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Notas de Aula

Medida e Integracao

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso Medida e Integracao do Programa

de Pos-Graduacao em Matematica, ministrado no primeiro semestre de 2012.

27 de marco de 2012

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/rodney.


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Sumario

1 Medidas 21.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 -Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 A -algebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 -algebras produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Medidas Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 O Teorema de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Pre-medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Medidas de Borel na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Famlias Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 Propriedades de Regularidade da Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 211.5.4 Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.6 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Captulo 1

Medidas

1.1 Introducao

Idealmente, gostaramos de definir uma funcao medida no espaco euclidiano Rn que atribuisse a todosubconjuntoE Rn um numero (E) 0 que satisfizesse as seguintes propriedades:

(i) Se{Ei}iN e uma colecao finita ou enumeravel de subconjuntos disjuntos de Rn, entao

iN

Ei

=iN

(Ei) .

(ii) SeE e congruente a F (ou seja,Epode ser transformado em Fatraves de translacoes, rotacoes e/oureflexoes), entao (E) = (F).

(iii) SeC= [0, 1)n e o cubo unitario de Rn, entao (C) = 1.Infelizmente estas condicoes sao mutuamente incompatveis, como o exemplo a seguir demonstra.

1.1 Contraexemplo. Defina a seguinte relacao de equivalencia em [0, 1): x y se e somente sex y Q.Usando o axioma da escolha, seja A um subconjunto de [0, 1) que contem exatamente um elemento decada classe de equivalencia desta relacao. Seja Q = Q [0, 1), ou seja, Q e o conjunto dos numerosracionais no intervalo [0, 1), e para cadaq Q considere o conjunto

Aq ={x + q: x A [0, 1 q)} {x + q 1 :x A [1 q, 1)} .

Em outras palavras, para obter Aq faca uma translacao de A qunidades para a direita e entao movaa parte que saiu fora de [0, 1) uma unidade para a esquerda. Observe que nao apenas os conjuntosAq sao disjuntos, mas cada elemento x [0, 1) pertence exatamente a um unico Aq. De fato, dadox [0, 1), se y e o elemento da classe de equivalencia dex que esta emA, entao

x Aq onde q= x y se x y,x y+ 1 se x < y;se tivessemos x AqApentaox q(ou x q+1) ex p(ou x p+1) seriam elementos distintos de Apertencentes a mesma classe de equivalencia, contradizendo a definicao deA. Assumindo a existenciade uma funcao medida : P(Rn)[0, ] que satisfaz as tres condicoes acima, teramos por (iii) e(i) que

1 = ([0, 1)) =

qQ

Aq

=qQ

(Aq) .

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Por outro lado, por (i) e (ii)

(Aq) = (A [0, 1 q)) + (A [1 q, 1)) = (A) .

Portanto, ouqQ (Aq) e igual a 0 ou e igual a , de qualquer modo constituindo uma contradicao.

Enfraquecer a condicao (i) permitindo apenas unioes finitas nao elimina a contradicao. De acordo como paradoxo de Banach-Tarski (que e tambem uma consequencia do axioma da escolha), se K1 e K2 saoquaisquer subconjuntos compactos de Rn, n 3, entao e possvel encontrar subdivisoes finitas disjuntas

E11 , . . . , E 1k de K1 e E

21 , . . . , E

2k de K2, ou seja, K1 =

kj=1

E1j e K2 =k

j=1

E2j , tais que E1j e congruente a

E2j para cada j = 1, . . . , k. Em outras palavras, e possvel tomar qualquer subconjunto de Rn, n 3, e

corta-lo em um numero finitos de partes de tal forma a faze-lo ter a medida de qualquer outro subconjuntode Rn! E claro que estas partes devem ter formas altamente bizarras, impossveis de imaginar, ja que emultima analise elas sao construdas com o auxlio do axioma da escolha. De qualquer modo, o paradoxo

de Banach-Tarski mostra que o problema esta na ambicao de querer definir uma funcao medida que possamedir qualquer subconjunto de Rn. Claramente, existem subconjuntos de Rn que desafiam qualquer nocaode medida, isto e, nao sao mensuraveis.

Assim sendo, devemos abandonar a possibilidade de se contruir uma funcao medida que esteja definidaem todos os subconjuntos de Rn e nos restringir a uma subclasse conveniente de subconjuntos de Rn, ou seja,conjuntos que encontramos nas aplicacoes praticas de Matematica (e nao casos patologicos, construdos es-pecificamente para provar um ponto em Logica), que serao os nossos conjuntos mensuraveis, isto e, conjuntosque podem ser medidos.

1.2 -Algebras

Nesta secao definiremos precisamente subclasses de P(X) (ondeX e um conjunto qualquer) onde podemos

definir uma nocao de medida.

1.2.1 Definicao

Se X e um conjunto nao vazio, uma algebra de conjuntos em X e uma colecao nao vazia A P(X) desubconjuntos deXque e fechada sob unioesfinitase complementares, isto e,

(i) seE1, . . . , E n A, entaoni=1

Ei A;

(ii) seE A, entaoEc =X A A.

1.2 Definicao. SejaXum conjunto nao vazio. Uma-algebraem X e uma algebra que e fechada tambemsob unioesenumeraveis, ou seja, se {Ei}iN A, entao

iN

Ei A.

1.3 Proposicao. -algebras [algebras] sao fechadas tambem sob intersecoes enumeraveis [finitas].Prova. Lembrando a lei de deMorgan

i

Ei

c=i

Eci

(o complementar da uniao e a intersecao dos complementares), e como (Eci )c

= Ei, temos imediatamenteque

i

Ei =

i

Eci

c.


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1.4 Proposicao. Qualquer -algebra [algebra] em Xcontem e X.

Prova. Como uma -algebra [algebra]A por definicao nao e vazia, se E A, entao

=E Ec

eX=E Ec.

1.5 Proposicao. Se A e uma algebra, ent ao A e uma -algebra se ela e fechada sob unioes enumeraveisdisjuntas.

Prova. Seja {Ei}iN A. Defina

F1= E1,

F2= E2\E1,F3= E3\ (E1 E2) ,

e, em geral,

Fj =Ej

j1i=1

Ei =Ej

j1i=1

Ei

c.

Segue que{Fj}jN A e uma famlia de conjuntos enumeraveis disjuntos de A tal queiN

Ei=jN

Fj.

A tecnica introduzida na demonstracao da proposicao anterior de substituir uma sequencia de conjuntos poruma sequencia de conjuntos disjuntos obtendo a mesma uniao e extremamente util no nosso contexto e serautilizada varias vezes.

1.2.2 Exemplos

1.6 Exemplo. Se X e qualquer conjunto, entao{, X} e P(X) sao -algebras.

1.7 Exemplo. Se X e um conjunto nao-enumeravel, entao

A ={E X :E e enumeravel ou Ec e enumeravel}

e uma -algebra, chamada a -algebra dos conjuntos enumeraveis ou coenumeraveis.

1.8 Exemplo. A intersecao de uma famlia de -algebras e uma -algebra. Segue que se E P(X), entaoexiste uma menor-algebraM(E) que contem E(ou seja, a intersecao de todas as-algebras contendoE; existe pelo menos uma -algebra que contem E, a-algebraP(X)). M(E) e chamada a -algebragerada por E.

1.9 Proposicao. Se E M(F), entao M(E) M(F). Em particular, se E F, entao M(E) M(F).

Prova. A primeira afirmacao segue do fato que M(F) e uma -algebra contendo E. A segunda afirmacaosegue da primeira, observando que F M(F).


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1.2.3 A -algebra de Borel

1.10 Exemplo. Se X e um espaco metrico ou, mais geralmente, um espaco topologico, entao a -algebragerada pela famlia de conjuntos abertos deX e chamada a -algebra de Borelde X, denotada por

BX ; seus elementos sao chamados de conjuntos de Borel. Portanto, BX inclui conjuntos abertos,conjuntos fechados (os complementares dos conjuntos abertos), intersecoes enumeraveis de conjuntosabertos (lembrando que unioes enumeraveis de conjuntos abertos ja sao abertos), unioes enumeraveisde conjuntos fechados (lembrando que intersecoes enumeraveis de conjuntos fechados ja sao fechados)e assim por diante.

Em particular, a -algebra de Borel da reta R vai ser importante nas nossas discussoes. Ela pode sergerada de varias maneiras diferentes:

1.11 Proposicao. A -algebra de Borel da reta BR e gerada por qualquer um dos conjuntos seguintes:

(a) o conjunto dos intervalos abertos E1= {(a, b) :a < b} ;

(b) o conjunto dos intervalos fechados E2= {[a, b] : a < b} ;

(c) o conjunto dos intervalos semiabertos E3= {(a, b] :a < b} ou E4= {[a, b) :a < b} ;

(d) o conjunto dos raios abertos E5= {(a, +) :a R} ou E6= {(, a) :a R} ;

(e) o conjunto dos raios fechados E7= {[a, +) :a R} ou E8= {(, a] :a R} .

Prova. Os elementos de Ej para j = 3, 4 sao abertos ou fechados; os elementos de E3 e E4 sao intersecoesenumeraveis de abertos (por exemplo, [a, b) =

nN

(a 1

n, b)

). Todos estes conjuntos sao conjuntos de Borel,

logo pela Proposicao 1.9 segue queM(Ej) BR.Por outro lado, todo conjunto aberto em R e uma uniao enumeravel de intervalos, logo novamente pela

Proposicao 1.9 temos BR M(E1). Similarmente prova-se que BR M(Ej) para j 2 mostrando que

todos os intervalos abertos estao em M(Ej). Por exemplo, (a, b)

nN [a 1

n, b + 1

n

M(E

2).

1.2.4 -algebras produto

1.12 Exemplo. Seja {X}A uma famlia indexada de conjuntos nao vazios,

X=A

X

e : X X a aplicacao projecao, isto e, (

(x)A)

= x. Se M e uma -algebra em Xpara cada , entao definimos a -algebra produtoem Xcomo sendo a -algebra gerada por

1 (E) :E M, A

.

que sera denotada porAM. O significado da -algebra produto ficara mais claro no incio do proximo captulo. No caso de produtos

enumeraveis a -algebra produto tem uma caracterizacao mais simples e intuitiva:

1.13 Proposicao.iN

Mi e a -algebra gerada por

iN

Ei: Ei Mi

.

Prova. SeEi Mi, entao

1i (Ei) =jN

Ej ,


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onde

Ej =

Ei sej = i,Xj sej =i.

Portanto, comoMi contem Xi (Proposicao 1.4), temos que1i (Ei) :Ei Mi, i N

iN

Ei: Ei Mi

,

donde, pela segunda afirmacao da Proposicao 1.9,

iN

Mi M

iN

Ei: Ei Mi

. (1.1)

Temos tambem, em particular, que

iNEi= iN1i (Ei) ,

logo, iN

Ei: Ei Mi

M

(1i (Ei) :Ei Mi, i N

)=iN

Mi.

Segue da primeira afirmacao da Proposicao 1.9 que

M

iN

Ei: Ei Mi

iN

Mi. (1.2)

De (1.1) e (1.2), temos que

iN Mi= MiNEi: Ei Mi .

1.14 Lema. Seja M= M(E). EntaoA

M= M(

1 (E) :E E, A

).

No caso enumeravel, temosiN

Mi= M

iN

Ei: Ei Ei

.

Prova. Por definicao, M(

1 (E) :E E, A

)A

M. Por outro lado, para cada A, o

conjunto

E X:

1 (E) M(

1 (E) :E E, A

e uma -algebra em Xque contem Ee portanto M. Em outras palavras,1 (E) M(1 (E) :E E, Apara todo E M, logo

A

M M(

1 (E) :E E, A

).

A segunda afirmacao segue da primeira como na demonstracao da proposicao anterior.

1.15 Teorema. Sejam X1, . . . , X n espacos metricos e X=ni=1

Xi equipado com a metrica produto. Entao

ni=1

BXi BX .

Se X1, . . . , X n sao separaveis, entaoni=1

BXi =BX .


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Prova. Pela primeira afirmacao do lema anterior,n

i=1BXi = M(

1i (Ui) :Ui e aberto em Xi, i = 1, . . . , n).

Como na topologia produto 1i (Ui) e aberto em X, segue da Proposicao 1.9 queni=1

BXi BX .

Assuma agora que X1, . . . , X n sao separaveis. Seja

xkjkN

um subconjunto enumeravel denso em Xj

para cada j e Ej a colecao enumeravel das bolas centradas nos xkj com raios racionais. Portanto, todoconjunto aberto emXj pode ser escrito com uma uniao enumeravel de elementos de Ej , logo

BXj =M(Ej).

Alem disso, o conjunto de pontos em X cujas coordenadas estao entre os xkj e um subconjunto enumeraveldenso de Xe as bolas de raio r em X sao simplesmente produtos de bolas de raio r nos Xj, logo

BX =Mn

i=j Ej :Ej Ej .Segue da segunda afirmacao do lema anterior que BX =

iN

M(Ej) =iN

BXj .

1.16 Corolario. BRn =ni=1

BR.

1.2.5 Exerccios

1.2.1 Mostre que a famliaEdas unioes disjuntas finitasde intervalos da forma [a, b) [0, 1) e uma algebraem [0, 1), mas nao e uma -algebra. (E e chamada a algebra de conjuntos elementaresem [0, 1).)

1.2.2 Sejaf :X Y uma funcao. Se A e uma -algebra em Y , mostre que o conjunto

f1

(A) = f1 (A) :A Ae uma -algebra em X.

1.2.3 Mostre que uma algebra A e uma -algebra se e somente se ela e fechada sob unioes enumeraveiscrescentes, ou seja, se{Ei}iN A e E1 E2 . . ., entao

iN

Ei A.

1.2.4 Mostre que se M e a -algebra gerada por um subconjunto qualquer E P (X), entaoM e a uniaode todas as -algebras geradas por subconjuntos enumeraveis deE.

1.2.5 Se X e um conjunto nao vazio, um anel de conjuntos em X e uma colecao nao vazia R P(X) desubconjuntos de Xque e fechada sob unioes e diferencasfinitas, isto e,

(i) se E , F R, entaoE F R;

(ii) se E , F R, entaoE\F R.Um -anel e um anel que e fechado sob unioes enumeraveis.

Mostre que toda algebra [resp. -algebra] e um anel [resp. -anel]. Mostre que se R e um anel [resp.-anel], entaoR e uma algebra [resp. -algebra] se e somente se X R.

1.2.6 Mostre que se R e um anel, entao R.

1.2.7 Mostre que um anel e fechado sob diferencas simetricas (isto e, EF = (E\F) (F\E)) e intersecoes.Mostre que um -anel e fechado sob intersecoes enumeraveis.

1.2.8 Mostre que um colecao nao vazia R P(X) fechada sob unioes finitas [resp. intersecoes finitas] ediferencas simetricas e um anel.


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1.3 Medidas

1.3.1 Definicao

1.17 Definicao. SejaXum conjunto equipado com uma -algebraM. Umamedidaem M e uma funcao: M [0, ] que satisfaz

(i) () = 0;

(ii) se {Ei}iN M e uma colecao enumeravel disjunta, entao

i=1

Ei

=

i=1

(Ei) .

(X, M) e chamado um espaco mensuravel, os conjuntos em M sao chamados conjuntos men-suraveis e (X, M, ) e chamado um espaco de medida.

A propriedade (ii) e chamada aditividade enumeravel. Ela implicaaditividade finita(tomandoEi=

parai > n): seE1, . . . , E n Msao disjuntos, entao

ni=1

Ei

=

ni=1

(Ei) .

Uma funcao que satisfaz (i) mas satisfaz apenas a aditividade finita e chamada uma medida finitamenteaditiva.

1.18 Definicao. Seja (X, M, ) um espaco de medida. Se (X)< , entao dizemos que e umamedidafinita.

Se podemos escreverXcomo uma uniao enumeravel de conjuntos com medida finita, isto e,X=n

i=1Ei

com (Ei)< para todoi, entao dizemos que e umamedida -finita. Mais geralmente, qualquerconjunto mensuravel Eque pode ser escrito como uma uniao enumeravel de conjuntos com medidafinita e chamado um conjunto-finito.

Se para todo conjunto mensuravel E tal que (E) = existir um conjunto mensuravel F E talque 0< (F)< , dizemos que e uma medida semifinita.

Da Proposicao 1.22 (a), a seguir, segue em particular que se e uma medida finita, entao (E)< paratodo conjunto mensuravelE. Toda medida-finita e obviamente semifinita, mas a recproca nao e verdadeira(veja os exerccios). A maioria das medidas que aparecem na pratica sao-finitas, o que e bom, pois medidasnao-finitas tendem a exibir comportamentos patologicos.

1.19 Exemplo. SeX e qualquer conjunto nao vazio,M = P(X) ef :X [0, ] e uma funcao qualquer,

entao finduz uma medida em M definindo-se

(E) =xE

f(x) := sup

xF

f(x) :F e finito

.

e semifinita se e somente se f(x)< para todo x Xe e -finita se e somente se e semifinitae a parte positiva de f, isto e, o conjunto {xX :f(x)> 0}, e enumeravel. Dois casos particularestem significado especial: (1) se f(x) = 1 para todo x, entao e chamada a medida de contagem;(2) se f(x0) = 1 e f(x) = 0 para todo x =x0, entao e chamada a medida de Dirac (ou medidade ponto de massa).


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1.20 Exemplo. Se X e um conjunto nao-enumeravel, e M e a -algebra dos conjuntos enumeraveis oucoenumeraveis, entao a funcao definida por

(E) = 0 seE e enumeravel,1 seE e coenumeravel,e uma medida.

1.21 Contraexemplo. Se X e um conjunto infinito, M = P(X) e definimos

(E) =

0 seE e finito, seE e infinito,

entao e uma medida finitamente aditiva mas nao e uma medida.

1.3.2 Propriedades

1.22 Proposicao. Seja (X, M, ) um espaco de medida. Valem as seguintes propriedades:

(a)(Monotonicidade) Se E, F M e E F, entao (E) (F).

(b)(Subaditividade) Se {Ei}iN M, entao

i=1

Ei

i=1

(Ei).

(c)(Continuidade por baixo) Se {Ei}iN M e E1 E2 . . ., entao

i=1

Ei

= lim

i (Ei).

(d) (Continuidade por cima) Se {Ei}iN M, E1 E2 . . . e (En) < para algum n, entao

i=1

Ei

= lim

i (Ei).

Prova. (a) Se E F, entao (F) = (F\E) + (E) (E).

(b) Como na demonstracao da Proposicao 1.5, definindo F1 = E1 e Fj = Ej\j1

i=1Ei segue que os Fj sao

disjuntos,i=1

Ei=j=1

Fj eFj Ej . Logo

i=1

Ei

=

j=1

Fj

= j=1

(Fj) j=1

(Ej) .

(c) Tomando E0 = , como a sequencia e crescente temosi=1

Ei =i=1

(Ei\Ei1) e esta uniao e disjunta,

logo

i=1Ei

=

i=1(Ei\Ei1)

=

i=1 (Ei\Ei1) = lim

n

n

i=1 (Ei\Ei1) = lim

n (En) ,

a ultima igualdade decorrendo do fato de En =ni=1

(Ei\Ei1) ,para uma sequencia crescente, e esta uniao e

disjunta pelo mesmo motivo.(d) Seja Fj =En\Ej para todo j > n. Entao

Fn+1 Fn+2 . . . ,

(En) = (Fj) + (En) para todoj > n e

j=n+1

Fj =En

j=n+1

Ej .


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Como a sequencia {Ei}iN e decrescente segue em particular que

j=n+1Fj = (En)

j=n+1Ej = (En)

j=1Ej .Pelo item anterior segue que

(En) =

j=1

Ej

+ j=n+1

Fj

= j=1

Ej

+ limj

(Fj)

=

j=1

Ej

+ limj

(En\Ej) =

j=1

Ej

+ limj

[ (En) (Ej)]

=

j=1Ej+ (En) limj (Ej) .

Subtraindo (En)< de ambos os lados da igualdade obtemos o resultado.

1.3.3 Medidas Completas

1.23 Definicao. Seja (X, M, ) um espaco de medida. Se (E) = 0, entao dizemos queE e umconjuntode medida nula.

Uma afirmacao que e valida para todos os pontos x Xcom excecao de pontos pertencentes a umconjunto de medida nula e chamada uma afirmacao verdadeira para quase todo ponto, abreviadaq.t.p.

Se (E) = 0 e F E, entao a subaditividade garante que (F) = 0 desde que F seja mensuravel. Mas em

geral subconjuntos de conjuntos de medida nula nao precisam ser mensuraveis (considere a medida nula na-algebra{X,}).

1.24 Definicao. Uma medida que contem todos os subconjuntos de conjuntos de medida nula e chamadauma medida completa.

Completude torna desnecessarios certos pontos tecnicos irritantes e pode sempre ser obtida aumentando odomnio da medida:

1.25 Proposicao. Seja (X, M, ) um espaco de medida. Seja N = {N M: (N) = 0} a colecao dosconjuntos de medida nula de Xe defina

M= {E F :E Me FN para algum N N } .

Entao M e uma -algebra e existe uma unica extensao de para uma medida completa em M.Prova. M e uma -algebra. Como M e N sao fechados sob unioes enumeraveis, M tambem e, pois

i=1

(Ei Fi) =

i=1

Ei

i=1

Fi

.

Para provar que M e fechada sob a operacao de tomar complementares de conjuntos, observamos primeiroque seE F M com E M e F N para algum N N, entao podemos assumir que E N= (casocontrario, substituiramos F, N por F\E, N\E, respectivamente). Portanto, podemos escrever

E F = (E N) (F Nc)


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donde, pela lei de deMorgan,

(E F)c = (E N)c (F Nc)c = (E N)c (N\F) .

ComoM e uma algebra, segue que (E N)c M e obviamenteN\F N, logo(E F)c M.Existencia da extensao . Defina : M [0, ] por

(E F) = (E)

se E M e F N para algum N N. Entao esta bem definida, porque se E1 F1 = E2 F2 comE1, E2 M e F1 N1, F2 N2 para N1, N2 N, segue que

E1 E2 F2 E2 N2 (E1) (E2) + (N2) = (E2)

e analogamente (E2) (E1), donde (E1) = (E2). Temos tambem

() = ( ) = () = 0

pois M,N. Alem disso, se {Ei Fi}iN e uma famlia disjunta, com {Ei}iN M e Fi Ni comNi Npara todo i, segue que

i=1

(Ei Fi)

=

i=1

Ei

i=1

Fi

=

i=1

Ei

=

i=1

(Ei) =i=1

(Ei Fi) ,

ja que todas as unioes acima disjuntas. Isso prova que e uma medida. Para verificar que e completa, sejaE F M comE M e F N para algum N N tal que (E F) = 0. Isso significa que (E) = 0 eportantoE N. Se V E F, entao V = V com M e V E N N, logo V M.Unicidade da extensao . Sejam 1, 2 : M [0, ] duas medidas completas em M tais que 1|M =2|M= . Observando que se E F M com E M e FN para algum N N, entaoE , F M pois

E= E

, F =

F e

M,N, segue que1(E F) =1(E) + 1(F\E) = (E) ,

onde usamos o fato que0 1(F\E) 1(N) = (N) = 0

para concluir que1(F\E) = 0. Analogamente conclumos que 2(E F) = (E), portanto 1(E F) =2(E F). e chamada o completamentode e M o completamento de M com relacao a .

1.3.4 Exerccios

1.3.1 Mostre que se 1, . . . , n sao medidas em (X, M) e a1, . . . , an [0, ), entaon

i=1aii e uma medidaem (X, M).

1.3.2 Defina

liminfEn=k=1

n=k

En,

limsup En=k=1

n=k

En.


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(a) Verifique que

lim infEn= {x: x En para todos exceto por um numero infinito de ndices n} ,

limsup En= {x: x En para um numero infinito de ndices n} ,(b)Prove que se (X, M, ) e um espaco de medida e{Ei}iN M, entao

(lim infEn) liminf (En) ,

e que

(lim sup En) limsup (En) , desde que

n=1

En

0 existe F E tal quec < (F)< .

1.3.8 Se e uma medida em (X, M), defina uma medida 0 emM por

0(E) = sup { (F) :F Ee (F)< } .

(a)Mostre que0 e uma medida semifinita (chamada aparte semifinita de ).

(b)Mostre que se e semifinita, entao 0= .

(c)Prove que existe uma medida emM (em geral, nao unica) que assume apenas os valores 0 e tal que

= 0+ .


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1.3.9 Seja (X, M, ) um espaco de medida. Um conjunto E X e chamado um conjunto localmentemensuravel se E A M para todo A M tal que (A)< .

SejaM a colecao de todos os conjuntos localmente mensuraveis. Claramente M M. Se M=M,dizemos que e uma medida saturada. Prove as afirmativas abaixo:(a)Se e-finita, entao e uma medida saturada.

(b)M e uma -algebra.(c)DefinaemM por (E) = (E) seE M,

caso contrario.

Entao e uma medida saturada, chamada asaturacaode .(d)Se e completa, tambem e.(e)Suponha que e semifinita. Defina em

M

(E) = sup { (A) :A M e A E} .Entao e uma medida saturada que estende .

1.4 Medidas Exteriores

Nesta secao desenvolveremos as ferramentas usadas para construir medidas uteis.

1.26 Definicao. SejaXum conjunto nao vazio. Umamedida exterior e uma funcao :P(X) [0, ]que satisfaz

(i) () = 0;

(ii) se A B, entao (A) (B);

(iii) se{Ai}iN P(X), entao

i=1

Ai

i=1

(Ai) .

O nome se refere ao fato de que uma medida exterior e geralmente construda a partir de uma proto-medidaem uma famlia E P(X) e entao definindo a medida exterior de subconjuntos arbitrarios deXa partir daaproximacao destes por fora por unioes enumeraveis de elementos de E:

1.27 Proposicao. Sejam E P(X), contendo e X, e : E [0, ] satisfazendo () = 0. Paraqualquer A Xdefina

(A) = inf

i=1 (Ei) :Ei Epara todo i e A

i=1Ei .Entao e uma medida exterior.

Prova. Como A X E, esta bem definida. Obviamente () = 0 e pela definicao de nfimo temos (A) (B) sempre que A B. Para provar (iii) da Definicao 1.26, seja {Ai}iN P(X) e denote

A=i=1

Ai. Por definicao de , dado >0, para cada j existe uma famlia

Eji

iN

Etal que

i=1

Eji

(Aj) +

2j.


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ComoA

i,j=1

Eji e

i,j=1Eji

j=1 (Aj) + segue que (A)

i=1

(Ai) + . Como e arbitrario, segue o resultado.

1.4.1 O Teorema de Caratheodory

1.28 Definicao. Se e uma medida exterior emX, dizemos que um subconjuntoA X e-mensuravelse

(E) = (E A) + (E Ac)

para todo E X.

Observe que para provar que um conjunto A e -mensuravel, basta provar que (E) (E A) + (E Ac) para todo E X, ja que a recproca e obvia, e portanto basta considerar conjuntos Etais que (E)< .

1.29 Teorema. (Teorema de Caratheodory)Se e uma medida exterior em X, entao a colecao Mdos conjuntos -mensuraveis e uma -algebra e a restricao de a M e uma medida completa.

Prova. M e uma -algebra.Mnao e vazio pois e-mensuravel. M e fechado sob a operacao de tomar complementares de conjuntosporque a definicao de conjuntos -mensuraveis e simetrica em relacao a substituir A porAc. Para ver queM e uma algebra, dados A, B M e E X, temos

(E) = (E A) + (E Ac)

=

(E A B) +

(E Ac

B)+ (E A Bc) + (E Ac Bc)

(E (A B)) + (E (A B)c) ,

o que implica que A B e -mensuravel. A ultima desigualdade no desenvolvimento acima segue do fatoqueE (A B) = (E A) (E B) e

E A= (E A B) (E A Bc) ,

E B= (E Ac B) (E A Bc) ,

de modo queE (A B) (E A B) (E A Bc) (E Ac B) ,

logo (E (A B)) (E A B) + (E Ac B) + (E A Bc) ,

e do fato que E (A B)c = E Ac Bc. Para provar que M e uma -algebra, lembramos que, comoja sabemos que M e uma algebra, basta considerar unioes enumeraveis disjuntas (Proposicao 1.5). Seja

{Ai}iN M uma sequencia enumeravel disjunta e denote Bn =ni=1

Ai e B =i=1

Ai; note que como M e

uma algebra, temos que cada Bn M. Para todo E X temos

(E Bn) = (E Bn An) +

(E Bn Acn) =

(E An) + (E Bn1) ,


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donde, por inducao,

(E Bn) =n

i=1 (E Ai) .

Da,

(E) = (E Bn) + (E Bcn)

ni=1

(E Ai) + (E Bc) .

Fazendon , segue que

(E) i=1

(E Ai) + (E Bc)

i=1

(E Ai)

+ (E Bc)

=

E

i=1

Ai

+

E

i=1

Ai

c,

logo

i=1Ai M.|M e uma medida completa.Seja {Ai}iN M uma sequencia enumeravel disjunta como no argumento anterior. Na ultima sequenciade desigualdades, como

(E) i=1

(E Ai) + (E Bc)

E

i=1

Ai

+

E

i=1

Ai

c (E)

segue que todas as desigualdades sao igualdades. Em particular,

(E) =i=1

(E Ai) + (E Bc)

TomandoE=i=1

Ai, segue que

i=1

Ai

=

i=1

(Ai) ,

portanto e uma medida. Para verificar que ela e completa, seja (A) = 0. Para qualquerE X temos

(E) (E A) + (E Ac) = (E Ac) (E)

de modo que A M.

1.4.2 Pre-medidas

Usando o teorema de Caratheodory poderemos estender medidas definidas em algebras a medidas definidas

em-algebras.

1.30 Definicao. SejaXum conjunto equipado com uma algebraA. Umapre-medida em A e uma funcao: A [0, ] que satisfaz

(i) () = 0;

(ii) se {Ei}iN A e uma colecao enumeravel disjunta tal quei=1

Ei A, entao

i=1

Ei

=

i=1

(Ei) .


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Pela Proposicao 1.27, uma pre-medida induz uma medida exterior em X.

1.31 Proposicao. Se e uma pre-medida e e a medida exterior induzida por , entao

(a)

|A = ;(b)todo conjunto em A e -mensuravel.

Prova. (a) Se E A e Ei=1

Ai comAi Apara todoi, seja

Bn= E

An

n1i=1

Ai

,

de modo que Bn A, os conjuntosBn sao disjuntos en=1

Bn= E. Logo,

(E) =

n=1 (Bn)

n=1 (An) ,de modo que (E) (E). A desigualdade reversa e imediata, ja que E

i=1

Ai para A1 =E e Ai =

parai 2.

(b) Sejam A Ae E X. Dado >0 existe uma sequencia {Bi}iN Atal que Ei=1

Bi e

i=1

(Bi) (E) + .

Como e aditiva em A, segue que

(E) +

i=1

(Bi A) +

i=1

(Bi Ac) (E A) + (E Ac) .

Como e arbitrario, temos que A e -mensuravel.

1.32 Teorema. Sejam A P(X) uma algebra, uma pre-medida em A, a medida exterior induzidapor e M a -algebra gerada por A.

Entao = |M define uma medida em M cuja restricao a A e . Se e uma outra tal medida emM, entao (E) (E) para todo E M, a igualdade valendo se (E)< . Se e -finita, entao e a unica extensao de a uma medida em M.

Prova. A primeira afirmacao segue do Teorema de Caratheodory e da proposicao anterior, ja que a-algebrados conjuntos -mensuraveis inclui A.

Se E M e Ei=1

Ai com{Ai}iN A, entao

(E) i=1

(Ai) =i=1

(Ai) ,

logo(E) (E). Alem disso, denotando A =i=1

Ai, temos que

(A) = limn

ni=1

Ai

= lim

n

ni=1

Ai

= (A)


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de modo que, se (E)< , podemos escolher osAi de tal maneira que (A)< (E) + , logo (A\E)< e portanto

(E) (A) =(A) =(E) + (A\E) (E) + (A\E) (E) + ;

como e arbitrario, conclumos que (E) =(E).

Finalmente, se X=i=1

Ai com (Ai)< para todo i, e como podemos assumir os Ai disjuntos, segue

que para qualquer E M temos

(E) =

i=1

(E Ai) =i=1

(E Ai) =(E) ,

de modo que = .

1.4.3 Exerccios

1.4.1 Mostre que se e uma medida exterior e {Ai}iN

e uma sequencia de conjuntos -mensuraveisdisjuntos, entao

E

i=1

Ai

=

i=1

(E Ai)

para todo E X.

1.4.2 Sejam A P(X) uma algebra,A a colecao de unioes enumeraveis de conjuntos de A e A a colecaode intersecoes enumeraveis de conjuntos deA. Sejam uma pre-medida em A e a medida exteriorinduzida por. Prove as afirmativas a seguir.

(a) Para todo E Xe para todo >0 existe A A tal que E A e (A) (E) + .

(b) Se (E) < , entao E e -mensuravel se e somente se existe B A tal que E B e (B\E) = 0.

(c) Se e -finita, entao a restricao (E)< em (b) e desnecessaria.

1.4.3 Seja uma medida exterior emXinduzida por uma pre-medida satisfazendo (X)< . SeE Xdefine a medida interior de Epor

(E) = (X) (Ec) .

Mostre queE e-mensuravel se e somente se (E) = (E).

1.4.4 Sejam uma medida exterior induzida por uma pre-medida e a restricao de aos conjuntos-mensuraveis. Prove que e saturada.

1.4.5 Sejam (X, M, ) um espaco de medida, a medida exterior induzida por , M a -algebra dos

conjuntos

-mensuraveis e= |M . Prove as afirmativas a seguir.(a) Se e -finita, entao e o completamento de .(b) No caso geral, e a saturacao do completamento de .

1.5 Medidas de Borel na Reta

Nesta secao contruiremos medidas na -algebra de Borel BR da reta. Quando nos referirmos a intervalossemiabertos nesta secao, teremos em mente apenas intervalos da forma (a, b] ou (a, +) (incluindo e apossibilidade a = ), ou seja, intervalos abertos a esquerda e fechados a direita.


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1.5.1 Famlias Elementares

1.33 Definicao. Seja X um conjunto. Dizemos que uma colecao Ede subconjuntos de X e uma famliaelementarse

(i) E;

(ii) se E , F E, entao E F E;

(iii) se E E, entaoEc pode ser escrito como uma uniao finita disjunta de elementos de E.

1.34 Exemplo. A colecao dos intervalos semiabertos da reta e uma famlia elementar. De fato, dados doisintervalos semiabertos (a, b] e (c, d], onde supomos a c para fixar ideias, temos

(a, b] (c, d] =

se b c,(c, b] se b > ceb d,(c, d] seb > ceb > d.

Alem disso, (a, b]c = (, a] (b, +) e uma uniao disjunta de dois intervalos semiabertos.

1.35 Proposicao. Se E e uma famlia elementar, entao a colecao J das unioes finitas disjuntas de ele-mentos de E e uma algebra.

Prova. Para simplificar a notacao e ja que este e o caso que nos interessa, vamos assumir que se E E,entaoEc pode ser escrito como uma uniao disjunta de doiselementos de E.

Primeiro provaremos que A e fechada sob unioes finitas. Ou seja, precisamos mostrar que uma uniaofinita de unioes finitas disjuntas de elementos deE(que nao e uma uniao necessariamente disjunta) pode serescrita como uma uniao finita disjunta de elementos de E, logo esta em A. No caso mais simples, quandotemos a uniao de duas unioes disjuntas e cada uma destas unioes e na verdade apenas um elemento de E,isto e, tomandoA, B E(poisA = A e B = B sao unioes disjuntas), escrevemosBc =E1 E2 comE1, E2 Ee disjuntos, de modo que

A\B= (A E1) (A E2) E,

logoA B = (A\B) B A

pois conseguimos escreverA Bcomo a uniao de dois elementos disjuntos de E. Por inducao, seA1, . . . , AnE, e por hipotese de inducao podemos assumir A1, . . . , An1 disjuntos, pelo argumento acima segue queAi\An Epara todo i < n, e portanto temos por hipotese de inducao

ni=1

Ai=

n1i=1

(Ai\An)

An A.

Para provar que A e fechada sob complementos, sejam A1, . . . , An E e escreva Aci = B

1i B

2i com

B1i , B

2i E disjuntos. Entao,

ni=1

Ai

c=

ni=1

(B1i B

2i

)=

j1,...,jk=1,2

Bj11 . . . B

jkn

.

1.36 Corolario. A colecao A das unioes finitas disjuntas de intervalo semiabertos e uma algebra em R.Alem disso, a -algebra gerada por esta algebra e exatamente a -algebra de Borel BR.

Prova. A ultima afirmativa segue da Proposicao 1.11 (c).


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1.5.2 Medida de Lebesgue-Stieltjes

Lembramos que seF : R R e uma funcao crescente, entaoFtem limites laterais em todo ponto:

F(a+) = limxa+ F(x) = infx>aF(x) ,F(

a)

= limxa

F(x) = supx


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de modo que fazendo n conclumos que

(I)

i=1 (Ii) .Para provar a desigualdade reversa, denotemos Ii= (ai, bi] e vamos supor primeiro que < a < b < +.Fixe >0. Como F e contnua a direita, existe >0 tal que

F(a + ) F(a)<

e para cada i existei> 0 tal que

F(bi+ i) F(bi)<

2i.

Os intervalos abertos (ai, bi+ i) cobrem o intervalo compacto [a + , b], logo podemos extrair uma subco-bertura finita. Podemos assumir (reindexando, se necessario, e descartando os intervalos (ai, bi+ i) queestao contidos em intervalos maiores) que:

(i) os intervalos (a1, b1+ 1) , . . . , (aN, bN+ N) cobrem [a + , b];(ii) a1< a2< . . . < aN;(iii) bi+ i (ai+1, bi+1+ i+1) para i = 1, . . . , N 1.

Da,

(I) =F(b) F(a) F(b) F(a + ) +

F(bN+ N) F(a1) +

=F(bN+ N) F(aN) +N1i=1

[F(ai+1) F(ai)] +

F(bN+ N) F(aN) +N1

i=1[F(bi+ i) F(ai)] +

=

Ni=1

[F(bi+ i) F(ai)] + Ni=1

[F(bi+ i) F(bi)] +Ni=1

[F(bi) F(ai)] +

i=1

(Ii) + 2.

Como e arbitrario, isso termina o argumento nos casos em que a, b sao finitos. Se a = , o mesmoargumento produz

F(b) F(M) i=1

(Ii) + 2

para qualquer 0< M


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Se G: R R e uma outra tal funcao, entao F =G se e somente se F G e constante.

Reciprocamente, see uma medida que e finita em todos os conjuntos de Borel limitados e definirmos

F(x) = ((0, x]) se x >0,0 se x= 0, ((x, 0]) se x 0, por definicao existe uma cobertura {(ai, bi]}iN de Ecom

i=1

((ai, bi)) (E) +


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e para cada k existe k >0 tal que F(bi+ i) F(bi)<

2k . Entao E

i=1

(ai, bi+ i) e

i=1

((ai, bi+ i)) =

i=1

[ ((ai, bi]) + ((bi, bi+ i])] =

i=1

((ai, bi]) +

i=1

[F(bi+ i) F(bi)]

i=1

((ai, bi]) + (E) + 2.

1.42 Teorema. Para todo E M temos

(E) = inf{ (U) :E U e U e aberto} = sup { (K) :K E e K e compacto} .

Prova. Se U e aberto e U E, entao (U) (E). Por outro lado, pela caracterizacao dos abertos da

reta, todo aberto U e uma uniao enumeravel de intervalos abertos disjuntos, digamos

U=i=1

(ai, bi) ,

logo,

(U) =i=1

((ai, bi))

e pelo lema anterior segue o resultado para abertos. No segundo caso, suponhaE limitado. SeE= E, entaoE e compacto e o resultado e obvio. Caso contrario, dado >0, existe um aberto UE\Etal que

(U) (E\E)+ .SejaK= E\U. Entao K e compacto, K Ee

(K) = (E) (E U)

= (E) [ (U) (U\E)]

(E) (U) + (

E\E)

(E) .

Como e arbitrario, segue o resultado no caso em que Ee limitado. Se Ee nao limitado, seja Ej =E(i, i+1].Pelo argumento anterior, para cada >0 existe um compacto Ki Ei tal que

(Ki) (Ei)

2i

.

Para cadan, considere o compactoKn= ni=n

Ki E. Temos

Ki n

i=n

Ei

e como (E) = limn

ni=n

Ei

, segue o resultado.


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1.43 Teorema. Para todo E R as seguintes afirmacoes sao equivalentes

(a)E M.

(b)E=V\N1 onde V e uma intersecao enumeravel de conjuntos abertos e (N1) = 0.

(c)E= H N2 onde H e uma uni ao enumeravel de conjuntos fechados e (N2) = 0.

Prova. (b) e (c) implicam (a) porque e completa. Seja E M e assuma E limitado. Pelo teoremaanterior, para todoi Npodemos escolher um aberto Ui Ee um compacto Ki Etais que

(Ui) 1

2i (E) (Ki) +

1

2i

TomeV =i=1

Ui e H =i=1

Ki. Entao (V) = (E) = (H)< , logo (V\E) = (E\H) = 0. O caso

em que Enao e limitado e deixado como exerccio. O significado deste resultado e que todos os conjuntos de Borel (na verdade, todos os conjuntos em M) saode uma forma razoavelmente simples, a menos de conjuntos de medida nula.

1.5.4 Medida de Lebesgue

1.44 Definicao. A medida de Lebesgue-Stieltjes F associada a funcao identidadeF(x) =x sera denotadapor m. Ela e chamada a medida de Lebesgue. O domnio de m e chamado a classe dos conjuntosLebesgue-mensuraveise sera denotada por L.

1.45 Teorema. Se E R e t, r R, considere a translacao e a dilacao de E:

E+ t= {x + t: s E} ,

rE= {rx : x E}

Se E

L, entao E+ t

L e rE

Lpara todos t, r

R

. Alem disso,m (E+ t) =m (E) ,

m (rE) =|r| m (E) .

Prova. Como a colecao de intervalos abertos e invariante sob translacoes e dilacoes, o mesmo vale para BR.Em BR, defina as medidas mt(E) =m (E+ t) e mr (E) =m (rE). Como mt e mr coincidem respecti-

vamente com m e |r| m em intervalos finitos, pelo Teorema 1.32 elas coincidem em BR. Em particular, seE BR e tal quem (E) = 0 segue que m (E+ t) =m (rE) = 0, logo segue o resultado para L.

1.5.5 Exerccios

1.5.1 Complete a demonstracao do Teorema 1.43.

1.5.2 Usando o Teorema 1.42, prove que se E e um conjunto de medida finita, entao para todo >0 existeum conjunto Uque e uma uniao finita de intervalos abertos tal que (EU)< .

1.5.3 Sejam Fuma funcao crescente e contnua a direita e Fa medida associada. Prove que

F({a}) =F(a) F(

a)

,

F([a, b)) =F(

b)

F(

a)

,

F([a, b]) =F(b) F(

a)

,

F((a, b)) =F(

b)

F(a) .


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1.5.4 SejaEum conjunto Lebesgue-mensuravel. Prove que

(a) Se E N, onde N e o conjunto nao-mensuravel do Contraexemplo 1.1, entaom (E) = 0.

(b) Se m (E)> 0, entaoEcontem um conjunto nao-mensuravel.

1.5.5 Mostre que se E L e m (E)> 0, para todo m (I).

1.5.6 Mostre que se E L e m (E) > 0, o conjunto E E = {x y: x, y E} contem um intervalocentrado em 0.

1.5.6 O conjunto de Cantor

A medida de Lebesgue de um conjunto unitario{x}, consistindo de um unico ponto, e 0, pois

m ({x}) = limn

m

x

1

n, x +

1

n

= lim

n

2

n = 0.

Consequentemente, a medida de Lebesgue de qualquer conjunto enumeravel {xn}nN tambem e 0, pois

m(

{xn}nN)

=n=1

m ({xn}) = 0.

Em particular,m (Q) = 0. No entanto, existem conjuntos nao enumeraveis com medida de Lebesgue igual a0. O exemplo mais interessante e o conjunto de Cantor.

O conjunto de Cantor e construdo da seguinte forma. Todo ponto x [0, 1] possui uma representacaodecimal na base 3 da forma

x=n=1

an3n

coman= 0, 1 ou 2. Esta expansao e unica, a menos que x seja da forma p3q

para alguns inteiros p, q; neste

caso, ha duas representacoes possveis, uma com an= 0 para todon > qe uma com an = 2 para todon > q,porque

n=q+1

2

3n =

2

3q+1

n=0

1

3n =

2

3q+11

1 13

= 1

3q.

Por exemplo, o numero

49

243 =

1 33 + 2 32 + 1 31 + 1 30

35 =

1

32+

2

33+

1

33+

1

35

tem as representacoes

0.01211000 . . .e

0.01210222 . . .

Convencionaremos usar sempre a segunda representacao. Desta forma, temos

a1= 1 se e somente se 1

3 < x

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