MÉTODO MEAN SHIFT PARA DETECÇÃO DE OUTLIERS EMMODELOS NORMAIS ASSIMÉTRICOS

Thalita do Bem Mattos

Clécio da Silva Ferreira

Relatório Técnico – RTP-01/2013

Relatório TécnicoSérie Pesquisa

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORAINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

ii

THALITA DO BEM MATTOS

CLÉCIO DA SILVA FERREIRA

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

MÉTODO MEAN SHIFT PARA DETECÇÃO DE OUTLIERS EM MODELOS

NORMAIS ASSIMÉTRICOS

Relatório Técnico de Pesquisa apresentado para o Departamento de Estatística da Universidade Federal de Juiz de Fora, sob orientação do Prof. Clécio da Silva Ferreira.

JUIZ DE FORA

iii

RESUMO

O presente trabalho apresenta um estudo sobre o método de detecção

de pontos candidatos a outliers em modelos de regressão normais

assimétricos, baseado na metodologia proposta por Cook & Weisberg (1982).

Modelos assimétricos têm sido amplamente estudados nos últimos anos, nas

situações onde a suposição de normalidade não é satisfeita devido a falta de

simetria dos dados. Técnicas para avaliação da qualidade de ajuste e análise

de diagnósticos são importantes para a validação do modelo proposto. Para o

modelo, um algoritmo EM é desenvolvido de forma a fornecer uma solução

analítica para os parâmetros do modelo de regressão. Estudos de simulação

foram realizados em um modelo de regressão linear simples, mostrando a

eficiência do método em detectar pontos candidatos a outliers.

iv

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................... v

LISTA DE TABELAS .............................................................................................. vi

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

2 METODOLOGIA ..................................................................................................

2.1 Distribuição Normal Assimétrica Padrão ...........................................................

2.2 Distribuição Normal Assimétrica de Locação – Escala ......................................

2.3 Modelo de Regressão Normal Assimétrico ........................................................

2.4 Detecção de Outliers em Modelos de Regressão .............................................

2.4.1 Algoritmo EM para a estimação de .............................

2.4.2 Testes Assintóticos ..................................................................................

3

3

5

6

8

8

11

3 RESULTADOS .....................................................................................................

3.1 Estudos de Simulação 1 ....................................................................................

3.2 Estudos de Simulação 2 ....................................................................................

3.3 Aplicação a Dados Reais ...................................................................................

13

13

17 18

4 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 20

APÊNDICE .............................................................................................................. 21

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 33

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Funções de densidade da normal assimétrica para diferentes valores

de λ ............................................................................................................................

4

Figura 2. Histograma dos dados simulados ............................................................ 14

Figura 3. Técnicas de Diagnóstico .......................................................................... 15

Figura 4. Técnicas de Diagnóstico, observação perturbada .................................... 16

Figura 5. Qualidade do ajuste .................................................................................. 19

vi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Estatísticas descritivas para os dados simulados ..................................... 13

Tabela 2. Estimativas dos parâmetros do modelo NA ............................................. 13

Tabela 3. Estimativas de γ e testes assintóticos para as observações 92, 93 e 95 . 14

Tabela 4. Estimativas de γ e testes assintóticos, para diversas intensidades de

perturbações ..............................................................................................................

16

Tabela 5. EMVS do modelo normal assimétrico (NA) para o conjunto de dados

sobre qualidade de vida ............................................................................................

18

Tabela 6. Estimativas de e testes assintóticos para as observações 20,42 e 73 .. 19

1

1. INTRODUÇÃO

A distribuição normal é a distribuição teórica mais utilizada na prática,

pois é matematicamente conveniente trabalhar com ela, uma vez que suas

propriedades são bastante conhecidas. Entretanto, existem muitos fenômenos

que não podem ser descritos pela distribuição normal e nem por distribuições

simétricas, por exemplo, quando há falta de simetria dos dados. Desta forma

propõe-se como alternativa a utilização de uma distribuição, de forma que se

consiga modelar a assimetria dos dados e, além disso, incluir a distribuição

normal como um caso particular. Esta família de distribuições é denominada

normal assimétrica.

A distribuição normal assimétrica foi formalmente introduzida por Azzalini

(1985), que estudou suas propriedades e mostrou que a distribuição tem

problemas na estimação do parâmetro que controla a assimetria, pelos

métodos de estimação usuais (método dos momentos e de máxima

verossimilhança).

Posteriormente, Azzalini e Dalla Vale (1996) trabalham com o caso

multivariado, com ênfase para o caso bivariado e apresentam a construção da

densidade via condicionamento e via transformação de variáveis. Azzalini e

Capitanio (1999) enfatizaram aplicações estatísticas da versão multivariada.

Modelos assimétricos têm sido amplamente estudados nos últimos anos.

Azzalini (2005) apresentou uma discussão em distribuições normais

assimétricas com aplicações em modelos de regressão. Bauwens e Laurent

(2004) consideram um estudo em modelos GARCH. Vilca-Labra e Leiva-

Sánchez (2006) consideram uma extensão da distribuição de Birnbaum-

Saunders sob estruturas assimétricas. No contexto de modelos lineares,

Lachos et al. (2007a) consideram uma aplicação de técnicas de diagnóstico em

modelos mistos lineares.

Desta forma, técnicas para a verificação da qualidade de ajuste em

modelos assimétricos auxiliam a validar um modelo proposto. Análises de

resíduos, de diagnóstico e técnicas gráficas são as metodologias mais

utilizadas, fornecendo evidências sobre possíveis violações das suposições do

modelo. Para reforçar os métodos de análise de diagnóstico, Cook e Weisberg

2

(1982) propõe um método para detecção de outliers em modelos de regressão,

inserindo um parâmetro extra na i-ésima componente sistemática do modelo.

Não existem na literatura artigos sobre a utilização da técnica mean-shift

(Cook &Weisberg,1982) em modelos normais assimétricos, que é o objetivo

central deste trabalho. Para alcançar este objetivo, os estimadores de máxima

verossimilhança dos parâmetros dos modelos são alcançados. Para detectar

se alguma observação é um outlier, testes assintóticos como o teste da razão

de verossimilhança e o teste do escore são utilizados neste contexto. Técnicas

gráficas como o envelope simulado serão utilizadas para a inspeção visual dos

pontos ajustados pelo modelo normal assimétrico. As análises e estudos de

simulação serão feitos no software livre R (R Development Core Team, 2012).

3

2. METODOLOGIA

2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA PADRÃO

Inicialmente estudaremos o caso uniparamétrico, a qual denominaremos

distribuição normal assimétrica padrão. Esta distribuição depende apenas de

um parâmetro, o qual caracteriza a assimetria da sua função de densidade.

Definição 1: Uma variável aleatória Z tem distribuição normal assimétrica

padrão se sua função de densidade de probabilidade é dada por

(1)

onde e são as funções de densidade de probabilidade e de

distribuição de uma normal padrão, respectivamente.

O parâmetro caracteriza a forma da distribuição e também é denominado

parâmetro de assimetria, pois valores negativos de indicam assimetria

negativa e valores positivos de assimetria positiva. Se a densidade

acima coincide com a densidade da distribuição normal padrão e portanto é

simétrica. Utilizaremos a seguinte notação . A Figura 1 ilustra o

comportamento desta densidade para alguns valores de .

Proposição 1: A função de distribuição associada à densidade (1) é denotada

por e dada por

| [

]

√

sendo | a função de distribuição de uma normal bivariada com média

zero e matriz de variância .

Através da Proposição 1 vemos que a função de distribuição da normal

assimétrica pode ser obtida facilmente se tivermos acesso a um programa que

calcule a distribuição acumulada de uma normal bivariada.

4

Figura 1: Funções de densidade da normal assimétrica para diferentes valores de λ

A densidade em (1) possui algumas propriedades interessantes que serão

listadas neste trabalho, cujas provas podem ser obtidas em Azzalini (1985) e

Azzalini (2004).

Denotamos por a distribuição normal truncada à esquerda de zero

(Johnson et al., 1994), com parâmetro de locação e de escala , com

densidade dada por [ ] , onde [ ] denota a função indicadora.

Propriedades

1. Se , então | |

2. Quando , a densidade (1) converge a uma

3. Se , então

4. A densidade (1) é log-côncava

5.

6. { }

5

7. | | | |

8. Se então

9. (Representação estocástica de Henze, 1986) Se ,

independentes, então

√ | |

√ .

Esta última propriedade é útil para gerar amostras da distribuição normal

assimétrica a partir da normal padrão. Será de grande utilidade também, para a

implementação da inferência estatística.

A seguir, apresentaremos a função geradora de momentos (f.g.m) da

distribuição normal assimétrica, apresentada em Azzalini (1985).

Proposição 2: A função geradora de momentos da normal assimétrica é dada

por

(

)

√

A partir da Proposição 2, obtemos os momentos da normal assimétrica (ver

Ferreira, 2008). Seja Z uma variável aleatória com distribuição , temos

que a média e a variância são dadas por

√

√

2.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA DE LOCAÇÃO-ESCALA

O modelo (1) é estendido introduzindo parâmetros de locação ( e

escala ( . Neste caso, utilizaremos a notação .

Definição 2: Uma variável aleatória Y tem distribuição normal assimétrica com

parâmetros de locação e de escala se sua função de densidade de

probabilidade é da forma:

(

) (

) (2)

6

Note que se e , então Ou seja,

qualquer combinação linear de uma variável aleatória normal assimétrica

padrão também terá distribuição normal assimétrica.

Proposição 3: A função de distribuição de (2), é denotada por e

dada por

(

| ) [

]

√

sendo | a função de distribuição de uma normal bivariada com média

zero e matriz de variância .

Proposição 4: A função geradora de momentos da normal assimétrica é dada

por

(

)

√

E sua forma quadrática

(3)

A media e a variância de uma variável aleatória , são

expressas por,

√

√ (

)

Proposição 5: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que

e Então

2.3. MODELO DE REGRESSÃO NORMAL ASSIMÉTRICO

Suponha que tenhamos observações de uma variável resposta Y.

Associado à j-ésima observação, tenhamos também um conjunto de p variáveis

explicativas (conhecidas). Formulamos assim o modelo linear

7

(4)

em que é o vetor de observações das variáveis explicativas

, são os erros independentes, cada supostamente

seguindo uma distribuição

Note que √

√ Isto pode ser contornado

subtraindo o vício do intercepto .

O interesse é fazer inferência sobre o vetor de parâmetros .

O logaritmo da função verossimilhança para o modelo (4), denotado por

, pode ser escrito como

∑ [ | (

)]

∑ [ ∫ | |

]

Note que não existem soluções explícitas para o problema de maximização

da função de verossimilhança acima. Esta pode ser maximizada

numericamente usando programas como, por exemplo, Matlab, R e S-plus.

Estes programas contêm rotinas prontas para tratar problemas de maximização

(ou minimização) de qualquer função. No entanto, a menos que valores iniciais

adequados sejam dados, não há garantia de se obter um máximo global, sendo

necessária a implementação de métodos mais confiáveis como, por exemplo, o

algoritmo EM.

Os passos necessários para a implementação do algoritmo EM para

encontrar os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros

do modelo definido em (4) encontra-se em Ferreira (2008).

8

2.4. DETECÇÃO DE OUTLIERS EM MODELOS DE REGRESSÃO

Para detectar se a i-ésima observação é influente, Cook & Weisberg

(1982) sugerem o modelo de diagnóstico inserindo um parâmetro extra na

componente sistemática

(5)

sendo um parâmetro extra que, se diferente de 0, indica que a i-ésima

observação é um candidato a outlier. Este método de detecção de outlier

recebe o nome de “Mean-Shift Outlier Model”.

Considerando o seguinte teste de hipóteses

. (6)

Então, se a hipótese nula é rejeitada, a i-ésima observação é um possível

outlier. Podemos utilizar as estatísticas da razão de Verossimilhança, Escore

ou Wald para realizar o teste.

A função de log-verossimilhança associada ao modelo (5) é dada por

, (7)

onde

( (

)) ( (

)) e

∑ ( (

))

∑ ( (

))

.

2.4.1. ALGORITMO EM PARA A ESTIMAÇÃO DE

Seja o conjunto de dados observados e denotando o conjunto de dados

faltantes. O dado completo é aumentado com . Denota-se por

9

| , , a função log-verossimilhança dos dados completos e por

| [ | | ], o valor esperado desta função. Cada iteração do

algoritmo EM envolve dois passos, um passo E (esperança) e um passo M

(maximização), definidos como:

Passo E: Calcule | como uma função de ;

Passo M: Encontre que maximiza | .

Utilizando a representação estocástica de Henze (1986), o modelo de

regressão (5) acima pode ser escrito como:

| (

√

) ,

| (

√

),

A distribuição conjunta de e é dada por

( ) ( | ) ( | (

) ) ( )

( | ) ( | (

) ) (8)

Seja o conjunto de dados observados, e tratando

como dado faltante, segue que a função de log-verossimilhança

completa associada com é dada por

| ∑ ( )

{ [ (

) ]

[ (

) ( ) ]}

onde

é um vetor de 1’s de tamanho , é a

matriz de regressoras, de dimensão e o termo indica o vetor z sem a i-

ésima observação.

10

De (8), tem-se que

| ( ( ) ) e

| ( ( ) ).

Seja [ | ] e [ | ] Então,

usando os momentos da distribuição normal truncada (Lachos, 2004), tem-se

que

(

) e

(

) , (9)

com

, (

) ( )

Considere ( )

a estimativa de na -ésima

iteração. Segue que a esperança com respeito a , condicionada em , da

função log-verossimilhança completa (Passo E), tem a forma

| [ | | ]

{( ) [ ( )

( )

( ) ]

[

( )

( )

]}

Portanto, tem-se o seguinte algoritmo EM:

Passo E: Dado calcule

e

, para , como em (9).

Passo M: Atualize maximizando | sob , o que leva às

seguintes soluções analíticas:

{( ) [ ( ) (

) ]

( )

}

( )

11

( )

(10)

onde ( ) ( ) ( ) e

( ) ( ) ( ) .

Claramente, se , as equações do Passo M se reduzem às equações

obtidas em Ferreira (2008) para o modelo normal assimétrico. Note que,

quando e , e

são os

EMV de e , respectivamente, do modelo normal simétrico.

São usados como valores iniciais para no algoritmo os estimadores de

momentos (Rodríguez, 2005).

2.4.2. TESTES ASSINTÓTICOS

No teste de Escore, a estatística de teste é dada por

|

,

onde é o mesmo estimador de máxima verossimilhança

(EMV) de um modelo de regressão normal assimétrico (o EMV obtido via

algoritmo EM em Ferreira (2008)),

(

)

(

( )) (11)

com

A estatística de teste da Razão de Verossimilhanças é definida como

{ ( ) ( )},

definida em (7) e como obtido em (10).

12

Por último, a estatística de teste de Wald é dada por

| ,

dada em (11).

Sob H0 e para grandes amostras, tem-se que , e .

13

3. RESULTADOS

Nesta seção realizamos estudos de simulação para verificar a validade do

algoritmo EM e do método proposto na seção 2.4.

3.1 ESTUDO DE SIMULAÇÃO 1

No primeiro estudo de simulação foram gerados dados de acordo com o

seguinte modelo linear normal assimétrico:

, onde , (12)

sendo os valores da covariável gerados de uma distribuição

uniforme no intervalo [0,1]. Os valores fixados dos parâmetros foram

.

Na Tabela 1 apresentamos as estatísticas descritivas para os dados

simulados, como em (12). Notamos que a média é maior que a mediana

confirmando a assimetria positiva dos dados ( .

Tabela 1: Estatísticas descritivas para os dados simulados

Mínimo 2.754

1º Quantil 4.658

Mediana 5.749

Média 5.874

3º Quantil 7.109

Máximo 9.413

A Tabela 2 apresenta os valores escolhidos e estimados dos parâmetros do

modelo, através do algoritmo EM.

Tabela 2: Estimativas dos parâmetros do modelo NA, (12)

Valores Verdadeiros 3 4 2 3 -

Estimativas 2.673 4.606 2.443 3.819 -135.578

14

(a) (b)

Figura 2: (a) Histograma dos dados simulados e (b) Histograma do resíduo do modelo

Fazendo o teste de detecção de outliers proposto aos maiores resíduos

padronizados (Figura 3(b)), percebemos pela Tabela 3, que os pontos 92 e 93

são apontados como candidatos a outliers. Por outro lado, que o gráfico de

envelope simulado não acusa pontos além da banda de confiança (Figura

3(a)). Como o gráfico de envelope simulado é um método artificial de qualidade

de ajuste, notamos que o método proposto neste trabalho é mais confiável para

o estudo de pontos aberrantes. Pode-se afirmar, portanto, que a metodologia

de detecção de outliers proposta neste trabalho é robusta na identificação de

pontos candidatos a outliers.

Tabela 3: Estimativas de e testes assintóticos para algumas observações.

(p-valor) (p-valor) (p-valor)

12 2.3547 3.6789 (0.0551) 3.4760 (0.0623) 2.3566 (0.1248)

16 -0.9665 1.9910 (0.1582) 2.6006 (0.1068) 4.9842 (0.0256)

58 -0.8815 6.2517 (0.0124) 11.3069 (0.0008) 225.6763 (0)

68 -0.9894 2.2634 (0.1325) 2.8455 (0.0916) 5.2507 (0.0219)

92 3.7424 8.0595 (0.0045) 8.2385 (0.0041) 6.5656 (0.0104)

93 3.1548 6.0264 (0.0141) 5.9577 (0.0147) 4.4474 (0.0350)

95 2.6156 4.4170 (0.0356) 4.2331 (0.0396) 2.9602 (0.0853)

y

De

nsid

ad

e

2 4 6 8 10

0.0

00

.10

0.2

00

.30

Resíduo

Fre

qu

ên

cia

-1 0 1 2 3 4 5

05

10

15

20

25

15

(a) (b) Figura 3: Técnicas de Diagnóstico: (a) Gráficos de envelope simulado (bandas de 95% de confiança) para o modelo simulado em (11). (b) Forma quadrática dos resíduos vs ordem

das observações.

Para avaliar a capacidade do método proposto em diagnosticar outliers em

modelos de regressão, faremos um estudo de perturbação gradual de pontos,

de forma a alterar sua posição na massa dos dados. Escolhemos um ponto

dentro da massa de dados e perturbamos seu valor , em 50%, 40%, 30%,

20%, 10%, -10%, -20% e -30% do seu valor (Figura 4(a)). A Tabela 4

apresenta as estimativas do parâmetro e as estatísticas dos testes

assintóticos Razão de Verossimilhança, Wald e Escore, junto com seus

respectivos p-valores, para cada perturbação.

Na Figura 4(a) as linhas vermelhas indicam os quantis teóricos da

distribuição normal assimétrica. Notamos que os pontos 58, 92 e 93 estão

situados fora deste intervalo de quantis e com isso eles foram detectados como

candidatos a outliers, conforme a Tabela 3. Já os pontos 12, 16, 68 e 95 estão

situados na fronteira do intervalo de quantis e não são detectados como

candidatos a outliers.

16

(a) (b) (c)

Figura 4: Técnicas de Diagnóstico, observação perturbada: (a) Gráfico de dispersão

. A seta indica a perturbação para baixo e para cima em . Gráficos de envelope simulado (bandas de 95% de confiança) para o modelo simulado em (11), com as perturbações de 50% (b) e -30% (c).

Percebe-se pela Tabela 4 que, quanto maior a perturbação, maiores são os

valores absolutos de e menores são seus respectivos p-valores, confirmando

a capacidade da metodologia em captar pontos fora da massa dos dados e que

influenciam no ajuste do modelo. A discrepância na porcentagem de

perturbação nos sentidos se deve à assimetria dos modelos, |

, logo pontos extremos na cauda leve da distribuição são mais

suscetíveis a serem candidatos a outliers. Ainda os gráficos de envelopes não

foram capazes de detectar a presença dos pontos influentes, detectados pelo

método mean-shift, como pode ser visto na Figura4 (b e c).

Tabela 4: Estimativas de e testes assintóticos, para diversas intensidades de

perturbações.

Porcentagem (p-valor) (p-valor) (p-valor)

50% 3.1872 5.6350(0.01761) 5.5526(0.01845) 4.1278(0.04218)

40% 2.6282 4.2027(0.04036) 2.4024(0.04486) 2.8068(0.09386)

30% 2.0692 2.9432(0.08624) 2.7076(0.09987) 1.7398(0.18716)

20% 1.5102 1.8824(0.17006) 1.6175(0.20344) 0.9268(0.33570)

10% 0.9512 1.0301(0.31013) 0.7663(0.38137) 0.3704(0.54281)

0% 0.3922 0.2326 (0.62960) 0.1740 (0.67656) 0.0944 (0.75869)

-10% -0.1668 0.0540 (0.81619) 0.0468 (0.82866) 0.0638 (0.80060)

-20% -0.7258 1.0305 (0.31004) 1.3275 (0.24924) 2.4258 (0.11935)

-30% -1.2848 4.0302 (0.04469) 5.0698 (0.02435) 9.5099 (0.00204)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

24

68

10

Variável Explicativa X

Y

12

16

58

9293

95

68

17

3.2 ESTUDO DE SIMULAÇÃO 2

Em um segundo momento foram gerados dados de acordo com o seguinte

modelo linear normal assimétrico:

, onde , sendo os valores da covariável gerados de uma distribuição

uniforme no intervalo [0,1]. Os parâmetros de locação foram mantidos fixos e

iguais a , enquanto os parâmetros de escala e de assimetria

tiveram os seguintes pareamentos: assumindo valores 0,5; 1; 2 e

assumindo valores 1;3;5;7.

Deste modo, foram gerados 12 conjuntos de dados com ,

. E para cada conjunto foi aplicado o método proposto na seção

2.4. As tabelas referentes aos resultados de simulação estão no Apêndice.

Baseados nos estudos destas simulações, concluímos que:

a) Mantendo o parâmetro de escala fixo e variando o parâmetro de assimetria:

a.1) Aumentando , aumenta o número de pontos candidatos a outliers na

cauda pesada e diminui na cauda leve;

a.2) O intervalo entre os quantis superiores e inferiores diminui conforme

aumenta ;

a.3) O valor de aumenta na cauda pesada e diminui na cauda leve;

b) Mantendo o parâmetro de assimetria fixo e variando o parâmetro de escala:

b.1) O intervalo entre os quantis superiores e inferiores aumenta conforme

aumenta a variabilidade.

b.2) O valor de aumenta conforme aumenta a variabilidade.

18

Em cada simulação, verificamos que os possíveis candidatos a outliers se

encontravam fora do intervalo entre os quantis superiores e inferiores,

conforme o esperado.

Nos estudos de simulação, foram estudados valores de positivos. Para

assimetria negativa, as conclusões seriam as mesmas acima, porém em

direção contrária, à exceção de a.2).

3.3 APLICAÇÃO A DADOS REAIS

Para ilustrar a aplicação do método de detecção de outliers em modelos

de regressão normal assimétrico, foi ajustado um modelo a um conjunto de

dados sobre a qualidade de vida de pacientes (mulheres) com câncer de

mama, em um estudo realizado pelo Centro de Atenção Integral à Saúde da

Mulher (CAISM) em conjunto com a Faculdade de Ciências Médicas da

Universidade Estadual de Campinas. Ferreira (2008) estudou o banco de

dados com a aplicação do modelo de regressão normal assimétrico e a realizou

uma análise de diagnóstico.

O modelo de regressão foi construído utilizando como variável

dependente o índice de qualidade de vida (pcs) e como variáveis regressoras a

variável indicadora tontura e o índice de massa corpórea do indivíduo, levando

ao modelo

, . (13)

Ajustando o modelo, os parâmetros estimados estão descritos na Tabela

5.

Tabela 5: EMVS do modelo normal assimétrico (NA) para o conjunto de dados sobre qualidade de vida.

Modelo

NA 68,573 -7,623 -0,351 169,409 -2,377 -346.20

A Figura 5 apresenta o envelope simulado (a) e as formas quadráticas

dos resíduos ajustados (b), como em (3). Pela Figura 5(b) percebemos que os

pontos 20, 42 e 73 são possíveis candidatos a outlier, pelo fato de ter um

19

resíduo padronizado bastante alto. Fazendo o teste de detecção de outliers

proposto para estes pontos percebemos pela Tabela 6, que os pontos 20, 42 e

73 são apontados como candidatos a outliers, sendo que o gráfico de envelope

não detectou pontos fora da banda de confiança.

(a) (b)

Figura 5: Qualidade do ajuste. (a) Gráfico de envelope simulado (bandas de 95% de

confiança) para o modelo simulado em (13). (b) Forma quadrática dos resíduos vs ordem

das observações.

Tabela 6: Estimativas de e testes assintóticos para as observações 20,42 e 73.

(p-valor) (p-valor) (p-valor)

20 -21.7479 4.5079(0.0337) 4.1979(0.0405) 2.8964(0.0888)

42 -27.0443 6.8342(0.0089) 6.7009(0.0096) 5.0434(0.0247)

73 -26.9983 6.7465(0.0094) 6.7123(0.0096) 5.1691(0.0230)

20

4. CONCLUSÕES

Neste trabalho estudamos a metodologia mean-shift para detecção de

outliers em modelos de regressão normais assimétricos. Os estimadores de

máxima verossimilhança para os parâmetros do modelo foram obtidos via

Algoritmo EM, sendo de forma analítica na parte M. As estatísticas dos testes

assintóticos de Wald, Escore e Razão de Verossimilhança foram obtidas,

sendo as três utilizadas na verificação dos possíveis pontos candidatos a

outliers. Os estudos de simulação revelaram padrões nas combinações dos

parâmetros de assimetria e de escala. Ainda, a metodologia foi utilizada no

ajuste de um conjunto de dados reais, revelando pontos mal ajustados não

detectados pelo envelope simulado. Por fim, o método proposto demonstrou

sua utilidade como uma ferramenta complementar no ajuste de modelos de

regressão para dados assimétricos, principalmente quando técnicas gráficas

(envelope simulado) falham na detecção de pontos mal ajustados.

21

APÊNDICE

Tabelas resultantes do estudo de simulação 2:

1.

Me

an-Sh

ift

Can

did

atos a o

utlie

rs p

hi

RV

p-valo

rEsco

re

p-valo

rW

aldp

-valor

Valo

r de

Yi

qin

fq

sup

Acu

mu

lada

1335

2,10140531711,54487685

0,00067936212,27748665

0,0004584559,253091709

0,0023509826,459759442

3,2723458885,564234608

0,999544205

2450

1,9819692610,3378621

0,00130328911,10324874

0,0008617668,181357008

0,0042323095,377931515

2,3470277354,638916455

0,998977195

3793

1,7057161047,801427492

0,0052204988,594349027

0,0033720775,99816344

0,0143207796,119624344

3,3292146065,621103327

0,996762577

4943

1,6591255967,408545535

0,0064914788,197190906

0,004195535,671507909

0,0172426286,061449709

3,3183544165,610243136

0,995990325

5786

1,6551068977,373537522

0,006619068,160363264

0,0042815795,643425621

0,0175209416,237504255

3,4920867345,783975454

0,996031818

6752

1,5583545356,593855793

0,010233137,364191137

0,0066535525,00530504

0,025269755,282609495

2,6657883954,957677115

0,993046941

7532

1,5386468456,43051929

0,0112175787,184319302

0,0073543454,883088683

0,0271210474,127178773

1,5748254493,866714169

0,990895757

8172

1,5230387876,317017619

0,0119584597,075232377

0,0078156694,784454942

0,0287177354,858792774

2,2923413314,584230051

0,991411237

9863

1,4967197926,107535539

0,0134606696,850679117

0,0088607594,620087085

0,0315996346,615137569

4,0105578766,302446596

0,992677416

10299

1,4501658815,76635896

0,0163358476,498159993

0,0107986194,347093234

0,0370721694,825890406

2,3311416794,623030399

0,988492007

11166

1,4053731445,440159734

0,019678876,152628859

0,0131216914,091165517

0,0431079064,998269665

2,5402208154,832109535

0,986682405

12124

1,4066272835,438038743

0,0197027816,140207574

0,013214184,095361726

0,0430010286,751525736

4,2298220846,521710804

0,989679048

13889

1,3956106285,367498259

0,0205153826,07314855

0,0137252094,035207928

0,0445601845,988892095

3,5040115285,795900249

0,988028145

14725

1,3954678575,357086782

0,0206382226,052743769

0,0138847054,033120727

0,044615346,802689229

4,2901149436,582003664

0,989289767

15567

1,3844645745,282800079

0,0215370855,977232288

0,0144917273,972901249

0,0462380416,501636195

4,0098231886,301711909

0,9883557

16582

1,3796700385,254951958

0,0218844055,953312354

0,0146896593,947672852

0,0469362345,830211108

3,3664104185,658299138

0,986981607

17227

1,3739181485,214575975

0,0223983085,910169642

0,0150537223,916391757

0,0478174075,769784787

3,3137177295,605606449

0,986577922

18843

1,3578636335,099497197

0,023932785,782302195

0,0161883243,831831788

0,0502879464,293443922

1,9086223784,200511098

0,982310425

Me

an-Sh

ift

Can

did

atos a o

utlie

rs p

hi

RV

p-valo

rEsco

re

p-valo

rW

aldp

-valor

Valo

r de

Yi

qin

fq

sup

Acu

mu

lada

1745

-1,62739862510,28857918

0,0013385619,624602369

0,0019198812,19004148

0,0004804533,333917466

3,8596813116,151570031

0,001634133

2986

-1,3935740837,370414913

0,0066305636,910073523

0,0085711478,643998935

0,0032814043,819958245

4,0992644056,391153125

0,006588722

3868

-1,3424385426,809566186

0,0090670796,390228332

0,0114750277,964137509

0,0047713223,77429489

4,0062763086,298165028

0,008410337

4403

-1,3367530626,754126672

0,0093531116,338612405

0,0118137267,901148349

0,0049403421,432137854

1,7462596014,038148321

0,005479256

5471

-1,2991890036,360929332

0,0116660425,979315597

0,0144746187,415486914

0,0064664813,421319463

3,6261322395,91802096

0,009642811

6100

-1,2743642666,112790254

0,0134207095,752793236

0,0164624617,111964601

0,0076571152,866047006

3,0686572975,360546017

0,009749255

7425

-1,2595381035,944763645

0,014761075,575466607

0,0182138116,938849979

0,0084343321,160041065

1,4078764883,699765209

0,007756434

8330

-1,2406566895,776268144

0,0162439955,438170114

0,0197012996,709527969

0,0095899112,547821102

2,7296987095,021587429

0,010802123

9980

-1,2383341935,734963251

0,0166304165,380027252

0,020368566,686721753

0,0097133661,182975053

1,4094928223,701381543

0,008646548

10137

-1,2315479445,669290944

0,0172644335,319427495

0,0210889396,607077752

0,0101574211,213418233

1,4323768083,724265528

0,008982858

11212

-1,2168562315,543437721

0,0185501085,219959586

0,022329076,431314806

0,0112125552,940553176

3,0846304185,376519139

0,012975384

1227

-1,2173243525,544131391

0,0185427575,215365327

0,0223881436,440073605

0,0111574021,881935388

2,0648973694,35678609

0,010744718

13576

-1,1537938924,942150045

0,0262094154,646699698

0,0311133115,726718821

0,0167086733,96740741

4,0097433816,301632102

0,020762633

14173

-1,1437767244,849984887

0,0276463744,558640237

0,0327530685,619212576

0,0177646294,083052987

4,1109582886,402847008

0,022133853

15500

-1,1363396374,798470669

0,0284850124,52247346

0,0334524355,544129974

0,0185427722,630902909

2,70863495,000523621

0,017697686

16627

-1,1314052014,743065827

0,0294166044,461272452

0,0346716615,488765188

0,0191390563,947127282

3,9687656066,260654326

0,022752451

17890

-1,1270361584,70301987

0,0301096684,422461553

0,0354688345,442755252

0,019649654,033189528

4,0470759656,338964686

0,023537476

18240

-1,1186048474,631687139

0,0313866854,357888435

0,036837945,355320242

0,020659143,909382932

3,9202556616,212144381

0,023848688

19318

-1,1035155754,510953399

0,0336784634,252525015

0,0391920185,203510596

0,0225413192,49998511

2,5507209994,842609719

0,019997726

20128

-1,0835488154,340260082

0,0372212374,092490145

0,0430741385,00063562

0,0253380123,15037921

3,1575135455,449402265

0,024239477

2160

-1,0752425414,259650392

0,0390279534,004947976

0,0453668974,921652007

0,0265221451,418640511

1,4794024533,771291174

0,019115826

2247

-1,0728048364,239312686

0,0394981543,98851068

0,045811544,892070371

0,0269803134,1074352

4,0661389776,358027697

0,029799802

23241

-1,06189924,158441827

0,0414274983,92076383

0,0476932064,786741982

0,0286796253,408536617

3,3847818275,676670548

0,027676003

24841

-1,0531788034,080447599

0,0433821653,839796071

0,0500496084,705722985

0,0300623551,58130308

1,6153076093,907196329

0,021545348

Teste

s Assin

tótico

sQ

uan

tis (2,5% / 97,5%

)

Teste

s Assin

tótico

sQ

uan

tis (2,5% / 97,5%

)

22

2.

Me

an-Sh

ift

Can

did

atos a o

utlie

rs p

hi

RV

p-valo

rEsco

re

p-valo

rW

aldp

-valor

Valo

r de

Yi

qin

fq

sup

Acu

mu

lada

1376

2,16302261712,17293673

0,00048487912,43668977

0,0004209819,527158057

0,0020245344,759545786

2,0167000383,808416433

0,999664883

2203

2,05683025711,12091933

0,00085359511,40937285

0,0007307458,59768753

0,0033659016,67368419

4,0825472355,87426363

0,999253684

3263

1,9024401519,666822625

0,0018762559,978396996

0,0015838757,334294844

0,0067651216,561571189

4,1264322655,918148659

0,998374874

4282

1,7921933668,686288152

0,0032061299,006841176

0,0026897096,496639688

0,0108078576,972328647

4,660860946,452577335

0,997084044

5411

1,7660640088,467422108

0,0036156358,796674061

0,0030178026,305140854

0,0120388355,002577906

2,6714148984,463131293

0,997338203

62

1,6926825787,854613144

0,005069128,190981419

0,0042099145,785606434

0,0161579236,198956501

3,9705325915,762248985

0,995750479

7215

1,639530587,424262662

0,0064350197,765074433

0,005326615,423488524

0,0198676266,214160707

4,0407019915,832418385

0,994585622

8257

1,5900656937,034349096

0,0079960937,379427959

0,0065974155,096989989

0,0239673994,759396205

2,6033100274,395026421

0,994161548

926

1,5469197766,704575053

0,0096165857,054331468

0,0079073814,821225693

0,0281113495,255221304

3,1543457714,946062165

0,992607802

10402

1,5365606686,626201741

0,0100489326,976725518

0,0082576564,756176574

0,0291933285,30544187

3,216330595,008046985

0,992232261

1148

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0,992528495

12692

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0,991991001

13672

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0,991774893

14689

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0,989068205

15153

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0,988826945

16654

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0,98779303

1786

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0,986459314

18298

1,3855766455,530218918

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4,491155046,282871434

0,983873322

19994

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2,7400480564,53176445

0,983624891

Can

did

atos a o

utlie

rs p

hi

RV

p-valo

rEsco

re

p-valo

rW

aldp

-valor

Valo

r de

Yi

qin

fq

sup

Acu

mu

lada

1985

-1,0134498314,30589814

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0,00040694822,32518538

2,30E-062,545627331

3,0165721854,80828858

9,04E-05

2193

-0,9192389311,17085742

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0,00176188717,45957987

2,93E-053,148100556

3,5317376735,323454068

0,000339084

3344

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465

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5497

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6482

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0,007207315

7125

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0,004932777

8483

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9743

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1012

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11860

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2,6349036554,426620049

0,014978101

Teste

s Assin

tótico

sQ

uan

tis (2,5% / 97,5%

)

23

3.

M

ean-Shift

Candidatos a outliers phi

RVp-valor

Escore p-valor

Wald

p-valorV

alor de Yiqinf

qsupA

cumulada

1233

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2850

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0,995669495

359

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0,994645396

4430

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5511

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0,992529042

6609

1,6380567947,013865106

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0,992331503

780

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0,990488143

8104

1,5451742396,325253023

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9809

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0,987201251

10476

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11373

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0,984988781

12171

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131

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14553

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0,982757761

1536

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16539

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0,981885401

17547

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0,98121997

1833

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0,982542097

19833

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0,982191228

20302

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0,981203415

21142

1,366198265,090276559

0,0240603545,281789028

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2,3686039614,042223542

0,977756791

Candidatos a outliers phi

RVp-valor

Escore p-valor

Wald

p-valorV

alor de Yiqinf

qsupA

cumulada

1500

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0,00736380215,84341021

6,88E-053,098657534

3,3286277185,002247298

0,000585674

2680

-0,525190726,799522761

0,0091182245,735899688

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0,001616543

3918

-0,498479865,865229964

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0,02666866611,15402416

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4,2588917195,9325113

0,003025486

4469

-0,480623675,348199765

0,0207436784,473881472

0,03441672310,21002547

0,0013967922,881057317

3,0194780264,693097606

0,003373677

5329

-0,442238574,218976282

0,0399742713,464606032

0,0626954418,202004072

0,0041844144,7478393

4,8260149776,499634558

0,008834354

Testes Assintóticos

Quantis (2,5%

/ 97,5%)

24

4.

Me

an-Sh

ift

Can

did

atos a o

utlie

rs p

hi

RV

p-valo

rEsco

re

p-valo

rW

aldp

-valor

Valo

r de

Yi

qin

fq

sup

Acu

mu

lada

1495

2,5585441614,81731258

0,00011844314,83755358

0,00011717912,64028164

0,0003775235,997931194

3,153756194,781608718

0,999925536

2843

2,022469179,58767705

0,0019588769,684320801

0,0018584717,841203368

0,005106864,874181719

2,5743796054,202232132

0,998585591

3656

1,8710772518,32030949

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0,0096446065,645629796

3,4865022945,114354821

0,997235243

4232

1,8365252358,039308916

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0,996960706

5975

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6446

1,7221591247,158090635

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4,3451305775,972983104

0,994813506

7615

1,6822951386,85992345

0,0088150336,981317475

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0,0200775033,987988226

2,035720363,663572888

0,993070361

8799

1,6654598756,737019825

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1533

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32

12.

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Teste

s Assin

tótico

sQ

uan

tis (2,5% / 97,5%

)

33

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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