Médias

AritméticaGeométrica Harmônica Quadrática

Média aritmética simples

Definição

Dado um conjunto de n observações x1, x2,..., xn,

a média aritmética simples é definida como

Exemplo:

Considere os seguintes dados fictícios referentes aos salários de 8 funcionários de uma empresa: 700, 700, 820, 820, 820, 820, 1500 e 3200.

Qual é o total da folha de pagamento? 7200

Qual é o número de empregados?

6

Salário médio

=8560

8

= 1070

700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200

8

interpretação física:

cada um dos 8 empregados ganha 1200

1070 1070 1070 1070 1070 1070 1070+ 1070 8560

Existe outra forma, mais simples (curta) de escrever esta expressão?

2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200

8

700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200

8

2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200

2 + 4 +1 + 1

2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200

2 + 4 +1 + 1

Calculada desta forma, a média é conhecida como média aritmética ponderada ou Simplesmente média ponderada.

Os números 2, 4, 1 e 1 são conhecidos comoPesos.

Definição:A média aritmética ponderada de um conjuntode dados é dada pela razão entre o somatório dos produtos entre cada número e seu peso e o produto dos pesos. Em outras palavras, dada uma distribuiçãox1, x2, ..., xn, com pesos p1, p2, ..., pn, a média aritmética ponderada é dada por:

= p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = p1 + p2 + ... + pn

Σi =1

n

pi.xi

Σi =1

npi

Consideremos, agora, as idades de um grupo de pessoas:

24 29 36 4525 29 37 5126 31 38 5326 35 42 55

Calcule a idade média deste grupo. 

Os salários dos funcionários do departamento de Recursos Humanos, cujos valores (em R$) são os seguintes:

6300 5700 4500 3800 3200 7300 7100 56006400 7000 3700 6500 4000 5100 4500

Calcule o salário médio.

Calcule a nota média para os dados da tabela

Média Geométrica

Utilizada em situações que envolvem taxas de crescimento ou taxas de retorno, como taxas de juros, a utilização

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses.

Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos teremos:

1000.20% = 200 1000 + 200 = 12001200.12% = 144 1200 + 144 = 13441344.7% = 94,08 1344 + 94,08 = 1438,08

Qual é o percentual médio mensal de aumento desta categoria?

Isto é qual é o percentual que, aplicado3 vezes sucessivas transforma o primeiro valor no último?

Se você pensar em termos de média, teremos:

20 + 12 + 7 = 39 = 13%3 3

Então, teríamos:

1000.13% = 130 1000 + 130 = 1130

1130.13% = 146,9 1130 + 146,9 = 1276,9

1276,9.13% = 166 1276,9 + 166 = 1442,9

Note que a média aritmética não leva à transformação esperada.

O que acontece neste exemplo é que os salários, após a aplicação de cada porcentagemformam uma progressão geométrica. Assim:

a = 10001

a = 13443

a = 1438,084

a = a . q n

1

n – 1

a = a . q 4

1

4 – 1

1438,08 = 1000 . q 3

a = 12002

q

3 1438,08 = 1,438,08 1000

=

q

3 1438,08 = 1,438,08 1000

=

q

3 1,2 . 1,12 . 1,07=

1,2 . 1,12 . 1,07q

=3

q é o valor que estamos procurando, e é conhecido como média geométrica.

Assim, para o problema inicial, bastaríamosfazer:

aumento salarial de 20% salário . 1,20%

aumento salarial de 12% salário . 1,12%

aumento salarial de 7% salário . 1,07%

Média dos =aumentos

Média geométrica

= 1,2 . 1,12 . 1,07 3

Exercício:Você deseja que a taxa média de crescimento dos salários de um trabalhador por um período de três anos. Suponha que os salários do trabalhador aumentou da seguinte forma:5 por cento no 1º ano,3 por cento no 2º ano,4 por cento no 3º ano.

Exercício:Encontre a média geométrica de cada uma das sequências abaixo:

a) 2 e 8b) 2; 2 e 4

b) 1; 6; 8 e 9

Média Harmônica

Tempo de ida: 120 80

= 1,5

Tempo de volta: 120120

= 1

2402,5

= 96Velocidade médiana trajetória:

96 = 2402,5

= 240 _ 1,5 + 1

= 240 _ 120 + 120 80 120

= 240 _ 120 + 120 80 120

= 240 _ 120 + 120 80 120

= 240 _ 120 1 _ + 1 _ 80 120

= 2 _ 1 + 1 _ 80 120

Inverso dos números

Dois números

Média Harmônica: inverso da média aritmética do inverso dos números.

A média quadrática dos números x1, x2, ..., xn é definida por

q =

isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.

Média quadrática

Por exemplo, a média quadrática dos números 1 e 7 é

q = = 5

Exercícios

Determine a média geométrica dos números:

a) 1; 2 e 4

b) 1; 2; 4; 8

Determine a média quadrática dos números:

a) 2; 3; 6

b) 4; 9; 10

Determine a média harmônica dos números:

a) 2; 4

b) 3; 6; 9