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Programa Princ´ ıpios Gerais For¸cas,vetoreseopera¸c˜oesvetoriais MEC ˆ ANICA MAC010 Departamento de Mecˆ anica Aplicada e Computacional Prof a Mich` ele Farage, Prof a Fl´ avia Bastos 24 de fevereiro de 2015 Prof a Mich` ele Farage, Prof a Fl´ avia Bastos: MEC ˆ ANICA MAC010 Departamento de Mecˆ anica Aplicada e Computacional

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Programa Princıpios Gerais Forcas, vetores e operacoes vetoriais

MECANICA

MAC010

Departamento de Mecanica Aplicada e

Computacional

Profa Michele Farage,Profa Flavia Bastos

24 de fevereiro de 2015

Profa Michele Farage, Profa Flavia Bastos:

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Programa

Princıpios Gerais

Forcas, vetores e operacoes vetoriais

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Programa

I 1. Introducao: conceitos e definicoes basicos daMecanica, sistemas de unidades, homogeneidade deunidades.

I 2. Forcas e grandezas vetoriais: escalares e vetores,operacoes vetoriais, adicao de forcas vetoriais, adicao desistemas de forcas coplanares, vetores cartesianos, adicaoe subtracao de vetores cartesianos, vetores posicao, vetorforca orientado ao longo de uma reta, produto escalar,

I 3. Equilıbrio de um ponto material: condicao deequilıbrio, diagrama de corpo livre, sistemas de forcascoplanares, sistema de forcas tridimensional;

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Programa

I 4. Resultantes de sistemas de forcas : momento(formulacoes escalar e vetorial), princıpios dos momentos,momento de uma forca em relacao a um eixo, momentode um binario, sistemas equivalentes, resultantes desistemas de forcas e momentos, reducoes de sistemas deforcas e momentos, reducao de sistemas de cargasdistribuıdas;

I 5. Equilıbrio de um corpo rıgido : condicoes de equilıbrio,diagramas de corpo livre, equacoes de equilıbrio, equilıbrioem 3 dimensoes, restricoes para o corpo rıgido.

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ProgramaI 6. Trelicas : trelicas planas, metodo dos nos, metodo das

secoes, trelicas espaciais.I 7. Esforcos internos : definicao de esforcos internos,

esforcos cortante, normal, momento fletor e momentotorsor, calculo de esforcos internos em secoes de barras.

I 8. Centro de gravidade e centroide : centro de gravidadede um sistema de pontos materiais, centro de gravidade ecentroide de um corpo, corpos compostos;

I 9. Momentos de inercia : definicao de momento deinercia de areas, raio de giracao, calculo por integracao,teorema dos eixos paralelos, momentos de inercia de areascompostas, produto de inercia, momentos de inercia emrelacao a eixos inclinados, momentos principais de inercia

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Bibliografia

I Livro-texto: Estatica: mecanica para engenharia, R. C.Hibbeler, Ed. Pearson, 10a edicao.

I Estatica, A. P. Boresi e R. . Schimidt, Ed. Thomson.

I Mecanica vetorial para engenheiros - estatica, F. Beer eE. R. Johnston, Ed. McGraw-Hill.

I Estatica, J. L. Meriam e L. G. Kraige , Ed. LTC.

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Atendimento extra-classe

I e-mail: [email protected] [email protected]

I sala: Departamento de Mecanica Aplicada eComputacional (MAC), − Faculdade de Engenharia

I Telefone: 2102-3470

I Horarios de atendimento: a definir

I Local: MAC

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Programa

Princıpios Gerais

Forcas, vetores e operacoes vetoriais

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Definicao de Mecanica

Mecanica e o ramo das ciencias fısicas que trata do estado derepouso ou movimento de corpos sujeitos a acao de forcas,sendo subdividida em:

I Mecanica dos corpos rıgidos;

I Mecanica dos corpos deformaveis e

I Mecanica dos fluidos.

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Definicao de Mecanica

Mecanica e o ramo das ciencias fısicas que trata do estado derepouso ou movimento de corpos sujeitos a acao de forcas,sendo subdividida em:

I Mecanica dos corpos rıgidos → Estatica e Dinamica

I Mecanica dos corpos deformaveis e

I Mecanica dos fluidos.

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Definicao de Estatica

A Estatica trata do equilıbrio dos corpos.

Um corpo em equilıbrio encontra-se em repouso ou emmovimento retilınio uniforme.

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Definicao de Estatica

A Estatica trata do equilıbrio dos corpos.

Um corpo em equilıbrio encontra-se em repouso ou emmovimento retilınio uniforme.

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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.

I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;

I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;

I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);

I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.

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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.

I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;

I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;

I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);

I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.

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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.

I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;

I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;

I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);

I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.

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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.

I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;

I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;

I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);

I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

Desmoronamento de ponte no Mississipi (2007): 9 mortos emais de 30 feridos

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

Desmoronamento de tunel em Sao Paulo (2007): 7 mortos, 212

desabrigados

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

Desmoronamento da cobertura da Igreja Renascer em Sao Paulo

(2009): 9 mortos e mais de 100 feridos

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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?

Acidente ambiental

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Programa

Princıpios Gerais

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Conceitos fundamentais

I Grandezas basicas

I Idealizacoes

I Leis de Newton

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Grandezas basicas

As quatro grandezas fısicas fundamentais sao:

I comprimento - descreve posicao e dimensoes de um corpono espaco;

I massa - caracteriza um corpo e o compara com outrocorpo;

I tempo - sucessao de eventos;

I forca - acao de um corpo sobre outro.

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Idealizacoes

Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.

Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica

I partıcula ou ponto material;

I corpo rıgido;

I forca concentrada.

Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?

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Idealizacoes

Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica

I partıcula ou ponto material;

I corpo rıgido;

I forca concentrada.

Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?

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Idealizacoes

Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica

I partıcula ou ponto material;

I corpo rıgido;

I forca concentrada.

Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?

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Idealizacoes

Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Exemplo: Como representar o processo de contaminacao dosolo provocada por um derramamento de oleo?

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Leis do Movimento de Newton

Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.

Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:

F=ma

Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.

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Leis do Movimento de Newton

Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.

Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:

F=ma

Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.

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Leis do Movimento de Newton

Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.

Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:

F=ma

Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.

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Leis de Newton

Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:

F=Gm1m2

r 2

Peso: forca de atracao exercida pela Terra

W=GmM

r 2

W=mg

Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?

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Leis de Newton

Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:

F=Gm1m2

r 2

Peso: forca de atracao exercida pela Terra

W=GmM

r 2

W=mg

Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?

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Leis de Newton

Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:

F=Gm1m2

r 2

Peso: forca de atracao exercida pela Terra

W=GmM

r 2

W=mg

Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?

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Unidades de MedidaAs grandezas basicas da fısica sao relacionadas pela SegundaLei de Newton: F = maSistema Internacional de Unidades (SI):

I comprimento -m

I tempo - s → forca - N =kg .m

s2

I massa - kg

Nos EUA, o sistema ingles ainda e o mais empregado:

I comprimento -pe → 1 pe = 0,3048m

I tempo - s

I forca - lb → 1 lb = 4,4482N

I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg

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Unidades de MedidaAs grandezas basicas da fısica sao relacionadas pela SegundaLei de Newton: F = maSistema Internacional de Unidades (SI):

I comprimento -m

I tempo - s → forca - N =kg .m

s2

I massa - kg

Nos EUA, o sistema ingles ainda e o mais empregado:

I comprimento -pe → 1 pe = 0,3048m

I tempo - s

I forca - lb → 1 lb = 4,4482N

I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg

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Operacoes numericas

I Homogeneidade dimensional:As relacoes fısicas observadas na Natureza independemdas unidades adotadas para representacao das grandezasenvolvidas.

s = so + vot +at2

2

[L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2]

I Representacao numerica: quantidade de algarismossignificativos

I Arredondamentos

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Operacoes numericas

I Homogeneidade dimensional:As relacoes fısicas observadas na Natureza independemdas unidades adotadas para representacao das grandezasenvolvidas.

s = so + vot +at2

2

[L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2]

I Representacao numerica: quantidade de algarismossignificativos

I Arredondamentos

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Programa Princıpios Gerais Forcas, vetores e operacoes vetoriais

Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.

1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?

2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?

3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?

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Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.

1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?

2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?

3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?

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Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.

1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?

2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?

3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?

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Problemas

2. Em um experimento para determinar a aceleracao de umapartıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) daforca F que atua sobre a partıcula e as componentes (x , y , z)da aceleracao a. As medidas sao: (8, 10, 30) para F (em N) e(2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2).a) Qual e a sua opiniao sobre a qualidade destes dados?Justificar a resposta.

b) O estudante verificou que o acelerometro e preciso e que acomponente z da forca F esta correta. Quais sao os valorescorretos das demais componentes de F?

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Problemas

2. Em um experimento para determinar a aceleracao de umapartıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) daforca F que atua sobre a partıcula e as componentes (x , y , z)da aceleracao a. As medidas sao: (8, 10, 30) para F (em N) e(2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2).a) Qual e a sua opiniao sobre a qualidade destes dados?Justificar a resposta.b) O estudante verificou que o acelerometro e preciso e que acomponente z da forca F esta correta. Quais sao os valorescorretos das demais componentes de F?

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Problemas

3. Uma viga engastada de comprimento L e submetida a umaforca F na sua extremidade livre. A deflexao d do eixo da vigaa uma distancia x da extremidade livre e dada por:

d =F

6EI(2L3 − 3L2x + x3)

Quais sao as dimensoes do produto EI se esta equacao fordimensionalmente homogenea?

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Programa

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Como sao representadas as grandezas fısicas?

Na Mecanica, as grandezas fısicas sao representadas como:ESCALARES VETORES

I Escalar: possui magnitude: massa, volume,comprimento. . .

I Regra da adicao: aritmetica simples

I Vetor: possui intensidade, direcao e sentido: forca,momento, posicao

I Regra da adicao: lei do paralelogramo.

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Como sao representadas as grandezas fısicas?

Na Mecanica, as grandezas fısicas sao representadas como:ESCALARES VETORES

I Escalar: possui magnitude: massa, volume,comprimento. . .

I Regra da adicao: aritmetica simples

I Vetor: possui intensidade, direcao e sentido: forca,momento, posicao

I Regra da adicao: lei do paralelogramo.

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Aplicacao pratica da soma de vetoresCalculo da forca resultante no apoio onde concorrem 4 cabos:

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Representacao grafica de vetores

Graficamente, um vetor e representado por uma flecha:

I a intensidade e o comprimento da flecha;

I a direcao e definida pelo angulo entre o eixo de referenciae a reta de acao da flecha;

I o sentido e representado pela ponta da flecha.

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Operacoes vetoriais

Multiplicacao e Divisao de um Vetor por um EscalarO produto de um vetor A por um escalar a e um vetor deintensidade |aA|.

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Adicao vetorial

A adicao de dois vetores A e B e feita usando-se a Lei doParalelogramo ou a Construcao do Triangulo.

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Adicao vetorial

A adicao de dois vetores A e B e feita usando-se a Lei doParalelogramo ou a Construcao do Triangulo.

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Operacoes vetoriais

QUESTOES

I Como se faz a subtracao vetorial?

I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?

I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?

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Operacoes vetoriais

QUESTOES

I Como se faz a subtracao vetorial?

I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?

I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?

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Operacoes vetoriais

QUESTOES

I Como se faz a subtracao vetorial?

I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?

I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?

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Notacao vetorial cartesianaA decomposicao de vetores equivale ao inverso da lei doparalelogramo: i e j sao os vetores unitarios nas direcoes x e y.

F=Fx i+Fy j

Dado um vetor F, pode-se calcular as suas componentes emquaisquer direcoes x e y.

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Adicao de varios vetores

1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y

2. Soma de todas as componentes em cada direcao;

3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.

F=∑

Fx+∑

Fy

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Adicao de varios vetores

1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y

2. Soma de todas as componentes em cada direcao;

3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.

F=∑

Fx+∑

Fy

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Adicao de varios vetores

1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y

2. Soma de todas as componentes em cada direcao;

3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.

F=∑

Fx+∑

Fy

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Exercıcios

1. Calcular a magnitude e a direcao da forca resultante noapoio abaixo.

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Exercıcio 1

Etapas da resolucao:

1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;

2. Somar as componentes em cada direcao;

3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.

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Exercıcio 1

Etapas da resolucao:

1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;

2. Somar as componentes em cada direcao;

3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.

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Exercıcio 1

Etapas da resolucao:

1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;

2. Somar as componentes em cada direcao;

3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.

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Exercıcio 2

2. Calcular a intensidade e a direcao da forca resultante noapoio abaixo.

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Exercıcio 3

3. Determinar a magnitude da forca F=F1+F2 sendo:F1={10i+20j}N e F2={20i+20j}N.

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