Dissertação de Mestrado

Metamagneto em Campos MagnéticosUniforme e Aleatório

Antonio Weizenmann

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁFortaleza, Janeiro de 2005

Dissertação de Mestrado

Metamagneto em Campos MagnéticosUniforme e Aleatório

Antonio Weizenmann

Dissertação apresentada ao Departamento de Pós-graduaçãoem Física da Universidade Federal do Ceará

como parte dos requesitos para obtenção do graude Mestre em Física Estatística.

OrientadorProf. Dr. Alberto Sebastião de Arruda

Aos meus pais,Laurindo João Weizenmann eAntonieta Weizenmann

i

Agradecimentos

Quero agradecer ao Prof. Dr. Alberto Sebastião de Arruda, meu orientador, por

suas inúmeras sugestões e constante suporte durante a elaboração do trabalho. Sua

amizade e caráter tornaram muito mais humano este trabalho que poderia ser puramente

catedrático.

Também sou muito grato aos professores Dr. Josué Mendes Filho, Dr. Gil de Aquino

Farias, Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho, Dr. José Soares Andrade Júnior, Dr.

Uriel Medeiros Costa, Dr. Newton Theophilo de Oliveira, Dr. Murilo Pereira de Almeida,

que, de diversas formas, me auxiliaram durante o Curso de Mestrado. As suas críticas,

sugestões e mesmo o companheirismo e a amizade, facilitaram muito a realização do curso

e do presente trabalho.

Não é possível deixar de agradecer a todos da Coordenação do Curso e do Departa-

mento, que sempre me apoiaram e realizaram seu trabalho com presteza.

Aos colegas, devo gratidão pela amizade e a oportunidade de realizar trabalhos em

grupo, abrindo os horizontes do conhecimento e da compreensão nas coisas que só deles

podemos aprender.

Aos amigos, em especial Euzenil, Jean, Daniel, Arian, Teldo e Rosa, Hulk e Rose,

Eduardo e Fabiana, Ricardo e Karen, agradeço pela atenção, solidariedade, lealdade

mesmo nos momentos de dificuldade.

À minha família, sou grato pelo apoio incondicional às escolhas que tenho feito. Ao

meu pai, Laurindo, que me serve como exemplo de coragem e determinação; minha mãe,

Antonieta, da qual aprendi as mais importantes lições; aos meus irmãos, Laerte, Sidnei

e Ari, dos quais me orgulho por ser o irmão mais novo, podendo assim espelhar-me em

suas virtudes e diferenças, que se complementam de forma peculiar.

À mulher de minha vida, Sally, agradeço o companheirismo, a paciência e o amor,

que me motivam a cada instante.

Fortaleza, Ceará Antonio Weizenmann

Janeiro, 2005

ii

Resumo

O diagrama de fase de um metamagneto de Ising em um campo magnético uniforme e

em um campo magnético aleatório é estudado usando teoria de campo médio derivado do

princípio variacional de Bogoliubov. O diagrama de fase exibe comportamento tricrítico e

fenômeno de reentrância para determinados valores do campo magnético aleatório acima

de um certo valor crítico. O fenômeno de reentrância é devido às competições entre as

interações ferromagnéticas, antiferromagnéticas, campo magnético uniforme e o campo

magnético aleatório. Em particular, se o modelo exibe uma transição em campo aleatório

zero, então a distribuição bimodal nunca destrói esta transição de primeira ordem, em

contradição ao caso de uma distribuição trimodal.

iii

Abstract

The phase diagram of an Ising metamagnet in an uniform magnetic field and in a

random magnetic field is studied using a mean field theory derived from Bogoliubov

variational principle. The phase diagram displays tricritical behavior and reentrance

phenomenon for determined values of the random magnetic field above a certain critical

value. The reentrance phenomenon is due to the competition between the other interac-

tions ferromagnetic, anti-ferromagnetic, uniform magnetic field and the random magnetic

field. In particular, if the model exhibits a first-order transition in zero random field,

then a bimodal distribution never destroys this first-order transition, in contradiction to

the case of a trimodal distribution.

iv

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Introdução 1

1 Fenômenos Críticos 8

1.1 Transições de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Modelos para Sistemas Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 A Função de Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3 Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4 Modelo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Resolução do Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Resolução Exata em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Solução Exata em Uma Dimensão na Presença de um

Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Aproximação de Campo Médio para o Modelo de Ising . . . . . . 30

2 Metamagneto em Campo Uniforme e Aleatório 32

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Definição do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Equações do Campo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Expansão de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

v

3 Resultados e Discussões 50

4 Conclusões 58

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Perspectivas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Referências Bibliográficas 63

vi

Lista de Figuras

1.1 Diagrama de fases de um fluido simples, em termos da pressão contra

temperatura. As linhas cheias indicam transições de primeira ordem e o

ponto crítico c uma transição de segunda ordem. No ponto triplo (pt, Tt)

há uma coexistência de três fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Projeção da equação de estado no plano p versus ρ. . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Projeção da equação de estado no plano ρ versus T . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Esboço do modelo de gás de rede em várias temperaturas. Cada célula

indica que há uma molécula ocupando esse volume. O comprimento de

correlação (ξ) indica o diâmetro de um cluster ou célula. . . . . . . . . . 13

1.5 Diagrama de fases no plano campo aplicado contra a temperatura para um

sistema ferromagnético uniaxial simples. A linha de coexistência é dada

por H = 0 com T < Tc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da tempera-

tura para um ferromagneto uniaxial simples. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Isoterma do ferromagneto uniaxial simples (magnetização m versus campo

magnético H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Dados obtidos por Guggenheim em 1945 para a curva de coexistência de

oito fluidos diferentes (as densidades e as temperaturas são divididas pelos

valores no ponto crítico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Rede linear com N sítios com energia de interação Ji e spin S. O índice i

indica que a energia pode ter várias magnitudes. . . . . . . . . . . . . . . 23

vii

2.1 Rede bidimensional regular com spins Si = ±1. Observe que a rede

pode ser dividida em duas sub-redes interpenetrantes equivalentes, onde

os primeiros vizinhos estão na outra sub-rede e os segundos vizinhos estão

na mesma sub-rede. A energia de interação entre os primeiros vizinhos é

−J e a interação entre os segundos vizinhos é J ′. . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade

bimodal com (a) ha = 0; (b) ha = 0, 3; (c) ha = 0, 4; (d) ha = 0, 45; (e)

ha = 0, 49 e (f) ha = 0, 65. As linhas simples representam transições con-

tínuas ou de segunda ordem. As linhas pontilhadas representam transições

de primeira ordem. Os círculos cheios são pontos tricríticos. Os círculos

vazios são pontos críticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade

trimodal onde p = 1, 0 equivale ao caso puro, com ha = 0. . . . . . . . . . 54

3.3 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade

trimodal com p = 0, 8. As linhas representam transições contínuas ou de

segunda ordem. Os círculos são pontos tricríticos. . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Diagrama de fases no plano h − t, com diversos valores para o campo

aleatório ha para uma distribuição de probabilidade trimodal com p = 0, 5.

As linhas representam transições contínuas ou de segunda ordem. Os

círculos são pontos tricríticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

viii

Introdução

Modelo de Ising para 4 Spins

Magnetismo

Os fenômenos magnéticos são largamente utilizados no desenvolvimento de novas

tecnologias, desde sistemas de geração e distribuição de energia (hidrelétricas, entre ou-

tros), a sistemas de conversão eletromecânica (eletrodomésticos, automóveis), eletrônicos

e de telecomunicações, transdutores, sensoriamento, prospecção geológica, informática,

automação industrial até a medicina e a engenharia biomédica. Isto só foi possível

com o entendimento dos fenômenos magnéticos, e com a descoberta de novos materi-

ais magnéticos. Fenômenos estes que são rigorosamente descritos pela mecânica quântica

e pela mecânica estatística, mas que podem ser compreendidos em uma primeira análise

utilizando-se uma abordagem macroscópica, possibilitando assim a aplicação de conceitos

de física clássica. Embora o magnetismo não receba a ênfase necessária no ensino médio,

está muito presente em nossa vida. Pois desde o ímã que colocamos na porta geladeira

até a memória (HD-hard disk) do computador, ou mesmo as fitas cassete que utilizamos

para armazenar as nossas músicas preferidas, utilizam fenômenos e materiais magnéticos.

A palavra magnetismo está associada ao fenômeno pelo qual um ente tem o poder de

atrair e influenciar outro ente. Sua origem está ligada ao nome de uma cidade da região

da antiga Turquia, que era rica em minério de ferro, a Magnésia. Provavelmente foram

os gregos, quem primeiro refletiram sobre as propriedades da magnetita (Fe2O4). Este

mineral que no seu estado natural, freqüentemente têm o poder de atrair o ferro e outros

metais, era extraído na província da Magnésia. A magnetita é citada pelos gregos por

1

volta de 800 a.C. O pensamento e a filosofia grega, dominaram todo conhecimento neste

tema nos vinte e três séculos seguintes. Pois uma característica da filosofia grega era a de

não buscar a explicação e predição das maravilhas da natureza, mas sim compreendê-las

no campo das idéias. Os representantes de uma importante escola de filosofia, os animis-

tas, ao defrontarem-se com as extraordinárias propriedades da magnetita, as atribuíram a

origem divina. Thales de Mileto, e posteriormente Anaxágoras e outros, acreditavam que

a magnetita possuía alma, ou seja, possuía vontade própria. A escola dos mecanicistas,

ou atomistas, cujas teorias eram deduções de várias concepções metafísicas, com pequena

relação com o que nós poderíamos hoje considerar como fatos, atribuíam as propriedades

da magnetita a existência de umidade no ferro da qual a secura da magnetita (ímã) se

alimentava. A idéia dos ímãs se alimentarem da umidade do ferro era também uma

superstição, mas já se pensavam em dois elementos, ou seja, a umidade e a secura que

representariam dois elementos opostos que se complementariam como os pólos norte e

sul. O poder que o ferro magnetizado têm de atrair outros pedaços de ferro era bem

conhecido por Platão e Lucretius, mas talvez estes estivessem entre os primeiros a notar

que os materiais magnéticos poderiam se repelir também. A explicação para este fato

ainda aguardava a elaboração do conceito de pólo magnético para uma melhor explicação

dos fenômenos de repulsão e atração [1]. A primeira aplicação tecnológica magnética, é a

bússola, o período e o lugar de seu surgimento é assunto de disputa entre historiadores.

Parte considerável afirma que o lugar foi a China, em algum tempo entre 2637 a.C. e

1100 d.C. [1]. Outras fontes assumem que a bússola foi introduzida na China no século

XIII, e os pioneiros na sua utilização foram os árabes. Entretanto todos concordam que

a bússola era certamente conhecida no oeste da Europa por volta do século XII, pois a

primeira referência sobre a sua utilização foi feita por Alexander Neckma (1157-1217). A

primeira e mais importante tentativa experimental de entender o magnetismo, foi devida

a Pierre Pélerin de Maricourt(1240-?) também conhecido como Petrus Peregrinus, que

escreveu o mais antigo tratado de física experimental em 1269. Este fez experiências com

uma magnetita esférica, colocando pedaços de ímã em várias regiões, traçou as linhas de

campo magnético que se interceptavam em dois pontos. Estes pontos foram chamados

de pólos do ímã, como analogia aos pólos (geográficos) da Terra, sendo que o pólo sul de

2

um imã aponta aproximadamente para o pólo norte do planeta. Dos filósofos naturais

que estudaram magnetismo, o mais famoso é William Gilbert de Colchester (1544-1603),

chamado de “Pai do Magnetismo”, pois sistematizou as especulações sobre o assunto.

Vinte anos à frente de Sir Francis Bacon, foi um firme defensor do que nós chamamos

hoje de método experimental. De Magnete foi sua obra-prima, dezessete anos do seu

trabalho registrado, contendo todos os seus resultados. Nesta foi reunido todo o conhe-

cimento sobre magnetismo digno de confiança de seu tempo, junto com suas maiores

contribuições. Entre outros experimentos, foram reproduzidos aqueles executados três

séculos antes por Peregrinus com a magnetita esférica que foi chamada de terrella (pe-

quena terra), pois Gilbert a idealizou como sendo um modelo atual da Terra e assim foi

o primeiro a afirmar que a Terra é um ímã, ou seja, possui um campo magnético próprio.

Os fenômenos magnéticos passaram a ser melhor modelados, a partir do século XIX, com

a descoberta de sua correlação com a eletricidade. Em 1820, Oersted descobriu que uma

corrente elétrica passando por um fio também produzia efeito magnético, mudando a ori-

entação da agulha de uma bússola. Posteriormente, Ampère formulou a lei que relaciona

o campo magnético gerado com a intensidade de corrente no fio e em 1831, Faraday e

Henry, descobriram que um campo magnético variável induzia uma corrente elétrica em

um circuito. Após a descoberta dos efeitos magnéticos das correntes, foi sugerido por

Ampère, que a magnetização de meios materiais (ímãs permanentes) deveriam se originar

de correntes microscópicas, que foram denominadas correntes de Ampère. Assim todos

os fenômenos magnéticos seriam gerados por correntes, da mesma forma que todos os

efeitos elétricos são gerados pelos portadores de carga (elétron).

O comportamento dos materiais magnéticos em um campo magnético externo é de-

terminado pela origem de seus dipolos magnéticos e pela natureza da interação entre eles.

Os dipolos magnéticos têm origem no momento angular orbital e no spin dos elétrons nos

íons ou átomos que formam a matéria, portanto depende da distribuição eletrônica dos

átomos e moléculas. A grandeza macroscópica que representa o estado magnético de um

material é o vetor magnetização.

3

Fases Magnéticas

Podemos classificar as diversas fases magnéticas de acordo com a origem microscópica

de sua magnetização e de suas interações internas. Os principais tipos de fases magnéticas

são o Diamagnetismo, Paramagnetismo, Ferromagnetismo, Antiferromagnetismo, entre

outros. A seguir vamos discutir estes, utilizando uma abordagem macroscópica para que

se tenha uma idéia dos diferentes tipos de comportamento magnético.

Diamagnetismo

Diamagnetismo em geral corresponde ao tipo mais fraco de resposta magnética de

um sistema, caracterizado por susceptibilidade negativa e da ordem de χm ∼ 10−5 (SI)

(o fato deste valor ser negativo é justificado pela Lei de Lenz: esta é uma lei que diz que

um circuito submetido a um campo magnético externo variável, cria um campo contrário

opondo-se a variação deste campo externo). O seu efeito é diminuir o módulo do campo

no interior do material. Está presente em todos os materiais, ou seja, todo material é

diamagnético, mas isto só é observado quando não existem outros tipos de comportamento

magnéticos superpostos. Nos materiais diamagnéticos os átomos têm momento angular

total nulo, ou seja, não possuem momento de dipolo magnético intrínseco, ele é induzido

pelo campo magnético externo.

Paramagnetismo

Paramagnetismo é o fenômeno que ocorre em materiais que possuem momentos mag-

néticos intrínsecos não interagentes entre si. Na ausência de campo magnético nestes

materiais a magnetização é nula. A aplicação de um campo externo tenderá a alinhar os

dipolos na direção do campo magnético, pois esta configuração é energeticamente favore-

cida. Por isso, os materiais paramagnéticos têm susceptibilidade magnética positiva, com

ordem de grandeza entre 105 e 103 (SI). A tendência ao alinhamento encontra oposição na

agitação térmica, assim a susceptibilidade paramagnética deve depender da temperatura

(T ), diminuindo quando esta aumenta. Alguns materiais paramagnéticos são os metais

de elementos não magnéticos, isolantes, os materiais que contém átomos livres ou íons de

4

elementos dos actinídeos, entre outros. O paramagnetismo pode ter diferentes origens,

dois aspectos são freqüentemente usados para determinar a origem do paramagnetismo:

a magnitude de χ e a dependência da susceptibilidade com a temperatura (χ(T )). Para o

paramagnetismo de Curie, existe uma interação que tenta alinhar os momentos magnéti-

cos nos átomos com o campo magnético. A dependência com a temperatura é resultado

da competição entre a tendência que alinha os momentos paralelos ao campo e a tendên-

cia da agitação térmica em romper este alinhamento. A dependência de 1/χ com T é

linear. Quando uma pequena interação entre os momentos magnéticos de diferentes áto-

mos é adicionada a interação com campo magnético aplicado, temos o paramagnetismo

de Curie-Weiss. Esta interação entre os momentos (interação de troca) pode ajudar a

alinhar momentos adjacentes na mesma direção ou pode ajudar a alinhar a vizinhança na

direção oposta. Outra forma de paramagnetismo é o de Pauli, que é observado em metais

e é devido ao fato dos elétrons de condução terem momentos magnéticos que podem ser

alinhados com o campo aplicado (a banda de condução é separada em duas com aplicação

do campo, uma com elétrons de spin 1/2 e outra com elétrons de spin −1/2, o momento

magnético resultante dessas bandas tem a direção do campo, caracterizando o paramag-

netismo). Uma característica do paramagnetismo de Pauli é que χ é aproximadamente

independente da temperatura e em muitos casos tem valor muito pequeno.

Ferromagnetismo

Alguns elementos do grupo de transição, como o ferro, níquel e cobalto puros ou

em ligas com outros elementos, apresentam uma alta magnetização espontânea abaixo

da temperatura de Curie (TC). Essa alta magnetização nos materiais ferromagnéticos

está relacionada ao fato destes possuírem momentos de dipolo magnético intrínsecos

altamente interagentes que se alinham paralelamente entre si. Exemplos de elementos

ferromagnéticos são o Ferro (Fe, número atômico 26), Cobalto (Co, 27), Níquel (Ni, 28),

Gadolínio (Gd, 64), Térbio (Tb, 65), Dyprósio (Dy, 66), Hólmio (Ho, 67), Érbio (Er, 68),

Túlio (Tm, 69). O módulo da magnetização em materiais ferromagnéticos é várias ordens

de grandeza maior do que em materiais paramagnéticos e diamagnéticos, e a sua relação

com o campo é não linear. A curva de magnetização não depende somente do material,

5

mas do tratamento (térmico, magnético) a que este foi submetido, ou seja, de sua história

anterior. Por isso, costumam-se dizer que os materiais ferromagnéticos possuem memória

ou uma função memória χ(H).

Antiferromagnetismo

O antiferromagnetismo, assim como o ferromagnetismo, é originado pela interação

entre os spins, mas esta tende a alinhar os momentos magnéticos (spin) em direções

opostas, assim os momentos vizinhos se cancelam mutuamente. O comportamento da

magnetização em função do campo é semelhante a de um paramagneto, mas as origens

deste comportamento para um antiferromagneto são totalmente diferentes, pois este é um

estado ordenado de longo alcance, enquanto o paramagnetismo é um estado desordenado.

Os momentos magnéticos são alinhados em uma configuração alternada.

Um bom exemplo de antiferromagneto é o cromo.

Neste trabalho é usada a aproximação de campo médio, via princípio variacional

de Bogoliubov, para estudar o diagrama de fases de um metamagneto de Ising em um

campo magnético uniforme e aleatório. Este sistema tem despertado o interesse de muitos

autores [2], pois ele pode ser utilizado como modelo protótipo do modelo de Ising em

campo aleatório.

Nesta dissertação, os assuntos serão abordados de acordo com o seguinte esquema:

No Capítulo 1, é realizada uma discussão geral sobre “Transições de Fases e Fenômenos

Críticos” [3], onde é dada ênfase a sistema magnético, em especial ao modelo de Ising para

o qual são apresentadas duas soluções diferentes [2, 3, 4] para a versão unidimensional.

Este Capítulo é finalizado com uma solução aproximada (campo médio, versão de Bragg-

Williams) do modelo de Ising em uma, duas e três dimensões, uma vez que até agora não

há solução exata para o caso tridimensional e levando em conta que a solução exata para

bidimensional é muito longa e complicada.

No Capítulo 2, é estudado o comportamento tricrítico de um metamagneto em um

campo magnético externo uniforme e em um campo aleatório. Os problemas envolvendo

o modelo de Ising em um campo aleatório tem sido uma importante fonte de pesquisa

nesses últimos vinte anos [5, 6, 7, 8, 9]. Sistemas deste tipo têm sido realizados experi-

6

mentalmente em antiferromagnetos com ligações misturadas ou com diluições de sítios. É

de grande interesse investigar a existência de um ponto tricrítico. Dependendo da escolha

da distribuição do campo aleatório, a aproximação de campo médio origina um ponto

tricrítico (que está presente para uma distribuição simétrica bimodal, mas não ocorre no

caso da forma gaussiana). Neste Capítulo foram desenvolvidas as equações de estado e

energia livre via um estudo de campo médio, associado com a expansão de Landau, para

estudar o diagrama de fases.

No Capítulo 3, as soluções numéricas das equações de estado do Capítulo 2, são obti-

das para vários valores dos parâmetros (campo aleatório, distribuição trimodal, tempera-

tura e campo uniforme). Os diagramas de fase do modelo são apresentados e discutidos.

No Capítulo 4, são apresentados, de forma resumida, todos os principais resultados e

indicadas possíveis propostas para extensões posteriores do problema.

7

Capítulo 1

Fenômenos Críticos

1.1 Transições de Fases

A existência da vida na Terra está ligada diretamente à existência da água. O planeta,

com aproximadamente dois terços de sua superfície coberta por essa substância, é um

fascinante sistema termodinâmico acoplado a fontes externas de energia, interagindo

permanentemente com a sua vizinhança. A temperatura de sua superfície permite que

a água assuma as fases (ou estados) sólida, líquida e gasosa, gerando ciclos como o que

propicia a chuva.

A mudança nas fases da água pode ser obtida variando-se apropriadamente a pressão e

a temperatura. Tal transformação, denominada de mudança ou transição de fase, também

pode ser observada macroscopicamente em outras substâncias. Pode-se dizer de forma

geral que uma transição de fase caracteriza-se pela mudança brusca em certa propriedade

físicas do sistema considerado. A propriedade observada, portanto, é o parâmetro que

define a transição.

Desse modo, em outros sistemas físicos, como os sistemas magnéticos e as ligas

binárias, por exemplo, ao observarmos grandezas como a magnetização, percebemos que

eles exibem transições de fase. Em substâncias ferromagnéticas existe magnetização

espontânea quando sua temperatura é menor que uma dada temperatura, denominada

de temperatura de Curie (Tc). Acima desta temperatura crítica a substância torna-se

paramagnética, ou seja, apenas exibe uma imantação na presença de um campo mag-

8

nético externo. Na fase paramagnética os momentos de dipolo magnéticos atômicos da

substância orientam-se aleatoriamente enquanto que, na fase ferromagnética, há uma

orientação preferencial desses dipolos. Por esta razão a fase paramagnética (ferromag-

nética) é também chamada de fase desordenada (ordenada) [10]. Na fase desordenada a

simetria de orientação dos dipolos magnéticos atômicos é maior que aquela exibida na

fase ordenada. Conseqüentemente, diz-se que na temperatura crítica de transição ocorre

uma quebra espontânea de simetria no sistema.

Um estado de equilíbrio de um sistema termodinâmico é descrito por uma equação,

chamada de equação de estado. Ela uma é função do tipo f = f(x1, x2, x3, · · · xN),

de vários parâmetros xi, que podem ser intensivos e/ou extensivos. Cada estado está

associado com um valor determinado de cada um dos parâmetros. A mudança em um

valor de um dos parâmetros corresponde à mudanças nos valores dos outros parâmetros,

assim o sistema passa para um outro estado de equilíbrio.

Para um fluido tem-se a chamada equação de estado, que é uma relação funcional do

tipo F (p, ρ, T ) = 0, envolvendo a pressão (p), a densidade (ρ) e a temperatura do sistema

(T). Essa equação define no espaço gerado pelas variáveis (p, ρ, T ), uma superfície, cujos

pontos representam estados de equilíbrio do sistema. Para melhor compreender essa

superfície é conveniente considerar as suas projeções nos planos p − T , p − ρ e ρ − T .

A Figura (1.1) exibe a projeção da superfície no plano p − T . Note que as fases sólida

e gasosa estão em equilíbrio ao longo da curva de sublimação. De forma semelhante,

as fases sólida e líquida estão em equilíbrio ao longo da curva de fusão, assim como, as

fases líquida e gasosa encontram-se em equilíbrio ao longo da curva de transição líquido-

vapor (curva de pressão de vapor). A última curva, acima mencionada, apresenta uma

inclinação positiva, uma vez que a temperatura de transição cresce com o aumento da

pressão e, sobre ela, líquido e vapor coexistem sem distinção. Observa-se que essa linha

não se estende indefinidamente, terminando num ponto denominado ponto crítico, com

coordenadas (pc, ρc, Tc). Essas coordenadas são, respectivamente, a pressão, a densidade

e a temperatura críticas. Como a curva termina em um ponto crítico, podemos observar

que é possível converter líquido em gás continuamente, sem cruzar a linha de transição.

Para temperaturas acima da temperatura de transição não há mais diferença fundamental

9

Figura 1.1: Diagrama de fases de um fluido simples, em termos da pressão contra tem-

peratura. As linhas cheias indicam transições de primeira ordem e o ponto crítico c uma

transição de segunda ordem. No ponto triplo (pt, Tt) há uma coexistência de três fases.

entre fase líquida e a fase gasosa.

O fato da curva de pressão de vapor terminar num ponto crítico foi descoberto no

século XIX por Andrews (1869) [3]. Antes dessa época acreditava-se que determinados

gases eram permanentes, ou seja, não se condensavam por maior que fosse a pressão neles

aplicada. Certamente esse trabalho de compressão era realizado acima da temperatura

crítica Tc, contrariando a condição de que, para obter gotículas da fase condensada, é

necessário comprimir o gás abaixo da temperatura crítica Tc. Para a água temos (pc = 218

atm, Tc = 647 K) enquanto que, para o gás hélio, temos (pc = 2, 25 atm, Tc = 5, 2 K).

É também interessante considerar as projeções da equação de estado F (p, ρ, T ) nos

planos p − ρ e ρ − T , conforme pode ser visto nas Figuras (1.2) e (1.3). Nessas figuras

observa-se que, em baixas temperaturas há uma diferença significativa entre as densidades

do gás (ρG) e do líquido (ρL). Contudo, à medida que a temperatura cresce a diferença

ρL−ρG decresce anulando-se na temperatura crítica Tc. O fato de existir uma quantidade

não nula abaixo da Tc e que assume valor zero acima de Tc, representa um aspecto

10

comum associado aos pontos críticos de uma ampla variedade de sistemas físicos. Tal

fato permite a introdução do conceito de parâmetro de ordem do sistema. Portanto,

na fase de maior simetria do sistema (fase desordenada) o parâmetro de ordem assume

um valor nulo enquanto que, na fase de menor simetria do sistema (fase ordenada) esse

parâmetro torna-se diferentes de zero. Para a transição líquido-vapor o parâmetro de

ordem é definido como sendo a diferença ρL - ρG enquanto que, num material com carac-

terísticas ferromagnéticas, atribui-se à magnetização espontânea o papel de parâmetro

de ordem do sistema.

Figura 1.2: Projeção da equação de estado no plano p versus ρ.

Figura 1.3: Projeção da equação de estado no plano ρ versus T .

11

Um outro aspecto importante está associado à forma das isotermas que podem ainda

ser vistas na Figura (1.2). No regime de altas temperaturas, T À Tc, o fluido pode

ser descrito em termos de um conjunto de partículas não interagentes. Neste caso, a lei

do gás ideal pode ser aplicada e as isotermas ficam bem representadas por linhas retas,

definidas pela equação p = ρ kBTm

onde, kB é a constante de Boltzmann e m a massa da

molécula. Essas isotermas adquirem uma curvatura à medida que T → Tc, exibindo, em

T = Tc, um ponto de inflexão. Tal fato pode ser visto como sendo uma manifestação da

interação entre as moléculas constituintes do fluido.

A transição líquido-vapor pode ainda ser discutida no contexto de um modelo bastante

simples, o chamado gás de rede. Para isso supõe-se que o fluido esteja contido em um

volume macroscópico V e, que possa ser subdividido em células microscópicas, de volume

v. Tal volume v é da mesma ordem do tamanho médio das moléculas que compõem o

fluido (aproximadamente 5Å). O número de moléculas, N , na região gasosa é tal que V ÀNv. No modelo de gás de rede o comprimento de correlação ξ, pode ser definido como

o diâmetro médio dos clusters de moléculas na rede. Um cluster é um agrupamento de

sítios, no caso, moléculas, com as mesmas características. Assim, em altas temperaturas,

isto é, para T À Tc, há poucas moléculas vizinhas, necessárias para formação de gotas

(clusters). Tal situação é representada no reticulado visto na Figura (1.4) em (T À Tc)

no qual, ξ ¿ L, com L indicando o comprimento característico do sistema considerado.

À medida que T → Tc as “gotas” crescem em dimensão, ou seja, ξ cresce atingindo o

seu valor máximo ξ = L, em T = Tc, conforme está representado nos reticulados da

Figura (1.4) em (T → Tc) e (T = Tc). Vale ressaltar que no ponto crítico o sistema ainda

não encontra-se completamente ordenado uma vez que, para T À Tc, o parâmetro de

ordem ρL − ρG = 0. Evidentemente o sistema estará completamente ordenado, isto é,

perfeitamente compactado apenas em T = 0. Portanto a Figura (1.4) (T = Tc) deve ser

interpretada como uma pequena porção de um grande sistema. Deve-se ainda observar

que, apesar de ρL − ρG = 0 para T À Tc, existe um considerável grau de ordenamento

no sistema. Esse fato é refletido no grande tamanho dos clusters (ξ). Este tipo de ordem

que ocorre para T À Tc (onde ρL− ρG = 0 ) é freqüentemente chamado de ordenamento

de curto alcance, para distinguir daquela que ocorre para T < Tc (ρL−ρG 6= 0), chamada

12

de ordenamento de longo alcance.

Figura 1.4: Esboço do modelo de gás de rede em várias temperaturas. Cada célula indica

que há uma molécula ocupando esse volume. O comprimento de correlação (ξ) indica o

diâmetro de um cluster ou célula.

O espalhamento de luz é uma das técnicas mais importantes para se obter informações

a respeito do ponto crítico de um fluido. A partir desta técnica, é possível acompa-

nhar experimentalmente um fluido até uma região bastante próxima a seu ponto crítico.

Quando a dimensão lateral das gotas for da mesma ordem do comprimento de onda (λ)

da luz incidente sobre o fluido, a radiação será fortemente espalhada. Tal fenômeno

é conhecido como opalescência crítica. Em temperaturas acima de Tc o fluido exibe

uma única fase. Neste caso as flutuações são desprezíveis, não ocorrendo um apreciável

espalhamento da luz incidente. Na medida em que T se aproxima de Tc ocorre um grande

aumento nas flutuações (com ξ crescendo até tornar-se da ordem de λ) o comprimento de

onda da luz incidente. Neste caso a luz incidente é fortemente espalhada observando-se

um grande brilho que emana do fluido.

13

Por razões didáticas, a analogia entre sistemas magnéticos e fluidos é bastante útil.

Aplicando-se, por exemplo, uma pressão p a um fluido, a sua densidade ρ cresce. De

forma semelhante, aplicando-se um campo magnético H a um ferromagneto observa-se

que a sua magnetização m cresce. Assim, em um certo sentido, H é análogo a p e m a ρ

e a equação de estado magnético é dada por uma função do tipo g(H, m, T ) = 0. Essa

equação descreve uma superfície correspondendo aos estados de equilíbrio do sistema

ferromagnético uniaxial simples, cujos diagramas de fase estão mostrados nas Figuras

(1.5, 1.6 e 1.7).

Figura 1.5: Diagrama de fases no plano campo aplicado contra a temperatura para um

sistema ferromagnético uniaxial simples. A linha de coexistência é dada por H = 0 com

T < Tc.

Figura 1.6: Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da temperatura

para um ferromagneto uniaxial simples.

Das Figuras (1.5, 1.6 e 1.7), vê-se que grande parte das discussões qualitativas apre-

sentadas para um fluido também se aplicam a um ferromagneto. Na Figura (1.5), exibido

no plano H versus T , observa-se a presença de uma linha de coexistência entre as fases

14

Figura 1.7: Isoterma do ferromagneto uniaxial simples (magnetização m versus campo

magnético H).

ferro-1 (“spins up”) e ferro-2 (“spins down”), correspondente à H = 0 e T < Tc. No caso

de um fluido, tal situação é análoga ao diagrama de fases no plano p versus T . Na Figura

(1.6) vê-se que a magnetização espontânea anula-se acima de Tc, tal qual ocorre com a

diferença ρL − ρG, no caso de um fluido simples. Finalmente, na Figura (1.7) observa-

se que a evolução da magnetização espontânea em função do campo externo aplicado

é muito semelhante ao comportamento de ρ no plano p versus ρ em um fluido simples,

conforme pode ser visto na Figura (1.2).

As primeiras idéias sobre transição de fase remontam ao século XIX [10], sendo van

der Waals um dos pioneiros a apresentar contribuições relevantes nessa área. van der

Waals propôs pela primeira vez, como parte de sua tese de doutorado, uma teoria que

descrevia com sucesso a continuidade dos estados líquido e gasoso da matéria. Nela

estavam previstos a condensação e a existência de um ponto crítico, em sistemas fluidos.

Publicada em 1873 essa teoria permanece ainda hoje como importante referência na

análise do comportamento crítico de fluidos. Além disso, no início do século XX, Pierre

Curie propôs uma teoria fenomenológica sobre a transição ferromagnética, posteriormente

desenvolvida por Pierre Weiss. A teoria Curie-Weiss apresentava muitos aspectos em

comum com a teoria de van der Waals, sendo ambas hoje conhecidas como teorias clássicas

das transições de fase ou teorias de campo médio.

Num ponto crítico ocorrem certas anomalias (ou singularidades) nas propriedades

termodinâmicas de uma substância, originando os chamados fenômenos críticos. A com-

pressibilidade de um fluido, por exemplo, pode assumir um valor infinitamente grande

15

nas vizinhanças desse ponto. Um comportamento semelhante é também observado no

caso da susceptibilidade magnética de um ferromagneto, próximo a temperatura crítica

de transição. Esta divergência assintótica, observada nas vizinhanças do ponto, crítico

pode ser caracterizada por meio de um expoente crítico. Esse comportamento peculiar

na região crítica, de sistemas tão diferentes como um fluido e um sistema magnético, nos

leva à idéia de universalidade. Esta é a palavra utilizada para caracterizar essa corres-

pondência de comportamento entre os diferentes sistemas. Outras propriedades termo-

dinâmicas pertinentes a fluidos e a sistemas magnéticos exibem divergências assintóticas

nas vizinhanças do ponto crítico, podendo também ser caracterizadas através de uma

coleção de expoentes críticos.

O centro da teoria dos fenômenos críticos refere-se aos expoentes críticos, que são

parâmetros que caracterizam as propriedades termodinâmicas de um sistema nas proxi-

midades da região crítica. Dimensão, simetria do parâmetro de ordem e a dinâmica

das interações são os fatores responsáveis pelo comportamento físico do sistema. A

principal idéia sobre esses expoentes, ampara-se nas evidências experimentais, uma vez

que eles não dependem do material ou do sistema específico e sim, da dimensão do

sistema. Alguns desses expoentes podem ser introduzidos a partir do clássico diagrama

de Guggenheim [10], conforme está exibido na Figura (1.8). Este diagrama, obtido em

1945, mostra a dependência de ρL-ρG com a temperatura para diferentes fluidos simples:

Ne, Ar, Xe, Kr, CO, O4, N4, CH4.

A teoria de van der Waals, essencialmente uma teoria de campo médio, predizia que

a linha vista na Figura (1.8) deveria ter uma forma quadrática. Entretanto, os dados

referentes aos oito diferentes fluidos presentes na curva de coexistência se ajustam a

uma linha cúbica. Portanto, no contexto da teoria de campo médio a razão ρ/ρc, nas

vizinhanças do ponto crítico, segue a seguinte lei de potência: ρρc∼ (Tc− T )1/2 enquanto

que, experimentalmente é observado que: ρρc∼ (Tc − T )1/3. De forma correspondente, o

comportamento assintótico do parâmetro de ordem (magnetização espontânea) para um

sistema magnético, segundo a teoria de campo médio é: M ∼ (Tc − T )1/2 enquanto que,

experimentalmente é observado que: M ∼ (Tc−T )1/3. Em geral o expoente crítico para o

parâmetro de ordem é definido como: m ∼ (Tc−T )β onde, m = M (sistemas magnéticos)

16

Figura 1.8: Dados obtidos por Guggenheim em 1945 para a curva de coexistência de oito

fluidos diferentes (as densidades e as temperaturas são divididas pelos valores no ponto

crítico).

e m = ρL−ρG (fluidos). Um aspecto interessante é que para diversos materiais o valor de

β é praticamente o mesmo por exemplo: Fe (Tc = 1044K, β = 0, 34), Ni (Tc = 631, 6K,

β = 0, 33). Para todos os gases presentes no diagrama de Guggenheim obtém-se que

β ∼ 13. Valores típicos de β estão na faixa entre (0, 31− 0, 34).

A susceptibilidade magnética a campo nulo (h = 0), definida como χ = (∂m∂h

)T diverge

quando T → Tc de acordo com a lei de potência, caracterizada pelos expoentes críticos

γ e γ′: χ ∼ C+(T − Tc)−γ, para T > Tc e χ ∼ C−(Tc − T )−γ′ , para T < Tc. Observa-se

que γ = γ′ porém, as constantes de proporcionalidade C+, C− são diferentes. Em geral

os expoentes γ e γ′ estão entre 1, 2 e 1, 4, por exemplo, para (Fe, Ni, Gd) γ = γ′ =

1, 33 ' 4/3. No caso de fluidos a grandeza análoga a χ é a chamada compressibilidade

isotérmica definida por KT = 1ρ(∂ρ

∂p)T . Nas vizinhanças do ponto crítico quando T → Tc

esta quantidade (KT ) é governada pela seguinte lei de potência: KT ∼ (Tc−T )−γ, T > Tc

onde, de acordo com a teoria de van der Waals, o expoente crítico γ = 1. Este valor difere

dos resultados experimentais que estimam o expoente crítico γ com valores variando entre

1, 2 e 1, 4 [10]. Para o CO2 e o Xe, γ = γ′ = 1, 2.

Em sistemas magnéticos o calor específico a campo nulo exibe uma singularidade em

17

T = Tc, caracterizada pelos expoentes críticos α e α′ com c ∼ (T − Tc)

−α para T > Tc e

c ∼ (Tc − T )−α′ para T < Tc. Onde α = α′ ' 0. Para Fe e Ni, α = α′ = 0, 12. No caso

de fluidos o calor específico a volume constante cV próximo de Tc comporta-se com a lei

de potência cV ∼ (T − Tc)−α para T > Tc e cV ∼ (Tc − T )−α′ para T < Tc. Para o CO2

observa-se que α = α′ = 1/8 = 0, 125 enquanto que para o Xe, α = α′ = 0, 08.

A coleção de expoentes críticos obtidos para fluidos ou sistemas magnéticos via teoria

de campo médio são chamados de expoentes clássicos. Estes expoentes exibem uma com-

pleta universalidade, isto é, observa-se que esses expoentes críticos são aproximadamente

os mesmos para diversos tipos de materiais, que vão desde fluidos até cristais ferromag-

néticos. Por outro lado, dados experimentais e diversos resultados teóricos indicam a

existência de classes de universalidade caracterizadas por expoentes críticos que estão

em franco desacordo com o conjunto de expoentes clássicos. Atualmente é sabido que

apenas alguns fatores são imprescindíveis na determinação dos expoentes críticos: (i) a

dimensionalidade dos sistemas físicos, (ii) a dimensionalidade do parâmetro de ordem e

o (iii) alcance das interações microscópicas no sistema de interesse físico.

1.2 Modelos para Sistemas Magnéticos

1.2.1 A Função de Partição

A Física Estatística no Equilíbrio está baseada na idéia de uma função de partição

Z, que possui todas as informações essenciais do sistema. O símbolo Z vem da palavra

alemã Zustandsumme, que quer dizer “soma sobre todos os estados”. A forma geral dessa

função para um sistema clássico é

Z =∑

e−H/kBT . (1.1)

O símbolo H representa a Hamiltoniana do sistema e é a função que descreve como se

comporta a energia do sistema, T é a temperatura e kB a constante de Boltzmann. A

somatória é feita sobre todos os estados possíveis do sistema, de modo que a função de

partição depende do tamanho do sistema (número de partículas) e do número de graus

de liberdade de cada partícula.

18

A função de partição só é conhecida de forma exata para alguns sistemas bastante

simples ou muito pequenos.

Quando conhecemos a função de partição podemos determinar a probabilidade Pi de

encontrar o sistema no estado i da seguinte forma:

Pi =e−Hi/kBT

Z, (1.2)

onde Hi é a Hamiltoniana do sistema quando este se encontra no estado i.

Também, a partir da função de partição, podemos determinar a energia livre

F = −kB ln Z (1.3)

e, a partir da energia livre, podemos calcular todas as outras quantidades termodinâmicas.

A Equação (1.3) é a conexão entre a Termodinâmica e a Física Estatística. A entropia

na Mecânica Estatística é definida como

S = −kB ln P , (1.4)

onde P é a probabilidade que um estado tem de ocorrer. Podemos escrever a entropia

em termos da energia livre da seguinte forma:

S = −(

∂F

∂T

)

V,N

, (1.5)

onde os índices V,N , indicam que V (o volume do sistema) e N (o número de partículas

do sistema) permanecem constantes.

Para determinar a energia interna do sistema (U) fazemos

U = −T 2

(∂(F/T )

∂T

)

V,N

. (1.6)

1.2.2 Médias

O que se espera de modelos, como o de Ising [4], é a determinação de características

macroscópicas como a magnetização. Em geral essas características são determinadas

a partir de médias sobre propriedades microscópicas. A média de uma grandeza mi-

croscópica A é calculada da seguinte forma:

〈A〉 =

∑i Ae−Hi/kBT

Z, (1.7)

19

de modo que a magnetização, para o modelo de Ising, pode ser escrita como

M = 〈σi〉 =

∑i σi e

−Hi/kBT

Z. (1.8)

A partir da magnetização podemos escrever a susceptibilidade (χ) como

χ =∂M

∂H, (1.9)

onde H é uma campo aplicado ao sistema (como na Equação (1.11)).

O objetivo da Física Estatística é descrever as propriedades termodinâmicas de

um sistema através das suas propriedades microscópicas. Para alcançar este objetivo é

necessária a utilização de modelos que possam descrever da melhor forma possível um

sistema real.

A seguir apresentaremos o modelo de Ising [4] e modelo de Heisenberg [11]. Estes são

os modelos de maior importância no estudo de materiais magnéticos.

1.2.3 Modelo de Ising

Em 1923, Wilhelm Lenz propôs ao seu aluno de doutorado, Ernest Ising, um modelo

bastante simples. Nesse modelo, um spin Si tem apenas dois estados possíveis: “para

cima” ou “para baixo”, que são representados matematicamente por +1 e −1, respec-

tivamente. Podemos, como é convencional, organizar os spins em redes de 1, 2, 3 ou

outra dimensão d qualquer. Em 1925, Ising publicou a solução exata para uma cadeia

linear (d = 1). Em 1944, Lars Onsager produziu uma solução analítica para o modelo de

Ising em uma rede quadrada (d = 2), com condições de contorno periódicas sem campo

aplicado [12]. Até hoje, nenhuma solução exata para duas dimensões com campo e para

três dimensões foi publicada.

A energia associada a uma configuração de spins neste modelo é dada por

H = −J∑i,i+1

SiSi+1 (1.10)

onde i e i + 1 são primeiros vizinhos na rede. J indica o valor da interação entre o

spin do sítio i e o spin do sítio i + 1. Vendo os spins como momentos magnéticos

localizados, teremos para +J uma interação ferromagnética e para −J uma interação

20

antiferromagnética. No caso do ferromagnetismo o estado fundamental (de mais baixa

energia) é aquele em que os spins estão alinhados, isto é, todos para cima ou todos para

baixo. No antiferromagnetismo, o estado fundamental é aquele em que os spins estão

anti-paralelos, isto é, cada spin tende a se manter no sentido oposto ao dos primeiros

vizinhos.

A equação acima, portanto, possui esta simetria interessante: se virarmos todos os

spins, seu valor continuará o mesmo. A introdução de um campo magnético externo H

quebra esta simetria,

H = −J∑i,i+1

SiSi+1 −H∑

i

Si (1.11)

restando, entretanto, a simetria para o caso em que o sinal (sentido) do campo também

seja invertido.

A agitação térmica influencia no sistema de spins de Ising de modo que à temperatura

bastante baixa (kBT ¿ J , sendo kB a constante de Boltzmann) este terá um valor baixo

na energia, spins alinhados e uma magnetização elevada. Já à temperaturas altas, os spins

estarão apontando em direções aleatórias, o sistema terá elevada energia e não apresentará

magnetização líquida a nível macroscópico. Se baixarmos a temperatura gradualmente,

encontraremos um ponto crítico de temperatura onde ocorre uma transição de fase no

sistema. Essa transição consiste em passar da fase desordenada (paramagnética, de

altas temperaturas) para a fase ordenada (ferromagnética, de baixa temperatura). Esta

temperatura crítica é comumente chamada de temperatura de Curie.

Na solução exata para d = 1, Ising mostrou que o modelo não apresenta transição de

fase a nenhuma temperatura, exceto T = 0. Deste modo, a magnetização decresce lenta

e continuamente com o aumento da temperatura. A susceptibilidade χ = ∂M∂T

é finita a

qualquer temperatura T . Aqui, M é a magnetização. Não há divergência tanto no calor

específico quanto na susceptibilidade.

Todos os dados do parágrafo anterior, entretanto, são considerados incorretos do

ponto de vista da Teoria da Aproximação de Campo Médio, que indica a existência

de uma transição não-trivial (em T 6= 0). Este problema colocou em dúvida a idéia

de que o formalismo da mecânica estatística pudesse ser usado para descrever todos os

21

fenômenos de transição de fase. Pode-se argumentar que a transição de fase que não

aparece na solução de Ising é um artifício da aproximação de campo médio. Quando

Onsager, como já dissemos, resolveu o modelo de Ising em duas dimensões, deu fim ao

dilema. Isto porque para d = 2, o modelo apresenta uma transição de fase de segunda

ordem, caracterizada por singularidades na função de partição com divergências no calor

específico, susceptibilidade e comprimento de correlação. A temperatura de transição é

dada por kBT/J = 2/ln(1 +√

2).

Desde a última metade do século XX, o Modelo de Ising tem sido intensivamente

estudado, sendo que o modelo com interações entre os primeiros vizinhos em uma rede

quadrada tem um papel especial, pois o conhecimento exato da energia, magnetização

espontânea e das correlações a campo zero, leva ao conhecimento exato dos expoentes

críticos, que são valores que obedecem à característica de universalidade. É digno de

nota que os expoentes críticos são conhecidos para apenas poucos modelos. O valor dos

expoentes críticos na solução de Onsager [12], são

α = 0, β = 1/8 e γ = 7/4 . (1.12)

O modelo de Ising tem sido muito utilizado por ser um modelo bastante simples e

ainda assim apresenta aproximações a muitas propriedades de sistemas reais.

1.2.4 Modelo de Heisenberg

O modelo de Heisenberg [11] foi introduzido em 1928 e pode ser visto como uma

generalização do modelo de Ising. A Hamiltoniana do modelo de Heisenberg é

H = −J∑i,j

~σi · ~σj . (1.13)

~σi é um vetor unitário que, diferentemente de Si do modelo de Ising, não está limitado

a uma direção e dois sentidos, mas pode assumir qualquer direção e sentido nas três

dimensões.

A esta Hamiltoniana também pode ser acrescentado um campo H,

H = −J∑i,j

~σi · ~σj −H∑

i

σiz , (1.14)

22

que, neste caso, atua na direção do eixo z.

Este modelo, como apresentado acima, é uma aproximação extremamente realista

ao caso quântico para temperaturas próximas a Tc [13, 14, 15]. Já para domínios de

baixas temperaturas ele não é uma boa aproximação (também em se tratando do caso

quântico) [3].

1.3 Resolução do Modelo de Ising

1.3.1 Resolução Exata em Uma Dimensão

Provavelmente a solução mais simples para sistemas de interação de muitos corpos

é modelo de Ising para uma dimensão (ou cadeia linear) na ausência de um campo

externo [3]. Este sistema corresponde a um caso particular do modelo clássico de Heisen-

berg, que é utilizado para o caso de três dimensões.

Consideremos uma cadeia ou rede linear com N sítios, Figura (1.9), para a qual

u u u u u u u6 6 6 66 6 6 -

-¾

Ji

S1 S2 S3 . . . SN

Figura 1.9: Rede linear com N sítios com energia de interação Ji e spin S. O índice i

indica que a energia pode ter várias magnitudes.

poderemos obter a função de correlação diretamente da função de partição, sendo

útil considerar que a energia de interação (J) entre os primeiros vizinhos pode assumir

magnitudes arbitrárias. Deste modo, a Hamiltoniana que descreve o modelo de Ising é:

H = −N−1∑i=1

JiSiSi+1 (1.15)

23

onde os spins Si são vetores unitários unidimensionais e que podem assumir apenas os

valores discretos +1 e −1. Ji é a energia de interação entre os spins localizados nos sítios

i e i + 1. Note que apesar da somatória ser feita de i = 1 até N − 1, temos N sítios na

rede, pois quando i = N − 1 teremos Si+1 = SN .

O objetivo de nossos cálculos é obter, de forma fechada, a função de partição

ZN ≡ ZN(J1, J2, J3, . . . , JN−1) =1∑

S1=−1

1∑S2=−1

. . .

1∑SN=−1

exp

(N−1∑i=1

JiSiSi+1

)(1.16)

onde Ji ≡ βJi ≡ Ji

kBTé um termo de energia de troca e não possui dimensão. kB é a

constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. As N somatórias se estendem sobre

as 2N configurações de estado possíveis para o sistema.

O método de solução é calcular o efeito da adição de um spin a mais no fim da cadeia.

Isto é, pretendemos expressar a função de partição para a rede extensa, ZN+1, em termos

da função de partição para a rede original ZN . Tendo feito isso, teremos uma relação de

recorrência com a qual poderemos encontrar a solução.

Da Equação (1.16) fazemos:

ZN+1 =1∑

S1=−1

1∑S2=−1

. . .

1∑SN=−1

exp

(N−1∑i=1

JiSiSi+1

)1∑

SN+1=−1

exp (JNSNSN+1)

(1.17)

Observe que agora a última somatória da equação acima, (1.17), é:1∑

SN+1=−1

exp (JNSNSN+1) = eJNSN + e−JNSN = 2cosh(JNSN) (1.18)

A função cosseno hiperbólico é positiva para qualquer valor real, o que nos leva a

perceber que o segundo termo da equação (1.18) não depende de SN já que os valores

possíveis para SN são +1 e −1, ou seja, cosh(+JN) = cosh(−JN). Então

ZN+1 = ZN2 cosh(JN) (1.19)

e como ocorre o mesmo com as outras somatórias e exponenciais para todos os 2N estados

possíveis, resulta que

ZN+1 = Z12N(coshJ1 coshJ2 coshJ3 . . . coshJN) (1.20)

24

Agora é fácil ver que Z1 = 2, sendo Z1 é exatamente a função de partição para um

sistema simples de apenas um spin, de modo que a “soma sobre os estados” é simplesmente

o “número de estados”. Substituindo ZN+1 e Z1 na equação anterior (Equação 1.20)

teremos

ZN2 cosh(JN) = 2.2N(coshJ1 coshJ2 coshJ3 . . . coshJN) (1.21)

Eliminando os termos repetidos teremos, de forma clara:

ZN = 2N(coshJ1coshJ2 . . . coshJ(N−1)) (1.22)

que pode ser reescrita assim:

ZN = 2N

(N−1)∏i=1

(coshJi). (1.23)

No caso uniforme, ou seja quando quaisquer dois spins tiverem sua energia de interação

constante e igual a J , (Ji = J), teremos:

ZN = 2N cosh(N−1) J (1.24)

ou, de forma ainda mais explícita

ZN = 2Ncosh(N−1) J

kBT. (1.25)

Voltemos agora para expressão mais geral da função de partição,

ZN = 2N

(N−1)∏i=1

(coshJi), (1.26)

cuja forma nos sugere uma relação com a ordem da temperatura TC . Por esta razão

vamos calcular a função de correlação entre dois spins

Γk(r) ≡ 〈SkSk+r〉 = Z−1N

∑

SSkSk+r exp

(N−1∑i=1

JiSiSi+1

)(1.27)

onde a somatória∑

S SkSk+r é feita sobre todos os 2N estados, S representa os spins

da rede, k é o valor que localiza o spin S e r é a distância de separação entre dois spins,

25

cujo valor é dado em unidades de uma rede constante. A função de correlação para o

primeiro vizinho é simplesmente Γk(1), o que satisfaz a relação

ZNΓk(1) =∑

SSkSk+1 exp

(N−1∑i=1

JiSiSi+1

)=

∂

∂Jk

∑

Sexp

(N−1∑i=1

JiSiSi+1

)(1.28)

Claramente o argumento que nos levou a equação acima pode ser generalizado para um

r arbitrário, resultando em

ZNΓk(r) =∂

∂Jk

∂

∂Jk+1

. . .∂

∂Jk+r−1

ZN (1.29)

com isso, podemos obter, a partir da diferenciação da equação geral para ZN , o seguinte

resultado:

Γk(1) = tangh(Jk) (1.30)

e

Γk(r) = (tanghJk)(tanghJk+1) . . . (tanghJk+r−1) =r∏

i=1

tanghJk+i−1 (1.31)

que é simplesmente o produto das funções de correlação entre os primeiros vizinhos. Para

um caso uniforme, esta equação se reduz a

Γk(r) = 〈SkSk+r〉 = tanghrJ (1.32)

ou, mais explicitamente,

Γk(r) = 〈SkSk+r〉 = tanghr

(J

kBT

)(1.33)

que se mostra independente do sítio k.

1.3.2 Solução Exata em Uma Dimensão na Presença de um

Campo

Para este caso o modelo de Ising pode ser escrito como

H = −J

N∑i=1

SiSi+1 −H

N∑i=1

Si (1.34)

26

onde Si e Sj são as variáveis de spin, J é a energia devido a uma interação entre os sítios

representados pelas variáveis de spin, H é um campo externo aplicado ao sistema.

Como já vimos em (1.2.3), as variáveis de spin podem ter interpretações diversas de

acordo com a situação do problema. A solução para o modelo de Ising é possível através

de uma função de partição canônica

Z =∑

Siexp(−βH) (1.35)

onde∑

Si é uma somatória de todas as variáveis de spin sobre a expressão exponencial,

que resulta na agregação de todos os estados (soma dos estados do sistema).

Isso nos permite obter, no limite termodinâmico, a energia livre de Gibbs do sistema:

g = g(T,H) = limN→∞

1

βNln ZN (1.36)

Vamos começar escrevendo então a função de partição

ZN =∑

Siexp

[βJ

N∑i=1

SiSi+1 + βH

N∑i=1

Si

](1.37)

usando a notação K = βJ e L = βH e escrevendo o segundo termo de uma forma mais

simétrica, teremos:

ZN =∑

Siexp

[K

N∑i=1

SiSi+1 +L

2

N∑i=1

Si + Si+1

](1.38)

Por mera conveniência, vamos adotar condições periódicas de contorno SN+1 = S1. Se

ex+y = exey, podemos escrever a parte exponencial da função acima como um produto

de exponenciais:

e[K∑N

i=1 SiSi+1]e[L2

∑Ni=1 Si+Si+1] (1.39)

ou, de forma ainda mais explícita:

eKS1S2eKS2S3 ...eKSNSN+1eL2(S1+S2)e

L2(S2+S3)...e

L2(SN+SN+1) (1.40)

Obtemos assim uma produtória, que vamos representar por

N∏i=1

T (Si, Si+1) = exp

[K

N∑i=1

SiSi+1 +L

2

N∑i=1

Si + Si+1

](1.41)

27

de modo que a Equação 1.38 possa ser escrita de forma simplificada:

ZN =∑

Si

N∏i=1

T (SiSi+1) . (1.42)

Observe agora que cada fator da produtória

T (SiSi+1) = exp

[K

N∑i=1

SiSi+1 +L

2

N∑i=1

Si + Si+1

]

pode assumir quatro valores, pois Si ± 1 e Si+1 ± 1, independentemente do valor de i.

eK(1·1)+L2·(1+1) = eK+L

eK(1·−1)+L2·(1−1) = e−K

eK(−1·1)+L2·(−1+1) = e−K

eK(−1·−1)+L2·(−1−1) = eK−L

Se colocarmos estes valores em forma de matriz,

T =

T (+, +) T (+,−)

T (−, +) T (−,−)

=

eK+L e−K

e−K eK−L

(1.43)

onde T é a matriz transferência, podemos notar que a produtória da Equação 1.42 pode

ser representada como um produto de N matrizes 2 x 2 idênticas. Por conseguinte, se

diagonalizarmos esta matriz, a Equação 1.42 como um todo, pode ser interpretada como

o traço (Tr), ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal, do produto de N

matrizes (de transferência) idênticas,

ZN = Tr(T)N . (1.44)

Aplicando a equação secular (T − λI = 0), onde I é uma matriz identidade, podemos

encontrar as raízes a partir de uma matriz diagonalizada D:

ZN = Tr(D)N = λN1 + λN

2 (1.45)

onde as raízes λ1 e λ2 são

λ1,2 =1

2

(eK+L + eK−L

)± 1

2

√(e4K − 2e4K−2L + e4K−4L + 4e−2L) e−2K+2L (1.46)

28

ou

λ1,2 = eKcosh(L)±√

e2 Kcosh2L− 2senh(2K) (1.47)

É fácil perceber que esses autovalores são sempre positivos e que λ1>λ2, exceto no ponto

trivial T = H = 0. A campo nulo essas expressões ficam mais simples,

λ1 = 2 cosh K ≥ λ2 = 2 senh K , (1.48)

com a degenerescência (λ1 = λ2) no limite K → 0 (ou seja, T → 0).

Para obter a energia livre no limite termodinâmico, é conveniente escrever

ZN = λN1

[1 +

(λ1

λ2

)N]

(1.49)

Como λ2 < λ1, temos o limite

g(T,H) = limN→∞

[− 1

βNlnZN

](1.50)

fazendo com que na Equação 1.49 tenhamos(

λ1

λ2

)N

→ 0 (1.51)

e daí:

g(T, H) = − 1

βlnλ1 (1.52)

ou seja,

g(T, H) = − 1

βln

eβJcosh(βH) +

√e2 βJcosh2(βH)− 2senh(2βJ)

(1.53)

que é uma função analítica, de onde vêm todas as propriedades termodinâmicas do sis-

tema.

A magnetização por spin, por exemplo, é dada por

m = −(

∂g∂H

)

T

(1.54)

onde:

m =senh(βH)√

senh2(βH) + exp(−4βJ)(1.55)

que se anula para H = 0, servindo apenas para a explicação do paramagnetismo e não o

ferromagnetismo, pois sabemos que m 6= 0 quando H = 0 em ummaterial ferromagnético.

29

1.3.3 Aproximação de Campo Médio para o Modelo de Ising

Além dos vínculos de temperatura e campo externo, digamos que o sistema tenha um

vínculo interno suplementar que fixa o valor da magnetização por spin. Isso nos levará

a utilizar a aproximação de campo médio usual, também chamada de aproximação de

Bragg-Williams.

Sendo, para um modelo de spin 1/2 (S = ±1), N+ o número de spins para cima e N−

o número de spins para baixo, temos

N = N+ + N− (1.56)

e

Nm = N+ − N− (1.57)

onde m é a magnetização adimensional. Conhecendo N+ e N−, podemos calcular a

entropia total

S = kB ln Ω, (1.58)

sendo que Ω é o número de estados, o que pode ser rescrito com sendo

S = kB lnN !

N+!N−!(1.59)

ou ainda

S = kB lnN !(

N+Nm2

)!(

N−Nm2

)!

(1.60)

Levando em conta a simetria translacional do problema, a energia interna numa rede

hipercúbica d-dimensional será dada por

U = 〈H〉 = −J d N 〈Si Sj〉 −H N m. (1.61)

Portanto, a energia livre magnética por spin, com o vínculo interno representado pela

magnetização fixa, é dada pela expressão

g 〈T, H; m〉 =1

N(U − TS) (1.62)

= −Jd 〈Si Sj〉 −Hm− kBT

Nln

N !(N+Nm

2

)!(

N−Nm2

)!

30

Até esse ponto não há nenhuma aproximação. O problema reside na dificuldade para

calcular as correlações de dois pontos em termos de T , H e m.

A aproximação de Bragg-Williams consiste em desprezar as flutuações nas funções de

correlação, fazendo a aproximação

〈SiSj〉 ≈ 〈Si〉〈Sj〉 = m2. (1.63)

Escrevendo uma expansão de Stirling para os fatoriais e utilizando essa aproximação para

as correlações, obtemos no limite termodinâmico a energia livre de Bragg-Williams por

spin,

gBW (T, H; m) = − Jdm2 −Hm− 1

βln2 (1.64)

+1

2β[(1 + m)ln(1 + m) + (1−m)ln(1−m)]

Para remover o vínculo interno a fim de obter a energia livre termodinâmica, basta

minimizar gBW em relação a m. Assim, temos

∂gBW

∂m= −2Jdm−H +

1

2βln

1 + m

1−m= 0 (1.65)

de onde vem a equação de Curie-Weiss,

m = tanh(β2Jdm + βH), (1.66)

onde o parâmetro fenomenológico λ é identificado como o produto 2dJ , prevendo-se uma

transição mesmo no caso unidimensional. Embora esse resultado esteja completamente

errado, esperam-se melhores previsões à medida que a dimensionalidade do sistema au-

mente.

A energia livre de Bragg-Williams, dada pela Equação (1.65) também pode ser escrita

na forma

gBW (T, H; m) = −Jdm2 −Hm− 1

βln 2 +

1

β

∫ (tanh−1m

)dm (1.67)

que permite uma identificação imediata com a função gBW (T, H; m), obtida a partir da

equação fenomenológica de Curie-Weiss. Podemos, com isso, recuperar todos os resulta-

dos clássicos para o comportamento crítico.

31

Capítulo 2

Metamagneto em Campo Uniforme e

Aleatório

2.1 Introdução

Em 1932, L. Néel, propôs a primeira teoria do antiferromagnetismo [16] para explicar

as anomalias nas medidas da susceptibilidade em Mn e Cr. Estas medidas implicavam

em uma temperatura de Curie negativa para a susceptibilidade χ ∼ 1T−Tc

no modelo

de Curie-Weiss para explicar este comportamento anômalo, Néel foi obrigado a con-

siderar que cada um dos momentos magnéticos se localizavam em pontos de uma rede

composta por duas sub-redes equivalentes, onde cada uma delas experimentavam cam-

pos internos proporcionais, porém opostos. Assim, na então teoria do campo molecular

Weiss-Néel, a temperatura negativa de Curie indicava um alinhamento antiparalelo dos

momentos magnéticos dessas substâncias. Esta teoria (Weiss-Néel) previa uma transição,

da fase paramagnética para uma fase antiferromagnética, em uma temperatura crítica

(−Tc = TN), posteriormente chamada de temperatura de Néel. Quase duas décadas mais

tarde, em 1949, foi verificado experimentalmente, através da difração de nêutrons [17],

que o alinhamento dos momentos magnéticos que ocorre nesses materiais realmente é o

antiparalelo. A transição paramagnética-antiferromagnética é de segunda ordem.

Foi verificado posteriormente [18] que esta transição de segunda ordem persiste quando

um campo magnético externo (H) é aplicado. Agora a temperatura de Néel (TN) é uma

32

função decrescente do campo magnético, assim o ponto de Néel torna-se uma linha de

Néel no plano T −H.

Na maioria dos materiais antiferromagnéticos, o efeito de um campo magnético ex-

terno suficientemente forte é o de levar a uma nova transição de fase, isto é, a fase

antiferromagnética (momentos magnéticos antiparalelos entre si, porém perpendiculares

ao campo externo) torna-se spin-flop (momentos magnéticos alinhados antiparalelamente

entre si, porém perpendiculares ao campo externo) [6, 19, 20, 21, 22, 23]. Mais tarde,

uma grande quantidade de trabalhos chegaram a um completo diagrama de fase para

os materiais antiferromagnéticos. Uma completa visão histórica do antiferromagnetismo

pode ser visto nos trabalhos de Nagamiya et al [24] e de Jacobs et al [25].

Por outro lado, existem duas classes de materiais (sólidos) antiferromagnetos anisotrópi-

cos. A primeira, tais como FeCl2 (cloreto ferroso), FeBr2 (brometo ferroso), Ni(NO3)2 ·2H2O (nitrato de níquel di-hidratado), DAG(Dysprosium Aluminium Garnet), possuem

uma estrutura de camadas alternadas com uma fraca interação antiferromagnética entre

as camadas e uma forte interação ferromagnética intra-camada.

A segunda é composta de substâncias ferromagnéticas ou antiferromagnéticas que

apresentam um comportamento não ortodoxo. Estas duas classes de materiais são os

hoje conhecidos como “metamagnetos”. A origem da nomenclatura “metamagneto” foi

inicialmente utilizada por Kramers [26] para caracterizar alguns sólidos que apresentavam

um comportamento não ortodoxo, isto é, sólidos que ora apresentavam comportamento

de um ferromagneto, ora de antiferromagneto. Alguns autores [2, 26] utilizam o termo

“metamagneto” para especificar sistemas magnéticos do tipo Ising com interação antifer-

romagnética entre os spins primeiros vizinhos e interação ferromagnética entre os spins

segundos vizinhos, formando um sólido com duas sub-redes entrelaçadas.

Os primeiros estudos teóricos dos metamagnetos tiveram seu início com as teorias

fenomenológicas de Landau nos anos de 1930. Sauer [27] e Garret [28] consideraram a

teoria de campo médio para o modelo de Ising com uma escolha conveniente dos sinais e

dos valores das interações de primeiros e de segundos vizinhos.

Um cristal metamagnético ideal pode ser construído sobrepondo camadas idênticas de

spin com acoplamento ferromagnético entre os spins de cada camada e com acoplamento

33

antiferromagnético entre os spins das camadas adjacentes. Um outro modo de pensar

um cristal metamagnético é considerar um cristal cúbico com os acoplamentos entre os

primeiros vizinhos como sendo de caráter antiferromagnético e os acoplamentos entre os

segundos vizinhos como sendo ferromagnéticos.

Em um campo externo nulo, um metamagneto comporta-se como um antiferromag-

neto de Ising. A correspondente transição de fase antiferromagnética é de segunda ordem

para um campo magnético suficientemente baixo. No entanto, para campos suficiente-

mente grandes, a ordem desta transição muda de segunda para primeira ordem em um

ponto tricrítico, cujas propriedades tem sido largamente estudadas nos últimos anos [26].

Neste Capítulo estamos interessados em estudar o comportamento tricrítico de um

metamagneto em um campo magnético externo uniforme e em um campo aleatório. Os

problemas envolvendo o modelo de Ising em um campo aleatório tem sido uma fonte de

pesquisa nesses últimos vinte anos [5, 6, 7, 8, 9]. Sistemas deste tipo têm sido realizados

experimentalmente em antiferromagnetos com ligações misturadas ou com diluições de

sítios. É de grande interesse investigar a existência de um ponto tricrítico e a exata

relação para o antiferromagneto diluído em um campo uniforme. Dependendo da escolha

da distribuição do campo aleatório, a aproximação de campo médio origina um ponto

tricrítico (que está presente para uma distribuição simétrica bimodal, mas não ocorre no

caso da forma gaussiana). Com base no teorema central do limite, alguns argumentos

podem ser usados para dar suporte à relevância física da distribuição Gaussiana (o ponto

tricrítico produzido com a função bimodal, existe apenas como um mero artifício da

aproximação de campo médio).

A prova da equivalência entre o ferromagneto de Ising em um campo aleatório e um

antiferromagneto diluído em um campo uniforme é baseada nos argumentos do grupo de

renormalização que pode ser aplicado a campos fracos. Na aproximação de campo médio

(ou o equivalente e com solução exata do modelo com interações de alcance infinito), isto

é possível estabelecendo um mapeamento completo entre os parâmetros do ferromagneto

de Ising em um campo aleatório e o antiferromagneto ou metamagneto de Ising diluídos,

em um campo uniforme.

Em particular, é conhecido que o campo aleatório deve ser associado com uma dis-

34

tribuição simétrica da função bimodal para a diluição arbitrária, incluindo o caso puro,

onde não há diluição. Simulações numéricas e experimentos indicam que a transição de

primeira ordem é destruída quando a diluição é acrescentada, de modo que nenhum efeito

é previsto pelo cálculo de campo médio.

2.2 Definição do Modelo

Consideremos uma rede regular de n sítios, como na Figura 2.1, com spins de Ising

Si = ±1 em cada sítio, isto pode ser dividido em duas sub-redes equivalentes interpene-

trantes, A e B [26]. Os z spins , primeiros vizinhos (nn), onde z é o número de primeiros

vizinhos, de um dado spin, estão localizados na outra sub-rede, enquanto os z′ spins,

segundos vizinhos (nnn), estão todos na mesma sub-rede. A Hamiltoniana do sistema é

dado por:

H = J∑nn

SiSj − J ′∑nnn

SiSj −∑

i

(H + Ha)Si (2.1)

onde J é a constante de acoplamento entre os spins primeiros vizinhos (nn), a somatória∑

nn é sobre todos os pares de spins nn, J ′ é a constante de acoplamento entre os spins

segundos vizinhos (nnn), a somatória∑

nnn é sobre todos os pares de spins nnn, H é

a intensidade do campo magnético uniforme externo, e Ha é a intensidade do campo

aleatório local. Assumimos, neste trabalho, que as interações entre os primeiros vizinhos

nn são antiferromagnéticas (J > 0), as interações entre os segundos vizinhos nnn são

ferromagnéticas (J ′ ≥ 0) e que os campos aleatórios locais Ha não estão correlacionados.

Ainda que seja possível considerar sub-rede dependente da distribuição de probabilidade,

neste trabalho usamos a mesma probabilidade para cada sítio.

2.3 Equações do Campo Médio

A solução exata de problemas em geral, quando existem interações entre spins, só se

conhece para alguns poucos modelos, ainda que se tenha campo externo é nulo (Ising

35

s u s u s u s

u s u s u s u

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s u s u s u s

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6 6 6 6

6 6 6

6 6 6 6

6 6 -¾¡

¡¡

¡¡µ¡¡

¡¡¡ª −J

J ′

6

6 6 6 6

6 6 6

6

? ? ?

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h h h h

h h h

h h h h

h h h

h h h h

h h h

h

Figura 2.1: Rede bidimensional regular com spins Si = ±1. Observe que a rede pode

ser dividida em duas sub-redes interpenetrantes equivalentes, onde os primeiros vizinhos

estão na outra sub-rede e os segundos vizinhos estão na mesma sub-rede. A energia de

interação entre os primeiros vizinhos é −J e a interação entre os segundos vizinhos é J ′.

1D, 2D, etc.). Podemos, entretanto, obter uma solução aproximada usando os princípios

variacionais, sendo um deles baseado na desigualdade de Bogoliubov [3].

Considerando que a partir da Hamiltoniana H não conseguimos escrever a função de

partição Z, essa desigualdade parte da definição de uma Hamiltoniana tentativa Ht, da

qual se conhece a solução exata. Escrevemos então a diferença

V = H−Ht (2.2)

e a função de partição da Hamiltoniana tentativa,

Zt =∑

Se−βHt . (2.3)

36

Uma média térmica, escrita em função da Hamiltoniana tentativa, será

〈A〉t =

∑S Ae−βHt

Zt

. (2.4)

Vamos escrever uma função de partição em relação a V :

ZV =∑

Se−βV (2.5)

Podemos notar que

Zt

⟨e−βV

⟩=

∑

Se−βV e−βHt (2.6)

ou seja,

Z = Zt

⟨e−βV

⟩. (2.7)

Usando a relação matemática

ex ≥ 1 + x +x2

2!+ · · · (2.8)

e sabendo que

〈x2〉 > 〈x〉2 , (2.9)

podemos escrever:⟨e−βV

⟩=

⟨1− βV +

β2V 2

2!+ · · ·

⟩(2.10)

⟨e−βV

⟩= 1− β 〈V 〉+

β2 〈V 2〉2!

+ · · · (2.11)

e−β〈V 〉 = 1− β 〈V 〉+β2 〈V 〉2

2!+ · · · (2.12)

de onde tiramos a inequação⟨e−βV

⟩ ≥ e−β〈V 〉 . (2.13)

Multiplicando por Zt e usando as relações (2.7) e (2.2), teremos:

Z ≥ Zt e−β〈H−Ht〉, (2.14)

da qual, tomando o logaritmo natural de ambos os termos, escrevemos a energia livre:

〈F 〉av ≤ 〈Ft〉av + 〈〈H −Ht〉t〉av, (2.15)

37

onde F é a energia livre de Helmholtz, H é a Hamiltoniana que se quer estudar e Ht é a

Hamiltoniana tentativa, da qual conhecemos a solução exata, 〈. . .〉av representa a média

da distribuição do campo aleatório e 〈. . .〉t é a média térmica com respeito à Ht.

Neste trabalho usaremos a Hamiltoniana tentativa não interagente,

Ht = −∑

i

(H + Ha)Si − ηA

∑i∈A

Si − ηB

∑i∈B

Si (2.16)

onde ηA e ηB são os parâmetros variacionais sendo que a Hamiltoniana pode ser escrita

para a sub-rede A como:

HtA = −∑

i

(H + Ha)Si − ηA

∑i∈A

Si (2.17)

e para a sub-rede B:

HtB = −∑

i

(H + Ha)Si − ηB

∑i∈B

Si (2.18)

Vamos escrever a energia livre em relação à Hamiltoniana tentativa para cada uma

das sub-redes

〈Ft〉av = 〈FtA〉av + 〈FtB〉av (2.19)

A função de partição canônica (Zustandsumme), isto é, a soma do fator de Boltzmann

sobre todos os estados, é dada por

Z = Tr e−βHt (2.20)

onde β ≡ 1KBT

, sendo KB a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta e Tr é o

traço realizado sobre Ht e que pode ser escrita para as redes A e B como

ZA = Tr e−βHtA ; ZB = Tr e−βHtB (2.21)

substituindo o valor de Ht para Si = ±1,

Z ′A = eβ(H+Ha+ηA) + e−β(H+Ha+ηA) (2.22)

Z ′B = eβ(H+Ha+ηB) + e−β(H+Ha+ηB) (2.23)

38

Onde Z ′ é a função de partição para os estados de apenas um spin (+1 ou −1). Usando

a definição:

ex + e−x

2≡ coshx (2.24)

teremos

Z ′A = 2coshβ(H + Ha + ηA) ; Z ′

B = 2coshβ(H + Ha + ηB) (2.25)

onde Z ′A é a função de partição para um spin da sub-rede A, Z ′

B é a função de partição

para um spin da sub-rede B e cada spin possui apenas dois estados possíveis (S = +1 e

S = −1).

Somos levados, portanto, a fazer

ZA = (Z ′A)

N2 ; ZB = (Z ′

B)N2 (2.26)

onde N representa todos os spins da rede (sub-rede A + sub-rede B). Pela conexão com

a termodinâmica, temos que a energia livre para cada sub-rede é:

FtA = −KBT ln ZA ; FtB = −KBT ln ZB (2.27)

Substituindo ZA e ZB como na Equação (2.26).

FtA = −KBTN

2ln 2coshβ(H + Ha + ηA) (2.28)

FtB = −KBTN

2ln 2coshβ(H + Ha + ηB) (2.29)

obtemos então a solução para a Equação (2.15)

〈Ft〉 = −N

2β〈ln 2coshβ(H + Ha + ηA)〉 − N

2β〈ln 2coshβ(H + Ha + ηB)〉 (2.30)

Para calcular 〈〈H −Ht〉t〉av, vamos escrever

〈〈H −Ht〉t〉av = J∑nn

〈SiSj〉 − J ′∑nnn

〈SiSj〉 −∑

i

(H + Ha)〈Si〉

+∑

i

(H + Ha)〈Si〉+ ηA

∑i∈A

〈Si〉+ ηB

∑i∈B

〈Si〉 (2.31)

39

Observe que os termos terceiro e quarto do lado direito se cancelam, ficando

〈〈H −Ht〉t〉av = J∑nn

〈SiSj〉 − J ′∑nnn

〈SiSj〉

+ ηA

∑i∈A

〈Si〉+ ηB

∑i∈B

〈Si〉 (2.32)

Usando a aproximação de Bragg-Williams, Equação (1.63):

〈SiSj〉 ≈ 〈Si〉〈Sj〉 = m2, (2.33)

e realizando as respectivas somas que aparecem na equação anterior, obtém-se

〈〈H −Ht〉t〉av = JNz

2〈SA〉〈SB〉 − J ′

Nz′

4[〈SA〉〈SA〉+ 〈SB〉〈SB〉]

+ ηAN

2〈SA〉+ ηB

N

2〈SB〉 (2.34)

onde N é o número total de spins, z é o número de primeiros vizinhos, z′ é o número

de segundos vizinhos, SA é um spin da sub-rede A e SB é um spin da sub-rede B. O

termo Nz2

indica o número de pares primeiros vizinhos e Nz′4

o número de pares de spins

segundos vizinhos.

Definindo 〈SA〉 ≡ mA e 〈SB〉 ≡ mB, podemos escrever a Equação (2.34) em função

da magnetização:

〈〈H −Ht〉t〉av =NJz

2mAmB − NJ ′z′

4(m2

A + m2B) +

N

2ηAmA +

N

2ηBmB (2.35)

Substituindo as Equações (2.30) e (2.35) na Equação (2.15), temos:

〈F 〉av ≤ −N

2β〈ln2coshβ(H + Ha + ηA)〉av

− N

2β〈ln2coshβ(H + Ha + ηB)〉av +

JNz

2mAmB

− J ′Nz′

4(m2

A + m2B) +

N

2ηAmA +

N

2ηBmB (2.36)

As magnetizações de cada sub-rede são determinadas por:

mA =1

β

∂lnZ ′A

∂ηA

(2.37)

mB =1

β

∂lnZ ′B

∂ηB

(2.38)

40

mA =1

β

∂

∂ηA

ln[2coshβ(H + Ha + ηA)] (2.39)

mB =1

β

∂

∂ηB

ln[2coshβ(H + Ha + ηB)] (2.40)

e derivando em função dos parâmetros η,

mA =1

β

2senhβ(H + Ha + ηA)

2coshβ(H + Ha + ηA)β (2.41)

mB =1

β

2senhβ(H + Ha + ηB)

2coshβ(H + Ha + ηB)β (2.42)

obtemos

mA = 〈tanhβ(H + Ha + ηA)〉av (2.43)

mB = 〈tanhβ(H + Ha + ηB)〉av (2.44)

Os parâmetros variacionais ηA e ηB são determinados pela condição estacionária da

energia livre

∂〈F 〉av

∂ηA

= 0 (2.45)

Isto é,

∂〈F 〉av

∂ηA

≤ − ∂

∂ηA

[N

2β〈ln2coshβ(H + Ha + ηA)〉av

]

− ∂

∂ηA

[N

2β〈ln2coshβ(H + Ha + ηB)〉av

]

+∂

∂ηA

[JNz

2mAmB − J ′Nz′

4(m2

A + m2B)

]

+∂

∂ηA

[N

2ηAmA +

N

2ηBmB

]= 0 (2.46)

0 = − N

2β

2senhβ(H + Ha + ηA)β

2coshβ(H + Ha + ηA)+

JNz

2mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)

− NJ ′z′

42tanhβ(H + Ha + ηA)β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]

+N

2mA +

N

2ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] (2.47)

41

simplificando:

0 = − N

2[tanhβ(H + Ha + ηA)] +

JNz

2mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]

− J ′Nz′

2[tanhβ(H + Ha + ηA)]β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]

+N

2ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] +

N

2[tanhβ(H + Ha + ηA)]

(2.48)

podemos agora eliminar os termos que se anulam

0 =JNz

2mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]

− J ′Nz′

2[tanhβ(H + Ha + ηA)]β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]

+N

2ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] (2.49)

multiplicamos ambos os lados da Equação (2.49) por 2Nβ[1−tanh2β(H+Ha+ηA)]

e obtemos:

0 = JzmB − J ′z′[tanhβ(H + Ha + ηA)] + ηA (2.50)

ou

ηA = −JzmB + J ′z′mA (2.51)

e de forma análoga,

ηB = −JzmA + J ′z′mB (2.52)

Inserindo estes valores nas Equações (2.39) e (2.40) obtemos

mA = 〈tanhβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉av (2.53)

mB = 〈tanhβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉av (2.54)

Com isso podemos escrever a energia livre por spin do campo médio para um ponto

estacionário:

f = − 1

2β〈ln2coshβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉

− 1

2β〈ln2coshβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉

− Jz

2mAmB +

J ′z′

4(m2

A + m2B) (2.55)

42

2.4 Expansão de Landau

Nesta seção vamos desenvolver a Expansão de Landau para estudar a transição de

fase do sistema.

Na década de trinta, do século XX, Landau construiu uma teoria geral para transição

de fases. Sua teoria está baseada na hipótese de que podemos expandir, nas vizinhanças

do ponto crítico, a energia livre em potências do parâmetro de ordem. Para isso, é

necessário assumir que a energia livre é uma função analítica do parâmetro de ordem [3,

29]. Entretanto, a expansão do potenciais termodinâmicos nem sempre converge [3].

Como contorno desse problema, Landau supôs que os termos de divergência estão nos

termos de ordens maiores da expansão.

Para realizar os cálculos da expansão, é conveniente introduzir as quantidades reduzi-

das:

t =1

β(Jz + J ′z′); h =

H

Jz + J ′z′; ha =

Ha

Jz + J ′z′

e os parâmetros

ε =J ′z′

Jz≥ 0 ; γ =

−Jz + J ′z′

Jz + J ′z′=

ε− 1

ε + 1

Em termos da magnetização uniforme (M) e magnetização de saturação (mS)

M =mA + mB

2(2.56)

ms =mA −mB

2(2.57)

ou seja,

2M = 〈tanhβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉av

+ 〈tanhβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉av (2.58)

2M =

⟨tanhβ(Jz + J ′z′)

[H

Jz + J ′z′+

Ha

Jz + J ′z′− JzmB

Jz + J ′z′+

J ′z′mA

Jz + J ′z′

]⟩

av

+

⟨tanhβ(Jz + J ′z′)

[H

Jz + J ′z′+

Ha

Jz + J ′z′− JzmA

Jz + J ′z′+

J ′z′mB

Jz + J ′z′

]⟩

av

(2.59)

43

substituindo os valores reduzidos:

2M =

⟨tanh

1

t

[h + ha +

1

Jz + J ′z′(−JzmA + J ′z′mB)

]⟩

av

+

⟨tanh

1

t

[h + ha +

1

Jz + J ′z′(−JzmB + J ′z′mA)

]⟩

av

(2.60)

onde, a seguir, vamos demonstrar que

1

Jz + J ′z′(−JzmA + J ′z′mB) = γM + ms (2.61)

Para começar, definimos:

α =1

Jz + J ′z′(2.62)

então, partindo de

α(−JzmA + J ′z′mB) = γM + ms (2.63)

vamos tentar encontrar os valores ms = mA−mB

2e M = mA+mB

2,

α[−Jz(mA −mB) + J ′z′(mA + mB)− J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.64)

assim

α[−2msJz + 2MJ ′z′ − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms. (2.65)

A partir dai vamos tentar obter γ = α(−Jz + J ′z′),

α[MJ ′z′ −msJz + MJ ′z′ −msJz − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.66)

α[−msJz + msJ′z′ −MJz + MJ ′z′ + MJz + MJ ′z′

− msJz −msJ′z′ − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.67)

α[ms(−Jz + J ′z′) + M(−Jz + J ′z′) + M(Jz + J ′z′)

− ms(Jz + J ′z′)− J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.68)

substituindo α, obtemos:

γms + γM + M −ms − αJ ′z′mA − αJzmB = γM + ms (2.69)

44

e, escrevendo apenas os últimos termos que contém os valores ms e M em função de mA

e mB,

(γM −ms) + γms −M − αJ ′z′mA − αJzmB = γM + ms (2.70)

(γM −ms) + γmA −mB

2+

mA + mB

2− αJ ′z′mA − αJzmB

= γM + ms (2.71)

(γM −ms) +γmB + mB − 2αJzmB

2+

γmA + mA − 2αJ ′z′mA

2

= γM + ms (2.72)

(γM −ms) +mB

2

[Jz − J ′z′

Jz + J ′z′+ 1− 2Jz

Jz + J ′z′

]

+mA

2

[−Jz + J ′z′

Jz + J ′z′+ 1− 2Jz

Jz + J ′z′

]= γM + ms (2.73)

(γM −ms) +mB

2

[Jz − J ′z′ + Jz + J ′z′ − 2Jz

Jz + J ′z′

]

+mA

2

[−Jz + J ′z′ + Jz + J ′z′ − 2J ′z′

Jz + J ′z′

]= γM + ms (2.74)

como os dois últimos termos da Equação (2.74) se anulam e o mesmo processo pode ser

usado para demonstrar que

1

Jz + J ′z′(−JzmB + J ′z′mA) = γM −ms, (2.75)

concluímos que as equações de campo médio podem ser escritas de forma reduzida:

M =1

2

[⟨tanh

1

t(h + ha + γM + ms)

⟩+

⟨tanh

1

t(h + ha + γM −ms)

⟩]

(2.76)

e

ms =1

2

[⟨tanh

1

t(h + ha + γM + ms)

⟩−

⟨tanh

1

t(h + ha + γM −ms)

⟩]

(2.77)

45

Assim a energia por spin da Equação (2.55) pode ser escrita na forma

f

Jz + J ′z′= − t

2

⟨ln2cosh

1

t(h + ha + γM + ms)

⟩

av

− t

2

⟨ln2cosh

1

t(h + ha + γM −ms)

⟩

av

+γ

2M2 +

1

2m2

s (2.78)

Vamos agora escrever a magnetização uniforme como M = M0 +m, onde M0 é a solução

paramagnética, dada pela equação

M0 =

⟨tanh

1

t(h + ha + γM0)

⟩

av

(2.79)

Expandindo o lado direito das Equações (2.76) e (2.77) em potências de

(γm±ms), temos:

m+ =1

2t(1− tanh2Υ)(γm + ms)

− 1

2t2tanhΥ(1− tanh2Υ)(γm + ms)

2

+1

6t3

[tanh2Υ− 1

]2+ 2tanh2Υ

[1− tanh2Υ

](γm + ms)

3

+1

24t4[8(1− tanh2Υ)2tanhΥ− 4tanh3Υ(1− tanh2Υ)

](γm + ms)

4

+1

120t5[−44(1− tanh2Υ)2tanh2Υ

](γm + ms)

5

+1

120t5[8(1− tanh2Υ)3 + 8tanh4Υ(1− tanh2Υ)

](γm + ms)

5 (2.80)

onde Υ = 1t(h + h1 + γMo). Realizamos somente a expansão em (γm + ms) pois por

simetria obtemos a expressão para (γm−ms).

A Equação (2.80) pode ser simplificada para

m+ = − 1

2t(tanh2Υ− 1)(γm + ms)

+1

2t2(tanh3Υ− tanhΥ)(γm + ms)

2

− 1

6t3(3tanh4Υ− 4tanh2Υ + 1)(γm + ms)

3

+1

6t4(3tanh5Υ− 5tanh3Υ + 2tanhΥ)(γm + ms)

4

− 1

30t5(15tanh6Υ− 30tanh4Υ + 17tanh2Υ− 2)(γm + ms)

5

(2.81)

46

e reduzida para

m =1

2

∞∑n=1

An [(γm + ms)n + (γm−ms)

n] (2.82)

e, trocando devidamente os sinais, podemos escrever facilmente a segunda expansão,

ms =1

2

∞∑n=1

An [(γm + ms)n − (γm−ms)

n] (2.83)

onde o coeficiente An é dado por

A1 = −1

t(T2 − 1) (2.84)

A2 =1

t2(T3 − T1) (2.85)

A3 = − 1

3t3(3T4 − 4T2 + 1) (2.86)

A4 =1

3t4(3T5 − 5T3 + 2T1) (2.87)

A5 = − 1

15t5(15T6 − 30T4 + 17T2 − 2) (2.88)

com

Tk =

⟨tanhk 1

t(h + ha + γM0)

⟩

av

(2.89)

Determinaremos agora m em termos de ms na forma

m = B1m2s + B2m

4s + B3m

6s + . . . (2.90)

Para isso, vamos escrever primeiramente, de forma expandida, os 5 primeiros termos da

Equação (2.82):

m = A1γm + A2γ2m2 + A2ms

2 + A3γ3m3 + 3 A3γmms

2 + A4γ4m4 (2.91)

+ 6 A4γ2m2ms

2 + A4ms4 + A5γ

5m5 + 10 A5γ3m3ms

2 + 5 A5γmms4 + . . .

47

Agora vamos inserir na Equação (2.91) m = B1m2s + B2m

4s + B3m

6s + . . ., e teremos:

B1m2s + B2m

4s + B3m

6s + . . . = (A1γB1 + A2)ms

2

+(A1γB2 + A4 + 3 A3γB1 + A2γ

2B12)ms

4 (2.92)

+(A1γB3 + A3γ

3B13 + 2 A2γ

2B1B2 + 5 A5γB1 + 3 A3γB2 + 6 A4γ2B1

2)ms

6 + . . .

Aqui é necessário observar que foi usado somente os termos de ordens menores (pares)

para ms, isto é, termos de segunda, quarta e sexta ordens. Agora, igualando os coefi-

cientes de mesma ordem em ms, encontramos os coeficientes Bn em termos de An.

B1 =A2

1− γA1

(2.93)

B2 =γ2A2

3

(1− γA1)3 + 3

γA2A3

(1− γA1)2 +

A4

1− γA1

(2.94)

B3 = 2γ4A2

5

(1− γA1)5 + 10

γ3A3A23

(1− γA1)4 + 9

γ2A32A2

(1− γA1)3 + 8

γ2A4A22

(1− γA1)3

+ 5γA5A2

(1− γA1)2 + 3

γA3A4

(1− γA1)2 (2.95)

Agora vamos substituir m = B1m2s + B2m

4s + B3m

6s + . . ., na Equação (2.83) e, em

seguida, substituir B1, B2 e B3 encontrados anteriormente (Equação (2.93), (2.94) e

(2.95)). Para isso, começamos escrevendo a Equação (2.83) de forma expandida:

ms = A1ms + 2 A2γmms + 3 A3γ2m2ms + A3ms

3 + 4 A4γ3m3ms + 4 A4γmms

3

+ 5 A5γ4m4ms + 10 A5γ

2m2ms3 + A5ms

5 (2.96)

substituindo m e expandindo, temos:

ms =(3 A3γ

2B12 + 2 A2γB2 + A5 + 4 A4γB1

)ms

5 + (2 A2γB1 + A3)ms3 + A1ms .

(2.97)

Novamente é necessário observar que foi usado somente os termos de ordens menores

(ímpares) para ms, isto é, termos de primeira, terceira e quinta ordens.

48

Substituindo os valor de B1, B2 e B3 (Equação (2.93), (2.94) e (2.95)):

ms = A1ms +

(A3 +

2A22γ

1− γA1

)ms

3

+

(2A2

4γ3

(1− γA1)3 +

9A3γ2A2

2

(1− γA1)2 +

6A4γA2

1− γA1

+ A5

)ms

5 (2.98)

e, partindo disto, vamos tentar obter uma expressão do tipo:

ams + bm3s + cm5

s + . . . = 0 (2.99)

ou seja,

(1− A1)ms +

(2γA2

2

γA1 − 1− A3

)ms

3

+

(2γ3A2

4

(γA1 − 1)3 −9γ2A3A2

2

(γA1 − 1)2 +6γA2A4

γA1 − 1− A5

)ms

5 + . . . = 0 (2.100)

onde

a = 1− A1 (2.101)

b =2γA2

2

γA1 − 1− A3 (2.102)

c =2γ3A4

2

(γA1 − 1)3− 9γ2A2

2A3

(γA1 − 1)2+

6γA2A4

γA1 − 1− A5 (2.103)

49

Capítulo 3

Resultados e Discussões

Neste Capítulo, vamos estudar o diagrama de fase para o caso de uma distribuição

trimodal para os campos magnéticos aleatórios, dada por:

P (hi) = pδ(hi) +1

2(1− p) [δ(hi − h) + δ(hi + h)] (3.1)

onde P (hi) distribui os campos aleatórios com as seguintes probabilidades:

i - p para o campo aleatório assumir o valor zero;

ii - 1−p2

para o campo aleatório apontar na direção de h;

iii - 1−p2

para o campo aleatório apontar na direção de −h.

Esta distribuição divide os spins do sistema em três grupos, onde dois desses grupos

simulam uma quantidade de spins proporcional a 1−p2

sob ação dos campos h e −h, e

uma quantidade p fora da ação desses campos.

Dentro deste formalismo (expansão de Landau), a transição de fase de segunda ordem

(ou transição contínua) é obtida fazendo a = 0 ou A1 = 1 na equação (2.101), com b > 0,

equação (2.102). A linha de segunda ordem se estende até um certo valor dos parâmetros

(TC , H). Este ponto é o chamado “ponto tricrítico” e é determinado por a = b = 0

(Equações 2.101 e 2.102), com c > 0 na Equação (2.103). O ponto tricrítico indica o fim

da linha de segunda ordem e o início da transição de fase de primeira ordem.

Para obter o efeito do campo aleatório no diagrama de fase é necessário calcular a

média sobre essa desordem, para o caso da linha de segunda ordem basta obter a média

Tk =

⟨tanhk 1

t(h + hi + γM0)

⟩

av

, (3.2)

50

Portanto,

Tk =

∫P (hi)[tanhk 1

t(h + hi + γM0)]dhi, (3.3)

Substituindo P (hi) em Tk, obtemos:

Tk =

∫pδ(hi)[tanhk 1

t(h + hi + γM0)]dhi

+

∫1

2(1− p)δ(hi − h)[tanhk 1

t(h + hi + γM0)]dhi

+

∫1

2(1− p)δ(hi + h)[tanhk 1

t(h + hi + γM0)]dhi, (3.4)

Resolvendo essas integrais obtemos a seguinte expressão para Tk:

Tk = ptanhk 1

t(h + γM0)

+1

2(1− p)[tanhk 1

t(h− hi + γM0)]

+1

2(1− p)[tanhk 1

t(h + hi + γM0)], (3.5)

As equações de “a” (2.101), “b” (2.102) e “c” (2.103) são funções dos parâmetros

(t, h, h1, p). Introduzindo a nova expressão de Tk dentro das equações de a, b e c, os

efeitos da desordem, introduzidas pelo campo aleatório, ficam incorporados ao sistema

metamagnético. Assim, a solução numéricas dessas equações, com ε = 1, mostra as linhas

de segunda ordem e pontos tricríticos para os diferentes valores dos parâmetros p e ha.

Portanto, nas próximas seções discutiremos vários diagramas de fase correspondendo a

diferentes valores do parâmetro p.

Caso p = 0

Neste caso, a distribuição é bimodal. Esta distribuição faz os spins, localizados em

todos os pontos da rede, experimentarem a ação do campo aleatório apontando na direção

e magnitude ±h, com a mesma probabilidade (igual a 1/2).

As nossas equações, no limite p = 0, obtém os resultados de Salinas e colaboradores [2],

onde eles estudaram o completo diagrama de fase, incluindo linhas de primeira e de

segunda ordem, o qual é exibido na Figura (3.1). Vamos recordar vários aspectos deste

51

Figura 3.1: Diagrama de fases no plano h − t para uma distribuição de probabilidade

bimodal com (a) ha = 0; (b) ha = 0, 3; (c) ha = 0, 4; (d) ha = 0, 45; (e) ha = 0, 49 e

(f) ha = 0, 65. As linhas simples representam transições contínuas ou de segunda ordem.

As linhas pontilhadas representam transições de primeira ordem. Os círculos cheios são

pontos tricríticos. Os círculos vazios são pontos críticos.

diagrama, que correspondem a diferentes valores do campo magnético aleatório.

i) ha = 0

Quando a magnitude do campo aleatório é zero, o sistema (metamagneto) está so-

mente sob a ação de um campo magnético uniforme h. No caso puro h = 0, o meta-

magneto de Ising corresponde a um antiferromagneto. A solução numérica das nos-

sas equações fornece o ponto de Néel, cujo valor da temperatura crítica ou de Néel é

TN = 6, 0. Nesta temperatura (TN = 6, 0) o sistema sofre uma transição de fase de

segunda ordem, da fase metamagnética (antiferromagnética) para a fase paramagnética.

52

Fazendo o campo magnético uniforme assumir valores diferentes de zero (na região de

altas temperaturas e campo magnéticos baixos), o ponto de Néel se transforma em uma

linha de Néel, a qual é uma linha de segunda ordem. Esta linha termina em um ponto

tricrítico (t = 2/3), onde começa transição de fase de primeira ordem (região de altos

campos). Este comportamento é exibido na linha “a” da Figura (3.1).

ii) 0 ≤ ha ≤ 0, 4

Neste intervalo 0 ≤ ha ≤ 0, 4, a transição entre a fase metamagnética (ms 6= 0) e

a fase paramagnética (ms = 0) é de segunda ordem na região de altas temperaturas e

campo magnético uniforme baixo, como mostram as linhas “a”, “b”, e “c” da Figura (3.1).

As linhas de segunda ordem terminam em pontos tricríticos, onde iniciam as linhas de

primeira ordem (região de altos campos magnéticos).

iii) ha > 0, 4

O aumento da desordem produzida pelo campo magnético aleatório (ha > 0, 4) faz

aparecer uma transição de fase de primeira ordem na região de altas temperaturas e

baixo campo magnético. Esta transição é destruída com o aumento do campo magnético

uniforme, assim esta linha de primeira ordem termina em um ponto tricrítico e começa

a de segunda ordem que também termina em um outro ponto tricrítico e novamente

a linha de primeira ordem domina na região de baixas temperaturas e altos campos

magnéticos. Nesta região (ha > 0, 4) para cada valor de ha as linhas de transições

de fase apresentam dois pontos tricríticos. As diferentes competições dos parâmetros

que introduzem desordem (J , J ′ e h , ha) fazem aparecer no diagrama de fase um

novo fenômeno, chamado de reentrância. Estes comportamentos são exibidos nas linhas

d , e , f .

iv) Região de baixas temperaturas

Nesta região, de baixas temperaturas, a transição de fase é somente de primeira ordem

para qualquer valor dos campos magnéticos uniforme e aleatório. Este comportamento

também é mostrado na Figura (3.1).

53

Para o caso particular da distribuição binomial e ε = 1 (que implica γ = 0) como

estamos considerando, o diagrama de fase no plano ha − t é exatamente o mesmo do

plano h− t. Isso advém da invariância das equações (2.77) e (2.78), para a magnetização

de saturação e da energia livre, respectivamente, sob a permuta entre h e ha. Assim, a

Figura (3.1) também representa o diagrama de fase no plano ha − t se permutarmos h e

ha.

Caso Puro: p = 1

As nossas equações mostram que “a”, “b” e “c” são funções somente dos parâmetros t e h

(campo magnético uniforme). Isto significa que todos os spins do sistema metamagnético

não estão sujeitos a ação do campo magnético aleatório. Portanto, temos o caso puro,

onde a transição de fase é de segunda ordem na região de altas temperaturas e de primeira

ordem na região de baixa temperaturas, como mostra a Figura (3.2).

0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

p = 1,0

ponto tricrítico

h

t

Figura 3.2: Diagrama de fases no plano h − t para uma distribuição de probabilidade

trimodal onde p = 1, 0 equivale ao caso puro, com ha = 0.

54

Caso 0, 6 ≤ p < 1, 0

Neste intervalo de valores de p, uma maior proporção de spins está fora da ação do

campo magnético aleatório. Assim, o diagrama de fase tem um comportamento seme-

lhante ao caso puro. Valores grandes de ha = 1, 0 têm seu efeito reduzido devido atuar

somente em uma pequena quantidade de spins.

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1,0

0,8

0,6 0,5

0,3

0,2

h a = 0,0

p = 0,8

h

t

Figura 3.3: Diagrama de fases no plano h − t para uma distribuição de probabilidade

trimodal com p = 0, 8. As linhas representam transições contínuas ou de segunda ordem.

Os círculos são pontos tricríticos.

A transição da fase metamagnética para a fase paramagnética é de segunda ordem

em região de altas temperaturas e baixo campo magnético uniforme. Por outro lado, a

transição é de primeira ordem em região de baixas temperaturas, assim neste intervalo

de valores de p, o sistema apresenta comportamento tricrítico, como é mostrado na

Figura (3.3).

55

Caso 0 ≤ p < 0, 6

Nesta faixa de valores de p, a influência do campo magnético aleatório é grande, desta

forma a função de distribuição que governa o campo desordenador é muito importante,

e a assim a distribuição trimodal faz a diferença. Se por um lado, a distribuição bimodal

coloca todos os spins da rede sob ação do campo aleatório com magnitude ±h e leva

ao diagrama discutido na Figura (3.1), por outro lado, a distribuição trimodal deixa de

fora da ação do campo aleatório uma quantidade de spins proporcional a p, e leva a um

diagrama de fase diferente, o qual discutiremos a seguir.

i) 0 ≤ ha < 0, 5

A Figura (3.4) mostra um diagrama de fase que apresenta linhas de segunda ordem na

região de altas temperaturas e baixo campo uniforme. O crescimento do campo uniforme

destrói a transição de fase de segunda ordem, isto é, estas linhas findam em pontos

tricríticos, onde deve começar a transição de primeira ordem.

ii) 0, 5 ≤ ha ≤ 1, 0

Nesta faixa de valores de ha aparece de forma clara a diferença entre em seu diagrama

de fase e o diagrama de fase da distribuição bimodal. Aqui, no caso trimodal, ao contrário

da distribuição bimodal, os campos aleatórios não permitem o aparecimento da transição

de fase de primeira ordem na região de altas temperaturas e baixos campos uniformes.

Com uso da distribuição trimodal predomina em altas temperaturas somente a transição

de fase de segunda ordem, como mostrado na Figura (3.4).

Um outro aspectos interessante é o aparecimento de linhas com três pontos tricríticos,

além de aparecer transição de fase de segunda ordem em região de baixa temperatura e

baixo campo uniforme, como se vê nas linhas ha = 0, 8 e ha = 1, 0.

56

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,0

0,8

1,0 0,8

0,6

0,6 0,5 0,3

0,2

h a = 0,0

p = 0,5

h

t

Figura 3.4: Diagrama de fases no plano h−t, com diversos valores para o campo aleatório

ha para uma distribuição de probabilidade trimodal com p = 0, 5. As linhas representam

transições contínuas ou de segunda ordem. Os círculos são pontos tricríticos.

57

Capítulo 4

Conclusões

4.1 Introdução

Nesta dissertação, estudamos o diagrama de fase de um Metamagneto de Ising em

um campo magnético uniforme e aleatório, através da aproximação de campo médio via

princípio variacional de Bogoliubov.

O metamagneto considerado foi pensando como constituído por N spins (de Ising)

ocupando os sítios de uma rede cúbica simples, onde os spins primeiros vizinhos estão

conectados pela interação antiferromagnética e os spins segundos vizinhos pela interação

ferromagnética. Portanto, cada spin está sujeito a duas diferentes interações. Desta forma

há uma competição que tende a orientar os spins antiferromagneticamente ou outra de

alinhar ferromagneticamente.

Neste contexto, somente com as interações de troca (ferro e antiferro) sendo consid-

eradas, existe uma temperatura de transição de fase conhecida como a temperatura de

Néel (TN = 6, 0). A aplicação de um campo magnético uniforme produz uma linha de

transição de fase de segunda ordem que termina em um ponto tricrítico. Assim o sistema

exibe comportamento tricrítico.

A introdução de um campo magnético aleatório submete os spins a mais uma fonte

de competição. O campo magnético aleatório favorece a desordem. Portanto, em uma

certa temperatura finita a maioria dos spins nos sítios da sub-rede A estão alinhados

paralelamente com o campo magnético uniforme e os da sub-rede B estão alinhados

58

antiparalelamente, (há uma competição com o campo uniforme). Tomando um spin na

sub-rede A, uma vez que os seus vizinhos mais próximos têm o alinhamento influenciado

pelo campo magnético aleatório, esse spin inverte mais facilmente o seu alinhamento de

antiparalelo para o alinhamento paralelo. Este fato dá origem a um novo fenômeno,

chamado de fenômeno de reentrância.

4.2 Principais Resultados

Nesta seção serão expostos, resumidamente, todos os principais resultados obtidos

nesta dissertação. Inicialmente, considerando o sistema metamagneto em uma rede

cúbica simples, o qual é representado pela Hamiltoniana de Ising

H = J∑nn

SiSj − J ′∑nnn

SiSj −∑

i

(H + Hi)Si. (4.1)

As interações J e J ′ acoplam os spins primeiros vizinhos antiferromagneticamente e os

segundos vizinhos ferromagneticamente. Há uma competição entre J e J ′. Um campo

magnético uniforme, na direção que favorece o alinhamento de uma das sub-redes, e outro

aleatório são introduzidos, aumentando drasticamente a competição. O campo magnético

aleatório é governado pela distribuição trimodal,

P (hi) = pδ(hi) +1

2(1− p) [δ(hi − h) + δ(hi + h)] (4.2)

As equações de estados são obtidas através da utilização da aproximação de campo médio

via princípio variacional de Bogoliubov. Desta forma, obtemos as magnetizações total e

de saturação

M =1

2

[⟨tanh

1

t(h + hi + γM + ms)

⟩+

⟨tanh

1

t(h + hi + γM −ms)

⟩]

(4.3)

ms =1

2

[⟨tanh

1

t(h + hi + γM + ms)

⟩−

⟨tanh

1

t(h + hi + γM −ms)

⟩]

(4.4)

A magnetização saturada é o parâmetro de ordem para este sistema, na fase meta-

magnética ms 6= 0 e na fase paramagnética ms = 0.

59

A expansão (de Landau) em série de M e ms em potências de (γm±ms) nos fornece

os seguintes coeficientes, os quais são funções de (t, h, ha, p) :

a = 1− A1 (4.5)

b =2γA2

2

γA1 − 1− A3 (4.6)

c =2γ3A4

2

(γA1 − 1)3− 9γ2A2

2A3

(γA1 − 1)2+

6γA2A4

γA1 − 1− A5 (4.7)

Para obter o efeito do campo aleatório no diagrama de fase, calculamos a média de

Tk sobre essa desordem, resultando em

Tk = p

[tanhk 1

t(h + γM0)

]+

(1− p)

2

[tanhk 1

t(h− hi + γM0)

]

+(1− p)

2

[tanhk 1

t(h + hi + γM0)

], (4.8)

Da solução numérica simultânea das equações a, b e de c, com Tk incorporados, para

o caso ε = 1, obtemos:

i) As linhas de segunda ordem

a = 0 , b > 0.

ii) Os pontos tricríticos

a = 0 , b = 0 , c > 0.

Os principais resultados são:

I) Para o caso p = 0, as nossas equações fornecem os resultados de Salinas e colabora-

dores [2], onde eles estudaram o completo diagrama de fases, incluindo linhas de primeira

e de segunda ordem, o qual é exibido na Figura (3.1). Particularmente em ha = h = 0,

obtemos a temperatura de Néel Tn = 6.0. Mantendo ha = 0 e variando h, obtem-se uma

linha de temperatura de Néel. Fazendo o campo magnético uniforme assumir valores

diferentes de zero (na região de altas temperaturas e campo magnéticos baixos), o ponto

60

de Néel se transforma em uma linha de Néel, a qual é uma linha de segunda ordem.

Esta linha termina em um ponto tricrítico (t = 2/3), onde começa a transição de fase de

primeira ordem (região de altos campos). Este comportamento é exibido na linha “a” da

Figura (3.1).

II) No intervalo 0 ≤ ha ≤ 0, 4, a transição entre a fase metamagnética (ms 6= 0)

e a fase paramagnética (ms = 0) é de segunda ordem na região de altas temperaturas

e campo magnético uniforme baixo, como mostram as linhas “a”, “b”, e “c” da Figura

(3.1). As linhas de segunda ordem terminam em pontos tricríticos, onde inicia as linhas

de primeira (região de altos campos magnéticos).

III) Para o campo magnético aleatório (ha > 0, 4) aparece uma transição de fase de

primeira ordem na região de altas temperaturas e baixo campo magnético. Esta transição

é destruída com o aumento do campo magnético uniforme, assim esta linha de primeira

ordem termina em um ponto tricrítico e começa a de segunda ordem que também termina

em um outro ponto tricrítico e novamente a linha de primeira ordem domina na região de

baixas temperaturas e altos campos magnéticos. Aqui cada linha apresenta dois pontos

tricíticos e o fenômeno de reentrância, como podemos ver nas linhas d, e e f .

IV) Nas regiões de baixas temperaturas é dominada pela transição de fase de primeira

ordem. O campo aleatório com distribuição bimodal não é suficiente para destruir essa

transição de fase.

V) No caso particular p = 1, obtemos o caso puro, isto é, o metamagneto de Ising,

o qual apresenta linha de segunda ordem na região de altas temperaturas e linha de

primeira ordem em região de baixas temperaturas, as quais são separadas por um ponto

tricrítico, como pode ser notado na Figura (3.2).

VI) No caso (0, 6 ≤ p < 1), a transição da fase metamagnética para a fase para-

magnética é de segunda ordem em região de altas temperaturas e baixo campo magnético

uniforme. Por outro lado, a transição é de primeira ordem em região de baixas tempera-

turas, assim neste intervalo de valores de p, o sistema apresenta comportamento tricrítico,

como é mostrado na Figura (3.3).

61

VII) No caso 0 ≤ p < 0, 6, a Figura (3.4) mostra um diagrama de fase que apre-

senta linhas de segunda ordem na região de altas temperaturas e baixo campo uniforme.

O crescimento do campo uniforme destrói a transição de fase de segunda ordem, isto

é, estas linhas findam em pontos tricríticos, onde deve começar a transição de primeira

ordem, isto para 0 ≤ ha < 0, 5.

VIII) Por outro lado, para 0, 5 ≤ ha ≤ 1.0, aqui os campos aleatórios não permite

o aparecimento da transição de fase de primeira ordem na região de altas temperaturas e

baixos campos uniforme. A predominância em altas temperaturas é da transição de fase

de segunda ordem, como mostrado na Figura (3.4).

IX) Finalmente, um outro aspecto interessante é o aparecimento de linhas com três

pontos tricríticos, além de aparecer transição de fase de segunda ordem em região de

baixa temperatura e baixo campo uniforme, como vemos nas linhas ha = 0, 8 e ha = 1, 0.

4.3 Perspectivas Futuras

Este trabalho pode ser estendido nas seguintes direções.

I - Estudar as linhas de primeira ordem para todos os caso discutidos nesta disser-

tação;

II - Nós nos limitamos a estudar o diagrama de fases para ε = 1. Uma primeira

extensão é obter os diagramas de fases para diversos valores de ε, incluindo o item I,

observando como o comportamento tricrítico e a reentrância dependem deste parâmetro;

III - Os estudos desta dissertação, incluindo os itens I e II, podem ser repetidos

usando outras abordagens, tais como aproximação de pares, grupo de renormalização,

etc;

IV - Estudo das propriedades termodinâmicas tais como energia interna, calor es-

pecífico e susceptibilidade magnética. Este estudo pode ser repetido nos casos I e II;

V - Finalmente, dentro do contexto de um metamagneto de Ising na presença de

campos magnéticos uniforme e aleatório é interessante estudar este problema em uma

aproximação mais rigorosa, tal como na simulação de Monte Carlo.

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