Medidas de Tendencia Central - Ing. Johnny Montenegro · 2009. 8. 18. · medidas. Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente útiles para

Medidas de TendenciaCentral

www.jmontenegro.wordpress.com


UNI-Norte

MEDIDAS DE RESUMEN

MEDIDAS DE

TENDENCIA

CENTRAL

•MEDIA

•MEDIANA

•MODA

•CUARTILES,ETC.

MDR

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

•RANGO

•DESVÍO EST.

•VARIANZA

•COEFIC. DE VAR.

•ETC.

2


UNI-Norte

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media Aritmética1

La Mediana 2

La Moda3

Otras medidas de tendencia central4

Media Geométrica.4.1

Media Cuadrática.4.2

Cuartiles, Deciles y Percentiles.4.3

3

www.jmontenegro.wordpress.comMedia Aritmética

La media aritmética o simplementemedia de un conjunto de medicioneses la medida de tendencia centralmás usada y conocida. Esta medidase simboliza como ( x con raya )cuando representa la mediamuestral y como (letra griegaminúscula) para representar lamedia poblacional.

“ ” o “” es la suma de todos losvalores de la muestra o poblacióndivididos por el número de casos.

x

UNI-Norte4


En el caso de la media muestral estaes igual a : “ x1 + x2 + x3 + ... xn / n “donde “n” es el número de datos dela muestra y “x” el valor numéricodel dato. La fórmula simplificada dela media es:

“ =( i / n)” , donde representa laletra griega sigma que enmatemáticas es el símbolo desumatoria de datos, el subíndice “i”es un valor que varía desde “1” a“n”.

x n

x1

UNI-Norte5


Cuando se tienen datos agrupados en una distribución de frecuencias se obtiene el punto medio de cada intervalo y se determina media de la siguiente manera:

n

fxx

n

1

Donde “f” es la frecuencia de la clase y “x” el punto medio

de cada intervalo.UNI-Norte6


Ejemplo de cálculo de una Media o Promedio Aritmético Si tengo la nota de un examen de matemáticas de 10

estudiantes en una escala de 1 a 100 donde:

Estudiante “Variable Nota = xi” Valor de xi

Luis X1 62

Alberto X2 68

Juan X3 92

Pedro X4 88

Robero X5 55

María X6 79

Raquel X7 89

Luisa X8 92

Rosa X9 67

Diana X10 69

= 761

ix

10

1

En este caso “i” varia de 1 a 10

Media de notas de los estudiantes /10 = 761/10 = 76.1i

x10

1

UNI-Norte7


La Mediana

La segunda medida de tendencia central es la mediana. La mediana “Me” de un conjunto de mediciones “x1 , x2, x3, ...., xn” es el valor de “x” que se encuentra en el punto medio o centro cuando se ordenan los valores de menor a mayor.

UNI-Norte8


Si las mediciones de un conjunto de datos se ordenan de menor a mayor valor y “n” es impar, la mediana corresponderá a la medición con el orden “(n + 1) / 2”.

Si el número de mediciones es par, n = par, la mediana se escoge como el valor de “x” a la mitad de las dos mediciones centrales, es decir como el valor central entre la medición con rango “n/2” y la que tiene rango “(n/2) + 1”.

UNI-Norte9


Reglas para calcular la mediana

Ordenar las mediciones de menor amayor o viceversa.

Si “n” es impar, la mediana “m” es lamedición con rango “(n + 1) / 2”

Si “n” es par, la mediana “m” es elvalor de “x” que se encuentra a lamitad entre la medición con rango“n / 2” y la medición con rango“(n /2)+1”.

UNI-Norte

45 49 52 60 71 75 84 89 97 99

)2/(n

1)2/( nDatos ordenados de menor a mayor10


Como “n” es par, la mediana

es igual a la mitad entre la

medición con rango “n / 2” y

la medición con rango

“(n/2) +1”, donde “n / 2” = 5

y “(n /2) +1” )= 6.

El dato 5 vale 69 y el dato

6=79, entonces “la mediana”

es igual a

(69 + 79) / 2= 74

En este ejemplo la mediana

es semejante a la media.

UNI-Norte

EstudianteDatos

Ordenados

Valor de

xi

Roberto 1 55

Luis 2 62

Rosa 3 67

Alberto 4 68

Diana 5 69

María 6 79

Pedro 7 88

Raquel 8 89

Juan 9 92

Luisa 10 92

11


La Moda

La moda es la medida de tendencia central más fácil de calcular y también es la más sujeta a fluctuaciones cuando cambian unos pocas valores de la distribución. Por esta razón la moda se suele usar para una evaluación rápida de la tendencia central. La moda se define como ”el valor más frecuente de una distribución”.

UNI-Norte12


La Moda

En una tabla de frecuencias, la frecuencia mayor es la que contiene a la moda. Esta medida se usa más y tiene más sentido cuando se describen datos nominales, de hecho es la única medida de tendencia central que funciona con este tipo de escala.

UNI-Norte

La moda es el valor más frecuente y

funciona bien con escalas nominales

13


Comparaciones entre las diferentes medidas.

Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente útiles para obtener una medida de tendencia central. Por el contrario, cada una de estas medidas tiene características que hacen que su empleo sea una ventaja en ciertas condiciones y en otras no.

UNI-Norte14


La media es la medida de tendencia central, generalmente más usada y tiene la característica que incorpora todos los datos de la variable en su cálculo por lo tanto su valor suele ser más estable. Además se suele preferir en la construcción de pruebas de hipótesis, en la estadística inferencial. Se usa normalmente con datos de intervalo y de razón constante y cuando las distribuciones tiene forma simétrica.

UNI-Norte15


La mediana suele ser la medida preferida cuando se emplea una escala ordinal, estas son las situaciones donde el valor asignado a cada caso no tiene otro significado más que el indicar el orden entre los casos. Por ejemplo saber en una clase cuales alumnos están dentro del 50% con mejores notas y cuales dentro del 50% con peores notas

UNI-Norte16


. También se suele preferir la mediana cuando unos pocos valores extremos distorsionan el valor del promedio. Por ejemplo si tengo 9 personas con 0 ingresos y uno sola que tiene ingresos de 10 unidades, el promedio me puede dar a entender que la mayoría recibe 1 unidad, cuando esto no es real.

UNI-Norte17


La moda en ciertas condicionespuede ser la más apropiada, porejemplo cuando se quiereinformación rápida y cuando laprecisión no sea un factorespecialmente importante.

UNI-Norte18


En ciertos casos solo esta medidatiene sentido por ejemplo en unequipo de fútbol llevo la estadísticapor jugador (escala ordinal) de lacantidad de pases que realiza porjuego, esto para detectar quien es elque mejor distribuyendo la pelota, eneste caso la media y la mediana notendrían significado, solo la moda.

UNI-Norte19


No necesariamente una escala demedida nos debe decir que tipo demedida de tendencia centraldebemos usar, pero si nos ayuda adeterminar cual es la más apropiada.

Un aspecto interesante entre las tresmedidas es su comportamientoreferente a la simetría que toma unadistribución.

UNI-Norte20


Cuando las distribuciones sonsimétricas, sin sesgo, caso de ladistribución Normal que tiene formade campana, “la media, la mediana yla moda coinciden”. Si la distribuciónes asimétrica con sesgo positivo, haymás datos hacia la izquierda de lamedia, entonces “la media es mayorque la mediana y esta mayor que lamoda”. Si ocurre lo contrario, elsesgo es negativo, entonces “lamedia es menor que la mediana yesta menor que la moda”.

UNI-Norte21


Otras Medidas de

Tendencia Central

UNI-Norte22


La media geométrica se define como:

por ejemplo la media geométrica de los valores “4, 5, 4, 6” es :

UNI-Norte

nng xxxxx ..321

68,4)6)(4)(5)(4(4 gx

23


La Media Cuadrática

Se construye a partir de suma de los cuadrados de un conjunto de valores. Su forma de cálculo es :

Si tomamos los valores anteriores, la media cuadrática tiene el siguiente valor:

UNI-Norte

2

22

3

2

2

2

1 ...

n

xxxxx n

c

81.44

64542

2222

cx

24


UNI-Norte

Cuartiles, Deciles y

Percentiles

25


Si a un conjunto de datos se ordena de mayor a menor, el valor central es la mediana, este valor divide el grupo, en dos subgrupos cada uno con el 50 % de los datos.

Si a cada subgrupo ordenado se le marca el valor central, tenemos así tres valores seleccionados que llamaremos Cuartiles, Q1, Q2 y Q3.

UNI-Norte

Cuartiles:

45 49 52 60 71 75 84 89 97 99 99

Me

50% 50%

26


Cuartiles:

Estos valores dividen al conjunto de datos en cuatro grupos con igual número de términos, cada cuartilcontiene el 25% de los datos. La mediana es el cuartil dos, Q2

UNI-Norte

45 49 52 60 71 75 84 89 97 99 99

Me = Q2Q1 Q3

25% 25% 25%25%

27


Cuartiles:

Con los Cuartiles se construye un gráfico especial, “el diagrama de caja”, este permite visualizar la variabilidad de los datos por Cuartil.

UNI-Norte

3.7

7.5

11.2

14.9

18.7

Kg

Mediana

Carne consumida por año

Diagrama de caja

Los bordes de la

caja amarilla son el

Q1 y el Q3.Q3Me = Q2 Q1

28


Deciles:

Si el conjunto de valores, ordenados de de mayor a menor, se dividen en diez partes iguales, los valores que dividen los datos se llaman deciles y son nueve, D1, D2,..D9.

UNI-Norte29


Percentiles:

Si se tiene un conjunto de datos muy numerosos y a este se lo divide en 100 partes iguales, cada valor que divide los datos se llama percentil, P1, P2, P3…P99.

UNI-Norte30


Documents

Medidas de Tendencia Central - Ing. Johnny Montenegro · 2009. 8. 18. · medidas. Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente útiles para