MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS APLICADO AO …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10001495.pdf · DE ÓLEO CONSIDERANDO EFEITOS DE ... Finite Volume Method Applied to the Oil

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MTODO DOS VOLUMES FINITOS APLICADO AO ESCOAMENTO BIFSICO LEO-GUA EM RESERVATRIOS DE LEO CONSIDERANDO EFEITOS DE AQUECIMENTO NO

POO PRODUTOR

HEITOR GONALVES HARTMANN

Projeto de Graduao apresentado ao Curso de Engenharia do Petrleo da Escola Politcnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de Engenheiro. Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng.

Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

ii

Hartmann, Heitor Gonalves Mtodo dos Volumes Finitos Aplicado ao Escoamento

Bifsico leo-gua em Reservatrios de leo Considerando Efeitos de Aquecimento no Poo Produtor/ Heitor Gonalves Hartmann. Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politcnica, 2011.

xv, 106 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Paulo Couto Projeto de Graduao UFRJ/ Escola Politcnica/ Curso

de Engenharia do Petrleo, 2011. Referncias Bibliogrficas: p..104-105 1. Simulao Numrica. 2. Engenharia de Reservatrios. 3.

Volumes Finitos . I. Couto, Paulo et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politcnica, Curso de Engenharia do Petrleo. III. Titulo.

iii

Dedicatria

Dedico este trabalho a minha me Lucia e meu pai Waldemar, por sempre estarem ao

meu lado acreditando na minha capacidade de vencer os desafios propostos pela vida.

A Regio Serrana do Estado do Rio de Janeiro, e em especial a minha sempre

maravilhosa cidade de Nova Friburgo. Terra de um povo guerreiro e batalhador, que

com f em Deus e muito trabalho est reconstruindo a cidade que foi devastada, no

dia 12 de janeiro de 2011, pelo maior desastre natural registrado na histria do Brasil.

Muitas foram s perdas, mas o orgulho de ser friburguense continua intacto.

iv

Agradecimentos

A Santssima Trindade. Ao Deus Pai, criador do Universo, de todas as coisas visveis

e invisveis. Ao Deus Filho, Jesus Cristo, Salvador do Mundo e motivo maior de

nossas vidas. Ao Deus Esprito Santo, o Parclito, nosso defensor e que nos cumula

de f para superarmos as adversidades do dia-a-dia.

A Nossa Senhora e a Santa Rita de Cssia, minhas maiores intercessoras junto a

Deus. Por intermdio Delas minhas splicas sempre foram atendidas.

A meus pais, por todo apoio afetivo e financeiro, pois sem eles o meu sonho de se

tornar Engenheiro de Petrleo no seria realizado.

UFRJ, que me deu a honra de colocar meu nome na sua histria e a todos os

professores, por sua dedicao e empenho, em especial ao professor e amigo Paulo

Couto, que sem a sua grande colaborao neste projeto nada disso seria possvel.

Schlumberger, empresa que acreditou na minha capacidade e cedeu sua sute de

softwares, para realizao deste trabalho. um prazer fazer parte desta empresa.

A toda a minha famlia, que me acompanhou nesta difcil caminhada e me

proporcionou momentos de felicidade, onde a rotina repleta de matrias e

responsabilidades era trocada por muito lazer e diverso.

A meus amigos, excelentes ouvintes das minhas inmeras reclamaes dirias. A

eles, meu muito obrigado pela pacincia e compreenso em todas as horas.

Ao meu cachorro Tit, um amigo verdadeiro e fiel, que com sua energia positiva e um

olhar fascinante foi capaz de me ajudar a enxergar a vida de uma maneira simples e

feliz.

v

.

A mente que se abre a uma nova idia jamais voltar ao seu tamanho original

Albert Einstein

Combati o bom combate, completei a corrida, guardei a f

2 Timteo 4:7

vi

Resumo do Projeto de Graduao apresentado Escola Politcnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Engenheiro do Petrleo.

Mtodo dos Volumes Finitos Aplicado ao Escoamento B ifsico leo-gua em Reservatrios de leo Considerando Efeitos de Aquec imento no Poo Produtor

Heitor Gonalves Hartmann

Fevereiro/2011 Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng. Curso: Engenharia de Petrleo

A indstria do petrleo vem conhecendo ao longo deste sculo XXI uma nova realidade na explorao e produo desta riqueza to importante para o desenvolvimento da sociedade contempornea. H uma necessidade iminente de se aplicar mtodos de recuperao avanada em conjunto com mtodos de recuperao secundria a fim de que se possa aumentar o fator de recuperao de determinados campos e garantir, assim, o suprimento da demanda mundial. Nesse trabalho foi realizada uma reviso bibliogrfica sobre os principais mtodos trmicos que, em conjunto com outros mtodos, so responsveis pelo incremento considervel na produo de petrleo. Apresentaram-se as propriedades bsicas de um reservatrio, que serviram de alicerce para derivao das equaes do escoamento leo-gua bem como da equao da energia. Estas foram discretizadas com base no mtodo dos volumes finitos para reservatrios bidimensionais. Alm disto, para otimizar o procedimento foi aplicado o mtodo IMPES ao sistema leo-gua. As equaes foram implementadas no Mathematica 7 sendo feita uma anlise de convergncia para em seguida ocorresse a validao atravs do Petrel e do simulador ECLIPSE. Visou-se por fim analisar os resultados da recuperao atravs de duas alternativas: injeo de gua e injeo de gua e mais calor, com o objetivo de verificar o mtodo que oferece uma maior produo acumulada ao fim da simulao, levando em considerao ainda a sua viabilidade de aplicao

Palavras-chave: Simulao Numrica, Engenharia de Reservatrios, Volumes Finitos, Mtodo IMPES, Escoamento bifsico.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Petroleum Engineer.

Finite Volume Method Applied to the Oil-Water Two-Phase Flow in Oil Reservoirs

Considering Heating Effects in the Producer Well

Heitor Gonalves Hartmann

February/2011 Advisor: Paulo Couto, Dr. Eng. Course: Petroleum Engineering

The oil industry has come to known through this 21st century a new reality in the exploration and production of this asset which is so important for the development of modern society. There is a need to apply enhanced recovery methods alongside secondary recovery aiming to increase the recovery factor of certain fields and thus ensure the supply of world demand. In the present work a review was made on the main thermal methods that, alongside other methods, are responsible for the considerable increase in oil production. The basic properties of a reservoir are presented, which serve as the basis for the derivation of the oil-water flow equations as well as the energy equation. These were discretized based on the finite volumes method for two-dimensional reservoirs. Furthermore, in order to optimize the procedure, the IMPES method was applied. The equations were implemented in Mathematica 7, with a convergence analysis being made for the validation through Petrel and the ECLIPSE simulator. At last, the recovery results were analyzed through two alternatives: injection of water and of water plus heat, with the objective of verifying the method which offers the largest cumulative production at the end of simulation, still taking into account its feasibility.

Keywords: Numerical Simulation, Reservoir Engineering, Finite Volume Method, IMPES Method, Two Phase Flow.

viii

Sumrio LISTA DE FIGURAS .................................. ................................................................................... X

LISTA DE TABELAS .................................. ................................................................................ XII

NOMENCLATURA ...................................... ............................................................................... XIII

1 INTRODUO ...................................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVOS E MOTIVAO ................................................................................................ 2

1.2 ESTRUTURAO DO TRABALHO ........................................................................................ 4

2 MTODOS TRMICOS ........................................................................................................ 5

2.1 CARACTERSTICAS DOS MTODOS DE RECUPERAO AVANADA ...................................... 5

2.2 EFICINCIA DE RECUPERAO ......................................................................................... 7

2.3 PRINCIPAIS MTODOS TRMICOS .................................................................................. 8

2.4 COMBUSTO NA SUPERFCIE ............................................................................................ 9

2.4.1 Injeo Cclica de Vapor........................................................................................ 9

2.4.2 Injeo Contnua de Vapor .................................................................................. 11

2.4.3 Injeo de gua Quente ...................................................................................... 13

2.4.4 Inovaes Tecnolgicas da Injeo de Vapor - SAGD6

2.5 COMBUSTO IN SITU ...................................................................................................... 16

2.5.1 Inovaes Tecnolgicas para Combusto In Situ ............................................ 19

2.6 AQUECIMENTO ELETROMAGNTICO ................................................................................ 19

2.7 SUMRIO ....................................................................................................................... 21

3 ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM MEIOS POROSOS ............ ......................................... 22

3.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................................... 22

3.1.1 Propriedade das Rochas ..................................................................................... 22

3.1.1.1 Porosidade .............................................................................................. 23

3.1.1.2 Permeabilidade........................................................................................ 23

3.1.2 Propriedade do Fluidos ....................................................................................... 25

3.1.2.1 Saturao dos Fluidos no meio poroso ................................................... 25

3.1.2.2 Viscosidade ............................................................................................. 25

3.1.2.3 Presso Capilar ....................................................................................... 26

3.1.2.4 Mobilidade e Razo de Mobilidade ......................................................... 27

3.1.2.5 Fator Volume Formao .......................................................................... 27

3.2 EQUAES GERAIS DE FLUXO EM MEIOS POROSOS ........................................................ 28

3.2.1 Lei da Conservao de massa ou equao da continuidade ............................. 28

ix

3.2.2 Lei de Darcy ........................................................................................................ 31

3.2.3 Equao de Estado ............................................................................................. 32

3.2.4 Equao da Difusividade Hidrulica .................................................................... 33

3.3 EQUAO DA ENERGIA ................................................................................................... 37

3.5 SUMRIO ....................................................................................................................... 38

4 METODOLOGIA DE SOLUO ............................ ............................................................ 39

4.1 EQUAES DE FLUXO .................................................................................................... 39

4.1.1 leo-gua ........................................................................................................... 39

4.1.2 Energia ................................................................................................................ 42

4.2 ESCOLHA DO MTODO NUMRICO .................................................................................. 44

4.3 MTODO DOS VOLUMES FINITOS (MVF) APLICADO AS EQUAES LEO-GUA ................ 45

4.3.1 Discretizao da Equao Para a Fase leo ..................................................... 47

4.3.2 Discretizao da Equao Para a Fase gua .................................................... 50

4.4 MTODO IMPES (IMPLICIT PRESSURE EXPLICIT SATURATION) ........................................ 52

4.5 MTODO IMPES PARA O MODELO DE FLUXO BIDIMENSIONAL LEO-GUA ...................... 54

4.6 DISCRETIZAO DA EQUAO DA ENERGIA ..................................................................... 57

4.7 OBTENAO DO SISTEMA LINEAR DE EQUAES............................................................... 62

4.8 SUMRIO ....................................................................................................................... 64

5 ESTUDO DE CASO DISCUSSO DE RESULTADOS .......... ......................................... 66

5.1 DADOS DE ENTRADA DO MODELO DE SIMULAO .............................................................. 67

5.1.1 Propriedades da Rocha ....................................................................................... 67

5.1.2 Propriedades dos Fluidos .................................................................................... 68

5.1.3 Localizao dos Poos ........................................................................................ 70

5.1.4 Controle de Poo ................................................................................................. 71

5.2 ANLISE DE CONVERGNCIA ESCOLHA DO GRID DE SIMULAO .................................... 71

5.3 VALIDAO DO MODELO................................................................................................. 81

5.4 APLICAO DA EQUAO DA ENERGIA AO RESERVATRIO............................................... 90

5.4.1 Alternativa 1: Injeo de gua ............................................................................ 91

5.4.2 Alternativa 2: Injeo de gua + Injeo de Calor .............................................. 96

5.5 SUMRIO ..................................................................................................................... 100

6 CONCLUSES E PRXIMOS PASSOS ...................... ................................................... 101

7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................ ......................................................... 103

x

Lista de Figuras

Figura 1.1.Grfico Comparativo das Reservas Provadas de Petrleo entre 1980 e 2009

[1] ................................................................................................................................. 2

Figura 1.2 Grfico Comparativo dos Fatores de Recuperao [11] ............................... 3

Figura 2.1. Esquema do Processo de injeo cclica de vapor [2]............................... 11

Figura 2.2. Esquema do Processo de injeo contnua de vapor [2] ........................... 12

Figura 2.3. Esquema do Processo de injeo de gua quente [29] ............................. 13

Figura 2.4. Esquema Grfico Comparativo entre os Mtodos de Injeo de Vapor,

gua Quente e gua Fria [13] .................................................................................... 15

Figura 2.5. Esquema do Processo de SAGD [2] ......................................................... 16

Figura 2.6. Esquema do Processo de Combusto in situ [16] ..................................... 17

Figura 2.7. Esquema do Processo de Combusto in situ THAI [18] ......................... 19

Figura 2.8. Esquema do Processo de Aquecimento Eletromagntico [5] .................... 20

Figura 3.1. Grfico das permeabilidades relativas versus Sw [24] .............................. 24

Figura 3.2. Analogia entre o modelo de tubos capilares e a curva de presso capilar de

um reservatrio [24] .................................................................................................... 26

Figura 3.3. Fluxo de fluido atravs de uma clula ....................................................... 29

Figura 3.4. Esquema do experimento de Darcy [7] ..................................................... 32

Figura 4.1. A Tarefa do Mtodo Numrico .................................................................. 45

Figura 4.2. Malha Computacional Bidimensional ........................................................ 46

Figura 4.3. Comportamento da funo interpolao dada pela Equao (61) [14] ...... 48

Figura 4.4. Esquema do Mtodo IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation) .......... 53

Figura 4.5. Discretizao de um domnio regular 4x4 ................................................. 62

Figura 5.1. Grfico das permeabilidades relativas versus Sw do modelo ..................... 68

Figura 5.2. Grfico da Presso Capilar versus Sw do modelo ..................................... 70

Figura 5.3 Representao do Grid e localizao dos poos ....................................... 70

Figura 5.4. Processo de Upscaling ........................................................................... 72

Figura 5.5 Discrepncia Relativa para Time Step de 15 dias ................................... 74





Figura 5.10 Grfico da Produo Acumulada para os diferentes time steps (I) ......... 77

Figura 5.11 Grfico da Produo Acumulada para os diferentes time steps (II) ........ 78

Figura 5.12 Grfico da Produo Acumulada para os diferentes time steps (III) ....... 78

xi

Figura 5.13 Grfico da Produo Acumulada e tempo de simulao para time step de

30 dias ........................................................................................................................ 79

Figura 5.14 Grfico da Produo Acumulada e tempo de simulao para time step de

15 dias ........................................................................................................................ 80

Figura 5.15 Figura da Estrutura do Reservatrio ........................................................ 81

Figura 5.16 Fluxo de Trabalho do Petrel/ECLIPSE ..................................................... 82

Figura 5.17 Grfico das Presses simuladas no Mathematica .................................... 84

Figura 5.18 Grfico das Presses simuladas no ECLIPSE ......................................... 84

Figura 5.19 Grfico das Vazes simuladas no Mathematica ....................................... 85

Figura 5.20 Grfico das Vazes simuladas no ECLIPSE ............................................ 85

Figura 5.21 Comparao do Avano da Frente de gua no Reservatrio aps 5 anos

de Simulao .............................................................................................................. 86

Figura 5.22 Grfico Comparativo da Produo de leo acumulada ............................ 87

Grfico Comparativo da Injeo de gua acumulada ................................................. 87

Figura 5.24. Anlise do Comportamento dos Resultados no Mathematica ................. 89

Figura 5.25 Grfico do Volume de leo Recuperado e Fator de recuperao para

diferentes vazes ....................................................................................................... 93

Figura 5.26 Saturaes no Reservatrio aps 5 anos de Simulao .......................... 95

Figura 5.27 Grfico das Diferenas de Produo alcanada pelas duas alternativas . 97

Figura 5.28 Grfico do Balano Energtico do Mtodo .............................................. 99

xii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1. Propriedades do leo para a aplicao dos diferentes Mtodos de EOR

[27] ............................................................................................................................... 6

Tabela 2.2. Caractersticas do reservatrio para aplicao dos diferentes Mtodos de

EOR [27] ....................................................................................................................... 7

Tabela 5.1. Propriedades da Rocha Reservatrio ....................................................... 67

Tabela 5.2. Propriedades Iniciais do Fluido ................................................................ 69

Tabela 5.3. Controle de Poo .................................................................................... 71

Tabela 5.4. Controle de Poo Anlise de Convergncia ......................................... 73

Tabela 5.5. Malhas de simulao consideradas .......................................................... 79

Tabela 5.6. Dados da Estrutura do Reservatrio ........................................................ 81

Tabela 5.7. Controle de poo Validao do Mtodo ................................................. 83

Tabela 5.8. Controle de Poo para Injeo de gua ................................................... 91

Tabela 5.9. Volume de leo Recuperado e Fator de Recuperao para a Injeo de

gua ........................................................................................................................... 93

Tabela 5.10. Controle de Poo para Injeo de gua e Calor ..................................... 96

Tabela 5.11. Resultados da Injeo de gua mais Calor ............................................ 97

Tabela 5.12. Ganho Real de Produo ....................................................................... 99

xiii

Nomenclatura

A rea [m2]

A Coeficientes do sistema linear de equaes discretizadas [(Pa.s)-1 ]

B Fator volume-formao [m3/m3 std]

B Coeficientes do sistema linear de equaes discretizadas [s-1]

Cow,Cww Coeficientes do sistema linear de equaes discretizadas [s-1]

Cop,Cwp Coeficientes do sistema linear de equaes discretizadas [ (Pa. s)-1]

c Compressibilidade [Pa-1]

D Domnio [ ]

Dcow Coeficientes do sistema linear de equaes discretizadas [ s-1]

h Espessura [m]

k Permeabilidade [m2]

f funo [ ]

F Fora [N]

L Comprimento [m]

m Massa [kg]

M Razo de Mobilidade [ ]

p Presso [Pa]

q Vazo [m3/d]

Saturao [ ] T Temperatura [F]

t Tempo [s]

u Velocidade na direo x [m/s ]

v Velocidade na direo y [m/s ]

V Volume [m3]

FR Fator de Recuperao [ ]

VOIP Volume de leo in place [m ]

xiv

Smbolos Gregos:

Diferena [ ] Tenso Interfacial [N/m]

Porosidade [ ] Viscosidade [Pa.s] Massa especfica [kg/m3] Peso especfico [N/m3] Mobilidade []

Transmissibilidade [(Pa.s)-1] Subscritos:

( )b Bolha

( )c Capilar

( )i fase

( )e leste

( )f Fase formao

( )H fonte

( )n norte

( )o leo

( )s sul

( )T Isotrmico

( )w gua/oeste

( )ob leo no ponto de bolha

( )ro relativa ao leo

( )rw relativa a gua

( )t Total

( )eff efetiva

( )i,std fase nas condies Padro

xv

( )p,l calor especfico do lquido

( )xx direo x

( )yy direo y

( )i,P fase i no ponto P

( )o,e do leo leste

( )o,n do leo norte

( )o,P do leo no centro da clula ao centro

( )o,E do leo no centro da clula a leste

( )o,N do leo no centro da clula ao Norte

( )o,S do leo no centro da clula a sul

( )o,W do leo no centro da clula a oeste

( )o,s do leo a sul

( )o,w do leo a oeste

( )w,e da gua a leste

( )w,n da gua a norte

( )w,a da gua a sul

( )w,w da gua a oeste

( )w,P da gua no centro da clula ao centro

( )w,E da gua no centro da clula ao leste

( )w,N da gua no centro da clula ao Norte

( )w,S da gua no centro da clula ao Sul

( )w,W da gua no centro da clula ao Oeste

( )poros poros da rocha

( )total total da rocha

Sobrescritos:

0 condio inicial

1

1. Introduo

Petrleo um dos principais recursos de energia do mundo, ocupando o primeiro lugar

na matriz energtica de diversos pases incluindo o Brasil. Por isso, o desenvolvimento

e a aplicao de tecnologias capazes de aumentar a rentabilidade dos reservatrios

so importantes e requerem estudos mais profundos.

At o final da dcada de 90, reservas de leo pesado no atraam muito interesse. Os

preos baixos do barril no mercado internacional, as dificuldades envolvidas na

extrao e refino deste tipo de leo e ainda aliado ao fato de haver grande reserva de

petrleo de leo leve e mdio a serem explorados no justificavam os investimentos.

Entretanto, atualmente para manter um padro de produo que tem por objetivo

primordial atender a demanda do mercado, uma nova perspectiva vem se

estabelecendo: a explorao de reservatrios de leo pesado. Isto se deve a um

conjunto de fatores que inclui: o atual estgio de depleo de reservas principalmente

de leo leve e o significativo aumento do preo do barril.

Sendo assim, mtodos trmicos de aquecimento de poos surgem como uma das

principais alternativas para aumentar a capacidade de drenagem de reservatrios de

leos pesados e incrementar a produo. O aquecimento do poo tem como objetivo

em nada mais do que reduzir a viscosidade do leo pesado, que a sua principal

caracterstica, e como conseqncia garantir a mobilidade da fase leo no meio

poroso para obter uma maior eficincia de escoamento at o poo produtor.

Na prtica este um mtodo eficiente, porm, requer investimento pesado e

procedimentos especiais de operao quando comparado com os mtodos

convencionais de recuperao, como a injeo de gua, por exemplo. Alm de

requisitar melhor caracterizao do reservatrio.

Este mtodo tambm contribui para manter a presso do reservatrio, pois o leo ao

aquecer se expande servindo de energia para expulsar os fluidos da reserva. Cabe

2

tambm destacar que o calor transferido causa vaporizao das fraes leves do

leo, que em contato com a formao mais fria se condensa, formando um solvente ou

banco miscvel a frente da zona de vapor.

Uma explicao analtica do princpio da recuperao trmica pode ser observada

atravs da Lei de Darcy, que prova que o fluxo de fluidos no reservatrio

inversamente proporcional a viscosidade [24].

1.1 Objetivos e Motivao

Ao longo do sculo passado, as operadoras de campos de petrleo se colocaram na

chamada zona de conforto onde a facilidade de explorao das reservas de leo leve

criava uma espcie de muro entre aquele presente e o futuro incerto. Assim, o esforo

tecnolgico era mnimo no havendo precauo sobre mudanas que porventura

viessem a acontecer. Estas mudanas chegaram e esto intrinsecamente

relacionadas com o tipo de reserva a ser explorada em maior escala: a de leos

pesados, como mostra a figura 1.1 abaixo.

Figura 1.1. Grfico Comparativo entre as Reservas d e Petrleo entre 1980 e 2009 [11]

A figura 1.1 demonstra uma evoluo considervel em quase 30 anos das descobertas

em relao leos de menor grau API. Isto s vem a confirmar a necessidade de se

buscar solues viveis para explorar estes reservatrios, j que as projees levam a

este caminho.

1980 2009

Dado este novo cenrio, a produo de leo pesado representa uma srie de desafios

tecnolgicos desde o escoamento at o seu refino. O leo pesado

composto por cadeias muito longas e por isso apresenta densidade e viscosidades

elevadas. A quebra destas complexas molculas de carbono em produtos comerciais

um processo caro que exige unidades de refino especficas que possuem custos

muito mais elevados que as unidades de refino para leo leve.

Tambm so encontradas dificuldades no transporte de

alta viscosidade e ao alto teor de parafina geralmente encontrado neste tipo de leo.

Neste trabalho, estamos interessados no comportamento

respeito ao escoamento do

determinada variao de temperatura. O principal resultado que buscamos verificar a

eficincia deste efeito quando o relacionamos com o fator de recuperao, j que

como pode ser observado

padres atuais da indstria.

Figura 1.2 Grfico Comparativo

O fator de recuperao de reservatrios de leo leve varia entre 30 a 50%

com [11], enquanto o de leo

nenhuma das regies produtoras. A implementao de novas tecnologias para melhor

escoar o leo dever trazer um aumento do fator d

em geral.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Fato

r d

e R

ecu

pe

ra

o (

%)

AMRICA DO NORTE

SIA

a produo de leo pesado representa uma srie de desafios

tecnolgicos desde o escoamento at o seu refino. O leo pesado


destas complexas molculas de carbono em produtos comerciais


muito mais elevados que as unidades de refino para leo leve.

Tambm so encontradas dificuldades no transporte de leo pesado em dutos devido

alto teor de parafina geralmente encontrado neste tipo de leo.

Neste trabalho, estamos interessados no comportamento do reservatrio

respeito ao escoamento do leo no meio poroso quando o submetemos a uma



como pode ser observado na figura 1.2 abaixo este deixa muito a desejar para os

padres atuais da indstria.

Grfico Comparativo entre os Fatores de Recuperao

O fator de recuperao de reservatrios de leo leve varia entre 30 a 50%

, enquanto o de leo pesado como mostrado no chega a atingir 20% em


escoar o leo dever trazer um aumento do fator de recuperao dos reservatrios,

AMRICA DO NORTE FRICA ORIENTE MDIO

AMRICA DO SUL

3

a produo de leo pesado representa uma srie de desafios

tecnolgicos desde o escoamento at o seu refino. O leo pesado geralmente


destas complexas molculas de carbono em produtos comerciais


leo pesado em dutos devido

alto teor de parafina geralmente encontrado neste tipo de leo.

do reservatrio, no que diz

leo no meio poroso quando o submetemos a uma



xo este deixa muito a desejar para os

entre os Fatores de Recuperao [11]

O fator de recuperao de reservatrios de leo leve varia entre 30 a 50%, de acordo

pesado como mostrado no chega a atingir 20% em


e recuperao dos reservatrios,

4

1.2 Estruturao do Trabalho

Segue uma descrio bsica da organizao dos captulos deste trabalho:

No captulo 1, foi abordado o objetivo e a motivao do estudo do aquecimento de

poos, visando diminuir a viscosidade do leo, aumentando assim o fator de

recuperao.

No captulo 2, consta uma reviso bibliogrfica a respeito dos principais mtodos

trmicos que podem ser aplicados para aumentar o fator de recuperao na

explorao dos campos de petrleo.

No captulo 3 so apresentadas as principais propriedades do fluido e da rocha

reservatrio, para que na sequncia fossem demonstradas as equaes do fluxo leo-

gua em meios porosos que servem de base para o modelo implementado no

Mathematica 7. Mostrou-se tambm a equao da energia.

No captulo 4 adequou-se as equaes apresentadas no captulo 3, de sorte que, foi

possvel elaborar a discretizao das mesmas, por meio do mtodo dos volumes

finitos. Assim, tornou-se possvel obter solues aproximadas para o sistema de

equaes lineares, acopladas e transientes que governam o escoamento de fluidos

em meios porosos.

No captulo 5, definiu-se uma gama de variveis do modelo para que se fizesse um

estudo de convergncia deste atravs do mtodo do Upscaling para assim escolher

o tamanho do grid mais adequado simulao. Aps esta primeira etapa validou-se o

modelo com base no Petrel/ECLIPSE para que por fim fossem realizados estudos de

casos alternativos entre injeo de gua e injeo de gua mais calor no reservatrio.

No captulo 6 so apresentadas as concluses obtidas no projeto e os desafios futuros

para o prosseguimento deste.

5

2 Mtodos Trmicos

2.1 Caractersticas dos Mtodos de Recuperao Avan ada

Apesar da utilizao dos mtodos de recuperao secundria, estes s conseguem

elevar a recuperao mdia de 15 a 20% para 30 a 40%, sendo que sua curva de

produo continua a declinar, segundo [19]. Na maioria dos casos, os campos j esto

em avanado estgio de explorao e acabam atingindo seu limite econmico,

passando a ser tamponados e abandonados, mesmo ainda contendo volumes

considerveis de acumulaes de leo.

Os mtodos de recuperao tercirios so os mais indicados para a recuperao dos

campos maduros, pois buscam recuperar os reservatrios que apresentam leos com

alta viscosidade e elevadas tenses interfaciais. Neste cenrio, a aplicao dos

mtodos convencionais de recuperao secundria, no suficiente.

Entre os principais mtodos de recuperao terciria esto:

Mtodos Trmicos

Mtodos Miscveis

Mtodos Qumicos

Mtodos Microbiolgicos

Nas ltimas dcadas, os mtodos de recuperao secundria passaram a ser

classificados como mtodos convencionais de recuperao secundria. J os mtodos

tercirios passaram a ser denominados mtodos de recuperao avanada, que em

ingls conhecido como EOR (Enhanced Oil Recovery), segundo [24].

De acordo com [12], os mtodos de recuperao avanados no esto associados a

uma fase da vida produtiva do reservatrio, j que EOR a recuperao atravs da

injeo de qualquer substncia artificial no reservatrio. Ainda segundo [12], existem

quatro formas de se ampliar reservas, entre elas, a que iremos buscar trabalhar no

projeto:implementar a tecnologia no incio da vida produtiva do reservatrio;

6

Assim a eficincia de uma recuperao avanada e a seleo do mtodo a ser

utilizado depende de alguns fatores, tais como, os explicitados nas tabelas abaixo:

Tabela 2.1. Propriedades do leo para a aplicao dos diferentes Mtodos de EOR [27]

MTODO EOR PROPRIEDADES DO LEO

API Viscosidade (cP) Composio

MTODOS TRMICOS

Combusto in situ > 10 < 5000 Alguns asfaltenos

Injeo de Vapor > 8 at 13.5 < 200000 NC

Aquecimento

Eltromagntico

> 10 at 18 < 12000 NC

Injeo gua

Quente

> 14 at 19 < 4500 NC

MTODOS QUMICOS

ASP > 20 < 35 Alguns cidos

Polmeros > 15 < 150 NC

MTODOS MISCVEIS

Nitrognio > 35 < 0.4 Alta % C1 a C7

Hidrocarboneto > 23 < 3 Alta % C2 a C7

7

Tabela 2.2 Caractersticas do reservatrio para apl icao dos diferentes Mtodos

Trmicos [27]

MTODO EOR CARACTERSTICAS DO RESERVATRIO

Saturao

(% PV)

Permeabilidade

(mD)

Profundidade

(ft)

Temperatura

(F)

MTODOS TRMICOS

Combusto in

situ

> 50 > 50 < 5000 >120

Injeo de Vapor > 40 > 200 < 4500 NC

Aquecimento

Eltromagntico

> 55 > 125 100

Injeo de gua

Quente

> 54 > 150 < 5500 > 110

METODOS QUMICOS

ASP > 35 > 10 > 9000 > 200

Polmeros > 10 < 9000 > 200

MTODOS MISCVEIS

Nitrognio > 40 NC > 6000 NC

Hidrocarboneto > 30 NC > 4000 NC

Ento, recomenda-se a utilizao de mtodos trmicos que aumentem a eficincia de

varrido bem como a eficincia de deslocamento em reservatrios que apresentem leo

com grau APIs a partir de 10.

2.2 Eficincia de Recuperao

Todos os parmetros citados acima so de fundamental importncia para a escolha do

mtodo trmico a ser implementado em um projeto de recuperao avanada.

Entretanto, segundo [28] a verdadeira eficcia da injeo de fluidos ser comprovada

numericamente ou no atravs de parmetros chamados Eficincia de Varrido

Horizontal, Eficincia de Varrido Vertical e Eficincia de Deslocamento.

8

A Eficincia de Varrido Horizontal representa, em termos percentuais, a rea em

planta do reservatrio que foi invadida pelo fluido injetado at um determinado

instante, enquanto a Eficincia de Varrido Vertical representa o percentual da rea da

seo vertical do reservatrio que foi invadido por um fluido injetado. O produto desses

dois parmetros define a chamada Eficincia Volumtrica, que , portanto, a relao

entre o volume do reservatrio pelo volume do reservatrio invadido. [19]

A eficincia de deslocamento mede ento esta capacidade do fluido injetado de

deslocar leo para fora dos poros da rocha, sendo assim a frao do leo deslocado

na zona varrida; funo dos volumes injetados, da viscosidade dos fluidos e da

permeabilidade relativa.

Se as eficincias de varrido so baixas, o fluido injetado encontra caminhos

preferenciais e se dirige rapidamente para os poos de produo, deixando grandes

pores do reservatrio intactas. Se a eficincia de deslocamento baixa, mesmo que

as eficincias de varrido sejam altas, o fluido no desloca apropriadamente o leo para

fora da regio invadida. Para se obter boas recuperaes, so necessrias que todas

as eficincias sejam altas.[19]

2.3 Principais Mtodos Trmicos

O objetivo dos mtodos trmicos aquecer o reservatrio e o leo nele existente para

aumentar a sua recuperao, atravs da reduo da viscosidade do leo. Isto provoca

um aumento na eficincia de varrido, tendo como base, segundo [23] trs mecanismos

que garantem o sucesso do mtodo:

1) Reduo da viscosidade: efeito principal a ser explicado nos resultados desse

projeto;

2) Expanso do leo no reservatrio: a dilatao do leo,quando aquecido, adiciona

energia para expulsar os fluidos do reservatrio;

3) Destilao do leo: no deslocamento de um leo voltil, as fraes mais leves do

leo residual podem ser vaporizadas. Essas fraes se condensam em contato

com formaes mais frias, formando um banco de leo;

9

Ainda de acordo com [23], alm dos mecanismos citados, outros fatores tambm

contribuem para analisar o aumento da recuperao pelo aquecimento do reservatrio.

Entre eles esto os efeitos de mecanismos de capa de gs e uma possvel alterao

das caractersticas de permeabilidade relativa. A importncia de cada um dos fatores

mencionados depende do tipo de projeto e das caractersticas do reservatrio e do

leo.

Ao descrever os principais mtodos trmicos que vm sendo estudados na indstria

importante que primeiramente faamos uma subdiviso destes em trs categorias

seguindo definies de [22]:

Combusto na superfcie: ocorre a injeo de fluidos j previamente aquecidos, ou

seja, o calor gerado na superfcie e transferido ao leo contido no reservatrio.

Combusto in situ: o calor gerado no interior do reservatrio, comeando a partir

da prpria combusto do leo que se encontra in place.

Aquecimento eletromagntico: ao de ondas eletromagnticas sobre os fluidos da

formao

Na primeira categoria citada gua utilizada como meio de transferir calor da

superfcie para a zona de leo. A gua pode ser injetada na forma de vapor ou

continuar na forma lquida em uma temperatura muito alta o que caracteriza dois

diferentes processos que sero abordados ainda neste captulo.

2.4 Combusto na Superfcie

2.4.1 Injeo Cclica de Vapor

Relatado por Haan e Van Hookeren esse mtodo foi descoberto acidentalmente pela

Shell na Venezuela em 1959 quando se produzia leo pesado por injeo continua de

vapor. Durante a injeo ocorreu um rompimento (breakthrough) de vapor e, para

reduzir a presso de vapor no reservatrio o poo injetor foi posto em produo, sendo

observadas vazes de leo considerveis. Esse mtodo tambm conhecido como

estimulao por vapor, steam-soak e huff and puff.

10

aplicada para reforar a recuperao primria de reservatrios de leos viscosos.

primeiramente uma tcnica de estimulao que, atravs da reduo da viscosidade e

efeitos de limpeza ao redor do poo, ajuda a energia natural do reservatrio a expulsar

o leo. [22], [3]

Segundo [22], a estimulao por injeo cclica de vapor envolve trs fases e apenas

um poo que utilizado como injetor e produtor, como representado na Figura 2.1:

- Fase de injeo: injeo de vapor uma mxima vazo por um perodo de tempo

especfico (1 a 6 semanas) dentro do poo produtor;

- Fase de soaking: curto perodo de tempo em que o poo permanece fechado para

que o vapor condense transferindo todo vapor latente para os fluidos e para as rochas

prximas. O tempo de soaking deve permitir toda a condensao do vapor;

- Fase de produo: inicialmente o poo produtor produz muita gua. Com o tempo o

BSW cai e o leo comea a ser produzido a uma maior vazo;

Este processo constitui um ciclo. Todas as fases do ciclo podem sofrer variao para

minimizar os custos do processo. O ciclo repetido um nmero de vezes at que o

limite econmico da produo seja alcanado. Sendo assim, independente do tipo de

reservatrio, a injeo cclica se torna menos eficiente proporo que o nmero de

ciclos aumenta. As vazes mdias e mximas junto com a eficincia de recuperao

do leo diminuem nos ltimos ciclos, como comprovado em estatsticas de produo.

[23] [24]

11

Figura 2.1. Esquema do Processo de injeo cclica de vapor [10]

Durante o perodo de injeo e propagao do calor, ocorre uma significativa reduo

da viscosidade do leo e a expanso dos fludos do reservatrio. Quando o poo volta

a operar, o leo passa a ser rapidamente produzido, estabilizando numa vazo bem

maior do que a anterior ao processo. [1] [4]

2.4.2 Injeo Contnua de Vapor

A primeira aplicao comercial deste mtodo ocorreu na Venezuela em meados da

dcada de 50, onde foi percebido um significativo aumento na produo de leo.

O processo de injeo contnua de vapor similar injeo de gua, sendo que o

vapor injetado dentro dos padres de temperatura requeridos. O vapor gerado na

superfcie e injetado em formao capaz de resistir s altas temperaturas. Uma zona

de vapor se forma em torno do poo injetor, a qual se expande com a contnua

injeo. Nesta zona, a temperatura aproximadamente aquela do vapor injetado.

Adiante do vapor forma-se uma zona de gua condensada. [23]

A recuperao por injeo de vapor contnua depende de vrios fatores. Os mais

importantes so os efeitos de injeo de gua quente na zona de gua condensada. A

12

reduo da saturao de leo mxima nesta zona por causa das menores

viscosidades, da dilatao do leo e da alta temperatura. Na zona invadida pelo vapor

a saturao de leo reduzida principalmente pela destilao do vapor que corrobora

para o aumento da produo de certos leos, como mostra a figura 2.2:

Figura 2.2. Esquema do Processo de injeo contnua de vapor [2]

De acordo com [23], um fato relevante neste mecanismo a eficincia de

deslocamento, que aumentada medida que mais leo flui. As saturaes de leo

atrs das zonas de vapor, para o processo de injeo contnua, podem ser to baixas

quanto 5% prximas do poo injetor, aumentando na proporo que vem se

aproximando do poo produtor.

Apesar da eficincia de recuperao, a injeo de vapor apresenta desvantagens

como as citadas por [19]:

Produo de grandes volumes de gua;

Custos de reinjeo e/ou tratamento da gua produzida;

Perdas de calor nas linhas de injeo;

Problemas operacionais, principalmente em relao aos equipamentos a ser

utilizados;

Riscos de acidentes, devido dificuldade de vedao;

13

Deteriorao da formao devido ao excesso de calor;

Conforme [22], normalmente desejvel produzir leo primeiro por injeo cclica de

vapor devido melhor economia e reduo da presso do reservatrio que propicia

melhores resultados para a injeo contnua de vapor.

2.4.3 Injeo de gua Quente

Este mtodo muito similar a injeo cclica de vapor. O processo, segundo [10],

consiste em basicamente trs passos, conforme mostrado na figura 2.3:

Fase1: Injeo da gua quente no poo por um determinado perodo de tempo;

Fase2: Perodo de embebio, em que ocorre fechamento do poo para permitir uma

maior transferncia de calor da gua injetada para o reservatrio;

Fase3: Retomada da operao, cujo resultado esperado um acrscimo na

capacidade produtiva devido reduo da viscosidade e limpeza da regio prxima

ao poo;

Figura 2.3. Esquema do Processo de injeo de gua quente [29]

Normalmente a injeo de gua quente, de acordo com [19], vem sendo utilizada para

os seguintes casos:

- Regies sensveis gua doce que apresentam problemas de inchamento de

argilas;

Injeo de gua Quente Embebio Retomada da Produo

14

- Formaes muito profundas que levariam condensao do vapor injetado antes de

alcanar o reservatrio;

- Reservatrios que foram submetidos a um longo tempo de injeo de gua

convencional, sendo necessrio um grande volume de vapor para aquecer e deslocar

grandes quantidades de gua;

Nota-se que o conjunto de aplicaes a este tipo de mtodo trmico restrito e isto se

deve menor eficincia quando comparado ao vapor, fato este que ser explicado a

seguir, pois a temperatura alcanada com a injeo de gua quente bem inferior

temperatura atingida pelo vapor, sendo necessrio um volume muito grande de gua

para elevar a temperatura de reservatrio. [10]

Isto advm do fato de que a gua quente possui baixo calor latente, e o calor sensvel

rapidamente perdido, fazendo com que a gua esfrie quando em contato com o

reservatrio, enquanto que o vapor s comea a perder temperatura quando a ltima

gota de vapor se condensa. Um fato ainda a ser considerado a perda de calor j na

linha de transferncia, o que diminui ainda mais a eficincia do mtodo.

No entanto, podemos salientar algumas vantagens quanto a injeo de gua quente

quando comparamos esta com a injeo de vapor. Ainda, segundo [19], a tcnica

descrita capaz de fornecer maior presso aos reservatrios, bem como, com apenas

algumas mudanas, transforma um sistema de gua convencional em um sistema de

injeo de gua quente.

Portanto, vimos at agora, de acordo com a diviso proposta por [22] e apresentada

no item 2.3 deste captulo, a categoria de combusto na superfcie, quando os fluidos

so previamente aquecidos sendo injetados ou em forma de vapor ou como gua

quente.

15

Na figura 2.4, [13] faz-se uma comparao quantitativa entre os mtodos que se

classificam na categoria descrita at agora e um mtodo de recuperao secundria,

no caso a injeo de gua.

Figura 2.4. Comparao entre os Mtodos de Injeo de Vapor, gua Quente e gua Fria

[13]

Comparando-se, primeiro, a injeo de vapor com a injeo de gua quente nota-se a

diferena no fator de recuperao por dois motivos, segundo [13]:

a taxa de transferncia de calor do vapor para o leo mais eficiente, o que facilita

a diminuio da viscosidade do leo e consequentemente o-faz escoar de maneira

mais efetiva para o poo produtor;

a eficincia de varrido do vapor maior do que a da gua quente, pois a segunda

cria caminhos preferenciais no reservatrio o que impossibita um maior contato

com a zona de leo,acarretando em um menor fator de recuperaoe um

breakthough precoce;

J comparando a categoria at aqui abordada com a injeo de gua fria, o principal

parmetro que possibilita a diferena mostrada no grfico a diminuio da

viscosidade do leo que ocorre na aplicao de mtodos trmicos e no na injeo de

gua fria, o que compromete assim a produo.

16

2.4.4 Inovaes Tecnolgicas da injeo de vapor SAGD

A drenagem de leo pelo processo SAGD (Steam Assisted Gravity Drainage) um

mtodo efetivo para a produo de leo pesado e betume e envolve dois poos

horizontais paralelos dispostos verticamente entre si.

O poo superior o injetor de vapor e o inferior o produtor de leo. Nesse processo,

o papel da fora gravitacional maximizado. Quando o vapor continuamente

injetado no poo superior o leo aquecido e forma uma cmara de vapor a qual

cresce para cima e para os arredores [16]. A descrio observada na figura 2.5.

Figura 2.5. Esquema do Processo de SAGD [2]

A temperatura dentro da cmara se torna essencialmente igual temperatura do vapor

injetado. Na interface com o leo frio o vapor condensa e o calor transferido ao leo.

Ento o leo j quente e a gua condensada drenam por gravidade, at o produtor

horizontal que est embaixo.

uma tecnologia em pesquisa no Brasil, mas a partir dela esto surgindo ramificaes

a fim de aumentar o fator de recuperao,como exemplo o VAPEX (Vapour

Extraction).

2.5 Combusto in situ

A combusto in situ uma tcnica com potencial para explorao de reservatrios de

leo excessivamente viscosos e em fase final de produo, mostrando-se muito eficaz

17

em testes de labortorio e projetos pilotos, alm de possuir uma atratividade tcnica e

econmica aprecivel. Por isso, vm sendo feito ao longo das ultimas dcadas

estudos aprofundados sobre este mtodo.

Segundo [8], o mtodo consiste na injeo de ar aquecido para promover a queima de

parte do leo cru contido reservatrio que prov o calor necessrio.O calor gerado

intensifica cada vez mais a queima, elevando a temperatura, at que se alcance o

ponto de ignio, iniciando assim a combusto. O oxignio contido no gs injetado,

agora, a frio no reservatrio a fim de manter a zona de combusto que propagada.

Os dois aspectos a serem considerados em todo processo de combusto in situ so: a

formao do coque e a combusto. O primeiro o resduo formado partir da

vaporizao dos leves e funciona como combustvel que alimenta a frente de queima.

O segundo a fora motriz que mantem o processo ativo.[19]

Figura 2.6. Esquema do Processo de Combusto in situ [14]

18

importante salientar qual o efeito desta combusto no interior do reservatrio,

como mostra a figura 2.6. Para isto, [8] dividi-o em quatro zonas. A zona 1

corresponde a zona queimada, nas proximidades do poo injetor; a zona 2 chamada

de frente de combusto, onde o oxignio consumido pela queima de

hidrocarbonetos, restando o coque, sendo assim o ponto de mais elevada

temperatura, que precede a zona 3 onde as fraes mais leves j se vaporizaram,

restando o leo residual. Por ultimo temos a zona de condensao onde neste ponto a

temperatura j no to alta e portanto poucas so as mudanas qumicas.

Ainda segundo [8], podem ser feitos outros dois tipos de combusto in situ:

gua seguida de combusto: a gua injetada de forma simultnea ou alternada

com o ar para limpeza da areia a ser queimada pela combusto, o que resulta em

uma distribuio mais adequada do calor diminuindo a quantidade de ar requerida;

Combusto reversa: este mtodo foi desenvolvido como uma tcnica para

melhorar a recuperao de leo que seja extremamente viscosos. A frente de

combusto iniciada no poo produtor e movida contra o prprio fluxo de ar. O

olo cru e a alta temperatura na frente de combusto vem juntos, fazendo com que

haja o craqueamento severo, formando uma significativa quantidade de

combustvel slido. Em contrapartida, o leo posterior dirige-se para longe do leo

queimado em direo frente de temperatura alta sendo destilado e produzido.

No entanto seja qual variao do mtodo de combusto in situ, na prtica as

dificuldade so muitas, podendo citar a distribuio ineficiente do calor causando um

aquecimento desnecessrio de algumas zonas, danos aos equipamentos de

produo, problemas operacionais, dificuldades de controle e os altos custos. Porm,

de acordo com [10], o grande obstculo a ser superado a dificuldade em obter

modelos numricos para prever o desempenho do reservatrio devido ao fenmeno da

combusto in situ.

19

2.5.1 Inovaes tecnolgicas para Combusto in situ

Para tentar mitigar os problemas descritos anteriormente, [18] descreve uma nova

geometria de poos que vem sendo desenvolvida, como mostra a Figura 2.7.

Figura 2.7. Esquema do Processo de Combusto in situ THAI [18]

Este mtodo integra avanos tecnolgicos com poos horizontais, conhecido com

THAI (Toe to Hell air injection) originado no Canad. Neste mtodo, o processo ocorre

de maneira mais estabilizada, ao restringir o fluxo de fluidos a uma zona mvel estreita

a favor da gravidade, em direo seo exposta do poo produtor horizontal,

garantindo um maior controle do gs e a manuteno do calor na temperatura

desejada. [18]

2.6 Aquecimento Eletromagntico

Atualmente, o principal mtodo trmico utilizado pela indstria a injeo de vapor,

porm as restries a sua aplicabilidade tornaram necessrio o desenvolvimento de

mtodos alternativos a serem aplicados quando a injeo de vapor j no fornece o

retorno esperado. O aquecimento eletromagntico que transforma energia eltrica em

trmica vem se apresentando como uma alternativa competitiva. [6].

20

Este processo, segundo [22] pode ser de trs formas: por rotao, por conduo ou

por conveco. Entretanto, o princpio do aquecimento eletromagntico o mesmo.

Ocorre a interao entre o campo eltrico aplicado e as partculas eletricamente

sensveis do meio que podem ser ons ou molculas polares. Quando aplicado o

campo eltrico, essas partculas tendem a se deslocar ou se alinhar de acordo com o

campo, provocando o aquecimento atravs de conduo ou vibrao molecular. A

figura 2.8 retrata o esquema para ser implementado um aquecimento eletromagntico.

Figura 2.8. Esquema do Processo de Aquecimento Elet romagntico

Estudos de [5] comprovam a viabilidade tcnica do aquecimento eletromagntico

como mtodo trmico de recuperao de petrleo. Neste processo de aquecimento, o

volume de reservatrio aquecido por energia de radiofreqncia, como resultado da

interao entre a onda eletromagntica e as partculas eletricamente sensveis do

meio, grande. Ao contrrio dos mtodos trmicos convencionais, este fenmeno no

depende da difuso trmica do meio mas somente dos eletrodos que compem a

malha de injeo de corrente eltrica.

Visando otimizar o processo, tanto tcnica quanto economicamente, [15] optou, como

mostra a Figura 2.8 associar o mtodo trmico com o estudo de injeo de gua.

Apenas o aquecimento eletromagntico j o suficiente para reduzir a viscosidade do

leo, mas com a gua injetada objetiva-se aumentar ainda mais a produtividade da

jazida atravs do deslocamento do leo em direo aos poos produtores.

21

Observa-se ainda, de acordo com [15], que o mtodo descrito no apresenta

limitaes, sobretudo quanto profundidade da zona de interesse. Porm, algumas

condies podem apresentar-se como ideais para a sua aplicao, tais como:

quanto mais viscoso o leo, melhor a eficincia deste mtodo trmico;

a temperatura no deve ultrapassar a de ebulio da gua;

altas salinidades favorecem a condutividade eltrica;

uma saturao de gua no muito elevada desejvel para no prejudicar a

viabilidade econmica do processo;

2.7 Sumrio

Neste captulo foi realizada uma reviso bibliogrfica dos principais mtodos trmicos

que so utilizados pela indstria na recuperao avanada de petrleo.

Para contextualizar, primeiro descrevemos as caractersticas do reservatrio bem

como as propriedades dos fluidos as quais devem ser levadas em considerao

quando estudar a viabilidade de um mtodo de recuperao avanada. Definimos

tambm conceitos importantes como eficincia de varrido e de deslocamento.

Assim, aps breve contextualizao focou-se a ateno nos principais mtodos

trmicos, dividindo-os em trs categorias: combusto na superfcie na qual explanou-

se sobre a injeo cclica e contnua de vapor e injeo de gua quente; a combusto

in situ; e por fim aquecimento eletromagntico; Alm disso, procurou-se na medida do

possvel comparar os mtodos apresentados e tambm apresentar de forma breve as

novas tecnologias como THAI e SAGD.

22

3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos

A partir de equaes bsicas do estudo do fluxo em meios porosos podem ser

desenvolvidos modelos matemticos com os quais se procura obter informaes

relacionadas com o aspecto fsico do reservatrio, como por exemplo, dimenses,

formas, variaes nas propriedades petrofsicas, etc. Podem ser obtidos tambm

dados sobre o comportamento atual e futuro em termos de presses, vazes de

produo. A complexidade desses modelos depende dos diversos aspectos que se

deseja considerar no estudo do fluxo atravs do meio poroso e do grau de

simplificao que se deseja imprimir no trabalho.

Foram desenvolvidas formulaes matemticas com o objetivo de simular diferentes

condies as quais o reservatrio ser submetido. Porm, para a descrio completa

do modelo matemtico, necessrio fazer algumas definies com relao s

propriedades das rochas e dos fluidos.

3.1 Conceitos fundamentais

Informaes sobre as propriedades das rochas e dos fluidos constituem-se em fatores

decisivos para o estudo do comportamento do reservatrio de petrleo e, portanto, a

sua coleta e a sua interpretao devem merecer uma ateno especial, atravs de um

trabalho exaustivo e meticuloso. As rochas-reservatrio contem normalmente, dois ou

mais fluidos. No nosso estudo trataremos de apenas dois: leo e gua.

3.1.1 Propriedade das Rochas

O conhecimento das propriedades da rocha que formam o reservatrio de petrleo

de fundamental importncia para o estudo do reservatrio. As quantidades dos fluidos

existentes no meio poroso, a distribuio desses fluidos na rocha, a capacidade dos

mesmos de moverem, as quantidades dos fluidos que podem ser retiradas e outras

caractersticas so determinadas a partir destas propriedades.[3]

23

Dentre as propriedades da rocha destacam-se: porosidade, permeabilidade,

compressibilidade e molhabilidade. Aqui focaremos nas duas primeiras que so vitais

para o estudo.

3.1.1.1 Porosidade

A porosidade uma das mais importantes propriedades das rochas, pois mede a

capacidade de armazenamento de fluidos. Ela pode ser definida como a relao entre

o volume de vazios e o volume total da rocha.

(1)

onde o volume poroso ou de vazios, o volume total da rocha.

Quanto mais porosa a rocha, mais fluido poder estar contido em seu interior.

Entretanto, em termos de engenharia leva-se em considerao apenas a porosidade

efetiva, pois representa o volume mximo de fluidos que pode ser extrado da rocha

pelo poros interconectados, j que poros isolados no esto acessveis para a

produo dos mesmos. Os valores mais comuns de porosidade das rochas-

reservatrio arenticas, encontram-se entre 5% a 35%, concentrando-se na faixa de

15% a 30%.

3.1.1.2 Permeabilidade

Uma rocha considerada rocha reservatrio quando, alm de conter uma quantidade

aprecivel de poros e de hidrocarbonetos, permite o fluxo de fluidos atravs dela. Os

fluidos percorrem o que poderia chamar de canais porosos. Quanto mais cheios de

estrangulamentos, mais estreitos e mais tortuosos forem esses canais porosos, maior

ser o grau de dificuldade para os fluidos se moverem no interior da rocha. Por outro

lado, poros maiores e mais conectados oferecem menor resistncia ao fluxo de fluidos.

Sendo K o tensor da permeabilidade absoluta, que pode ser escrito atravs da

equao (2)

24

k kk k kk k k

(2)

sendo e k as permeabilidades nas direes x e y e e as permeabilidades nas direes normais aos planos x e y.

Os valores de permeabilidade so comumente utilizados nos estudos de reservatrio

depois de submet-los a um processo de normalizao, j que os poros das rochas

esto preenchidos com mais de um fluido. [19]

Normalizar os dados nada mais que dividir todos os valores de permeabilidade

efetiva por um mesmo valor de permeabilidade escolhido como base. Ao resultado da

normalizao d-se o nome de permeabilidade relativa. A Figura 3.1 ilustra esta

dependncia.

Figura 3.1. Grfico das permeabilidades relativas versus Sw [24]

Observa-se que a medida que a saturao de gua aumenta, a permeabilidade

relativa da gua em relao ao leo, tambm aumenta. Matematicamente esta no

linearidade pode ser expressa de acordo com as equaes (3) e (4), segundo [21]:

!"!# $% & %1 & % () (3)

*"%# +1 & $% & %1 & % (,) (4)

onde representa a permeabilidade relativa da fase i = gua ou leo.

25

3.1.2 Propriedade dos fluidos

As propriedades dos fluidos existentes nos reservatrios de petrleo constituem

importantes informaes para o estudo do seu comportamento. Estas propriedades

devem ser de preferncia, determinadas experimentalmente em anlises de

laboratrio. Nesta seo sero apresentados os conceitos das principais propriedades

inerentes ao modelo, a ser descrito posteriormente.

3.1.2.1 Saturaes dos fluidos no meio poroso

Normalmente os espaos vazios das rochasreservatrios esto parcialmente ou

integralmente preenchidos por lquidos (gua, leo) e gs. Ento, necessrio

conhecer a percentagem que cada fluido ocupa no espao poroso. A propriedade que

mede esta frao definida como saturao , que relaciona de acordo com a equao (5) o volume de cada fase no volume poroso:

(5) sendo o volume da fase i e o volume poroso do reservatrio.

3.1.2.2 Viscosidade

Neste projeto iremos apresentar uma relao para o clculo da viscosidade, mas

existem diversas formulaes empricas para tal. Segundo [24], a viscosidade da fase

leo pode ser calculada pela relao abaixo, que pressupe uma variao no linear

da viscosidade com a temperatura.

-"._, 1_# 2-3"1# 4 0.001 7 2. & .89 7 0.000145 7 20.024 7 2-3"1#9=.>4 0.038 4 7 2-3"1#9A.B>99 7 10C) (6)

Onde: -3 a viscosidade do leo morto e relacionam com a temperatura T(F) e a viscosidade 2E.9.

A viscosidade da fase gua % pode ser considerada constante, de acordo com [10] e assim faremos na soluo numrica.

26

3.1.2.3 Presso Capilar

Quando dois ou mais fluidos imiscveis so colocados em um recipiente, os mais

densos ficam embaixo, formando uma superfcie horizontal de separao entre os

fluidos. Isto no ocorre num meio poroso de capilares de diferentes dimetros, pois a

superfcie de separao no ser mais brusca, existindo uma zona de transio devido

a ao de fenmenos capilares. Esses fenmenos so resultantes de atraes de

molculas na massa fluida. Uma molcula situada no interior do lquido estar

equilibrada por ser atrada igualmente em todas as direes pelas molculas que a

cercam. O mesmo no ocorre com uma molcula na superfcie, que no ser atrada

igualmente por estar cercada por molculas de tipos diferentes. [5]

A fora que impede o rompimento da superfcie, por unidade de comprimento, chama-

se tenso superficial, entre fluidos gasosos e lquidos; ou intefacial, entre fluidos

lquidos (). J a fora que tende a puxar uma superfcie para o centro chama-se fora

capilar (Fc ) e esta dividida pela rea chama-se presso capilar (Pc ).

A presso capilar pode ser expressa, segundo [19] pela diferena de presso entre as

fases molhante (Pw ) e no molhante (Po ), de acordo com a equao :

PG PH & PI PG 2SI9 (7) O trabalho de [24] apresenta uma curva tpica d comportamento da presso capilar em

funo da saturao de gua (SI), ilustrado na figura 3.2, onde se percebe nitidamente o aumento da presso capilar medida que a saturao de gua na

formao diminui.

Analogia entre o modelo de tubos capilares e a curv a de presso capilar de um

reservatrio [3]

27

3.1.2.4 Mobilidade e Razo de Mobilidade

Os mtodos de recuperao de campos maduros atravs da injeo de fluidos

imiscveis no reservatrio tm seus efeitos pelos parmetros de mobilidade e razo de

mobilidade.

A mobilidade (i) a relao entre a permeabilidade efetiva (Kri) e a viscosidade (i) de

um fluido. Por exemplo, a mobilidade do leo (fluido deslocado) dada pela equao

(8):

(8)

J a razo de mobilidade M a razo entre a mobilidade do fluido deslocante e a do

fluido deslocado. Para a injeo de gua, a razo de mobilidade ser, como descrita

na equao (9) abaixo:

K % %/%/ (9)

Segundo [19], no caso de reservatrios com leos pesados, com alta viscosidade e

baixa permeabilidade relativa ao leo, a razo de mobilidade pode alcanar valores

elevados. Sendo que o favorvel encontramos valores M

28

M N*OPQR SR OR* 4 UW SXWW*ONXS* YZW E*YSXRW ., 1N*OPQR SR OR* YZW E*YSXRW ]ZS *21ZY_PR9 (10)

Consideraremos a gua com um fator volume-formao constante (Bw), ou seja, no

ir depender das condies do reservatrio, sendo um fluido incompressivel.

3.2 Equaes gerais de fluxo em meios porosos

O estudo do fluxo dos fluidos nos meios porosos tem como ponto central uma

equao, chamada equao da difusividade hidrulica, a partir da qual so

desenvolvidas solues para as diversas situaes em que os reservatrios podem se

encontrar. A equao da difusividade hidrulica, como utilizada na engenharia de

reservatrios, obtida a partir de trs equaes bsicas, no nosso caso para lquidos:

Equao da continuidade;

Lei de Darcy;

Equao de estado

As formulaes matemticas que governam o fluxo multifsico em meios porosos so

caracterizadas por um sistema de equaes diferenciais, no-lineares e sujeitas s

influncias das heterogeneidades geolgicas do meio poroso bem como a anisotropia

do mesmo.

3.2.1 Lei da conservao de massa ou equao da con tinuidade

Essa lei, descrita na equao (11) diz que o excesso do fluxo de massa, por unidade

de tempo entrando ou saindo de qualquer elemento infinitesimal de volume somado

um termo fonte multiplicado pela densidade igual a mudana por unidade de tempo

na densidade desse mesmo elemento multiplicada pelo volume vazio desse

elemento.

` 2a9`b & c. 2a. Nd9 4 a_eee2fd9 (11)

29

Aqui, cabe fazer uma breve considerao sobre o termo fonte _eee2fd9, j que este possui unidades [T-1], e por isso multiplicado pela massa especfica a de unidade [MT-1L3] para assim termos a coexistncia de unidades entre os termos da equao.

A explicao para a utilizao deste recurso matemtico est na prpria elaborao da

equao da continuidade descrita acima.

Considere uma clula que durante determinado intervalo de tempo ocorre

movimentao de fluido atravs de seu meu poroso, o que significa que houve entrada

e sada de fluido atravs de suas faces. Considera-se tambm a presena de um poo

injetor nesta clula, como mostra a Figura 3.3 abaixo:

Figura 3.3. Fluxo de Fluido atravs de uma Clula

O caso mais geral aquele que ocorre movimentao do fluido nas trs direes, x,y e

z. O fluido penetra no meio poroso atravs de uma face perpendicular a cada uma das

direes e sai pela face oposta. A Figura 3.3 ilustra a movimentao no fluido nas trs

direes, em destaque descritivo, a direo x. O fluido que se desloca nessa direo,

ao entrar no meio poroso o faz atravs da face A, normal direo x, e ao sair, o faz

atravs da face oposta A. O mesmo raciocnio pode ser utilizado para os fluxos nas

direes y e z. importante salientar a presena de um fluxo mssico injetor,

representado por mp, por exemplo um poo injetor.

30

Matematicamente, podemos descrever a figura atravs da equao (12):

`Q`b g Qh i & g Qh (12)

Onde Qh i o fluxo mssico na entrada, sendo considerado por conveno positivo e Qh , o fluxo mssico na sada, negativo.

Sabe-se que a massa 2Q9 de um determinado fluido contido em um elemento infinitesimal que estamos utilizando como parmetro :

Q aSfSjSk (12)

Expandindo os termos da equao (12) temos que:

g Qh i Qh 4 Qh 4 Qh l 4 Qh (13) g Qh Qh mn 4 Qh mn 4 Qh lmnl 4 Qh (14)

No entanto, pode-se escrever ainda que o fluxo mssico de entrada em cada uma das direes :

Qh aNSjSk Qh aNSfSk Qh l aNSfSj (15)

E, o fluxo mssico de sada em x, y e z:

Qh mn oaN 4 `2aN9`f Sfp SjSk

Qh mn oaN 4 `2aN9`j Sjp SfSk

31

Qh lmnl oaN 4 `2aN9`k Skp SfSj

Qh a_h% (16)

De posse das equaes (13) a (16), podemos reescrever a equao (12) com as

devidas simplificaes necessrias j tendo sido efetuadas:

`2a9`b SfSjSk & `2aP9`f SfSjSk & `2aN9`j SfSjSk & & `2a!9`k SfSjS 4 a_h%2f,qqqd b9 (17)

Nota-se que o termo a_h%2f,qqqd b9 possui unidades [MT-1]. Entretanto, ao dividirmos os dois membros da equao por SfSjSk, este termo fonte passar a ter unidade de [ML-3T-1],como queramos demonstrar no incio desta seo ao apresentarmos equao

(12), que pode ser reescrita como (18):

`2a9`b & `2aP9`f & `2aN9`j & `2a!9`k 4 a_eee2fd9 (18)

A equao (12) bem como a equao (18), apesar da sua aparente sofisticao,

apenas um balano de materiais que pode ser expresso em palavras do seguinte

modo: A diferena entre a massa que entra e a massa que sai nas trs direes do

fluxo igual variao da massa dentro do meio poroso.

3.2.2 Lei de Darcy

Henry Darcy, um engenheiro civil francs, em 1856 fez diversos experimentos como

mostra a figura 3.4 e publicou um teorema fundamental para a teoria do fluxo de

fluidos homogneos atravs de meios porosos. Como engenheiro civil, ele estava

interessado nas caractersticas dos filtros de areia usados para filtrar a gua

consumida na cidade de Dijon na Frana.

32

Figura 3.4. Esquema do Experimento de Darcy [7]

A equao (19), de acordo com [24], relaciona a vazo q de uma fase atravs do meio

poroso com rea A aberta ao fluxo, diferencial de presso P comprimento L e a

viscosidade do fluido :

_ rsP-u (19)

Ao considerar experimentos multifsicos, como o que estamos propondo, no caso

leo-gua, de acordo com [24], a equao da velocidade de Darcy pode ser escrita na

forma generalizada:

Nd _hs & v 2f9qqqqd-2.9 c. (19)

Onde v 2f9qqqqd o tensor de permeabilidades, j apresentado neste captulo assim com -2.9, que a viscosidade.

3.2.3 Equao de Estado

A ltima equao bsica para termos todas as ferramentas necessrias para

demonstrarmos a equao da difusividade hidrulica so as equaes de estado, isto

, as equaes que representam a compressibilidades dos fluidos e da rocha.

33

Para o caso de fluxo de lquidos pode-se usar a equao geral da compressibilidade

dos fluidos, escrita na forma:

E 1a $à`.( (20)

J definio de compressibilidade efetiva da formao pode ser expressa como:

Ew 1 $``.( (21)

A soma da compressibilidade do fluido E com a compressibilidade efetiva da formao Ew chamada de compressibilidade total e representada por E, isto , E E 4 Ew .

3.2.4 Equao da Difusividade Hidrulica

A equao diferencial ser obtida na sua forma radial, que simula o fluxo nas

vizinhanas do poo. Solues analticas dessa equao podem ser obtidas usando

diferentes condies de contorno e condies iniciais para descrever o teste do poo e

o fluxo do reservatrio para o poo, o que tem inmeras aplicaes na engenharia de

reservatrios. [7]

Sero admitidas duas condies primrias para demonstrao da equao da

difusividade hidrulica

(a) Meio poroso heterogneo: significa que a porosidade varia com a posio,

no se mantendo constante ao longo do reservatrio;

(b) Anisotropia da rocha-reservatrio: existe diferena entre a permeabilidade

horizontal e vertical na rocha-reservatrio

Aplicando a equao (19) na equao (12) obtemos (22):

34

` 2a9`b c. xa v 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (22)

Aplicando a regra da cadeia no primeiro termo direita de (22), vem:

` 2a9`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 v 2f9qqqqd-2.9 c.. ca 4 a_eee2fd9 (23)

Como mensurar a variao da massa especfica com a posio extremamente difcil,

usaremos as equaes de estado j descritas como recurso matemtico para retir-la

da equao.

Ento, na direo x temos que:

ca à`f à`. `.`f (24)

Aplicando a definio da equao (20) em (24), fazendo os devido ajuste obtemos:

ca Ea `.`f (25)

Aplicando (25) na equao (23) podemos reescrev-la da seguinte forma :

` 2a9`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 v 2f9qqqqd-2.9 c.z. Ea 4 a_eee2fd9 (26)

Como estamos tratando de pequenos gradientes de presses,quando elevamos o

termo c. ao quadrado 2c.z9, o valor tende a zero e por isso pode-se descart-lo da equao. Reescrevendo, portanto, temos que:

35

` 2a9`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (27)

Agora, em se tratando do lado esquerdo da equao, aplica-se a regra da cadeia

obtendo a seguinte equao:

2fd9 ` a`b 4 a ` {2fd9|`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (28)

A fim de no termos na equao o termo da massa especfica a aplicaremos as equaes de estado para fluidos (20) e compressibilidade da formao (21). Com isso:

2fd9 ` a`. ` .`b 4 a ` "2fd9#`. ` .`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (29)

E, ainda :

2fd9Ea ` .`b 4 aEw} ` .`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (30)

Colocando em evidncia o termo ~ ~ obtemos a seguinte equao:

a2fd92E 4 Ew9 ` .`b ac. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 a_eee2fd9 (31)

Pode-se, ento, enfim eliminar o termo da massa especfica a, obtendo assim a equao da difusividade hidrulica para meios heterogneos e anisotrpicos:

2fd92E9 ` .`b c. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 _eee2fd9 (32)

36

Sabe-se que E a compressibilidade total e pode ser escrito em funo da saturao de leo29 e gua 2%9 no meio poroso, como:

E E 4 E%% 4 Ew (33)

A equao da difusividade hidrulica apresentada descreve da forma mais real

possvel o fluxo de fluidos em um meio poroso.

Utiliz-la, entretanto, praticamente invivel, visto que, apresenta dois problemas

bsicos:

(a) No linearidade da equao diferencial parcial: acarreta em dificuldades

sistemticas de convergncia da soluo, bem como, o tempo de simulao se

torna extremamente elevado;

(b) Coeficientes no constantes: por exemplo, a porosidade e a permeabilidade

so funes da posio, enquanto a viscosidade funo da presso. Isto

retrata a extrema complexidade desta equao;

(c) Fluxo monofsico: a equao representa o escoamento de apenas um fluido

em meio poroso, quando na realidade existem ao menos dois, fazendo-se

necessrias duas equaes diferentes, em princpio;

Como estamos interessados em trabalhar um escoamento bifsico (leo-gua)

imiscvel, a equao da difusividade hidrulica (32) para escoamento de fluidos pode

ser reescrita para o leo:

` 2fd9M `b c. xv 2f9qqqqd-2.9 c.y 4 _eee2fd9 (34)

Para a gua :

` 2fd9%M% `b c. xv% 2f9qqqqd-2.9 c.%y 4 _%eee2fd9 (35)

37

Iremos considerar ainda as propriedades de saturao dos fluidos na rocha e a

presso capilar nas interfaces:

4 % 1 . . & .% (36)

As incgnitas do problema so as saturaes e as presses de ambas as fases. No

caso de fluidos multifsicos, as equaes (34) e (35) vem sendo tradicionalmente

resolvidas em termos das equaes da presso e da saturao, com o objetivo de

reduzir o nmero de variveis.

3.3 Equao da Energia

Antes de fecharmos o modelo matemtico a ser implementado, para descrever o

comportamento dos fluidos no escoamento em meio poroso iremos apresentar uma

ultima equao.

Como estamos querendo verificar o comportamento do reservatrio quando submetido

a um determinado aquecimento, seja por qualquer mtodo apresentado no Captulo 2,

se faz necessria a incluso da equao da energia no modelo.

A equao do calor para um modelo bidimensional dada por:

1 `1b `z1`fz 4 `z1`jz (37)

Onde T a temperatura e o coeficiente de difusividade trmica que pode ser expresso pela seguinte equao:

aE (38)

38

Em que, condutividade trmica, a a massa especfica e o E o calor especfico. Esta equao ser mais bem discriminada no Captulo 4 deste projeto

3.4 Sumrio

Neste captulo foram apresentadas as propriedades mais importantes das rochas,

sendo elas, a porosidade e a permeabilidade, bem como as principais propriedades

dos fluidos, sendo citadas: a saturao, viscosidade, presso capilar, mobilidade e

fator volume-formao.

A seguir foram descritas as principais equaes que regem o fluxo de fluidos em

meios porosos. A primeira delas a equao da continuidade foi apresentada e

desenvolvida, sendo considerado nela o termo fonte. Em seguida, apresentou-se a Lei

de Darcy e as equaes de estado para os fluidos e a rocha.

Todas estas serviram de base para chegar na equao da difusividade hidrulica, que

foi demonstrada. Fizeram-se tambm consideraes sobre suas limitaes de uso.

Como vamos tratar de um escoamento bifsico e bidimensional, foram apresentadas

as respectivas equaes da difusividade hidrulica para o leo e para a gua. Por fim,

como temos como objetivo aquecer o reservatrio, a equao do calor primordial

para a implementao do modelo e por isso tambm foi exposta neste captulo.

39

4 Metodologia de Soluo

No captulo anterior apresentamos duas equaes, (34) e (35), que iro reger o fluxo

bifsico- bidimensional no sistema a ser estudado. Estas, porm so muito complexas

para serem resolvidas analiticamente, dadas suas fortes no-linearidades e a

dependncia entre os termos da equao com o tempo.

A proposta deste captulo viabilizar a soluo numrica destas equaes atravs do

mtodo dos volumes finitos, devido sua acurcia, rapidez e simplicidade de

implementao, principalmente porque iremos utilizar um software no especializado

em simulao de reservatrios, no caso, Mathematica 7.

4.1 Equaes de Fluxo

4.1.1 leo-gua

Uma das grandes barreiras para a soluo do problema a complexidade do sistema

de equaes ao qual o software ser submetido, o que pode resultar em problemas de

convergncia e tornar-lo insolvel.

Para que tal fato no ocorra, a soluo encontrada foi adotar o seguinte procedimento

a partir das equaes (34) para o escoamento de leo e (35).

Reescreveremos as equaes (34) e (35). Para o leo, temos que:

``f o2f, j9

2%9-2]9M2]9`]2f, j, b9`f p 4

4 `j o2f, j9 2%9-2]9M2]9 `]2f, j, b9`j p `b o2f, j, ]92f, j, b9M2]9 p & _h,neee (39)

40

J para a gua, vem que a equao para o escoamento desta no reservatrio pode

ser escrita da seguinte forma:

``f o2f, j9

%2%9-%2]9M%2]9`]%2f, j, b9`f p 4

4 `j o2f, j9 %2%9-%2]9M%2]9 `]%2f, j, b9`j p `b o2f, j, ]9%2f, j, b9M% p & _h%,neee (40)

importante observar que os dados PVT (incluindo os dados da gua) so sempre

funo da presso da fase leo e no da fase gua. Por simplificao matemtica, as

equaes (39) e (40) sero reescritas, em termos de Presso do leo (po) e Saturao

da (Sw) combinando-a com as equaes (7) e (36):

. & .% .% 2%9 4 % 1

A equao do leo fica :

`f $-M `]`f ( 4 `j -M `]`j `b o21 & %9M p & _h,neee (41)

Assim, a equao da gua resulta em:

`f %-%M% $`]`f & `]%`f ( 4 `j %-%M% $`]`j & `]%`j ( `b $%M% ( & _h%,neee (42)

Porm, sabe-se que:

= 2f, j, ]9 M z 2]9 M% ) 2]9 % 2f, j, b9 (43)

41

Verificada a dependncia das propriedades listadas acima, precisamos expandir o

termo transiente para explicitar a variao da presso da fase leo com o tempo.

Ento, os termos transientes da equao para o leo e para a gua se tornam

respectivamente:

`b 21 & %9M 21 & %9 `b $ 1M( & $ 1M `%`b ( 4 21 & %9M `b 21 & %9 ``] $ 1M( `]`b & $ 1M `%`b ( 4 21 & %9M ``] `]`b 21 & %9 ``] $ 1M( 4 1M ``] `]`b & $ 1M( `%`b

(44)

`b $%M% ( 2%9 `b $ 1M%( 4 $ 1M% `%`b ( 4 %M% `b % ``] $ 1M%( `]`b & $ 1M% `%`b ( 4 %M% ``] `]`b % ``] $ 1M%( 4 1M% ``] `]`b 4 $ 1M%( `%`b

(45)

As equaes (44) e (45) correspondem ao termo transiente das equaes do fluxo

leo/gua na formulao (po Sw). Observa-se entre colchetes esto as expresses

provenientes de dados PVT e de compressibilidade da formao que so, a priori,

conhecidos. Por questes de simplificao, o termo transiente com o qual

trabalharemos as equaes fica com a seguinte forma:

Para o leo:

`b o21 & %9M p 21 & %9= `]`b & z `%`b (46) Para a gua:

`b %M% 2%9) `]`b 4 `%`b (47)

42

onde:

= ``] $1

M( 4 1M ``] z 1M ) ``] $ 1M%( 4 1M% ``] 1M% (48)

Assim, substituindo a equao (46) em (41) e (47) em (42) vem que as equaes para

escoamento leo/gua a serem discretizadas so, respectivamente:

`f $-M `]`f ( 4 `j -M `]`j 21 & %9= `]`b & z `%`b & _h,neee (49)

`f %-%M% $`]`f & `]%`f ( 4 `j %-%M% $`]`j & `]%`j ( 2%9) `]`b 4 `%`b & _h%,neee (50)

O trabalho agora de escolha do mtodo numrico para a posteriori aplicar a

discretizao, nas equaes (49) e (50).

4.1.2 Energia

Reescrevendo a equao (37) para um meio poroso heterogneo e anisotrpico:

aE, $ `1b 4 .qqqd c1( c{iww . c1| 4 _eee 4 -.qqqd . qqqd (51)

onde:

aE, 4 21 & 9aE,aE, (52)

43

iww 4 21 & 9 (53) a %M%a%, 4 21 & %9Ma, (54) E, %E,% 4 21 & %9E, (55) %% 4 21 & %9 (56)

Nas equaes acima, a porosidade, a a massa especfica, cp o calor especfico e a condutividade trmica dos componentes do sistema e os subscritos s, o, w e l referem-se, respectivamente fase slida, fase leo, fase gua e mistura de lquidos.

Considera-se equilbrio trmico entre a fase slida e lquida. O ltimo termo do lado

direito da equao (51) chamado de dissipao viscosa. No presente estudo, este

termo desprezvel.

O termo fonte da equao (51) representa a energia por unidade de volume entregue

para o meio poroso atravs do aquecimento do poo.

Para o sistema bidimensional em estudo, a equao (51) pode ser re-escrita da

seguinte forma:

aE, $ `1b 4 P `1`f 4 N `1`j( x $iww `1`f( 4 y $iww `1`j( 4 _eee"2f & s92f & 9#

(57)

onde os componentes P e N do vetor velocidade so obtidos aplicando-se a Lei de Darcy no campo de presses.

44

4.2 Escolha do Mtodo Numrico

A tarefa de um mtodo numrico resolver uma ou mais equaes diferenciais,

substituindo as derivadas existentes na equao por expresses algbricas que

envolvem a funo incgnita. Um mtodo analtico que tivesse a habilidade de resolver

tais equaes nos daria a soluo em uma forma fechada e seria possvel, ento,

calcular os valores das variveis dependentes em nvel infinitesimal, isto , para um

nmero infinito de pontos. [14]

Por outro lado quando decidimos fazer uma aproximao numrica da equao

diferencial, aceitamos ter a soluo para um nmero discreto de pontos, mais prxima

possvel da soluo exata. No caso do problema em questo, em um reservatrio

bidimensional, fcil entender que ao decidirmos calcular, por exemplo, 100 valores

de presso e consequentemente 100 valores de saturao, teremos 100 incgnitas,

sendo necessrias 100 equaes algbricas para o fechamento, formando um sistema

de 100 equaes e 100 incgnitas. [14]

Se quisermos tornar mais precisos nossos clculos, aumentando o nmero de

incgnitas, o sistema linear a ser resolvido, logicamente tambm vai aumentando,

proporcionalmente, em nmero de equaes. O esforo computacional tambm cresce

e de forma no linear.

A figura 4.1 exemplifica a tarefa do mtodo numrico, na qual uma equao diferencial

escrita em nvel infinitesimal e definida para o domnio D transformada em um

sistema de equaes algbricas. Para isto, as derivadas da funo existentes na

equao diferencial devem ser substitudas por valores discretos da funo.

45

Figura 4.1. A Tarefa do Mtodo Numrico

Nossa preocupao, neste projeto, ser apenas com o mtodo dos volumes finitos, j

que, este mtodo intensivamente usado em problemas de escoamento de fluidos e

transferncia de calor. O reservatrio bidimensional a ser estudado de:

Geometria Simples;

Sem complexidade geolgica, falhas ou estratificaes;

Malha homognea, ideal para o fluxo;

Com estas caractersticas, torna-se apropriado o uso do Mtodo dos Volumes Finitos e

a soluo do problema espera-se que seja adequada e satisfatria. Porm, a

discretizao aqui apresentada pode ser utilizada para meios heterogneos e

anisotrpicos.

4.3 Mtodo dos Volumes Finitos (MVF) Aplicado a

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