𝑑𝐴, que dista 𝑦 do eixo 𝑧

(LN).A tensão que atua em 𝑑𝐴 é 𝑠𝑥, portanto a força que atua em 𝑑𝐴:

𝐹 = ∫𝐸𝑦

𝑟𝑑𝐴

𝐴

=𝐸

𝑟∫ 𝑦𝑑𝐴

𝐴

Como resultante das forças distribuídas na secção transversal é igual a

zero, pois o sistema de cargas pode ser substituído por um conjugado, tem-se

então que:

𝐹 =𝐸

𝑟∫ 𝑦𝑑𝐴

𝐴

= 0

O momento estático 𝑦𝑑𝐴 = 0 em relação à linha neutra, então conclui-se

que a linha neutra passa pelo 𝐶𝐺 da secção.O momento estático de 𝑑𝐴 em

relação à linha neutra é dado por:

𝐸𝑦

𝑟= 𝑑𝐴𝑦

Integrando a expressão para a superfície, encontra-se que:

𝑀 = ∫𝐸

𝑟𝑦2𝑑𝐴

Como a linha neutra considerada no estudo da secção transversal é 𝑧,

conclui-se que 𝐽𝑧 = 𝑦2𝑑𝐴; portanto:

𝑀 =𝐸

𝑟𝐽𝑧

Sabe-se que: 𝐸 =𝜎𝑥 .𝑟

𝑦

Portanto, substituindo 𝐸 na equação de 𝑀, tem-se que:

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𝑀 =𝜎𝑥 .𝑟

𝑦𝑟𝐽𝑧 𝜎𝑥 =

𝑀 .𝑦

𝐽𝑧

Obs.: Como, para determinar as características geométricas das superfícies

planas trabalhamos com eixos 𝑥 e 𝑦 na secção transversal, o 𝐽𝑧é nestes casos

𝐽𝑥.

𝜎 =𝑀 . 𝑦

𝐽𝑧

Exemplo: Dimensionar o material biapoiado abaixo que deverá suportar o

carregamento representado na figura. Utilizar 𝜎𝑚𝑎𝑑 = 10 𝑀𝑃𝑎 e ℎ ≅ 3𝑏.

Solução:

Como as cargas são simétricas aos apoios, conclui-se que

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 1750𝑁

a) Expressões de 𝑄 e 𝑀

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0 < 𝑥 < 1

𝑄 = −1000 𝑁

𝑀 = −1000𝑥

𝑥 = 0 → 𝑀 = 0

𝑥 = 1 → 𝑀 = −1000 𝑁𝑚

1 < 𝑥 < 2

𝑄 = 𝑅𝐴 − 1000 = 750𝑁

𝑀 = −1000𝑥 + 𝑅𝐴(𝑥 − 1)

𝑥 = 2 → 𝑀 = −250𝑁𝑚

Como o carregamento é simétrico, conclui-se que:

𝑥 = 3 → 𝑀 = −1000𝑁𝑚

𝑥 = 4 → 𝑀 = 0

b) Dimensionamento do material

𝜎 =𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑊𝑥

O módulo de resistência da secção transversal retangular é:

𝑊𝑥 =𝑏ℎ2

6

𝜎 =𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑊𝑥=

𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑏ℎ2

6

=6𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑏ℎ2

Como a secção transversal domaterial deverá ter ℎ ≅ 3𝑏, tem-se que:

𝜎 =6𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑏(3𝑏)2=

6𝑀𝑚𝑎𝑥

𝑏 . 9𝑏2=

6𝑀𝑚𝑎𝑥

9𝑏3

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de onde:

𝑏 = √6𝑀𝑚𝑎𝑥

9𝜎

3

= √6 × 1000𝑁𝑚

9 × 10 × 106 𝑁

𝑚2

3

𝑏 = √6 × 1000

9 × 10

3

× 10−2𝑚

𝑏 ≅ 4 × 10−2𝑚 → 𝑏 = 4𝑐𝑚 ou 𝑏 = 40𝑚𝑚

Como ℎ = 3𝑏, conclui-se que ℎ = 3 × 30 = 120𝑚𝑚.

8.2 TORÇÃO

8.2.1 Introdução

Um objeto material submete-se a esforço de torção, quando atua um

torque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade

oposta, conforme ilustrado na figura abaixo.

8.2.2 Momento Torçor ou Torque

O torque atuante no material representado na figura é definido através

do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de

aplicação da carga e o centro da secção transversal (pólo).

Tem-se portanto:

𝑀𝑇 = 2𝐹 . 𝑆

onde:

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𝑀𝑇 – Momento torçor ou torque [Nm];

𝐹 – Carga aplicada [N];

𝑆 – Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo [m].

Para exemplificarnas transmissões mecânica construídas por polias,

engrenagens, rodas de atrito, correntes, etc., o torque é determinado através

de:

𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 . 𝑟

onde:

𝑀𝑇 – Torque [Nm];

𝐹𝑇 – Força tangencial [N];

𝑟 – raio do material [m].

8.2.3 Tensão de Cisalhamento na Torção (𝝉)

A tensão de cisalhamento atuante na secção transversal de um material

é definido através da expressão:

𝜏 =𝑀𝑇 . 𝜌

𝐽𝑝

para 𝜌 = 0 → 𝜏 = 0

para 𝜌 = 𝑟 → 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑇 .𝜌

𝐽𝑝 (I)

A tensão aumenta à medida que o ponto estudado afasta-se do centro e

aproxima-se da periferia. A tensão máxima na secção ocorrerá na distância

máxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando 𝜌 = 𝑟.Pela definição de

módulo de resistência polar, sabe-se que:

𝑊𝑝 =𝐽𝑝

𝑟 (II)

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Substituindo (II) em (I), tem-se que:

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑇

𝑊𝑝

onde:

𝜏𝑚𝑎𝑥 – tensão máxima de cisalhamento na torção [Pa];

𝑀𝑇–momentotorçor ou torque [Nm; Nmm];

𝐽𝑝–momento polar de inércia [m4; mm4];

𝑟–raio da secção transversal [m; mm];

𝑊𝑝–módulo de resistência polar da secção transversal [m3; mm3]

8.2.4 Distorção (𝜸)

O torque atuante no material provoca na secção transversal deste, o

deslocamento do ponto 𝐴 da periferia para uma posição 𝐴′.Na longitude do

eixo, origina-se uma deformação de cisalhamento que denomina-se distorção

𝛾, que é determinada em radianos, através da tensão de cisalhamento atuante

e o módulo de elasticidade transversal do material.

𝛾 =𝜏

𝐺

onde:

𝛾 – distorção [rad];

𝜏 – tensão atuante [Pa];

𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa].

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8.2.5 Ângulo de Torção (𝜽)

O deslocamento do ponto 𝐴 para uma posição 𝐴′, descrito na distorção,

gera, na secção transversal da peça, um ângulo de torção (𝜃) que é definido

através da fórmula.

𝜃 =𝑀𝑇 . 𝑙

𝐽𝑝 . 𝐺

onde:

𝜃 – ângulo de torção [radianos];

𝑀𝑇 - momento torçor ou torque [Nm; Nmm];

𝑙 – comprimento do objeto material [m; mm];

𝐽𝑝 –momento polar de inércia [m4; mm4];

𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa].

Exemplo:

Um material feito de aço possui diâmetro 𝑑 = 30𝑚𝑚, gira com uma

velocidade angular 𝜔 = 20𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ , movida por uma força tangencial 𝐹𝑇 =

18𝑘𝑁.

Determinar para o movimento:

a) Rotação (n)

b) Frequência (f)

c) Velocidade periférica (𝑣𝑝)

d) Torque (𝑀𝑡)

Solução:

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a) Rotação (n)

𝑛 =30𝜔

𝜋→ 𝑛 =

30 × 20𝜋

𝜋→ 𝑛 = 600𝑟𝑝𝑚

b) Frequência (f)

𝑓 =𝑛

60=

600

60→ 𝑓 = 10𝐻𝑧

c) Velocidade periférica (𝑣𝑝)

𝑣𝑝 = 𝜔 . 𝑟 = 20𝜋 × 0,015 = 0,3𝜋 𝑚 𝑠⁄ ≅ 0,94 𝑚 𝑠⁄

d) Torque (𝑀𝑡)

𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 . 𝑟 = 18000𝑁 × 0,015𝑚 → 𝑀𝑇 = 270𝑁𝑚

8.3 FLAMBAGEM

8.3.1 Introdução

Ao sofrer a ação de uma carga axial de compressão, um objeto

estrutural pode perder a sua estabilidade, sem que o material tenha atingido o

seu limite de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de

menor momento de inércia de sua secção transversal.

8.3.2 Carga Crítica

Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que um objeto

estrutural venha a perder estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na

direção do eixo longitudinal, como ilustrado abaixo.

8.3.2.1 Carga Crítica de Euler

Através do estudo do suíço Leonard Euler (1707-1783), determinou-se a

fórmula da carga crítica nas estruturas carregadas axialmente.

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𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐽

𝑙𝑓2

onde:

𝑃𝑐𝑟–carga crítica [N; kN];

𝐸–módulo de elasticidade do material [Mpa; GPa];

𝐽 – momento de inércia da secção transversal [m4; cm4]

𝑙𝑓 – comprimento livre de flambagem [m; mm]

𝜋 – constante trigonométrica 3,1415...

8.3.3 Comprimento Livre de Flambagem

Em função do tipo de fixação de suas extremidades, um objeto estrutural

apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem.

Engastada e livre 𝑙𝑓 = 2𝑙

Biarticulada 𝑙𝑓 = 𝑙

Articulada e engastada 𝑙𝑓 = 0,7𝑙

Biengastada𝑙𝑓 = 0,5𝑙

8.3.4 Índice de Esbeltez (𝝀)

É definido através da relação entre o comprimento de flambagem (𝑙𝑓) e o

raio de giração mínimo da secção transversal do objeto estrutural em análise.

𝜆 =𝑙𝑓

𝑖𝑚𝑖𝑛

onde

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𝜆 – índice de esbeltez [adimensional];

𝑙𝑓 – comprimento livre de flambagem [m; mm];

𝑖𝑚𝑖𝑛 – raio de giração mínimo [m].

8.3.5 Tensão Crítica (𝝈𝒄𝒓)

A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de

proporcionalidade do material. Desta forma, observa-se que o material deverá

estar sempre na região de formação elástica, pois o limite de proporcionalidade

constitui-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.Define-se a tensão

crítica através da relação entre a carga crítica e a área de secção transversal

do objeto estrutural analisado.Tem-se então:

𝜎𝑐𝑟 =𝑃𝑐𝑟

𝐴=

𝜋2𝐸𝐽

𝑙𝑓2 . 𝐴

Como 𝑙𝑓2 = 𝜆2 . 𝑖𝑚𝑖𝑛

2 escreve-se que

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐽

𝐴 .𝜆2.𝑖𝑚𝑖𝑛2 mas, 𝑖𝑚𝑖𝑛

2 =𝐽

𝐴

Portanto:

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐽

𝐴 𝐽

𝐴𝜆2

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2. 𝐸

𝜆2

onde:

𝜎𝑐𝑟 – tensão crítica [MPa];

𝐸 – módulo de elasticidade do material [Mpa; GPa];

𝜆 – índice de esbeltez [adimensional];

𝜋 – constante trigonométrica 3,1415...

Exemplo:

Determinar 𝜆 para um material feito de aço, visando ao domínio da

fórmula de Euler.

𝜎𝑝 = 190𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 𝐺𝑃𝑎

Solução:

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Para determinar o domínio, a tensão de proporcionalidade torna-se

crítica. Tem-se, então, que:

𝜎𝑝 = 𝜎𝑐𝑟 =𝜋2𝐸

𝜆2

𝜆 = √𝜋2 . 𝐸

𝜎𝑝

𝜆 = √𝜋2 × 210 × 109

190 × 106= √

𝜋2 × 21 × 104

190

𝜆 = 102√𝜋2 × 21

190→ 𝜆 =≅ 105

Conclui-se que: para aço de baixo carbono, a fórmula de Euler é válida para

𝜆 > 105.

9. ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES

9.1. INTRODUÇÃO

A análise de tensões e deformações é fundamental para o entendimento

de problemas relacionados a resistência de estruturas mecânicas/geológicas.

Tal resistência é compreendida através da determinação das tensões que

surgem quando um material está sujeito a carregamentos externos e internos.

9.2. ESTADO DE TENSÃO

9.2.1.Estado triplo de tensão

O estado triplo de tensão é caracterizado pela forma tridimensional das

tensões na qual um material está submetido (Bela et al., 1999).

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Figura 1: Estado triplo de tensões.

9.2.2. Estado plano de tensão

Neste caso, desconsidera-se as componentes de tensão relativas ao

eixo z, mostradas na Figura 1, resultando no estado plano representado na

Figura 2.

Figura 2: Estado plano de tensões.

9.2.3. Transformações de tensão

As tensões são variantes com a orientação do sistema de coordenadas

adotado, o que indica, que se um elemento estrutural é rotacionado de um

ângulo qualquer as tensões são transformadas, como indicado na Figura 3.

Figura 3: Transformação de tensões.

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Desta forma, as transformações são obtidas a partir do produto entre o

tensor das tensões e a matriz dos cossenos diretores, ou de forma mais

simples, através das decomposições geométricas, mostradas na Figura 4.

Figura 4: Plano oblíquo - determinação das transformações de tensão

Sendo assim, as tensões transformadas para um plano qualquer são

dadas por:

cos2 sin 22 2

x y x y

xy

+ −= + + (1)

sin 2 cos22

x y

xy

−= − + (2)

Derivando a Eq. (1) em relação ao ângulo θ e igualando a zero, tem-se:

2tan 2

xy

p

x y

=

− (3)

A Eq. (3) define dois valores para o ângulo 2𝑞, correspondentes a

mínima e máxima tensões normais. Estas tensões são chamadas de tensões

principais, e a correspondente direção é chamada de direção principal. O

ângulo entre as direções principais é 𝑞 = 90°.

Similarmente, derivando a Eq. (2) em relação ao ângulo 𝑞 e igualando a

zero, tem-se:

tan 22

x y

C

xy

−= −

(4)

A Eq. (4) define dois valores para o ângulo 2𝑞, correspondentes a

mínima e máxima tensões de cisalhamento.

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De forma resumida, tem-se para as tensões principais

( )2

2

1 2,

2 2

x y x y

xy

+ − = +

(5)

No caso da tensão de cisalhamento máxima, tem-se:

( )2

2

2

x y

MAX xy

− = +

(6)

9.2.4. Ciclo de Mohr

O ciclo de Mohr é um método gráfico para visualizar o estado de tensão

a qual um material está submetido. As tensões normais são plotadas sobre o

eixo das abscissas e as tensões cisalhantes sobre o eixo das ordenadas.

Quanto a convenção de sinais, tanto para as tensões normais quanto para as

tensões de cisalhamento está mostrada na Figura 3.

Figura 5: Ciclo de Mohr

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Convenção de sinais

Neste caso, consideramos separadamente cada face do elemento usado

na definição dos componentes de tensão. Vemos na figura abaixo que, quando

a tensão de cisalhamento em uma certa fase tende a rodar o elemento no

sentido horário, o ponto que corresponde a essa face no círculo de Mohr estará

situado acima do eixo 𝜎. Quando a tensão de cisalhamento em uma certa face

tende a rodar o elemento no sentido anti-horário, o ponto que corresponde a

essa face fica localizado abaixo do eixo 𝜎. Já para as tensões normais,

mantém-se a convenção usual, em que a tensão de tração é positiva, sendo

marcada para a direita, e a tensão de compressão é considerada negativa e

marcada para a esquerda.

Exercícios

1-Utilizando o estado plano de tensão abaixo, para 𝜎𝑥 = 75𝑀𝑃𝑎, determine (a)

as tensões principais; (b) a tensão de cisalhamento máxima; (c) o ângulo

principal e (d) o diagrama de Mohr.

2– Para que valores de 𝜎𝑥, a tensão de cisalhamento máxima, no estado plano

de tensão indicado na questão anterior, é igual ou menor que 50 MPa?

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9.3. CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

Os elementos estruturais e seus componentes são projetados de modo

que o material que os compõem, não venha falhar pela ação dos

carregamentos esperados. Sendo assim, existem critérios que foram propostos

para prever a falha estrutural de vários tipos de materiais sujeitos a muitas

combinações de cargas.

9.3.1. Critérios de Ruptura para Materiais Frágeis em Estado Plano de

Tensões

Os materiais frágeis se caracterizam pelo fato de apresentarem uma

ruptura brusca no ensaio de tração, sem que ocorra escoamento anterior ao

instante de ruptura. Quando um elemento estrutural, composto de material

frágil, está em estado uniaxial de tensão de tração, o valor da tensão que

provoca sua ruptura é igual à tensão última σU do material, determinada em um

ensaio de tração. Isso se dá porque o elemento estrutural e o corpo de prova

estão submetidos ao mesmo estado de tensões. Por outro lado, quando o

elemento estrutural ou componente de máquina se encontrar em estado plano

de tensões, é conveniente determinar-se inicialmente as tensões principais 𝜎1e

𝜎2 em um certo ponto, e usar um dos critérios indicados a seguir, para garantir-

se que o elemento ou componente não irá romper sob efeito do carregamento

esperado.

9.3.2. Critério da Máxima Tensão Normal ou Critério de Coulomb

De acordo com este critério, um componente estrutural se rompe quando

a máxima tensão normal atuante atinge o valor da tensão última 𝜎𝑈, obtida por

meio de um ensaio de tração em corpo de prova do mesmo material. Assim, o

componente estrutural se encontrará em situação de segurança enquanto os

valores absolutos das tensões principais 𝜎1e 𝜎2 forem ambos menores que 𝜎𝑈:

1

2

U

U (7)

O critério da máxima tensão normal pode ser expresso graficamente

como indica a Figura 9. Marcando os valores de 𝜎1e 𝜎2, localizamos um ponto

que, se estiver dentro da área do quadrado indicada, indicará que o elemento

estrutural tem segurança. Se o ponto estiver fora dessa área, o elemento

estrutural irá romper-se.

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Figura 9: Representação de Coulomb.

O critério da máxima tensão normal é conhecido também como critério

de Coulomb, devido ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-

1806). Esse critério tem uma deficiência séria, uma vez, que se baseia na

hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na

compressão. Esse fato raramente ocorre, devido à presença de vazios no

material, tais como falhas e fissuras, que debilitam o material tracionado,

embora não tenham influência apreciável no material sujeito a compressão. Por

outro lado, esse critério não leva em conta outros efeitos nos mecanismos de

ruptura do material, a não ser aqueles da tensão normal.

9.3.3. Critério da Máxima Deformação Específica ou Critério de Saint-

Venant

Foi muito usado durante o século dezenove. De acordo com esse

critério, um componente estrutural se encontra com segurança enquanto o

valor máximo da deformação específica no componente não exceder o valor 𝜀𝑈

da deformação específica de ruptura de um corpo de prova submetido a ensaio

de tração. Mas, a deformação específica é máxima ao longo de um dos eixos

principais de tensão, e a deformação é elástica e o material é homogêneo e

isotrópico. Logo chamando de 𝜀𝑎 e 𝜀𝑏 os valores das deformações específicas

ao longo dos eixos principais no plano de tensão escrevemos

Ub

Ua

(8)

Fazendo uso da Lei de Hooke generalizada, vamos exprimir essas

relações em função das tensões principais 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 e da tensão última 𝜎𝑈, do

material estudado. Deduz-se que, de acordo com o critério da máxima

deformação específica, o componente estrutural se encontra em situação de

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segurança sempre que o ponto marcado com as coordenadas 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 cair

dentro da área indicada na Fig. 9. Na figura, ʋ indica o coeficiente de Poisson

para o material.

Figura 9

9.3.4. Critério de Mohr

Critério sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado

para prever os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material

frágil, quando alguns resultados de vários tipos de ensaios podem ser obtidos

para esse material.Vamos considerar inicialmente que foram feitos ensaios de

tração e de compressão em um certo material, e que se determinaram os

valores 𝜎𝑈𝑇 e 𝜎𝑈𝐶 da tensão última para tração e compressão. O estado de

tensões que corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração

pode ser representado em um diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que

intercepta o eixo horizontal em O e em 𝜎𝑈𝑇 (Fig. 10a). Do mesmo modo, o

estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode

ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em 𝜎𝑈𝐶

Fica claro que um estado de tensões representado por um círculo inteiramente

contido em qualquer dos dois círculos é um estado de tensões seguro. Desse

modo, quando as duas tensões principais são positivas, o estado de tensões é

seguro enquanto 𝜎𝑎 < 𝜎𝑈𝑇e 𝜎𝑏 e 𝜎𝑏 < 𝜎𝑈𝑇; quando as duas tensões principais

são negativas, o estado de tensões é seguro para |𝜎𝑎| < |𝜎𝑈𝑐| e |𝜎𝑏| < |𝜎𝑈𝑐|.

Marcando o ponto de coordenadas 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 (Fig. 10b), vamos verificar que o

estado de tensões é seguro se o ponto marcado cair em alguma das áreas

quadradas da figura.

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Figura 10

Para a análise dos casos em que 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 têm sinais contrários, vamos

considerar que a tensão última para cisalhamento no material, 𝜏𝑈, foi

determinada em um teste de torção. Desenhamos o círculo de centro em O,

que representa o estado de tensões do corpo de prova no ensaio, no instante

de ruptura (Fig. 11a). Qualquer estado de tensões representado por um círculo

que esteja inteiramente contido no círculo obtido é um estado de tensões

seguro para o material. O critério de Mohr é uma extensão lógica dessa

observação: de acordo com ele, um estado de tensões é seguro se for

representado por um círculo localizado inteiramente dentro da área limitada

pela envoltória dos círculos que correspondem aos dados de ensaios.

Podemos agora obter as partes restantes do diagrama de tensões principais,

desenhando vários círculos tangentes à envoltória, para determinarmos os

valores correspondentes de 𝜎𝑎e 𝜎𝑏, que serão marcados na Fig. 11b.

Figura 11

Diagramas mais exatos podem ser obtidos se for possível a

determinação de mais resultados de ensaios, correspondentes a vários estados

de tensões. Se, por outro lado, os únicos dados disponíveis forem as tensões

últimas 𝜎𝑈𝑇e 𝜎𝑈𝐶, a envoltória da Fig. 11a é substituída pelas tangentes AB e

A'B' aos círculos que são relativos à ruptura a tração e à ruptura a compressão

(Fig. 12a). Os triângulos semelhantes desenhados nessa figura mostram que a

abscissa C de um círculo tangente a AB e A'B' varia linearmente com o seu raio

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R. Como 𝜎𝑎 = 𝑂𝐶 + 𝑅 e 𝜎𝑏 = 𝑂𝐶 − 𝑅, vemos que 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 têm variação linear.

Assim, a área sombreada que corresponde a esse critério de Mohr simplificado

é limitada por duas linhas retas no segundo e quarto quadrantes (Fig. 12b).

Figura 12

Devemos observar que para determinarmos se um componente

estrutural é seguro ou não para certo carregamento, precisamos calcular o

estado de tensões em todos os pontos críticos do componente, quer dizer em

todos os pontos em que possam ocorrer concentração de tensões. Em alguns

casos, esse cálculo pode ser efetuado por meio dos fatores de concentração

de tensões. Em muitos outros casos, no entanto, devemos lançar mão da teoria

da elasticidade para calcularmos o estado de tensões nos pontos

críticos.Cuidados especiais devem ser tomados quando se detecta fissuras

macroscópicas em componentes estruturais. É certo que o corpo de prova

usado no ensaio de determinação da tensão última deve ter algum tipo de

imperfeição (como cavidades, fendas e fissuras microscópicas), do mesmo

modo que o componente estrutural em estudo, mas certamente está isento de

falhas macroscópicas. Quando uma fissura ou trinca é detectada em um

elemento estrutural, é necessário determinar-se se a fissura vai se propagar

sob o esforço atuante, levando o elemento à ruptura, ou se vai se manter

estável. Isso exige uma análise envolvendo a energia associada ao

crescimento da fissura.

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