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MEDIDAS DE POSIÇÃOParte I - MÉDIAS
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: TURISMO
Disciplina: ESTATÍSTICA BÁSICA ET-229
MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO
SEPARATRIZES
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.
MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA
MEDIANA
Dentre elas destacamos três
1- Aritmética: é a mais utilizada.
2- Geométrica: utilizamos quando os dados estão em progressão geométrica. Por exemplo, no cálculo da média de juros compostos.
3- Harmônica: muito usada quando os dados são inversamente proporcionais. Por exemplo, no cálculo de velocidade média.
AS PRINCIPAIS MÉDIAS SÃO:
5420
421035
X
1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados não agrupados
nxxxX n
...21
EXEMPLO: Calcule a média aritmética dos números 5, 3, 10 e 2.
1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados agrupados: quando temos muitos valores repetidos é comum agrupar os dados em uma distribuição de frequência. Assim, resumimos a fórmula da média para
n
fxX
k
iii
1
onde k é o número de classes.
EXEMPLO: Calcule a média dos dados abaixo.
X f4 15 56 67 58 3
Total 20
2,620
12420
3*85*76*65*51*4
5
1
X
n
fxX i
ii
O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito
X f4 15 56 67 58 3
Total 20
O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito
X f X*f X*f4 1 4*1 45 5 5*5 256 6 6*6 367 5 7*5 358 3 8*3 24
Total 20 124
2,620
124X
Os dados podem estar agrupados em classes.
Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 5 6 |------ 8 10 8 |------ 10 510 |------ 12 3
Toatal 26
Os dados podem estar agrupados em classes.
Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.
Classes fi xi xifi
2 |------ 4 3 3 9 4 |------ 6 5 5 25 6 |------ 8 10 7 70 8 |------ 10 5 9 4510 |------ 12 3 11 33
Toatal 26 182
726
182X
Portanto a média é
Propriedades da Média Aritmética
1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.
xi fi
1 23 45 47 2
Total 12
Propriedades da Média Aritmética
1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.
xi fi xifi (xi- )fi
(xi- )fi
1 2 2 (1-4)*2 -63 4 12 (3-4)*4 -45 4 20 (5-4)*4 47 2 14 (7-4)*2 6
Total 12 48 Total 0
X X
2) Se somarmos uma constante K aos dados a média fica somada desta constante.
Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}, então,
Y=X+5={9,11,13,15}
KXY
Se somarmos o valor 5 ao conjunto X teremos,
7428
410864
X
12448
41513119
Y 575 XY
3) Se multiplicarmos os dados por uma constante a, então, a média fica multiplicada por a.
XaY
Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}. Vimos que a média é 7. Multiplique X por 3. Y={12,18,24,30}. Portanto,
XY
Y
37*3
214
844
30241812
4) Se um conjunto formado por n1 elementos tem média Ȳ1 , um segundo formado por n2 elementos tem média Ȳ2 e sucessivamente o m-ésimo conjunto formado por nm elementos tem média Ȳm, então, a média do conjunto formado por todos os elementos é
m
mm
nnnYnYnYnX
......
21
2211
Exemplo: Y1={2,4,9} e Y2={1,5,6,8,10}.
Assim, n1 = 3, Ȳ1 = 5, n2 = 5 e Ȳ2 = 6.
Então, X={2,4,9,1,5,6,8,10} tem média
845
8108651942
X
Usando a fórmula temos,
845
536*55*3
21
2211
nnYnYnX
2 MÉDIA GEOMÉTRICAPara dados não agrupados
n
n
iig xX
1
Exemplo: X={4,6,9}
62169*6*4 33 gX
Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
n
k
i
figixX
1
Exemplo xi fi
1 52 44 2
16 1Tota
l12
Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
n
k
i
figixX
1
Exemplo xi fi
1 5 15 12 4 24 164 2 42 16
16 1 16 16Tota
l12 163
2
216 12 3412 3
g
g
X
X
ifixif
ix
Exemplo: Uma aplicação na Bolsa de Valores perdeu 20% no primeiro mês e ganhou 80% no segundo mês. Qual a taxa média mensal desta aplicação?
Inicial Perdeu 20% Ficou com Ganhou 80% Final
100 100*0,8 80 80*1,8 1,44
2,144,18,1*8,0 gX
Inicial ganhou 20% Ficou com Ganhou 20% Final
100 100*1,2 120 1,2*1,2 1,44
Taxa média da aplicação é 20%, pois
3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados
n
i i
h
x
nX
1
1
Exemplo X={2,4,5}
3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados
n
i i
h
x
nX
1
1
Exemplo X={2,4,5}
1960
204510
3
51
41
21
3
hX
Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
k
i i
ih
xfnX
1Exemploxi fi
2 45 88 2
Total 14
Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
k
i i
ih
xfnX
1Exemploxi fi
2 45 88 2
Total 14
6363,3154560
10648040*14
405*28*820*4
1482
58
24
14
1
h
h
k
i i
ih
X
X
xfnX
Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?
Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?
km/h14900
45059
2
901
501
21
1
h
n
i i
h
X
x
nX