Metodo de Cross.desbloqueado

8/10/2019 Metodo de Cross.desbloqueado

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INTRODUCCION

El poder entender y manejar el conocimiento de losmodelos estructurales requiere contar con

herramientas que nos permitan evaluar las tensionesque se generan en los elementos componentes delsistema.

Estas herramientas de evalu acin se basan en modelosfsicos, que se establecen sobre esos elementos y quebuscan representar los fenmenos tensionales(comportamiento tensional, deformaciones) medianteprocedimientos y ecuaciones matemticas. Laimportancia de contar con estas herramientas, paranosotros como arquitectos o estudiantes dearquitectura, radica en

1. Los mtodos y ecuaciones matemticas con que semide un fenmeno, contienen en su formulacin.las variables que intervienen en ste la medida oproporcin en que parti cipan o influyen en elfenmeno. Por lo tanto, es la herramienta que nosotorga una comprensin de cmo funciona esefenmeno y nos dice cmo intervenir y modificarloen funcin de los requerimientos.

He aqu algunos ejemplos que ilustran este punto.

Un viga simplemente apoyada, con carga

uniformemente repartida qy luz l

Si observamos los valores dados de Momento Mximo yde Flecha Mxima, vemos que la luz influye en elcuadrado de su valor en las tensiones de la viga, y a lacuarta en la deformaci n de sta.

Es fcil concluir que a medida que la luz crece, ladeformacin de la viga aumenta en mayor proporcinque sus tensiones.

Por otra parte, tambin es posible afirmar, que en lamedida que la carga aumenta, el problema detensiones y el de deformaciones en la viga, seincrementa en la misma proporcin.

Si esa misma viga se empotra en sus apoyos (porejemplo conectndola en cada uno de estos con un parde pernos adecuadamente dimensionados) la frmulaque representa el valor de la flecha mxima, nosmuestra que la deformacin disminuir a la quintaparte, con respecto a la deformacin original. (fig. 2)


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Este tipo de conclusiones, que lo podemos obtener entodos los niveles de anlisis estructural, desde el diseode un conector, al anlisis y dimensionamiento de unelemento del sistema o al anlisis del modelo

estructural como un todo, nos ira proporcionando loscriterios que como arquitectos necesitamos paraenfrentar nuestros proyectos.

2. Por otra parte, el contar con estas herramientas -que en muchos casos son simplificaciones delfenmeno o aproximaciones a la realidad - nospermite hacer una evaluacin con miras a unpredimensionamiento o a establecer la factibilidadde nuestras proposiciones.

En el estudio de las estructuras hiperestticas,debemos recurrir al estudio de las deformaciones de los

elementos para poder llegar a conocer las tensionesque los solicitan. A partir de dichas deformaciones, sellegan a establecer sistemas de anlisis como es el casode los Teoremas de Clapeyron, o de los Tres y CuatroMomentos.

Este mtodo nos permite determinar el valor de losmomentos en los nudos o apoyos de elementoshiperestticos, como lo son las vigas empotradas, lasvigas continuas, las losas y los marcos rgidos. Paraesto, es necesario establecer en cada nudo, unaecuacin por cada momento desconocido.

El asunto es que al aplicar Clapeyron al modelo, seestablecen relaciones entre dichos momentos, lo quegenera ecuaciones con tres o cuatro incgnitas, segnsea la conformacin de los nudos.

Finalmente, los resultado se obtienen resolviendosistemas de ecuaciones, lo que resulta muy tediosocuando las incgnitas son varias.

En el ejemplo de la figura 3, slo hay una incgnita y elaplicar Clapeyron resulta eficiente ya que slodeberemos resolver una ecuacin.

En la viga empotrada de la figura 4, tambin las

incgnitas se reducen a una, por la simetra delmodelo.

La viga de dos tramos de la figura 5 se resolver con unsistema de dos ecuaciones, si es simtrica, y de tres sino lo es.

En cambio. el marco de dos pisos y 3 naves. de la figura6. a pesar de la simetra que reduce las incgnitas a la


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mitad. tiene una incgnita en los nudos 1 - 2 5, tresincgnitas en los nudos 3 - 6, y cuatro incgnitas en elnudo 4, con un total de trece incgnitas, que debernresolverse con un sistema de trece ecuaciones.

Este caso y muchos otros que enfrentaremos ennuestros diseos, que cuentan con gran cantidad deincgnitas, hace indispensable el contar con otraherramienta que facilite su resolucin.

Esta herramienta es el mtodo de Cross, que podr seraplicado tanto en vigas, como en losas o marcos, conuna o muchas incgnitas, pero evidentemente, cmo secomprobara a medida de que se plantee el mtodo y sedesarrollen ejemplos, Clapeyron seguir, siendo mspractico, en el caso de pocas incgnitas y Crossresultar irreemplazable, como herramienta "manual",

en caso contrario.


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ANTECEDENTES PREVIOS

1) COEFICIENTE DE TRASPASO

En una barra empotrada-rotulada, se aplica unmomento "M" en el extremo que puede girar. En elextremo contrario (el empotramiento) se genera un

momento de respuesta MR tal que el ngulo 1 endicho apoyo es igual a cero

1 0

La deformacin angular (rotacin), es originada por"M"., es anulada al llegar al empotramiento por M R,tal que:

1(M) 1( MR ) 0

ML

6EI

MRL 03EI

por lo tanto:

MMR

2

Conclusiones

1. Cada vez que en una barra rotulada- empotrada,

apliquemos un momento en el extremo rotulado,ste afectar al extremo empotrado en el que seproducir un momento de igual sentido que elmomento original y con la mitad de su magnitud.

2. Por otra parte, en el extremo rotulado, el valor delngulo ser:

ML2

3EIML

23EI

MRL

6EIML

12EI

siendo:M

MR2

tenemos:

por lo tanto: 2ML

4EI

Este valor lo usaremos en la siguiente demostracin


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k k k

k k

2) Rigidez y Coeficientes de Distribucin

Al aplicar un momento a un nudo rgido, este gira tal

que:

1 2 3 (1)

Por otra parte, cada una de las barras se hace cargo deuna parte del momento solici tante para equilibrarlo,siendo

M1 M 2 M 3 M . (2)

De acuerdo al valor de ngulo establecido en ladeduccin. anterior

M1L11

4EI

M 2L22

4EI

M 3L33

4EI

En esta relacin, la deformacin angular , esdirectamente proporcional al momento solicitante My a la capacidad de deformarse de la barra, oflexibilidad L/4EI

Llamaremos f a la flexibilidad de la barra y rigidez asu valor inverso: k = 1/f

Siendo 4 un valor constante, podemos simplificar esaexpresin, trabajando con un coeficiente de rigidez k =EI/L o, simplemente K = I/L, ya que lo usual es quetodas las barras del nudo sean de la mismamaterialidad y esta se expresa en el coeficiente deelasticidad E.

De esta forma, el valor de los ngulos o giros de lasbarras sern

M1 M2 M 31 2 3

1 2 3

(3)

y combinando (1) con (3)

M1 M2 M3

k1 k2 k3(4)

Expresaremos todos los momentos en funcin de M 1:

M1 k2M21

M1 k 3M31

y reemplazaremos en (2)


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M

2

3

MM1k1

M1 k2

k1

M1 k3

k1

desarrollando esta expresin

MM1 M1 k2

k1

M1 k3

MM1 k1 k2 k3

k1

por lo tanto

k11 * Mk1 k2 k3

Mk

2 * Mk1 k2 k3

Mk3 * M

k1 k2 k3

Conclusiones

1. Al aplicar un momento en un nudo rgido ste serequilibrado por todas las barras que concurren alnudo, en proporcin de sus rigideces EI/L o 1/L.

2. Podemos determinar un "coeficiente dedistribucin", para la participacin de cada una delas barras concurrentes al nudo, tal que

cd1k1

k1 k2 k3

kgeneralizando cd1

1

k1 k2 ... kn

cd1k1k

cd2k2k

cd3k3k

etc.


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EL METODO1. Se inicia el mtodo considerando que todos los nudos

del entramado son absolutamente rgidos, quedandolas barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que

cada una tendra en su extremo un empotramientoperfecto.

Esto significa . que las barras que poseen cargas,generarn en sus extremos pares de empotramientoperfecto, que debern ser calculados para aplicar elmtodo.

2. A continuacin, se soltar nudo por nudo, de uno a lavez. dejando congelados los dems nudos ypermitiendo que las barras de dicho nudo, entre lasque hay continuidad, interacten.

Si en el nudo hay momentos, este girar, y dicho girodeber ser equilibrado por las barras que concurren alnudo. Se produce as, una interaccin entre las barrasque llegan al nudo y una distribucin de los es fuerzos(momentos) en funcin de las rigideces de loselementos. (ver punto 2 de "antecedentes previos").

3. Cada barra que rot, al asumir un momento, genera ensu apoyo contrario un momento de respuesta, de igualsentido que el anterior y de la mitad del valor de este.

Es decir, la barra asume un momento de valor M enel extremo que rota, y "traspasa" al otro extremo unmomento de valor M/2. (ver punto 1 de "antecedentesprevios").

Es posible anotar inmediatamente los traspasos que seoriginan cada vez que equilibramos un nudo, comotambin, podemos "soltar y equilibrar" todos los nudos, unopor uno, y despus de desarrollar una vuelta completa deequilibrios, efectuar todos los correspondientes alos apoyos contrarios.

4. Al ejecutar los traspasos, lo s nudos ya equilibrados sevuelven a desequilibrar y ser necesario repetir el ciclo deequilibrios y traspasos.

A medida de que se completa un mayor nmero de vueltas,los desequilibrios van disminuyendo en magnitud, y nosacercamos ms a los valores reales del momento en las

barras. Por eso este mtodo es conocido tambin como elde las aproximaciones sucesivas.

Se recomienda repetir dicho ciclo las veces. que seanecesario, hasta que los desequilibrios remanentes no seansuperiores al 10% del desequili brio original de cada nudo

5. El valor del momento final. en los extremos de cadabarra corresponde a la suma de todos los momentos que.la fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios ytraspasos.

La viga y sus cargas

Los Momentos de empotramiento perfecto

Se suelta el nudo 2 y gira debido a M E

Las barras que concurren al nudo lo

equilibran con momentos contrarios talque: M1-2 + M2-3 = ME

A los apoyos contrarios se traspasanmomentos de igual sentido y la mitad del

valor

Los momentos resultantes despus del

equilibrio y traspasos del nudo 2


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PROCEDIMIENTO

Para aplicar el mtodo, se dibuja una trama ortogonal que

representa todas las barras de entramado.

Las intersecciones de lneas horizontales y verticalescorresponden a los nudos y deber anotarse en ellos, en elextremo de cada barra, su correspondiente coeficiente dedistribucin" en, dicho nudo.

Estos valores se encerrarn en un rectngulo. sobre el cual seubicar el correspondiente valor de momento deempotramiento perfecto, para esa barra. en ese nudo.

La ubicacin de estos valores en el nudo, por convencin, ser

la siguiente:

Para las barras horizontales: en el apoyo izquierdo: arriba,

en el apoyo derecho: abajo.

Para las barras verticales: en el apoyo inferior: a la izquierda

en el apoyo superior: ala derecha.

A continuacin se inician los ciclos de equilibrios y traspasos,hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir eldesequilibrio segn lo recomendado.

Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en

una columna que se genera a partir del valor deempotramiento perfecto original, y que se ci erra con lasumatoria de todos los momentos de dicha columna.


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II.- DESARROLLO

Dibujamos la malla, con los coeficientes de distribucin

por nudo y los momentos de empotramiento perfecto.

Obsrvese que si deshacemos el empotramiento en losnudos, los nudos 1 y 4 rotarn, debido al momento quelos afecta y los desequilibra.

1 Vuelta de Equilibrios: Se suelta nudo por nudo(deshaciendo el empotramiento) permitiendo que elnudo gire y las barras interacten.

En cada nudo., las barras que concurren a lreestablecen el equilibrio, aportando. un momento deigual valor Y sentido contrario. Cada barra hace suaporte en funcin de su correspondiente coeficiente dedistribucin. As es, como en los nudos 1 y 4, la nicabarra del nudo aport el total del equilibrio (+600 y -

600, respectivamente). En cambio. en los nudos 2 y 3,no haba desequilibrio y las barras aportaron "cero"`.

Se traza una lnea horizontal, despus de que cada

nudo queda equilibrado y este se vuelve a "empotrar".

1 Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentosaportados por las barras, generan en sus apoyos

contrarios, un momento de igual sentido (signo) y lamitad de su valor.


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Obviamente, las barras que no aportaron momentos, no"traspasan" momentos al apoyo contrario.

Se ha completado as, una primera vuelta o ciclo de

equilibrios y traspasos.

Obsrvese que los nudos 2 y 3, despus de los traspasosquedaron nuevamente desequilibrados. (Momentos queaparecen despus de las lneas horizontales deequilibrio).

Se proceder, por lo tanto, a realizar un 2 ciclo deequilibrios y traspasos.

2 Vuelta de Equilibrios : los nudos 1 y 4 estnequilibrados. mientras que los nudos 2 y 3 tienendesequilibrios de +300 y -300. respectivamente. Se

soltar nudo por nudo y los desequili brios seequilibrarn, nuevamente, con los aportes de las barrasque concurren al nudo, de acuerdo a sus coeficientesde distribucin.

2 Vuelta de Traspasos : Cada uno de los momentosaportados por las barras, generan en sus apoyoscontrarios, un momento de igual sentido (signo) y lamitad de su valor.


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Se completa as, la segunda "vuelta" o ciclo deequilibrios y traspasos.

Todos los nudos del sistema han quedado

desequilibrados.

Los desequilibrios son mayores al 10% del valo r de losdesequilibrios originales, por lo que se proceder arealizar una tercera vuelta.

3 Vuelta de Equilibrios y Traspasos : Se equilibrantodos los nudos. uno por uno, y luego se efectan loscorrespondientes traspasos a los apoyos contrarios,segn se indica.

Despus de esta tercera vuelta, se observa que losnudos 1 y 4, han disminuido sus desequilibrios a menosdel 5% respecto a los desequilibrios originales (18,75kgm, anotados despus de la ltima lnea de equilibrios,con respecto a 600 kgm).

Los nudos 2 y 3, en cambio, presentan desequilibrios de56,2.5 kgm (37,5 + 18,75), cuando originalmenteestaban equilibrados (desequilibrios = 0). En este caso,como es imposible lograr el 10% del "desequilibrio"original, nos remitiremos al primer desequilibrioacontecido en el nudo, de 300 kgm. Siendo as, an

debemos disminuir el desequilibrio, a un valor inferiora 3 0 kgm., por lo que efectuaremos una ltima vuelta.

Finalizamos el desarrollo del mtodo, sumando todaslas cifras anotadas en cada columna, para obtener losmomentos finales, correspondientes a los extremos decada barra.


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Se detiene el procedimiento despus de un ciclo deequilibrios. De esta manera. al sumar los momentosfinales en cada nudo, deber dar valor cero, ya que elnudo est en equilibrio. Esto nos permite verificar que

no hayamos cometido errores de signos en el desarrolloy que hayamos aplicado correctamente los coeficientesde distribucin.

El mtodo de Cross nos ha proporcionado el valor de losmomentos en los nudos; es tarea aparte el encontrarlos valores de momentos de tramo, que se determinanen cada tramo de la viga, con las mismas herramientasque utilizamos en una viga isosttica cualquiera y,aunque en este caso plantearemos el modelo, noincluiremos los clculos ya que no es el tema de esteapunte. Por razones de simetra, es suficiente analizardos tramos de la viga.

Y para finalizar, incluiremos el diagrama de momentosde la viga.


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