Bruno Conde – Engenharia Civil

Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil

MEDIÇÃO DE GRANDEZAS

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

Medindo Grandezas

Medimos cada grandeza física em unidades apropriadas por comparação com um padrão.

A unidade é um nome particular que atribuímos as medições dessas grandezas.

Ex.: O metro é uma unidade da grandeza comprimento e foi padronizada pela distância que a luz percorre no vácuo em uma certa fração de segundos.

Medindo Grandezas

Felizmente, não precisamos definir padrões para todas as grandezas, pois muitas delas estão interligadas e assim podemos definir as unidades desta grandeza em decorrência dos padrões já estabelecidos.

Ex.: A velocidade é a razão entre comprimento e o tempo.

Sistema Internacional de Unidades

O SI foi estabelecido em 1971 na 14ª Conferencia Geral de Pesos e Medidas, onde foi estabelecido sete grandezas fundamentais:

Grandeza Unidade Símbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Corrente elétrica Ampere A

Temperatura termodinâmica

Kelvin K

Quantidade de matéria

Mol mol12

Intensidade luminosa

candela cd

Sistema Internacional de Medidas

Para expressar as grandezas muito grandes ou muito pequenas usamos a notação cientifica, que emprega potencias de 10.

Ex.:

3 560 000 000 m = 3,56 x 109m

0,000 000 492 s = 4,92 x 10−7s

Sistema Internacional de Medidas

Também para facilitar a notação de grandezas muito grandes ou muito pequenas, trocamos as potencias de 10 por prefixos já estabelecidos pelo SI.

Fator Prefixo Símbolo

109 giga- G

106 mega- M

103 quilo- k

10−2 centi- c

10−3 mili- m

10−6 micro- µ

10−9 nano- n

Conversão em Cadeia

Nesse método multiplicamos o valor original por fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual a unidade). Por exemplo:

1𝑚𝑖𝑛

60𝑠 = 1;

60𝑠

1𝑚𝑖𝑛 = 1

Conversão em Cadeia

Exemplo 1:

• Converta 2 minutos em segundos:

2min = (2min)(1) = (2min)(60𝑠

1𝑚𝑖𝑛) = 120s1

Conversão em Cadeia

Exemplo 2: • Quando segundo a lenda, Feidípides correu de

Maratona até Atenas, em 490a.C., para levar a notícia da vitória dos gregos sobre os persas, ele provavelmente correu a uma velocidade de cerca de 23 rides por hora (rides/h). O rides é uma antiga unidade grega para comprimento, como o stadium e o plethron. 1 ride valia 4 stadia, 1 stadium valia 6 plethra e, em termos de uma unidade moderna um plethron equivale a 30,8 metros. Qual foi a velocidade de Feidípides em quilômetros por segundo (km/s)?

Conversão em Cadeia

Exemplo 2:

23 rides/h = (23 𝑟𝑖𝑑𝑒𝑠

ℎ)(

4 𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑎

1 𝑟𝑖𝑑𝑒)(

6 𝑝𝑙𝑒𝑡ℎ𝑟𝑎

1 𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑢𝑚)

x (30,8𝑚

1 𝑝𝑙𝑒𝑡ℎ𝑟𝑜𝑛)(

1𝑘𝑚

1000𝑚)(

1ℎ

3600𝑠)

= 4,7227 x 10−3km/s.

Conversão em Cadeia

Exemplo 3:

• A massa específica do ferro é 7,87 g/cm³, e a massa de um átomo de ferro é 9,27 x 10-26 kg. Se os átomos são esféricos e estão densamente compactados, (a) qual é o volume de um átomo de ferro e (b) qual a distancia entre os centros de dois átomos vizinhos?

Conversão em Cadeia

Exemplo 3:

(a)

9,27 x 10−26kg (1000𝑔

1𝑘𝑔) = 9,27 x 10−23g

V=9,27𝑥10−23𝑔

7,87 𝑔/𝑐𝑚³= 1,18 x 10−23cm³ = 1,18 x 10−29m³

Conversão em Cadeia

Exemplo 3:

(b)

𝑟3= 3𝑉

4𝜋

𝑟3= 3(1,18 𝑥 10−29𝑚3)

4𝜋

𝑟 = 3(1,18 𝑥 10−29𝑚3)

4𝜋

3= 1,41 𝑥 10−10

∴ 2𝑟 = 2,82 𝑥 10 𝑚−10

Ordem de Grandeza

A Ordem de Grandeza de um número é a potência de 10 que aparece quando o número é expresso em notação cientifica.

Ex.: A = 28 000 m

A = 2,8 x m

Logo a ordem de grandeza

de A em metros é igual a 1.

104

Ordem de Grandeza

Exemplo 2:

• O maior novelo do mundo tem cerca de 2 metros de raio. Qual é a ordem de grandeza do comprimento L do fio que forma o novelo. Considere o raio da seção transversal igual a 2mm.

𝜋𝑟2L = 4𝜋𝑅³

3

L = 4𝑅³

3𝑟²

L = 8

3 x 106

m

Logo, a ordem de grandeza do comprimento do fio em metros será igual a 6.

Massa Específica

Massa especifica 𝜌 de uma substancia é massa por unidade de volume.

𝜌 =𝑚

𝑉

As massas especificas são normalmente expressas em quilogramas por metro cúbico ou em gramas por centímetro cúbico.

Massa Específica

Exemplo:

• Um objeto pesado pode afundar no solo durante um terremoto se o tremor fizer com que o solo passe por um processo de liquefação, no qual as partículas do solo deslizem umas sobre as outras quase sem atrito. Nesse caso, o solo se torna praticamente uma areia movediça. A possibilidade de liquefação de um solo arenoso pode ser prevista em termos do índice de vazios e de uma amostra do solo:

𝑒 =𝑉𝑣

𝑉𝑝

Massa específica

Exemplo:

• Onde 𝑉𝑝 é o volume total das partículas de areia da amostra e 𝑉𝑣 é o volume total do espaço entre as partículas (isto é, dos vazios). Se 𝑒 excede o valor crítico de 0,8 pode ocorrer liquefação durante um terremoto. Qual é a massa especifica da areia, 𝜌𝑎, correspondente ao valor crítico?

• A massa especifica do Dioxido de Silicio (principal componente da areia) é 2,6 x 103 kg/m³.

Obrigado pela atenção!

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