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    UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

    TESIS DOCTORAL

    MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.

    APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO

    EN LA ZONA DE CARGA.

    AUTOR:

    EDWIN LANIADO JCOME

    Directores:

    JUAN CARLOS GARCA PRADA

    JESS MENESES ALONSO

    DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA

    Legans, diciembre de 2008

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    TESIS DOCTORAL

    MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.

    APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO EN LA ZONA DE

    CARGA.

    Autor: Edwin Laniado Jcome

    Directores: Juan Carlos Garca Prada

    Jess Meneses Alonso

    Firma del Tribunal Calificador:

    Firma

    Presidente: (Nombre y apellidos)

    Vocal: (Nombre y apellidos)

    Vocal: (Nombre y apellidos)

    Vocal: (Nombre y apellidos)

    Secretario: (Nombre y apellidos)

    Calificacin:

    Legans/Getafe, de de

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    A Yanitza Giraldo Restrepo, Esposa.

    Blanca Lilia Jcome Miranda, Madre.

    Liliana Hernndez Jcome, Hermana.

    Mara Alejandra Prez Hernndez, Sobrina.

    Tres bellas generaciones.

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    AGRADECIMIENTOS

    Son muchas las personas que deben estar en esta pgina, pero debo hacer una

    mencin especial para los directores de esta Tesis, el catedrtico Juan Carlos Garca

    Prada y al profesor Doctor Jess Meneses Alonso.

    A la institucin, Universidad Carlos III de Madrid, junto con el

    Departamento de Ingeniera Mecnica

    .

    A otras personas que prestaron asesora durante todo el tiempo:

    - Zohar Yosibash,jefe del laboratorio virtual para sistemas dinmicos de la

    universidad Ben Gurion en Beer Sheva Israel.

    - Tcnicos y profesores de Algor.

    - Tcnicos y profesores de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia

    UNED.

    - Al grupo de personas que me ayudaron directamente con la investigacin en

    esta Tesis Doctoral: Alfonso Vilches, Sergio Tocina, lvaro Garca, Javier Alarcn,

    Juan Antonio Cobo, Marta E. Garca, Eduardo Mariscal, Sara Lecumberri,

    Eduardo Varta, David Saiz Prada, Daniel Alcoba, Marcos Prez y otras personas

    que por avatares del tiempo no podr incluirlos.

    Al grupo de amigos de siempre, entre ellos Julin Enrquez, Carlos Alberto

    Guevara, Oscar Duque, Pilar Balanta, Nelson Javier, Carlos Arturo Gil, Cesar

    Arturo Castillo.

    Otras personas ajenas a la docencia que me apoyaron de forma incondicional: entre

    ellos: Henry Len Prez, Adela Sebrian, Ramn Daro, Sergio Condurache,

    Gerson Villarroel, Kinga , Adriana Cardona, Fabin Arstein.

    Y dentro de la universidad una mencin especial a mis buenos amigos Rachid

    Cheriguene y Jaime Montoya y los colegas Gabriel, Edwin, Jymmi, que con la

    justificacin de tomarnos un caf, compartamos diferentes opiniones y criterios

    acerca de nuestras respectivas tesis.

    Para todos, gracias, esta tesis fue por ustedes.

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    MODELO DE RODAMIENTO UTILIZANDO TCNICA M.E.S.APLICACIN AL ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO EN LA ZONA

    DE CARGA

    RESUMEN

    En esta Tesis, se propone un nuevo modelo numrico en 2D de rodamiento de

    rodillos cilndricos para simulaciones de eventos mecnicos (Mechanical Event

    Simulation, MES), como una alternativa a las metodologas experimentales y analticas,

    para el estudio del comportamiento dinmico de sus piezas en rotacin.

    Este modelo numrico de rodamiento de rodillos cilndricos, est analizado por

    medio del mtodo de los elementos finitos en cdigo comercial Algor, para

    simulacin de eventos mecnicos. Con el modelo numrico se analizar la distribucin

    de fuerzas de contacto sobre la pista externa debida a la dinmica de las piezas de

    rotacin del rodamiento.

    El modelo numrico fue validado por comparacin entre las fuerzas de reaccin

    de contacto rodillo-pista externa que proporciona, con las que se deducen del modelo

    analtico propuesto por Jones-Harris.

    Se realiz, con el modelo de rodamiento propuesto, un anlisis del deslizamiento

    de los elementos rodantes sobre la pista externa. El estudio permiti diferenciar una

    zona en la que el deslizamiento se mantiene prcticamente nulo: la zona de rodadura. Serealiza el estudio de los efectos de la velocidad del eje y del coeficiente de friccin

    sobre extensin de la zona de rodadura.

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    ABSTRACT

    In this Thesis, a new finite element model of a roller bearing for mechanical event

    simulations is proposed as an alternative to experimental and analytical methodologies, in

    order to study the slipping between the rollers and the races.

    As a result of an application of a modeling methodology, a two dimension finite

    element model has been built, taking into account the contact between all the rollers and

    races. A system of radial elements has been also included in the model, in order to provide

    the shaft with a constant angular velocity.

    The proposed model has been then validated by comparing the roller-race contact

    reaction forces it gives, with those obtained from the analytical model developed in [harris].

    This comparison has been carried out for several shaft angular velocities, and the

    corresponding values are in an excellent agreement.

    With such validated model, a large variety of virtual analyses have been carried out

    to study the local slipping between the rollers and the races. The varying parameters were

    the shaft angular velocity and the friction coefficient between rollers and races. These

    simulations have permit us to define the rolling zone for each case, and to conclude that this

    rolling zone is approximately centered with respect to the loading zone, and has less extent

    than the latter.

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    ndice general

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    NDICE GENERAL

    OBJETIVOS 1

    CAPITULO I

    1 Introduccin 3

    1.1. Generalidades 4

    1.2 Estado del arte 8

    1.2.1 Artculos de seales de vibracin 9

    1.2.2 Artculos de modelos matemticos 10

    1.2.3 Artculos de modelos numricos 111.3 Estructura del documento 13

    CAPITULO II

    2. Metodologas a desarrollar para la definicin del modelo de estudio 16

    2.1 Modelo Experimental 18

    2.2 Modelo Analtico 23

    2.2.1 Ley de contacto de Hertz 23

    2.2.2 Modelo Analtico Jones-Harris 25

    2.2.3 Modelo Analtico de Harsha 25

    2.3 Modelo Numrico 34

    2.3.1 Modelado y anlisis del rodamiento en 3D 35

    2.3.1.1 Anlisis Esttico 40

    2.3.1.2 Anlisis por modo de vibracin 50

    2.3.1.3 Anlisis Dinmico 52

    2.3.2 Otros Modelos Realizados 59

    CAPITULO III

    3. Modelos propuestos para el anlisis dinmico del rodamiento 70

    3.1 Modelo Analtico 70

    3.1.1 Tcnica de Formulacin para el modelo analtico

    Jones-Harris 70

    3.1.2 Resultados del modelo analtico 78

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    ndice general

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    3.2 Modelo Numrico 80

    3.2.1 Modelado y simulacin de un rodamiento de

    rodillos cilndricos bajo cdigo Algor 80

    3.2.1.1 Generacin del mallado del modelo 82

    3.2.1.2 Elementos de Contactos 94

    3.2.1.3 Parmetros de anlisis en simulaciones

    de eventos mecnicos (MES) 96

    3.2.2 Toma de datos y anlisis de resultados 96

    3.2.2.1 Toma de Datos (Modelo MEF/MES). 96

    3.2.2.2 Anlisis de Datos 100

    3.3. Comparacin y validacin de los resultados 105

    3.3.1 Comparacin de resultados 105

    CAPITULO IV

    4. Estudio del deslizamiento entre los rodillos y las pistas del rodamiento 114

    4.1 Introduccin 114

    4.2 Deslizamiento y rodadura. Factor de Deslizamiento 115

    4.3 Mtodo de obtencin de los factores de deslizamiento local

    entre los rodillos y las pistas a partir de las simulaciones MES 116

    4.4 Anlisis de resultados de deslizamiento local a partir de las

    simulaciones 123

    4.5 Zona de Rodadura 129

    4.6 Influencia del coeficiente de Rozamiento 132

    CONCLUSIONES 137

    TRABAJOS FUTUROS 141

    REFERENCIAS 143

    ANEXO I 148

    ANEXO II 158

    ANEXO III 168

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    OBJETIVOS.

    El objetivo principal de esta Tesis Doctoral es el desarrollo de un modelo de

    rodamiento para el estudio de la fenomenologa que presenta la dinmica de sus

    elementos rotativos con un estudio de deslizamiento en la zona de carga. Para esto se

    tuvieron que lograr los siguientes objetivos:

    1. Desarrollo de una metodologa para la elaboracin de un modelo de rodamientopara el anlisis dinmico de los elementos rotativos que lo componen.

    2. Desarrollo del modelo de un tipo de rodamiento bajo condiciones de contornocontrolables y que avanzar a la consecucin de un modelo de rodamiento

    realista.

    3. Verificacin por comparacin del modelo numrico de rodamiento propuestopara esta Tesis con el modelo analtico de Jones-Harris.

    4. Aplicacin del modelo con un estudio del anlisis del nivel de deslizamientopresente en el contacto dentro de la zona de carga.

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    CAPITULO I: INTRODUCCIN

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    Captulo I Introduccin

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    INTRODUCCIN

    1.1GENERALIDADESA los procesos mecnicos involucrados en la produccin industrial se les requiere

    una mayor eficiencia, es decir, mayor fiabilidad y mayores velocidades de

    funcionamiento. La facilidad de implementar sistemas de deteccin de sus parmetros

    mecnicos ms representativos es fundamental en su diseo y fabricacin con el

    objetivo dedetectar posibles fallos con el suficiente tiempo de antelacin y proveer su

    solucin sin consecuencias graves para la mquina. Por esta razn, se hace importante el

    desarrollo y aplicacin de un sistema de prediccin del estado del sistema mecnico con

    vistas a la ubicacin y prediccin del defecto o fallo.

    Dada la complejidad de los sistemas mecnicos modernos, se hace difcil

    particularizar y detectar el componente de fallo en dichos sistemas, por la gran cantidad

    de partes y elementos que lo componen.

    Es por esto necesario seleccionar dentro de un sistema mecnico un solo y nico

    subsistema, que es el objeto de estudio de esta investigacin, definido como la unin

    entre eslabn de transmisin de potencia y el eslabn de apoyo mediante el rodamiento.

    El rodamiento es el apoyo ms empleado en todo tipo de mquinas por los

    elementos rotativos que lo componen, debido a ventajas como: pequeo par de

    arranque, reducida friccin en un amplio rango de velocidades, bajo consumo de energa

    y de lubricante, largos intervalos de mantenimiento, facilidad de montaje y desmontaje

    y gran variedad de dimensiones estandarizadas.

    Sin embargo, el rodamiento es la parte de las mquinas rotativas que presenta

    mayor siniestrabilidad, entendiendo como tal el nmero de intervenciones realizadas

    sobre dichos elementos en un periodo de tiempo determinado. Esta siniestrabilidad es

    debida a que resulta ms sencillo y mucho menos costoso sustituir un rodamiento que

    otro elemento de la mquina.

    En el sentido fsico, los rodamientos son sistemas mecnicos multi-cuerpo donde

    el comportamiento dinmico es de difcil estudio. Pero por ser un apoyo, el anlisis del

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    Captulo I Introduccin

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    funcionamiento del rodamiento es determinante para conocer la respuesta vibratoria de

    la mquina. Por tanto, el anlisis de la evolucin dinmica de los rodamientos

    representa un importante problema, que debe ser abordado para conocer su respuesta

    vibratoria, respuesta no-lineal. La complejidad del estudio del comportamiento

    cinemtico dinmico y la necesidad de crear un modelo que represente su

    comportamiento lo ms realista posible ha originado multitud de modelos, tanto con

    parmetros cinemticos, como anlisis de frecuencia y de contacto.

    De cara al mantenimiento predictivo por vibraciones de la mquina, todos los

    aspectos comentados anteriormente concurren, pues los sensores (generalmente

    acelermetros) se sitan en la proximidad de los rodamientos, pues son stos los

    encargados de canalizar todos los esfuerzos en la mquina.

    Evolucionando desde trabajos anteriores [23, 38, 44] en los cuales se propone un

    modelo experimental de anlisis de vibraciones para detectar un defecto localizado en

    rodamiento. Para estas investigaciones se fabric un banco de ensayos experimentales.

    Como continuacin a estos estudios, se propone un modelo de rodamiento analizado por

    medio del mtodo de los elementos finitos bajo cdigo comercial Algor para

    simulacin de eventos mecnicos (SEM). El estudio SEM simula el funcionamiento de

    un rodamiento de rodillos cilndricos bajo carga radial y con diferentes tipos de

    frecuencia de giro de eje, dando resultados realistas y comparables en otros tipos de

    modelos (analticos y experimentales).

    Hasta la fecha, solo se puede tener informacin de desplazamientos (vibraciones)del rodamiento mediante el anlisis de seales en un banco de ensayo, pero no se puede

    obtener informacin de su dinmica interna por medios experimentales. Los modelos

    analticos suplen esta necesidad, ya que con ellos se pueden obtener informacin de las

    tensiones y deformaciones presentadas en el contacto de las piezas, pero debido al gran

    nmero de ecuaciones que puedan resultar al tratar de hallar estos resultados, se

    disminuyen las condiciones realistas del modelo.

    Es por esto que en los ltimos aos se ha desarrollado un nuevo modelo de

    rodamiento para obtener mayores resultados dinmicos y con ms condiciones

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    Captulo I Introduccin

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    impuestas, este nuevo modelo terico es el modelo de simulacin por medio del mtodo

    de los elementos finitos.

    En la tabla 1.1 se mostrara las distintas opciones disponibles por cada metodologa

    propuesta:

    Tabla 1-1: Metodologas para el anlisis del comportamiento dinmico de un rodamiento

    Resultados Metodologas (Modelos)

    Estudio de

    Contacto

    Analtico Numrico (FEM/MES)

    Anlisis de

    Tensiones

    Analtico Numrico (FEM/MES)

    Anlisis de

    Desplazamientos

    Analtico Numrico (FEM/MES) Experimental

    La tabla 1.1 muestra los resultados que son posibles obtener con cada uno de los

    modelos de rodamientos existentes para el estudio de su comportamiento dinmico, con

    el modelo analtico se recogen resultados de tensiones y deformacin con la descripcin

    de una zona de carga, tambin se podr obtener datos del desplazamiento de cada uno

    de los elementos del rodamiento, y en algunas publicaciones se han generados modelos

    matemticos que detectan las frecuencias dentro de un dominio [5,8]. En el modelo de

    simulacin (numrico) los resultados se generan adicionando coeficiente de friccin

    entre las piezas, adems de que todas las piezas pueden ser de material elstico (no

    rgidas), aunque el calculo depende del software y de hardware donde se instale el

    modelo. Existen muchos software comerciales en el mercado que basan su clculo por

    medio del mtodo de los elementos finitos, pero la diferencia en cada uno de ellos

    radica en una especialidad de clculo, el software que se utiliza para esta investigacin

    es de los mas competitivos en el anlisis dinmico de sistemas mecnicos [47] por tener

    la herramienta MES (Mechanical event simulation) para simulacin de eventos

    mecnicos. Siguiendo con la tabla 1.1 para los modelos experimentales solo se

    adquieren datos de desplazamiento con anlisis de frecuencia en el dominio del tiempo,

    pero debido a la complejidad de la geometra del rodamiento no se puede obtener

    resultados dinmicos mas all de lo que permite el anlisis de vibraciones.

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    Captulo I Introduccin

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    Esta investigacin propone un modelo numrico para estudiar el fenmeno

    dinmico del rodamiento que de respuesta de las reacciones de las piezas en contacto

    con la descripcin de la zonas de carga a diferentes tipos de frecuencia de giro del eje,

    adems del estudio de estas zonas de carga por cada frecuencia, se estudia tambin el

    nivel de deslizamiento dentro de cada una de ellas.

    Los datos obtenidos del modelo numrico propuesto se validan comparando los

    resultados correspondientes con los que se proponen en la literatura [7] en lo que

    respecta a la distribucin dinmica de cargas (zona de carga) entre los elementos

    rodantes (rodillos) y la pista externa. Con esta comparacin y su correspondiente

    validacin se permite aplicar al modelo un estudio del deslizamiento.

    El esquema 1 resume los pasos que se siguieron para la obtencin del modelo

    propuesto:

    Esquema 1: Diagrama de flujo que se llevo a cabo para la realizacin de esta tesis.

    RODAMIENTOTipo: Rodillos Cilndricos

    Modelo NumricoTipo. MEF/MES [12]

    20, 30, 40, 50, 100 Y 200 Hz

    Modelo AnalticoTexto. Harris [7]

    20, 30, 40, 50, 100 Y 200 Hz

    Anlisis de resultados. M. N. Anlisis de resultados. M. A. [13]

    Comparacin y ValidacinM. N. M. A.

    AplicacinNivel de deslizamiento

    Pista externa

    ConclusionesTrabajos futuros

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    Captulo I Introduccin

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    Resumiendo los pasos del esquema 1

    Generacin de la geometra del modelo de rodamiento en 2D para simulacin deeventos mecnicos siendo analizado por medio del mtodo de los elementos

    finitos, el modelo contiene en cada uno de sus nodos tres grados de libertad con

    aplicaciones segn la necesidad de carga, condiciones de contorno, restricciones

    y frecuencia de giro.

    El segundo es comparacin y validacin del modelo numrico con un modeloanaltico plenamente aprobado por la comunidad cientfica como es el modelo

    implementado en el texto tcnico de Harris [7].

    El tercer paso es el estudio del deslizamiento entre los rodillos y la pista externacomo aplicacin al anlisis. El anlisis del deslizamiento se realizara para varios

    tipos de rotacin del eje y con diferentes coeficientes de rozamiento.

    Para lograr esto se hizo la siguiente revisin de la documentacin mostrada en las

    referencias y en el estado del arte.

    1.2 ESTADO DEL ARTE

    Para poder determinar el estado de los avances en el estudio del comportamiento

    dinmico de un rodamiento se han evaluado tres tipos de artculos:

    - Los primeros trabajos que se referencia en este estudio son los de artculosde anlisis de seales de vibracin que su temtica especifica sea de

    rodamientos.

    - Las siguientes investigaciones referenciadas, fueron los estudios conmodelos matemticos que analizaban los comportamientos mecnicos de

    las piezas en rotacin del rodamiento, en especial las bolas o rodillos.

    - Y por ultimo, fueron trabajos que sometieron una geometra de rodamientoal anlisis y simulacin por medio de mtodo de elementos finitos bajo

    cualquier marca comercial de software.

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    Captulo I Introduccin

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    1.2.1. Artculos de seales de vibracin en rodamientoLa tcnica bsica en los anlisis de seales de vibracin fue el uso de los algoritmos

    desarrollados por formulacin estadstica, para detectar defectos localizados en

    rodamientos, estas tcnicas han sido empleadas en el mantenimiento predictivo. La

    tcnica del mantenimiento predictivo utiliza los datos de las seales de vibracin,

    emitidos por un sistema mecnico para descubrir a tiempo el deterioro incipiente en

    algn elemento que lo compone. Se particulariza en el rodamiento por su funcin de

    apoyo dinmico del sistema, esto hace que sea el mecanismo ms ptimo en control

    del estado del funcionamiento de todo el sistema.

    Se conoce estudios de anlisis de seales para rodamientos desde los aos 60, el ms

    destacado es el de Gustafsson [24] quien propuso uno de los primeros mtodos dedeteccin de defectos en rodamiento; se basa en un ndice estadstico de la seal

    temporal determinando los picos normales y creando una franja que describe el

    impacto causados por un defecto localizado a los picos que sobrepasan este nivel.

    En los aos 70, Martn [25], presenta las deducciones de las primeras frecuencias

    para los elementos que constituyen un rodamiento y su relacin con posibles

    defectos localizados, como primeras aplicaciones de los analizadores de frecuencia.

    Ya en los aos 80 se diversifican las tcnicas de anlisis. Braun [26] utiliza lasfrecuencias de defecto de un rodamiento para analizar la modulacin producida por

    las frecuencias de resonancia de los elementos que componen el rodamiento. En el

    ao 1982 Boyes [27] mejora la tcnica de modulacin analizando las resonancias

    como diagnostico de defectos, obteniendo resultados ms exactos. Los aos 90 llega

    con nuevos desarrollos tecnolgicos y el ms trascendente para esta tesis se

    encuentra el de Bae [1] el cul genera un filtro estadstico que dentro de la seal

    temporal, excluye los picos de alta frecuencia, generando as una seal idnea para

    el anlisis de las frecuencias de los elementos del rodamiento y de las seales de los

    defectos localizado en pista o bola. Orhan [2] genera en su estudio formas de

    monitoreos para el diagnostico de los defectos localizados en rodamiento dentro de

    un mantenimiento predictivo V. Purushotham [3] realiza una metodologa completa

    del anlisis de vibraciones que genera un rodamiento por medio de la divisin de

    frecuencias, detectando el defecto localizado de forma incipiente e identificando la

    ubicacin del defecto. Ban [4] busca por medio de un modelo terico de un

    rodamiento, generar la formulacin del sonido normal del mismo en

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    Captulo I Introduccin

    10

    funcionamiento, comparndolo con ensayos experimentales y descubriendo con esta

    comparacin el defecto. Peng [31] realiza una combinacin de tcnicas para detectar

    la seal de vibracin propia del rodamiento, el defecto localizado para ste estudio

    sirve para aclarar la frecuencia de paso por bola, esta combinacin es la aplicacin

    de la transformada de Hilbert y de la transformada Wavelet. Estas combinaciones de

    tcnicas y de estudios no permitan obtener datos verosmiles del comportamiento

    dinmico del rodamiento, reafirmando el objetivo de generar un modelo terico ms

    completo del estudio del comportamiento cinemtico y dinmico del rodamiento.

    1.2.2. Artculos de modelos matemticosEl trabajo ms importante realizado en torno a la generacin de los modelosmatemticos para definir la dinmica de un rodamiento, ha sido realizado por Harris

    [7] que por medio de un equilibrio dinmico, plantea las ecuaciones para desarrollar

    las variables de las deformaciones de contacto entre los elementos rodantes y las

    pistas, por medio de la ley de contacto de Hertz.

    Meyer [28] Present una tcnica matemtica para predecir los componentes

    espectrales de las vibraciones que proceden de los efectos de los ejes desalineados,

    las superficies excntricas, y la compresin de los elementos del rodamientos debidoa la carga. Choudhury y Tandon [5] presentaron un modelo terico para obtener la

    respuesta de la vibracin debida a los defectos localizados con ondulacin en las

    superficies por efecto de la carga. Loparo [32] realiza modelo terico aproximado

    para la deteccin y diagnostico de la fallas mecnicas en maquinas rotativas.

    Particulariza stos fallos en diferentes elementos del rodamiento como pistas y

    bolas. Harsha [8] propone una formulacin matemtica en donde los contactos entre

    los elementos rodantes y las pistas son considerados muelles no lineales, cuya

    rigidez es obtenida utilizando la teora elstica de la deformacin del contacto de

    Hertziano. El texto presenta un modelo analtico para investigar las vibraciones

    estructurales de un rotor de alta velocidad sostenido por rodamientos. Wardle [29]

    mostr la relacin entre el nmero de elementos rodantes y las ondas de las

    vibraciones que se generaban. Cundo el nmero de elementos rodantes y ondas es

    igual, las vibraciones son severas alcanzando la frecuencia de resonancia. Jang [30]

    presenta un modelo analtico para estudiar las vibraciones debido a las ondulaciones

    generadas por el paso de un elemento rodantes sobre la pista, adicionando

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    Captulo I Introduccin

    11

    fenmenos cmo el movimiento giroscpico de los elementos rodantes y la fuerza

    centrfuga.

    1.2.3. Artculos de modelo numricos de rodamientosArtculos de modelos realizados con base en el mtodo de los elementos finitos con

    cdigo en algn software comercial avalados para el anlisis de sistemas mecnicos

    y dinmicos. Los estudios de modelos de sistemas mecnicos por medio del anlisis

    bajo el mtodo de los elementos finitos (MEF) han tenido gran desarrollo solo en

    estos ltimos 10 aos, generado por la gran evolucin de las mquinas de clculo

    (ordenadores) y de los programas de software de calculo MEF, que discretizan las

    piezas mecnicas del sistema de masa continua en finitas partes llamadas nodos. Los

    nodos son unidos por lneas (elementos) estos contienen las propiedades de losmateriales de la pieza tales como: rigidez, cargas, contactos, friccin, entre otros. El

    procedimiento de solucin de este software es por medio matricial, aplicando la ley

    de Hooke [33]. Zhang [34] establece un modelo MEF de contacto multi-cuerpo para

    simular las tensiones internas que ejerce el rodamiento en la estructura de un buje

    utilizado en automviles, con esto miden los niveles de desplazamiento mximos

    ocurridos bajo diferentes tipos de carga, esta simulacin se realiza de forma esttica.

    Kiral [10] modela una estructura de porta rodamiento incluyendo un rodamiento derodillos con carga dinmica y con defecto localizado en pista para obtener los

    niveles de vibraciones que aporta el rodamiento a la estructura que lo contiene y con

    esto detectar el mejor punto de dicha estructura, para colocar un sensor que capta los

    datos de vibracin del defecto del rodamiento. Las simulaciones se realizan con tipo

    de elementos cinemticos interpretndolos como elementos rgidos sin presentar

    deformacin durante el contacto. Kang [11] realiza un estudio para modificar el

    mtodo de contacto de Jones-Harris utilizado para determinar las deformaciones

    tericas en el contacto entre elemento rodante y pista, para esto propone un modelo

    MEF para validar su nueva formulacin; estas simulaciones se realizan en 3D, pero

    de forma esttica. Kiral [16] realiza de nuevo un modelo numrico de estructura

    porta rodamiento, pero sta vez le adiciona un rodamiento con varios defectos

    localizados en pista, para determinar las frecuencias en las vibraciones tericas

    emitidas por un rodamiento bajo carga dinmica, correlacionndolas con un modelo

    experimental. Esta correlacin siempre es a nivel de valor de frecuencia y no de

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    Captulo I Introduccin

    12

    magnitud. Los modelos siguen siendo de tipo cinemticos, sin presentar

    deformacin a efectos de la carga.

    Los modelos numricos que describen y predicen los fenmenos dinmicos y de

    contacto que generan un rodamiento, han tenido un gran avance slo estos ltimos

    aos. Sawalhi [35] presenta la simulacin de un modelo de caja de engranaje

    combinndolo con un rodamiento, es un estudio muy completo que muestra los

    contactos en un engranaje, la curvas de carga analtica de un rodamiento, los niveles

    de vibracin terica que aporta el rodamiento con defecto al contacto de engranaje,

    y un estudio incipiente de deslizamiento en rodamiento, porque solo relaciona el

    deslizamiento con las rotaciones del eje y de la jaula, sin tener en cuenta el

    deslizamiento propio del elemento rodante. Aunque aos anteriores Itagaki [36]

    realiz un estudio experimental del deslizamiento presente en los rodamientos con

    diferentes tipos de densidad de grasa, hizo la comparacin entre la velocidad de

    rotacin de la jaula y la velocidad del eje, sacando conclusiones: que con ms

    densidad de grasa el rodamiento presenta ms deslizamiento, y los niveles de calor

    que se generan con la variacin de dicha densidad.

    Dentro de todo este trabajo de recopilacin de textos, artculos y estudiosconcernientes a los fenmenos que ocurren durante el funcionamiento de un rodamiento

    bajo diferentes tipos de condiciones, no se encuentran tres requerimientos que propone

    esta tesis:

    - Profundizar en el estudio de la fuerza de reaccin de los elementosrodantes con la pista externa.

    - Comparacin de las zonas de carga entre un modelo matemtico con elmodelo de simulacin a diferentes tipos de frecuencia de giro de eje.

    - Estudio detallado del deslizamiento presente en cada elemento rodantey su relacin con la zona de carga.

    Para llevar a cabo estos estudios se define la estructura del documento de la

    siguiente manera:

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    Captulo I Introduccin

    13

    1.3 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO

    Para alcanzar los objetivos establecidos para esta Tesis Doctoral se han

    estructurado los siguientes captulos:

    OBJETIVOS

    Objetivos principales de la Tesis Doctoral.

    CAPITULO ISe describir el mbito y los pasos seguidos para el logro de los objetivos. Se

    mostrar tambin la revisin de la referencia bibliogrfica en un estado del arte de los

    ltimos 20 aos, en torno a la temtica escogida haciendo especial hincapi en los

    ltimos desarrollos relacionados con los objetivos de esta Tesis doctoral y por ltimo se

    finalizar con las fases de desarrollo.

    CAPITULO IISe plantearon tres metodologas para lograr el modelo adecuado para obtener

    datos del comportamiento dinmico del rodamiento:

    - Experimental- Analtica- Numrica.Con las tres metodologas se realizaron de igual modo tres modelos para lograr

    resultados de dicho comportamiento. Para cada metodologa, se realiz un historial de

    generacin del modelo, de toma y obtencin de datos, anlisis de resultados,

    comparacin y validacin.

    Finalizando este captulo, se describe el modelado y la simulacin del modelo

    numrico creado para esta Tesis Doctoral, obteniendo mejores resultados.

    CAPITULO III

    Se considera y se desarrolla el modelo analtico de Jones-Harris cmo el modelo

    matemtico, para validar el modelo numrico propuesto para esta Tesis.

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    Captulo I Introduccin

    14

    Se propone el modelo numrico para simulacin de eventos mecnicos (MES)

    como la mejor forma de afrontar el estudio del comportamiento dinmico del

    rodamiento como elemento de apoyo.

    Se comparan y validan los resultados de la distribucin de la reacciones sobre la

    pista externa que ejerce los rodillos y se describen las diferencias entre los dos modelos

    a diferentes frecuencias de giro de eje.

    CAPITULO IV

    Realizacin de un anlisis del nivel de deslizamiento presente en el contacto

    entre los rodillos y la pista externa al modelo simulado.

    Formulacin matemtica para la deteccin del nivel de deslizamiento a lo largo

    de la pista externa.

    Concepto y generalidades de la zona de rodadura.

    Descripcin de las caractersticas de la zona de rodadura dentro de la zona de

    carga.

    CONCLUSIONES

    REFERENCIAS

    Recopilacin de informacin histrica y actual en temticas de anlisis de

    vibraciones en rodamientos, anlisis de modelos por simulacin en MEF y SEM.

    Lectura de libros especializados en clculo matricial para MEF, clculo en

    rodamientos y vibraciones mecnicas.

    Estudio de artculos relativos a las temticas expuestas en congresos nacionales e

    internacionales, en revistas de alto impacto.

    Asesoras de especialistas internacionales en las reas de simulacin, anlisis de

    seales y clculo en sistemas dinmicos.

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    CAPTULO II:

    METODOLOGAS DESARROLLADAS PARAOBTENER EL MODELO DE ESTUDIO

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    16

    METODOLOGAS DESARROLLADAS PARA OBTENER ELMODELO DE ESTUDIO

    En esta seccin se presentan diversos tipos de metodologas con el modelo de

    rodamiento, que se han ensayado para la realizacin de esta Tesis doctoral, para a partir

    de sus resultados seleccionar aquellos que describieran mejor los niveles de vibraciones

    propios y reales de un sistema mecnico como el rodamiento. Para cada metodologa

    que se ha aplicado para esta investigacin, se ha creado un modelo.

    Estos modelos son nombrados con las siguientes bases metodolgicas:

    2.1. Modelo Experimental: Toma de medidas en laboratorio.

    2.2.Modelo Matemtico: Sistema de ecuaciones diferenciales

    2.3.Modelo de Simulacin: MEF (Mtodo de los elementos finitos) y MES

    (simulacin para eventos mecnicos).

    En los siguientes esquemas se muestra los tipos de modelo, el trabajo realizado

    con cada uno de ellos y las consideraciones que se tuvieron en cuenta para obtenerresultados ptimos:

    Esquema 2:Tcnica de aplicacin al modelo experimental.

    El esquema 2 muestra el procedimiento aplicado para encontrar resultados

    dinmicos en un rodamiento, pero como se ver ms adelante solo se pudieron encontrar

    resultados de desplazamiento en frecuencia. Fue por esto que se busc dentro de las

    referencias y literatura tcnica, un modelo analtico (esquema 3) para obtener ms

    informacin del comportamiento propio del rodamiento y de los elementos que los

    componen.

    2.1 ModeloExperimental

    Anlisis deVibraciones

    Banco de EnsayosToma de Datos

    Resultados en frecuenciade desplazamientos

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    17

    Esquema 3: Tcnica para obtener el modelo y sus resultados en la metodologa analtica.

    La metodologa para encontrar el modelo analtico adecuado, ha sido la

    bsqueda de las ecuaciones diferenciales que se apliquen a la interpretacin del

    fenmeno que describe el comportamiento dinmico de un rodamiento, en que se

    tuviera en cuenta condiciones de: carga, fuerza centrifuga, deformaciones, propiedades

    de los materiales, entre otros. Pero la interpretacin de la realidad de forma analtica

    conlleva a menospreciar condiciones imperantes en el medio para el estudio de los

    fenmenos dinmicos de un sistema. Es por esto, que se propone una tercera va de

    bsqueda de resultados que ser para esta investigacin un modelo numrico de

    simulacin bajo MEF/MES (esquema 4).

    Esquema 4: Tcnica para obtener el modelo y sus resultados en la metodologa numrica.

    El esquema 4 muestra el mtodo llevado a cabo para la generacin del modelo

    numrico del rodamiento, este modelo numrico es un modelo terico que por tener un

    orden de solucin matricial (aplicada a la teora Hooke) permite que se pueda incorporar

    al modelo ms condiciones y propiedades del medio real. Pero el clculo de los modelos

    propuestos para esta metodologa, depende de las dimensiones que permita el software y

    el hardware; un modelo no puede ser demasiado grande porque los softwares de clculo

    en MEF/MES tienen un lmite de nmero de elementos a calcular y el hardware necesita

    alta capacidad en memoria RAM para ejecutar estos clculos.

    2.2 Modelo

    Matemtico

    Estructura del sistemade ecuaciones

    Anlisis de contacto ydeformaciones

    Resultados endeformaciones porcontacto, tensiones.

    2.3 ModeloNumrico

    Generacin de laGeometra del modelo

    Simulacin y Anlisisde Resultados

    Resultados endeformacin decontacto, frecuencias endesplazamiento yfuerzas.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    18

    En esta investigacin se trataron tres metodologas, y para cada una de ellas se

    generaron unos modelos de rodamientos. Se obtuvieron los resultados de las tres

    metodologas para el modelo del rodamiento. Los resultados del modelo se aplicaron a

    estudios de deslizamiento.

    A continuacin se muestra los trabajos realizados para cada tipo de modelo.

    2.1 Modelo experimental

    Aprovechando la experiencia realizada en investigaciones anteriores con el

    anlisis de seales experimentales de rodamiento [21,22] y recopilando informacin y

    base bibliogrfica referente a defectologa en maquinas rotativas con aplicacin a

    rodamientos, se utiliz el banco de ensayos experimentales de rodamiento ubicado en el

    departamento de Mecnica de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia,

    UNED (figura 2-1) para captar las seales de vibracin de un rodamiento de contacto de

    bolas de tipo comercial FAG 7206 B con defecto localizado en ambas pistas y en la

    superficie de la bola a diferentes tipos de rotacin y carga.

    Figura 2-1: Banco de ensayos experimentales para rodamientos UNED.

    La seal captada son datos de aceleracin (segunda derivada de la posicin)

    representada en el dominio del tiempo, aunque solo en el eje vertical (seal captada con

    acelermetro unidimensional) perpendicular al eje de banco de la figura 2-1. La

    frecuencia de muestreo es de 5000 muestras por segundo, el tiempo de muestreo son 8

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

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    segundos y por lo cul el nmero total de muestras obtenido en cada una de las seales

    es de 40000 muestras, como se muestra en la figura 2-2.

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    x 104

    -0.08

    -0.06

    -0.04

    -0.02

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    Muestras

    2I30601 (seal original temporal)

    Amplitud

    Figura 2-2: Representacin de la seal captada de un rodamiento a 10 Hz en el dominio del tiempo.

    Las caractersticas del ensayo hacen predecir que el proceso es estacionario y el

    anlisis de la seal de la figura 2-2 as lo ratifica. El proceso de una seal es estacionario

    cuando el rango de amplitudes y la densidad de los datos obtenidos son prcticamente

    constantes. Al ser el proceso estacionario, este anlisis no puede aportar ms

    informacin de la mencionada, slo se concluy que cuando un elemento se encuentra

    defectuoso, se observa un incremento en el rango de amplitudes de forma proporcional

    al aumento de la velocidad de rotacin. Para generar un mejor anlisis, es necesaria una

    representacin en otro dominio que complemente a la seal temporal. El desarrollo se

    lleva a cabo con la Transformada Rpida de Fourier (TRF) que ocasiona un espectro de

    frecuencias correspondiente a la seal, donde el eje horizontal muestra las diferentes

    frecuencias y el eje vertical la amplitud de las mismas. La tcnica permite saber el

    nmero de veces por segundo que ocurre el fenmeno, de esta forma, la seal pasa del

    dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La frecuencia ms alta que se puede

    obtener dentro de la seal es de 2500 Hz debido al teorema de Nyquist-Shannon.Como

    la frecuencia de muestreo del ensayo es 5000 Hz, la componente en frecuencia mxima

    de la seal no ser mayor de 2500 Hz.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    20

    0 500 1000 1500 2000 25000

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    2I30601 (FFT original)

    Frecuencia (Hz)

    Amplitud

    Figura 2-3: Representacin de la TRF de la seal para rodamiento con defecto en pista interna a 10 Hz.

    La figura 2-3 muestra un rodamiento a 600 rpm con anlisis en TRF, se observa

    que el comportamiento de la seal es estable pues es similar a todas las seales

    analizadas a diferentes velocidades. Tambin se muestra alta densidad en todas las

    bandas de frecuencias, tomando valores diferentes de cero para todo el espectro, aunque

    principalmente en la zona central. Este aspecto es negativo para el anlisis, ya que las

    frecuencias que se estudian y que son relevantes se encuentran entre 0 y 250 Hz (este es

    el rango de frecuencias generado por la rotacin de los elementos del rodamiento)

    aproximadamente. A partir de 250 Hz las amplitudes corresponden a ruido y armnicos,

    as que existe una gran distorsin en la seal.

    En este punto se complementa el anlisis con otra herramienta que permita filtrar

    la seal, mostrando las frecuencias que realmente interesan y eliminando el ruido de las

    frecuencias mayores de 250Hz. Esta herramienta es la Transformada de Hilbert.

    La Transformada Hilbert [1] realiza la transformacin sobre la seal temporal

    devolvindola filtrada tambin, en el dominio del tiempo. La operacin en la seal se

    realiza por medio del software Matlab [20], puesto que tiene un comando que realiza

    esta transformada con operaciones matemticas que contienen parte real y otra

    imaginaria, donde la parte real coincide con los datos de partida de la seal y la parteimaginaria es la Transformada Hilbert propiamente dicha. Se muestra a continuacin la

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    21

    envolvente de la seal temporal filtrada con la Transformada Hilbert, la cul slo

    contiene nmeros reales (figura 2-4).

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    x 104

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    Muestras

    Amplitud

    2I30601 (T. Hilbert seal temporal)

    Figura 2-4: Representacin de la envolvente de la seal a 10 Hz en el dominio del tiempo.

    Los valores verticales mostrados en la figura 2-4 no muestran valores negativos

    debido a que se representa es la Envolvente, cuya funcin es una raz cuadrada no

    generando valores negativos de salida:

    ( ) ( ) ( )A t x t x t= +2 2~ (2.1)

    Donde x(t) es la seal original y x~ (t) es la parte imaginaria de la Transformada

    Hilbert.

    A continuacin se realiza TRF a la envolvente de la Transformada Hilbert a

    todas las seales, eliminando los valores de impulso de la seal ya que generan una

    pequea frecuencia de gran amplitud, que obstaculiza la observacin de las amplitudes

    en las bandas de frecuencias que se encuentran a lo largo del eje horizontal (figura 2-5).

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    22

    0 10 20 30 40 50 60 70

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    Frecuencia (Hz)

    Amplitud

    2I30601 (FFT T. Hilbert)

    Figura 2-5: Representacin de las bandas de frecuencia con filtrado para un rodamiento a 10 Hz

    En la figura 2-5 se muestra que las amplitudes no tienen unidades significativas,

    con las mediciones de amplitud en frecuencia no se puede hacer una modificacin de

    forma analtica para transformarla en valor o condicin dinmica del modelo, tales

    como deformaciones, tensiones, etc. Solo se observa la proporcin de amplitud entre las

    frecuencias, pero solo con este tipo de estudio queda difcil deducir con exactitud cul

    es el motivo de su existencia en esta seal. Al no poder encontrar un valor propio de la

    magnitud de las frecuencias donde se pudiera comparar con alguna condicin impuesta

    en el banco, se buscaron otras tcnicas aparte del espectro de frecuencias, como pueden

    ser la Transformada Wavelet, capaz de representar la seal en una resolucin temporal y

    en una resolucin frecuencial. No obstante, estas tcnicas slo demostraron ser

    aplicables hacia un mantenimiento predictivo, en donde por medio de los cambios en

    los niveles de frecuencia, podr informar con tiempo un dao localizado en algn

    elemento del rodamiento o en la maquina, pero no se podr cuantificar los valores de

    presin que sufren las piezas.

    Ninguna tcnica de anlisis de seales de rodamiento revisada en esta base

    bibliogrfica, ha descrito un modelo experimental que analice el comportamiento

    dinmico de rodamiento que contengan las tensiones y fuerzas de reaccin generadas

    por el contacto de sus elementos rodantes con las pistas.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

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    Por tal razn, se lleva a cabo un estudio de los modelos matemticos de

    rodamientos publicados que hallan sido comparados o validados con algn modelo

    experimental.

    2.2 Modelo analtico

    Llamado tambin modelo matemtico, es el encargado de predecir el

    comportamiento dinmico del rodamiento y de sus elementos rotativos. Por medio del

    modelo analtico, se espera obtener resultados en deformacin de contacto de los

    elementos rodantes sobre las pistas, estos resultados describirn las zonas de carga de

    un rodamiento bajo diferentes estados de rotacin y carga.

    En esta investigacin se realizaron tres procedimientos para obtener el modelo

    analtico:

    - Ley de contacto de Hertz: Formulacin analtica del contacto entre dos

    cuerpos deformables.

    - Modelo Jones- Hertz (Harris): Mtodo de equilibrio de fuerza con la teora

    de contacto elstico de Hertz.

    - Modelo analtico de Harsha: Mtodo de energa y ecuaciones diferenciales de

    Lagrange.

    2.2.1Ley de contacto de Hertz

    La ley de Hertz se aplica siempre a casos de contacto de superficies estticas,

    aquellos donde se cumple las condiciones de equilibrio mostrado en la siguiente figura

    2-6:

    Figura 2-6: Anlisis de contacto entre superficies.

    En la figura 2-6 se muestra cuando dos cuerpos slidos entran en contacto en un

    nico punto, bajo la accin de la fuerza que cada uno de ellos ejerce sobre el otro (que

    se suele denominarse carga) se deforman en la regin del primer contacto. De este

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    24

    manera, el rea de contacto es finita, aunque pequea comparada con las dimensiones

    de los dos cuerpos. La forma del rea de contacto, el modo en que sta aumenta de

    tamao y la distribucin de tensiones en dicha regin se adquiere de la relacin de la

    geometra de los cuerpos y de la carga aplicada. Los datos que se obtienen de la ley de

    contacto superficial (ley de Hertz) se refieren a la tensin soportada en la zona de

    contacto de las superficies llamada geometra de huella.

    Es por esto necesario definir la geometra del problema considerando dos slidos

    en contacto en un punto. Este punto inicial es el origen del sistema de coordenadas (ver

    Figura 2-6). Las dos superficies tienen en este punto un plano tangente comn en el

    plano x-y, mientras que habr dos semiejes positivos Z1 y Z2, orientados en sentidos

    opuestos.

    Al ser comprimidos los slidos, el contacto se extiende a un rea elipsoidal de

    semiejes a y b. Si no hubiera deformacin, las dos superficies se habran desplazado

    segn las lneas discontinuas a una distancia total .

    Para aplicar este anlisis al problema presentado, se supondr que los dos

    cuerpos son comprimidos uno contra el otro, lo que tiene como resultado el

    acercamiento de los mismos en una pequea distancia , que representa el

    desplazamiento total que habran experimentado las dos superficies en ausencia de

    deformacin. La deformacin cerca del punto de contacto, que se considera reversible

    ya que el fenmeno se considera elstico, hace que ambos cuerpos estn en contacto en

    una superficie pequea y finita.

    Pero hay algunas consideraciones para esta ley a tener en cuenta a realizar un

    modelo dinmico de un rodamiento con base analtica.

    Las superficies son continuas y no conformes.

    Cada slido se considera como un semiplano infinito para el clculo

    elstico, lo que implica que las dimensiones del rea de contacto son

    pequeas en comparacin con las dimensiones de cada cuerpo y adems,

    en relacin con los radios de curvatura de las superficies.

    Las deformaciones son pequeas en el rea de contacto (consecuencia dela suposicin anterior) por lo que puede aplicarse la teora lineal de la

    elasticidad.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

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    Se supone que no existe friccin entre ambas superficies.

    Como se muestra al principio de este enunciado, la ley bsica de Hertz solo

    opera en condiciones estticas, difcil de aplicar a la geometra y condiciones del

    rodamiento. Jones [15] realiza una modificacin de esta ley para poder adaptarla a la

    geometra de las piezas de contacto para un rodamiento. Harris describe la zona de

    carga con propiedades

    2.2.2Modelo analtico Jones-Harris

    Fue uno de los primeros modelos analticos planteados para calcular y predecir

    el comportamiento dinmico del rodamiento, determinando la deformacin de contacto

    de cada bola con respecto a un ngulo de posicin . Jones realiza una modificacin de

    la ley de Hertz para adaptar las ecuaciones de contacto a la geometra del rodamiento.

    Harris pblica esta modificacin para diferentes tipos de rodamiento de bola y de

    rodillos.

    En el captulo III de esta tesis se desarrollara este modelo analtico para rodamientos

    de rodillos cilndricos como modelo de validacin y comparacin para otros modelos

    propuestos en esta investigacin.

    2.2.3Modelo analtico de Harsha

    En la figura. 2-7 se muestra un sistema mecnico motor-rodamiento, la

    configuracin utilizada para conformar el modelo analtico que se presenta. El sistema

    consiste en un motor conectado al anillo interior de un rodamiento, con el eje exterior

    fijo al soporte.

    Figura 2-7: Sistema mecnico motor-rodamiento.

    Se utilizar la formulacin de Lagrange para calcular la posicin de loselementos rodantes y de la pista interior (coordenadas independientes generalizadas)

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    26

    considerando en el modelo el contacto bola-pista de rodadura como un sistema elstico

    no-lineal.

    Las ecuaciones del movimiento del sistema motor-rodamiento se pueden

    calcular utilizando la ecuacin (2.2):

    d T T U F

    dt q q q

    + =

    &(2.2)

    Donde q es el vector de la coordenada generalizada, F representa a las

    fuerzas generalizadas, T es la energa cintica total y U es la energa potencial

    total.

    Figura 2-8: Modelo geomtrico del rodamiento.

    Las coordenadas usadas en el modelo analtico estn referenciadas a la pista

    exterior, que es fija. En la figura 2-8 se muestra el modelo geomtrico usado: la

    posicin del centro de los elementos rodantes y la posicin del centro de la pista

    interior, referidos siempre al centro de la pista de rodadura exterior [46].

    El radio del elemento rodanteRB, la pista interiorRIy el radio de la pista exterior

    RE(ver fig. 2.8) se consideran invariables. Sin embargo, la distancia entre el centro de la

    pista exterior y el centro de la pista interior rIE(donde { },IE IE IEr x y= ) la distancia entre

    el centro de los elementos rodantes y el centro de la pista exterior ri y la distancia entre

    el centro de los elementos rodantes y el centro de la pista interior si variarn en el

    tiempo.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    27

    Tambin cambiarn con el tiempo, la posicin angular del centro de cada

    elemento rodante i respecto al centro de la pista exterior es i; y la posicin angular

    del centro de cada elemento rodante i respecto al centro de la pista interior es i.

    Las masas se denominarn como: mB la de cada elemento rodante, mI la del

    anillo interior, mEla del anillo exterior y mM la masa del rotor del motor.

    En la figura 2-8 tambin se describe el contacto no-lineal entre cada elemento

    rodante i y cada pista de rodadura, donde cada elemento rodante es considerado como

    el conjunto de dos resortes no-lineales: uno que define el contacto elemento rodante-

    pista interior kI_i y otro, el contacto elemento rodante-pista exterior kE_i.

    La energa cintica total y la energa potencial total se obtendrn aplicando el

    teorema cintico de Koening y la teora del contacto de Hertz.

    As, la energa cintica total TT del sistema motor-rodamiento ser la suma de la

    variacin de la energa cintica en la pista interior TI, en los Zelementos rodantes TB_i

    y en el motor TM(ecuacin 2.3):

    _1

    Z

    T I B i M

    i

    T T T T =

    = + + (2.3)

    La energa potencial total UT del sistema motor-rodamiento ser la suma de la

    variacin de la energa potencial en la pista interior UI, en los Zelementos rodantes

    UB_i , en el motor UM y la energa potencial de deformacin UD_i en el contacto de cada

    elemento rodante-con las pistas de rodadura (ecuacin 2.4):

    _ _1 1

    Z Z

    T I B i M D i

    i i

    U U U U U = =

    = + + + (2.4)

    Como se ha mencionado anteriormente, para el estudio de las caractersticas

    vibratorias de los rodamientos de bolas, el contacto bola-pista de rodadura se puede

    considerar como un sistema masa-resorte (no se contempla el amortiguamiento) donde

    el anillo exterior est fijo a un soporte rgido y el anillo interior es solidario al eje de un

    motor. La deformacin elstica producida entre las bolas y las pistas establece una

    relacin no-lineal entre fuerza y deformacin que puede obtenerse aplicando la teora de

    Hertz, simulando resortes no-lineales (ver fig. 2.8).

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    28

    La primera consecuencia de la aplicacin de la teora clsica de la elasticidad de

    Hertz al problema del punto de contacto entre la bola y la pista, es el hecho de que se

    genera un rea de contacto de forma elptica. Es importante conocer esta rea de

    contacto elptica, que depender de las curvaturas de las superficies involucradas, para

    determinar la presin o la fuerza en el contacto. Por tanto, es necesario averiguar ciertos

    parmetros de las curvaturas de las superficies en contacto, para calcular la fuerza de

    contacto.

    As, adoptando la nomenclatura establecida en la figura 2.9, el parmetro suma de

    curvaturas se obtiene siguiendo la ecuacin 2.5, descrita en la ley de Hertz como:

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    1 1 1 1A A B B

    A A B Br r r r

    = + + + = + + + (2.5)

    Y el parmetro diferencia de curvaturas puede expresarse como la ecuacin (2.6):

    ( )( ) ( )1 2 1 2A A B B

    F

    + =

    (2.6)

    Los parmetros rA1, rA2, rB1, rB2, A1, A2, B1 y B2 dependern de las pistas de

    rodadura interna y externa y del radio de las bolas, como se muestra en la figura 2-9.

    Figura 2-9: Parmetros geomtricos considerados en el punto de contacto bola-pista de rodadura.

    Si se considera el contacto perfecto (sin desalineacin) entre la bola (de radio RB) y

    la pista interior (de radioRI) entonces resultan las expresiones (ecuacin 2.7):

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    29

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    ; ; ;

    1 1 1 1; ; ;

    A B A B B I B B

    A A B B

    B B I B

    r R r R r R r R

    R R R R

    = = = =

    = = = =

    (2.7)

    Donde las representan las curvaturas y las r los radios de curvatura.

    Sin embargo, si lo que se considera es el contacto perfecto (sin desalineacin) entre

    la bola y la pista exterior (de radioRE) entonces resultan las expresiones (ecuacin 2.8):

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    ; ; ; ;

    1 1 1 1; ; ;

    A B A B B E B B

    A A B B

    B B E B

    r R r R r R r R

    R R R R

    = = = =

    = = = =

    (2.8)

    Aunque el radio de curvatura es siempre positivo, con la curvatura no ocurre lo

    mismo. En esta investigacin se establece el siguiente convenio de signos: superficies

    convexas, signo positivo y superficies cncavas, signo negativo.

    El desplazamiento relativo (o deformacin) entre dos superficies de acero que estn

    en contacto est dado por la ecuacin (2.9):

    ( )1/ 34 * 2/32,79 10 ( )x Q mm = (2.9)

    Donde * es funcin de F() (figura. 2-10).

    As mismo, la fuerza (Q) ejercida en el contacto vendr dada por la ecuacin 2.10:

    ( ) ( )3/ 2 1/ 2

    5 * 3/ 22,15 10 ( )Q x N

    = (2.10)

    Esta fuerza puede expresarse de manera simple como una relacin no-lineal

    carga-deformacin (ecuacin 2.11):

    3/ 2 ( )Q C N= (2.11)

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

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    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Variacin del parmetro * en funcin de F()

    F()

    *

    0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Variacin de * en funcin de F()

    F()

    *

    Figura 2-10: Variacin del parmetro dimensional del contacto * en funcin de F().

    Si a la relacin entre la carga Q y la deformacin , de la ecuacin 2.11, se le quiere

    dar una apariencia lineal, puede ser reinterpretada sustituyendo la constante que las

    relaciona Cpor una variable no lineal k(ecuacin 2.12):

    ( ) ( ) ( )3/ 2 1/ 2 1/ 25 *2,15 10 ( )Q k x N

    = = (2.12)

    La constante de rigidez del resorte equivalente al contacto bola-pista interior o bola-

    pista exterior puede calcularse segn la ecuacin 2.13:

    ( ) ( ) ( ) ( )3/ 2 1/ 2 1/ 25 *2,15 10 ( , )Pista Pista Pista

    Nk x Pista I E mm

    = = (2.13)

    Entonces, la constante de rigidez efectiva en el contacto entre una bola y las dos

    pistas de rodadura puede expresarse como (ecuacin 2.14):

    1/ 1/

    11 1

    n

    n n

    I E

    k

    k k

    =

    +

    (2.14)

    En la ecuacin (2-11) los parmetros *I y*

    E se obtienen de los valores ( )IF y

    ( )E

    F mediante tablas descritas en la referencia [7] o en las grficas como la de la

    figura 2-10.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    31

    Como se ha observado anteriormente, para conseguir las ecuaciones del movimiento

    es necesario calcular los valores de la energa cintica Ty de la energa potencial Uen

    cada uno de los componentes mecnicos (ecuaciones 2.15).

    ( )( )

    ( )

    , ,

    , ,

    , ,

    I IE IE i

    B i i i

    M IE IE i

    T f x y

    T f r r

    T f x y

    =

    =

    =

    && &

    & &

    && &

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )_ _ _

    ,

    ,

    I IE

    B i i

    M IE

    D i I i E i

    U f y

    U f r

    U f y

    U f

    =

    =

    =

    =

    (2.15)

    El valor de I_i y E_i puede determinarse (ver figura 2-8) a partir de la modificacin

    de las distancias del centro de cada bola respecto al centro de la pista interior si y de la

    pista exterior ri (ecuaciones 2.16 y 2.17):

    ( ) ( )_ _ I i i I i I B if s R R s = = + (2.16)

    ( ) ( )_ _ E i i E i E B if r R R r = = (2.17)

    Esto permitira calcular el valor de la energa potencial elstica UD_i , como

    (ecuacin 2-18):

    ( ) ( )_ _ _, , , ,D i I i E i IE IE i iU f f x y r = = (2.18)

    Donde la distancia del centro de una bola i respecto al centro de la pista interior es

    si y puede estimarse como (ecuacin 2.19):

    ( ), , ,i IE IE i is f x y r = (2.19)

    O ms explcitamente como (ecuacin 2.20):

    2 2 22 cos 2 sini IE IE i IE i i IE i is x y r x r y r = + + + + (2.20)

    Las coordenadas generalizadas utilizadas para definir el estado mecnico del

    sistema sern: rj (j=1, 2,, Z), xIE yyIE . La velocidad angular del anillo interior

    i& se considera constante y el arco entre los centros de dos bolas consecutivas es

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    32

    tambin constante. Observando la figura 2-8, se puede llegar a la ecuacin 2.21 donde

    se localiza la posicin angular del centro de las bolas como:

    ( )( )

    , , ,

    21,2,..., 1

    i IE IE i i i Jaula

    i j i

    f x y r t

    j j ZZ

    +

    = =

    = + = (2.21)

    Para la coordenada generalizada ri, donde i =1, 2,, Z, las ecuaciones del

    movimiento son (ecuacin 2.22):

    ( )22

    _ _

    2

    _ _

    1sin 2 1

    21

    0, 1,2,...,2

    i IB i B i B i i i I I i I i

    ZC ZCi i

    EE i E E iZC ZC

    i

    s km r m g m r k

    r r

    kk j Z

    r

    + + + + +

    + + = =

    && & &

    (2.22)

    Para la coordenada generalizada xIE la expresin ecuacin ser (ecuacin2.23):

    ( ) ( )_1

    sinZ

    iI M IE I I i uZC

    i IE

    sm m x k F t

    x

    =

    + =

    && (2.23)

    Para la coordenada generalizadayIE la expresin ecuacin ser (ecuacin 2.24):

    ( ) ( ) ( )_1

    cosZ

    iI M IE I M I I i uZC

    i IE

    sm m y m m g k W F t

    y

    =

    + + + = +

    && (2.24)

    El resultado es un sistema de (Z+2) ecuaciones diferenciales no-lineales de

    segundo orden. Para esto, es necesario tener determinado la posicin angular del

    centro de las bolas, lo cual puede lograrse mediante la expresin algebraica de la

    ecuacin 2.20.

    El subndice ZC (Zona de Carga) en las ecuaciones 2.22, 2.23 y 2.24 indica si hay

    compresin en el punto de contacto o no. Entonces la deformacin en el punto de

    contacto puede ser calculada como se aprecia en las ecuaciones 2.25 y 2.26:

    ( )_

    _ 0i I i i

    i I i

    Si LZ f s

    Si LZ

    =

    =(2.25)

    ( )_

    _ 0i E i i

    i E i

    Si LZ f r

    Si LZ

    =

    =(2.26)

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    33

    El vector fuerza generalizado, para un motor con muy ligero desequilibrio, es una

    fuerza Fu, (figura 2.8).

    Los resultados obtenidos de las coordenadas generalizadas (xIE , yIE) representan las

    vibraciones del sistema motor-rodamiento. Estos resultados se exponen en el articulo

    [23] dando respuesta a las trayectorias del centro de las bolas, del centro de aro interno

    sobre el plano X-Y, sin poder dar respuesta en conceptos como zona de carga, o

    deformacin de contacto entre los elementos rodantes y las pistas.

    En la literatura cientfica utilizada en esta investigacin se han elaborado modelos

    analticos de rodamientos, teniendo como base el modelo de Jones-Harris, algunos

    aportan las ecuaciones diferenciales para determinar los desplazamientos de cada pieza

    del rodamiento, para luego comparar con el anlisis en frecuencia del modelo

    experimental, otros modifican las ecuaciones diferenciales planteadas por Jones-Harris

    para determinar con mayor exactitud la deformacin de contacto entre pista y bola,

    utilizando un modelo MEF para su comprobacin.

    Pero todos esos modelos analticos contienen los siguientes requerimientos para ser

    calculados:

    - Los anillos internos y externos son tomados como rgidos (sin deformacin).

    - La jaula porta elementos rodantes permanece a velocidad constante.

    - La jaula es rgida.

    - No hay deslizamiento en ninguna superficie de contacto.

    Los modelos matemticos no consideran algunas caractersticas y condiciones quehacen parte de la respuesta dinmica de un sistema mecnico, debido a que la adiccin

    de estas le aade al sistema de ecuaciones diferenciales ms variables a considerar, hace

    que no pueda haber convergencia.

    Por esas razones, se necesita la creacin de un modelo que involucre amplias

    condiciones de contorno y que d respuesta a los fenmenos vibratorios a la

    deformacin por contacto, generados dentro del funcionamiento normal de unrodamiento.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    34

    El modelo expuesto por Harris [7], que con la teora de contacto elstico de Hertz

    [14] y con adecuacin geomtrica para rodamientos de Jones [15], propone un mtodo

    matemtico, para determinar la deformacin de contacto relativo entre las superficies de

    los rodillos y las pistas. Harris utiliza la deformacin de contacto para describir la zona

    de carga del rodamiento. Esta zona de carga define la magnitud de la fuerza de reaccin

    de los rodillos sobre la pista externa relativo al ngulo . El ngulo es el ngulo que

    determina la ubicacin de los elementos rodantes, con respecto a la lnea de carga. Para

    esta investigacin las variables de deformacin de contacto que se generan en sus

    ecuaciones diferenciales, se solucionan con la ayuda del software MatCad.

    2.3 Modelo numrico

    Llamado modelo de simulacin. Debido a los altos costos de la elaboracin de

    prototipos mecnicos para ensayos experimentales, se acondicion una sala de

    investigacin como laboratorio virtual de ensayos de sistemas mecnicos. Para este

    laboratorio se adquiri el software comercial de anlisis, por medio del mtodo de los

    elementos finitos (MEF) con simulacin para eventos mecnicos (MES) en cdigo

    Algor [12], adems para el diseo y modelado se incorpor tambin el software de

    diseo en 3D SolidWork [19] y para los anlisis de seales se contaba con los

    programas incluidos en el software de MatLab [20]. Aprovechando la creacin de este

    laboratorio virtual se propone un modelo numrico de rodamiento para el estudio de la

    deformacin de contacto sobre la pista externa y describir con estos resultados la zona

    de carga a diferentes frecuencias de giro, adicionalmente se har un anlisis del

    deslizamiento entre sus elementos rodantes y la pista externa.

    Se realizaron varios ensayos para generar un modelo numrico, este modelo

    numrico debe tener resultados que podrn ser comparados y validados con un modelohomologo de tipo analtico o experimental.

    Para estos ensayos se cre primero la geometra del rodamiento siguiendo las

    dimensiones del rodamiento de bolas tipo FAG 7206 B de contacto angular, este

    rodamiento se nombrar como rodamiento de geometra en 3D.

    En el esquema 5 se muestra la secuencia de estudio para cada tipo de anlisis.

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    35

    Esquema 5: Ensayo de modelos numricos en 3D.

    En el esquema 5 se muestra los tipos de anlisis que se llevaron a acabo para

    lograr resultados con un modelo numrico de rodamiento en 3D.

    A continuacin se describe los estudios de los tipos de anlisis aplicados al

    rodamiento en 3D.

    2.3.1 Modelado y anlisis del rodamiento en 3D

    Se propone la geometra del rodamiento tipo FAG 7206 B. Se busca con el

    anlisis de este modelo, obtener vibraciones generadas por la deformacin de las piezas

    a efectos de carga y rotacin.

    Se describir las zonas de carga del rodamiento con tipo de anlisis esttico y

    dinmico. Se calcularn los primeros modos de vibracin con sus frecuencias de

    resonancia.

    Geometra en3D.

    Tipo de anlisis

    Anlisis esttico Anlisis DinmicoModos de frecuencia

    Resultados demximadeformacin

    Resultadostemperacin endeformacin y

    anlisis defrecuencia endesplazamiento

    Resultados delas frecuenciasde resonancia.

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    36

    Esquema 6: Pasos para el anlisis del modelo numrico del rodamiento en 3D

    El esquema 6 muestra las fases de desarrollo para el anlisis del modelo del

    rodamiento en tres dimensiones.

    Fases de desarrollo del modelonumrico

    1. Elaboracin de la geometraen SolidWork

    2. Exportacin de la geometraal lenguaje FEM/MES

    3. Creacin del malladopara cada pieza

    5. Eleccin del tipo deanlisis

    6. Aplicacin de lacondiciones de contorno

    7. Generacin de loscontactos

    4. Aplicacin de laspropiedades del material

    8. Aplicacin de cargas ycondiciones cinemticas.

    9. Verificacin del modelo

    10. Anlisis y comparacin deresultados

    11. Conclusiones

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

    37

    Para llevar a cabo este proceso de anlisis, lo primero que se realiz fue la

    geometra de un rodamiento de contacto de bolas en SolidWorks y exportarlo al

    software ALGOR, este ltimo reconoce toda la geometra del modelo (figura 2-6).

    Figura 2-11: Modelo rodamiento 3D en MEF. Mallado y con semieje.

    La figura 2-11 muestra la geometra del rodamiento en 3D importado por

    Algor desde SolidWork, con un semieje para mejor aplicacin de la carga radial.

    Una vez que se dispone del modelo en CAD del rodamiento, se procede al

    anlisis por elementos finitos. Los pasos dados son los siguientes:

    1.- Tipo de anlisis: La gran capacidad de clculo del software permite realizar

    desde anlisis estticos, hasta anlisis de mayor complejidad donde se incluyen

    simultneamente: anlisis dinmicos, no lineales, de contacto, campos magnticos,

    elctricos, de transmisin de calor, etc.

    2.- Generacin de la malla para el modelo: El programa utiliza 400 celdas para

    la formacin de la malla en cada pieza del sistema, y esto se conocer como el

    100% de esta opcin, algunas piezas estarn malladas al 150%, es decir con 600

    celdas. Cada celda se compone de entre tres y cinco elementos. La eleccin del

    tipo de elemento que compone la malla y el tamao de la malla es crtica a la hora

    de obtener unos buenos resultados en un tiempo razonable. Los modelos se suelen

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    38

    mallar usando mallado mixto con elementos hexadricos (bricks) y tetradricos

    (tetrahedral) de forma que la geometra quede bien definida. Como las mayores

    tensiones se suelen tener en superficie, se garantiza una zona de mayor precisin

    (hexaedros) en superficie. A continuacin se explican los tipos de elementos

    frecuentemente utilizados en los anlisis de elementos finitos en 3 D:

    a. Elementos hexadricos: son elementos tridimensionales que pueden

    tener: cuatro, cinco, seis u ocho nodos. Dan la posibilidad de

    incorporar nodos en mitad de las caras pudiendo dar lugar a elementos

    de hasta 21 nodos.

    Figura 2-12: Elementos hexadricos.

    b. Elementos tetradricos: son elementos que pueden tener de cuatro a

    diez nodos. pueden tener las siguientes formas:

    Figura 2-13: Elementos tetradricos.

    Como se ha comentado anteriormente, dentro de la opcin de mallado se

    podr escoger tambin el tamao de la malla, que tendr que ser lo

    suficientemente pequeo si se requiere un conocimiento preciso de las tensiones.

    3.- Eleccin del tipo de material: se deber asignar el tipo de material adecuado a

    cada elemento del rodamiento. Las propiedades ms importantes del elemento que

    aparecen en la ventana del material seleccionado son:

    Densidad de masa

    Modulo elstico

    Coeficiente de Poison Modulo elstico cortante

    Coeficiente de dilatacin trmica

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    39

    4.- Condiciones de contorno: se han de elegir de modo que se aproximen lo ms

    fielmente a las condiciones reales. Para el caso en estudio, se restringen todos los

    grados de libertad (traslacin y rotacin en los tres ejes) de todos los nodos de la

    superficie exterior de la pista externa. El rodamiento va a estar fijo en algn

    sistema de soporte, tambin dependiendo de la aplicacin, pueden variar

    ligeramente las condiciones de contorno aadindose otras adicionales.

    5.- Cargas aplicadas: para terminar, se seleccionan las cargas que se le quieren

    aplicar al elemento a simular, pudiendo colocar: cargas superficiales, cargas

    puntuales, cargas trmicas, etc. Las cargas pueden ser dinmicas.

    6.- Verificacin del modelo: este software permite hacer un chequeo previo del

    modelo antes de pasar a resolver los sistemas de ecuaciones (cuyo resultado dara

    el comportamiento del sistema) para verificar que el modelo es congruente y no

    tiene errores que invaliden el anlisis.

    7.- Resolucin del sistema de ecuaciones y presentacin de resultados: despus

    de esperar el tiempo necesario para que el ordenador resuelva el sistema de

    ecuaciones, el programa ofrece una gran cantidad de informacin acerca del

    sistema: tensiones (equivalente Von Mises, equivalente Tresca, principales,...),

    deformaciones (principales, segn direcciones,...), coeficientes de seguridad, entre

    otros.

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    40

    Figura 2-14: resultados de un rodamiento analizado por MEF.

    En la figura 2-14 se muestra uno de los resultados del anlisis de un rodamiento

    por medio del programa de elementos finitos, ahora se mostrar los diferentes anlisis

    desarrollados con este modelo y las correspondientes modificaciones realizadas para su

    optimizacin.

    2.3.1.1 Anlisis esttico en 3D: El objetivo es determinar cules son las mximas

    tensiones y desplazamientos, que se producen en un rodamiento al aplicarle cargas

    constantes y con restricciones que lo mantienen en equilibrio. Estos resultados

    mostraran el mximo desplazamiento que presenta la deformacin de un rodamiento

    bajo carga.

    Condiciones aplicadas:

    - Tipo de contacto entre elementos Pegado. El hardware utilizado no dispone de

    suficiente capacidad para generar una solucin, al incluir nodos de contacto con

    superficie en sistema 3D.

    - Tipo de simulacin anlisis en tensin esttica con modelo de materiales

    lineales.

    - Tamao de la malla - Malla al 150 %, mallado ptimo para superficies menores

    en alguno de sus lados menores de 1 mm.- Tipo de elementos para el mallado - Bricks y tetraedros.

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    Captulo II Metodologas desarrolladas para obtener el modelo de estudio

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    - Restricciones Se impide la rotacin y desplazamiento del anillo exterior en

    todas las direcciones.

    - Cargas: similar a las del modelo experimental.

    Carga radial: se considera una carga superficial de 0,25 N/mm2 aplicada

    sobre la cara superior del medio eje.

    Carga axial: se va a considerar una carga axial de 0,25 N/mm2 que estar

    distribuida en la superficie lateral externa del aro interno.

    Las propiedades de los materiales se describirn en la tabla 2-1.

    Tabla 2-1: Propiedades de los materiales para el rodamiento.Propiedades Densidad

    (NS2/mm/mm3)Mod. elstico

    (N/mm2)

    Coef de

    Poison

    Md elstico cortante

    (N/mm2)

    Pistas, bolas 7,81x 10-9 210000 0.3 80000

    Jaula 1,22x 10-9 2000 0.38 0

    En el anlisis de los resultados en un primer paso se va a simular el rodamiento

    con una de las bolas sobre la lnea de fuerza (el rodamiento contiene 13 bolas) y se van

    girando la posicin de las mismas con respecto a esta posicin de grado en grado. Se

    obtiene 15 posiciones distintas, variando desde cero grados hasta trece con ochenta y

    cuatro grados (tabla 2-2). Posteriormente, se ver como los resultados van a ser muy

    parecidos para las distintas posiciones que se simulan.

    Tabla 2-2: Resultados por cada ubicacin de la bola con respecto al ngulo (barrido)ANGULO TENSION (N/mm2) DESPLAZAMIENTO (mm)

    0 0,5493 1,634x10-3

    1 0,883 9,746x10-4

    2 0,4173 8,233x10-4

    3 0,6549 1,951x10-3

    4 0,4867 1,642x10-3

    5 0,4895 0

    6 0,485 9,027x10-4

    7 0,4416 0

    8 0,525 7,797x10-4

    9 0,549 2,069x10-3

    10 0,6362 8,706x10-4

    11 0,326 1,009x10-3

    12 0,4874 1,312x10-3

    13 0,5559 8,135x10-4

    13,84 0,7521 1,472x10-3

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    Una vez obtenido los resultados, algunas de las conclusiones obtenidas de los mismos

    son:

    - Existe un gran error en estas simulaciones. Al implementar elementos pegados, se

    comprueba que las mximas tensiones se producen en los contactos de las bolas con

    las pistas, fuera de la zona de carga del rodamiento, porque al ejercer presin radial

    sobre un sector del sistema, la deformacin ejercida por la presin a algunas piezas

    hace que los nodos que se encuentran fuera de su influencia estiren, generando

    mayor tensin y por consiguiente datos errneos dentro de la zona de carga, como se

    puede observar en la figura2-15.

    -

    Figura 2-15: Resultados de las mximas tensiones bajo anlisis esttico.

    Segn referencias, las tensiones deben localizarse dentro de la zona de carga del

    rodamiento, en la figura 2-15 muestra tensiones fuera de esta zona, esto difiere con

    criterios de la mecnica. Para intentar solventar esto, se procede a realizar una

    modificacin en el tipo de ensayo, estas modificaciones no pueden llevar contacto

    libre, porque al generar este tipo de contacto entre las piezas del rodamiento se

    crearan demasiados elementos para el clculo. Se proponen algunas modificaciones

    optimizando el modelo para buscar resultados aproximados, estos son algunos de

    ellos:

    Carga Radial

    MaximasTensin

    Zona de Carga

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    a) No colocar bolas fuera del sector de mximas tensiones de la zona de carga.

    b) Colocar solo tres y cuatro bolas en la zona de mximos valores dentro de la zona

    de carga (figura 2-17).

    c) Desarrollar un barrido colocando el centro del conjunto de las bolas en

    diferentes ngulos. Se proponen 0, 7 y 13 sobre la lnea de fuerza.

    Figura 2-16: Sector de mximas tensiones dentro de la zona de carga.

    La figura 2-16 muestra el sector en donde el contacto genera mximos valores

    dentro de la zona de carga del rodamiento, un sector de aproximadamente 90 con suvrtice en el punto de aplicacin de la carga, en el centro del eje.

    Adems se eliminar la jaula para reducir el nmero de ecuaciones a resolver y

    optimizar la simulacin. Estas simulaciones se van a realizar para tres posiciones

    distintas (generando un pequeo barrido) en 0, 7 y 13,84.

    Las caractersticas y condiciones se mantienen para estas simulaciones, aunque

    solo ser aplicada la carga radial sobre el eje de 0,25 N/mm2.

    Se procede a ver los resultados obtenidos de las simulaciones para las 3 posiciones:

    Posicin 0 Grados

    Para esta fase se coloca solo tres bolas, siendo el centro del conjunto, el centro

    de la bola del medio que se encuentra justo sobre la lnea de fuerza, generando un

    ngulo de 0. En las figura 2-17 se aprecia la distribucin de las tensiones que se

    produce.

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    Figura 2-17: resultados de la simulacin para tres bolas a 0.

    En la figura 2-17 se observa las mximas tensiones que se producen en la zona

    de contacto de las bolas con las pistas y en especial sobre la bola que se encuentra en el

    centro. Este resultado se observa mejor ocultando el anillo interior, apreciando la

    distribucin de las tensiones sobre las bolas (figura 2-18)

    Figura 2-18. Resultados de la distribucin de tensiones sobra las bolas

    Carga Radial

    ngulo0

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    En la figura 2-18 se puede apreciar la tensin ejercida por el anillo interno y

    cmo las mximas tensin se producen sobre la bola central. Ahora se desea observar el

    contacto con la pista externa, ocultando tambin las bolas para ver cmo es la

    distribucin de las tensiones sobre la pista de rodadura del anillo exterior (figura 2-19).

    Figura 2-19: Tensiones en la pista externa para tres bolas a 0

    Para esta simulacin la mxima tensin la tiene la bola, esto se puede observa

    relacionando la figura 2-18 y 2-19, es por esto que se ocultan los anillos dejando solo

    los resultados en las bolas (figura 2-20)

    Figura 2-20: Resultados de las tres bolas a 0.

    Bola 1

    Bola 2

    Bola 3

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    Con los resultados de la simulacin a 0 se obtiene la tabla 2-3 para la figura 2-20:

    Tabla 2-3: Tensiones obtenidas mediante simulacin en las bolas para la posicin de 0Rodamiento

    0

    Pista externa

    (N/mm2

    )

    Pista interna

    (N/mm2

    )1 Bola 36 13,35

    2 Bola 64,56 38,60

    3 Bola 24,4 13

    Como se aprecia en la tabla 2-3, la bola 2 tiene el elemento de mayor tensin,

    resultado razonable, mientras que como se puede apreciar la tensin sobre las dos bolas

    extremas, es inferior debido a la distribucin de la curva de carga.

    Posicin 7 Grados

    Para esta simulacin el centro de las tres bolas estar a 7 con respecto de la

    lnea de carga. Esta simulacin se realiza tambin para 3 bolas, para poder comparar los

    resultados con la simulacin a 0 (ver figura 2-21).

    Figura 2-21: Posicin del centro del sistema a 7 con respecto lnea de carga.

    En la figura 2-21 se observa los resultados para este ngulo, como primera

    descripcin se observa disminucin en la magnitud de la mxima tensin, ocultando el

    anillo interior se aprecia cmo se distribuyen las tensiones sobre las bolas. Figura 2-22.

    ngulo7

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    Figura 2-22: Simulacin a 7, ocultando anillo interior.

    En la figura 2-22 se puede apreciar cmo las mximas tensiones se producen

    sobre la bola central, pero la mxima tensin generada en el contacto para esta

    simulacin, se encuentra sobre la superficie de la pista externa. Figura 2-23.

    Figura 2-23: Mxima tensin sobre la pista externa a 7.

    A continuacin, y siguiendo el tratamiento de la simulacin pasada se mostrara

    los resultados en las bolas.

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    Los resultados numricos que se obtienen son:

    Tabla 2-4: Tensiones obtenidas mediante simulacin en las bolas para la posicin de 7

    Rodamiento 7 Pista externa(N/mm2)

    Pista interna(N/mm2)

    1 bola 10,55 16.05

    2 bola 34,2 26,8

    3 bola 24,4 0

    Por otra parte, prosiguiendo con el barrido, se analizar la simulacin a 13.84,

    que es la mitad del ngulo de la separacin angular de las 13 bolas (360/13).

    Posicin 13,84 Grados

    La diferencia angular es mayor para est simulacin, por eso se llevar acabo

    con 4 bolas para una mejor distribucin de la carga sobre las bolas, como se podr ver

    en la figura 2-19.

    Figura 2-24: Simulacin para 4 bolas a 13.84

    La lnea de carga se encuentra justo en la mitad de la diferencia angular existente

    entre las bolas (27,69) por tal razn, las tensiones mostradas en la figura 2-24 son

    menores que en las anteriores simulaciones; esto sucede no por el nmero de bolas, sino

    ngulo13.84

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    por la ubicacin de la bolas con respecto a la lnea de carga. En la siguiente figura, se

    describir mejor al ocultar el anillo interno.

    Figura 2-25: Resultados de la simulacin en 13.84 con el aro interno oculto.

    Las mximas tensiones se distribuyen entre las dos bolas centrales como se

    espera que se realice el efecto de la carga (figura 2-25), pero no son totalmente

    simtricas. En la figura 2-26 se muestra cmo el mximo contacto se encuentra en lapista externa.

    Figura 2-26: simulacin de posicin 13,84 sin anillo interior y sin bolas

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    Con esta simulacin se puede tener una buena aproximacin de los datos de un

    rodamiento cuando est sometido a carga radial en condiciones estticas, pero los

    elementos siguen estando con tipo de contacto pegado, este contacto re