Melconian, Sarkis - Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais - Cap 05

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TRAt;Ao ECOMPRESsAo

5.1.1 For~a{Normal ou Axial FEixoLongitudinal.1 Revisao do Capitulo 3

Define-se como forca normal au axial aquela queatua perpendicularmente (normal) sabre a area daseccao transversal de peca.

/5.1.2 Tra-;ao e compressao

Pademas afirmar que uma peca esta submetida a estorco de tracao ou compressao, quandouma carga normal F atuar sabre a area da SeCy80 transversal da peca, na direcao do eixolongitudinal.

Quando a carga atuar com 0 sentido dirigido para 0exterior da peca ("puxada"); a peca estaratracionada. Quando a senti do de carga estiver clrigldo para 0 interior da peca, a barra estaracomprimida ("empurrada").

Peca tracionada Peea comprimida

/ Area da seccaoTransversal / Arei'! da seccaoTransversal



5.2 Tensao Normal (JA carga normal F, que atua na peca, origlna nesta, uma tensao normal que e determinada

atraves da relacao entre a intensidade da carga aplicada, e a area da seccao transversal da peca,I cr= : I

Onde: a - tensao normal [Pa; ]F - forca normal ou axial [N; ]A - area da seccao transversal da peca [m2; .......... ]

Unidade de Tensao no 51 (Sistema Internacional)A unidade de tensao no SI eo pascal, que corresponde a carga de 1N atuando sobre uma

superficie de 1m2.I N

Como a unidade pascal e infinetesimal, utiliza-se comfrequencia, os seus rnultlplos:

1m2 MPa (mega pascal)MPa = 106 Pa

kPa (quilo pascal)kPa = 103 Pa

A unidade MPa (mega pascal, corresponde a aplicacao de 106 N (um rnilhao de newtons)na superficle de urn metro quadrado (m2). Como m2 = 106mm2, conclui-se que:

I MPa = N/mm21MPa corresponde a carga de iN atuando sabre a superficie de Lmrrr'.

5.3 LeideHookeAp6s uma serie de experiercias, 0 cientista ingles, Robert Hooke, no ano de 1678,

constatou que uma serie de materials, quando submetidos a a9130de carga normal, sofre variacaona sua dirnensao linear inicial, bem como na area da seccao transversal inicial.

Ao fen6meno da variacao linear, Hooke denominou alongarnento, eonstatando que: quanto maier a carga normal apJieada, e 0 eomprimento inicial da peca, maior 0alongarnento, e que, quanto maior a area da seccao transversal e a rigidez do material,

medido atraves do seu m6dulo de elastieidade, menor a alongarnento, resultando daia equacao:E H J

Como cr;:;; . podemos eserever a Lei de Hooke:A ~LTMecanica Tecnicae Resistencia dosMateriais"'lH"



Onde: t : , . - alongamento da peca [rn: ]a - tensao normal [Pa; ]F - carga normal aplicada [N; ]A - area da seccao transversal [m2; ]E m6dulo de elastieidade do material [ P O I ; ]f comprimento tniclal da peca [rn; ..... ,..... ]

o alongamento sera positive, quando a carga aplicada tracionar a peca, e sera negativequandoa carga aplicada comprimir a peca.

E importante observar que a carga se distribui par toda area da seccao transversal da peca.Tracao no No Oornpressao no N o

A~--------------'_--B A-.----------------~-Peca Tracionada Peca Oomprirrrlda

F

F F

Onde: e f comprimento final da peca [m; ]( - comprimento inieial da peca [m; ]!::.( - alongamento [rn: ]

A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a defcrrnacao longitudinal ( E ) e adeformacao transversal (Et).Deforrnacao longitudinal ( E )

Consiste na detorrnacao que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) de uma pecasubmetida a acao de carga axial.

Sendo definida atraves das relacoes:

Tracao eOompressao 65



Deformaeao transversal (Et) I_Determina-se atraves do produto entre a detormacao unitaria (e) e 0 coeficiente de Poisson

(v).

! : J . f. 0-como "" R = = E ' podemos escrever: ouOnde:t - deformacao transversal adimensionala - tensao normal atuante [pa; ]E modu10de e Iastlcl dade do materi al [Pa. ; . . . .. Je - deformacao longitudinal adimensionalv - coeficiente de Poisson adimensional/ ' : , . - alongarnento [m; ] - camprimento inicial [m; ]

5.4 Materia'is Ducteis e FrageisOs materiais, conforme as suas caractertsticas, sao classificados como ducteis au frageis.

5.4.1 Material Ductilo material e classificada como ductll, quando submetido a ensaio de tracao, apresentaceformacao plastica. precedida par uma deformacao elastica, para atlnglr 0 rompimento.Ex.: Ago; alumlnlo:

cobre; bronze;ratso: nlquel:etc.



Ponto 0 - Infcio de ensaio carga nulaPonto A - Limite de proporcionalidadePonto B - Limite superior de escoamentoPonto C - Limite inferior de escoamentoPonto D- Final de escoamento lnlclo da recuperacao do materialPonto E - Limite maximo de resistencia

Diagrama Tensao deformacao do aco ABNT 1020

Ponto F - Limite de ruptura do material(f Ef m a x +----------~"?" ........

F

Reg ia o d e D ef . P la st ic ao Regiaod e D ef.

Elastica~Es;: . : :co. :: . :a=m=en=t0=. t .R=ecu:.=pe,,-=ra~.o+_. . . . - -J~q:ao

5.4.2 Material Fragilo material e classificado como fragil, quando submetido a ensaio de tracao nao apresenta

detormacao plastica, passando da deformacao elastica para 0 rompimento.Ex.: concreto, vidro, porcelana, ceramica. gesso, cristal, acrilico, baquelite etc.Diagrama tensao detormacao do materiall fragil

Ponto 0 - lnicio de ensaio carga. nulaPonto A -limite maximo de resistencia,

ponto de ruptura do materiale orrnacaoelastica

,5JiFra~ao'&'Compressao



5.5 Estric(:3oNo ensaio de tracao, a medida que aumentamos a intensidade de carga normal aplicada,

observamos que a peca apresenta alongarnento na sua direcao longitudinal e uma reducao naseccao transversal.

Na fase de detormacao plastica do material, essa reducao da seccao transversal cornecaa se acentuar, apresentado estrangulamento da seccao na regiao de ruptura. Essa propriedadernecanica e denominada estrtccao, sendo determinada atraves da expressao:

Onde: (P - estriccao [% ]Ao - area da seccao transversal inicial [mm2; cm; ]Af - area da seccao transversal final [mm2; cm2; ]

5.6 Coeficiente de Seguran(:a ko coeficiente de seguranca e utilizado no dimensionamento dos elementos de construcao,

visando assegurar 0 equillbrio entre a qualidade da construcao e seu custo.o projetista podera obter a coeficiente em normas au deterrnina-lo em funcao das

cireunsta nci as apresentad as.Os esforcos sao classificados em 3 tipos:

5.6.1 Carga EstaticaA carga e aplicada na peca e permanece constante; como

exemplos, podemos citar:Um parafuso prendendo uma luminaria.Uma corrente suportando um lustre.

5.6.2 Carga IntermitenteNeste caso, a carga e apllcada gradativamente na peca,

fazendo com que 0 seu estorco atinja 0 maximo, utilizando para issoum determinado intervalo de tempo. Ao atlnglr 0 ponto maximo, acarga e retirada gradatlvamente no mesmo intervalo de tempoutilizado para se atingir 0 maximo, fazendo com que a tensao atuantevolte a zero. E assim sucesslvamente.

Ex.: 0 dente de uma engrenagem.

"" Mecanica Tecnica-e Resistenciados Materiais'

(["(tensao)

t(tempo)

(["(tensilo)

t (tempo)



6.6.3 earga AlternadaNeste tipo de sollcltacao, a carga aplicada na peca r(tensao)

variade maximo positive para maximo negative ou vice-'lersa,constituindo-se na pior situacao para 0 material. < > (fmax

E x . : eixos, molas, amortecedores, etc.Obs. : para cisalhamento substituir (Jpor 1 "

t(tempo)

Paradeterminar 0 coeficiente de seguranca em tuncaod a s clrcunstanclas apresentadas, devera ser utilizada ae)(pressaoa seguir:

lk=x.y.z .w Ivalorespara x (fator de tipo de material)

x ::: 2 para materiais comunsx = 1,5 para aces de qualidade e aco liga

valores para y (fator do tipo de solicitacao)y = 1ara carga constantey = 2 para carga interminentey = 3 para carga altern ada

valores para z (fator do tipo de carga)z : : : 1ara carga gradualz = 1,5 para cheques levesz = 2 para choques bruscos

valores para w (fator que preve posslveis falhas de tabricacao)w = 1 a 1,5 para agosw = 1,5 a 2 para fofoPara carga estatica, normalmente utiliza-se 2 s k :-::;3 aplicado a C Je (tensao de escoamentodomaterial), para 0 material ductil e ou aplicado a Or (ten sao de ruptura do material) para 0 material

fragi!.Para 0 caso de cargas interminentes au alternadas, a valor de k cresce como nos mostra

a ecuacao para sua obtencao,

5.7 Tensao Admissivel 0' ou cadrnA tensao admisslvel e a ideal de trabalho para 0 material nas clrcunstancias apresentadas.

Geralmente, essa tensao devers ser mantida na regiao de deforrnacao elastica do material.

Traeao e Compressao 69



Porern, ha casos em que a tensao admisslvel oodera estar na reglao da deformacao plasticsdo material, visando principalmente a reducao do peso de construcao como acontece no casode avi6es, foguetes, misseis, etc.

Para 0 nosso estudo, restringir-nos-emos somente ao primeiro caso (regiso elastica) que e oque trequenternente ocorre na pratica.

A tensso admisslvel e determinada atraves da relacao oe (tensao de escoamento) coeficientede seguranca para os materials dOcteis, or (tensao de ruptura) coeficiente de seguranca para asmateriais frageis.

- (je(j=- k materiais dOcteis- (jr(j=- k materiais trageis

5.8 Peso ProprioEm projetos de porte, e necessano levar em conta, no dimensionamento dos elementos de

construcao, 0 peso proprio do material, que sera determinado atraves do produto entre 0 pesoespecffico do material e 0 volume da peca, conforme nos mostra 0 estudo a seguir.

Ar-------------~ O~y~t'Pp = 'Y AyNa seccao My = a ~ Pp = aNa seccao BBy = t' ~ Pp ,rna x

Onde: Pp - peso pr6prio do elemento dimensionado; [N; ... JA - area da seccao transversal da peca: [m2; ... J'Y - peso especffico do material [N/m3; Jf. - comprimento da peca mm; [m; ... J

5.9 A~o e sua Classifica~aoAco e um produto siderurglco que se obtern atraves de via llquida, cujo teor de carbona nEW

supere a 2%.



C l a s s ificaf;aoAgo extra doce < 0,15%CAgo dace 0,15% a 0,30%C,Ago meio doce 0,30% a 0,40%CAgo meio duro 0,40% a 0,60%CAgo duro 0,60% a 0,70%CAgo extra duro > 0,70%C

5.10 Dimensionamento de PeeasPeltas de Secf;ao Transversal Qualquer

Area Minima

I A m i n = ~ IOnde:A m i n - Area minima da seccao transversa I[m2: ... ].F- carga axial aplicada [N]." 0 - Tensao admissivel do material [PaJ,

as de Secf;ao Transversal CircularDiametro da Pe(fa

\_ F , _ _ 1t d2cr= - como 8 area do circulo e A = --, tern-A 4-se que:

c r = n 4 ; portanto, I d = J : ; IOnde:d - Diametro da peca [m].F- Carga axial aplicada [N]." 0 - Tensao adrnlssfvel do material [PaJ.

1 1 : - Constante trigonornetrlca 3,1415 ...



5.11 Dimensionamento de CorrentesA carga axial na corrente se divide na metade para cada seccao tranversal do elo.

FTem-se entao que: a = 2~1 1 : d2 4 F 2 FComo a area do circulo e A = -- tem-se que: a = ~_c_ = __ c4 2rc d2 rc d2

Onde:d - diarnetro da barra do elo [m].F c - Forca na corrente [NJ.

1 1 : - Constante trlgonornetrica 3, 1415 ....cr - Tensao admisslvel [PaJ.

Propriedades MecanicasTabela 1 - Coeficiente de Poisson (v)

Material v Material vaQo 0,25 - 0,33 latao 0,32 - 0,42

alumlnio 0,32 - 0,36 madeira compensada 0,07bronze 0,320,35 pedra 0,16 - 0,34cobre 0,31- 0,34 vidro 0,25

fofo -0,23- 0,27 linea 0,21

Tabela 2 - Caracteristicas elastlcas dos materiaisModulo de Modulo deMaterial eJastlcldade Material eiasticidadeE IGPaj E [GPaj

AQo 210 l.atao 117Alumlnio 70 Ligas de AI 73Bronze 112 Ligas de ehumbo 17Cobre 112 Ligas de esta nho 41Chumbo 17 Ligas de magnesio 45Estanho 40 Ligas de tita n io 114Fofo 100 Magnesia 43

Fola Modular 137 Monel (Iiga niquel) 179Ferro 200 Zineo 96

~portanto,~

d

Ob s . : E comum encontrar-se 0 modulo de elasticidade em MPa (megapascal)



Exemplos:5Eaco= 2,1 x 10 MPa

Eat = 7,Oxl04MPa5Ecu= 1,12 X 10 MPa

Tabela 3 - Peso especifico dos materiaisMaterial Peso Especifico Material Peso Especifico

y[N / m'] y[N / m3]Ago 7,70 x 104 Gasolina 15C 8,3 x 103Agua destilada 4"C 9,8 x 103 Gelo 8,8 x 103Alven aria tijo 1 0 1,47 x 104 Graxa 9,0 x 103AlumTnio 2,55 x 104 l.atao 8,63 x 104Bronze 8,63 x 104 Leite (15C) 102 x 104Borracha 9,3 x 103 Magneslo 1,72 x 104Cal Hidratado 1,18 x 104 Nlquel 8,50 x 104Cerveja 100 x 104 Ouro 1,895 x 105Cimento em p6 1,47 x 104 Papel 9,8 x 103Concreto 2,00 x 104 Peroba 7,8 x 103Cobre 8,63 x 104 Pinho 5,9 x 103Cortlca 2,4 x 103 Platina 2,08 x 105Chumbo 1,1 x 105 Porcelana 2,35 x 104Diamante 3,43 x 10

4Prata 9,80 x 10

4Estanho 7,10 x 104 Talco 2,65 x 104Ferro 7,70 x 104 Zinco 6,90 x 104

Tabela 4 - Coeficiente de dilata~ao linear dos materiais

Material Coeficiente de Material Coeficiente dedilatacao linear dilatacao linearex[0 C]-1 a [0C]-1

A90 1,2 x 10-5 t.atao 1,87 x 10-5Alurninio 2,3 x 10-5 Magnesio 2,6 x 10-5Baquelite 2,9 x 10-5 Nlquel 1,3 x 10-5Bronze 1,87 x 10-5 Ouro 1,4 x 10-5Borracha [20C] 7,7 x 10-5 Platina 9 x 10-6Chumbo 2,9 x 10-5 Prata 2,0 x 10-5Constantan 1,5 x 10-5 Tijolo 6 x 10-6Cobre 1,67 x 10-5 Porcelana 3 x 10-6Estanho 2,6 x 10-5 Vidro 8 x 10-6Ferro 1,2 x 10-5 Zinco 1,7 x 10-5



Tabela 5 - Modulo de Elasticidade Transversal Tabela 6 - TensoesMaterial Modulo de ElasticldadeTransversal G [GPa]

A f ; O 80Alumlnlo 26Bronze 50Cobre 45Duralurntnlo 14 28Fofo 88Magneslo 17Nylon 10Titanlo 45Zineo 32

Tensao de Tensao de rupturaMaterials eseoamentcde [MPa] [MPa]

Af;o CarbonoABNT 1010 - L 220 320

-T 380 420ABNT 1020 - L 280 360

-T 480 500ABNT 1030 - L 300 480-T 500 550

ABNT 1040 - L 360 600-T 600 700

ABNT 1050 - L 400 650A90 UgaABNT 4140- L 650 780

-T 700 1000ABNT 8620 L 440 - 700-T 700 780Ferro FundidoCinzento 200Branco - 450Preto F - 350

P 550Modular - 670Materiais 118 .0ferrososAluminio 30-120 70 - 230Duralurnlnlo 14 100 - 420 200- 500eobre TelCtrio 60 320 230 -350Bronze de niquel 120 - 650 300 750Magnesio 140 - 200 210 300TitMio 520 600Zinco - 290Materiais naometSolicosBorracha - 20-80COncreto . 0,8-7 "adeirasPeroba - 100-200Pinho . 100120Eucalipto - 100150PlastlccsNylon - 80VidroVidro plano - 5-10Llaminado F - Ferr'iticoT -tretitado p , Perlitlco

Esta tabela foi adaptada atraves das normas da ABNT NB-82; EB.126; EB-127; PEB-128;NB-11.

As tensoes de ruptura das madeiras deverao ser consideradas paralelas as fibras.



5.12 ExerciciosEx.l- A barra circular representada na figura. e de ago, possui d = 20 mm e comprimento

R = 0,8m. Encontra-se submetida a acao de uma carga axial de 7,2 kN.Pede-se determinar para a barra:a) Tensao normal atuante (a)b) 0 alongamento ( f l . . e )c) A deformacao longitudinal ( 1 0 )d) A deforrnacao transversalrd



Ex.2 - Determinar 0 diametro da barra < D da construcao representada na figura. 0 material dabarra e 0 ABNT 1010L com O "e = 220 MPa, e 0 coeficiente de seguranca indicadopara 0 caso e k = 2.

4kNlOkN

s__C D ~ O ~ , 8 m ~ ~ O ~ , 8 m ~ ~ O ~ , 8 _ m ~

cd?

Solu~ao:: 1 . Carga axial na barra < D

4kN

IO ,8m O ,8m

l;MA= 0a,8F1= 0,8 x 10sen53+1,6 x 4I Fl = 16kN I2 Dimensionamento da barra.

2 .:1 . - Tensao admlsslvel (0) ..oe 2200= - = - = 110MPak 2



2.2 - Diametro da barra.

d1=1txll0xl06 ~m4 x 1600QP{ 4x16000 X 10-6 m 2

ItX 110

d 4 x 16000 0-31= xl mIt x 110d1= 13,6 x 10-3m --? d1 = 13,6mmA barra possulra I d = = 14 mm I

Ex.3 - A tigura dada, representa duas barras de aco soldadas na seccao BB.

A carga de tracao que atua na peca e 4,5 kN.

d1=15mm

A seccao < D da peca possui d1= 15 mm ecomprimento e 1::; 0,6 m, sendo que a seccao @possui d2;; ; ; ; ;25 mm e 2"" 0,9m .Desprezando 0 efeito do peso proprio do material,pede-se determinar para as seccoes < D e C % J .

4,5kN

a) A tensao normal (C Y 1 e (J2)b) alongarnento (M1 e At 2)c) A deformacao longitudinal (1 e 2)d) A ceformacao transversal (t1 e Et)e) 0 alongamento total da peca (I'l )

Ea(;o = 210GPa Va~o = 0,3solucao:a) Tensao normal (0"1 e 0"2)

Seccao < D da barra tem-se:Fl 4 Fl0"1=-=--A1 1td~

0"1 4x4500N = 4x4500 xl06Pan(15 x 10-3m)2 It x 152 I 0"1 = = 25,5MPa I



Seccao @, da barra tem-se:F2 4. F20"2 =-=--AZ 1t . d~A carga F2 e a pr6pria carga de 4.5 kN, portanto, tem-se:

4 x 4500N 4 x 4500N0"2 = = ------1t x (25 x 10-3m)2 1t x 252 x 10-6m24x4500 06p0"2 = 2 X 1 a1t x25

10" = = 9,2MPa Ib) Alongamento da barra ( 6 . 1e 6 . JSeccao C D :6.1 = 0"1X1 = 25,5 x.w-6p.{x 0,6m = 25,5'0,6 .10-3m

Ea~o 210 x~ Fa 210103

M 2 = 0"2 X f 2 9,2 x#.px 0,9m 9,2 0,9 0-3Eaco = 210 x i f f . f c l = 210.1 m

103

se, = = O,073mm111 = = 73)lm

M2 = = O,039mm112 = = 39)lm

c) Deformacao longitudinal (El e E2 )Sec980 Q):

M1 73)lm1=--- =--1 0,6mSec9ao @:

M2 39Jlr;{2=-=--2 0,6P1"



d) Detormacao transversal (ft1 e Et2 )Seccao 1:

t, = -0,3 x 122

Seccao 2:

1 1 . = = -1311e) Alongarnento total da pecat =-0,3x432

/ : ' ; ; ; ; . M 1 +6 . 2/:,=73+39Ex. 4 - Urna barra circular possui d = 32 mm, e 0 seu cornprimento l! = 1,6m. Ao ser

tracionada por urna carga axial de 4kN, apresenta um alongamento Ill! = 114 11m.Qual 0 material da barra?

Soluc;:ao:1 - Tensao normal na barra.

F 4F 4x4000Nc r = - = - = ----:;,---_::_A n:d2 n(32 x 10-3m)216000 106pa = x an x 322

a=5MPa

2 - M6dulo de elasticidade do material.Pela lei de Hooke, tem-se:

G. P/::,.P=--Eportanto, 0 modulo de elasticidade sera:

c r - PE=-ME= 5 x 106Pa x 1,61Y1'

114x 10-6_ m "E= 5x1,6 x1012Pa

114



E = 0,070 X 1012 PaE = 70 x 109PaIE=70GPalAtraves da tabela de modulo de elasticidade dos materiais (pagina 72), conclui-se que 0material da barra e 0 alumfnio, pois Eal = 70GPa.Ex.S - 0 lustre da figura pesa 120N, estara preso ao

teto atraves do ponto A, par uma corrente deaQo.Determinar 0 dlamet-o do arame da corrente,para que suporte com seguranca K = 5, a pesodo lustre.o material do arame e 0 ABNT 1010l como, = 220 MPa .

Solw;:ao:1 Dimensionamento do arame.1.1 - Tensao admisslvel (0)a = ~ = 220 = 44MPak 51.2 - Diametro do arame

C i = 44MPa

Como a elo nao esta soldado, conclui-se que a carga esta sendo suportada por uma unicaarea de seccao transversal. Portanto, 0 dimensionamento sera desenvolvido como S8 a correntefosse um fio reto. C

4FCi=~ nd2

d= ~:;

d= 4 x 120p.(

Meci in icaxliecniCChe:ResistenciatdoSiMateriais:ww, ." . __ m' M l im r r r r _ m m m _ _ m , ' . ~

-

4x 120 x106m2d= nx44

d= 4x120 xl03mnx44



A corrente possuira diametro do arame d::: 2 mm.Ex.6 ~ Determinar a area mfnima da seccao transversal das barras ~, e da trellca

representada na figura.o material utilizado e 0ABNf 1010L comGe = 220MPa, e 0 coeficiente de segurancapara a caso e k ::: 2.

c1~Carga axial nas barras

1.1~Angulo e x2tga = ~ ~ a : : = : 3403

40kN.:1.2- Reacoes de apoioComo a trelica e simetrlca, conclui-se que:RA::: RB::: 20 kN.:1 .3 - Carga axial na barra < V .

I'Fy = 0y

20F = = 35 7kN1 sen340 - ,x 20Ft = . . . = = 35,7kN Fl =35,7kN. sen34

Ra

F 2 = 35,7cos34I F 2 : : = : 29,6kN I

A carga axial na barra < V e F2 ::::29,6 kN..:1 .4 - Carga axial na barra a > atraves do equilibria do "D", tern-se que:

yLFy = 0F3 = 40kN FJ

F2 F4 x

40kN



1.5 ~Carga axial na barra .Par simetria, conclui-se que:

I F 4 = F 2 = 29,6 k N I2 - Dimensianamenta das barras.

2.1 - Tensao admisslvel (a).a : = : Ge = 220 = 110MPak 2 I c r : = : 110MPa

2.2 - Area minima da seccao transversal das barras. (2); Q); 2.2.1 -Barras (f) e

A2 : = : A4 . : = : 29600N110X106~m

A2 = A4 =269x10-6m2

A2 = A4 = 269mm22.2.2 -Barra Q)

A _ .40000N'"3 - 110 X106 ' p t "m

A3 = = 364 X 10-6 m2

A3 = = 364mm2

Ex. 7 ~ A barra CDda figura e de a90, possui A1 = 400 mm2 (area de seccao transversal),e 0 seu comprimento e i = 800 mm. Determinar para a barra CD:a) Carga axial atuante (F1)'b) Tensao normal atuante (Gi).c) 0 alongarnento (8 . i)'d) A deforrnacao longitudinal (1)e) A deforrnacao transversal (Et1)Ea~o= 210 GPa Yaco =0,3



a) Carga axial na barra (j)

8F1=6 x1,5+ 20 x2I Fl = 6,125kN Ib) Tensao normal atuante (0'1)

0'1 = L = 6125N = 6125 x 106 _ ! : ! _Ai 400 x 10-6 m2 400 m2

10'1:: 15,3MPaIc) Alongarnento da barra (~Cl)'

M1 = 0"1 xl1 = 1~106Pax800x10-3mEaw 2urJ 109Pa

M1 = 15,3x8GOxl0-6m2106.1:: 58x 10-6mM1 ::58J.lm

d ) Deforrnacao longitudinal (1)Ml 58J.lm1=-=--. e 1 G,8m

e) Deforrnacao transversal (Et)tt1 =Vaoo -11=0,3 x 72,5



Ex.S - Dimensionar a seccao transversal da barra CDda construcao representada nafigura. A barra possuira seccao transversal quadrada de lado (a).

o material da barra e a ABNT 1020 L com c, = 280 MPa. Utilizar coeficiente deseguranca k = 2.

1-Carga axial na barra

1 1 sen 53

I,MA= 03Fj_sen53= 4x 2,2+8 X 1-5x 0,8I Fj_= 5,3kN I2 - Dimensionamento da barra

2.1 - Tensao admlssfvel ( 0 )- _ O "e _ 280 -140MP0"- ---- a

k 2I a =140MPal

2.2 - Lado "a1"da seccao transversal.- Fj_ Fj_0"=-=-Aj_ af

5300)(



5300 10-6 2a1--x m140

a1"6,15mm

Ex. 9 - Uma barra de AI possui seccao transversal quadrada com 60mm de lade e, 0 seucomprimento e de O,8m. A carga axial aplicada na barra e de 36 kN. Determinara tensao normal atuante na barra e 0 seu alongarnento.EAf= 0,7 X 105 MPa

a) Tensao atuante na barraPara calcular a tensao atuante na barra, devemos transformar a carga axial atuante paranewtons, tendo entao F = 36000N.

Solu~ao:

- F 36000 36000N = 10 x 106--;(J = A = (60 x 10-3t = 602 x lO-6m2 m

I c r = 10MPa IComo pode se observar, a unidade do lade da seccao foi transformada para m (60mm =60 x 10-3 m) para que pudessernos obter a unidade de tensao no SI N/m2 (pascal).b) Alongamento na barraM= Fxl = (J. = 10..MP3xO,8m

A xEM EA I 0,7 X 105 ~M= 10x 0,8m

0,7 x 105M =114x la-8mIM=114~m I

Ex.10 - Dimensionar a corrente da construcao representada na figura. 0 material utilizadoeo ABNT1010L (Je = 220MPa e, a coeficiente de seguranca indicado para a casoe k ~ 2.



I . O.6m1

1 lOkNELI)ci

JSoluc;:ao:a) Fon;:a na corrente

~. . O.6m ~ O,4m

Fesen 53

1 '2l! l"J:

:EMA=O-0,5 Fesen 53 - 0,6 Fecos 53 + 0,4 x 10 sen 37 +110 cos 37 =0,5 Fesen 53 +0,6 Feeos 53 = 0,4 x 10 sen 37 + 10 cos 370,4 Fe+0,36 Fc= 2,4 + 8F : _ 10,4e - 0,76 I Fe= 13,68kN Ib) Dimensionamento do elo da correnteA forca atuante no elo divide-se em duas metades, uma para cada seccao. Desta forma,podemos escrever que:- Fe Fe 2Fe0=-=--=-2A ,2'1td2 1td2

' 2

Fe2

d = J : ;



(Je 220 IJe = k2110MPaPara simplificar a resolucao do problema, podemos escrever:

b.1) Tensao admissfvel

G =110N/mm2

b,2) Dimensionamento do eloTransformando a forca na corrente para newtons, temos:d = 2 x 13680

1txll0 d =: 8,9mm

o diametro do perfilado do eJo da corrente devera ser 9mm.Ex.11 - Dimensionar a barra CDda construcao representada na figura, sabendo-se que a

seccao transversal da barra e quadrada, eo material a ser utilizado e 0 ABNT 1030L"com Cie = 300 MPa. Utilize coeficiente de seguranca k 22.

Solu~ao: a) Forca axial atuante na barra CD

LMA=O-Fl cos 37 - Fl sen 37 + 20 x 2 + 10x 0,5 + 3 = 00,8 Fl + 0,6 Fl = 40 + 5 + 31,4 Fl =: 48

48Fl = - = 34,28kN1,4 Fl cos 37

1 1 ._.-Fl sen 37 lOkN 20kNI-



b) Dimensionamento da barra CDb.1) Tensao admisslvel

c r : = O"e~ 300 = 150MPak 2150 MPa equivale a 150 N/mm2

b.2) Dimens6es de seccao transversal da barraF0"=-A

Como a barra possui seccao transversal quadrada, denominamos a lado da seccao de "a",obtendo desta forma:

Transformando a torca na barra < D para newtons, temos que F1= 34280Na = iF = )34280V - ; 150 I a - 15mm I

Ex. 12 -Na construcao representada na figura, a barra Q) e de a90, mede 1,2 m e possuiarea da seccao transversal 1600mm2. A barra @ e de Cobre, mede 0,9m e possuiarea de seccao transversal 3600mm2 . Determinar:a) carga axial nas barras;b) tensao normal nas barras 1 e 2;c) as respectivos alongamentos;d) as respectivas deformac;:6es longitudinais:e) as respectivas deforrnacoes transversais.

Ea90 = 2,1 X 105 MPa5Ecu =1,12 x 10 MPa

va~o =0,30 (coeficiente de Poisson do aco)vcu =0,32 (coeficiente de Poisson do cobre)

2m



a.2) barra @: E M B = 04F2 = 44 x 2I F2= 22kN

Soluc;:ao:a) Forca axial nas barras

F

: E M A = O

3Fl =60 x 2 + 12I F1 = 44kN I

1 .i,I

E 4kN I 12kNE i j : $ "tI)'= '1- /rr[ '-,.cv

=l A \ ~I 3m

a.1) barra C D

N0"1= 27,5 -~2 corresponde a 0"1= 27,5 MPamm

b) Tensao normal nas barrasb.1) barra C D

(J =L= 44000 =275 N1 A i 1600 'mm2

b.2) barra @- _!i - 22000 - 6 1 NI 20"2 - - - mmA 2 3600 'I 0"2 =6,lN Imm2 corresponde a 0"2 =6,1MPa

c) Alongamento das barrasc.1) barra CD

11 = 27,5 x 1,2 = 157 x lO-6m1 2,1 x 105



c.2) barra (1 )

d} Deformacao longitudinal das barrasd.1} barra < D

_ 0"1 _ 27,51 - - - -------::-Ea\,o 2,1X105

2 = 0"2 = 6,11Ecu 1,12 x 105

e) Deforrnacao transversal das barrase.1) barraCD

t1=- Vaco' 1 = - 0,3x 13 x 10-5

1 2 =5,45 X 10-5 =54,5 X 10-6 =54.5f.l

e.2} barra < I l

Ex. 13 . Detenninar as areas mfnimasdas secedes transversais casbarras C D , < I l e da construcaorepresentada na figura. 0material a ser utilizado e o ABNT1020 L e r e = 280MPa ; utilizecoeficiente de seguranca k ~ 2.

- :wMecanica- Tecnicae Resistenela dos:Materiais ~""q. . -'':'11/); OMi t*, ,k't't: c ,; ;s ;; - :t iC ' . . ! "" ... , -k); =



Solut;ao:a) Forqa axial na barra Q) 300kN

L:MA=O5Fl = 300 x 3

I F 1 = T = 180kN Ib) Fon;:a normal nas barras 0 e a >Como a carga de 340 kN esta aplicadasimetricamente as barras @ e a > ,conctuimos que:

160kN

F 2 t t t180kN~ F , t - 2 m ' F ~ 2 m

c) Areas rnlnirnas das secedes transversaisc.1) Tensao admissivel do material

Paraque 0material trabalhe com seguranca k =2 dada como ideal para 0caso, temos:- O"e .2800" = - = -- =140MPak 2o=140MPa au para simptificar os calculos, podemos utilizar c = 140 N/111fn2.

c.2) Area mlnima da seccao transversal da barra CD

transformado Fl para newtons, temos:Fi = 180.000NAi = '! = 180000

a 140I A 1 = = 1286 m m 2 1c.3) Areaminima da seccao transversal das barras 2 e 3. Anatogamente a c.2 temos que:

170.000A2 = A3 = 140



Ex. 14 -A coluna da figura dada suporta uma carga de 240 kN. Considerando a peso pr6priodo material, determinar as tensoes atuantes nas secedes AA; BB; ec.

A coluna e de concreto, sendo que 0 bloco G) tem hi = 2m e area da seccao transversalAi ;;;:0,24 m2 , 0 bloco @ tem h2 ;;;:2m e area da seccao transversal A2 = 0,36 m2.y concreto=2 x 104 N1m3

240kNA A

C D h lB B

@ h 2

SOIU(:30:a) Tensao na seccao AAo = 240000 =106 ~M 0,24 m2

b) Tensao na seccao BBA carga que atua na seccao BB e de 240kN mais 0 peso pr6prio do bloco 1.P p 1 . = Y c . A 1 . h 1P p 1 =2 X 104 x 0,24 x 2 xPp1 = 0,96 x 104N = = 9600N(jBB = 240000 + 9600 =0,693 x 106 N1m20,36I O"B8 =0,693 MPa Ic) TenS80 na seccao CCA tensao na seccao CC sera obtida atraves do somat6rio das cargas aplicadas na referidaseccao transversal.



Pp2 =2xl04 xO,36x2Pp2 = 1,44 X 104 N=14400N

240000 + 9600 + 14400c r - - - - - - - - - -cc - 0,366 N 2O"cc=0,733xl0 1m l a c e = O,733MPa

Ex.1S - Dimensianar a barra CDda construcao, representada na figura. 0 material a ser utilizadoe a ABNT 1020 com (j'e = 280N Imm2 e 0 coeficiente de seguranca indicado paraa caso e k ~ 2.

c

8kN

2mm 3m

solucao:a) Forca normal na barra CD

24kN 8kN

1 1l 2m l 4mLMA=O9 F1 se n 53 = 8 x 6 + 24 x 2F1 = 48 + 489 x 0,8 I Fl = 13,33kN I

b) Dimensionamento da barra CDb.l) Tensao admisslvel

-(Je 280 -140NI 2a-=-- mmk 2b.2) seccao transversal da barra CD

Fl 13330A 1 = ~a 140



Ex. 16 -A barra CDda flgura e de a90, possui comprimento .e 1= O,8m e area da sec9~transversal Ai = = 400mm2. Determinar a tensao normal na barra e 0 s e walongamento.Ea~o = 2,06 X 105 N/mm2

solucao:a} Forca normal na barra < D

LMA=O5F1 4 x 2,5 + 2 + 12 x 3F1_= 10+2+ 36 IF1_= 9,6 kN I5

b) Tensao normal na barra < DF1_ 9600cr = -=--1 A1 400

Icr1=: 24 N /mm21c} Alongamento da barra 1

9600 x 800400 x 2 X 105

9,6 X 103 x 8 X 102M 1 =: 400 x 2 X 105

1 M 1_=: 0,096 mm = 96 I!m IEx. 17 -A viga AS absolutamente rigida suporta 0 carregamento da figura, suspensa atraves

dos pontos AS, pelas barras < D e < 1 J respectivamente. A barra < D e de a90, possuicomprimento e area de seccao transversal Ai'A barra iJ l e de A t, possui tambern comprimento e area de seccao transversalA2



Determinar a relacao entre as areas das secedes transversais das barras, sabendo-se que a viga A8 permanece na horizontal apos a aplicacao das cargas.Eaco = 210GPaEM = 70GPa

Resolucao:a) A carga concentrada do carregamento e qf.

A viga permanece na horizontal ap6s a aplicacao das cargas.Conclui-se que:

qfFl = F2 =-2(por simetria), e que,

Fl,Cl F2f2A1 Ea~o A2 EAe

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Melconian, Sarkis - Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais - Cap 05