Método dos elementos finitos formulações matemáticas

8/16/2019 Método dos elementos finitos formulações matemáticas

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Método dos Elementos Finitos-Barras 2016

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Discente:

Diogo Pires, n.º34092

Método Dos Elementos Finitos

Trabalho n.º1 – Barras

Docente: Professor Corneliu Cismaciu

Mestrado Integrado em Engenharia Civil - Perfil deEstruturas

2015/2016

2º Semestre


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Índice

1. Introdução .......................................................................................................................................... 32. Problema ............................................................................................................................................ 4

3. Formulação Diferencial ...................................................................................................................... 5

3.1. Introdução Teórica ..................................................................................................................... 5

3.2. Resolução do Problema .............................................................................................................. 6

4. Formulação em resíduos ponderados ................................................................................................ 8

4.1. Introdução teórica ...................................................................................................................... 8

4.2. Resolução do problema .............................................................................................................. 9

5. Método das Diferenças Finitas ......................................................................................................... 14

5.1. Introdução teórica .................................................................................................................... 14

5.2. Resolução do problema ............................................................................................................ 15

6. Método dos Elementos Finitos......................................................................................................... 20

6.1. Introdução teórica .................................................................................................................... 20

6.2. Resolução do problema ............................................................................................................ 20

7. Conclusão ......................................................................................................................................... 25

8. Bibliografia .................................................................................................................................... 26


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1. Introdução

Este trabalho foi realizado no âmbito da unidade curricular Método dos Elementos Finitos. O

objectivo fundamental, foi o recurso à implementação computacional de vários métodos numéricos

para resolver o problema em estudo, comparar e comentar resultados obtidos com a solução exacta,

comparando os métodos entre si.

Métodos utilizados:

Formulação diferencial

Resíduos ponderados com a formulação de Galerkin

Método das diferenças finitas (MDF)

Método dos elementos finitos (MEF)


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2. Problema

O problema físico que será estudado neste trabalho é constituído por uma barra encastrada

(figura 1), homogénea de secção variável sujeita a esforço normal e condições de fronteira, onde sepretender estudar os respectivos deslocamentos axiais, tensões axiais e esforços axiais, utilizando as

várias formulações destintas referidas anteriormente.

Figura 1- Caracterização da barra em estudo

Como já foi referido e tendo em conta que a secção da barra não é uniforme, havendo uma

variação de área, é necessária dividi-la em 2 troços, troços esses que são:

0


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3. Formulação Diferencial

3.1.

Introdução Teórica

A formulação diferencial do problema tem como objectivo obter uma solução analítica

(exacta) do problema, procurando assim uma solução do tipo:

, 2, , ∅(, , , , ) Considerando que a barra tem um comportamento elástico linear e possível relacionar as

tensões e as deformações através da Lei de Hook:

Em que:

σ - Tensões axiais;

E - Módulo de elasticidade da barra (Considerou-se E = 1 GPa);

ε - Extensões na barra, que correspondem às derivadas dos deslocamentos ao longo da mesma, que

são dadas pela seguinte expressão:

ε Tendo em conta que a tensão pode ser expressa da seguinte forma:

σ NA ⇔ N σ AEm que:

N - Esforço axial presente na barra,

A - Área do elemento.

É então possível determinar o esforço axial através da expressão: N E A Abaixo apresento a figura, em que surge a equação de equilíbrio estático em relação ao

esforço axial da barra e que deve ser respeitada:

Figura 2- Elemento infinitesimal da barra sujeito a esforço axial.

Fazendo o equilíbrio de forças horizontais obtém-se a seguinte equação:

N N dNdx ⇔ dNdx 0


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D e s l o c a m e n t o u ( x )

E x t e n s ã o

De seguida apresentam-se os gráficos das 3 funções obtidas (considerou-se E=1):

Figura 3-Gráfico dos deslocamentos ao longo do comprimento da barra

Observa-se que, como era esperado, na zona onde existe descontinuidade da função quedefine a área da secção transversal temos o ponto de inflexão da função de define os deslocamentos.

Figura 4- Gráfico das extensões ao longo do comprimento da barra

Comprimento (cm)

Comprimento (cm)


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E s f o r ç o a x i a l ( N )

Observe-se a existência de um ponto anguloso na secção onde existe a descontinuidade da

função que define a área da secção transversal.

Figura 5- Gráfico do esforço axial ao longo da barra

Neste último gráfico podemos observar o esforço axial existente na barra para a solução

analítica, demonstrando apenas uma variação infinitesimal em relação aos 100N. Esta variação é

devida aos constantes arredondamentos do programa de cálculo e do seu poder de precisão. Ou seja

pode-se concluir como era expectável que o esforço axial é constante ao longo da barra.

4. Formulação em resíduos ponderados

4.1.

Introdução teórica

A formulação em resíduos ponderados é obtida através de três métodos:

Mínimos quadrados

Método da Colocação

Método de Galerkin

O método dos Mínimos quadrados defende que o resíduo ao quadrado é igual a zero, pelo facto

de todas as áreas obtidas serem positivas, fazendo com que a única solução viável ocorra quando estas

são nulas.

O método da Colocação, distingue-se por ser o mais rápido, defende que os resíduos em pontos

conhecidos são nulos, embora funcione correctamente se não existirem variações bruscas, pois nesse

caso seria necessária a utilização de um polinómio elevado mas que seria muito instável.

Por último, o método de Galerkin, que será usado para a resolução do nosso problema, e que se

resume à diminuição dos resíduos, isto é, a diferença entre a função aproximada e a função original,

sendo que quanto menor for essa diferença ou resíduo, mais próxima está a função escolhida daexacta, tendo como condição que o integral do resíduo ponderado com outra equação tenda para

Comprimento (cm)


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zero. Note-se que para a solução exacta a função resíduo é igual a zero, porém, o mesmo não acontece

para a solução aproximada.

A formulação em resíduos ponderados consiste então numa aproximação à solução exacta por

funções f ix (funções de forma linearmente independentes), tal que: ∑ = O problema é resolvido pela determinação dos pesos ai. As funções de forma a utilizar vão ser

polinómios, tal que . Note-se ainda que a função deve ser compatível e não devem haverdescontinuidades no grau do polinómio (i.e. isto não deve ser utilizado, mas sim

).

Substituindo a função de aproximação na equação diferencial que rege o problema em estudoobtém-se a função resíduo (Ξ) para o nosso problema:

( ) 0 → ∑

= Segundo este método, os coeficientes f i (parâmetros indeterminados) são determinados através

da seguinte condição:

∫ 0 ; 1,2 ,3 ,…, → ∫ × ( ) 0 Representando u, neste caso, a função de aproximação a utilizar.Para resolver esta integração recorreu-se ao teorema da divergência, resultando:

∫ ( ) |=

4.2.

Resolução do problema

A resolução do sistema de equações foi feita computacionalmente recorrendo a uma rotina, para

polinómios de grau 5, 11 e 20. Apresentam-se nas páginas seguintes os gráficos obtidos, tal como os

gráficos dos respectivos erros relativos.


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Figura 6- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra (fun1-

Polinómio de grau 5 (Galerkin), fun2-Exacta). Direita- Gráfico do erro relativo comparando o método

de Galerkin e a solução exacta.

Figura 7- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra (fun1-Polinómio de

grau 5 (Galerkin), fun2-Exacta). Direita- Gráfico do erro relativo comparando o método de Galerkin e a

solução exacta.

Figura 8- Esquerda-Gráfico do esforço axial (N) ao longo do comprimento da barra (fun1-




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Figura 10- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra (fun1-Polinómio

de grau 11 (Galerkin), fun2-Exacta). Direita- Gráfico do erro relativo comparando o método de Galerkin

e a solução exacta.



de Galerkin e a solução exacta


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Figura 13- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra (fun1-Polinómio

de grau 20 (Galerkin), fun2-Exacta). Direita- Gráfico do erro relativo comparando o método de Galerkin

e a solução exacta.


Polinómio de grau 20 (Galerkin), fun2-Exacta). Direita- Gráfico do erro relativo comparando o métodode Galerkin e a solução exacta.


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Erro relativo:

×100 Análise dos gráficos obtidos:

Polinómio de aproximação

Grau 5 Grau 11 Grau 20

Deslocamentos 6,40% 0,80% 0,30%

Extensões 15,90% 7% 3,90%

Esforço Axial 15,90% 7% 3,90%

Tabela 1- Erros relativos máximos aproximados para os vários graus de polinómios utilizados.

Polinómio de aproximação

Grau 5 Grau 11 Grau 20


Extensões 3,78% 0,84% 0,31%

Esforço Axial 3,78% 0,84% 0,31%

Tabela 2- Erros relativos médios para os vários graus de polinómios utilizados.

Como é possível observar, em termos de deslocamentos obtemos uma boa aproximação da

solução exacta utilizando apenas um polinómio de grau 5 (erro relativo médio de cerca de 0,56%).

Aumentando o grau, o erro relativo diminui substancialmente obtendo-se cerca de 0,05% para um

polinómio de grau 11 e 0,009% para um polinómio de grau 20.

O mesmo já não acontece para as extensões, como era de esperar, pois sendo a função da

extensão, a derivada do deslocamento, seria de esperar que o erro aumentasse. Como se observa na

tabela, o polinómio de grau 5 deixa de ser uma aproximação à solução exacta tão boa como no caso

dos deslocamentos. Por sua vez podemos concluir que os polinómios de grau 11 e 20 são boas

aproximações (com erros de 0,84% e 0,31% respectivamente). A mesma conclusão se pode obter para

o esforço axial devido à linearidade na função das áreas.

Podemos ainda concluir que os polinómios não apresentam boas aproximações no ponto anguloso

da função das extensões (abcissa=100), pois são funções continuas.

Por fim, seria útil fazer uma análise Erro/Tempo, isto é, como podemos constatar, quanto maior

for o grau do polinómio, mais perto estará a aproximação da solução exacta. Contudo, isto não quer

dizer que seja a solução mais eficiente pois se fizermos a mesma rotina para um polinómio de grau 40

a máquina iria levar bastante tempo a apresentar a solução e a percentagem de erro não seriasignificativamente diferente que justificasse o processo.


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5. Método das Diferenças Finitas

5.1.


O método das diferenças finitas aplicado ao problema consiste na divisão do domínio num

conjunto discreto de pontos igualmente espaçados (espaçamento=n). Neste método podemos ter em

conta a solução apenas nos pontos que consideramos e não no intervalo em 2 desses pontos

consecutivos.

Para se resolver equações diferenciais através do método recorre-se à utilização de operadores

diferenciais existentes, de primeira, e segunda ordem respectivamente:

Podemos observar através da análise dos operadores acima que para chegarmos à solução

precisamos de mais pontos dos que foram considerados no domínio, neste caso será necessário o

ponto 1, considerando uma divisão da barra, de 0 a com o ponto 0 a coincidir com a abcissa 0

e o ponto

com a abcissa

.

A equação diferencial que rege o problema pode ser reescrita: ( ) 0 → 0 Aplicando os operadores à equação diferencial: [( + −2ℎ ) + −2ℎ (+ 2 −ℎ )] 0 → + 4 −+ 8 + 4 − − 0 Condições de fronteira do problema:

0 0 = → + −2ℎ → + − R × 2 hE × An Tal que: – Área – Deslocamentos, com i = 1,2,…,nℎ

Intervalo entre pontos em cm


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As extensões e o esforço axial podem ser obtidos da seguinte forma:

+ −2ℎ

5.2.


O problema foi resolvido computacionalmente recorrendo a uma rotina para um número de

pontos de 20, 40 e 80, com ℎ 9 , ℎ4,5 e ℎ2,25, respectivamente.De seguida apresentam-se os respectivos gráficos, comparados com a solução analítica e os

respectivos erros relativos médios.


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Figura 15- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra para ℎ 9 comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a solução

analítica.

Figura 16- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra para ℎ 9 comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a solução

analítica.

Figura 17- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra para

ℎ 9

comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a solução

analítica.


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Figura 18- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra para ℎ4,5 comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a solução

analítica.

Figura 19- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra para ℎ4,5 comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a solução

analítica.

Figura 20- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra para

ℎ4,5

comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com a soluçãoanalítica.


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Figura 21- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra para ℎ 2,25 comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MDF com asolução analítica.


analítica.


analítica.


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Erro relativo:

×100 Número de pontos

20 40 80


Extensões 3,37% 0,88% 0,23%

Esforço Axial 3,37% 0,88% 0,23%

Tabela 3- Erros relativos médios para os diferentes números de pontos utilizados.

Número de pontos

20 40 80Deslocamentos 4,91% 1,22% 0,3%

Extensões 4,44% 1,42% 0,66%

Esforço Axial 4,44% 1,42% 0,66%

Tabela 4- Erros relativos máximos para os diferentes números de pontos utilizados.

Análise dos gráficos obtidos:

Como podemos observar nos gráficos, é possível afirmar que em qualquer uma das malhas

obtemos boas aproximações à solução analítica, com o maior erro máximo a rondar os 5%. Aindaassim e verificando novamente os gráficos obtidos, como era espectável, o erro diminui

consideravelmente à medida que refinamos as malhas.

De notar que o gráfico do erro da função de deslocamentos apresenta uma forma especial, o erro

é constante no primeiro troço da barra e sobe bruscamente quando atingimos a secção em que a

função da área varia. Isto pode ser devido ao facto de o método das diferenças finitas funcionar bem

com funções contínuas mas apresenta um comportamento variável em pontos de descontinuidade.

Embora não tenha sido apresentado no relatório, foi também feita a análise para malhas com

menos de 20 pontos. Nessa análise foi possível constatar que abaixo dos 15 pontos começamos a

obter as piores soluções, com erros médios a rondar os 8/10%.

Fazendo a comparação com o método dos resíduos ponderados (Galerkin), podemos concluir que

o método dos resíduos ponderados apresenta uma melhor aproximação à solução exacta isto é, para

um polinómio de apenas grau 5 obtemos um erro médio aproximadamente 5 vezes mais baixo do que

numa malha de 20 pontos. Contudo, é possível afirmar que o método das diferenças finitas apresenta

uma complexidade mais baixa e como já foi constatado, também apresenta resultados

consideravelmente bons.


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6. Método dos Elementos Finitos

6.1.


Nesta ultima fase do trabalho, vai ser usado o método dos elementos finitos com formulação em

deslocamentos, que consiste em dividir o domínio, representando-o de forma aproximada por um

número finito de elementos. É importante referir que os elementos finitos utilizados para o presente

trabalho, são elementos finitos unidimensionais de dois nós.

Neste problema são conhecidas tanto a fronteira estática como a cinemática. Este método

aplicado ao problema em análise permite, conhecendo a geometria, as cargas, condições de apoio e

leis do material, determinar todo o conjunto dos deslocamentos, tensões e esforços a que o corpo está

sujeito.

Para se proceder à sua resolução é necessário definir um sistema governativo. Este método tem

como base o princípio dos trabalhos virtuais, no qual, o equilíbrio do corpo requer que o trabalhovirtual externo seja igual ao trabalho virtual interno para qualquer deslocamento a que o corpo esteja

sujeito.

∫ ̅ ∫ ∫ ∑ A igualdade anterior leva a que se verifiquem as condições de equilíbrio de compatibilidade e

as leis constitutivas.

6.2.


Para um dado referencial local, se for admitido que a lei de variação do deslocamento entre os

nós, u , é linear em todo o seu domínio, é então possível aproximá-lo por meio de duas funções deforma:

L

Figura 24- Elemento unidimensional

Fazendo uma aproximação linear do 1º e do 2º nó, obtemos:

1 1 → [1 ; ] 12 ⟺ Em que:

Matriz de interpolação dos deslocamentos, Matriz dos deslocamentos de cada nó.

u1

u2

ui(x)

1

2


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Analisando as deformações temos:

1 ; 1} Em que: Derivada em ordem a , Matriz de compatibilização dos deslocamentos-deformações.As tensões podemos obter através da seguinte expressão: Em que:

Matriz de elasticidade (no exercício igual a E (Módulo de Young)).

Regressando à expressão dada pelo Principio dos trabalhos virtuais: ∑ ∫ ⏟ ∑ ∫ ⏟

∑ ∫ Γ⏟

Matriz de rigidez global, Vector das forças de massa, Vector das forças distribuídas, Vector das forças concentradas aplicadas nos nós.Sendo

igual ao vector de todas as forças aplicadas, igual a:

≡

A matriz de rigidez do elemento pode então ser calculada por:

∫ Após se obter as matrizes de rigidez de todos os elementos considerados, estas devem ser

introduzidas numa matriz de rigidez global da estrutura [K].

É importante ainda ser definido o vector das restrições , em que se existir uma restrição nodeslocamento modal assume valor igual a 1 , e tem valor igual a 0 se não existirem restrições. Deve

ainda ser definido o vector das cargas aplicadas , em que de forma análoga ao vector dasrestrições, assume valor igual a 0 se não existir nenhuma carga aplicada e tem valor igual ao da cargana entrada , se a carga estiver aplicada segundo o deslocamento nodal .

Após a obtenção de todos estes elementos estamos em condições de montar o sistema

governativo e resolver: [ 0 ] λ 0 A resolução do problema foi feita recorrendo a uma rotina, para 20 e 100 elementos. De seguida

apresentam-se os gráficos obtidos, assim como a respectiva análise.


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Figura 25- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra para 20 elementos

comparado com a solução analítica. Direita- Gráfico do erro relativo comparando MEF com a solução

analítica.

Figura 26- Esquerda-Gráfico da extensão ao longo do comprimento da barra para 20 elementos


analítica.

Figura 27- Esquerda-Gráfico do esforço axial ao longo do comprimento da barra para 20 elementos


analítica.


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Figura 28- Esquerda-Gráfico do deslocamento ao longo do comprimento da barra para 100 elementos


analítica.



analítica.



analítica.


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Erro relativo:

Número de elementos

20 100

Deslocamentos 0,69% 0,02%Extensões 10,96% 2,19%

Esforço Axial 10,96% 2,19%

Tabela 5- Erros relativos médios para os diferentes números de pontos utilizados.

Número de elementos

20 100

Deslocamentos 1,09% 0,05%

Extensões 18,68% 3,94%

Esforço Axial 18,68% 3,94%

Tabela 6- Erros relativos máximos para os diferentes números de pontos utilizados.

Análise dos gráficos obtidos:

Mais uma vez a função de deslocamentos apresenta uma excelente aproximação à solução exacta

com erros relativos máximos na ordem do 1% apenas com 20 elementos finitos. Como era espectável,

para 100 elementos finitos o erro desce substancialmente passando para a ordem dos 0,02%.

Já para as extensões o panorama torna-se um pouco diferente quando falamos dos 20 elementos,

isto é, para 20 elementos obtemos erros relativos máximos na ordem dos 19%. Para os 100 elementos

e de forma análoga ao deslocamento, o erro relativo máximo desce substancialmente para os 4%. ´

Os mesmos erros são obtidos para o valor do esforço axial que , como já foi referido

anteriormente, resulta da linearidade da função das áreas da secção transversal. De observar que

existe ainda uma oscilação da função em torno do valor exacto (100) devido ao facto da área não ser

constante.


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7. Conclusão

O presente trabalho baseou-se em de 4 métodos de análise de uma barra encastrada, sujeita a um

esforço axial de 100 kN, em que o primeiro método fornecia-nos valores exactos (formulação analítica)e os restantes fornecia-nos valores aproximados.

De salientar que em muitos casos práticos de engenharia não é possível a obtenção da solução

exacta de um problema. É devido a esta situação que os métodos de aproximação são tao

importantes.

Relativamente ao método de Galerkin, é possível afirmar que a qualidade dos resultados depende

substancialmente do tipo da função de aproximação, e como foi observado, para uma função

polinomial, a aproximação é tanto melhor quanto maior for o grau do polinómio. Neste método, o

único aspecto negativo situa-se no facto de para polinómios de grau muito elevado, começamos a

observar instabilidades, e a máquina demora bastante tempo a correr todas as rotinas.

O método das diferenças finitas (MDF), apesar de não apresentar uma elevada complexidade

comprando com os restantes métodos, convergiu mais rapidamente em relação as extensões e ao

esforço axial.

Quanto ao método dos elementos finitos (MEF) dá-nos também resultados bastante

aproximados dos reais tal como no método das diferenças finitas com a vantagem de neste método

conseguirmos obter a solução entre dois nós, uma particularidade que falha no método das diferenças

finitas.


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8. Bibliografia

[1] Azevedo, Álvaro F. M., Método dos Elementos Finitos, Faculdade de Engenharia da Universidade do

Porto, 1ª Edição, Portugal, Abril de 2003;

[2] Cismasiu, Corneliu, Método dos Elementos Finitos “Apontamentos das aulas” , Departamento de

Engenharia Civil, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2014/2015

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