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Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia ... Leis de Kirchhoff (cont.) As leis de Kirchhoff afirmam o seguinte: Lei das malhas: numa malha fechada, a soma das diferenças

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  • Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e Georecursos Cadeira de Electromagnetismo e Óptica

    Docentes: João Fonseca (Teóricas) Email: [email protected] João Figueirinhas (Problemas) Nuno Leonardo (Problemas) Patrícia Conde (Laboratórios)

    Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e Georecursos Electromagnetismo e Óptica - 1º semestre de 2019/2020

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    Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e GeorecursoCadeira de Electromagnetismo e Óptica

    Neste capítulo pretendemos estudar a corrente em diferentes pontos de uma associação de componentes electrónicos, ligados por fios condutores ideais (sem resistência à passagem de corrente eléctrica), bem como as diferenças de potencial entre os terminais desses componentes (ou tensões).

    Já não estamos no domínio da electrostática, visto que os portadores de carga vão estar em movimento. deixam de ser válidos alguns resultados da electrostática, como o campo eléctrico ser nulo no interior dos condutores.

    Circuitos eléctricos

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    Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e GeorecursoCadeira de Electromagnetismo e Óptica O circuito eléctrico mais elementar que podemos considerar é uma espira simples, formada por um condutor filiforme, por exemplo um fio de cobre. Se nenhum campo de origem exterior perturbar o equilíbrio dos portadores de cargas, estaremos no domínio da electrostática.

    Se calcularmos o integral de circulação do campo eléctrico num caminho pelo interior do condutor, começando em P e terminando em P, é necessariamente

    ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝑟 = 0

    uma vez que o campo 𝐸 é nulo no interior do condutor.

    Circuitos eléctricos

    P

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    Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e GeorecursoCadeira de Electromagnetismo e Óptica O circuito eléctrico mais elementar que podemos considerar é uma espira simples, formada por um condutor filiforme, por exemplo um fio de cobre. Se nenhum campo de origem exterior perturbar o equilíbrio dos portadores de cargas, estaremos no domínio da electrostática.

    Se calcularmos o integral de circulação do campo eléctrico num caminho pelo interior do condutor, começando em P e terminando em P, é necessariamente

    ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝑟 = 0

    uma vez que o campo 𝐸 é nulo no interior do condutor.

    Tendo em conta que 𝑃׬ 𝑄 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑟 = 𝑉𝑃 − 𝑉𝑄 , aquela equação assegura que 𝑉𝑃 − 𝑉𝑃 = 0.

    Considere-se agora que num instante t=0 colocamos no circuito um condensador de capacidade C, carregado. Sabemos que no interior do

    dieléctrico existe um campo electrostático 𝐸𝑒, que fará uma contribuição

    positiva para o integral .𝐸ׯ 𝑑 Ԧ𝑟. Como se trata de um campo electrostático,

    logo conservativo, terá que continuar a ser .𝐸ׯ 𝑑 Ԧ𝑟 = 0, por isso no exterior

    do condensador terá que haver uma variação simétrica do potencial para que o total seja zero. No cenário mais simples, essa variação do potencial ao longo do condutor deve-se apenas à resistência que ele oferece à passagem da corrente.

    Circuitos eléctricos

    P

    +

    - 𝐸𝑒C

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    Mestrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia de Minas e GeorecursoCadeira de Electromagnetismo e Óptica Vamos definir intensidade da corrente como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de

    tempo, ou seja, 𝑖 = 𝑑𝑞

    𝑑𝑡 . A unidade SI de intensidade é o Ampère símbolo A),

    Equivalente a Coulomb por segundo. Se a secção do condutor for S, a densidade de carga for 𝜌 e a velocidade dos portadores de carga for v, a figura permite concluir que 𝛿𝑞 = 𝜌𝑆𝑣𝛿𝑡, ou seja, 𝑖 = 𝜌𝑆𝑣. Definindo agora o vector densidade de corrente como Ԧ𝑗 = 𝜌 Ԧ𝑣, concluimos que o módulo de Ԧ𝑗 é a intensidade de corrente a dividir pela secção do condutor, como o nome sugere. No caso mais geral em que Ԧ𝑗 não é uniforme, a intensidade da corrente pode calcular-se através da relação 𝑖 = ׯ Ԧ𝑗. ො𝑛 𝑑𝑆 onde o integral é calculado

    sobre a secção do condutor e ො𝑛 é a normal unitária da superfície de integração. Definiremos um condutor ohmico como sendo um material no qual se verifica

    A Lei de Ohm (na forma local), Ԧ𝑗 = 𝜎𝐸, entre a densidade de corrente e o campo eléctrico, sendo 𝜎 uma constante característica do material (mas que geralmente depende da temperatura), designada por condutividade eléctrica.

    Nota: Em conjunto, as igualdades Ԧ𝑗 = 𝜎𝐸 e Ԧ𝑗 = 𝜌 Ԧ𝑣 implicam que a velocidade dos portadores de carga seja proporcional ao campo eléctrico (e não a aceleração, como seria de esperar se se aplicasse a 2ª lei da dinâmica; isto deve-se ao facto de que os portadores de carga sofrem múltiplas colisões no interior do material).

    Circuitos eléctricos

    P

    +

    - 𝐸𝑒

    𝑣𝛿𝑡

    𝛿𝑞

    C

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    Equações de Maxwell

    𝜀 = ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝑟 = ර𝑟𝑜𝑡𝐸. ො𝑛𝑑𝑆 = − 𝜕

    𝜕𝑡 ර𝐵. ො𝑛𝑑𝑆 = −

    𝜕𝜑

    𝜕𝑡

    𝑠endo 𝜑 = ර𝐵. ො𝑛𝑑𝑆 𝑜 fluxo da indução magnética 𝐵

    𝐵 = 𝜇0𝑖

    2𝑅 Este resultado será demonstrado mais adiante. Conclusão: se a corrente i variar no tempo, surge uma força electromotriz no anel.

    i

    𝑩

    𝐵

    Ԧ𝑣

    Ԧ𝐹 = 𝑞 Ԧ𝑣x𝐵 (força de Lorentz)

    q > 0

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    Equações de Maxwell

    𝜀 = − 𝜕

    𝜕𝑡 ර𝐵. ො𝑛𝑑𝑆 = −𝐿

    𝑑𝑖

    𝑑𝑡

    𝑠endo 𝜑 = ර𝐵. ො𝑛𝑑𝑆 𝑜 fluxo da indução magnética 𝐵

    𝐵 = 𝜇0𝑛i sendo n o número de espiras por unidade de comprimento da bobine (este resultado será demonstrado mais adiante).

    𝑩

    Conclusão: se a corrente i variar no tempo, surge uma força electromotriz induzida na bobina. Esta f.e.m. opõe-se sempre à variação de fluxo do campo magnético que lhe deu origem.

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    - +

    C A

    RC

    𝜀

    +

    -

    L

    Retomando agora o circuito composto por uma fonte de alimentação com f.e.m. 𝜀 e resistência interna r, uma resistência R, uma bobina com inductância L e um condensador com capacidade C: Calculando o integral de circulação do campo eléctrico no sentido positivo (anti-horário) a partir do cátodo da fonte de alimentação e levando em conta todas as forças electromotrizes e variações de potencial, obtém-se (desprezando a resistência interna da bobina)

    𝜀 − 𝑟𝑖 − 𝑣𝑅 + 𝜀𝐿 − 𝑣𝐶 = 0

    que neste caso se pode escrever na forma

    𝜀 − 𝑟𝑖 − 𝑅𝑖 − 𝐿 𝑑𝑖

    𝑑𝑡 − 1

    𝐶 න 𝑡0

    𝑡

    𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 0

    Esta equação pode ser derivada em ordem a t, dando

    𝑑2𝑖

    𝑑𝑡2 +

    𝑅 + 𝑟

    𝐿

    𝑑𝑖

    𝑑𝑡 +

    1

    𝐿𝐶 𝑖 = 0

    equação diferencial cuja solução nos conduz à função i(t), após o que podemos calcular 𝑣𝑅(t), 𝑣𝐶(𝑡) e 𝑣𝐿 𝑡 = −𝜀𝐿

    +

    -

    +-

    Circuitos eléctricos

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    Circuitos eléctricos com várias malhas. Leis de Kirchhoff. A geometria de um circuito eléctrico pode ser mais complicada do que a da figura anterior, comportando várias malhas, ou seja, troços que se fecham sobre si mesmos. Vamos considerar agora que o circuito é formado apenas por fontes de alimentação de corrente continua e por resistências, para simplificar os cálculos. As mesmas conclusões se aplicarão no caso geral.

    O primeiro passo para analisar um circu