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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
TESIS DOCTORAL
MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.
APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO
EN LA ZONA DE CARGA.
AUTOR:
EDWIN LANIADO JCOME
Directores:
JUAN CARLOS GARCA PRADA
JESS MENESES ALONSO
DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA
Legans, diciembre de 2008
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TESIS DOCTORAL
MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.
APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO EN LA ZONA DE
CARGA.
Autor: Edwin Laniado Jcome
Directores: Juan Carlos Garca Prada
Jess Meneses Alonso
Firma del Tribunal Calificador:
Firma
Presidente: (Nombre y apellidos)
Vocal: (Nombre y apellidos)
Vocal: (Nombre y apellidos)
Vocal: (Nombre y apellidos)
Secretario: (Nombre y apellidos)
Calificacin:
Legans/Getafe, de de
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A Yanitza Giraldo Restrepo, Esposa.
Blanca Lilia Jcome Miranda, Madre.
Liliana Hernndez Jcome, Hermana.
Mara Alejandra Prez Hernndez, Sobrina.
Tres bellas generaciones.
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AGRADECIMIENTOS
Son muchas las personas que deben estar en esta pgina, pero debo hacer una
mencin especial para los directores de esta Tesis, el catedrtico Juan Carlos Garca
Prada y al profesor Doctor Jess Meneses Alonso.
A la institucin, Universidad Carlos III de Madrid, junto con el
Departamento de Ingeniera Mecnica
.
A otras personas que prestaron asesora durante todo el tiempo:
- Zohar Yosibash,jefe del laboratorio virtual para sistemas dinmicos de la
universidad Ben Gurion en Beer Sheva Israel.
- Tcnicos y profesores de Algor.
- Tcnicos y profesores de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia
UNED.
- Al grupo de personas que me ayudaron directamente con la investigacin en
esta Tesis Doctoral: Alfonso Vilches, Sergio Tocina, lvaro Garca, Javier Alarcn,
Juan Antonio Cobo, Marta E. Garca, Eduardo Mariscal, Sara Lecumberri,
Eduardo Varta, David Saiz Prada, Daniel Alcoba, Marcos Prez y otras personas
que por avatares del tiempo no podr incluirlos.
Al grupo de amigos de siempre, entre ellos Julin Enrquez, Carlos Alberto
Guevara, Oscar Duque, Pilar Balanta, Nelson Javier, Carlos Arturo Gil, Cesar
Arturo Castillo.
Otras personas ajenas a la docencia que me apoyaron de forma incondicional: entre
ellos: Henry Len Prez, Adela Sebrian, Ramn Daro, Sergio Condurache,
Gerson Villarroel, Kinga , Adriana Cardona, Fabin Arstein.
Y dentro de la universidad una mencin especial a mis buenos amigos Rachid
Cheriguene y Jaime Montoya y los colegas Gabriel, Edwin, Jymmi, que con la
justificacin de tomarnos un caf, compartamos diferentes opiniones y criterios
acerca de nuestras respectivas tesis.
Para todos, gracias, esta tesis fue por ustedes.
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MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO EN LA ZONA
DE CARGA
RESUMEN
En esta Tesis, se propone un nuevo modelo numrico en 2D de rodamiento de
rodillos cilndricos para simulaciones de eventos mecnicos (Mechanical Event
Simulation, MES), como una alternativa a las metodologas experimentales y analticas,
para el estudio del comportamiento dinmico de sus piezas en rotacin.
Este modelo numrico de rodamiento de rodillos cilndricos, est analizado por
medio del mtodo de los elementos finitos en cdigo comercial Algor, para
simulacin de eventos mecnicos. Con el modelo numrico se analizar la distribucin
de fuerzas de contacto sobre la pista externa debida a la dinmica de las piezas de
rotacin del rodamiento.
El modelo numrico fue validado por comparacin entre las fuerzas de reaccin
de contacto rodillo-pista externa que proporciona, con las que se deducen del modelo
analtico propuesto por Jones-Harris.
Se realiz, con el modelo de rodamiento propuesto, un anlisis del deslizamiento
de los elementos rodantes sobre la pista externa. El estudio permiti diferenciar una
zona en la que el deslizamiento se mantiene prcticamente nulo: la zona de rodadura. Serealiza el estudio de los efectos de la velocidad del eje y del coeficiente de friccin
sobre extensin de la zona de rodadura.
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ABSTRACT
In this Thesis, a new finite element model of a roller bearing for mechanical event
simulations is proposed as an alternative to experimental and analytical methodologies, in
order to study the slipping between the rollers and the races.
As a result of an application of a modeling methodology, a two dimension finite
element model has been built, taking into account the contact between all the rollers and
races. A system of radial elements has been also included in the model, in order to provide
the shaft with a constant angular velocity.
The proposed model has been then validated by comparing the roller-race contact
reaction forces it gives, with those obtained from the analytical model developed in [harris].
This comparison has been carried out for several shaft angular velocities, and the
corresponding values are in an excellent agreement.
With such validated model, a large variety of virtual analyses have been carried out
to study the local slipping between the rollers and the races. The varying parameters were
the shaft angular velocity and the friction coefficient between rollers and races. These
simulations have permit us to define the rolling zone for each case, and to conclude that this
rolling zone is approximately centered with respect to the loading zone, and has less extent
than the latter.
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ndice general
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NDICE GENERAL
OBJETIVOS 1
CAPITULO I
1 Introduccin 3
1.1. Generalidades 4
1.2 Estado del arte 8
1.2.1 Artculos de seales de vibracin 9
1.2.2 Artculos de modelos matemticos 10
1.2.3 Artculos de modelos numricos 111.3 Estructura del documento 13
CAPITULO II
2. Metodologas a desarrollar para la definicin del modelo de estudio 16
2.1 Modelo Experimental 18
2.2 Modelo Analtico 23
2.2.1 Ley de contacto de Hertz 23
2.2.2 Modelo Analtico Jones-Harris 25
2.2.3 Modelo Analtico de Harsha 25
2.3 Modelo Numrico 34
2.3.1 Modelado y anlisis del rodamiento en 3D 35
2.3.1.1 Anlisis Esttico 40
2.3.1.2 Anlisis por modo de vibracin 50
2.3.1.3 Anlisis Dinmico 52
2.3.2 Otros Modelos Realizados 59
CAPITULO III
3. Modelos propuestos para el anlisis dinmico del rodamiento 70
3.1 Modelo Analtico 70
3.1.1 Tcnica de Formulacin para el modelo analtico
Jones-Harris 70
3.1.2 Resultados del modelo analtico 78
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ndice general
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3.2 Modelo Numrico 80
3.2.1 Modelado y simulacin de un rodamiento de
rodillos cilndricos bajo cdigo Algor 80
3.2.1.1 Generacin del mallado del modelo 82
3.2.1.2 Elementos de Contactos 94
3.2.1.3 Parmetros de anlisis en simulaciones
de eventos mecnicos (MES) 96
3.2.2 Toma de datos y anlisis de resultados 96
3.2.2.1 Toma de Datos (Modelo MEF/MES). 96
3.2.2.2 Anlisis de Datos 100
3.3. Comparacin y validacin de los resultados 105
3.3.1 Comparacin de resultados 105
CAPITULO IV
4. Estudio del deslizamiento entre los rodillos y las pistas del rodamiento 114
4.1 Introduccin 114
4.2 Deslizamiento y rodadura. Factor de Deslizamiento 115
4.3 Mtodo de obtencin de los factores de deslizamiento local
entre los rodillos y las pistas a partir de las simulaciones MES 116
4.4 Anlisis de resultados de deslizamiento local a partir de las
simulaciones 123
4.5 Zona de Rodadura 129
4.6 Influencia del coeficiente de Rozamiento 132
CONCLUSIONES 137
TRABAJOS FUTUROS 141
REFERENCIAS 143
ANEXO I 148
ANEXO II 158
ANEXO III 168
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OBJETIVOS.
El objetivo principal de esta Tesis Doctoral es el desarrollo de un modelo de
rodamiento para el estudio de la fenomenologa que presenta la dinmica de sus
elementos rotativos con un estudio de deslizamiento en la zona de carga. Para esto se
tuvieron que lograr los siguientes objetivos:
1. Desarrollo de una metodologa para la elaboracin de un modelo de rodamientopara el anlisis dinmico de los elementos rotativos que lo componen.
2. Desarrollo del modelo de un tipo de rodamiento bajo condiciones de contornocontrolables y que avanzar a la consecucin de un modelo de rodamiento
realista.
3. Verificacin por comparacin del modelo numrico de rodamiento propuestopara esta Tesis con el modelo analtico de Jones-Harris.
4. Aplicacin del modelo con un estudio del anlisis del nivel de deslizamientopresente en el contacto dentro de la zona de carga.
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CAPITULO I: INTRODUCCIN
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Captulo I Introduccin
4
INTRODUCCIN
1.1GENERALIDADESA los procesos mecnicos involucrados en la produccin industrial se les requiere
una mayor eficiencia, es decir, mayor fiabilidad y mayores velocidades de
funcionamiento. La facilidad de implementar sistemas de deteccin de sus parmetros
mecnicos ms representativos es fundamental en su diseo y fabricacin con el
objetivo dedetectar posibles fallos con el suficiente tiempo de antelacin y proveer su
solucin sin consecuencias graves para la mquina. Por esta razn, se hace importante el
desarrollo y aplicacin de un sistema de prediccin del estado del sistema mecnico con
vistas a la ubicacin y prediccin del defecto o fallo.
Dada la complejidad de los sistemas mecnicos modernos, se hace difcil
particularizar y detectar el componente de fallo en dichos sistemas, por la gran cantidad
de partes y elementos que lo componen.
Es por esto necesario seleccionar dentro de un sistema mecnico un solo y nico
subsistema, que es el objeto de estudio de esta investigacin, definido como la unin
entre eslabn de transmisin de potencia y el eslabn de apoyo mediante el rodamiento.
El rodamiento es el apoyo ms empleado en todo tipo de mquinas por los
elementos rotativos que lo componen, debido a ventajas como: pequeo par de
arranque, reducida friccin en un amplio rango de velocidades, bajo consumo de energa
y de lubricante, largos intervalos de mantenimiento, facilidad de montaje y desmontaje
y gran variedad de dimensiones estandarizadas.
Sin embargo, el rodamiento es la parte de las mquinas rotativas que presenta
mayor siniestrabilidad, entendiendo como tal el nmero de intervenciones realizadas
sobre dichos elementos en un periodo de tiempo determinado. Esta siniestrabilidad es
debida a que resulta ms sencillo y mucho menos costoso sustituir un rodamiento que
otro elemento de la mquina.
En el sentido fsico, los rodamientos son sistemas mecnicos multi-cuerpo donde
el comportamiento dinmico es de difcil estudio. Pero por ser un apoyo, el anlisis del
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Captulo I Introduccin
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funcionamiento del rodamiento es determinante para conocer la respuesta vibratoria de
la mquina. Por tanto, el anlisis de la evolucin dinmica de los rodamientos
representa un importante problema, que debe ser abordado para conocer su respuesta
vibratoria, respuesta no-lineal. La complejidad del estudio del comportamiento
cinemtico dinmico y la necesidad de crear un modelo que represente su
comportamiento lo ms realista posible ha originado multitud de modelos, tanto con
parmetros cinemticos, como anlisis de frecuencia y de contacto.
De cara al mantenimiento predictivo por vibraciones de la mquina, todos los
aspectos comentados anteriormente concurren, pues los sensores (generalmente
acelermetros) se sitan en la proximidad de los rodamientos, pues son stos los
encargados de canalizar todos los esfuerzos en la mquina.
Evolucionando desde trabajos anteriores [23, 38, 44] en los cuales se propone un
modelo experimental de anlisis de vibraciones para detectar un defecto localizado en
rodamiento. Para estas investigaciones se fabric un banco de ensayos experimentales.
Como continuacin a estos estudios, se propone un modelo de rodamiento analizado por
medio del mtodo de los elementos finitos bajo cdigo comercial Algor para
simulacin de eventos mecnicos (SEM). El estudio SEM simula el funcionamiento de
un rodamiento de rodillos cilndricos bajo carga radial y con diferentes tipos de
frecuencia de giro de eje, dando resultados realistas y comparables en otros tipos de
modelos (analticos y experimentales).
Hasta la fecha, solo se puede tener informacin de desplazamientos (vibraciones)del rodamiento mediante el anlisis de seales en un banco de ensayo, pero no se puede
obtener informacin de su dinmica interna por medios experimentales. Los modelos
analticos suplen esta necesidad, ya que con ellos se pueden obtener informacin de las
tensiones y deformaciones presentadas en el contacto de las piezas, pero debido al gran
nmero de ecuaciones que puedan resultar al tratar de hallar estos resultados, se
disminuyen las condiciones realistas del modelo.
Es por esto que en los ltimos aos se ha desarrollado un nuevo modelo de
rodamiento para obtener mayores resultados dinmicos y con ms condiciones
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Captulo I Introduccin
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impuestas, este nuevo modelo terico es el modelo de simulacin por medio del mtodo
de los elementos finitos.
En la tabla 1.1 se mostrara las distintas opciones disponibles por cada metodologa
propuesta:
Tabla 1-1: Metodologas para el anlisis del comportamiento dinmico de un rodamiento
Resultados Metodologas (Modelos)
Estudio de
Contacto
Analtico Numrico (FEM/MES)
Anlisis de
Tensiones
Analtico Numrico (FEM/MES)
Anlisis de
Desplazamientos
Analtico Numrico (FEM/MES) Experimental
La tabla 1.1 muestra los resultados que son posibles obtener con cada uno de los
modelos de rodamientos existentes para el estudio de su comportamiento dinmico, con
el modelo analtico se recogen resultados de tensiones y deformacin con la descripcin
de una zona de carga, tambin se podr obtener datos del desplazamiento de cada uno
de los elementos del rodamiento, y en algunas publicaciones se han generados modelos
matemticos que detectan las frecuencias dentro de un dominio [5,8]. En el modelo de
simulacin (numrico) los resultados se generan adicionando coeficiente de friccin
entre las piezas, adems de que todas las piezas pueden ser de material elstico (no
rgidas), aunque el calculo depende del software y de hardware donde se instale el
modelo. Existen muchos software comerciales en el mercado que basan su clculo por
medio del mtodo de los elementos finitos, pero la diferencia en cada uno de ellos
radica en una especialidad de clculo, el software que se utiliza para esta investigacin
es de los mas competitivos en el anlisis dinmico de sistemas mecnicos [47] por tener
la herramienta MES (Mechanical event simulation) para simulacin de eventos
mecnicos. Siguiendo con la tabla 1.1 para los modelos experimentales solo se
adquieren datos de desplazamiento con anlisis de frecuencia en el dominio del tiempo,
pero debido a la complejidad de la geometra del rodamiento no se puede obtener
resultados dinmicos mas all de lo que permite el anlisis de vibraciones.
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Captulo I Introduccin
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Esta investigacin propone un modelo numrico para estudiar el fenmeno
dinmico del rodamiento que de respuesta de las reacciones de las piezas en contacto
con la descripcin de la zonas de carga a diferentes tipos de frecuencia de giro del eje,
adems del estudio de estas zonas de carga por cada frecuencia, se estudia tambin el
nivel de deslizamiento dentro de cada una de ellas.
Los datos obtenidos del modelo numrico propuesto se validan comparando los
resultados correspondientes con los que se proponen en la literatura [7] en lo que
respecta a la distribucin dinmica de cargas (zona de carga) entre los elementos
rodantes (rodillos) y la pista externa. Con esta comparacin y su correspondiente
validacin se permite aplicar al modelo un estudio del deslizamiento.
El esquema 1 resume los pasos que se siguieron para la obtencin del modelo
propuesto:
Esquema 1: Diagrama de flujo que se llevo a cabo para la realizacin de esta tesis.
RODAMIENTOTipo: Rodillos Cilndricos
Modelo NumricoTipo. MEF/MES [12]
20, 30, 40, 50, 100 Y 200 Hz
Modelo AnalticoTexto. Harris [7]
20, 30, 40, 50, 100 Y 200 Hz
Anlisis de resultados. M. N. Anlisis de resultados. M. A. [13]
Comparacin y ValidacinM. N. M. A.
AplicacinNivel de deslizamiento
Pista externa
ConclusionesTrabajos futuros
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Captulo I Introduccin
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Resumiendo los pasos del esquema 1
Generacin de la geometra del modelo de rodamiento en 2D para simulacin deeventos mecnicos siendo analizado por medio del mtodo de los elementos
finitos, el modelo contiene en cada uno de sus nodos tres grados de libertad con
aplicaciones segn la necesidad de carga, condiciones de contorno, restricciones
y frecuencia de giro.
El segundo es comparacin y validacin del modelo numrico con un modeloanaltico plenamente aprobado por la comunidad cientfica como es el modelo
implementado en el texto tcnico de Harris [7].
El tercer paso es el estudio del deslizamiento entre los rodillos y la pista externacomo aplicacin al anlisis. El anlisis del deslizamiento se realizara para varios
tipos de rotacin del eje y con diferentes coeficientes de rozamiento.
Para lograr esto se hizo la siguiente revisin de la documentacin mostrada en las
referencias y en el estado del arte.
1.2 ESTADO DEL ARTE
Para poder determinar el estado de los avances en el estudio del comportamiento
dinmico de un rodamiento se han evaluado tres tipos de artculos:
- Los primeros trabajos que se referencia en este estudio son los de artculosde anlisis de seales de vibracin que su temtica especifica sea de
rodamientos.
- Las siguientes investigaciones referenciadas, fueron los estudios conmodelos matemticos que analizaban los comportamientos mecnicos de
las piezas en rotacin del rodamiento, en especial las bolas o rodillos.
- Y por ultimo, fueron trabajos que sometieron una geometra de rodamientoal anlisis y simulacin por medio de mtodo de elementos finitos bajo
cualquier marca comercial de software.
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1.2.1. Artculos de seales de vibracin en rodamientoLa tcnica bsica en los anlisis de seales de vibracin fue el uso de los algoritmos
desarrollados por formulacin estadstica, para detectar defectos localizados en
rodamientos, estas tcnicas han sido empleadas en el mantenimiento predictivo. La
tcnica del mantenimiento predictivo utiliza los datos de las seales de vibracin,
emitidos por un sistema mecnico para descubrir a tiempo el deterioro incipiente en
algn elemento que lo compone. Se particulariza en el rodamiento por su funcin de
apoyo dinmico del sistema, esto hace que sea el mecanismo ms ptimo en control
del estado del funcionamiento de todo el sistema.
Se conoce estudios de anlisis de seales para rodamientos desde los aos 60, el ms
destacado es el de Gustafsson [24] quien propuso uno de los primeros mtodos dedeteccin de defectos en rodamiento; se basa en un ndice estadstico de la seal
temporal determinando los picos normales y creando una franja que describe el
impacto causados por un defecto localizado a los picos que sobrepasan este nivel.
En los aos 70, Martn [25], presenta las deducciones de las primeras frecuencias
para los elementos que constituyen un rodamiento y su relacin con posibles
defectos localizados, como primeras aplicaciones de los analizadores de frecuencia.
Ya en los aos 80 se diversifican las tcnicas de anlisis. Braun [26] utiliza lasfrecuencias de defecto de un rodamiento para analizar la modulacin producida por
las frecuencias de resonancia de los elementos que componen el rodamiento. En el
ao 1982 Boyes [27] mejora la tcnica de modulacin analizando las resonancias
como diagnostico de defectos, obteniendo resultados ms exactos. Los aos 90 llega
con nuevos desarrollos tecnolgicos y el ms trascendente para esta tesis se
encuentra el de Bae [1] el cul genera un filtro estadstico que dentro de la seal
temporal, excluye los picos de alta frecuencia, generando as una seal idnea para
el anlisis de las frecuencias de los elementos del rodamiento y de las seales de los
defectos localizado en pista o bola. Orhan [2] genera en su estudio formas de
monitoreos para el diagnostico de los defectos localizados en rodamiento dentro de
un mantenimiento predictivo V. Purushotham [3] realiza una metodologa completa
del anlisis de vibraciones que genera un rodamiento por medio de la divisin de
frecuencias, detectando el defecto localizado de forma incipiente e identificando la
ubicacin del defecto. Ban [4] busca por medio de un modelo terico de un
rodamiento, generar la formulacin del sonido normal del mismo en
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Captulo I Introduccin
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funcionamiento, comparndolo con ensayos experimentales y descubriendo con esta
comparacin el defecto. Peng [31] realiza una combinacin de tcnicas para detectar
la seal de vibracin propia del rodamiento, el defecto localizado para ste estudio
sirve para aclarar la frecuencia de paso por bola, esta combinacin es la aplicacin
de la transformada de Hilbert y de la transformada Wavelet. Estas combinaciones de
tcnicas y de estudios no permitan obtener datos verosmiles del comportamiento
dinmico del rodamiento, reafirmando el objetivo de generar un modelo terico ms
completo del estudio del comportamiento cinemtico y dinmico del rodamiento.
1.2.2. Artculos de modelos matemticosEl trabajo ms importante realizado en torno a la generacin de los modelosmatemticos para definir la dinmica de un rodamiento, ha sido realizado por Harris
[7] que por medio de un equilibrio dinmico, plantea las ecuaciones para desarrollar
las variables de las deformaciones de contacto entre los elementos rodantes y las
pistas, por medio de la ley de contacto de Hertz.
Meyer [28] Present una tcnica matemtica para predecir los componentes
espectrales de las vibraciones que proceden de los efectos de los ejes desalineados,
las superficies excntricas, y la compresin de los elementos del rodamientos debidoa la carga. Choudhury y Tandon [5] presentaron un modelo terico para obtener la
respuesta de la vibracin debida a los defectos localizados con ondulacin en las
superficies por efecto de la carga. Loparo [32] realiza modelo terico aproximado
para la deteccin y diagnostico de la fallas mecnicas en maquinas rotativas.
Particulariza stos fallos en diferentes elementos del rodamiento como pistas y
bolas. Harsha [8] propone una formulacin matemtica en donde los contactos entre
los elementos rodantes y las pistas son considerados muelles no lineales, cuya
rigidez es obtenida utilizando la teora elstica de la deformacin del contacto de
Hertziano. El texto presenta un modelo analtico para investigar las vibraciones
estructurales de un rotor de alta velocidad sostenido por rodamientos. Wardle [29]
mostr la relacin entre el nmero de elementos rodantes y las ondas de las
vibraciones que se generaban. Cundo el nmero de elementos rodantes y ondas es
igual, las vibraciones son severas alcanzando la frecuencia de resonancia. Jang [30]
presenta un modelo analtico para estudiar las vibraciones debido a las ondulaciones
generadas por el paso de un elemento rodantes sobre la pista, adicionando
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Captulo I Introduccin
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fenmenos cmo el movimiento giroscpico de los elementos rodantes y la fuerza
centrfuga.
1.2.3. Artculos de modelo numricos de rodamientosArtculos de modelos realizados con base en el mtodo de los elementos finitos con
cdigo en algn software comercial avalados para el anlisis de sistemas mecnicos
y dinmicos. Los estudios de modelos de sistemas mecnicos por medio del anlisis
bajo el mtodo de los elementos finitos (MEF) han tenido gran desarrollo solo en
estos ltimos 10 aos, generado por la gran evolucin de las mquinas de clculo
(ordenadores) y de los programas de software de calculo MEF, que discretizan las
piezas mecnicas del sistema de masa continua en finitas partes llamadas nodos. Los
nodos son unidos por lneas (elementos) estos contienen las propiedades de losmateriales de la pieza tales como: rigidez, cargas, contactos, friccin, entre otros. El
procedimiento de solucin de este software es por medio matricial, aplicando la ley
de Hooke [33]. Zhang [34] establece un modelo MEF de contacto multi-cuerpo para
simular las tensiones internas que ejerce el rodamiento en la estructura de un buje
utilizado en automviles, con esto miden los niveles de desplazamiento mximos
ocurridos bajo diferentes tipos de carga, esta simulacin se realiza de forma esttica.
Kiral [10] modela una estructura de porta rodamiento incluyendo un rodamiento derodillos con carga dinmica y con defecto localizado en pista para obtener los
niveles de vibraciones que aporta el rodamiento a la estructura que lo contiene y con
esto detectar el mejor punto de dicha estructura, para colocar un sensor que capta los
datos de vibracin del defecto del rodamiento. Las simulaciones se realizan con tipo
de elementos cinemticos interpretndolos como elementos rgidos sin presentar
deformacin durante el contacto. Kang [11] realiza un estudio para modificar el
mtodo de contacto de Jones-Harris utilizado para determinar las deformaciones
tericas en el contacto entre elemento rodante y pista, para esto propone un modelo
MEF para validar su nueva formulacin; estas simulaciones se realizan en 3D, pero
de forma esttica. Kiral [16] realiza de nuevo un modelo numrico de estructura
porta rodamiento, pero sta vez le adiciona un rodamiento con varios defectos
localizados en pista, para determinar las frecuencias en las vibraciones tericas
emitidas por un rodamiento bajo carga dinmica, correlacionndolas con un modelo
experimental. Esta correlacin siempre es a nivel de valor de frecuencia y no de
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Captulo I Introduccin
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magnitud. Los modelos siguen siendo de tipo cinemticos, sin presentar
deformacin a efectos de la carga.
Los modelos numricos que describen y predicen los fenmenos dinmicos y de
contacto que generan un rodamiento, han tenido un gran avance slo estos ltimos
aos. Sawalhi [35] presenta la simulacin de un modelo de caja de engranaje
combinndolo con un rodamiento, es un estudio muy completo que muestra los
contactos en un engranaje, la curvas de carga analtica de un rodamiento, los niveles
de vibracin terica que aporta el rodamiento con defecto al contacto de engranaje,
y un estudio incipiente de deslizamiento en rodamiento, porque solo relaciona el
deslizamiento con las rotaciones del eje y de la jaula, sin tener en cuenta el
deslizamiento propio del elemento rodante. Aunque aos anteriores Itagaki [36]
realiz un estudio experimental del deslizamiento presente en los rodamientos con
diferentes tipos de densidad de grasa, hizo la comparacin entre la velocidad de
rotacin de la jaula y la velocidad del eje, sacando conclusiones: que con ms
densidad de grasa el rodamiento presenta ms deslizamiento, y los niveles de calor
que se generan con la variacin de dicha densidad.
Dentro de todo este trabajo de recopilacin de textos, artculos y estudiosconcernientes a los fenmenos que ocurren durante el funcionamiento de un rodamiento
bajo diferentes tipos de condiciones, no se encuentran tres requerimientos que propone
esta tesis:
- Profundizar en el estudio de la fuerza de reaccin de los elementosrodantes con la pista externa.
- Comparacin de las zonas de carga entre un modelo matemtico con elmodelo de simulacin a diferentes tipos de frecuencia de giro de eje.
- Estudio detallado del deslizamiento presente en cada elemento rodantey su relacin con la zona de carga.
Para llevar a cabo estos estudios se define la estructura del documento de la
siguiente manera:
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13
1.3 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO
Para alcanzar los objetivos establecidos para esta Tesis Doctoral se han
estructurado los siguientes captulos:
OBJETIVOS
Objetivos principales de la Tesis Doctoral.
CAPITULO ISe describir el mbito y los pasos seguidos para el logro de los objetivos. Se
mostrar tambin la revisin de la referencia bibliogrfica en un estado del arte de los
ltimos 20 aos, en torno a la temtica escogida haciendo especial hincapi en los
ltimos desarrollos relacionados con los objetivos de esta Tesis doctoral y por ltimo se
finalizar con las fases de desarrollo.
CAPITULO IISe plantearon tres metodologas para lograr el modelo adecuado para obtener
datos del comportamiento dinmico del rodamiento:
- Experimental- Analtica- Numrica.Con las tres metodologas se realizaron de igual modo tres modelos para lograr
resultados de dicho comportamiento. Para cada metodologa, se realiz un historial de
generacin del modelo, de toma y obtencin de datos, anlisis de resultados,
comparacin y validacin.
Finalizando este captulo, se describe el modelado y la simulacin del modelo
numrico creado para esta Tesis Doctoral, obteniendo mejores resultados.
CAPITULO III
Se considera y se desarrolla el modelo analtico de Jones-Harris cmo el modelo
matemtico, para validar el modelo numrico propuesto para esta Tesis.
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Captulo I Introduccin
14
Se propone el modelo numrico para simulacin de eventos mecnicos (MES)
como la mejor forma de afrontar el estudio del comportamiento dinmico del
rodamiento como elemento de apoyo.
Se comparan y validan los resultados de la distribucin de la reacciones sobre la
pista externa que ejerce los rodillos y se describen las diferencias entre los dos modelos
a diferentes frecuencias de giro de eje.
CAPITULO IV
Realizacin de un anlisis del nivel de deslizamiento presente en el contacto
entre los rodillos y la pista externa al modelo simulado.
Formulacin matemtica para la deteccin del nivel de deslizamiento a lo largo
de la pista externa.
Concepto y generalidades de la zona de rodadura.
Descripcin de las caractersticas de la zona de rodadura dentro de la zona de
carga.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS
Recopilacin de informacin histrica y actual en temticas de anlisis de
vibraciones en rodamientos, anlisis de modelos por simulacin en MEF y SEM.
Lectura de libros especializados en clculo matricial para MEF, clculo en
rodamientos y vibraciones mecnicas.
Estudio de artculos relativos a las temticas expuestas en congresos nacionales e
internacionales, en revistas de alto impacto.
Asesoras de especialistas internacionales en las reas de simulacin, anlisis de
seales y clculo en sistemas dinmicos.
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CAPTULO II:
METODOLOGAS DESARROLLADAS PARAOBTENER EL MODELO DE ESTUDIO
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
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METODOLOGAS DESARROLLADAS PARA OBTENER ELMODELO DE ESTUDIO
En esta seccin se presentan diversos tipos de metodologas con el modelo de
rodamiento, que se han ensayado para la realizacin de esta Tesis doctoral, para a partir
de sus resultados seleccionar aquellos que describieran mejor los niveles de vibraciones
propios y reales de un sistema mecnico como el rodamiento. Para cada metodologa
que se ha aplicado para esta investigacin, se ha creado un modelo.
Estos modelos son nombrados con las siguientes bases metodolgicas:
2.1. Modelo Experimental: Toma de medidas en laboratorio.
2.2.Modelo Matemtico: Sistema de ecuaciones diferenciales
2.3.Modelo de Simulacin: MEF (Mtodo de los elementos finitos) y MES
(simulacin para eventos mecnicos).
En los siguientes esquemas se muestra los tipos de modelo, el trabajo realizado
con cada uno de ellos y las consideraciones que se tuvieron en cuenta para obtenerresultados ptimos:
Esquema 2:Tcnica de aplicacin al modelo experimental.
El esquema 2 muestra el procedimiento aplicado para encontrar resultados
dinmicos en un rodamiento, pero como se ver ms adelante solo se pudieron encontrar
resultados de desplazamiento en frecuencia. Fue por esto que se busc dentro de las
referencias y literatura tcnica, un modelo analtico (esquema 3) para obtener ms
informacin del comportamiento propio del rodamiento y de los elementos que los
componen.
2.1 ModeloExperimental
Anlisis deVibraciones
Banco de EnsayosToma de Datos
Resultados en frecuenciade desplazamientos
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
17
Esquema 3: Tcnica para obtener el modelo y sus resultados en la metodologa analtica.
La metodologa para encontrar el modelo analtico adecuado, ha sido la
bsqueda de las ecuaciones diferenciales que se apliquen a la interpretacin del
fenmeno que describe el comportamiento dinmico de un rodamiento, en que se
tuviera en cuenta condiciones de: carga, fuerza centrifuga, deformaciones, propiedades
de los materiales, entre otros. Pero la interpretacin de la realidad de forma analtica
conlleva a menospreciar condiciones imperantes en el medio para el estudio de los
fenmenos dinmicos de un sistema. Es por esto, que se propone una tercera va de
bsqueda de resultados que ser para esta investigacin un modelo numrico de
simulacin bajo MEF/MES (esquema 4).
Esquema 4: Tcnica para obtener el modelo y sus resultados en la metodologa numrica.
El esquema 4 muestra el mtodo llevado a cabo para la generacin del modelo
numrico del rodamiento, este modelo numrico es un modelo terico que por tener un
orden de solucin matricial (aplicada a la teora Hooke) permite que se pueda incorporar
al modelo ms condiciones y propiedades del medio real. Pero el clculo de los modelos
propuestos para esta metodologa, depende de las dimensiones que permita el software y
el hardware; un modelo no puede ser demasiado grande porque los softwares de clculo
en MEF/MES tienen un lmite de nmero de elementos a calcular y el hardware necesita
alta capacidad en memoria RAM para ejecutar estos clculos.
2.2 Modelo
Matemtico
Estructura del sistemade ecuaciones
Anlisis de contacto ydeformaciones
Resultados endeformaciones porcontacto, tensiones.
2.3 ModeloNumrico
Generacin de laGeometra del modelo
Simulacin y Anlisisde Resultados
Resultados endeformacin decontacto, frecuencias endesplazamiento yfuerzas.
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
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En esta investigacin se trataron tres metodologas, y para cada una de ellas se
generaron unos modelos de rodamientos. Se obtuvieron los resultados de las tres
metodologas para el modelo del rodamiento. Los resultados del modelo se aplicaron a
estudios de deslizamiento.
A continuacin se muestra los trabajos realizados para cada tipo de modelo.
2.1 Modelo experimental
Aprovechando la experiencia realizada en investigaciones anteriores con el
anlisis de seales experimentales de rodamiento [21,22] y recopilando informacin y
base bibliogrfica referente a defectologa en maquinas rotativas con aplicacin a
rodamientos, se utiliz el banco de ensayos experimentales de rodamiento ubicado en el
departamento de Mecnica de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia,
UNED (figura 2-1) para captar las seales de vibracin de un rodamiento de contacto de
bolas de tipo comercial FAG 7206 B con defecto localizado en ambas pistas y en la
superficie de la bola a diferentes tipos de rotacin y carga.
Figura 2-1: Banco de ensayos experimentales para rodamientos UNED.
La seal captada son datos de aceleracin (segunda derivada de la posicin)
representada en el dominio del tiempo, aunque solo en el eje vertical (seal captada con
acelermetro unidimensional) perpendicular al eje de banco de la figura 2-1. La
frecuencia de muestreo es de 5000 muestras por segundo, el tiempo de muestreo son 8
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segundos y por lo cul el nmero total de muestras obtenido en cada una de las seales
es de 40000 muestras, como se muestra en la figura 2-2.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Muestras
2I30601 (seal original temporal)
Amplitud
Figura 2-2: Representacin de la seal captada de un rodamiento a 10 Hz en el dominio del tiempo.
Las caractersticas del ensayo hacen predecir que el proceso es estacionario y el
anlisis de la seal de la figura 2-2 as lo ratifica. El proceso de una seal es estacionario
cuando el rango de amplitudes y la densidad de los datos obtenidos son prcticamente
constantes. Al ser el proceso estacionario, este anlisis no puede aportar ms
informacin de la mencionada, slo se concluy que cuando un elemento se encuentra
defectuoso, se observa un incremento en el rango de amplitudes de forma proporcional
al aumento de la velocidad de rotacin. Para generar un mejor anlisis, es necesaria una
representacin en otro dominio que complemente a la seal temporal. El desarrollo se
lleva a cabo con la Transformada Rpida de Fourier (TRF) que ocasiona un espectro de
frecuencias correspondiente a la seal, donde el eje horizontal muestra las diferentes
frecuencias y el eje vertical la amplitud de las mismas. La tcnica permite saber el
nmero de veces por segundo que ocurre el fenmeno, de esta forma, la seal pasa del
dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La frecuencia ms alta que se puede
obtener dentro de la seal es de 2500 Hz debido al teorema de Nyquist-Shannon.Como
la frecuencia de muestreo del ensayo es 5000 Hz, la componente en frecuencia mxima
de la seal no ser mayor de 2500 Hz.
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0 500 1000 1500 2000 25000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
2I30601 (FFT original)
Frecuencia (Hz)
Amplitud
Figura 2-3: Representacin de la TRF de la seal para rodamiento con defecto en pista interna a 10 Hz.
La figura 2-3 muestra un rodamiento a 600 rpm con anlisis en TRF, se observa
que el comportamiento de la seal es estable pues es similar a todas las seales
analizadas a diferentes velocidades. Tambin se muestra alta densidad en todas las
bandas de frecuencias, tomando valores diferentes de cero para todo el espectro, aunque
principalmente en la zona central. Este aspecto es negativo para el anlisis, ya que las
frecuencias que se estudian y que son relevantes se encuentran entre 0 y 250 Hz (este es
el rango de frecuencias generado por la rotacin de los elementos del rodamiento)
aproximadamente. A partir de 250 Hz las amplitudes corresponden a ruido y armnicos,
as que existe una gran distorsin en la seal.
En este punto se complementa el anlisis con otra herramienta que permita filtrar
la seal, mostrando las frecuencias que realmente interesan y eliminando el ruido de las
frecuencias mayores de 250Hz. Esta herramienta es la Transformada de Hilbert.
La Transformada Hilbert [1] realiza la transformacin sobre la seal temporal
devolvindola filtrada tambin, en el dominio del tiempo. La operacin en la seal se
realiza por medio del software Matlab [20], puesto que tiene un comando que realiza
esta transformada con operaciones matemticas que contienen parte real y otra
imaginaria, donde la parte real coincide con los datos de partida de la seal y la parteimaginaria es la Transformada Hilbert propiamente dicha. Se muestra a continuacin la
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envolvente de la seal temporal filtrada con la Transformada Hilbert, la cul slo
contiene nmeros reales (figura 2-4).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Muestras
Amplitud
2I30601 (T. Hilbert seal temporal)
Figura 2-4: Representacin de la envolvente de la seal a 10 Hz en el dominio del tiempo.
Los valores verticales mostrados en la figura 2-4 no muestran valores negativos
debido a que se representa es la Envolvente, cuya funcin es una raz cuadrada no
generando valores negativos de salida:
( ) ( ) ( )A t x t x t= +2 2~ (2.1)
Donde x(t) es la seal original y x~ (t) es la parte imaginaria de la Transformada
Hilbert.
A continuacin se realiza TRF a la envolvente de la Transformada Hilbert a
todas las seales, eliminando los valores de impulso de la seal ya que generan una
pequea frecuencia de gran amplitud, que obstaculiza la observacin de las amplitudes
en las bandas de frecuencias que se encuentran a lo largo del eje horizontal (figura 2-5).
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0 10 20 30 40 50 60 70
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Frecuencia (Hz)
Amplitud
2I30601 (FFT T. Hilbert)
Figura 2-5: Representacin de las bandas de frecuencia con filtrado para un rodamiento a 10 Hz
En la figura 2-5 se muestra que las amplitudes no tienen unidades significativas,
con las mediciones de amplitud en frecuencia no se puede hacer una modificacin de
forma analtica para transformarla en valor o condicin dinmica del modelo, tales
como deformaciones, tensiones, etc. Solo se observa la proporcin de amplitud entre las
frecuencias, pero solo con este tipo de estudio queda difcil deducir con exactitud cul
es el motivo de su existencia en esta seal. Al no poder encontrar un valor propio de la
magnitud de las frecuencias donde se pudiera comparar con alguna condicin impuesta
en el banco, se buscaron otras tcnicas aparte del espectro de frecuencias, como pueden
ser la Transformada Wavelet, capaz de representar la seal en una resolucin temporal y
en una resolucin frecuencial. No obstante, estas tcnicas slo demostraron ser
aplicables hacia un mantenimiento predictivo, en donde por medio de los cambios en
los niveles de frecuencia, podr informar con tiempo un dao localizado en algn
elemento del rodamiento o en la maquina, pero no se podr cuantificar los valores de
presin que sufren las piezas.
Ninguna tcnica de anlisis de seales de rodamiento revisada en esta base
bibliogrfica, ha descrito un modelo experimental que analice el comportamiento
dinmico de rodamiento que contengan las tensiones y fuerzas de reaccin generadas
por el contacto de sus elementos rodantes con las pistas.
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Por tal razn, se lleva a cabo un estudio de los modelos matemticos de
rodamientos publicados que hallan sido comparados o validados con algn modelo
experimental.
2.2 Modelo analtico
Llamado tambin modelo matemtico, es el encargado de predecir el
comportamiento dinmico del rodamiento y de sus elementos rotativos. Por medio del
modelo analtico, se espera obtener resultados en deformacin de contacto de los
elementos rodantes sobre las pistas, estos resultados describirn las zonas de carga de
un rodamiento bajo diferentes estados de rotacin y carga.
En esta investigacin se realizaron tres procedimientos para obtener el modelo
analtico:
- Ley de contacto de Hertz: Formulacin analtica del contacto entre dos
cuerpos deformables.
- Modelo Jones- Hertz (Harris): Mtodo de equilibrio de fuerza con la teora
de contacto elstico de Hertz.
- Modelo analtico de Harsha: Mtodo de energa y ecuaciones diferenciales de
Lagrange.
2.2.1Ley de contacto de Hertz
La ley de Hertz se aplica siempre a casos de contacto de superficies estticas,
aquellos donde se cumple las condiciones de equilibrio mostrado en la siguiente figura
2-6:
Figura 2-6: Anlisis de contacto entre superficies.
En la figura 2-6 se muestra cuando dos cuerpos slidos entran en contacto en un
nico punto, bajo la accin de la fuerza que cada uno de ellos ejerce sobre el otro (que
se suele denominarse carga) se deforman en la regin del primer contacto. De este
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manera, el rea de contacto es finita, aunque pequea comparada con las dimensiones
de los dos cuerpos. La forma del rea de contacto, el modo en que sta aumenta de
tamao y la distribucin de tensiones en dicha regin se adquiere de la relacin de la
geometra de los cuerpos y de la carga aplicada. Los datos que se obtienen de la ley de
contacto superficial (ley de Hertz) se refieren a la tensin soportada en la zona de
contacto de las superficies llamada geometra de huella.
Es por esto necesario definir la geometra del problema considerando dos slidos
en contacto en un punto. Este punto inicial es el origen del sistema de coordenadas (ver
Figura 2-6). Las dos superficies tienen en este punto un plano tangente comn en el
plano x-y, mientras que habr dos semiejes positivos Z1 y Z2, orientados en sentidos
opuestos.
Al ser comprimidos los slidos, el contacto se extiende a un rea elipsoidal de
semiejes a y b. Si no hubiera deformacin, las dos superficies se habran desplazado
segn las lneas discontinuas a una distancia total .
Para aplicar este anlisis al problema presentado, se supondr que los dos
cuerpos son comprimidos uno contra el otro, lo que tiene como resultado el
acercamiento de los mismos en una pequea distancia , que representa el
desplazamiento total que habran experimentado las dos superficies en ausencia de
deformacin. La deformacin cerca del punto de contacto, que se considera reversible
ya que el fenmeno se considera elstico, hace que ambos cuerpos estn en contacto en
una superficie pequea y finita.
Pero hay algunas consideraciones para esta ley a tener en cuenta a realizar un
modelo dinmico de un rodamiento con base analtica.
Las superficies son continuas y no conformes.
Cada slido se considera como un semiplano infinito para el clculo
elstico, lo que implica que las dimensiones del rea de contacto son
pequeas en comparacin con las dimensiones de cada cuerpo y adems,
en relacin con los radios de curvatura de las superficies.
Las deformaciones son pequeas en el rea de contacto (consecuencia dela suposicin anterior) por lo que puede aplicarse la teora lineal de la
elasticidad.
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Se supone que no existe friccin entre ambas superficies.
Como se muestra al principio de este enunciado, la ley bsica de Hertz solo
opera en condiciones estticas, difcil de aplicar a la geometra y condiciones del
rodamiento. Jones [15] realiza una modificacin de esta ley para poder adaptarla a la
geometra de las piezas de contacto para un rodamiento. Harris describe la zona de
carga con propiedades
2.2.2Modelo analtico Jones-Harris
Fue uno de los primeros modelos analticos planteados para calcular y predecir
el comportamiento dinmico del rodamiento, determinando la deformacin de contacto
de cada bola con respecto a un ngulo de posicin . Jones realiza una modificacin de
la ley de Hertz para adaptar las ecuaciones de contacto a la geometra del rodamiento.
Harris pblica esta modificacin para diferentes tipos de rodamiento de bola y de
rodillos.
En el captulo III de esta tesis se desarrollara este modelo analtico para rodamientos
de rodillos cilndricos como modelo de validacin y comparacin para otros modelos
propuestos en esta investigacin.
2.2.3Modelo analtico de Harsha
En la figura. 2-7 se muestra un sistema mecnico motor-rodamiento, la
configuracin utilizada para conformar el modelo analtico que se presenta. El sistema
consiste en un motor conectado al anillo interior de un rodamiento, con el eje exterior
fijo al soporte.
Figura 2-7: Sistema mecnico motor-rodamiento.
Se utilizar la formulacin de Lagrange para calcular la posicin de loselementos rodantes y de la pista interior (coordenadas independientes generalizadas)
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considerando en el modelo el contacto bola-pista de rodadura como un sistema elstico
no-lineal.
Las ecuaciones del movimiento del sistema motor-rodamiento se pueden
calcular utilizando la ecuacin (2.2):
d T T U F
dt q q q
+ =
&(2.2)
Donde q es el vector de la coordenada generalizada, F representa a las
fuerzas generalizadas, T es la energa cintica total y U es la energa potencial
total.
Figura 2-8: Modelo geomtrico del rodamiento.
Las coordenadas usadas en el modelo analtico estn referenciadas a la pista
exterior, que es fija. En la figura 2-8 se muestra el modelo geomtrico usado: la
posicin del centro de los elementos rodantes y la posicin del centro de la pista
interior, referidos siempre al centro de la pista de rodadura exterior [46].
El radio del elemento rodanteRB, la pista interiorRIy el radio de la pista exterior
RE(ver fig. 2.8) se consideran invariables. Sin embargo, la distancia entre el centro de la
pista exterior y el centro de la pista interior rIE(donde { },IE IE IEr x y= ) la distancia entre
el centro de los elementos rodantes y el centro de la pista exterior ri y la distancia entre
el centro de los elementos rodantes y el centro de la pista interior si variarn en el
tiempo.
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Tambin cambiarn con el tiempo, la posicin angular del centro de cada
elemento rodante i respecto al centro de la pista exterior es i; y la posicin angular
del centro de cada elemento rodante i respecto al centro de la pista interior es i.
Las masas se denominarn como: mB la de cada elemento rodante, mI la del
anillo interior, mEla del anillo exterior y mM la masa del rotor del motor.
En la figura 2-8 tambin se describe el contacto no-lineal entre cada elemento
rodante i y cada pista de rodadura, donde cada elemento rodante es considerado como
el conjunto de dos resortes no-lineales: uno que define el contacto elemento rodante-
pista interior kI_i y otro, el contacto elemento rodante-pista exterior kE_i.
La energa cintica total y la energa potencial total se obtendrn aplicando el
teorema cintico de Koening y la teora del contacto de Hertz.
As, la energa cintica total TT del sistema motor-rodamiento ser la suma de la
variacin de la energa cintica en la pista interior TI, en los Zelementos rodantes TB_i
y en el motor TM(ecuacin 2.3):
_1
Z
T I B i M
i
T T T T =
= + + (2.3)
La energa potencial total UT del sistema motor-rodamiento ser la suma de la
variacin de la energa potencial en la pista interior UI, en los Zelementos rodantes
UB_i , en el motor UM y la energa potencial de deformacin UD_i en el contacto de cada
elemento rodante-con las pistas de rodadura (ecuacin 2.4):
_ _1 1
Z Z
T I B i M D i
i i
U U U U U = =
= + + + (2.4)
Como se ha mencionado anteriormente, para el estudio de las caractersticas
vibratorias de los rodamientos de bolas, el contacto bola-pista de rodadura se puede
considerar como un sistema masa-resorte (no se contempla el amortiguamiento) donde
el anillo exterior est fijo a un soporte rgido y el anillo interior es solidario al eje de un
motor. La deformacin elstica producida entre las bolas y las pistas establece una
relacin no-lineal entre fuerza y deformacin que puede obtenerse aplicando la teora de
Hertz, simulando resortes no-lineales (ver fig. 2.8).
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La primera consecuencia de la aplicacin de la teora clsica de la elasticidad de
Hertz al problema del punto de contacto entre la bola y la pista, es el hecho de que se
genera un rea de contacto de forma elptica. Es importante conocer esta rea de
contacto elptica, que depender de las curvaturas de las superficies involucradas, para
determinar la presin o la fuerza en el contacto. Por tanto, es necesario averiguar ciertos
parmetros de las curvaturas de las superficies en contacto, para calcular la fuerza de
contacto.
As, adoptando la nomenclatura establecida en la figura 2.9, el parmetro suma de
curvaturas se obtiene siguiendo la ecuacin 2.5, descrita en la ley de Hertz como:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1A A B B
A A B Br r r r
= + + + = + + + (2.5)
Y el parmetro diferencia de curvaturas puede expresarse como la ecuacin (2.6):
( )( ) ( )1 2 1 2A A B B
F
+ =
(2.6)
Los parmetros rA1, rA2, rB1, rB2, A1, A2, B1 y B2 dependern de las pistas de
rodadura interna y externa y del radio de las bolas, como se muestra en la figura 2-9.
Figura 2-9: Parmetros geomtricos considerados en el punto de contacto bola-pista de rodadura.
Si se considera el contacto perfecto (sin desalineacin) entre la bola (de radio RB) y
la pista interior (de radioRI) entonces resultan las expresiones (ecuacin 2.7):
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29
1 2 1 2
1 2 1 2
; ; ;
1 1 1 1; ; ;
A B A B B I B B
A A B B
B B I B
r R r R r R r R
R R R R
= = = =
= = = =
(2.7)
Donde las representan las curvaturas y las r los radios de curvatura.
Sin embargo, si lo que se considera es el contacto perfecto (sin desalineacin) entre
la bola y la pista exterior (de radioRE) entonces resultan las expresiones (ecuacin 2.8):
1 2 1 2
1 2 1 2
; ; ; ;
1 1 1 1; ; ;
A B A B B E B B
A A B B
B B E B
r R r R r R r R
R R R R
= = = =
= = = =
(2.8)
Aunque el radio de curvatura es siempre positivo, con la curvatura no ocurre lo
mismo. En esta investigacin se establece el siguiente convenio de signos: superficies
convexas, signo positivo y superficies cncavas, signo negativo.
El desplazamiento relativo (o deformacin) entre dos superficies de acero que estn
en contacto est dado por la ecuacin (2.9):
( )1/ 34 * 2/32,79 10 ( )x Q mm = (2.9)
Donde * es funcin de F() (figura. 2-10).
As mismo, la fuerza (Q) ejercida en el contacto vendr dada por la ecuacin 2.10:
( ) ( )3/ 2 1/ 2
5 * 3/ 22,15 10 ( )Q x N
= (2.10)
Esta fuerza puede expresarse de manera simple como una relacin no-lineal
carga-deformacin (ecuacin 2.11):
3/ 2 ( )Q C N= (2.11)
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30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Variacin del parmetro * en funcin de F()
F()
*
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Variacin de * en funcin de F()
F()
*
Figura 2-10: Variacin del parmetro dimensional del contacto * en funcin de F().
Si a la relacin entre la carga Q y la deformacin , de la ecuacin 2.11, se le quiere
dar una apariencia lineal, puede ser reinterpretada sustituyendo la constante que las
relaciona Cpor una variable no lineal k(ecuacin 2.12):
( ) ( ) ( )3/ 2 1/ 2 1/ 25 *2,15 10 ( )Q k x N
= = (2.12)
La constante de rigidez del resorte equivalente al contacto bola-pista interior o bola-
pista exterior puede calcularse segn la ecuacin 2.13:
( ) ( ) ( ) ( )3/ 2 1/ 2 1/ 25 *2,15 10 ( , )Pista Pista Pista
Nk x Pista I E mm
= = (2.13)
Entonces, la constante de rigidez efectiva en el contacto entre una bola y las dos
pistas de rodadura puede expresarse como (ecuacin 2.14):
1/ 1/
11 1
n
n n
I E
k
k k
=
+
(2.14)
En la ecuacin (2-11) los parmetros *I y*
E se obtienen de los valores ( )IF y
( )E
F mediante tablas descritas en la referencia [7] o en las grficas como la de la
figura 2-10.
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31
Como se ha observado anteriormente, para conseguir las ecuaciones del movimiento
es necesario calcular los valores de la energa cintica Ty de la energa potencial Uen
cada uno de los componentes mecnicos (ecuaciones 2.15).
( )( )
( )
, ,
, ,
, ,
I IE IE i
B i i i
M IE IE i
T f x y
T f r r
T f x y
=
=
=
&& &
& &
&& &
( )
( )
( )
( )_ _ _
,
,
I IE
B i i
M IE
D i I i E i
U f y
U f r
U f y
U f
=
=
=
=
(2.15)
El valor de I_i y E_i puede determinarse (ver figura 2-8) a partir de la modificacin
de las distancias del centro de cada bola respecto al centro de la pista interior si y de la
pista exterior ri (ecuaciones 2.16 y 2.17):
( ) ( )_ _ I i i I i I B if s R R s = = + (2.16)
( ) ( )_ _ E i i E i E B if r R R r = = (2.17)
Esto permitira calcular el valor de la energa potencial elstica UD_i , como
(ecuacin 2-18):
( ) ( )_ _ _, , , ,D i I i E i IE IE i iU f f x y r = = (2.18)
Donde la distancia del centro de una bola i respecto al centro de la pista interior es
si y puede estimarse como (ecuacin 2.19):
( ), , ,i IE IE i is f x y r = (2.19)
O ms explcitamente como (ecuacin 2.20):
2 2 22 cos 2 sini IE IE i IE i i IE i is x y r x r y r = + + + + (2.20)
Las coordenadas generalizadas utilizadas para definir el estado mecnico del
sistema sern: rj (j=1, 2,, Z), xIE yyIE . La velocidad angular del anillo interior
i& se considera constante y el arco entre los centros de dos bolas consecutivas es
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
32
tambin constante. Observando la figura 2-8, se puede llegar a la ecuacin 2.21 donde
se localiza la posicin angular del centro de las bolas como:
( )( )
, , ,
21,2,..., 1
i IE IE i i i Jaula
i j i
f x y r t
j j ZZ
+
= =
= + = (2.21)
Para la coordenada generalizada ri, donde i =1, 2,, Z, las ecuaciones del
movimiento son (ecuacin 2.22):
( )22
_ _
2
_ _
1sin 2 1
21
0, 1,2,...,2
i IB i B i B i i i I I i I i
ZC ZCi i
EE i E E iZC ZC
i
s km r m g m r k
r r
kk j Z
r
+ + + + +
+ + = =
&& & &
(2.22)
Para la coordenada generalizada xIE la expresin ecuacin ser (ecuacin2.23):
( ) ( )_1
sinZ
iI M IE I I i uZC
i IE
sm m x k F t
x
=
+ =
&& (2.23)
Para la coordenada generalizadayIE la expresin ecuacin ser (ecuacin 2.24):
( ) ( ) ( )_1
cosZ
iI M IE I M I I i uZC
i IE
sm m y m m g k W F t
y
=
+ + + = +
&& (2.24)
El resultado es un sistema de (Z+2) ecuaciones diferenciales no-lineales de
segundo orden. Para esto, es necesario tener determinado la posicin angular del
centro de las bolas, lo cual puede lograrse mediante la expresin algebraica de la
ecuacin 2.20.
El subndice ZC (Zona de Carga) en las ecuaciones 2.22, 2.23 y 2.24 indica si hay
compresin en el punto de contacto o no. Entonces la deformacin en el punto de
contacto puede ser calculada como se aprecia en las ecuaciones 2.25 y 2.26:
( )_
_ 0i I i i
i I i
Si LZ f s
Si LZ
=
=(2.25)
( )_
_ 0i E i i
i E i
Si LZ f r
Si LZ
=
=(2.26)
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
33
El vector fuerza generalizado, para un motor con muy ligero desequilibrio, es una
fuerza Fu, (figura 2.8).
Los resultados obtenidos de las coordenadas generalizadas (xIE , yIE) representan las
vibraciones del sistema motor-rodamiento. Estos resultados se exponen en el articulo
[23] dando respuesta a las trayectorias del centro de las bolas, del centro de aro interno
sobre el plano X-Y, sin poder dar respuesta en conceptos como zona de carga, o
deformacin de contacto entre los elementos rodantes y las pistas.
En la literatura cientfica utilizada en esta investigacin se han elaborado modelos
analticos de rodamientos, teniendo como base el modelo de Jones-Harris, algunos
aportan las ecuaciones diferenciales para determinar los desplazamientos de cada pieza
del rodamiento, para luego comparar con el anlisis en frecuencia del modelo
experimental, otros modifican las ecuaciones diferenciales planteadas por Jones-Harris
para determinar con mayor exactitud la deformacin de contacto entre pista y bola,
utilizando un modelo MEF para su comprobacin.
Pero todos esos modelos analticos contienen los siguientes requerimientos para ser
calculados:
- Los anillos internos y externos son tomados como rgidos (sin deformacin).
- La jaula porta elementos rodantes permanece a velocidad constante.
- La jaula es rgida.
- No hay deslizamiento en ninguna superficie de contacto.
Los modelos matemticos no consideran algunas caractersticas y condiciones quehacen parte de la respuesta dinmica de un sistema mecnico, debido a que la adiccin
de estas le aade al sistema de ecuaciones diferenciales ms variables a considerar, hace
que no pueda haber convergencia.
Por esas razones, se necesita la creacin de un modelo que involucre amplias
condiciones de contorno y que d respuesta a los fenmenos vibratorios a la
deformacin por contacto, generados dentro del funcionamiento normal de unrodamiento.
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
34
El modelo expuesto por Harris [7], que con la teora de contacto elstico de Hertz
[14] y con adecuacin geomtrica para rodamientos de Jones [15], propone un mtodo
matemtico, para determinar la deformacin de contacto relativo entre las superficies de
los rodillos y las pistas. Harris utiliza la deformacin de contacto para describir la zona
de carga del rodamiento. Esta zona de carga define la magnitud de la fuerza de reaccin
de los rodillos sobre la pista externa relativo al ngulo . El ngulo es el ngulo que
determina la ubicacin de los elementos rodantes, con respecto a la lnea de carga. Para
esta investigacin las variables de deformacin de contacto que se generan en sus
ecuaciones diferenciales, se solucionan con la ayuda del software MatCad.
2.3 Modelo numrico
Llamado modelo de simulacin. Debido a los altos costos de la elaboracin de
prototipos mecnicos para ensayos experimentales, se acondicion una sala de
investigacin como laboratorio virtual de ensayos de sistemas mecnicos. Para este
laboratorio se adquiri el software comercial de anlisis, por medio del mtodo de los
elementos finitos (MEF) con simulacin para eventos mecnicos (MES) en cdigo
Algor [12], adems para el diseo y modelado se incorpor tambin el software de
diseo en 3D SolidWork [19] y para los anlisis de seales se contaba con los
programas incluidos en el software de MatLab [20]. Aprovechando la creacin de este
laboratorio virtual se propone un modelo numrico de rodamiento para el estudio de la
deformacin de contacto sobre la pista externa y describir con estos resultados la zona
de carga a diferentes frecuencias de giro, adicionalmente se har un anlisis del
deslizamiento entre sus elementos rodantes y la pista externa.
Se realizaron varios ensayos para generar un modelo numrico, este modelo
numrico debe tener resultados que podrn ser comparados y validados con un modelohomologo de tipo analtico o experimental.
Para estos ensayos se cre primero la geometra del rodamiento siguiendo las
dimensiones del rodamiento de bolas tipo FAG 7206 B de contacto angular, este
rodamiento se nombrar como rodamiento de geometra en 3D.
En el esquema 5 se muestra la secuencia de estudio para cada tipo de anlisis.
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Esquema 5: Ensayo de modelos numricos en 3D.
En el esquema 5 se muestra los tipos de anlisis que se llevaron a acabo para
lograr resultados con un modelo numrico de rodamiento en 3D.
A continuacin se describe los estudios de los tipos de anlisis aplicados al
rodamiento en 3D.
2.3.1 Modelado y anlisis del rodamiento en 3D
Se propone la geometra del rodamiento tipo FAG 7206 B. Se busca con el
anlisis de este modelo, obtener vibraciones generadas por la deformacin de las piezas
a efectos de carga y rotacin.
Se describir las zonas de carga del rodamiento con tipo de anlisis esttico y
dinmico. Se calcularn los primeros modos de vibracin con sus frecuencias de
resonancia.
Geometra en3D.
Tipo de anlisis
Anlisis esttico Anlisis DinmicoModos de frecuencia
Resultados demximadeformacin
Resultadostemperacin endeformacin y
anlisis defrecuencia endesplazamiento
Resultados delas frecuenciasde resonancia.
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Esquema 6: Pasos para el anlisis del modelo numrico del rodamiento en 3D
El esquema 6 muestra las fases de desarrollo para el anlisis del modelo del
rodamiento en tres dimensiones.
Fases de desarrollo del modelonumrico
1. Elaboracin de la geometraen SolidWork
2. Exportacin de la geometraal lenguaje FEM/MES
3. Creacin del malladopara cada pieza
5. Eleccin del tipo deanlisis
6. Aplicacin de lacondiciones de contorno
7. Generacin de loscontactos
4. Aplicacin de laspropiedades del material
8. Aplicacin de cargas ycondiciones cinemticas.
9. Verificacin del modelo
10. Anlisis y comparacin deresultados
11. Conclusiones
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Para llevar a cabo este proceso de anlisis, lo primero que se realiz fue la
geometra de un rodamiento de contacto de bolas en SolidWorks y exportarlo al
software ALGOR, este ltimo reconoce toda la geometra del modelo (figura 2-6).
Figura 2-11: Modelo rodamiento 3D en MEF. Mallado y con semieje.
La figura 2-11 muestra la geometra del rodamiento en 3D importado por
Algor desde SolidWork, con un semieje para mejor aplicacin de la carga radial.
Una vez que se dispone del modelo en CAD del rodamiento, se procede al
anlisis por elementos finitos. Los pasos dados son los siguientes:
1.- Tipo de anlisis: La gran capacidad de clculo del software permite realizar
desde anlisis estticos, hasta anlisis de mayor complejidad donde se incluyen
simultneamente: anlisis dinmicos, no lineales, de contacto, campos magnticos,
elctricos, de transmisin de calor, etc.
2.- Generacin de la malla para el modelo: El programa utiliza 400 celdas para
la formacin de la malla en cada pieza del sistema, y esto se conocer como el
100% de esta opcin, algunas piezas estarn malladas al 150%, es decir con 600
celdas. Cada celda se compone de entre tres y cinco elementos. La eleccin del
tipo de elemento que compone la malla y el tamao de la malla es crtica a la hora
de obtener unos buenos resultados en un tiempo razonable. Los modelos se suelen
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Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio
38
mallar usando mallado mixto con elementos hexadricos (bricks) y tetradricos
(tetrahedral) de forma que la geometra quede bien definida. Como las mayores
tensiones se suelen tener en superficie, se garantiza una zona de mayor precisin
(hexaedros) en superficie. A continuacin se explican los tipos de elementos
frecuentemente utilizados en los anlisis de elementos finitos en 3 D:
a. Elementos hexadricos: son elementos tridimensionales que pueden
tener: cuatro, cinco, seis u ocho nodos. Dan la posibilidad de
incorporar nodos en mitad de las caras pudiendo dar lugar a elementos
de hasta 21 nodos.
Figura 2-12: Elementos hexadricos.
b. Elementos tetradricos: son elementos que pueden tener de cuatro a
diez nodos. pueden tener las siguientes formas:
Figura 2-13: Elementos tetradricos.
Como se ha comentado anteriormente, dentro de la opcin de mallado se
podr escoger tambin el tamao de la malla, que tendr que ser lo
suficientemente pequeo si se requiere un conocimiento preciso de las tensiones.
3.- Eleccin del tipo de material: se deber asignar el tipo de material adecuado a
cada elemento del rodamiento. Las propiedades ms importantes del elemento que
aparecen en la ventana del material seleccionado son:
Densidad de masa
Modulo elstico
Coeficiente de Poison Modulo elstico cortante
Coeficiente de dilatacin trmica
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39
4.- Condiciones de contorno: se han de elegir de modo que se aproximen lo ms
fielmente a las condiciones reales. Para el caso en estudio, se restringen todos los
grados de libertad (traslacin y rotacin en los tres ejes) de todos los nodos de la
superficie exterior de la pista externa. El rodamiento va a estar fijo en algn
sistema de soporte, tambin dependiendo de la aplicacin, pueden variar
ligeramente las condiciones de contorno aadindose otras adicionales.
5.- Cargas aplicadas: para terminar, se seleccionan las cargas que se le quieren
aplicar al elemento a simular, pudiendo colocar: cargas superficiales, cargas
puntuales, cargas trmicas, etc. Las cargas pueden ser dinmicas.
6.- Verificacin del modelo: este software permite hacer un chequeo previo del
modelo antes de pasar a resolver los sistemas de ecuaciones (cuyo resultado dara
el comportamiento del sistema) para verificar que el modelo es congruente y no
tiene errores que invaliden el anlisis.
7.- Resolucin del sistema de ecuaciones y presentacin de resultados: despus
de esperar el tiempo necesario para que el ordenador resuelva el sistema de
ecuaciones, el programa ofrece una gran cantidad de informacin acerca del
sistema: tensiones (equivalente Von Mises, equivalente Tresca, principales,...),
deformaciones (principales, segn direcciones,...), coeficientes de seguridad, entre
otros.
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Figura 2-14: resultados de un rodamiento analizado por MEF.
En la figura 2-14 se muestra uno de los resultados del anlisis de un rodamiento
por medio del programa de elementos finitos, ahora se mostrar los diferentes anlisis
desarrollados con este modelo y las correspondientes modificaciones realizadas para su
optimizacin.
2.3.1.1 Anlisis esttico en 3D: El objetivo es determinar cules son las mximas
tensiones y desplazamientos, que se producen en un rodamiento al aplicarle cargas
constantes y con restricciones que lo mantienen en equilibrio. Estos resultados
mostraran el mximo desplazamiento que presenta la deformacin de un rodamiento
bajo carga.
Condiciones aplicadas:
- Tipo de contacto entre elementos Pegado. El hardware utilizado no dispone de
suficiente capacidad para generar una solucin, al incluir nodos de contacto con
superficie en sistema 3D.
- Tipo de simulacin anlisis en tensin esttica con modelo de materiales
lineales.
- Tamao de la malla - Malla al 150 %, mallado ptimo para superficies menores
en alguno de sus lados menores de 1 mm.- Tipo de elementos para el mallado - Bricks y tetraedros.
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- Restricciones Se impide la rotacin y desplazamiento del anillo exterior en
todas las direcciones.
- Cargas: similar a las del modelo experimental.
Carga radial: se considera una carga superficial de 0,25 N/mm2 aplicada
sobre la cara superior del medio eje.
Carga axial: se va a considerar una carga axial de 0,25 N/mm2 que estar
distribuida en la superficie lateral externa del aro interno.
Las propiedades de los materiales se describirn en la tabla 2-1.
Tabla 2-1: Propiedades de los materiales para el rodamiento.Propiedades Densidad
(NS2/mm/mm3)Mod. elstico
(N/mm2)
Coef de
Poison
Md elstico cortante
(N/mm2)
Pistas, bolas 7,81x 10-9 210000 0.3 80000
Jaula 1,22x 10-9 2000 0.38 0
En el anlisis de los resultados en un primer paso se va a simular el rodamiento
con una de las bolas sobre la lnea de fuerza (el rodamiento contiene 13 bolas) y se van
girando la posicin de las mismas con respecto a esta posicin de grado en grado. Se
obtiene 15 posiciones distintas, variando desde cero grados hasta trece con ochenta y
cuatro grados (tabla 2-2). Posteriormente, se ver como los resultados van a ser muy
parecidos para las distintas posiciones que se simulan.
Tabla 2-2: Resultados por cada ubicacin de la bola con respecto al ngulo (barrido)ANGULO TENSION (N/mm2) DESPLAZAMIENTO (mm)
0 0,5493 1,634x10-3
1 0,883 9,746x10-4
2 0,4173 8,233x10-4
3 0,6549 1,951x10-3
4 0,4867 1,642x10-3
5 0,4895 0
6 0,485 9,027x10-4
7 0,4416 0
8 0,525 7,797x10-4
9 0,549 2,069x10-3
10 0,6362 8,706x10-4
11 0,326 1,009x10-3
12 0,4874 1,312x10-3
13 0,5559 8,135x10-4
13,84 0,7521 1,472x10-3
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Una vez obtenido los resultados, algunas de las conclusiones obtenidas de los mismos
son:
- Existe un gran error en estas simulaciones. Al implementar elementos pegados, se
comprueba que las mximas tensiones se producen en los contactos de las bolas con
las pistas, fuera de la zona de carga del rodamiento, porque al ejercer presin radial
sobre un sector del sistema, la deformacin ejercida por la presin a algunas piezas
hace que los nodos que se encuentran fuera de su influencia estiren, generando
mayor tensin y por consiguiente datos errneos dentro de la zona de carga, como se
puede observar en la figura2-15.
-
Figura 2-15: Resultados de las mximas tensiones bajo anlisis esttico.
Segn referencias, las tensiones deben localizarse dentro de la zona de carga del
rodamiento, en la figura 2-15 muestra tensiones fuera de esta zona, esto difiere con
criterios de la mecnica. Para intentar solventar esto, se procede a realizar una
modificacin en el tipo de ensayo, estas modificaciones no pueden llevar contacto
libre, porque al generar este tipo de contacto entre las piezas del rodamiento se
crearan demasiados elementos para el clculo. Se proponen algunas modificaciones
optimizando el modelo para buscar resultados aproximados, estos son algunos de
ellos:
Carga Radial
MaximasTensin
Zona de Carga
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a) No colocar bolas fuera del sector de mximas tensiones de la zona de carga.
b) Colocar solo tres y cuatro bolas en la zona de mximos valores dentro de la zona
de carga (figura 2-17).
c) Desarrollar un barrido colocando el centro del conjunto de las bolas en
diferentes ngulos. Se proponen 0, 7 y 13 sobre la lnea de fuerza.
Figura 2-16: Sector de mximas tensiones dentro de la zona de carga.
La figura 2-16 muestra el sector en donde el contacto genera mximos valores
dentro de la zona de carga del rodamiento, un sector de aproximadamente 90 con suvrtice en el punto de aplicacin de la carga, en el centro del eje.
Adems se eliminar la jaula para reducir el nmero de ecuaciones a resolver y
optimizar la simulacin. Estas simulaciones se van a realizar para tres posiciones
distintas (generando un pequeo barrido) en 0, 7 y 13,84.
Las caractersticas y condiciones se mantienen para estas simulaciones, aunque
solo ser aplicada la carga radial sobre el eje de 0,25 N/mm2.
Se procede a ver los resultados obtenidos de las simulaciones para las 3 posiciones:
Posicin 0 Grados
Para esta fase se coloca solo tres bolas, siendo el centro del conjunto, el centro
de la bola del medio que se encuentra justo sobre la lnea de fuerza, generando un
ngulo de 0. En las figura 2-17 se aprecia la distribucin de las tensiones que se
produce.
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Figura 2-17: resultados de la simulacin para tres bolas a 0.
En la figura 2-17 se observa las mximas tensiones que se producen en la zona
de contacto de las bolas con las pistas y en especial sobre la bola que se encuentra en el
centro. Este resultado se observa mejor ocultando el anillo interior, apreciando la
distribucin de las tensiones sobre las bolas (figura 2-18)
Figura 2-18. Resultados de la distribucin de tensiones sobra las bolas
Carga Radial
ngulo0
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En la figura 2-18 se puede apreciar la tensin ejercida por el anillo interno y
cmo las mximas tensin se producen sobre la bola central. Ahora se desea observar el
contacto con la pista externa, ocultando tambin las bolas para ver cmo es la
distribucin de las tensiones sobre la pista de rodadura del anillo exterior (figura 2-19).
Figura 2-19: Tensiones en la pista externa para tres bolas a 0
Para esta simulacin la mxima tensin la tiene la bola, esto se puede observa
relacionando la figura 2-18 y 2-19, es por esto que se ocultan los anillos dejando solo
los resultados en las bolas (figura 2-20)
Figura 2-20: Resultados de las tres bolas a 0.
Bola 1
Bola 2
Bola 3
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Con los resultados de la simulacin a 0 se obtiene la tabla 2-3 para la figura 2-20:
Tabla 2-3: Tensiones obtenidas mediante simulacin en las bolas para la posicin de 0Rodamiento
0
Pista externa
(N/mm2
)
Pista interna
(N/mm2
)1 Bola 36 13,35
2 Bola 64,56 38,60
3 Bola 24,4 13
Como se aprecia en la tabla 2-3, la bola 2 tiene el elemento de mayor tensin,
resultado razonable, mientras que como se puede apreciar la tensin sobre las dos bolas
extremas, es inferior debido a la distribucin de la curva de carga.
Posicin 7 Grados
Para esta simulacin el centro de las tres bolas estar a 7 con respecto de la
lnea de carga. Esta simulacin se realiza tambin para 3 bolas, para poder comparar los
resultados con la simulacin a 0 (ver figura 2-21).
Figura 2-21: Posicin del centro del sistema a 7 con respecto lnea de carga.
En la figura 2-21 se observa los resultados para este ngulo, como primera
descripcin se observa disminucin en la magnitud de la mxima tensin, ocultando el
anillo interior se aprecia cmo se distribuyen las tensiones sobre las bolas. Figura 2-22.
ngulo7
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Figura 2-22: Simulacin a 7, ocultando anillo interior.
En la figura 2-22 se puede apreciar cmo las mximas tensiones se producen
sobre la bola central, pero la mxima tensin generada en el contacto para esta
simulacin, se encuentra sobre la superficie de la pista externa. Figura 2-23.
Figura 2-23: Mxima tensin sobre la pista externa a 7.
A continuacin, y siguiendo el tratamiento de la simulacin pasada se mostrara
los resultados en las bolas.
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Los resultados numricos que se obtienen son:
Tabla 2-4: Tensiones obtenidas mediante simulacin en las bolas para la posicin de 7
Rodamiento 7 Pista externa(N/mm2)
Pista interna(N/mm2)
1 bola 10,55 16.05
2 bola 34,2 26,8
3 bola 24,4 0
Por otra parte, prosiguiendo con el barrido, se analizar la simulacin a 13.84,
que es la mitad del ngulo de la separacin angular de las 13 bolas (360/13).
Posicin 13,84 Grados
La diferencia angular es mayor para est simulacin, por eso se llevar acabo
con 4 bolas para una mejor distribucin de la carga sobre las bolas, como se podr ver
en la figura 2-19.
Figura 2-24: Simulacin para 4 bolas a 13.84
La lnea de carga se encuentra justo en la mitad de la diferencia angular existente
entre las bolas (27,69) por tal razn, las tensiones mostradas en la figura 2-24 son
menores que en las anteriores simulaciones; esto sucede no por el nmero de bolas, sino
ngulo13.84
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por la ubicacin de la bolas con respecto a la lnea de carga. En la siguiente figura, se
describir mejor al ocultar el anillo interno.
Figura 2-25: Resultados de la simulacin en 13.84 con el aro interno oculto.
Las mximas tensiones se distribuyen entre las dos bolas centrales como se
espera que se realice el efecto de la carga (figura 2-25), pero no son totalmente
simtricas. En la figura 2-26 se muestra cmo el mximo contacto se encuentra en lapista externa.
Figura 2-26: simulacin de posicin 13,84 sin anillo interior y sin bolas
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Con esta simulacin se puede tener una buena aproximacin de los datos de un
rodamiento cuando est sometido a carga radial en condiciones estticas, pero los
elementos siguen estando con tipo de contacto pegado, este contacto re