MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS - civil.fe.up.ptcivil.fe.up.pt/.../aulas_teoricas/acetatos/metodo_deslocamentos_1.pdf · Método dos Deslocamentos 1 ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS

Método dos Deslocamentos 1

ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS II

3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002

Prof. João Miranda Guedes (DEC)

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

Paralelismo entre Método das Forças e Método dos Deslocamentos. Seja a estrutura isostática:

L

R03

R02 R05 p(x)

x

M0(x), T0(x), N0(x)

As reacções nos apoios e, consequentemente os esforços nas extremidades das barras, são resolvidos pelas equações de equilíbrio de forças e momentos flectores da elasticidade plana:

050302 ,,0

00

RRRMFF

Flectores

Verticais

sHorizontai

⇒

===

∑∑∑

Os esforços numa secção transversal qualquer a uma distância x do apoio esquerdo determinam-se estabelecendo o equilíbrio de forças na secção. Seja agora a estrutura hiperstática indicada:

L

R3

R2 R5p(x)R1

x

Método dos Deslocamentos – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) 2

Método das Forças

1º)

R5

M(x), T(x), N(x)

R1

R2

p δ1=0

2º)

R10

R20 δ50

M0(x), T0(x), N0(x) p

Determinação do deslocamento δ10; aplicação do

P.T.V.

R15

R25

F =1

M5(x), T5(x), N5(x)

Método dos Deslocamentos

1º)

R5

M(x), T(x), N(x)

R1

R2

p

R4=0

δ4 = 0

2º)

R50

R10

R20

R40

M0(x), T0(x), N0(x) p

PARALELISMO ENTRE MÉTODO DAS FORÇAS E MÉTODO DOS

DESLOCAMENTOS

L

R3 = 0 R2

R5

R1

x

M(x), T(x), N(x) p(x) = p


Método das Forças

Diagramas de Momentos Flectores

R10=-p.L2/2 M0(x) =p.x2/2 - p.L2/2

R15=L

M0

M5

M5(x) = L - x

IELpdx

IEMMLx

x ⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

= ∫=

= 83 4

0

5050δ

3º)

R15

R25 δ55

R5=1

M5(x), T5(x), N5(x)

Determinação do deslocamento δ55; aplicação do

P.T.V.

R15

R25

F =1

M5(x), T5(x), N5(x)


R15=L M5(x)

M1(x) = L - x

IELdx

IEMMLx

x ⋅⋅=

⋅⋅

= ∫=

= 3

3

0

5555δ

Método dos Deslocamentos


R10=-p.L2/12

M0(x)

R40=p.L2/12

12

2

40LpR ⋅

=

3º)

R54

M4(x), T4(x), N4(x)

R14

R24

δ4 = 1

R44=4.E.I/L


M4(x) R14=2.E.I/L

R44=4.E.I/L

LIER ⋅⋅

=4

44


4º)

Sobrepondo os efeitos:

L

R2

R5

R1

x

M(x), T(x), N(x) p(x) = p δ4

=

R10

R20 δ50

M0(x), T0(x), N0(x) p

+

R15

R25 δ55

R5=1

M5(x), T5(x), N5(x)

* R5

que resulta na equação de compatibilidade de

deslocamentos no ponto de apoio:

83

5555505LpRR ⋅⋅

=⇒⋅+= δδδ

Estabelecem-se equações de compatibilidade de

deslocamentos em pontos de deslocamento

condicionado da estrutura.

Por aplicação do Princípio da Sobreposição dos

Efeitos determinam-se as reacções R e os esforços

finais E nas diversas secções da estrutura:

550

550

REEERRRR

iii

iii

⋅+=⋅+=

4º)

Sobrepondo os efeitos:

L

R2

R5

R1

x

M(x), T(x), N(x) p(x) = p δ4

=

R50

R10

R20

M0(x), T0(x), N0(x) p δ4 = 0

R40

+

R54

M4(x), T4(x), N4(x)

R14

R24

δ4 = 1

R44=4.E.I/L

* δ4

que resulta na equação de equilíbrio de forças no

ponto de deslocamento livre:

IELpRRR⋅⋅

⋅=⇒⋅+=

48

3

4444404 δδ

Estabelecem-se equações de equilíbrio de forças

nos nós livres da estrutura.

Por aplicação do Princípio da Sobreposição dos

Efeitos determinam-se as reacções R e os esforços

finais E nas diversas secções da estrutura:

440

440

δδ⋅+=⋅+=

iii

iii

EEERRR



Seja uma nova estrutura hiperstática a resolver pelo método dos deslocamentos:

R9

R1

R2

R7

R5

P

p

L L

=

R9

R1

R2

R7

R5

P ∆4

R4

p

=

R90

R10

R20

R70 P

R50R40

p

R10

R20

P

R’50R’40

R’’50

R90

R70 p R’’40

= +

+

R94

R14

R24

R74

R54R44

δ4=1

R14

R24 R’54R’44

=

∆4=1 R’’54

R94

R74 R’’44

δ4=1

+

* ∆4

Equação de equilíbrio de forças correspondentes ao deslocamento livre δ4:

44

40

44

4044444404 R

RRRR

RRR −=−

=∆⇒∆⋅+=

sendo 404040 RRR ′′+′= e 444444 RRR ′′+′= .



Determinação de reacções resultantes de assentamentos de apoio em barras bi-encastradas por aplicação do P.T.V.:

1) Assentamento unitário na direcção 1, i.e. ∆1 = 1:

E, I, A

L

∆1=1 R2

R1

R5

R4

R3 R6

= Diagramas de momentos flectores

E, I, A

L

R2 R1 R5 R4

∆1=1

M(x)=R1-(R1+R4).x / L

R1

-R4

x

Estruturas auxiliares

Estrutura 1:

E, I, A

L

R21=-1/L R11=1 R51=1/L

M1(x)=1-x / L

1 x

Estrutura 2:

E, I, A

L

R24=-1/L R54=1/L R44=1

M4(x)=-x / L -1

x


Aplicação do P.T.V.

Estrutura real e estrutura auxiliar 1:

∫=

= ⋅⋅

=∆⋅Lx

x

dxIEMM

R0

1111


∫=

= ⋅⋅

=⋅Lx

x

dxIEMM

R0

442 0

i.e.

⋅⋅+=

⋅⋅−=

⇒

⋅⋅=

⋅⋅=

⇒

=⋅⋅

=⋅⋅

∫

∫=

=

=

=

25

22

4

1

0

4

0

1

6

6

2

4

0

1

LIER

LIER

LIER

LIER

dxIEMM

dxIEMM

Lx

x

Lx

x


E, I, A

L

∆2=1

R2

R1

R5

R4

R3 R6


E, I, A

L

R2

R1 R5 R4∆2=1

M(x)=R1-(R1+R4).x / L

R1

-R4

x



Estrutura 1:

E, I, A

L

R41=-1R11=1

M1(x)=1

1

x

Estrutura 2:

E, I, A

L

R22=1

R52=-1 R42=-L

M2(x)= x / L

1x



∫=

= ⋅⋅

=⋅Lx

x

dxIEMM

R0

111 0


∫=

= ⋅⋅

=∆⋅Lx

x

dxIEMM

R0

2222

i.e.

⋅⋅−=

⋅⋅+=

⇒

⋅⋅−=

⋅⋅−=

⇒

=⋅⋅

=⋅⋅

∫

∫=

=

=

=

35

32

24

21

0

2

0

1

12

12

6

6

1

0

LIER

LIER

LIER

LIER

dxIEMM

dxIEMM

Lx

x

Lx

x



E, I, A

L

∆3=1

R2

R1

R5

R4

R3 R6

= Diagramas de esforços axiais

E, I, A

L

R3 R6

∆3=1

N(x)=-R3

x -R3

Estrutura auxiliar

E, I, A

L

R31=1 R61=-1

N3(x)=-1

x -1


Estrutura real e estrutura auxiliar:

AELRdx

AENN

RLx

x ⋅⋅=⇔

⋅⋅

=∆⋅ ∫=

=3

0

3331 1

i.e.

⋅−=

⋅+=

LAERLAER

6

3



Reacções resultantes de assentamentos de apoio em barras bi-encastradas. Resumo.

3

1 2

6

5 4 E, I, A

L

∆1 = 1

K31

K11 K21

K61

K51 K41

∆1

∆ 2 = 1

K32

K12

K62

K42

∆2

K22 K52

∆3 = 1

K33

K13

K63

K43

∆3

K23 K53

061

26

51

241

031

26

21

411

=

=

=

=

−=

=

KL

EIKL

EIK

KL

EIKL

EIK

062

312

52

26

42

032

312

22

26

12

=

−=

−=

=

=

−=

KL

EIKL

EIK

KL

EIKL

EIK

LEAK

K

K

LEAK

K

K

−=

=

=

=

=

=

63

053

043

33

023

013



Determinação de reacções resultantes de cargas aplicadas em barras bi-encastradas por aplicação do P.T.V.

L

b

c a

p1 p2

R2

R1

R5

R4

R3 R6


E, I, A

L

R2 R1 R5 R4p1 p2

M(x)

R1

-R4

x

=

E, I, A

L

R20 R50 p1 p2

M0(x)

x

+

E, I, A

L

R21 R1 R51

M’1(x)=R1.(1-x / L)

R1

x

+


E, I, A

L

R24 R54 R4

M’2(x)= R4.(-x / L) -R4

x


Estrutura 1:

E, I, A

L

R21=-1/L R11=1 R51=1/L

M1(x)=1-x / L

1 x

Estrutura 2:

E, I, A

L

R22=-1/L R52=1/L R42=1

M2(x)=-x / L -1

x



40

211

0

11

0

01

0

111 0 Rdx

IEMM

RdxIEMM

dxIEMM

dxIEMM

RLx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅

=⋅⋅

=⋅ ∫∫∫∫=

=

=

=

=

=

=

=


40

221

0

12

0

02

0

242 0 Rdx

IEMM

RdxIEMM

dxIEMM

dxIEMM

RLx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅

=⋅⋅

=⋅ ∫∫∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

i.e.

⋅+⋅+=⋅+⋅+=

42212120

41211110

00

RRRR

δδδδδδ

que no caso de uma carga p uniformemente distribuida resulta nos valores:

12

2

41LpRR ⋅

==



Reacções resultantes de cargas aplicadas em barras bi-encastradas. Resumo.

1) Cargas trapezoidais ortogonais ao eixo da barra:

L

b

c a

p1 p2

R2

R1

R5

R4

R3 R6

E, I, A

( ) ( ) ( ) ( )

+−+⋅⋅⋅⋅

⋅

−+

−⋅−+⋅−⋅

⋅

+= 10

222221221

433

4123

2221

1bcbcab

L

ppcLcaLaL

L

ppR

( ) ( ) ( ) ( )

+−+⋅⋅⋅⋅

⋅

−−

−⋅−+⋅−⋅

⋅

+= 10

222221221

433

4123

2221

4babacb

L

ppaLacLcL

L

ppR

( ) LR

LR

bL

ppcbb

L

ppR 412

1221

2221

2 −+⋅⋅

−++⋅⋅

⋅

+=

2221

5 Rbpp

R −⋅+

= 063 == RR

Caso particular ( 0== ca )

L

R2

R1

R5

R4

p1

p2

R3 R6E, I, A

260

22131 L

ppR ⋅

⋅+⋅= 2

602312

4 Lpp

R ⋅⋅+⋅

=

Lpp

R ⋅⋅+⋅

=60

291212 L

ppR ⋅

⋅+⋅=

6022119

5


2) Cargas trapezoidais paralelas ao eixo da barra:

L

b

c a

p1 p2

R2

R1

R5

R4

R3 R6

E, I, A

Caso particular ( 0== ca )

cbL

ppb

L

ppR ⋅⋅

⋅

+−⋅

⋅

⋅+−=

2212

6122

3 Lpp

R ⋅⋅+

−=6

1223

abL

ppb

L

ppR ⋅⋅

⋅

++⋅

⋅

⋅++=

2212

6221

6 Lpp

R ⋅⋅+

+=6

2216

05421 ==== RRRR

3) Cargas concentradas aplicadas na barra:

L

a

P1 P2

P3

b

R2

R1

R5

R4

R3 R6E, I, A

( ) 22

23211 LbaPL

bLbPR ⋅⋅+⋅−⋅⋅−=

( ) 22

23214 LabPL

aLaPR ⋅⋅+⋅−⋅⋅+=

( )LaLbP

LbaPR ⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−= 212

223162

( )LbLaP

LabPR ⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+= 212

223165

LbPR ⋅−= 33 L

aPR ⋅+= 36´


4) Variação de temperatura ∆t nas faces superior e inferior da barra:

∆ts

∆ti R2

R1

R5

R4

R3 R6

E, I, A

hstitIERR

∆−∆⋅⋅⋅== α41

052 == RR

263stitAERR

∆+∆⋅⋅⋅== α

Sendo:

I, A, h – inércia, área e altura da secção transversal da barra, respectivamente;

E – módulo de elasticidade longitudinal e transversal do material da barra;

α – coeficiente de dilatação térmica do material da barra.



Seja uma nova estrutura hiperstática a resolver pelo método dos deslocamentos:

∆1

P

pL1

L2

∆2∆3 ∆6

∆4

E, I, A

L3

∆1

P

pL1

L2

∆2∆3 ∆6

∆4

=

E, I, A

L3

que, por sobreposição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas:

R10

P

pL1

L2

R20R30 R60

R40

+

E, I, A

L3

∆1

L1

L2

∆2∆3 ∆6

∆4

E, I, A

L3

Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em separado, temos:


0) Cargas aplicadas:

R10

P

p L1

L2

R20 R30 R60

R40

=

E, I, A

L3

R’’’10

p

R’’’20 R’’’30 R60

R40 R’10

P

R’20

R’30

R’’10

R’’20 R’’30

1) Assentamento ∆1:

L1

L2

E, I, A

L3

K11

K21 K61

K41

K31

∆1 =

K’’’11

K’’’21K’’’31

K41 K’11 K’21

K’31

K’’11

K’’21 K’’31

∆1=1

K61



L1

L2

E, I, A

L3

K12

K22 K62

K42

K32 =

∆2

K’’’12

K’’’22K’’’32

K42 K’12

K’22

K’32

K’’12

K’’22 K’’32

∆2=1

K62


L1

L2

E, I, A

L3

K13

K23 K63

K43

K33 =

∆3

K63

K’’’13

K’’’23

K’’’33 K43 K’13 K’23

K’33

K’’13

K’’23

K’’33

∆3=1



L1

L2

E, I, A

L3

K14

K24 K64

K44

K34 =

∆4

K’’’14

K’’’24K’’’34

K44K’14 K’24

K’34

K’’14

K’’24 K’’34

∆4=1

K64


L1

L2

E, I, A

L3

K16

K26 K66

K46

K36 =

∆6

K’’’16

K’’’26K’’’36

K’16

K’26

K’36

K’’14

K’’26 K’’36

∆6=1

K66

K46


Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças para cada uma das direcções

correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, 3, 4, 6, temos:

∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+=∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅+=

666464363262161606

626424323222121202

616414313212111101

...KKKKKRR

KKKKKRRKKKKKRR

que pode ser escrita em termos matriciais da seguinte forma: { } { } [ ] { }∆⋅+= KRR 0 , sendo [ ]K a

matriz de rigidez da estrutura, { }0R o vector das reacções nos apoios fictícios e { }R o

vector das acções directamente aplicadas nos nós em correspondência com as incógnitas

∆i, neste caso igual ao vector nulo, { } { }0=R ,

∆∆∆∆∆

⋅

+

=

6

4

3

2

1

6664636261

4644434241

3634333231

2624232221

1614131211

60

40

30

20

10

6

4

3

2

1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RRRRR

RRRRR

sendo ijijijij KKKK ′′′+′′+′= , com i , j = 1, 2, 3.

Voltando novamente ao exercício anterior, reparamos que os delocamentos ∆4 e ∆6, por

corresponderem a deslocamentos de extremidade livre, deformam apenas a barra que contem essa extremidade, neste caso a barra horizontal.

Por este motivo, e porque nestas condições conhecemos à priori o valor dos esforços na barra na extremidade e direcção dos deslocamentos livres, podemos não considerar essas incógnitas não as bloqueando. No entanto, nesse caso os valores ijK ′′′ , para i , j = 1, 2, 3

correspondem a valores diferentes dos assumidos anteriormente:

∆1

P

p L1

L2

∆2 ∆3 ∆6

∆4

E, I, A

L3

∆1

P

p L1

L2

∆2 ∆3 =

E, I, A

L3



R10

P

p L1

L2

R20 R30

E, I, A

L3

+

∆1

L1

L2

∆2 ∆3

E, I, A

L3


0) Forças aplicadas:

R10

P

p L1

L2

R20 R30

E, I, A

L3

= R’’’10

p

R’’’20 R’’’30

R’10

P

R’20

R’30

R’’10

R’’20 R’’30

∆1=1


L1

L2

E, I, A

L3

K11

K21 K31

∆1 =

K’’’11

K’’’21 K’’’31

K’11 K’21

K’31

K’’11

K’’21 K’’31

∆1=1



L1

L2

E, I, A

L3

K12

K22 K32

∆2 =

K’’’12

K’’’22 K’’’32

K’12

K’22

K’32

K’’12

K’’22 K’’32

∆2=1


L1

L2

E, I, A

L3

K13

K23 K33

∆3 =

K’’’13

K’’’23

K’’’33 K’13 K’23

K’33

K’’13

K’’23

K’’33

∆3=1


correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, 3, temos na forma matricial:

∆∆∆

⋅

+

=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

KKKKKKKKK

RRR

RRR

sendo ijijijij KKKK ′′′+′′+′= , com i , j = 1, 2, 3.

Em relação à situação de bloqueio do nó extremo, as forças ijK ′′′ apresentam valores

diferentes que se descrevem em seguida.



Reacções resultantes de assentamentos de apoio em barras encastradas / duplamente apoiadas. Resumo.

3

1 2

6

5 E, I, A

L

∆1 = 1

K31

K11

K61 ∆1

K21 K51

∆ 2 = 1

K32

K12

K62 ∆2

K22 K52

∆3 = 1

K33

K13

K63 ∆3

K23 K53

061

23

51

031

23

21

311

=

=

=

−=

=

KL

EIK

KL

EIKL

EIK

062

33

52

032

33

22

23

12

=

−=

=

=

−=

KL

EIK

KL

EIKL

EIK

LEAK

K

LEAK

K

K

−=

=

=

=

=

63

053

33

023

013



Seja uma nova estrutura hiperstática constituida por duas barras, uma inclinada de um

ângulo θ em relação à horizontal.

∆1

P

p

∆2 ∆3

∆4

E, I, A

L2 L1 . cos α

α

p

E, I, A

=

∆1

P

∆2 ∆3

α

L2L1 . cos α


p

E, I, A

R10

P

R20 R30

α

L2 L1 . cos α

E, I, A

+

∆1

∆2 ∆3

α

L2L1 . cos α



p

E, I, A

R10

P

R20 R30

α

L2 L1 . cos α

E, I, A

R’10=π’10

PR’20

R’30

α

=

p

R’’10

R’’20 R’’30

π’30

π’20

απαπαπαπ

cossinsincos

302030

302020

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

RR



E, I, A

K11

K21 K31

α

∆1

L2 L1 . cos α

E, I, A

K’11=π’11

K’21

K’31

α

=

K’’11

K’’21 K’’31

π’31

π’21

απαπαπαπ

cossinsincos

312131

312121

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK


E, I, A

K12

K22 K32

α

∆2

L2 L1 . cos α

E, I, A

K’12=π’12

K’22

K’32

α

=

K’’12

K’’22 K’’32

π’32

π’22

απ cos1231

22 ⋅⋅⋅

=′L

IE

απ sin1

32 ⋅⋅

=′LAE

απαπαπαπ

cossinsincos

322232

322222

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK


E, I, A

K13 K23

K33

α

∆3

L2 L1 . cos α

E, I, A

K’13=π’13

K’33

α

=

K’’13

K’’23 K’’33

π’33

π’23

K’23

∆3

απ sin1231

23 ⋅⋅⋅

−=′L

IE

απ cos1

33 ⋅⋅

=′LAE

απαπαπαπ

cossinsincos

332333

332323

⋅′+⋅′−=′⋅′+⋅′+=′

KK



correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, 3, temos:

∆∆∆

⋅

+

=

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

KKKKKKKKK

RRR

RRR

sendo ijijij KKK ′′+′= , com i , j = 1, 2, 3.


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: MATRIZ DE RIGIDEZ / ESFORÇOS NOS NÓS

Seja um elemento de barra em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. Aplicando o Princípio de Sobreposição de Efeitos e fazendo uso de valores dos deslocamentos nas extremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduzem o equilíbrio de forças que terá que existir nas três direcções de cada nó extremo da barra.

Forças aplicadas:

L

R2

R1

R5

R4

R3 R6E, I, A

p1 p2

Deslocamentos calculados:

L

E, I, A ∆ 2

∆1

∆ 5

∆ 4

∆ 3 ∆ 6

p1 p2

=

Acção carga aplicada:

L

b

c a

p1 p2

R20

R10

R50

R40

R30 R60

E, I, A

+


Acção deslocamentos dos nós:

K31

K11 K21

K61

K51 K41

∆1

K34

K14 K24

K64

K54 K44

∆4

+

K32

K12 K22

K62

K52 K42

∆2

K35

K15 K25

K65

K55 K45

∆5

+

K33

K13 K23

K63

K53 K43

∆3

K36

K16 K26

K66

K56 K46

∆6 Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós, temos:

∆∆∆∆∆∆

⋅

+

=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RRRRRR

RRRRRR

i.e. { } { } [ ] { }∆⋅+= KRR 0 , designado-se a matriz [ ]K por matriz de rigidez. Por outro lado, o

vector { }R não representa mais do que os esforços nas extremidades da barra segundo as

direcções e os sentidos indicados na figura.

Substituindo as forças Kij pelos valores determinados anteriormente e as forças Ri pelos esforços correspondentes, temos:

∆∆∆∆∆∆

⋅

−

−

−−

−−−

−

+

=

−−−

6

5

4

3

2

1

60

50

40

30

20

10

0000

0312

2603

122

6

026402

620000

0312

2603

122

6

026202

64

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

RRRRRR

NTMNTM

d

d

d

e

e

e


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: FORMULAÇÃO MATRICIAL

Consideremos uma barra inclinada de um ângulo α em relação à horizontal e dois sistemas

de coordenadas associados: δ correspondente aos g.l. ditos locais da barra (... rotação,

direcção ortogonal ao eixo da barra e direcção do eixo da barra) e ∆ aos g.l. globais (...

rotação, direcção vertical e direcção horizontal). Exite uma Matriz de Transformação [ ]T que

transforma as coordenadas ∆ nas coordenadas δ:

δ3

δ1

δ2

∆3

∆1 ∆2

∆6

∆5

∆4

δ6 δ5

δ4

α

∆∆∆∆∆∆

⋅

−

−

=

654321

)cos()(0000)()cos(0000

001000000)cos()(0000)()cos(0000001

654321

αααα

αααα

δδδδδδ

sensen

sensen

, i.e. { } [ ] { }∆⋅= Tδ

sendo α medido sempre da horizontal positiva na extremidade esquerda para a barra para a

barra no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:

α

δ2 δ3

δ1

δ6

δ5

δ4

∆3

∆1 ∆2

∆6

∆5 ∆4


O mesmo raciocínio se pode estabelecer para as forças nos nós. Sejam φ as forças

correspondentes aos g.l. ditos locais da barra (... momento flector, esforço transverso e esforço axial) e F aos g.l. globais (... momento flector, força vertical e força horizontal). A

mesma Matriz de Transformação [ ]T transforma as coordenadas F nas coordenadas φ:

φ3

φ1

φ2

F3

F1 F2

F6

F5F4

φ6 φ5

φ4

α

⋅

−

−

=

654321

)cos()(0000)()cos(0000

001000000)cos()(0000)()cos(0000001

654321

FFFFFF

sensen

sensen

αααα

αααα

φφφφφφ

, i.e. { } [ ] { }FT ⋅=φ

Esta matriz é ortogonal, i.e. [ ] [ ]TTT =−1 .

Seja um elemento de barra inclinado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. De acordo com as relações estabelecidas anteriormente, temos:

Forças aplicadas:


L

φ2

φ1

φ5

φ4

φ3

φ6

E, I, A

p1

p2

α

L

E, I, A

p1

p2

α

F3

F1F2

F6

F5 F4


L

δ2

δ1

δ5

δ4

δ3

δ6

E, I, A

p1

p2

α

L

E, I, A

p1

p2

α

∆3

∆1

∆2

∆6

∆5 ∆4

⋅

−

−

−−

−−−

−

+

=

6

5

4

3

2

1

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

1

0000

0312

2603

122

6

026402

620000

0312

2603

122

6

026202

64

δδδδδδ

φφφφφφ

φφφφφφ

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

, i.e. { } { } [ ] { }δφφ ⋅+= K0

Utilizando as relações anteriores, podemos passar do sistema de coordenadas local δ e φ

para o sistema de coordenadas global ∆ e F,


{ } [ ] { }

{ } { } [ ] { }{ } { } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { } { } [ ] { }{ } [ ] { } [ ] [ ] { }( )∆⋅⋅+⋅=⇒

⋅=⇒⋅=∧

∆⋅⋅+=⇒

⋅+=∧

∆⋅=

TKTFTFFT

TKK

T

T

T0

0

0φ

φφ

φφδφφ

δ

i.e. { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF 00φ . Partindo do equilíbrio de forças da

barra no referencial local, e utilizando as matrizes de transformação de coordenadas, estabelecemos a equação de equilibrio de forças da barra no referencial global.

Seja então a seguinte estrutura hiperstática constituida por três barras: uma barra inclinada

de um ângulo α em relação à horizontal, uma barra vertical, i.e. inclinada de um ângulo de

90o em relação à horizontal, e uma barra horizontal, i.e. inclinada de um ângulo de 0o em relação à horizontal, submetida ao conjunto de forças indicadas.

P

p

E, I, A

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3 L1 . cos α

A

B

D

1

2

3

p

E, I, A

∆4

P

∆5 ∆6

α∆1

∆2

∆3

∆11

∆12∆10

∆7 ∆8

∆9 C

=

R1 R2

R3

R7 R8

R9

R11

R12

Analisemos em separado os esforços em cada uma das três barras


1) Barra 1:

A

B

1

E, I, A

∆4

P

∆5 ∆6

α ∆1

∆2

∆3

{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 1

1666564

565554

464544

636261

535251

434241

363534

262524

161514

333231

232221

131211

1

16

5

4

3

2

1

1

1

16

5

4

3

2

1

1

gBBBA

ABAA

g

g

B

A

B

A

KKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

FF

FFFFFF

F

=

=∧

∆

∆=

∆∆∆

∆∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆∆

⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

BBBA

ABAA

B

A

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

11

0

0

1 000000000000

00

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }1110111111011 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


2) Barra 2:

B

2 E, I, A

∆4

∆5 ∆6

∆7 ∆8

∆9 C

α=90Ο

{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2

2969594

898887

797877

939291

868584

767574

696867

595857

494847

666564

565554

464544

2

29

8

7

6

5

4

2

2

29

8

7

6

5

4

2

gCCCB

BCBB

g

g

C

B

C

B

KKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

FF

FFFFFF

F

=

=∧

∆∆

=

∆∆∆

∆∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

CCCB

BCBB

C

B

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

22

0

0

2 000000000000

0

0

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }2220222222022 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


3) Barra 3:

α=0Ο

B D

3

p

E, I, A

∆4

∆5 ∆6 ∆11

∆12

∆10

{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 3

312,1211,1210,12

12,1111,1110,11

12,1011,1010,10

6,125,124,12

6,115,114,11

6,105,104,10

12,611,610,6

12,511,510,5

12,411,410,4

666564

565554

464544

3

312

11

10

6

5

4

3

3

312

11

10

6

5

4

3

gDDDB

BDBB

g

g

D

B

D

B

KKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

FF

FFFFFF

F

=

=∧

∆∆

=

∆∆∆

∆∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

D

B

gDDDB

BCBB

D

B

D

B

KKKK

RR

FF

330

0

3

ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

gDDDB

BDBB

D

B

D

C

B

A

KK

KK

R

R

FFFF

330

0

300

000000

0000

0

0

A consideração do equilíbrio de forças nos nós da estrutura resulta na imposição de que o somatório das forças nos nós provenientes das três barras é igual às forças efectivamente aplicadas nesses nós:

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

+

+

=

++++

D

C

B

A

gDDDB

CCCB

BDBCBBBA

ABAA

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

KKKK

KKKKKK

RR

RR

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

33

22

323211

11

30

20

3210

10

32100

00

00

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }3330333333033 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ

A B C D

A B C D


Pela análise da equação, que se pode escrever na forma { } { } [ ] { }∆⋅+= gKRF 0 , verificamos que:

1) Existem deslocamentos de valor conhecido; os deslocamentos dos nós A, { }A∆ ,

e C, { }C∆ , e os deslocamentos vertical e horizontal do nó D, ∆11 e ∆12, são nulos;

2) Em correspondência com os deslocamentos anteriores, existem forças reactivas aplicadas nos nós de valor desconhecido, R1, R2, R3, R7, R8, R9, R11 e R12;

3) As matrizes de rigidez das barras consideradas isoladas, [ ]giK , ocupam posições

na matriz de rigidez global da estrutura, [ ]gK , correspondentes à ordem dos seus

nós extremos;

4) De igual modo, o vector das forças de reacção das barras consideradas isoladas,

{ }iR0 , ocupam posições no vector das forças de reacção global da estrutura, { }0R ,

correspondentes à ordem dos seus nós extremos;

Analisando mais em pormenor a equação, temos:

[ ]

=∆=∆

∆

=∆=∆=∆

∆∆∆

=∆=∆=∆

⋅+

=

===

===

===

===

++

00

000

000

0

000

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

30,12

0,11

0,10

290

80

70

32160

50

40

130

20

10

1212

1111

10

99

88

77

6

5

4

33

22

11

gK

RRRRRRRRRRRR

RFRF

FRFRFRF

FFF

RFRFRF

, e

[ ]

g

g

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

= ++

312,1211,1210,12

12,1111,1110,11

12,1011,1010,10

36,125,124,12

6,115,114,11

6,105,104,10

2999897

898887

797877

2969594

868584

767574

312,611,610,6

12,511,510,5

12,411,410,4

2696867

595857

494847

321666564

565554

464544

1636261

535251

434241

1363534

262524

161514

1333231

232221

131211

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B C D


que, caso não se pretenda determinar as reacções nos apoios, pode ser simplificada através da eliminação das linhas e colunas correspondentes aos g.l. restringidos através de apoios:

[ ]

∆

∆∆∆

⋅+

=

++

00

000

000

0

000

10

6

5

4

30,12

0,11

0,10

290

80

70

32160

50

40

130

20

10

12

11

9

8

7

3

2

1

gK

RRRRRRRRRRRR

RR

RRR

RRR

, e

[ ]

g

g

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

= ++

312,1211,1210,12

12,1111,1110,11

12,1011,1010,10

36,125,124,12

6,115,114,11

6,105,104,10

2999897

898887

797877

2969594

868584

767574

312,611,610,6

12,511,510,5

12,411,410,4

2696867

595857

494847

321666564

565554

464544

1636261

535251

434241

1363534

262524

161514

1333231

232221

131211

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

resultando em:

{ } { } [ ] [ ] { }

∆

∆∆∆

⋅

+

=

++++

10

6

5

4

310,1036,105,104,10

310,6

10,5

10,4

321666564

565554

464544

30,10

32160

50

40

10

6

5

4

gKKKKKKK

KKKKKKKKK

RRRR

FFFF

4 5 6 10

4 5 6 10

B D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B C D

B D


Recapitulando, temos:

0) Estado inicial:

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

D

C

B

A

gD

C

B

A

FFFF

0000000000000000

0000

1) Adição da barra 1:

A

B

D

1

p

∆4

P

∆5 ∆6

α ∆1

∆2

∆3

C

2

3


A

B

D

1

2

3

p

∆4

P

∆5 ∆6

α

∆7 ∆8

∆9 C

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆∆

⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

BBBA

ABAA

B

A

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

000000000000

00

11

11

10

10

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

++

D

C

B

A

g

CCCB

BCBBBA

ABAA

C

B

A

D

C

B

A

KKKKK

KK

RRR

FFFF

000000000

022

2211

11

20

210

10

A B C D

A B C D



A

B

D

1

2

3

p

∆4

P

∆5 ∆6

α

∆11

∆12∆10

C

4) Consideração das Cargas Aplicadas nos nós (Cargas Aplicadas de valor conhecido e Cargas Reactivas nos Apoios) e dos Assentamentos nos Apoios:

A

B

D

∆1

∆2

∆3

∆11

∆12

∆7 ∆8

∆9 C

R1 R2

R3

R7 R8

R9

R11

R12

A resolução do sistema de equações anterior permite a determinação dos deslocamentos nas direcções de deslocamento livre e das forças «aplicadas» nas direcções de deslocamento restringido, i.e. das forças reactivas nos apoios.

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

D

B

gDDDB

BDBB

D

B

D

B

KKKK

RR

FF

330

0

3

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

++++

D

C

B

A

gDDDB

CCCB

BDBCBBBA

ABAA

D

C

B

A

D

C

B

A

KKKK

KKKKKK

RR

RR

FFFF

33

22

323211

11

30

20

3210

10

0000

00

A B C D

A B C D

{ }{ }{ }{ }

=

12

11

9

8

7

3

2

1

0

000

RR

RRR

RRR

FFFF

D

C

B

A

e

{ }{ }{ }{ }

∆

∆∆∆

=

∆

∆

∆∆

00

000

000

10

6

5

4

D

C

B

A

A B C D


FORMULAÇÃO MATRICIAL: EXERCÍCIO

Consideremos uma estrutura constituida por uma barra inclinada de um ângulo α = 45o em

relação à horizontal e uma barra horizontal.

P

p

E, I, A

α A

B C

1

2

L2 L1 . cos α

A

B

C

1

2

p

E, I, A

∆4

P

∆5 ∆6

α∆1

∆2

∆3

∆8

∆9 ∆7

=

R1 R2

R3

R8

R9

Determinemos a matriz de rigidez e das acções em cada uma das duas barras.

1) Barra 1:

A

B

1

E, I, A

∆4

P

∆5 ∆6

α ∆1

∆2

∆3

[ ] { } [ ] { }{ } 10

0

11

110

1 210

1622

10

162

212

18

212

18

22

22

220000

22

220000

0010000002

22

20

00022

220

000001

=

−

+

−

−

⋅=

−

+

−

−

⋅

⋅=∧

−

−

=B

AT

RR

L

L

PL

L

PTRT

[ ] [ ] [ ]1

1

11

0000

0312

2603

122

6

026402

620000

0312

2603

122

6

026202

64

T

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

TK Tg ⋅

−

−

−−

−−−

−

⋅=

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }1110111111011 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 1

1

1

212

2122*6

212

2122*6

212

2122*6

212

2122*6

2*62*682*62*642

122

122*62

122

122*6

212

2122*6

212

2122*6

2*62*642*62*68

2 gBBBA

ABAAg KK

KK

ALIA

LI

LIA

LIA

LI

LI

ALIA

LI

LIA

LIA

LI

LI

LI

LI

LI

LI

LI

LI

ALIA

LI

LIA

LIA

LI

LI

ALIA

LI

LIA

LIA

LI

LI

LI

LI

LI

LI

LII

LEK

=

++

+−−

−−

−+−

+−

++

−+

−−

−−

−−

−+

++

+−

−+

−−−

+−

++−

−−

⋅⋅

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

ou ainda,

{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

C

B

A

BBBA

ABAA

B

A

C

B

A

KKKK

RR

FFF

00000

011

11

10

10

1

i.e.

{ }{ }{ }

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

⋅

++

+−−

+−

++

−

−−

−+−

−+

−−

−

−−

−+

−+

−−−

−

++

+−

+−

++−

−

⋅

⋅

+

−

+

−

−

⋅=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

11

11

1

1

1

1

000000000

000000000

000000000

000000000

212

2122*6

212

2122*6

2*62*68

212

2122*6

212

2122*6

2*62*64

000000000

212

2122*6

212

2122*6

2*62*64

212

2122*6

212

2122*6

2*62*68

2

000

210

162

210

162

ALIA

LI

LI

ALIA

LI

LI

LI

LII

ALIA

LI

LI

ALIA

LI

LI

LI

LII

ALIA

LI

LI

ALIA

LI

LI

LI

LII

ALIA

LI

LI

ALIA

LI

LI

LI

LII

LE

L

L

PFFF

C

B

A

2) Barra 2:

α=0Ο

B C

2

p

E, I, A

∆4

∆5 ∆6 ∆8

∆9

∆7

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }2220222222022 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


[ ] { } [ ] ( ) ( ) { }{ } 20

0

2

2

2

2220

2 02

112

02

112

02

112

02

112

100000010000001000000100000010000001

=

+

−

⋅⋅=

+

−

⋅⋅⋅=∧

=C

BT

RR

L

L

LpL

L

LpTRT

[ ] [ ] [ ]2

2

22

0000

0312

2603

122

6

026402

620000

0312

2603

122

6

026202

64

T

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

TK Tg ⋅

−

−

−−

−−−

−

⋅=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2

2

2

0000

0312

2603

122

6

026402

620000

0312

2603

122

6

026202

64

gCCCB

BCBBg KK

KK

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

K

=

−

−

−−

−−−

−

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

ou ainda,

{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

C

B

A

CCCB

BCBB

C

B

C

B

A

KKKK

RR

FFF

22

22

20

20

2 00

0000

i.e.


{ }{ }{ }

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

⋅

−

−

−

−

−−

−

−

+

−

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

22

22

2

22

2

2

00

0312

26

0264

00

0312

26

0262

000000000

00

0312

26

0262

00

0312

26

0264

000000000

000000000

000000000

000000000

02

12

02

12

000

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

Lp

Lp

Lp

Lp

FFF

C

B

A

que, adicionados os valores aos anteriores para a barra 1, resulta em

{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

++

C

B

A

CCCB

BCBBBA

ABAA

C

B

A

C

B

A

KKKKK

KK

RRR

FFF

22

2211

11

20

210

10

0

0

Neste caso, sabemos ainda que

{ }{ }{ }

=

9

8

3

2

1

0000

RR

RRR

FFF

C

B

A e

{ }{ }{ }

∆

∆∆∆

=

∆∆∆

00

000

7

6

5

4

C

B

A

Ao processo de «montagem» da matriz de rigidez e dos vector das cargas, i.e. formação da matriz de rigidez e do vector das cargas de toda a estrutura a partir das matrizes de rigidez e dos vectores das cargas das barras isoladas, designa-se por assemblagem.


ACÇÕES ASSENTAMENTOS DOS APOIOS

Consideremos a estrutura anterior submetida tambem a uma acção assentamento de um apoio. O resultado dessa acção irá adicionar-se ao das acções anteriores no vector { }0R .

Seja, por exemplo, a acção assentamento vertical δV no apoio duplo.

P

p

E, I, A

α

δV

L2 L1 . cos α

p

∆1

P

∆2 ∆3

α

δV

E, I, A

L2L1 . cos α

=


p

R10

P

R20 R30

α

δV

E, I, A

L2 L1 . cos α

+

∆1

∆2 ∆3

α

E, I, A

L2L1 . cos α

Analisando apenas a sub-estrutura relativa às acções, temos:

0) Cargas aplicadas + Assentamento de apoio:

R10

R20 R30

α

δV

p

E, I, A

L2 L1 . cos α

P

E, I, A

R’10=π’10

R’20 R’30

α

=

R’’10

R’’20 R’’30

π’30

π’20

p

P


E, I, A

R’10=π’10

R’20 R’30

α

R’’10

R’’20 R’’30

π’30

π’20

δV

+

O tratamento da sub-estrutura que contem os assentamentos nos apoios fictícios é identico ao já realizado para a estrutura sem o assentamento de apoio. Note-se que estes valores não dependem das acções.

APOIOS ELÁSTICOS

Se a estrutura apresentar um apoio de rigidez elástica, o deslocamento do apoio deixa de ser um valor conhecido e passa a ser uma incógnita. O apoio é libertado e é substituido por uma mola. Consideremos agora a estrutura anterior com um apoio de rigidez elástica KV na direcção

vertical em substituição do assentamento de apoio δV.

P

p

α

KV

E, I, A

L2 L1 . cos α

p

=

∆1

P

∆2 ∆3

α

∆5

KV

E, I, A

L2L1 . cos α


p

R10

P

R20 R30

α

KV

E, I, A

R50

L2 L1 . cos α

∆1

∆2 ∆3

α

∆5

KV

E, I, A

L2L1 . cos α

+


0) Cargas aplicadas (idêntico à situação sem apoio elástico):

R10

R20 R30

α

p

KV

E, I, A

R50

L2 L1 . cos α

P

E, I, A

R’10=π’10

R’20 R’30

α

=

R’’10

R’’20 R’’30

π’30

π’20

p

KV

R50

P


K11

K21 K31

α

∆1

KV

K51

E, I, A

L2 L1 . cos α

E, I, A

K’11=π’11

K’21

K’31

α

K’’11

K’’21 K’’31

π’31

π’21

KV

K51

=


K12

K22 K32

α

∆2

KV

K52

L2 L1 . cos α

E, I, A

E, I, A

K’12=π’12

K’22

K’32

α

K’’12

K’’22 K’’32

π’32

π’22

απ cos1231

22 ⋅⋅⋅

=′L

IE

απ sin1

32 ⋅⋅

=′LAE

KV

K52

=


K13 K23

K33

α

∆3 KV

K53

E, I, A

L2 L1 . cos α

E, I, A

K’13=π’13

K’33

α

K’’13

K’’23 K’’33

π’33

π’23

απ sin1231

23 ⋅⋅⋅

−=′L

IE

απ cos1

33 ⋅⋅

=′LAE

K’23

∆3 KV

K53

=



K15

K25 K35

α

∆2

KV

K55

L2 L1 . cos α

E, I, A

E, I, A

K’15=π’15

K’25

K’35

α

K’’15

K’’25 K’’35

π’35

π’25

KV

K55

=

025 =′π

035 =′π

O valor da força K55 é igual à força necessária aplicar na extremidade direita da barra horizontal para que essa extremidade se desloque de uma unidade na direcção da força (sendo nulos os deslocamentos em todos os outros apoios, fictícios ou não), mais a força necessária aplicar na mola para a deformar dessa mesma unidade de deslocamento, i.e. a rigidez KV da mola, por definição.

Em termos práticos, a consideração de um apoio de rigidez elástica implica, em primeira análise, a eliminação do apoio, libertanto o seu deslocamento que passa a constituir mais uma incógnita hipergeométrica. Em seguida, e depois de determinada a matriz de rigidez da estrutura, a acção do apoio elástico é considerado na estrutura através da adicão do valor da sua rigidez à do elemento da diagonal principal em correspondência com a incógnita hipergeométrica posicionada na direcção do apoio, neste caso a direcção 5.


BARRAS «ESPESSAS»

Todos os valores descritos até ao momento, elementos Kij da matriz de rigidez e Ri0 do vector das acções, foram determinados no pressuposto de que os elementos de barra apresentam secção transversal homogénea de caracteristicas materiais e geométricas constantes ao longo do seu eixo rectílíneo, e que, apresentanto um valor suficientemente pequeno para o cociente entre a altura da secção transversal e comprimento do eixo do elemento, se pode desprezar a sua deformabilidade por acção do esforço transverso.

No entanto, caso se pretenda analisar peças espessas, a deformabilidade por esforço transverso terá que ser incluida na análise, i.e. teremos que determinar novos valores para os elementos Kij da matriz de rigidez e Ri0 do vector das acções que tenham esse efeito em consideração.

0) Reacções resultantes de cargas aplicadas em barras bi-encastradas espessas.

L

b

c a

p1 p2

R2

R1

R5

R4

R3 R6

= Diagramas de esforços

E, I, A

L

R2 R1 R5 R4p1 p2

M(x)

R1

-R4

x

T(x) R2

-R5

=


E, I, A

L

R20 R50 p1 p2

M0(x)

x

T(x) R20

-R50

+

E, I, A

L

R21 R1 R51

M’1(x)=R1.(1-x / L)

R1

x

-R1 / L

T’1(x)=-R1 / L

+

E, I, A

L

R24 R54 R4

M’2(x)= R4.(-x / L) -R4

x

T’2(x)=-R4 / L

-R4 / L


Estrutura 1:

E, I, A

L

R21=-1/L R11=1 R51=1/L

M1(x)=1-x / L

1 x

T1(x)=-1 / L

-1 / L


Estrutura 2:

E, I, A

L

R22=-1/L R52=1/L R42=1

M2(x)=-x / L -1

x

T2(x)=-1 / L

-1 / L



40 0

21211

0 0

1111

0

01

0

01

0

1

0

111 0

RdxAGTT

dxIEMM

RdxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

R

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

⋅

′⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

′⋅⋅

+⋅⋅

+′⋅

⋅+

⋅⋅

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=⋅

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


40 0

22221

0 0

1212

0

02

0

02

0

2

0

242 0

RdxAGTT

dxIEMM

RdxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

R

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

⋅

′⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

′⋅⋅

+⋅⋅

+′⋅

⋅+

⋅⋅

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=⋅

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

i.e.

⋅+⋅+=⋅+⋅+=

42212120

41211110

00

RRRR

δδδδδδ

que permite determinar o valor das incógnitas hiperstáticas R1 e R4 e, consequentemente, as restantes reacções nos apoios da barra bi-encastrada.


1) Assentamento unitário na direcção 1, i.e. ∆1 = 1 em barras bi-encastradas espessas:

E, I, A

L

∆1=1 R2

R1

R5

R4

R3 R6


E, I, A

L

R2 R1 R5 R4

∆1=1

M(x)=R1-(R1+R4).x / L

R1

-R4

x

T (x)=-R4 / L

-R4 / L


Estrutura 1:

E, I, A

L

R21=-1/L R11=1 R51=1/L

M1(x)=1-x / L

1 x

T1(x)=-1 / L

-1 / L

Estrutura 2:

E, I, A

L

R24=-1/L R54=1/L R44=1

M4(x)=-x / L -1

x

T4(x)=-1 / L

-1 / L




∫∫=

=

=

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=∆⋅Lx

x

Lx

x

dxAGTT

dxIEMM

R0

1

0

1111


∫∫=

=

=

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=⋅Lx

x

Lx

x

dxAGTT

dxIEMM

R0

4

0

442 0

i.e.

⋅⋅⋅

+=

⋅⋅⋅

−=⇒

⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

=⇒

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=′⋅

⋅+

⋅⋅

∫∫

∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ζ

ψ

25

22

4

1

0

4

0

4

0

1

0

1

6

6

2

4

0

1

LIER

LIER

LIER

LIER

dxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

sendo, α

ϕ⋅+

=211 ,

α

αψ

⋅+

+=

2121

, α

αζ⋅+

−=

211 e

AGLIE

′⋅⋅

⋅⋅=

162

α .

2) Assentamento unitário na direcção 2, i.e. ∆2 = 1 em barras bi-encastradas espessas:

E, I, A

L

∆2=1

R2

R1

R5

R4

R3 R6


E, I, A

L

R2

R1 R5 R4∆2=1

M(x)=R1-(R1+R4).x / L

R1

-R4

x

T (x)=-R4 / L

-R4 / L



Estrutura 1: Diagramas de esforços

E, I, A

L

R41=-1R11=1

M1(x)=1

1

xT1(x)=0

Estrutura 2:

E, I, A

L

R22=1

R52=-1 R42=-L

M2(x)= x / L

1x

T2(x)= 1 / L

1 / L



∫∫=

=

=

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=⋅Lx

x

Lx

x

dxAGTT

dxIEMM

R0

1

0

111 0


∫∫=

=

=

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=∆⋅Lx

x

Lx

x

dxAGTT

dxIEMM

R0

2

0

2222

i.e.

⋅⋅⋅

−=

⋅⋅⋅

+=⇒

⋅⋅⋅

−=

⋅⋅⋅

−=⇒

=′⋅

⋅+

⋅⋅

=′⋅

⋅+

⋅⋅

∫∫

∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

35

32

24

21

0

2

0

2

0

1

0

1

12

12

6

6

1

0

LIER

LIER

LIER

LIER

dxAGTT

dxIEMM

dxAGTT

dxIEMM

Lx

x

Lx

x

Lx

x

Lx

x

sendo, α

ϕ⋅+

=211 e

AGLIE

′⋅⋅

⋅⋅=

162

α .

As operações indicadas permitem determinar os elementos da matriz de rigidez e do vector das cargas no referencial local da barra. A transformação e assemblagem das matrizes de rigidez e dos vectores das cargas, segue as operações indicadas anteriormente.


Resumo das reacções resultantes de assentamentos de apoio em barras bi-encastradas espessas.

3

1 2

6

5 4 E, I, A

L

∆1 = 1

K31

K11 K21

K61

K51 K41

∆1

∆ 2 = 1

K32

K12

K62

K42

∆2

K22 K52

∆3 = 1

K33

K13

K63

K43

∆3

K23 K53

sendo, α

φ⋅+

=211 ,

α

αψ

⋅+

+=

2121

, α

αζ⋅+

−=

211 e

AGLIE

′⋅⋅

⋅⋅=

162

α .

061

26

51

241

031

26

21

411

=

⋅=

⋅=

=

⋅−=

⋅=

KL

EIKL

EIK

KL

EIKL

EIK

ϕ

ζ

ϕ

ψ

062

312

52

26

42

032

312

22

26

12

=

⋅−=

⋅−=

=

⋅=

⋅−=

KL

EIKL

EIK

KL

EIKL

EIK

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

LEAK

K

K

LEAK

K

K

−=

=

=

=

=

=

63

053

043

33

023

013


BARRAS DE SECÇÃO VARIÁVEL

Todos os valores descritos até ao momento, elementos Kij da matriz de rigidez e Ri0 do vector das acções, foram determinados no pressuposto de que os elementos de barra apresentam secção transversal homogénea de caracteristicas materiais e geométricas constantes ao longo do seu eixo rectílíneo. Caso se pretenda analisar elementos de barra de secção transversal variável, teremos que repetir as operações anteriores e resolver os integrais considerando a variação da inércia, da área e do módulo de elasticidade ao longo do eixo ox do elemento, i.e. considerar I(x), A(x), E(x), respectivamente.


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS

Consideremos a estrutura constituida por duas barras bi-articuladas e submetida a uma

acção força P aplicada no nó e a um assentamento de apoio δV.

P

E, A

α δV

L2 L1 . cos α

β

∆1 ∆2

α

E, A

=

P

δV

L2L1 . cos α


R10 R20

α

E, A

P

δV

L2 L1 . cos α

+∆1

α

E, A

∆2

δV

L2L1 . cos α

Analisando apenas a sub-estrutura relativa às acções, temos:

0) Assentamento de apoio:

R10 R20

α

E, A δV

L2 L1 . cos α

E, A

R’10 R’20

α

R’’10 R’’20

π’10

+

δV αδπ sin

110 ⋅⋅

⋅=′ VL

AE

απαπ

cossin

1020

1010

⋅′=′⋅′=′

RR



K11 K21

α

∆1

E, A

L2 L1 . cos α

K’11

K’21

α

= K’’11 K’’21

π’11

απ sin1

11 ⋅⋅

=′LAE

E, A

απαπ

cossin

1121

1111

⋅′=′⋅′=′

KK


K12

K22

α

E, A

L2 L1 . cos α

∆3

K’12

K’22

α

= K’’12 K’’22

π’12

απ cos1

12 ⋅⋅

=′LAE

E, A

απαπ

cossin

1222

1212

⋅′=′⋅′=′

KK


correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 2, temos:

∆∆

⋅

+

=

⋅−⋅−

=

2

1

2221

1211

20

10

2

1

cossin

KKKK

RR

PP

RR

ββ sendo ijijij KKK ′′+′= , com i , j = 1, 2.


∆1 ∆2

α

E, A

P

δV

L2 L1 . cos α

∆to


R10 R20

α

E, A δV

L2 L1 . cos α

∆to


K11 K21

α

∆1

E, A

L2 L1 . cos α

∆1

∆2 ∆3

E, I, A

α

P

δV

∆to

L2 L1 . cos α


E, I, A

R10

R20R30

αδV

L2 L1 . cos α


E, I, A

K11

K21K31

α

∆1

L2 L1 . cos α


E, I, A

K12

K22K32

α

∆2

L2 L1 . cos α

PARALELISMO ENTRE BARRAS CONTÍNUAS E BARRAS BI-ARTICULADAS NO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS


2) Assentamento ∆2: K12

K22

α

E, A

L2 L1 . cos α

∆3

Sistema de equações:

∆∆

⋅

+

=

⋅−⋅−

=

2

1

2221

1211

20

10

2

1

cossin

KKKK

RR

PP

FF

ββ


E, I, A

K13 K23

K33

α

∆3

L2 L1 . cos α

Sistema de equações:

∆∆∆

⋅

+

⋅−⋅−==

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

3

2

1

cossin

0

KKKKKKKKK

RRR

PP

FFF

ββ


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: MATRIZ DE RIGIDEZ / ESFORÇOS NOS NÓS

Seja um elemento de barra bi-articulado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e/ou variações uniformes de temperatura. Aplicando o Princípio de Sobreposição de Efeitos e fazendo uso de valores dos deslocamentos nas extremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduzem o equilíbrio de forças que terá que existir nas duas direcções em cada nó extremo da barra.

Forças / Variação de temperatura aplicadas:

L

R1 R3R2 R4E, A

∆t


L

E, A ∆ 1 ∆ 3∆ 2 ∆ 4

=

Acção Variação de temperatura aplicada:

R10=0 R30=0 R20 R40

∆t

L

E, A

+


Acção deslocamentos dos nós:

+

K21 K41

K31=0

∆1

K11=0

K23 K43 ∆3

K33=0 K13=0

+

K22 K42 ∆2

K32=0 K12=0

K24 K44∆4

K34=0 K14=0

Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós apenas nas direcções 2 e 4 do

eixo da barra, as únicas que introduzem esforços na barra, temos:

∆∆

⋅

+

=

4

2

4442

2422

40

20

4

2

KKKK

RR

RR

i.e. { } { } [ ] { }∆⋅+= KRR 0 , designado-se a matriz [ ]K por matriz de rigidez, agora relativa ao

elemento de barra bi-articulado. Por outro lado, o vector { }R não representa mais do que os

esforços nas extremidades da barra segundo as direcções e os sentidos indicados na figura.

Substituindo as forças Kij pelos valores determinados anteriormente e as forças Ri pelos esforços correspondentes, neste caso apenas os esforços axiais, temos:

∆∆

⋅

+−−+

⋅+

=

−

4

2

40

20

1111

LEA

RR

NN

d

e

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: FORMULAÇÃO MATRICIAL

Consideremos uma barra inclinada de um ângulo α em relação à horizontal e dois sistemas

de coordenadas associados: δ correspondente aos g.l. ditos locais da barra (... direcção do

eixo da barra) e ∆ aos g.l. globais (... direcção vertical e direcção horizontal). Exite uma

Matriz de Transformação [ ]T que transforma as coordenadas ∆ nas coordenadas δ:


δ1 ∆2

∆1

∆4

∆3

δ2

α

∆∆∆∆

⋅

=

4321

)cos()(0000)cos()(

21

αααα

δδ

sensen , i.e. { } [ ] { }∆⋅= Tδ

sendo α medido sempre da horizontal positiva na extremidade esquerda para a barra para a

barra no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:

α

δ1

δ2

∆2

∆1

∆4

∆3

O mesmo raciocínio se pode estabelecer para as forças nos nós. Sejam φ as forças

correspondentes aos g.l. ditos locais da barra (... esforço axial) e F aos g.l. globais (... força

vertical e força horizontal). A mesma Matriz de Transformação [ ]T transforma as

coordenadas F nas coordenadas φ:


φ1 F2

F1

F4

F3

φ2

α

⋅

=

4321

)cos()(0000)cos()(

21

FFFF

sensen

αααα

φφ

, i.e. { } [ ] { }FT ⋅=φ

Esta matriz é ortogonal, i.e. { } [ ] { }φ⋅= TTF .

Seja um elemento de barra inclinado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas aplicadas nos nós extremos e concentradas e/ou distribuidas aplicadas ao longo do eixo da barra. De acordo com as relações estabelecidas anteriormente, temos:

Forças aplicadas:

L

φ1

φ2

E, A

α

F2

F1

F4

F3

L

E, A

α



L

δ1

δ2

E, A

α

∆2

∆1

∆4

∆3

L

E, A

α

⋅

+−−+

⋅+

=

2

1

20

10

2

1

1111

δδ

φφ

φφ

LEA , i.e. { } { } [ ] { }δφφ ⋅+= K0

Utilizando as relações anteriores, podemos passar do sistema de coordenadas local δ e φ

para o sistema de coordenadas global ∆ e F,

{ } [ ] { }

{ } { } [ ] { }{ } { } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { } { } [ ] { }{ } [ ] { } [ ] [ ] { }( )∆⋅⋅+⋅=⇒

⋅=⇒⋅=∧

∆⋅⋅+=⇒

⋅+=∧

∆⋅=

TKTFTFFT

TKK

T

T

T0

0

0φ

φφ

φφδφφ

δ

i.e. { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF 00φ . Partindo do equilíbrio de forças da

barra no referencial local, e utilizando as matrizes de transformação de coordenadas, estabelecemos a equação de equilibrio de forças da barra no referencial global.


Seja a seguinte estrutura hiperstática constituida por três barras: uma barra inclinada de

um ângulo α em relação à horizontal, uma barra vertical e uma barra horizontal, submetida

ao conjunto de forças indicadas.

P

E, A

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3 L1 . cos α

A

B

D

1

2

3

E, A

∆3 ∆4

α

∆1

∆2

∆7

∆8

∆5

∆6 C

=

R1

R2

R5

R6

R7

R8

P

Analisemos em separado os esforços em cada uma das três barras

1) Barra 1:

A

B

1

E, A

∆3

∆4

α

∆1

∆2

{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 1

14443

3433

4241

3231

2423

1413

2221

1211

1

14

3

2

1

1

1

14

3

2

1

1

gBBBA

ABAA

g

g

B

A

B

A

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K

FF

FFFF

F

=

=∧

∆∆

=

∆∆

∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }1110111111011 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

BBBA

ABAA

B

A

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

11

0

0

1 000000000000

00

2) Barra 2:

B

2 E, A

∆3 ∆4

∆5

∆6 C

α=90Ο

{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2

26665

5655

6463

5453

4645

3635

4443

3433

2

26

5

4

3

2

2

26

5

4

3

2

gCCCB

BCBB

g

g

C

B

C

B

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K

FF

FFFF

F

=

=∧

∆∆

=

∆∆

∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆∆

⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

CCCB

BCBB

C

B

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

22

0

0

2000000000000

0

0

3) Barra 3:

α=0Ο

B D

3

E, A

∆3 ∆4 ∆7

∆8

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }3330333333033 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= g

TT KRFTKTTF φ

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }2220222222022 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


{ } { }{ }

{ } { }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 3

38887

7877

8483

7473

4847

3837

4443

3433

3

38

7

4

3

3

3

38

7

4

3

3

gDDDB

BDBB

g

g

C

B

C

B

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K

FF

FFFF

F

=

=∧

∆∆

=

∆∆

∆∆

=∆

=

=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

D

B

gDDDB

BDBB

D

B

D

B

KKKK

RR

FF

330

0

3

ou ainda,

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

D

C

B

A

gDDDB

BDBB

D

B

D

C

B

A

KK

KK

R

R

FFFF

330

0

300

000000

0000

0

0

A consideração do equilíbrio de forças nos nós da estrutura resulta na imposição de que o somatório das forças nos nós provenientes das três barras é igual às forças efectivamente aplicadas nesses nós:

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

+

+

=

++++

D

C

B

A

gDDDB

CCCB

BDBCBBBA

ABAA

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

KKKK

KKKKKK

RR

RR

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

33

22

323211

11

30

20

3210

10

32100

00

00

Pela análise da equação, que se pode escrever na forma { } { } [ ] { }∆⋅+= gKRF 0 , verificamos que:

1) Existem deslocamentos de valor conhecido; os deslocamentos dos nós A, { }A∆ ,

e C, { }C∆ , D, { }D∆ , são nulos;

2) Em correspondência com os deslocamentos anteriores, existem forças reactivas aplicadas nos nós de valor desconhecido, R1, R2, R5, R6, R7 e R8;

3) As matrizes de rigidez das barras consideradas isoladas, [ ]giK , ocupam posições

na matriz de rigidez global da estrutura, [ ]gK , correspondentes à ordem dos seus

nós extremos;

A B C D

A B C D


4) De igual modo, o vector das forças de reacção das barras consideradas isoladas,

{ }iR0 , ocupam posições no vector das forças de reacção global da estrutura, { }0R ,

correspondentes à ordem dos seus nós extremos;

Analisando mais em pormenor a equação, temos:

=∆=∆

=∆=∆

∆∆

=∆=∆

⋅

+

=

==

==

==

==

++++

0000

00

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0

8

7

6

5

4

3

2

1

38887

7877

38483

7473

26665

5655

26463

5453

34847

3837

24645

3635

3214443

3433

14241

3231

12423

1413

12221

1211

380

70

260

50

32140

30

120

10

88

77

66

55

4

3

22

11

gKKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

RRRRRRRR

RFRFRFRFPF

FRFRF

que, caso não se pretenda determinar as reacções nos apoios, pode ser simplificada através da eliminação das linhas e colunas correspondentes aos g.l. restringidos através de apoios:

=∆=∆

=∆=∆

∆∆

=∆=∆

⋅

+

=

==

==

==

==

++++

0000

00

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0

8

7

6

5

4

3

2

1

38887

7877

38483

7473

26665

5655

26463

5453

34847

3837

24645

3635

3214443

3433

14241

3231

12423

1413

12221

1211

380

70

260

50

32140

30

120

10

88

77

66

55

4

3

22

11

gKKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

RRRRRRRR

RFRFRFRFPF

FRFRF

resultando em:

∆∆

⋅

+

=

==

++++ 4

3

3214443

3433

32140

30

4

3 0

gKKKK

RR

PFF

3 4

3 4

B

B

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D


Recapitulando, temos:

0) Estado inicial:

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

D

C

B

A

gD

C

B

A

FFFF

0000000000000000

0000


A

B

D

1

∆3 ∆4

α

∆1

∆2

C

2

3

P


A

B

D

1

2

3 ∆3 ∆4

α

∆5

∆6 C

P

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆∆

⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

D

C

B

A

g

BBBA

ABAA

B

A

D

C

B

A

KKKK

RR

FFFF

000000000000

00

11

11

10

10

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆

∆

⋅

+

=

++

D

C

B

A

g

CCCB

BCBBBA

ABAA

C

B

A

D

C

B

A

KKKKK

KK

RRR

FFFF

000000000

022

2211

11

20

210

10

A B C D

A B C D



A

B

D

1

2

3 ∆3 ∆4

α

∆7

∆8

C

P

4) Consideração das Cargas Aplicadas nos nós (Cargas Aplicadas de valor conhecido e Cargas Reactivas nos Apoios) e dos Assentamentos nos Apoios:

A

B

D

∆1

∆2

∆7

∆8

∆5

∆6 C

R1

R2

R5

R6

R7

R8

P

A resolução do sistema de equações anterior permite a determinação dos deslocamentos nas direcções de deslocamento livre e das forças «aplicadas» nas direcções de deslocamento restringido, i.e. das forças reactivas nos apoios.

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

D

B

gDDDB

BDBB

D

B

D

B

KKKK

RR

FF

330

0

3

{ }{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

∆

∆

∆∆

⋅

+

=

++++

D

C

B

A

gDDDB

CCCB

BDBCBBBA

ABAA

D

C

B

A

D

C

B

A

KKKK

KKKKKK

RR

RR

FFFF

33

22

323211

11

30

20

3210

10

0000

00

A B C D

A B C D

{ }{ }{ }{ }

=

8

7

6

5

2

1

0

RRRRP

RR

FFFF

D

C

B

A

e

{ }{ }{ }{ }

∆∆

=

∆

∆

∆

∆

0000

00

4

3

D

C

B

A

A B C D


FORMULAÇÃO MATRICIAL: EXERCÍCIO

Consideremos uma estrutura constituida por uma barra inclinada de um ângulo α = 45o em

relação à horizontal e uma barra horizontal.

P

E, A

α δV

L2 L1 . cos α

β

∆3 ∆4

α

E, A

=

P

R1

R2

R5

R6

∆1=δV

∆2

∆5

∆6

Determinemos a matriz de rigidez e das acções em cada uma das duas barras.

1) Barra 1:

A

B

1

α

∆3 ∆4

E, A ∆1=δV

∆2

[ ] { } [ ] { }{ } 10

0

11

110

1

1

000000

000000

22

2200

0022

22

=

=

⋅⋅=∧

=

B

AT

RR

TRT

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 1

1

1

1

11

2222

2222

2222

2222

gBBBA

ABAATg KK

KK

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

TL

EAL

EAL

EAL

EATK

=

−−

−−

−−

−−

=⋅

+−

−+⋅=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

B

A

gBBBA

ABAA

B

A

B

A

KKKK

RR

FF

110

0

1

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }1110111111011 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


ou ainda,

{ }{ }{ }

{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

C

B

A

BBBA

ABAA

B

A

C

B

A

KKKK

RR

FFF

00000

011

11

10

10

1

i.e.

{ }{ }{ }

∆∆

∆∆

∆∆

⋅

−−

−−

−−

−−

+

=

6

5

4

3

2

1

11

11

1

1

1

0000

0000

0000

0000

22

22

22

22

0000

22

22

22

22

000000

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

FFF

C

B

A

2) Barra 2:

α=0Ο

B C

2 ∆3 ∆4

E, A

∆5

∆6

[ ] { } [ ] { }{ } 20

0

22

2202

2

000000

000000

10000010

=

=

⋅=∧

=

C

BT

RR

TRT

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2

2

2

2

22

2000000

000000

gCCCB

BCBBTg KK

KK

LEA

LEA

LEA

LEA

TL

EAL

EAL

EAL

EATK

=

−

−=⋅

+−

−+⋅=

Logo,

{ }{ }

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

∆

∆⋅

+

=

C

B

gCCCB

BCBB

C

B

C

B

KKKK

RR

FF

220

0

2

ou ainda,

{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { } { } [ ] { }2220222222022 ∆⋅+=⇔∆⋅⋅⋅+⋅= gTT KRFTKTTF φ


{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

C

B

A

CCCB

BCBB

C

B

C

B

A

KKKK

RR

FFF

22

22

20

20

2 00

0000

i.e.

{ }{ }{ }

∆∆

∆∆

∆∆

⋅

−

−

+

=

6

5

4

3

2

1

22

22

2

22

000

000

0000

000

000

0000

0000

0000

0000

000000

LEA

LEA

LEA

LEA

FFF

C

B

A

que, adicionados os valores aos anteriores para a barra 1, resulta em

{ }{ }{ }

{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

+

=

++

C

B

A

CCCB

BCBBBA

ABAA

C

B

A

C

B

A

KKKKK

KK

RRR

FFF

22

2211

11

20

210

10

0

0

i.e.

{ }{ }{ }

( ) ( )( ) ( ) ( )

{ }{ }{ }

∆∆∆

⋅

−

−

+

+

=

C

B

A

C

B

A

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

FFF

22

2211

11

1

11

000

000

0000

000

22

22

22

22

0000

22

22

22

22

000000

Neste caso, sabemos ainda que

{ }{ }{ }

⋅−⋅−

=

6

5

2

1

cossin

RR

PPRR

FFF

C

B

A

ββ e

{ }{ }{ }

∆∆

=

∆∆∆

00

00

4

3

C

B

A

Ao processo de «montagem» da matriz de rigidez e dos vector das cargas, i.e. formação da matriz de rigidez e do vector das cargas de toda a estrutura a partir das matrizes de rigidez e dos vectores das cargas das barras isoladas, designa-se por assemblagem.

Documents

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS - civil.fe.up.ptcivil.fe.up.pt/.../aulas_teoricas/acetatos/metodo_deslocamentos_1.pdf · Método dos Deslocamentos 1 ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS