F-315 (Mecânica Geral I)Aula 2

Prof. Mário Noboru TamashiroDepartamento de Física Aplicada, prédio A-5, sala 7

ramal 3521-5339e-mail: mtamash@ifi.unicamp.brhttp://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f315_mecgeral_i

Slides do prof. Antonio Vidiella Barranco: http://www.ifi.unicamp.br/~vidiella/aulas.html

2ª Lei de Newton

dt

vdm

dt

rdmFR

2

2

Força resultante i

iR FF

Mecânica Newtoniana

Partícula de massa m submetida a uma força FR

Força constante – Peso

ymgdt

rdm ˆ

2

2

cuja solução é:

ygttvrtr ˆ2

1)( 2

00

Simplificação: 0,0,0)0( r

00 zv movimento restrito ao plano x-y

Lançamento de projéteis:

partícula submetida somente à força peso -

TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136

TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136

r(t)≡ r(t)−r0 = v0t− 12gt2y

x(t)= v0xty(t)= v0yt− 1

2gt2

z(t)= 0

Substituindo t= x/v0x em y(t), obtém-se a parábola

S eq. (3.165) com r0 = 0

y(x)= v0y

v0xx− g

2v20x

x2

xmax

y x( )

0 xR

maxy

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2

2

00

0

2)( x

v

gx

v

vxy

xx

y parábola

Altura máxima:

Alcance:

g

vy

y

2

2

0

max

g

vvx

xy 00

alcance

2

Força constante – Peso

TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136

posição do máximo:dy(x)

dx

∣∣∣∣x=xmax

= v0y

v0x− g

v20x

xmax = 0

altura máxima: ymax = y(xmax)= v0y

v0xxmax − g

2v20x

x2max

tempo de voo T: y(T)= v0yT − 12gT2 = 0

alcance horizontal R: y(x=R)= v0y

v0xR− g

2v20x

R2 = 0

TM eqs. (2.37), (2.38); S eqs. (3.168), (3.167)

xmax =v0xv0y

g, ymax =

v20y

2g, T = 2v0y

g, R= 2v0xv0y

g= x(T)

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2sencossen22 2

0

2

000

g

v

g

v

g

vvx

xy

alcance

v0

θ

sen

cos

00

00

vv

vv

y

x

Para uma dada velocidade inicial de módulo v0, o alcance do

projétil será máximo para θ = π/4 rad

Força constante – Peso

NFat

Força de atrito \\\(módulo):

Força constante – Peso + atrito

Ângulo crítico: Aceleração:

ec tan cossin dx ga

TM exemplo 2.2, pg. 57

TM exemplo 2.2, pg. 57; S pg. 35

Fatr

µeN

µdN

xF mg= sen θµeN0

F(y)R =N −mgcosθ = 0

Caso estático: Fx ≤µeNF(x)

R =Fx−Fatr = 0Caso dinâmico: Fx >µeNF(x)

R =Fx−Fatr =max

Caso estático: mgsenθ ≤µemgcosθ → tgθ ≤µe

Caso dinâmico:TM eq. (2.15); S eq. (1.44)

ax = g(senθ−µd cosθ)> 0para tgθ >µe >µd

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Esteira deslizante com caixa em rolamento puro

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Podemos calcular primeiro v(t)

t

tdtFm

vtv0

0 )(1

)(

Para depois calcularmos x(t)

t

tvtdxtx0

0 )()(

Força dependente do tempo: F(t)

Força dependente do tempo: F(t)

Exemplo:

Uma partícula de massa m está submetida a uma força

da forma

Onde F0 e ω são constantes. Calcular a posição da partícula,

x(t), em função do tempo para as condições iniciais x(0) = x e v(0) = v .

xtFtF ˆsin10

0

0

Exercício para aprendizagem

Considere uma partícula de massa m sob a ação de

uma força da forma

Calcular o vetor posição da partícula como função do tempo,

para as condições iniciais x(0) = x0 ; vx(0) = vx0 ; y(0) = y e vy(0) = v .

ytAxFtF ˆˆ0

0

y0

Forças dependentes do tempo

Movimento em uma dimensão: F(t)=F0 (1+senωt) x

m..x=F(t)=F0 (1+senωt)

m .x=mv0+∫ t

0 dt′F(t′)=mv0+F0t− F0ω

(cosωt−1)

x(t)= x0+∫ t

0 dt′ .x(t′)= x0+v0t+ F02m t2+ F0

mωt− F0

mω2 senωt

Movimento em duas dimensões: F(t)=F0 x+A(τ− t) y

m..x=F0 → x(t)= x0+v0xt+ F02m t2

m..y=A(τ− t) → .y(t)−v0y = Am

∫ t0 dt′(τ− t′)= A

mτt− A2m t2

y(t)= y0+∫ t

0 dt′ .y(t′)= y0+v0yt+ A2m τt2− A

6m t3

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Coordenadas cartesianas: x,y

yxyyxxr ,ˆˆ

y

r

x x

y

Vetor posição

Velocidade

ydt

dyx

dt

dx

dt

rdv ˆˆ

Aceleração

ydt

ydx

dt

xd

dt

rd

dt

vda ˆˆ

2

2

2

2

2

2

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

yrxrr ˆsenˆcos

y

r

θ

x x

y

Vetor posição

Coordenadas polares: versores

yxr

rr ˆsenˆcosˆ

x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

yx ˆcosˆsenˆ

0ˆˆ,1ˆˆˆˆ rrrObs: rrr ˆ

Vetor posição:

ˆˆ

d

rdr

d

dˆ

ˆ

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

dt

rdrr

dt

dr

dt

rdv

ˆˆ

y

r

θ

x x

y

Vetor velocidade

x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

ˆˆ

rrrv Notação:

fdt

fdf

dt

df 2

2

;

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

dt

drrr

dt

rdrr

dt

rd

dt

vda

ˆˆˆˆ

ˆ

y

r

θ

x x

y

Vetor aceleração x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

ˆ2ˆ2

rrrrra

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃