Meotodologias Para o to de Cavas de Mina a Ceu Aberto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MINAS PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MINERAL

Metodologias para o Planejamento de Cavas Finais de Minas a Cu Aberto Otimizadas

Frederico Augusto Rosa do CarmoDissertao de Mestrado do Programa de Psgraduao em Engenharia Mineral da Universidade Federal de Ouro Preto rea de Concentrao: Planejamento de Lavra Orientador: Prof. Dr.

Adilson Curi

Ouro Preto - MG Maio de 2001

CARMO, FREDERICO AUGUSTO ROSA DO Metodologias para o Planejamento de Cavas Finais de Minas a Cu Aberto Otimizadas Ouro Preto, MG, 2001 Orientador : Adilson Curi Dissertao de Mestrado do Programa de Psgraduao em Engenharia Mineral da Universidade Federal de Ouro Preto 1. Lavra de Mina a Cu Aberto. 2. Planejamento de Lavra. 3. Otimizao de Cavas de Minas. 4. Mtodo Lerchs e Grossmann. 5. Otimopit I. PPGEM/UFOP. II. Ttulo. III. Curi, Adilson

Nada h de mais difcil trato, de xito mais incerto, nem de execuo mais perigosa, do que a introduo de novas leis; aquele que a empreende ter por inimigos todos os beneficirios das antigas leis e por tmidos defensores todos quanto se beneficiaro das novas O Prncipe Maquiavel

Aos meus pais Jos Francisco e Marlene, a minha esposa Anglica, minhas filhas Letcia e Natlia, que me deram a coisa mais importante da vida. O AMOR.

AGRADECIMENTOS

Deus, por me dado fora para concluir esta dissertao. Aos meus irmos Francislene, Ana Flvia e Fillipe. Aos meus sogros, Cyrineo e Cenira. Ao Prof. Dr. Adilson Curi pela orientao deste trabalho, ao Prof. Dr. Luiz Ricardo Pinto pelas aulas de Delphi, Simulao e a ajuda e todos professores da rea de Lavra do Programa de Ps Graduao em Engenharia Mineral da UFOP em especial aos professores Dr. Wilson Trigueiro de Souza, Dr. Valdir Costa e Silva e Dr. Jos Thomas Gama da Silva. A Capes pelo suporte financeiro. Ao amigo Wilson GG (Tiria) pelas dicas de programao e pela amizade de longa data, aos irmos Canalhas da repblica Vira-Saia por tudo em que me ajudaram. Aos novos amigos que conheci no programa de Ps-Graduao, Juarez, Julio, Walmir, Renato Capucho, Jos Geraldo e a secretria do PPGEM, Luciana.

RESUMO

O propsito do projeto de uma cava final tima determinar os contornos de uma mina a cu aberto, baseando-se em um modelo econmico e com exigncias de viabilidade tcnicas e econmicas para se obter o mximo possvel de renda lquida. Tal projeto essencialmente feito em um computador fundamentando-se na implementao de um algoritmo, que aplicado a um modelo de blocos tridimensional em um corpo de minrio. O primeiro algoritmo computadorizado foi publicado em 1965 por Lerchs e Grossmann, ele resolve o problema equivalente ao corte mnimo e o problema de fluxo de mximo. Muitas das razes para a lenta aceitabilidade do algoritmo de Lerchs e Grossmann se deve as praticabilidades do uso e implementao: dificuldade na programao, dificuldade de incorporao de restries como taludes variveis e estradas, longo tempo de execuo atravs de computadores e dificuldade de entender o mtodo. Por estas razes que o desenvolvimento de novos algoritmos continua crescendo. Esta dissertao apresenta alguns algoritmos de resoluo de problemas de otimizao de aberturas de cavas finais de minas a cu aberto, enfatizando o algoritmo Lerchs e Grossmann.Um programa baseado em vrios algoritmos de otimizao foi construdo na linguagem de programao Delphi e utiliza o ambiente Windows da Microsoft para ser executado. Este programa foi chamado de Otimopit podendo ser utilizado no ensino de graduao de engenharia de minas e em pequenas mineraes.

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ABSTRACT

The project of final optimum open pit mine is to determine the contours of an open pit mine, based on an economic model and creating viability demands to obtain the maximum possible of net value. This is done essentially in a computer based in the use of an algorithm that is applied to a three dimensional model of blocks in an ore body. The first computerized algorithm, published in 1965 by Lerchs and Grossmann, was generated from one of the most active operational researchs in mining. Although this algorithm was, for at least 25 years, the only demonstrable rigorous method to arrive at a great form of optimum pit, it is still not used broadly in the industry. It is accepted as the test in front of all the other algorithms, because it solves the equivalent problem at the minimum cut and maximum flow. Many of the reasons for the small acceptability of the algorithm of Lerchs and Grossmann in the begining due to the practice use and implemention: difficulty in programming, difficulty of incorporation of such restrictions like variable slopes and roads, long time of execution for computation and difficulty of understanding the method. It is, mainly, for these reasons that the development of new algorithms continues grow. This dissertation has an objective, to present some algorithms of resolution of problems optimum of final open pit mines, emphasizing the Lerchs and Grossmann algorithm. A software basead on several optmum algorithms was built in the programming language delphi and it uses the environment windows of microsoft to be executed, as well as the construction of an optimum program based on this algorithm. This Otimopit program could be used in the teaching mining engineer and small mines.

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SUMRIO

RESUMO.................................................................................................................... i ABSTRACT................................................................................................................ ii LISTA DE FIGURAS................................................................................................ vi

1 INTRODUO.................................................................................................... 01 1.1- Generalidades............................................................................................ 01 1.2- Modelo de Blocos.................................................................................... 02 1.3- Otimizao de uma Cava de Mina........................................................... 03 1.4- Objetivos deste Trabalho.......................................................................... 07 1.5 Esboo desta Dissertao........................................................................ 08 2 - REPRESENTAO DO CORPO DE MINRIO E ESTIMATIVA DE RESERVAS LAVRAVIS................................................................................ 09 2.1 - Generalidades........................................................................................... 09 2.2 Noes de Geoestatstica......................................................................... 12 2.2.1 Mtodos Convencionais........................................................... 13 2.2.2 Mtodos Estatsticos................................................................. 13 2.2.3 Mtodos Geoestatsticos........................................................... 13 2.3 Valor Econmico do bloco..................................................................... 16 2.4 - Restries para a modelagem de blocos para a abertura de cava............ 18 3 - MTODOS CLSSICOS DE RETIRADA DE MINRIO............................ 28 3.1 -Mtodo manual de projeto de cava......................................................... 28 3.1.1 Generalidades......................................................................... 28 3.1.2 - Relao estril / minrio total.................................................. 29 3.1.3 -Relao estril / minrio adicional............................................ 31 3.1.4- Relao estril / minrio peridica........................................... 31 3.1.5- Relao estril / minrio de limite econmico.......................... 32 iii

3.1.6 - Caractersticas do mtodo manual............................................ 34 3.2 - Mtodo dos Cones Flutuantes.................................................................. 34 3.2.1 Generalidades........................................................................... 34 3.2.2 - Base para o mtodo dos cones flutuantes................................. 37 3.2.3 Mtodo dos cones flutuantes (positivos mveis)..................... 38 3.2.4 - Falhas do mtodo dos cones positivos mveis......................... 39 3.2.5 Limitaes da cava gerada........................................................ 40 3.2.6 - ngulos de taludes variveis em 2D........................................ 41 3.3 - Algoritmo de Korobov .......................................................................... 41 3.4 Correo do Algoritmo de Korobov...................................................... 47 4 - MTODOS DE OTIMIZAO UTILIZANDO A PROPOSTA DE LERCHS E GROSSMANN............................................................................. 50 4.1 - Anlise de redes....................................................................................... 50 4.1.1 Generalidades........................................................................... 50 4.1.2 Teorema do fluxo mximo e corte mnimo.............................. 51 4.2 - Algoritmo Lerchs e Grossmann............................................................... 53 4.2.1- Generalidades............................................................................. 53 4.2.2- Definies.................................................................................. 54 4.2.3 Passos do Algoritmo................................................................ 59 4.2.4 Aplicao LG no mtodo dos cones flutuantes....................... 59 4.2.5 - Mtodo de otimizao manual aplicando LG.......................... 61 4.3 Angulos de taludes variveis .................................................................. 65 4.4 Algoritmo Lerchs e Grossmann em 2 D............................................. 66 4.5 Algoritmos modificados.......................................................................... 68 4.5.1 Algoritmo Johnson e Sharp...................................................... 68 4.5.2 - Algoritmo de Contorno das Sees Transversais..................... 73 4.5.3 Algoritmo de Contorno de Sees Transversais modificado... 74 4.5.4 - Limites Internos........................................................................ 75 4.5.5 Algoritmo 3-D de Koenigsberg................................................ 76 4.5.6 Algoritmo do Fluxo em Cadeia................................................ 78

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4.5.7 Algoritmo de Wilke e Wrigth.................................................. 82 5 - NOVAS TENDNCIAS DE OTIMIZAO.................................................... 85 5.1 Parametrizao de reservas..................................................................... 85 5.1.1 Generalidades........................................................................... 85 5.1.2 Parametrizao de uma cava.................................................... 86 5.2 Otimizao em quarta dimenso............................................................. 89 5.2.1 Generalidades........................................................................... 89 5.2.2 Variveis Utilizadas na Otimizao em Quarta Dimenso...... 90 6 - O PROGRAMA DE OTIMIZAO OTIMOPIT............................................ 92 6.1 Apresentando o programa Borland-Delphi............................................. 92 6.2- O Programa Otimopit................................................................................ 94 7 CONCLUSES.................................................................................................... 102 7.1 Sobre Otimizao.................................................................................... 102 7.2 Sobre o programa Otimopit..................................................................... 105 7.3 Sugestes para Trabalhos Futuros........................................................... 106 8 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 109

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LISTA DE FIGURASCAPITULO 2 2.1- Modelo de blocos tridimensionais................................................................................... 10 2.2 - Modelo de Blocos em sees gerado pelo programa Vulcan.......................................... 11 2.3 - Viso Ampliada dos modelos de blocos......................................................................... 11 CAPITULO 3 3.1- Relao Estril / Minrio.................................................................................................. 29 3.2- Limites da cava em nveis sucessivamente mais profundos............................................ 32 3.3- Limites da cava usando o BESR...................................................................................... 33 3.4 - Tpico cone flutuante...................................................................................................... 35 3.5 - Definio da cava final................................................................................................... 36 3.6 - Processo de lavra de um bloco e formao do cone invertido........................................ 38 3.7 - Formao do cone invertido para o talude 1:1 e 1:2...................................................... 38 3.8 - Tcnica do cone mvel................................................................................................... 40 3.9 Exemplo de modelos de blocos...................................................................................... 42 3.10 Modelo de blocos sendo otimizado ............................................................................. 44 3.11 Modelo de blocos otimizados....................................................................................... 45 3.12 Passos do algoritmo de Korobov.................................................................................. 46 3.13 Correo do Algoritmo de Korobov ............................................................................ 49 CAPTULO 4 4.1 Corte mnimo para mximo fechamento em grafos...................................................... 52 4.2 Definio das extremidades fortes e fracas.................................................................... 55 4.3 Procura Final dos ramos de uma rvore normalizada..................................................... 56 4.4 Definio do melhor caminho........................................................................................ 57 4.5- Mximo fechamento do grafo.......................................................................................... 59 4.6 - Modelo de blocos com a delimitao do corpo de minrio............................................ 63 4.7 Modelo de blocos com os valores para a otimizao..................................................... 63 4.8 - Cava sendo otimizada...................................................................................................... 64 4.9 - Escolha do mximo valor Pij........................................................................................... 64 4.10 - Procura do maior P1k.................................................................................................... 64 4.11 Cone gerado.................................................................................................................. 65

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4.12 Cava final gerada.......................................................................................................... 65 4.13 Valores econmicos dos mijk........................................................................................ 70 4.14 Nvel timo para a seo k =3...................................................................................... 71 4.15 Cava tima longitudinal .............................................................................................. 71 4.16 Soluo tima usando Johnson e Sharp........................................................................ 72 4.17 - Colunas Vizinhas do bloco i......................................................................................... 77 4.18 Exemplo do Modelo de Blocos em 2 D....................................................................... 79 4.19- Configurao Representando o Fluxo em Cadeia.......................................................... 80 4.20- Iniciao do Fluxo em Cadeia........................................................................................ 80 4.21- Fluxo em Cadeia depois da Interao............................................................................ 81 4.22- Fluxo em Cadeia com o Mximo Fluxo........................................................................ 81 4.23 Valores Econmicos dos Blocos.................................................................................. 83 4.24 Valores Econmicos dos Cones................................................................................... 83 4.25 Cava Final..................................................................................................................... 83 CAPTULO 5 5.1 Curva simplificada de Q e T........................................................................................... 86 5.2 Cavas obtidas pela parametrizao................................................................................ 88 5.3 Sucessivos Fluxos de Caixa.......................................................................................... 89 CAPTULO 6 6.1 Tela de Abertura do Programa....................................................................................... 95 6.2 Entrada de Dados do Programa ..................................................................................... 96 6.3 Blocos de Notas com Dados do Modelo de Blocos....................................................... 97 6.4 Clculo do Valor Econmico do Bloco.......................................................................... 98 6.5 Cava em Duas Dimenses.............................................................................................. 98 6.6 Cava em Planta............................................................................................................... 99 6.7 Cava Final em 3D........................................................................................................... 100 6.8 Blocos Retirados em 3D.................................................................................................. 100 6.9 - Relatrio Final do Programa Otimopit ........................................................................... 101

CAPTULO 77.1 - Fluxograma de um Otimizador ...................................................................................... 107

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CAPTULO 1

INTRODUO

1.1 GeneralidadesDurante a explotao a cu aberto, o terreno est continuamente sendo escavado at atingir o limite inferior da cava final. O contorno final da cava da mina determinado antes do comeo da operao da mina, ou seja, na fase de projeto. A fase de planejamento da cava de uma mina geralmente apresenta os seguintes elementos: a)Ensaios; b)Geologia; c)Tonelagem e extenso das reservas do minrio; d)Topografia; e)Equipamentos de minerao; f)Fatores econmicos referentes aos custos de operao; g)Capital a ser investido; h)Lucro; i)Tipologia do minrio; j)Limites finais da cava; k)Teor de corte; l)Relao estril/minrio; m)Escala de produo; n)Taludes da cava; o)Altura dos bancos; p)Estradas; q)Caractersticas do minrio; r)Condies hidrolgicas do terreno; s)Limites da propriedade e t)Consideraes mercadolgicas. Hall (1975) elaborou uma lista (aprimorada por Taylor (1977) e Lee (1984) e apud Hustrulid & Kuchita (1995)) completa de elementos que devem ser checados na fase de planejamento da cava. Assim, um aspecto fundamental no desenvolvimento de qualquer projeto de minerao a cu aberto a determinao das reservas minerais explotveis, obtidas atravs dos ento chamados limites finais da cava. O problema dos limites finais da cava de suma importncia para a prtica da minerao a cu aberto, como tem sido evidente pela ateno que ele tem recebido no mundo todo.

Captulo 1 - Introduo

Os limites finais da cava definem o tamanho e a forma de uma mina a cu aberto no final de sua vida til, buscando a maximizao do lucro. Eles definem a extenso das reservas lavrveis e a quantidade de material estril a ser retirado e depositado. Normalmente marcam a fronteira limite alm da qual a explotao de um dado depsito no ser mais econmica. Os limites da cava na superfcie delimitam uma fronteira dentro da qual as estruturas de superfcie da mina, tais como plantas de beneficiamento e escritrios da mina, no devem ser locados.

1.2 Modelo de BlocosA otimizao de uma cava de minerao, o projeto de uma mina e o planejamento de lavra requerem um modelo em trs dimenses do corpo de minrio, normalmente estas informaes so obtidas atravs de furos de sondas e so estimativas de teores que constituem um modelo de pequenos blocos. A estimao de um tamanho pequeno demais para o bloco cria uma excessiva suavizao e impreciso do modelo. Segundo Rudeno (1981) na perspectiva de reservas recuperveis a posio exata onde os teores esto localizados irrelevante, e o uso de blocos grandes recomendado para minimizar os problemas associados com a estimao vinda de blocos pequenos. A pergunta da quantidade de minrio que pode ser recuperada respondida sem definir a posio exata onde esto os teores altos e baixos dentro de um grande bloco. Reservas recuperveis se referem ao minrio que pode ser extrado. Reservas geolgicas se referem ao depsito inteiro sem qualquer constrangimento econmico ou tcnico. H uma diferena principal entre o objetivo de modelar o corpo de minrio em blocos e estimar as reservas recuperveis. O primeiro requer preciso local nas estimativas de teores do bloco, e o segundo requer a mnima classificao de teor no bloco. A posio geomtrica de um bloco fixada com referncia a um sistema de coordenada conveniente. A cada bloco atribudo um valor em funo de suas caractersticas geolgicas, geomecnicas, econmicas e tambm em funo dos aspectos relacionados

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ao processamento mineral. Assim, dados minerais, metalrgicos e econmicos combinados fornecem um valor para cada bloco. Quanto s alternativas de aproveitamento do bem mineral Costa (1979) ( apud Pinto (1999)) considera que um projeto de minerao deve objetivar uma soluo intermediria entre as duas solues extremas que naturalmente existem e que so tecnicamente viveis: Aproveitamento de todo o depsito mineral, desprezando-se os aspectos econmicos a ele relacionados. Obviamente, esta alternativa, quase nunca maximiza os lucros, podendo, em algumas situaes, levar at mesmo a um prejuzo financeiro para a mineradora. Aproveitamento exclusivo das partes mais ricas do depsito. Esta alternativa traz resultados econmicos positivos, mas caracteriza uma lavra predatria, que alm de no maximizar os lucros, pode inviabilizar a reserva remanescente pelo comprometimento de suas caractersticas mdias. Com base em dados econmicos, geolgicos e topogrficos, faz-se a modelagem tridimensional de blocos, determina-se o volume do corpo de minrio que dividido em uma grade de pequenos blocos chamada de modelo de blocos, que base dos mtodos computacionais que levam a cava tima. O modelo de blocos faz a descrio da jazida em funo do seu valor econmico (benefcio menos custo), ficando cada bloco com um fator ponderador (peso) associado a ele, devidamente conhecido pelas coordenadas espaciais e caractersticas geolgicas que possibilitam a atribuio de um valor econmico.

1.3 Otimizao da Cava de uma MinaDiferentes mtodos tm sido usados para o projeto de limites finais de cava. A simulao e a programao dinmica so as tcnicas mais utilizadas. As tcnicas de

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simulao incluem a tcnica dos cones mveis. Os Mtodos de programao dinmica incluem algoritmos bidimensionais e tridimensionais. O primeiro algoritmo para resolver problemas de abertura de cavas de minas foi apresentado em 1965 por Lerchs e Grossmann e, apesar de ser "antigo", o algoritmo mais comum e mais aplicado na indstria de minerao, pois resolve problemas de mximo fluxo em fechamento de grafos e ao mesmo tempo o problema de corte mnimo. Vrios algoritmos foram desenvolvidos durante os ltimos anos para solucionar o problema dos limites finais da cava de minerao. Dentre estes os algoritmos Johnson e Sharp, Robinson e Prenn (1996), Koborov, Koenigsberg (1982), Dowd e Onur (1993), Zhao e Kim (1979), Huttagosol e Cameron e etc. Entre estes, s os algoritmos Lerchs e Grossmann e o network simplex resolvem o problema da otimizao. Os outros algoritmos so meramente variantes do algoritmo de Lerchs e Grossmann ou so algoritmos heursticos que no garantem uma soluo tima. O algoritmo de Robinson e Prenn (1996) constri um cone para cada bloco de minrio, utilizando como base. Se o peso total (acumulado) de todos os ns no cone positivo, ento os ns so removidos do grafo. Todos os ns removidos juntos formam a cava final. Este algoritmo no pode entregar uma soluo tima. O algoritmo de Koborov tenta melhorar o mtodo dos cones mveis conferindo cones com um bloco de minrio como seu bloco bsico. A idia de que um bloco de minrio pode gerar lucro que paga o custo de se remover os demais blocos de estril, esses de peso negativo. Assim o algoritmo distribui o custo de um bloco de minrio para os demais blocos de estril. Isto feito diminuindo o peso do bloco de minrio e aumentando o peso do bloco de estril pela mesma quantia. Todos os cones que tm um bloco na base com um peso positivo, ao trmino do algoritmo todos os cones so includos na cava final.

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Dowd e Onur (1993) desenvolveram uma verso modificada do algoritmo de Koborov que encontra diretamente uma cava tima. A experincia computacional mostra que este algoritmo mais rpido que a implementao do algoritmo de Lerchs e Grossmann (Hochbaum e Chen (1998)). Outros algoritmos heursticos so os mtodos de programao dinmicos de Johnson e Sharp e o de Koenigsberg (1982). Uma variante do algoritmo de Lerchs e Grossmann foi desenvolvida por Zhao e Kim, em 1992. Como no algoritmo Lerchs e Grossamnn, os blocos do modelo so divididos em subconjuntos. A diferena principal entre os dois algoritmos esta no modo em que os blocos so reagrupados depois da descoberta de um bloco lucrativo em baixo de um bloco improdutivo. A complexidade do algoritmo de Zhao e Kim nunca foi analisada, e no h nenhuma indicao que o mtodo deste algoritmo de reagrupamento de blocos mais eficientes que o algoritmo de Lerchs e Grossmann. O mtodo deles mais simples e mais fcil de se entender comparado ao algoritmo de Lerchs e Grossmann. Nenhuma comparao computational direta entre os dois algoritmos foi mostrada. Vallet props uma variante interessante do algoritmo de Lerchs e Grossmann. Em lugar de dividir os ns em forte e fraco (que so subconjuntos de ns de peso total positivo e negativo respectivamente), Vallet classifica o ajuste baseado na mdia de massa e a relao B/V onde B a massa total e V o volume do ajuste. Ele se refere esta relao como uma fora. Se um bloco possui o ajuste com uma fora mais alta est em baixo de um bloco de ajuste com uma fora mais baixa, ento os dois ajustes so fundidos e depois so reagrupados. A classificao de relao no afeta o estado de subconjuntos como forte ou fraco. S afeta a ordem de processo a fuso que forma arco. Outros pesquisadores fizeram uso de algoritmos de fluxo de mximo para resolver problemas de minerao a cu aberto. Giannini et al. Desenvolveram o pacote de software PITOPTIM, que usa o algoritmo de fluxo de mximo de Dinic para calcular o timo contorno de cava.

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Huttagosol e Cameron formularam que o problema de cava a cu aberto um problema de transporte. O objetivo do problema de transporte fixar o envio de quantidades ajustadas dos provedores (fontes) para os ajustes dos consumidores (destinos) de forma que todas as demandas so conhecidas, enquanto ao mesmo tempo no so excedidos os materiais e o custo de envio total minimizado. Isto efetivamente a reduo pr bipartio. Huttagosol e Cameron propuseram usando o mtodo network simplex para resolver o problema. A experincia computacional mostra que o mtodo mais lento que o algoritmo de Lerchs e Grossmann. Com a prova de Picard que problemas de fechamento mximo so redutveis ao problema de corte mnimo, possvel aplicar quaisquer dos algoritmos de fluxo mximo eficientes conhecidos. Na literatura mineira, h relativamente poucos estudos de aperfeioar algoritmos s do algoritmo de Lerchs e Grossmann. Em 1996, Hochbaum compara o desempenho do algoritmo de Lerchs e Grossmann com o algoritmo push-relabel. At antes dos anos 80, os algoritmos heursticos eram extensamente usados na indstria mineira, porque eles so executados mais rapidamente e so conceitualmente mais simples que os algoritmos de otimizao (fornecem uma soluo tima). Com o avano da tecnologia dos computadores, algoritmos otimizadores se tornaram triviais. Whittle Programming Pty. Ltd.'s um pacote de otimizao de abertura de cava a cu aberto comercial, que utiliza o algoritmo Lerchs e Grossman 3-D e se tornou o pacote mais popular na indstria mineira, com uma verso 4-D para apoiar a anlise de sensibilidade. Outros pacotes comerciais existentes so o MULTIPIT que usa o algoritmo de Bongarcon (1982) e o algoritmo de Guibal e PITOPTIM que usa um algoritmo de fluxo de mximo. A parametrizao de reservas combinada com o algoritmo de Lerchs e Grossman a nova tendncia nos anos 90.

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1.4 Objetivos deste Trabalho

Esta dissertao tem como objetivo apresentar os algoritmos de resoluo de problemas de otimizao de aberturas de cavas finais de minas a cu aberto discutindo suas qualidades e falhas, sendo enfatizado o algoritmo Lerchs e Grossmann neste trabalho devido a sua importncia e suas qualidades na resoluo do fluxo mximo e corte mnimo. Outro objetivo foi construo de um programa de otimizao, para que, renunciemos a condio de meros operadores de programas de computadores e possamos realmente iniciar trabalhos na busca da melhor cava possvel para a minerao. Este programa foi denominado Otimopit, ele foi construdo na linguagem Borland-Delphi, da empresa Inprise, sendo executado no ambiente Windows da Microsoft, sendo necessrio assim apenas um micro-computador pessoal, ele faz a comparao de alguns mtodos de otimizao em vrios tipos de jazidas minerais mostrando as diferenas nos resultados finais da cava, o programa Otimopit basicamente uma ferramenta de calculo, mais possu um sistema de visualizao, podendo ser utilizado o programa Vulcan da empresa Maptek, como ferramenta de anlise e visualizao dos dados gerados pelo Otimopit. Um terceiro objetivo e divulgar os mtodos de otimizao, pois a grande maioria das mineraes de pequeno e mdio porte no utilizam e desconhecem os mtodos de otimizao, este programa pode contribuir com o preenchimento desta lacuna na maioria destas mineraes do Brasil, pois com uma anlise tcnica adequada, o aproveitamento das jazidas se tornaria mais lucrativo. O quarto objetivo foi construir um programa que poder ser utilizado na rea didtica, nas disciplinas referentes lavra e planejamento de minas a cu aberto.

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1.5 Esboo desta DissertaoEsta dissertao dividida em 7 captulos como segue: Captulo 1 apresenta o tema e os objetivos deste trabalho. Captulo 2 apresenta como se deve representar um corpo de minrio e como e feita a estimativa da reserva lavravl atravs de mtodos geoestatistcos. Captulo 3 apresenta os mtodos clssicos de retirada de minrio que compreende desde mtodos de taxa de retirada ao mtodo dos cones flutuantes. Captulo 4 apresenta a otimizao utilizando o algoritmo de Lerchs e Grossmann em duas dimenses e suas variaes para trs dimenses. Captulo 5 apresenta as novas tendncias de otimizao, como a parametrizao de reservas lavrveis. Captulo 6 apresenta o programa otimopit, que foi desenvolvido em ambiente Delphi, sendo que o mesmo realiza otimizao aplicando vrias metodologias. Captulo 7 apresenta as concluses e propostas de trabalhos futuros.

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CAPTULO 2

REPRESENTAO DO CORPO DE MINRIO E ESTIMATIVA DE RESERVAS LAVRAVIS

2.1- Generalidades Em todo planejamento mineiro o modelo de blocos a base para os projetos de cava nos mtodos computadorizados. Ele representa o corpo de minrio antes da representao em sees e armazena as informaes para serem utilizadas no decorrer da operao de lavra. O primeiro passo para criar um modelo de blocos ajustar um bloco tridimensional grande o suficiente para cobrir a rea de interesse. O bloco grande ento subdividido em blocos tridimensionais menores. Os blocos menores podem ser de diferentes tamanhos e formas. Em geral, os modelos de blocos capacitam planos de minerao a eficincia seletiva para a extrao de minrio na parte fsica e tambm na econmica, o que no nada mais que o contorno final derivado da movimentao do terreno para a explotao da jazida mineral. A figura 2.1 mostra um modelo de blocos construdo por mtodo manual como era feito antes do uso de computadores, j a figura 2.2, mostra um modelo de blocos construdo atravs do uso de computador.

Captulo 2- Representao do Corpo de Minrio e Estimativa de Reservas

FIGURA 2.1- Modelo de blocos tridimensionais FONTE CRAWFORD & DAVEY, 1979

Diferentes mtodos tm sido usados para o projeto de limites de cava. A preferncia de uma determinada empresa baseada na familiaridade e na disponibilidade dos pacotes de projeto de cava necessrios. A maior concentrao na Programao Dinmica nos anos 80 devida principalmente a esse tipo de programao requerer demandas modestas de aparelhos computacionais. Por exemplo, no preciso mais que um computador pessoal para se planejar uma cava final.

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FGURA 2.2 - Modelo de Blocos em sees gerado pelo programa Vulcan

Existem vrios tipos de modelo de blocos; o modelo de blocos regular 3-D fixado o tipo mais utilizado na prtica. A altura de cada bloco normalmente a altura do banco e a forma horizontal ser normalmente um retngulo ou um quadrado, como mostrado na figura 2.3. A principal caracterstica de um modelo de blocos 3-D fixado que cada bloco tem as mesmas medidas.

FGURA 2.3 - Viso Ampliada dos modelos de blocos da Jazida Monte Raso

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2.2 Noes de Geoesttistica O modelo de blocos promove as decises de investimento, planejamento mineiro e operao da mina no setor de minerao. H um problema de como fazer a estimativa fidedignas de reservas minerais, isto devido a complexidade no processo de formao do deposito geolgico e conseqentemente a complexidade da distribuio de teores na maioria dos depsitos. Infelizmente, na maioria dos depsitos minerais a distribuio de teores muito complexa e so descritas em pequena escala, devido escassez de amostras. Alm disto, na maioria dos casos, as informaes no so suficientes para o conhecimento da gnese do minrio para permitir a determinao de uma aproximao da distribuio de teores neste deposito. Assim h muitas fontes de incerteza sobre os valores das variveis geolgicas que no so amostrados, por isso, comum o uso de modelos probabilsticos que incorporam e administram estas incertezas justificando-as em uma distribuio de variveis em uma ordem e um modelo espacial. Na atualidade os recursos minerais so cada vez mais escassos e mais difceis de serem atingidos. Como conseqncia disso as empresas de minerao exigem de seus profissionais maior rigor na tomada de decises, de modo a minimizar os riscos associados aos grandes investimentos de empreendimento mineiro. Segundo Guerra (1988) a geoestatstica fornece uma srie de ferramentas de modo a se obter o melhor aproveitamento da informao disponvel, de tal forma a colocar em evidncia tais riscos. Os mtodos de avaliao de reservas mais empregados podem ser classificados em trs grupos (Guerra,1988): Mtodos Convencionais; Mtodos Estatsticos; Mtodos Geoestatsticos.

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2.2.1 Mtodos Convencionais Os mtodos convencionais ou geomtricos so mtodos manuais de estimao de reservas e so usualmente feitos nas plantas de mapas ou em mapas que representam as sees transversais paralelas. Os dados plotados no mapa incluem a localizao de furos de sondas, ensaios de valores e interpretao geolgica de controle de mineralizaes. Os mtodos geomtricos levam em considerao o aspecto espacial das amostras, e so enfatizados na maioria deles o conceito de rea ou volume de influncia, que comumente so determinados empiricamente com base em apreciaes pessoais, ou ainda simplesmente de acordo com a disposio do espaamento das amostras obtidas. Os mtodos convencionais mais utilizados so: rea de Influncia; Polgonos; Sees Transversais; Tringulos; Inverso da Distncia. 2.2.2 Mtodos Estatsticos Os mtodos estatsticos surgiram para levar em conta a variabilidade ou disperso da mineralizao, os quais, atravs da teoria das probabilidades, permitem calcular o desvio cometido na avaliao. 2.2.3 Mtodos Geoestatsticos Os mtodos geoestatsticos surgiram ento para fundir o aspecto espacial (topolgico) e o aspecto aleatrio (probabilstico). Estes se baseiam na teoria das variveis regionalizadas a partir das quais possvel estudar a estrutura espacial que sem dvida nenhuma deve ter infludo no valor definitivo associado a cada ponto. Em termos gerais, existem uma famlia chamada de mtodos de krigagem, que estimam o valor mdio de um ponto ou bloco e um outro grupo de mtodos que estimam no somente a mdia, mas toda a funo de distribuio de probabilidade do teor em um certo ponto ou bloco.

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Segundo Costa (1997) a geoestatstica evoluiu da krigagem ordinria para vrios novos mtodos que foram introduzidos a partir dos anos 70s, como: Krigagem Universal ( Huijbregts and Matheron, 1970), CoKkrigagem (David, 1977), Krigagen Lognormal (Journel e Huijbregts, 1978), projetadas para calcular o valor mdio dentro do bloco. Krigagem Disjuntiva (Matheron, 1976; Switzer e Parker, 1976), Krigagem Indicativa (Journel, 1983), Krigagem Multigaussiana (Verly, 1984), Krigagem Probabilstica (Sullivan, 1984) e Krigagem Bigaussiana (Marcotte e David, 1985), projetada para estimar a probabilidade de uma funo de distribuio local dentro de um bloco. Os procedimentos geoestatsticos baseados em krigagem foram primeiramente utilizados nas indstrias de minerao, mas muitos trabalhos recentemente tanto no desenvolvimento terico como na pratica esta se utilizando a krigagem na industria de petrleo, silvicultura, cincias ambientais e vrios campos de engenharia. Recentes contribuies para o assunto de estimao com o uso da geoestatstica revisam o problema de estimao que usam estruturas diferentes, como krigagem Bayesiana (Pilz, 1994), Ajustes Convexos (Malinverno e Rossi, 1994) e Geoestatistica Fuzzy (Kacewicz, 1994). Recentes pesquisas em campo tambm investigam modos melhores para medir, modelar e prever variveis geolgicas como teores, densidade ou espessura do minrio (ver Armstrong, 1994; Rossi e Parker, 1994). Segundo Costa (1997), durante os ltimos 20 anos a maioria das pesquisas de geoestatstica foi redirecionada a simulao estocstica e vrios mtodos foram propostos. As contribuies mais importantes so: - Mtodo Turning bands para um conjunto de dados contnuos (Journel, 1974); - Geoestatstica Fractal, tambm para ajustes de dados contnuos (Hewett, 1986); - Mtodo Simulao Gaussiana, para simular litofcies (Matheron et al., 1987); - Mtodos de Markov Bayes (Ripley, 1987); - Mtodo sucessor da krigagem por Indicatriz, aplicado a outras variveis categricas ou contnuas (Alabert, 1987);

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- Mtodo sucessor da Simulao Gaussiana principalmente usado para variveis contnuas (Isaaks, 1990 e Journel, 1994); - Algoritmos de Simulao de Iterativa (Lantuejoul, 1996). Outros desenvolvimentos em simulao geoestatstica ajudaram a melhorar o desempenho de computao e introduziram mtodos para integrar dados obtidos por medidas geofsicas com informaes obtidas atravs de anlises de amostras. Estes mtodos apresentam inovaes notveis no campo de simulao geoestatstica. Simulao geoestatstica e estimao por krigagem tm objetivos diferentes e divergem em um aspecto principal, isto o modo no qual cada mtodo envia o erro de estimao. Mtodos de Krigagem tentam minimizar o erro de estimao produzindo a melhor estimao local e discrepncia de estimao do mnimo. Sendo uma tcnica de regresso linear, a krigagem produz resultados lisos que no reproduzem a verdadeira discrepncia desconhecida da varivel modelada. A idia bsica de simulao estocstica enviar a incerteza envolvida na estimativa, antes de tentar qualquer predio sobre os valores destas estimativas. Mtodos de simulao se preocupam menos com o erro minimizado localmente, mas tenta produzir uma realista estimativa das caractersticas principais da populao de amostras, como o histograma global e dados de continuidade espacial. Medindo as diferenas entre vrias realizaes, que reproduz em mdia as caractersticas globais, provendo uma medida da incerteza da estimao. Ou seja, os mtodos geoestatsticos levam em conta esse aspecto duplo: correlaes espaciais entre as amostras, bem como a aleatoriedade representada pelas variaes imprevistas de um ponto a outro no depsito. Deste modo a geoestatstica se prope estudar dois objetivos principais: a) Tentar ser capaz de extrair de uma desordem aparente dos dados disponveis uma imagem da variabilidade dos mesmos e uma medida da correlao existente entre os valores tomados em 2 pontos do espao. Este o objetivo da anlise estrutural e que

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se consegue atravs do variograma. O variograma uma ferramenta fundamental usada pela geoestatstica, sendo ele um grfico de variveis mdias entre as amostragens versus a distancia entre amostragens. Segundo Guerra (1988) o variograma pode ser de vrios esquemas, como: - Esquema Matheron (Esfrico); - Esquema de Gauss (Parablico); - Esquema Potencial; - Esquema Transitivo; - Esquema Peridico. b) Deve ser tambm capaz de medir a preciso de toda predio ou estimativa feita atravs de dados fragmentados, ou seja, h necessidade de uma teoria de estimativa de reservas. Isto feito atravs da krigagem. 2.3 - Valor econmico de um bloco Com o critrio de otimizao para maximizar o valor total da cava, o problema do projeto da cava torna-se encontrar aquele grupo de blocos que fornecer o mximo valor possvel, sujeito, claro, estabilidade da mina e a restries lavra. O valor econmico de um bloco ento de suma importncia. Cada bloco num modelo de blocos pode ser caracterizado por: 1. Renda (R): valor da parte recupervel e vendvel do bloco. 2. Custos Diretos (CD): custos que podem ser atribudos diretamente ao bloco, como por exemplo, custos de perfurao, detonao, carregamento e transporte, etc. 3. Custos Indiretos (CI): custos gerais que no podem ser imputados diretamente aos blocos individuais. Tais custos so dependentes do tempo entre estes incluem-se aqueles relativos, por exemplo, a salrios, depreciao dos equipamentos, etc.

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A partir disso, o valor econmico de um bloco (VEB) pode ser definido como: VEB = R CD Lucro ou prejuzo pode ser definido como: Lucro (ou prejuzo) = (VEB) CI (2) Blocos de estril normalmente tero VEB negativos, j que a renda do estril, na maioria dos casos, zero. Blocos de minrio ou blocos que contm ambos minrio e estril (blocos misturados) tero VEB menor que zero, igual a zero ou maior que zero, dependo da quantidade e qualidade de minrio contida em tais blocos. O critrio de otimizao para o problema de projeto dos limites da cava pode ento ser definido como: Maximizar Z = (VEB)j Sujeito estabilidade de taludes e restries lavra. Os custos geralmente envolvidos no bloco so custo de minerar por tonelada, custo de processamento por tonelada, custo de reabilitao da rea por tonelada e custo de venda do produto por unidade de produto produzido. Os custos de minerao incluem: Amostragem e ensaios de geologia; Limpeza do terreno e remoo do solo frtil; Rebaixamento do lenol fretico da cava; Perfurao e Desmonte de rochas; Operrios; Carregamento e Transporte; Servios da mina, como servios geolgicos, controle de teores, superviso da mina, manuteno. (3) (1) Deve-se notar que o valor econmico do bloco no o mesmo que lucro ou prejuzo.

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Os custos de processamento incluem: Britagem, moagem e separao do minrio; Controle de teores; Reagentes da planta de tratamento; Manuteno e pessoal. Os custos de reabilitao incluem: Reabilitao do deposito de rejeitos; Medidas de drenagem cidas e tratamento das guas da mina; Re-vegetao. Os custos de venda do produto incluem: Transporte do minrio; Seguros; Comercio; 2.4 Fatores que Influenciam a cava final de uma minerao Para a definio de uma cava final otimizada no basta aplicao de modelos matemticos otimizantes. de primordial importncia a qualidade das informaes de entrada, que representam os fatores que afetam o resultado a ser obtido. Como nas demais atividades industriais, os empreendimentos mineiros so funo de cada situao especifica, porm, segundo Pratti (1995) existe um conjunto de fatores crticos bsicos comuns maioria das mineraes, dentre eles se destacam os fatores mercadolgicos, geolgico-geotcnicos, tecnolgicos, econmicos e ambientais. A escala de prioridade depender de cada situao particular em funo do maior ou menor efeito sobre o desempenho do negcio, podendo ser alterada com o tempo, na medida que a sua dinmica exigir a priorizao de fatores que anteriormente eram secundrios.

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a) Fatores Mercadolgicos O mercado consumidor sem dvida um dos fatores mais importantes em qualquer empreendimento; dele que advm as necessidades dos clientes e portanto as oportunidades de produo e venda. Sem ele no h negcio, num caso extremo podemos at dizer que no h mina. Mesmo que tenha todas a demais condies favorveis: teores elevados, relao estril/minrio reduzida, tecnologia de beneficiamento dominada, localizao privilegiada, custos competitivos, pouco valem se no houverem condies de mercado favorveis seja quanto a volumes, preos de venda, impostos e conformidade do produto quanto s especificaes e expectativas dos clientes. Por ser um fator de pouco controle agrega um certo grau de incerteza quanto a determinao de seus parmetros, muitos dos quais baseados em cenrios e projees, sobre as quais no h garantia que se transformaro em realidade. Tanto volume, preos e especificaes so afetados pela dinmica macroeconmica nacional e internacional. Portanto, espera-se que sofram variaes significativas ao longo da vida da mina, sendo um dos motivos mais convincentes para que se faam planejamentos flexveis, e que se entenda o planejamento como uma ferramenta que facilite a adaptao do empreendimento s condies externas que lhe so impostas.

b) Fatores Geolgicos A montagem do modelo geolgico uma das etapas mais importantes e bsicas do estudo de definio da cava final; a partir dele que sero conhecidos os aspectos da mineralizao de relevante importncia para o bom desenvolvimento do negcio. Essas caractersticas devem ser intimamente relacionadas com os condicionantes do processo de beneficiamento visando obter produtos que atendam s necessidades e expectativas do mercado consumidor, com a mxima recuperao dos minerais de minrio.

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Depois de conhecidas as relaes entre a mineralizao e seu controle estrutural ou litolgico, e entre os diversos tipos de minrio e o processo de beneficiamento, estabelece-se um modelo que seria melhor denominado de geotecnolgico, pela impossibilidade de se dissociar estes dois aspectos. Este trabalho deve ser conduzido conjunta e simultaneamente, pelas equipes responsveis pela elaborao do modelo geolgico, pelo planejamento de lavra e pelo desenvolvimento do processo de beneficiamento. Nele devero ser evidenciadas as relaes entre as tipologias de minrio e o processo de beneficiamento de forma a adapt-lo a cada tipologia, j que o inverso no possvel. Cuidados especiais com a integrao citada no pargrafo anterior evitar a ocorrncia de conflitos futuros entre as operaes de lavra e beneficiamento, e perda de reservas e rentabilidade, quando comparadas com as premissas adotadas na fase de viabilidade e de planejamento. O conhecimento detalhado da variabilidade espacial de cada tipo de minrio seja do ponto de vista de concentrao de elementos de interesse econmico contido, seja do ponto de vista de diferente comportamento perante um determinado processo de beneficiamento, desenvolvido atravs de estimativas realizadas por meio de amostragens Neste ponto a utilizao de mtodos geoestatisticos so de extrema valia, conduzindo a estimaes otimizadas, e tambm a avaliao dos erros envolvidos.

c) Fatores Geotcnicos O modelamento geomecnico , para determinados macios rochosos, to importante quanto o modelamento geolgico. E deve atravs da previso do comportamento geomecnico do macio rochoso, definir qual a inclinao mdia a ser adotada para a escavao dos taludes finais.

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Esta inclinao deve minimizar os riscos de escorregamentos da escavao, que alm de colocar em perigo vidas humanas e equipamentos, modificam o ritmo de produo por determinado perodo de tempo, e ao mesmo tempo minimizar os volumes de remoo de estril. A medida que se eleva o ngulo de talude final, ocorre reduo significativa do volume de rocha estril a ser removida e portanto reduz-se os custos de extrao de minrio, elevando-se a competitividade do negcio. Por outro lado com a elevao do ngulo de talude final o fator de segurana da escavao fica reduzido. Existe neste caso, portanto, o compromisso entre custos e segurana. A sensibilidade dos custos de extrao com relao ao ngulo de talude final, pode ser muito elevada, chegando em alguns casos a significar alguns milhes de dlares para poucos graus de variao. A determinao do ngulo mximo e suficientemente seguro a ser praticado num talude final objeto de estudos especficos que abrangem o entendimento do arcabouo estrutural do macio, a caracterizao geotcnica e o reconhecimento dos diversos tipos de macios de acordo com o respectivo grau de alterao, fraturamento e condies de percolao da gua subterrnea. Dessa forma renem-se informaes que permitem a estruturao de um modelo, capaz de representar o comportamento mecnico do macio perante os esforos solicitantes, promovidos pela escavao nas diversas partes da mina. Para a quantificao ou dimensionamento dos ngulos de taludes esto disponveis no mercado inmeros modelos matemticos alguns determinsticos outros probabilsticos. Ambos baseados na teoria do equilbrio limite, que relaciona esforos resistentes mobilizao do macio com esforos mobilizantes, de forma a estabelecer um fator de segurana para uma dada geometria de talude. Como todo modelo matemtico a representatividade do resultado final depende essencialmente da qualidade dos dados de entrada.

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Normalmente numa mesma mina ocorrem pores de macios com diferentes competncias, as pores de macio com comportamento mecnico semelhantes so agrupadas, dando origem a setorizao dos taludes da mina. d) Fatores Tecnolgicos O aspecto tecnolgico bastante amplo e afeta de diversas formas a competitividade do empreendimento mineiro, da mesma forma como em outros tipos de empreendimentos. Pelo menos dois aspectos principais merecem destaque. O primeiro diz respeito ao processo de beneficiamento que deve ser desenvolvido no sentido de maximizar a recuperao do bem mineral de interesse econmico e de forma a obter um concentrado que atenda s especificaes do mercado consumidor Sabe-se que nem todos os bens minerais se enquadram nesta situao, mas a grande maioria sem dvida depende de algum tipo de beneficiamento, mesmo uma simples reduo granulomtrica. A prtica tem demonstrado que o grau de conhecimento da relao entre os diversos tipos de minrio que podem ocorrer numa mesma mina e o processo de beneficiamento mais adequado para obter-se um concentrado especificado, sendo um fator critico de sucesso inquestionvel. Essa importncia se justifica no apenas pelo valor econmico das perdas de reservas que se supunha vendveis, mas tambm, pela minimizao de conflitos operacionais nas interfaces mina, usina de beneficiamento e clientes que acarretam desgastes cujos prejuzos no podem ser calculados. O segundo aspecto diz respeito evoluo tecnolgica de equipamentos seja na lavra ou no beneficiamento Neste ponto a histria mostra que essa evoluo traz frutos para indstria mineral, principalmente, quando o desenvolvimento realizado em parceria com os fabricantes e adaptando-se os equipamentos s necessidades especificas. Quando uma empresa de minerao perde competitividade a ao dos gestores

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normalmente se faz no sentido de reduzir seus custos e os instrumentos mais imediatos so lavrar minrio com teores mais elevados implicando em reduo do teor mdio da reserva remanescente, e na reduo da remoo de estril elevando a relao estril/minrio da reserva remanescente. Tais decises devem ser tomadas prevendo-se a forma de reverter situao num momento futuro e conduzidas dentro de um plano global que permita avaliar o acmulo de necessidades futuras.

e) Fatores Operacionais As restries operacionais esto relacionadas com o espao operacional exigido para que as operaes de lavra sejam conduzidas com a segurana e produtividade com que foram projetadas, condicionadas pelo binmio: grau de seletividade necessrio para o controle dos teores e porte dos equipamentos utilizados. A definio de uma cava final deve considerar a necessidade de manter-se bermas de largura mnima para permitir acesso de equipamentos para manuteno de drenagens e recomposio de pequenos escorregamentos, bem como permitir retomadas futuras destas paredes, ditas finais, em caso de alteraes nos limites finais da cava. Uma cava final de minerao tambm deve prever espao para as rampas de acesso aos diversos nveis de produo, que so dimensionadas de acordo com os equipamentos a serem utilizados, e desenvolvidas de forma a minimizar o momento de transporte entre as frentes de lavra e a britagem ou as pilhas de estreis. f) Fatores Econmicos Normalmente relacionado com os condicionantes de mercado, o preo do produto mineral vendvel afeta de forma muito significativa a rentabilidade do empreendimento. A elevao do preo, alm de aumentar as receitas geradas a partir da mesma tonelagem produzida, tambm afeta o volume das reservas de minrio, fazendo com que reservas com teores inferiores ou relao estril / minrio mais elevada, que no produziam

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resultados econmicos, passem a produzi-los. Os custos operacionais so fatores to relevantes quanto o preo do produto final, porm, variam numa faixa mais estreita de valores e dependem mais das condies internas da empresa do que externas, o que facilita sua estimao Entretanto guardam relao estreita com escala de produo, que por sua vez e vinculada ao mercado. Da mesma forma como os fatores mercadolgicos, os fatores econmicos dependem de uma srie de condies macroeconmicas, cujas evolues futuras so de difcil previso e normalmente estimadas a partir de informaes histricas associadas a cenrios macro-econmicos futuros. Sendo recomendvel a realizao de anlises de sensibilidade, de acordo com os cenrios esperados A escolha de critrios financeiros para a avaliao de uma cava final, normalmente, afetados pelas taxas de juros do mercado financeiro e por prazos de retorno do capital investido definidos conforme as expectativas com relao aos riscos polticos e econmicos futuros, tem grande influncia na tomada de deciso podendo inclusive inviabilizar parte das reservas geolgicas que seriam viveis caso estes critrios fossem menos imediatstas. Como nas demais atividades econmicas a carga tributria afeta diretamente a competitividade das empresas de minerao de um modo geral e particularmente aquelas que competem no mercado internacional, sendo mais um elemento que inviabiliza as reservas geolgicas pela reduo do valor lquido presente. g) Fatores Ambientais um aspecto relevante atualmente devido grande divulgao e conscientizao pblica sobre a importncia da preservao ambiental e da qualidade de vida, tendo como conseqncia o avano das exigncias de ordem legal, que foram impostas s atividades industriais e especificamente para a indstria mineral.

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A indstria mineral tem sido responsabilizada por danos ao meio-ambiente em diversas partes da Terra, e em muitos desses casos at com a devida razo. De modo geral a minerao vista pelo pblico, como atividade de garimpo, imagem que reforada pelos meios de comunicao. Tambm tem contribudo para esta imagem, a demora de alguns empreendedores em mudar de posio e assimilar a necessidade de compatibilizar, a atividade mineral com os cuidados com o meio ambiente, principalmente aqueles que dizem respeito mitigao de impactos sobre a comunidade vizinha. Em termos estritamente econmicos, as adequaes ambientais implicam em investimentos e custos operacionais adicionais, que devem obrigatoriamente ser inclusos nos estudos de viabilidade econmica e de definio da cava de longo prazo sob pena de no vir a representar a realidade futura.Por outro lado no h dvida que os custos ambientais, cada vez mais passaro a compor as planilhas de custos e Conseqentemente sero repassados para os preos dos produtos. Um aspecto diretamente relacionado com o limite de lavra de longo prazo diz respeito aos limites das reas a serem atingidas pela escavao, portanto, sujeitas a desmatamentos e posterior recuperao. Dependendo do comportamento espacial do corpo mineralizado e da variao temporal dos parmetros que a definiram, esse permetro afetado pelo limite final, pode sofrer expanses ou contraes, que devem ser explicitadas na elaborao dos estudos de impacto ambiental.

2.5 - Restries para a modelagem de blocos para a abertura de cava Depois dos teores dos blocos serem calculados pode se gerar sees horizontais e verticais contendo os valores dos blocos. Os blocos plotados so controlados por restries.

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O nmero total de sees que pode se gerar limita-se ao nmero total de bloco na direo da seo. H quatro opes diferentes de restries ou limitaes: a) Limitaes topogrficas: Um grande nmero de blocos so designados com valor negativo, indicando que esses blocos esto sobre a superfcie topogrfica, ou seja, so blocos que no existem. b) Limitaes geomtricas: Restringem a cava aqueles blocos que so tecnicamente possveis de se lavrar no modelo de bloco de acordo com o ngulo de inclinao da cava. c) Limitaes econmicas: o primeiro dos quatro em que so incorporados blocos econmicos. A cava definida pela unio de todos os cones com o vrtice no bloco de valor positivo. Estes cones so determinados tal que eles so compatveis com ngulo da cava corrente. Alm disso, o cone de vrtice positivo no pode estender para fora do limite geomtrico. A cava definida por esta tcnica pode ser entendida como uma fronteira para uma cava econmica tima. Os blocos que ficam fora desse limite no so considerados em qualquer anlise de limite econmico de cava. c) Limitaes devidas aos cones flutuantes: O cone flutuante a simulao no sentido que a determinao do projeto da cava afetada pela retirada de vrios cones dentro da cava de minerao. Definindo-se a cava tima para a explotao de uma determinada jazida, ou seja,

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estabelecendo-se os limites fsicos da mina no fim da sua vida til. A jazida considerada como um todo, avaliando o seu potencial econmico a partir do perfil recupervel da jazida, com vista maximizao do valor total da mina.

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CAPTULO 3

MTODOS CLSSICOS DE RETIRADA DE MINRIO

3.1 - Mtodo Manual do Projeto da Cava 3.1.1 - Generalidades O mtodo manual de projeto de cavas o mtodo mais tradicional. Ele baseado primeiramente no conceito de relao estril / minrio. Para a exposio e a retirada de minrio, geralmente necessrio a escavao e relocao de uma grande quantidade de estril. um mtodo de tentativa e erro cuja aplicao de sucesso depende muito da habilidade e julgamento do engenheiro de minas que faz o projeto, pois a seleo dos parmetros fsicos do projeto de extrao do minrio e do estril uma complexa deciso de engenharia de enorme significado econmico. Vrios detalhes preliminares so requeridos antes de se comear o mtodo manual de projeto de cava. Estes incluem: Sees verticais mostrando claramente o contorno de minrio, a distribuio de teores dentro do minrio, o capeamento e as pores de rocha estril; Planos para cada nvel de mina proposto mostrando detalhes correspondentes de minrio e estril; ngulos de talude mximos permitidos para os vrios tipos de rocha; Largura mnima no fundo da mina proposta; Curvas de decapeamento relevantes mostrando a variao da relao estril / minrio com os teores de minrio e possveis preos de venda.

Captulo 3 Mtodos Clssicos de Retirada de Minrio

A relao estril / minrio de grande importncia no planejamento de uma mina a cu aberto, j que ela reflete a proporo relativa de estril em relao ao minrio a ser extrado. Segundo Wright (1990) trs tipos principais de relao estril / minrio podem ser distinguidas, dentre outras: 1. A relao estril / minrio total (ou mdia); 2. A relao estril / minrio adicional, 3. A relao estril / minrio peridica. 3.1.2 - Relao estril / minrio total Considere o esquema mostrado na figura 3.1, mostrando a seo transversal de uma mina com limite final marcado pelas linhas grossas.

Minrio

FIGURA 3.1- Relao Estril / Minrio FONTE: WRIGHT, 1990

Uma das maneiras de descrever a eficincia geomtrica de uma operao mineira atravs do uso do termo stripping ratio. Este termo se refere quantidade de estril que dever ser removida para a liberao de uma quantidade de minrio. Esta razo mais comumente expressa como:

SR =

toneladade estril , toneladade minrio29

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Contudo uma grande variedade de unidades podem ser usadas tambm, como: m3/m3, j3/j3, etc (6). Se os volumes (ou toneladas) usados no clculo do stripping ratio correspondem ao material removido para o incio da minerao, este clculo corresponde ao overall stripping ratio ou relao estril/minrio geral, assim:

SR ( overall ) =

volume estril volume minrio

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De outro modo, o stripping ratio pode ser calculado para um determinado tempo ou momento de operao da mina. Assumindo que durante cinco anos, Xe toneladas de estril e Xm toneladas de minrio so lavrados. O stripping ratio para estes cinco anos :SR ( 5 anos) = Xe Xm

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Este pode ser referenciado como o instantaneous stripping ratio, ou seja, a relao estril/minrio momentnea ou instantnea. Obviamente, o instant poder ser definido tanto para um longo ou curto perodo de tempo. A determinao dos limites finais da cava dever incluir o clculo de uma relao estril/minrio limite que dever ser adotado para uma economicidade das operaes de lavra da mina (Wright (1990)). Segundo Koskiniemi (1979) a geometria da cava da mina influenciada por vrios fatores. Obviamente o material de capeamento dever ser removido previamente, liberando o minrio subjacente. Um adequado espao de operao necessrio para melhor eficincia dos equipamentos de escavao e carregamento; e os taludes da cava devem ser suficientemente seguros. A adoo de uma seqncia de lavra da mina extremamente importante tal que o desejo de resultados econmicos (lucros e custos) sejam atingidos. Razes de produo, reservas minerais e a vida til da mina so,

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freqentemente, de grande influncia nos preos dos produtos minerados. Como a geometria da mina um conceito da melhor dinmica das operaes, a avaliao de vrias possibilidades individuais e combinaes de possibilidades, o clculo dessas estimaes indispensvel. Com uma quantidade total de estril e capeamento Vw e uma quantidade total de minrio Vo na cava, a relao estril/minrio mdia definida como: Emd = Vw Vo Essa relao pode ser expressa em t/t, m3/m3 ou m3/t. Essa relao estril/minrio mdia uma figura esttica, fixada para uma dada geometria final de cava.3.1.3 -Relao estril / minrio adicional

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Assumindo que a cava da figura 3.1 ser estendida alm dos limites finais mostrados para incluir a quantidade de minrio B e a quantidade de capeamento C, ento a relao estril / minrio adicional definida como: Ead = C B A lgica aqui que a retirada do capeamento C ir expor uma quantidade adicional de minrio B. As duas quantidades de material esto intimamente relacionadas, como est ilustrado na figura 2.1.3.1.4- Relao estril / minrio peridica

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Para um dado perodo na vida de uma mina a cu aberto, a relao estril/minrio peridica pode ser definida como: Eper = Wt Ot (9)

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Onde: Wt = estril retirado num dado perodo de tempo t, Ot = minrio retirado no mesmo perodo de tempot. As quantidades de minrio e estril envolvidos na relao estril / minrio peridica no esto necessariamente relacionadas como no caso da relao estril / minrio adicional. A relao estril / minrio peridica de grande importncia para movimentos de minrio e estril na operao de uma mina. Uma regra prtica para algumas minas em operao manter a relao estril/minrio peridica mais prxima o possvel da relao estril/minrio total.3.1.5- Relao estril / minrio de limite econmico

Considere um corpo de minrio estratiforme estendendo-se da superfcie at uma profundidade de algumas centenas de metros (Figura 3.2). Os limites da cava com as suas profundidades em nveis cada vez mais profundos so mostrados no esquema.

FIGURA 3.2- Limites da cava em nveis sucessivamente mais profundos FONTE: WRIGHT, 1990

Vrias observaes podem ser feitas em relao ao esquema (Figura 3.2)

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1. Quanto maior for a profundidade da mina, mais estril ter que ser retirado para tornar disponvel o minrio que se encontra no fundo do nvel. Em outras palavras, a relao estril / minrio adicional aumenta com a profundidade do esquema mostrado. 2. Evidentemente, uma profundidade final ser atingida onde os custos para a retirada do capeamento no sero cobertos pela receita obtida com a lavra, processamento e venda do produto que provem do minrio exposto pela remoo do estril adicional. A relao estril / minrio adicional no limite da cava, (figura 3.3) onde o adicional de minrio simplesmente se iguala ao custo de capeamento adicional, chamada de Relao Estril/Minrio de Limite Econmico (BESR Brake Even Stripping Ratio)

FIGURA 3.3- Limites da cava usando o BESR FONTE: WRIGHT, 1990

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3.1.6 - Caractersticas do mtodo manual

Segundo Stuke (1970) o sucesso do uso do mtodo manual para se projetar uma cava evidentemente dependente da competncia do engenheiro que faz o projeto. Vrias caractersticas podem ser notadas sobre este mtodo: Evidentemente precisa-se de muito tempo. A hiptese que a recuperao total uma constante da derivao das curvas de

decapeamento no necessariamente verdadeira para os diferentes teores de minrio. De fato, a recuperao efetiva ir invariavelmente depender do teor da alimentao do moinho. Ele pode servir para o projeto de cavas de depsitos minerais de pequeno porte ou

geologicamente mais simples. As consideraes acima no ignoram o fato de que os mtodos de tentativa e erro iro invariavelmente ajudar o engenheiro a desenvolver as habilidades bsicas requeridas para as manipulaes geomtricas envolvidas em reas como projeto de transporte em estradas e desenvolvimento de planos peridicos de lavra. Estas habilidades so necessrias at mesmo em mtodos de projeto de cavas totalmente computadorizados, onde as estradas de transporte devem ser projetadas usando grficos interativos.3.2 - Mtodo dos Cones Flutuantes 3.2.1 - Generalidades

O mtodo dos cones flutuantes consiste no estudo econmico dos blocos de minrio e estril que esto dentro de um cone invertido, o qual move-se sistematicamente atravs de uma matriz de blocos com os vrtices do cone ocupando, sucessivamente, os centros dos blocos, como pode ser visto na figura 3.4.

34


A maioria dos algoritmos heursticos procedem identificando o bloco de minrio e conferindo ento se um ou mais destes blocos tm um peso combinado que mais alto que o custo total de se escavar junto daqueles blocos sobrejacentes, ou seja, os valores dos blocos de minrio extrados deve ser tal que cubra os gastos da extrao dos blocos de estril sobrepostos (Lemmieux (1979)). Uma terminologia freqentemente usada na indstria mineira chamar estes algoritmos de cones mveis. Dado um bloco b e uma exigncia de um talude seguro, o conjunto de blocos que devem ser escavados antes de b forma um cone com b na sua base.

FIGURA 3.4 Tpico Cone Flutuante FONTE: CRAWFORD & DAVEY, 1979

Um cone formado por um bloco inferior e todos seus sucessivos blocos de minrios ou no, sobrejacentes. O mtodo dos cones mveis faz a procura de cones nos quais o peso total de todos os blocos no cone positivo. Estes so somados aos cones da cava gerada. O algoritmo termina quando mais nenhum cone pode ser somado. A idia dos algoritmos heursticos a suposio de que todo cone na cava tima lucrativo, considerando que de fato uma cava tima pode consistir em uma coleo de cones, no necessariamente apenas com valores positivos. Alguns cones compartilham valores de blocos negativos, mas a soma destes cones tem que ser positiva para se obter uma cava final positiva.

35


FIGURA 3.5 Definio da cava final FONTE: CRAWFORD & DAVEY, 1979

A figura 3.5 mostra uma tpica cava otimizada pelo mtodo dos cones flutuantes, mostrando a seqncia de remoo dos cones at o limite da regio na qual no mais econmica a lavra dos blocos da jazida. Existem vrios algoritmos que utilizam o mtodo dos cones flutuantes, sendo que o algoritmo de Robinson e Prenn (Hochbaum (1997)) parte do princpio que cada cone que possu um bloco de minrio uma base. Se o peso total de todos os blocos no cone positivo, ento os blocos so removidos. Todos os blocos removidos juntos formam a cava final. Este algoritmo pode no atingir uma soluo tima. O algoritmo de Koborov tenta melhorar o mtodo dos cones mveis considerando cones com um bloco de minrio como seu bloco bsico. A idia que um bloco de minrio gera lucro que paga os custos de remoo dos seus blocos sobrejacentes. Assim, o algoritmo considera um bloco de minrio e os blocos sobrepostos que seriam

36


abandonados. Isto acaba diminuindo o peso do bloco de minrio e aumentando o peso dos blocos que seriam excludos pela mesma quantia. Todos os cones que possuem um bloco bsico includo um peso positivo ao trmino do algoritmo na cava final. Assim, a informatizao facilita a aplicao de algoritmos de projeto. Esses algoritmos so invariavelmente baseados em mtodos de Pesquisa Operacional (PO) e so regidos por procedimentos restritos requeridos no emprego de PO para a soluo de dados problemas. Dentre esses esto uma definio clara do problema e a formulao de um critrio de otimizao. Vrios critrios de otimizao so possveis para o projeto de uma cava. Esses incluiriam a maximizao: 1. Do valor econmico total da cava; 2. Do valor por tonelada de produto vendvel; 3. Da vida til da mina; 4. Da quantidade de metais dentro da cava (recuperao). A maximizao do valor econmico ou de longo prazo o critrio mais comum de otimizao no projeto de uma cava de mina a cu aberto.3.2.2 - Base para o mtodo dos cones flutuantes

Considere o esquema na figura 3.6 que representa uma seo de um modelo de blocos. Assumindo que o ngulo mximo de talude para a esquerda e para a direita possa ser representado por 1 bloco/1 bloco, ou seja um ngulo de 45o, ento, a exposio do bloco T para a sua lavra, ter que ser precedida pela extrao dos blocos marcados por t. Em 3-D, a figura formada pelos blocos T e t pode ser considerada como sendo um cone invertido.

37


t

t t

t t t

t t t t

t t t t T

t t t t

t t t

t t

t

FIGURA 3.6 Processo de lavra de um bloco e formao do cone invertido FONTE: Modificado de WRIGHT, 1990

O cone mnimo removvel num bloco o cone delimitado pelos ngulos de talude mximos permitidos em todas as direes, desde o bloco considerado at a superfcie de terreno. Evidentemente que o cone formado por um determinado bloco ir depender dos diferentes ngulos de talude para os diferentes materiais que sobrepem ao bloco nas diferentes direes at a superfcie. O caso de um talude 1:1 para a esquerda e 1:2 para a direita ilustrado para o bloco S na figura 3.7.s s s s s s s s s S s s s s s s s s s s s s

FIGURA 3.7 Processo de lavra de um bloco e formao do cone invertido para o talude 1:1 e 1:2 FONTE: Modificado de WRIGHT, 1990WRIGHT, 1990

3.2.3 - Mtodo dos cones flutuantes (positivos mveis)

O algoritmo dos cones positivos mveis um algoritmo de simulao no sentido de que a determinao do projeto da cava afetada pela simulao do cone mnimo removvel. O algoritmo pode ser escrito como se segue: 1. Deve-se comear a partir da superfcie e procura-se por blocos de minrio. Blocos de minrio normalmente tero valores econmicos de bloco positivos.

38


2. Constri se os cones mnimos removveis em tais blocos de minrio, conforme comentado anteriormente e ilustrado na figura 3.6 e 3.7. 3. Se a soma dos valores econmicos dos blocos ( VEB) de todos os blocos contidos em um dado cone, incluindo o bloco de minrio em questo, for positiva, considerase o cone removido (= minerao simulada). 4. Continua-se o processo de busca at que todos os blocos de minrio do modelo de blocos tenham sido examinados. 5. A cava final obtida pela interseo de todos os cones de valor econmico positivo.3.2.4 - Falhas no projeto de cavas timas pelo mtodo dos cones positivos mveis

A ordem para a procura de blocos de valor econmico tem um papel importante no mtodo. Considere a figura 3.8-a e assuma que a procura por blocos de minrio comece na linha i = 4. Ento o primeiro bloco de minrio a ser examinado ser o bloco (4,4). O valor do cone com base no bloco (4,4) ser (5 + 7 + 2 13 = +1). Mas a remoo do cone baseada no bloco (4,4) ir de fato remover todos os outros blocos de valores econmicos positivos na seo e o valor da cava ser +1.

39


1 2 3 4

1 -1 -2 -3 -4 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 -2 -3 -4

2 -1 -1 -3 -4 2 -1 -1 -3 -4 2 -1 -1 -3 -4

3 -1 -1 -1 -4 3 -1 -1 -1 -4 3 -1 -1 -1 -4

1 2 3 4

1 2 3 4

4 -1 -1 7 5 (a) 4 -1 -1 7 5 (b) 4 -1 -1 7 5 (c)

5 -1 2 -1 -1 5 -1 2 -1 -1 5 -1 2 -1 -1

6 -1 -1 -1 -4 6 -1 -1 -1 -4 6 -1 -1 -1 -4

7 -1 -1 -3 -4 7 -1 -1 -3 -4 7 -1 -1 -3 -4

8 -1 -2 -3 -4 8 -1 -2 -3 -4 8 -1 -2 -3 -4

j i

j i

j i

FIGURA 3.8 Tcnica do cone mvel

Sabe-se, entretanto, que uma cava com valor +2 pode ser projetada na seo transversal mostrada na figura 3.8 (c). Logo, o mtodo dos cones mveis positivos pode falhar no projeto de cavas timas verdadeiras dependendo da direo utilizada na procura de blocos de valor econmico positivo. Mesmo nos casos onde a procura por blocos de minrio comea pelo topo e continua at os nveis mais baixos, o mtodo dos cones positivos mveis no pode garantir o encontro da cava tima.3.2.5 - Limitaes da cava gerada

Para uma representao de um ngulo de talude de 1:1, os blocos ao redor das bordas do modelo de blocos tm que ser excludos da anlise. A razo para isso que tais blocos no podem ser extrados em funo das restries dos ngulos de talude e da extenso do modelo de blocos. Na prtica, o processo de excluso de blocos que no podem ser fisicamente lavrados de um dado modelo de blocos referido como limitao da cava maior. Esta limitao

40


controlada pelo mximo ngulo de talude permitido para as bordas ou limites do modelo de blocos.3.2.6 - ngulos de taludes variveis em 2D

O uso de uma restrio de talude de 1:1 simplifica a situao de ngulos de taludes tanto para o mtodo dos cones mveis quanto para os algoritmos de projeto de cava de programao dinmica. Evidentemente, o projeto de uma cava em um modelo de blocos que encerra diferentes tipos de rocha ter que considerar as vrias restries de ngulos mximos de talude para cada tipo de material.

3.3 - Algoritmo de Korobov

O algoritmo de Korobov (apud Dowd e Onur (1993)) um algoritmo baseado em um cone que aloca os valores de blocos positivos contra os blocos negativos ou igual a zero que esto contidos nos cones de extrao de blocos positivos. Um cone de extrao designado a todo bloco positivo no modelo de blocos e os valores de blocos positivos no interior de cada cone formado, so alocados aos valores de blocos negativos dentro do cone at que no reste nenhum bloco negativo ou at que os valores dos blocos positivos tenham sido todos alocados. Se, quando a distribuio for completada, o bloco positivo no qual o cone de extrao baseado permanece positivo, este cone de extrao aceito como membro de um conjunto de soluo tima. Quando um cone de extrao ainda apresentar blocos com valores positivos aps a distribuio, esses valores so somados ao conjunto de solues e o algoritmo comea novamente desde o princpio com valores dos blocos originais restabelecidos aos blocos que no tenham ainda sido extrados do modelo de blocos. Se um cone de extrao est vazio, o bloco positivo somado soluo e o algoritmo continua no nvel atual ou caminha para o prximo nvel.

41


O mtodo pode ser explicado melhor por meio de um exemplo simples, bidimensional. So assumidos, por simplicidade, de ngulos de talude de 45 em todas as direes e os blocos so quadrados. Os valores de blocos iniciais so mostrados em figura 3.9. H dois nmeros em cada bloco: o superior o nmero do bloco e o nmero de abaixo designa o valor do bloco.1 1 2 3 41

2212

3313 21

4414

5515 23 29

6616 24 30

7717 25 31

8818

9919 27

1010 20

1111

1

-1 2

-1 -1 -2

-1 -1

1 -1 2 -1

1 -1 2 4

-2 1

-2 1

1 1 -1

1 1

1

22 28

26

-1 -1

-132

-1 4

4

FIGURA 3.9 Exemplo de Modelos de Blocos FONTE: Modificado de DOWD & ONUR, 1993

O procedimento comea com o primeiro bloco (no mais alto) nvel. Todos blocos com valores positivos (blocos 1, 5, 6, 9, 10 e 11) so removidos para o nvel 1 e somados ao conjunto de solues, o valor dos blocos igual a seis (6) unidades. Os blocos somados so mostrados na figura 3.10. No nvel 2 h cinco blocos positivos (12, 17, 18, 19 e 20). O cone de extrao de bloco 12 inclui blocos 1, 2 e 3, com o bloco 1 j removido. alocado um valor de +1 do bloco 12 para o bloco 2, e deixa bloco 2 com um valor de 0 (zero) e bloco 12 com um valor de +1. O valor remanescente +1 do bloco 12 alocado ento contra bloco 3, e deixa bloco 3 com um valor de 0 (zero) e bloco 12 com um valor de 0 (zero). Nos mesmos cones so estabelecidos para os blocos so 17-20 e os valores positivos destes blocos so alocados contra os valores dos blocos negativos dentro desses cones de extrao. O resultado destas distribuies mostrado no caso 2 da figura 3.10 e na figura 3.11. Como o bloco 20 permanece positivo e seu cone de extrao est vazio, somado ao conjunto de soluo que agora tem um valor de 7. Como nenhum dos blocos restantes em nvel 2 so positivos, o prximo passo somar o nvel 3, como mostrado no caso 3. Para nvel 3 so alocadas as duas unidades do bloco 23 contra blocos 4 e 14, e deixam todos os trs blocos com valores de 0 (zero). So alocadas as duas unidades de bloco 24 para os blocos 15 e 16 e deixam os valores de todos os trs blocos com valores de zero (caso 4). No h nenhum bloco positivo esquerda no nvel 3 aps os valores positivos

42


dos blocos 23 e 24 terem sidos alocados, assim nenhum bloco adicional pode ser somado ao conjunto de soluo nesta fase. Nvel 4 somado ento aos outros nveis (caso 5). Agora considere bloco 30. Dos blocos dentro do cone de extrao de bloco 30 (3, 4, 7, 8, 14-18, 23, 24 e 25), s os blocos 8 e 25 tm valores negativos e duas unidades do bloco 30 alocado contra estes dois blocos, como mostrado no caso 5. Depois da distribuio o bloco 30 permanece positivo (+2), assim so somados este bloco e todos os blocos dentro de seu cone de extrao ao conjunto de soluo. O valor lquido deste cone de extrao, dado que os bloco 5, 6 e 9 j foram lavrados, zero; o valor da cava lquida permanece em 7. Como o cone de extrao para bloco 30 no est vazio, o algoritmo inicia novamente com os valores originais restabelecidos para todos os blocos no removidos. O nvel 1 somado agora; no h blocos positivos e, assim, nada pode ser removido. Nvel 2 somado (caso 6). O cone de extrao de bloco 19 est vazio e este bloco somado soluo e origina um valor de cava lquida de 8. Bloco 2 o nico bloco dentro do cone de extrao de bloco positivo 12 e uma unidade do anterior alocada contra o anterior. Bloco 12 e seu cone de extrao so removidos e originam um valor de cava lquida de 9 (caso 7). Finalmente, o nvel 4 somado (caso 8). Bloco 26 alocado uma unidade do bloco 31 e o bloco 27 alocado a uma unidade do bloco 32 (caso 9). Como os blocos 31 e 32 permanecem positivos depois da distribuio, eles e os seus blocos nos cones de extrao so somado ao conjunto de soluo e dando a forma de cava final mostrada no caso 10. O valor da cava lquida 15 e os blocos no lavrados que permanecem no modelo de bloco so 13, 21, 22, 28 e 29. Logo aps o mtodo ter sido apresentado foi percebido que o algoritmo no alcanou a soluo tima em todos os casos. Para alguns tipos de modelos de bloco a soluo tima perdida pelo algoritmo. O primeiro bloco positivo que encontrado est em nvel 3

43


(bloco 11), as trs unidades de qual so alocados contra blocos 1, 2 e 3, como mostrado na figura 3.12(a).CASO 1 1 2 3 4 CASO 2 1 2 3 4 CASO 3 1 2 3 4 CASO 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 1 -1 20 1 11 11

1

212

-1 2

313 21

-1 -1 -2

414

-1 -1

515 23 29 -1 2 -1

616 24 30 -1 2 4

717 25 31

-2 1

818

-2 1

919 27

22 28

26 -1 32 4 4 -1

-1 -1

1

212

0 0

313 21

0 -1 -2

414

-1 -1

515 23 29 -1 2 -1

616 24 30 -1 2 4

717 25 31

0 0

818

-2 0

919 27 0 -1

10 20 1

11

22 28

26 -1 32 4 4 -1

-1 -1

1

212

0 0

313 21

0 -1 -2

414

-1 -1

515 23 29 -1 2 -1

616 24 30 -1 2 4

717 25 31

0 0

818

-1 0

919 27 0 -1

10 20

11

22 28

26 -1 32 4 4 -1

-1 -1

1

212

0 0

313 21

0 -1 -2

414

0 0

515 23 29 0 0 -1

616 24 30 0 0 4

717 25 31

0 0

818

-1 0

919 27 0 -1

10 20

11

22 28

26 -1 32 4 4 -1

-1 -1

1 2 3 4 CASO 5 1 2 3 4 CASO 6 1 2 3 4

1

212

0 0

313 21

0 -1 -2

414

0 0

515 23 29 0 0 -1

616 24 30 0 0 2

717 25 31

0 0

818

0 0

919 27 0 -1

10 20

11

22 28

26 0 32 4 4 -1

-1 -1

1

212

-1 0

313 21 -2 -1

414 22 28

515 -1 -1 23 29 -1 0

616 24 30 0 2

717 25 31 0

818 26 -1 32 4 4

919 27 -1 1

10 20

11

1

212

0 0

313 21 -2 -1

414 22 28

515 -1 -1 23 29 -1 0

616 24 30 0 2

717 25 31 0

818 26 -1 32 4 4

919 27 -1

10 20

11

FIGURA 3.10 Modelo de blocos sendo otimizado FONTE: Modificado de DOWD & ONUR, 1993

44


1 2 3 4 CASO 8 1 2 3 4 CASO 9 1 2 3 4

1

212

313 21 -1 -2

414 22 28 -1 -1

515 23 29 -1

616 24 30

717 25 31 4

818 26 32 -1 4

919 27 -1

10 20

11

1

212

313 21 -1 -2

414 22 28 -1 -1

515 23 29 -1

616 24 30

717 25 31 3

818 26 32 0 3

919 27 0

10 20

11

1

212

313 21 -1 -2

414 22 28 -1 -1

515 23 29 -1

616 24 30

717 25 31

818 26 32

919 27

10 20

11

FIGURA 3.11 Modelo de blocos otimizados FONTE: Modificado de DOWD & ONUR, 1993

O cone de extrao do bloco 12 tem um valor de 1, que o valor de cava lquida nesta fase. Os algoritmos comeam agora novamente desde o princpio com os valores originais restabelecidos aos blocos no removidos. H dois blocos com valores negativos (1 e 7) no cone de extrao para bloco 11 e, depois de distribuio (figura 3.12(c)), o bloco 11 permanece positivo. O Bloco 11 e os blocos dentro de seu cone de extrao, com um valor lquido de +1, so somados ao conjunto de soluo. A soluo produzida pelo algoritmo , dessa forma, lavrar todos os blocos a um lucro lquido de zero. O cone de extrao do bloco 12 contm seis blocos agora com valores negativos, cada um deles se torna zero depois da distribuio dos valores do bloco 12 (figura 3.12(b)). Depois da distribuio bloco 12 tem um valor de +1 e junto com seu cone de extrao somado ao conjunto de soluo (figura 3.12(c)).

45


O erro causado por blocos que so comuns a ambos os cones de extrao. Blocos 2, 3, 4, 8 e 9 so blocos comuns. Blocos 1 e 7 s so membros do cone de extrao 1 e no so compartilhados pelo cone de extrao 2. Se o procedimento de distribuio comeasse com estes blocos no comuns, o erro no aconteceria. Assim, se dois ou mais cones tm blocos em comum, a distribuio deve ser feita primeiro contra os blocos no comuns; distribuio contra blocos comuns s feita aps os valores de todos os blocos negativos no comuns for reduzido a zero. A simplicidade e tempo de computao rpido do algoritmo de Korobov fazem dele uma alternativa ao algoritmo de Lerchs-Grossmann, contanto que possa ser corrigido para produzir solues timas. Isto pode ser alcanado pelas medidas seguintes. Se um bloco positivo permanece positivo depois da distribuio, uma checagem deveria ser feita para determinar se quaisquer dos blocos em seu cone de extrao foram alocados valores atravs de outros cones. Se no, so somados o bloco e seu cone de extrao soluo. Se eles tm valores positivos, os valores so relocados de tal um modo que a todos os blocos no comuns so alocados valores antes de qualquer distribuio ser feita contra blocos comuns.

1 1 2 3 (a) 1 2 31 1

22 7

33 811

44 912

5510

66

-1

-1 -1

-1 -1 3

-1 -1 7

-1 -1

-1

1 02 7

2 0 -13 811

3 0 -1 04 912

4 -1 -1 7510

5 -1 -16

6 -1

(b) 1 2 31

1 02 7

2 0 -13 811

3 0 0 04 912

4 0 0 1510

5 0 06

6 0

1 2 3

1

07

011

(c)

1

FIGURA 3.12 Passos do algoritmo de Korobov FONTE: Modificado de DOWD & ONUR, 1993

46


O nmero de procuras de cone significativamente reduzido por meio de caminhos que definem vnculos entre blocos de valor zero em um cone de extrao e qualquer bloco negativo esboa um cone cruzado.3.4 Correo do Algoritmo de Korobov

O algoritmo de Korobov pode ser corrigido para produzir solues timas (Dowd e Onur(1993) apud Pereira (2000)). Isto pode ser alcanado pelas seguintes medidas. Se um bloco positivo permanecer positivo depois da distribuio, uma averiguao dever ser feita para determinar se a quaisquer dos blocos em seu cone de extrao foram distribudos valores atravs de outros cones. Se no, so somados o bloco e seu cone de extrao ao conjunto de solues. Se eles possuem valores positivos, os valores so redistribudos de um tal modo que todos os blocos no comuns sejam distribudos valores antes de qualquer distribuio ser feita em favor dos blocos comuns. Segund

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