35
UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc

Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 1

Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Aplicado a Peças Esbeltas

Sujeitas à Carregamento AxialSujeitas à Carregamento Axial

Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc

Page 2: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 2

l TRELIÇAS:– Revisão de conceitos da Resistência dos

Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;

– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;

– Solução via FEM;– Resolução de um exemplo prático;

Programa da aula:Programa da aula:

Page 3: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 3

l VIGA PLANA:– Revisão de conceitos da Resistência dos

Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;

– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;

– Solução via FEM

Programa da aula Programa da aula (continuação):(continuação):

Page 4: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 4

Bibliografia recomendada:Bibliografia recomendada:

lBathe,K.J.-Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall,1982.

lCook, R.D. Conceps and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, 1974.

lZienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L. The FiniteElement Method, Mc-Graw-Hill, 1989

4

Page 5: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 5

l TRELIÇAS:– Revisão de conceitos da Resistência dos

Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;

– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;

– Solução via FEM;– Resolução de um exemplo prático;

Programa da aula:Programa da aula:

Page 6: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 6

Treliças Treliças

Page 7: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 7

Introdução Introdução

lTreliças são estruturas “naturalmente” formadas por Elementos Finitos, tornando-se adequadas para introdução de alguns conceitos utilizados pelo Método dos Elementos Finitos, como construção da matriz de rigidez, montagem, solução do sistema de equações, etc

Page 8: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 8

1.Revisão de Conceitos da 1.Revisão de Conceitos da Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais

Ensaio de TraçãoEnsaio de Tração

Page 9: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 9

Ensaio de TraçãoEnsaio de Tração

l Barra de comprimento L;l Seção transversal cilíndrica com diâmetro d;l Carregamento: submetida a uma tração axial

(carga P);l Material elástico isotrópico linear: Módulo de

Young E e Coeficiente de Poisson ν; l Sistema de coordenadas de referência: Oxyz cujo

eixo x coincide com o eixo da peça.;

Page 10: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 10

Ensaio de Tração PuraEnsaio de Tração Pura

LA A'

seção trans-versal AA'

d

l Modelo Matemático:uma barra cilíndrica engastada em x=0 e com carga P crescente de tração aplicada na extremidade livre em x=L.

Page 11: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 11

CinemáticaCinemática

lHipóteses simplificadoras:– Fibras longitudinais ou se alongam ou se

encurtam;– Seções planas e normais ao eixo axial da peça

permanecem planas e normais a tal eixo após a deformação;

– Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação.

Page 12: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 12

Cinemática Cinemática -- DeslocamentosDeslocamentos

l Deslocamentos:( )x u xx+

( )x u xx+

Page 13: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 13

Cinemática Cinemática -- DeformaçõesDeformações

d - d

x

y

M A

C B

M' A'

C' B'

dxdM

M A

dA

( ) ( )εx

xxL

Ldu x

dx= =

∆l Campo de deformações:alongamento

Page 14: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 14

Equação ConstitutivaEquação Constitutiva

lPara um material isotrópico elástico linear, adota-se a Lei de Hooke:

lEsforço normal interno :

( ) ( )σ εx xx E x=

N dA Ax x A x x= =∫σ σ

Page 15: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 15

Equilíbrio Equilíbrio -- Equação DiferencialEquação Diferencial

l Esforço normal constante ao longo de x

dNdx

x = 0

( )ddx

A Edu x

dxxx

= 0

( )AE

d u xdx

x2

2 0=

Page 16: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 16

Equilíbrio Equilíbrio -- ContornoContorno

l em x=0

l em x=L

( )ux 0 0=

( )N L Px =

Page 17: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 17

SoluçãoSolução

( )AE

d u xdx

x2

2 0=( )ux 0 0=

( )N L Px =

( )u xPxAEx =

Page 18: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 18

Equilíbrio Equilíbrio -- Forma VariacionalForma Variacional

l Trabalho Interno:

l Trabalho Externo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

W x x d x dA x dx

N x x dx

i x x xA x

L

x x

L

= − = − =

= −

∫ ∫∫

σ δε σ δε

δε

BB 0

0

( ) ( ) ( )W q u x dx P u xe x x

L

j x jj

= x δ δ0∫ ∑+

Page 19: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 19

Equilíbrio Equilíbrio -- Forma VariacionalForma Variacional

Princípio dos Trabalhos Virtuais:Princípio dos Trabalhos Virtuais:

W W ui e x+ = 0 para todo δ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

− +

+ =

∫ ∫∑

N x x dx q u x dx

P u x u x

x x

L

x x

L

j x jj

x

δε δ

δ δ

0 0

0

x

para todo

Page 20: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 20

MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE

TRELIÇA:TRELIÇA:

i jUi U

L

xj L

i jPi P

L

xj L

l Usa apenas conceitos de equilíbrio:

l cada nó possui um grau de liberdade ou DOF-degrees of freedom - Ui e Uj;

l forças nodais associadas a estes graus de liberdade, Pi e Pj respectivamente;

l equação de equilíbrio das forças na direção x:

P Pj i= −

Page 21: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 21

MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE

TRELIÇA:TRELIÇA:

i jNi N

L

xj

σ σx xA A

L

l relações de equilíbrio nodal:

l Lei de Hooke:

l cinemática: −>

l forma matricial da relação forças com deslocamentos:

P N Ai i x x= = −σ

P N Aj j x x= = σ

P EAi x x= −εP EAj x x= ε

εxj iL

LU U

L= =

−∆P EA

U U

Li xj i= −−

P EAU U

Lj xj i=−

EAL

UU

PP

x i

j

i

j

1 11 1

−−

=

Page 22: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 22

MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS

VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:

l PTV:

l Interpolação proposta:

( ) ( ) ( ) ( )

( )− + +

+ =

∫ ∫∑

EAdu x

dxd u x

dxdx q u x dx

P u x u

xx xL

x x

L

j x jj

x

δδ

δ δ

0 0

0

x

para todo

( ) ( ) ( )u x U x U xx i i j j= +φ φ( ) ( ) ( )δ δ φ δ φu x U x U xx i i j j= +

L

i j

φiφ( ) = 1i φ ( )= 0i j(x)xi x

L

i j

φjφ( ) = 0j φ ( )= 1j i(x)xi x

Page 23: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 23

MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS

VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:l funções de interpolação:

l campos interpolados:

l PTV aproximado:

( )φi x

L xL

( ) =−

L

i j

φiφ( ) = 1i φ ( )= 0i j(x)xi x

L

i j

φjφ( ) = 0j φ ( )= 1j i(x)xi x

φ j xxL

( ) =

( ) ( )u x

L xL

UxL

Ux i j=−

+

( )du xdx

U U

Lx j i=

( ) ( )EA

du xdx

d u xdx

dxEA

L

UUx

xL x x i

j0

1 11 1∫ =

−−

δ ( )P u xPPi

ix i

i

j∑ =

δ

Page 24: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 24

TRANSFORMAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADASCOORDENADAS

XG

YG

xL

i

j

θ

U iL

U jL U

U

sen

sen

U

VU

V

Li

Lj

Gi

Gi

Gj

Gj

=

cos

cos

θ θθ θ

0 0

0 0

PP

PP

sensen

P

P

xi

yi

xj

yj

i

i

=

cos

cos

θθ

θθ

0

00

0

kEAL

sen sensen sen sen sen

sen sensen sen sen sen

ijG =

− −− −

− −− −

cos cos cos coscos cos

cos cos cos coscos cos

2 2

2 2

2 2

2 2

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

Page 25: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 25

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1

E A1 1

E A1 1E = 2 E2 1L

LP

l comprimento L = 1 ml Módulo de Elasticidade

E1 = 100 GPal A = 0,01 m2

l P = 10.000 KN

Page 26: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 26

Exemplo1 Exemplo1 -- Identificação do modeloIdentificação do modelo

l Geometria :l Coordenadas nodais Incidêncial NÓ XG YG Barra Nó inicial Nó finall 1 1 0 1 2 3l 2 0 0 2 3 1l 3 0 1 3 2 1

12

3

1 2

3 XG

YG l Identificação do problema físico;

l b) Escolha do sistema de coordenadas de referência;

l c) Criação do modelo de Elementos Finitos: Geometria

Page 27: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 27

Exemplo1 Exemplo1 -- Identificação do modeloIdentificação do modelo

E A1 1

E A1 1E = 2 E2 1L

LP

l propriedades materiais:l barras 1 e 3 l barra 2l carregamentos:NÓ1

carga concentrada aplicada na direção do eixo no sentido contrário.

l condições de contorno:l NÓ 2 engastadol NÓ 3 simplesmente apoiado

E GPa1 100= A m120 01= ,

E GPa2 142= A m220 01= ,

P KNY = 10000

U VG G= = 0

U G = 0

Page 28: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 28

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares

XGYL

YG= XL

2

3

θ = 90

VL

U

2

3

3L

U2L

2

VL3

V

G

U

2

3 3

G

U2

G2

V

G

3

l Barra 1 incidência 2-3l matriz de rigidez local:

l ângulo = 90

l matriz de rigidez global:

E AL1 1

1

1 11 1

−−

cosθ = 0 senθ = 1

kE A

LijG1 1 1

1

0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1

=−

Page 29: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 29

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares

X

GY

LY

G X

L

1

3

θ = 315VL

U

1

3

3L

U1L

1

VL3

V

G

U

2

3 3

G

U2

G2

V

G

3

l Barra 2 incidência 3-1l matriz de rigidez local:

l ângulo = 315

l matriz de rigidez global:

E AL2 2

2

1 11 1

−−

cosθ = 2 2

senθ = − 2 2

kE A

LijG2 2 2

2

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

=

− −− −− −

− −

Page 30: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 30

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares

XG

YLY =G

= XL2 1

θ = 0

VLU

2 1

3LU2

L

2 VL3

V

G U3G

U2G2 V

G

3=

=

=

=

l Barra 3 incidência 2-1l matriz de rigidez local:

l ângulo = 90

l matriz de rigidez global:

E AL1 1

1

1 11 1

−−

cosθ = 1

senθ = 0

kE A

LijG3 1 1

1

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

=

Page 31: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 31

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Montagem da matriz de rigidez global

kE A

Lij =

− − −

− −

−−

− −

− − −

1 1

1

32

12 1 0 1

21

21

21

2 0 0 12

12

1 0 1 0 0 00 0 0 1 0 11

21

2 0 0 12

12

12

12 0 1 1

23

2

Page 32: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 32

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Montagem da matriz de rigidez global

l Condições de contorno:l cargas aplicadas:

l reações nos vínculos:

l deslocamentos prescritos:

l VETOR DE CARGAS:

l VETOR DESLOCAMENTO:

Px1 0= P Py

1 = − Py3 0=

P Rx x2 2= P Ry y

2 2= P Rx x3 3=

12

3

1 2

3 XG

YG

UG2 0= VG

2 0= UG3 0=

{ }P P P P PiT

x y x= −0 02 2 3

{ }U U V ViT

G G G= 1 1 30 0 0

Page 33: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 33

Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Solução

l Deslocamentos nodais:

12

3

1 2

3 XG

YG

UP LA EG

1 1

1 1

7

2 1 1210

10 1010 0 01= − = − = − = −−

− ,

VPL

A EG1 1

1 1

40 04= − = − , V

PLA EG

3 1

1 1

0 01= − = − ,

Page 34: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 34

Page 35: Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas ... · UFPR - CESEC 1 Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Sujeitas à Carregamento Axial Profa Mildred

UFPR - CESEC 35

Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Aplicado a Peças Esbeltas

Sujeitas à Carregamento AxialSujeitas à Carregamento Axial

Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc