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Universidade do Vale do Paraíba
Metodologia Científica – Física Experimental
São José dos Campos2010
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ÍNDICE
Tópico 1 Coerência de Dimensões e Unidades Coerência Dimensional Coerência de Unidades
Tópico 2 Conversão de Unidades e Notação Científica Fatores de Conversão de Comprimento Fatores de Conversão de Tempo Notação Científica Algarismos Significativos Critérios de Arredondamento Operações com Algarismos Significativos
Tópico 3 Estudo de Erros em Medidas Erros de uma Medida Propagação de Erro Erro Propagado nas Operações Básicas
Tópico 4 Como elaborar um relatórioTópico 5 Como formatar gráficosTópico 6 Paquímetro e Micrômetro
O Paquímetro O Micrômetro Prática
Tópico 7 Tempo de reação Humana Prática
Tópico 8 Pêndulo Simples Prática
Tópico 9 Empuxo Prática
Tópico 10 Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado) Prática
Tópico 11 Mínimos Quadrados em Papel MilimetradoTópico 12 Decaimento da Temperatura (Papel MonoLog)
PráticaTópico 13 Mínimos Quadrados em Papel MonoLog
Bibliografia Utilizada
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1. COERÊNCIA DIMENSIONAL E DE UNIDADES
É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maça, por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade.Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos.
Coerência Dimensional
Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme:
x=x 0+vt (1)
onde x representa a posição, no eixo x, de qualquer objeto, x0 representa a posição inicial, v é a velocidade do móvel e t, o tempo.
No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros e etc. Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e vt . Para que ocorra a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões.
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a expressão:
80 quilogramas = 30 metros + x metros
Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os seguintes símbolos:
Comprimento [L]Massa [M]Tempos [T]
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Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos:
x posicao= [L ]t tempo=[T ]
vposiçãotempo
=[ L][T ]
x=x 0+vt ⇒ [L ]=[L ][ L][T ]
[T ] ⇒ [ L]=[L ][L ]
Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de unidades.
Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais.
Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de M, L e T, obtendo-se, assim, a equação dimensional da grandeza G. Desse modo, a equação dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por Os
expoentes , e são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas fundamentais M, L e T. Assim, pode-se escrever todas as grandezas da mecânica em função
de L, M e T variando os valores de , e .
Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke:
F=−kx (2)
No lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos uma constante k, que queremos determinar sua dimensão, multiplicada pela posição x. Então, realizando a análise dimensional:
F=massa×aceleraçao
aceleraçao=comprimentotempo×tempo
=[L ]
[T ] [T ]=
[L ]
[T ]2, logo
F=massa×aceleraçao= [M ][L ]
[T ]2
Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos
[M ][L ]
[T ]2=k [L ] ⇒
[M ]
[L ][L ]
[T ]2=k ⇒ k=
[M ]
[T ]2
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Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao quadrado, ou seja, g/ s2 ou kg/s2 .
A seguir alguns exemplos de análise dimensional:
1. Velocidade:
se [ s] = Le [ t] = T
2. Aceleração:
3. Força: F = m · a
[F] = M1 · M0 · L1 · T–2
4. Trabalho e Energia: = F · d
[ ] = M1 · L1 · T–2 · L
5. Potência:
5
6. Quantidade de movimento: Q = m · v
Q] = M1 · M0 · L1 · T–1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão dimensionalmente incorretas, onde:
v 0 é a velocidade inicial do objeto;a é a aceleração do corpo;x0 é a posição inicial do objeto;Δx=x−x0 é o deslocamento;
g é a aceleração da gravidade; r é o raio de uma circunferência;v é a velocidadet é o tempoW é o trabalho realizado
a) x=x 0+v 0 t+12
at2
b) v=v 0 +at2
c) v=v 022a Δx
d) t=v0sen θ
g
e) a=vr
f) W=F Δx cosθ
2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, μ , c e d:
a) F=GM m
r2
b) f a=μ N , onde f a é a força de atrito e N é a força normalc) F=c a3
d) F=d v , onde v é a velocidade
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Coerência de UnidadesO Sistema Internacional de Unidades - SI
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico).
As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à "Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.
As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de símbolos.
Exemplos:
Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa nome: metro nome: segundo nome: quilograma símbolo: m símbolo: s símbolo: kg
Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e "grau Celsius"
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto.
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Certo Erradosegundo s s. ou seg.metro m m. ou mtr.kilograma kg kg. ou kgr.hora h h. ou hr.
O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s".
Certo Erradocinco metros 5 m 5 msdois kilogramas 2 kg 2 kgsoito horas 8 h 8 hs
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
Certo Erradoquilômetro por hora
km/hquilômetro/h
km/horametro por segundo
m/smetro/s
m/segundo
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto, não pode ser usado sozinho.
Certo Erradoquilograma; kg quilo; k
Use o prefixo quilo da maneira correta.Certo Errado
quilômetro kilômetroquilograma kilogramaquilolitro kilolitro
Principais Unidades Fundamentais do SI
Grandeza Nome Plural Símbolo
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comprimento metro metros mtempo segundo segundos smassa quilograma quilogramas kg
corrente elétrica ampère ampères Atensão elétrica volt volts Vtemperatura
Celsiusgrau Celsius graus Celsius ºC
temp. termodinâmica
kelvin kelvins K
Unidades Derivadas
Grandeza Nome Plural Símboloárea metro quadrado metros quadrados m²
volume metro cúbico metros cúbicos m³ângulo plano radiano radianos radvelocidade metro por segundo metros por segundo m/saceleração metro por segundo
por segundometros por segundo
por segundom/s²
massa específica quilograma por metro cúbico
quilogramas por metro cúbico
kg/m³
vazão metro cúbico por segundo
metros cúbicos por segundo
m³/s
força newton newtons Npressão pascal pascals Pa
trabalho, energia, quantidade de
calor
joule joules J
potência, fluxo de energia
watt watts W
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2. CONVERSÃO DE UNIDADES E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Fatores de Conversão de Comprimento
Unidade km hm dam m dm cm mm1 kilômetro 1 10 100 1000 10000 100000 10000001 hectômetro 0,1 1 10 100 1000 10000 1000001 decâmetro 0,01 0,1 1 10 100 1000 100001 metro1 metro 0,0010,001 0,010,01 0,10,1 11 1010 100100 100010001 decímetro 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1001 centímetro 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 101 milímetro 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a conversão de unidades, conforme segue no exemplo:
Converter de km/h para m/s
10kmh
x1000 m
1kmx
1h60min
x1min60 seg
=10x100060x60
=2,77m /s
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cma) 2,5 m b) 1,3 kmc) 200 dam d) 10500 mm
Exemplos de conversão de unidades. Converter as seguintes medidas de áreas para km2 .a) 100 m2 1 m = 0,001 km, então 1 m2 = (0,001 km)2
1 m2 = 0,000001 km2
Logo: 100 m2 = 100 x 0,000001 km2 100 m2 = 0,0001 km2
b) 150 hm2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm2 = (0,1 km)2 1 hm2 = 0,01 km2
Logo: 150 hm2 = 150 x 0,01 km2
150 hm2 = 1,5 km2
c) 100000 dm21 dm = 0,0001 km, então 1 dm2 = (0,0001 km)2 1 dm2 = 0,00000001 km2
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Logo: 100000 dm2 = 100000 x 0,00000001 km2
100000 dm2 = 0,001 km2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2) Converta as seguintes medidas de áreas para m2
a) 1 km2 b) 5 dam2
c) 2,5 mm2 d) 3 cm2
3) Converta as seguintes medidas de volume para m3
a) 1,85 cm3 b) 11,5 mm3
c) 3,2 dam3 d) 0,1 km3
Fatores de Conversão de Tempo
Unidade s min h dia ano1 segundo 1 0,01667 0,0002778 0,00001157 0,000000031691 minuto 60 1 0,01667 0,0006994 0,0000019011 hora 3600 60 1 0,04167 0,00011411 dia 86400 1140 24 1 0,0027381 ano 31536000 525900 8766 365,2 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundosa) 1h10min b) 1semanac) 48h d) 2h26min
5) Converta:e) 300 dias em segundosf) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundosg) 35 km/h em m/sh) 100 m/s em km/h
1km = 1000m 1dia = 24h 1N.m = 1J
1m = 100cm 1h = 60min 1cal ≈ 4,2J
1cm = 10mm 1min = 60s 1kWh = 3,6x106Jpol (in) = 2,54cm 1h = 3600s
pé (ft) = 30,48cm 1m3 = 103lmilha (mi) = 1609m 1ton = 103kg 1ml = 1cm3
jarda (Yd) ≈ 0,91m 1kg = 103g 1000ml = 1l
onça (oz) = 28,7g galão (gal) = 4,55 l
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1kg/m3 = 103g/m3 libra (lb) = 454g1kg/l = 103 kg/m3 1A = 1C/s
1 g/cm3 = 103 kg/m3 1m/s = 3,6km/h 1V = 1J/C
1mph ≈ 1,6 km/h
1J/s = 1W 1Pa = 1N/m2
1cv ≈ 735W 1Kgf = 9,8N 1atm = 760mmHg
1HP 746W 1atm ≈ 105N/m2
1N/m2 ≈ 10-5kgf/cm2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6) Converta:a) 600 W em HPb) 35 Hp em cvc) 3,5 cv em J/sd) 500mmHg em kgf/cm2
e) 15 m/s em km/hf) 1000 pol em kmg) 10 jardas em milhash) 3500 ml em galões
Conversão de Temperatura
Conversão de para FórmulaCelsius Fahrenheit °F = °C × 1,8 + 32 Fahrenheit Celsius °C = (°F − 32) / 1,8Celsius Kelvin K = °C + 273,15Kelvin Celsius °C = K − 273,15
7) Converta a) 109 °F em K b) -50 °C em K c) 300 K em °C
Notação Científica
Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar.
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A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas:
1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula;2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove).3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10n onde, a potência n é o número de casas em que se andou com a virgula até ficar apenas um número a esquerda da vírgula.
Exemplos:3563 , 2m 3,5632×103m0,000001234mm 1,234×10−6 mm0,02m × 0,13 m=2,0×10−2m × 1,3×10−1m=2,0×1,3×10−2−1=2,6×10−3m
6,31×10−5m 3=6,31 3× 10−5
3m3=251 , 2396×10−15 m3=2,512396×10−13 m3
A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas regras especiais que veremos no tópico seguinte.
Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas recomendou os seguintes prefixos:
Ordem de Grandeza Prefixo Abreviatura10−18 atto a
10−15 femto f
10−12 pico p
10−9 nano n
10−6 micro µ10−3 mili m
10−2 centi c
10−1 deci d
101 deca da
102 hecto h
103 quilo k
106 mega M
109 giga G
1012 tera T
1015 peta P
1018 exa E
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8) Escreva em notação científica as seguintes medidas:a) 0,00005 b) 300,2 c) 0,00000000198 d) 230120,2
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Algarismos Significativos
Suponha que estejamos realizando a medida de alguma peça como mostrado na figura 1. Pode-se observar que o comprimento da peça está entre 7 e 8 centímetros. Qual seria o algarismo que viria após o 7? Apesar da menor divisão da régua ser 1cm, é razoável fazer uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 7 e 8cm. Desta maneira, representa-se o comprimento da peça como sendo 7,3cm. O algarismo 7 desta medida foi lido com certeza, porém o 3 não. Não se tem certeza do algarismo, por isso, ele é denominado como algarismo duvidoso.
Figura 1: Desenho esquemático de medida de um objeto qualquer.
A regra geral, portanto, é que se deve apresentar a medida com apenas os algarismos de que se tem certeza mais um único algarismo duvidoso. Estes algarismos são denominados algarismos significativos da medida.
É importante salientar que, em uma medida, os zeros à esquerda do número, isto é, que posicionam a vírgula, não são algarismos significativos. Exemplos:
1. a medida 0,023cm tem somente dois algarismos significativos, o 2 e o 3;2. a medida 0,348cm tem três algarismos significativos;3. a medida 0,0040000cm tem cinco algarismos significativos, o número 4 e os quatro
zeros a sua direita.
Critérios de Arredondamento
Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que deve se ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de 06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são:
1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.Ex.: 7,34856 → 7,3
2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.Ex.: 1,2734 → 1,3
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3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for ímpar desprezando os seguintes.Ex.: 6,2500 → 6,2 12,350 → 12,4
Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.Ex.: 8,2502 → 8,3 8,4503 → 8,5
Operações com Algarismos Significativos
Este assunto é de grande importância devido ao fato de necessitar envolver em uma equação matemática, como a cálculo do volume, várias grandezas físicas medidas com diferentes algarismos diferentes, obtidas com aparelhos de classe de precisão diferentes. Por isso, iremos aprender as quatro operações básicas com as medidas.
Adição
O resultado da adição de várias medidas é obtido arredondando-se a soma na casa decimal da parcela mais pobre em decimais, após efetuar a operação.o.
Ex: 12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68
Subtração
A subtração é um caso particular da adição, adotando-se, dessa forma o mesmo critério da adição.
Ex: 18,2476 – 16,72=1,5276 = 1,53
Multiplicação
O produto de duas ou mais medidas deve possuir, em geral, o mesmo número de algarismos significativos da medida mais pobre em algarismos significativos.
Ex: 3,1415x180 = 5,65x102
Divisão
A divisão é simplesmente um caso particular do produto, portanto aplica-se a regra anterior.
Ex: 63,72 / 23,1 = 2,758441558 = 2,76
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9) Efetue as operações abaixo e represente o resultado em notação científicaa) 3 .45 m+123.47 m−0 .0354 m
b) 3 .12×105cm+2 .69cmc) 50 .72m+7200 .0cm
d) 5 .24 mm×0 . 73m
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3. ESTUDO DE ERROS EM MEDIDAS
A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos importantes sobre erros de medidas.
Erros de uma Medida
A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de conhecer, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável.
Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há três principais que são:
1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de medida;
2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro é possível de ser sanado;
3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los.
O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física.
O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das diversas medidas da grandeza, sendo representado por x :
x=x1+x 2. ..+x n
n=
1n∑i=1
n
xi
onde n é o número de medidas. Devido à natureza estatística do erro aleatório, é possível estimar apenas seu valor provável, dado pelo cálculo do desvio padrão :
σ= x1−x 2 x2−x
2.. .xi−x 2
n−1
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Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão.
Medida Comprimento (m)1 1.422 1.403 1.384 1.415 1.436 1.427 1.398 1.40
Utilizando o símbolo C para o valor mais provável da medida (média), obtida através de:
C=18
1 .421 .401 .381 .411. 431 .421 .391.40 =11.258
=1. 4 0625 m
C=1 .41m
O desvio padrão será dado por
σ= 1.42−1 .41 21.40−1.41 21 .38−1.41 21 .41−1 .4121.43−1.41 21 .42−1 .4121 .39−1.41 21 .40−1 .412
8−1
σ= 0 . 00010 . 00010 . 000900 . 00040 .00010 .00040 .00017
σ= 0.01 732m ⇒ σ= 0.02m
Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu respectivo erro é o seguinte:
1 .41±0.02 m
Note que o número de casas após a virgula para ambos os valores têm que ser compatíveis.
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Propagação de Erros
Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a propagação de erros associados a cada medida em particular.
Seja uma grandeza y que depende de outras grandezas x1 , x2 , . Então, a grandeza y pode ser escrita da seguinte forma:
y=f x1 ,x2 ,
A variação infinitesimal de qualquer uma das variáveis xi provoca também uma variação infinitesimal em y. Podemos expressar essa variação através da diferencial exata abaixo
dy= ∂ f∂ x1 dx1 ∂ f
∂ x2 dx 2
Realizando uma analogia entre variações infinitesimais e os desvios (erros) das variáveis, uma vez que ambos representam variações tem-se
Δy= ∂ f∂ x1 Δx1 ∂ f
∂ x2 Δx 2
Com a equação acima, considera-se a situação na qual os erros, atuando no mesmo sentido, somam-se. Isto é possível tomando-se o modulo das derivadas parciais da equação acima.
Exemplo: Calcularemos o volume de um cilindro de comprimento L= 4,00±0,1 mm e diâmetro D= 2,00±0,2 mm .
O volume do cilindro é V=π D2L
4=
π 2,00 24,00
4=12,566 mm3=12 .6 mm3
Agora iremos utilizar os erros das medidas com comprimento e diâmetro do cilindro
V=f D,L ⇒ ΔV=∣∂V∂D
∣ ΔD+∣∂V∂L
∣ ΔL⇒ΔV=∣π DL
2∣ΔD+∣
π D2
4∣ ΔL
ΔV=∣π ×2,00×4,00
2∣0 .2∣
π× 2,00 2
4∣ 0 . 1=2 .513mm30 .3141 mm3
ΔV= 2.8 273mm3⇒ ΔV= 2. 8 mm3
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O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:
V= 12.6±2. 8 mm3
Erro Propagado nas Operações Básicas
Abaixo estão listadas as equações do erro propagado para as operações mais utilizadas.
Adição: x±Δx y±Δy = x+y± Δx+Δy
Subtração: x±Δx − y±Δy = x− y ± Δx+Δy
Multiplicação: x±Δx . y±Δy = x . y ±x . Δy+y . Δx
Divisão: x±Δx ÷ y±Δy = x÷ y ±x . Δy+y . Δx
y2
Potenciação: x±Δx n=x n±n . xn−1 . Δx
Logaritmação natural: ln x±Δx =ln x ±Δxx
Logaritmação decimal: log x±Δx =log x ±0 . 4343 .Δxx
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, obtendo-se os seguintes resultados: L=59 , 90±0,05 cm e T=1,555±0,001 s .
Utilizando a equação do pêndulo simples T=2π Lg
, calcule o valor da aceleração da
gravidade (g).
2) Em uma mola de constante elástica k=2,256±0,003×104 dyn/cm colocou-se a oscilar uma massa m=249 , 86±0,01g . Calcule o período do oscilador para os valores dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica através
da equação T=2π mk
.
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4. COMO ELABORAR UM RELATÓRIO
Como elaborar um relatório
Um bom relatório depende de uma boa tomada de dados. Procure organizar-se de maneira a anotar durante a prática todas as informações relevantes de uma forma posteriormente intelígvel. Use um caderno apropriado para essas anotações, ao invés de usar folhas avulsas. O seu relatório deve descrever, nas suas palavras, a experiência efetuada, justicar o procedimento escolhido, apresentar e discutir os dados medidos e finalmente tirar conclusões. O relatório pode ser dividido em várias partes. Por exemplo:
Introdução: Resumo teórico para situar a experiência. Exposição dos conceitos teóricos que vai usar. Referências à literatura pertinente (Livros texto, livros de referência, internet, etc...).
Objetivos: Descrição concisa do que se pretende obter da experiência.
Equipamento e Procedimento Experimental: Descrição do equipamento e/ou diagrama do arranjo experimental. Descrição do procedimento seguido em aula. Descreva o que você fez, não necessariamente o procedimento proposto, justicando e discutindo a escolha. Avaliação ou estimativa dos erros nos dados devido aos aparelhos e procedimentos usados.
Dados Experimentais e Análise: Apresentação dos dados coletados, através de tabelas, gráficos etc. Tratamento dos dados brutos (usando algum modelo teórico) chegando a valores finais, junto com a avaliação final do erro. Não e necessário e nem deve ser indicada cada conta efetuada, mas deve ficar claro como chegou ao resultado.
Conclusões: Discussão dos resultados obtidos. Sempre que possível, comparar os resultados com os conhecidos ou esperados teoricamente, discutindo as diferenças e as possíveis fontes de erro. Se usou vários métodos, comparar os métodos.
Para experiências simples, os itens Introdução e Objetivos podem muito bem ser tratados em uma única seção. Em todos os itens, deve-se fazer referência aos livros texto, apostilas, sites na internet, etc.
Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confecção do relatório:
• Unidades para cada grandeza.
• Avaliação de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos
resultados finais).
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• Legendas das figuras.• Numerar as figuras e gráficos e se referir neles no texto.• Mencionar a data da realização da experiência.• Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, artigos,
relatórios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas", e dê a referência!
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5. COMO FORMATAR GRÁFICOS
Nas atividades experimentais, muitas vezes, precisamos estudar como uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relação a outra. Por exemplo, para medir o poder de aceleração de um carro, medimos como a sua velocidade se modica em função do tempo. Dados desse tipo são apresentados na Tabela abaixo
t (s) v (km/h)0 42±75 67±7
10 101±715 134±720 161±725 183±730 196±735 200±7
O gráfico desses dados (Figura 1) permite visualizar imediatamente o comportamento da velocidade em relação ao tempo. Uma imagem vale mil palavras, e um gráfico é uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. É importante que o gráfico se conforme a certas convenções ou regras que todo mundo conhece. Assim outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em seguida vamos apresentar as regras para produzir gráficos em um formato profissional.
Figura 2: Velocidade de um automóvel acelerando.
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Regras práticas para construção de gráficos
Conforme o exemplo da Figura 1.1, um gráfico contém os seguintes elementos:1. Eixos com nome da variavel representada, escala e unidade.2. Os dados e, se apropriado, as barras de erro.3. Legenda e ttulo.
Os eixos
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual o gráfico represente bem o intervalo medido para cada variável. A regra prática para esta denição é dividir a faixa de variação de cada variável pelo número de divisões principais disponíveis. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil leitura. Estes valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer múltiplo ou submúltiplo de 10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variação dos dados for de 35 unidades e o número de cm disponíveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 unidades para cada divisão do gráfico
No caso da Figura 2, a variável tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divisões principais, o que daria 3,5 s por divisão, o que não e conveniente. Portanto escolhemos 5s por divisão. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisão no eixo y. As escalas dos eixos não precisam comecar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa devariação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam a um número inteiro de divisões principais. Indique os valores correspondentes as divisões principais abaixo do eixo-x e a esquerda do eixo-y usando números grandes.
As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitos nos valores que indicam o valor da divisão principal. Uma regra prática é tentar usar no máximo três dígitos nestes valores, fazendo uso de potências de 10 na expressão das unidades para completar a informação. Ao traçar os eixos no papel milimetrado, não use a escala marcada no papel pelo fabricante. É você que define a sua escala, baseando-se nos seus dados. Também não use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus próprios, porque você precisará de espaço para a identicação das variáveis e para a legenda. Por fim, abaixo ou à esquerda dos números da escala, conforme o caso, escreva o nome (ou símbolo) da variável correspondente e a unidade para leitura entre parênteses (km, 105N/cm2, etc.).
Os dadosAssinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis
(em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda. As vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a
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minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais.
A legenda e o títuloTodo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1.1, no nosso
exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A legenda deve conter também uma descrição suscinta do que é apresentado no gráfico. Note que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo" é redundante pois esta informação já está contida nos rótulos dos eixos.
Na Figura 3, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na construção de graáfico.
Figura 3: Ilustração dos erros mais comuns que devem ser evitados na construção de gráficos.
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6. PAQUÍMETRO E MICRÔMETRO
O PAQUÍMETRO
O paquímetro é um instrumento utilizado para medir diâmetros internos e externos de pequenos orifícios, anéis e esferas, pois este instrumento tem como sua escala principal o milímetro.
Um aspecto importante deste instrumento é que este possui uma escala auxiliar denominada de nônio, cuja leitura na escala principal só pode ser efetuada utilizando-se como referência o zero do nônio.
A leitura no nônio é dada diretamente pelo traço do nônio que coincidir com algum traço da escala principal.
É importante notar que a precisão deste instrumento é de 0.05 milímetros.
Figura 4. Elementos do paquímetro. 1: encostos, 2: orelhas, 3: haste de profundidade, 4: escala inferior (graduada em centímetros), 5: escala superior (graduada em polegadas), 6: nônio ou vernier inferior (cm), 7: nônio ou vernier superior (polegada), 8: trava.
O MICRÔMETRO
O micrômetro é um instrumento utilizado para medir apenas diâmetros externos como anéis e esferas de pequenas proporções. Este instrumento também tem como sua escala principal o milímetro.
É importante notar que a precisão deste instrumento é de 0.01 milímetros, portanto, bem mais preciso do que o paquímetro.
Figura 5. Elementos do micrômetro
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PRÁTICAPAQUÍMETRO E MICRÔMETRO
OBJETIVOA finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas técnicas
de medidas, cuidados experimentais no laboratório, algarismos significativos, desvios avaliados e propagação de erros, utilizando instrumentos de medida muito simples (paquímetro e micrômetro).
MATERIAIS UTILIZADOS1. Esferas, cilindros e cubo metálicos;2. Paquímetro e Micrômetro .
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o diâmetro da esfera, a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo;
2. Calcular o valor mais provável e o erro padrão da média, para cada uma das medidas (para ambos os instrumentos);
3. Calcular o volume e o erro do volume para cada uma das peças, para ambos os instrumentos.
CONCLUSÕES
Através das seguintes questões, monte suas conclusões:
1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro e micrômetro?
2. Como você explicaria esta diferença encontrada?3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas?
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7. TEMPO DE REAÇÃO HUMANA
O que é o “tempo de reação humana” ? Vamos defini-lo como o tempo necessário
para que uma pessoa reaja a um determinado estímulo externo (visual, sonoro etc). O tempo
de reação é muito importante para o sucesso em atividades que exigem respostas rápidas,
principalmente atividades esportivas (goleiro de futebol, corredor, piloto de corrida etc).
Um exemplo: quando o corredor Donovan Bailey bateu o recorde dos 100 m na Olimpíada
de 1996, atrasou 0,17s (tempo de reação) na largada, e bateu o recorde por uma diferença
de apenas 0,01s em relação ao recorde anterior. No caso das corridas automobilísticas, uma
diferença de alguns centésimos de segundo no tempo de reação ao sinal de largada pode
significar uma diferença de duas ou três posições na prova.
A seguir vamos propor uma experiência para medir o tempo de reação humana.
Embora seja um experimento bastante simples, que não fornece um resultado muito
preciso, ele permite uma avaliação aproximada do tempo de reação.
A idéia é medir o tempo que uma pessoa leva para perceber que um objeto está
caindo e reagir a isso fechando a mão para interromper a queda do objeto. O tempo de
reação será determinado a partir do quanto o objeto andou, desde o momento em que foi
largado pelo experimentador até o instante em que a pessoa fechou os dedos e o segurou.
Um experimentador deve segurar o objeto pela extremidade superior, deixando sua
extremidade inferior exatamente entre os dedos (abertos) da pessoa que terá o tempo de
reação medido. Em um determinado instante, sem avisar, o experimentador solta o objeto e
a pessoa deve fechar os dedos para segurá-la.
Recomendamos o uso de uma régua de 30 cm ou maior, pois assim pode-se medir
quanto o objeto andou diretamente pela escala da régua.
A conversão desta distância em tempo, para saber o tempo de reação, pode ser feita
partindo-se da equação horária da posição de um movimento uniformemente variado
(a queda de um objeto é um “movimento uniformemente variado”, certo ? Por quê ?)
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Equação do movimento uniformemente variado: x = x0 + v0.t + a.t2/2 (I)
No caso da queda livre de um objeto, x é a posição do corpo no tempo t e x0 é a
posição inicial do corpo. A distância que o objeto percorreu na queda é exatamente x - x0,
que chamaremos de Δx.
Em nosso caso, a velocidade inicial do corpo (v0) é zero porque o experimentador
apenas soltou o objeto. O que faz o objeto cair é a ação da gravidade; assim, a aceleração a
que o objeto tem durante a queda é igual à aceleração da gravidade (9,8 m/s2).
Colocando estas informações na equação I, chega-se à expressão que permite
calcular o tempo de reação:
t REAÇÃO (s) ~ √ Δx (m) / 4,9
Exercício: obtenha a equação acima.
Você pode fazer este experimento com diversas pessoas e descobrir o tempo de
reação humana típico. Repita o experimento 10 vezes com cada pessoa, para chegar a uma
conclusão mais confiável, pois os valores obtidos através deste experimento apresentam
uma imprecisão natural (dispersão). Tente mudar de experimentador (quem solta a régua) e
verifique se isto também influencia o resultado.
Esta forma de medir o tempo de reação mede na verdade o tempo de reação à
estimulo visual, pois a pessoa detecta visualmente que o objeto foi largado. Você também
pode medir o tempo de reação à estimulo sonoro com o mesmo experimento, bastando para
isso falar “JÁ” no instante em que se solta o objeto. Neste caso, há diferença se a pessoa
estiver de olhos abertos ou fechados ? E se estiver olhando para outro lado ? Por quê ?
Repita o experimento várias vezes.
Outra questão que podemos colocar a respeito deste experimento é a seguinte: será
que, em horários diferentes do dia, o tempo de reação para uma determinada pessoa varia ?
Em caso de resposta afirmativa, como poderíamos explicar isso ?Objetivo
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8. PÊNDULO SIMPLES
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é obter a aceleração da gravidade fazendo-se uso de um pêndulo simples. Iremos ver que, basta realizar apenas as medidas do tempo de oscilação deste pêndulo para o cálculo da aceleração. Em vista dessa simplicidade, iremos aprender a seguir como isso é possível.
TEORIA
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples.
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra.
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma:
30
A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então:
No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, assim:
Onde ao substituirmos em F:
Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto,
para ângulos pequenos, , o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a
este ângulo.
Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação:
Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS.
Como para qualquer MHS, o período é dado por:
31
e como
Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:
E a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:
g=4π2
t2 . r
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PRÁTICAPÊNDULO SIMPLES
OBJETIVODeterminar a aceleração da gravidade local fazendo uso de um pêndulo simples.
MATERIAIS UTILIZADOS
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:• Um cronômetro, para medidas do tempo de oscilação do pêndulo;• Uma trena para medida do comprimento do barbante;• Um paquímetro para medir o diâmetro da esfera;• Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando a haste
até uma esfera metálica;• Um transferidor.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para atender ao objetivo deste experimento, faz-se necessário seguir os seguintes procedimentos abaixo:
1. Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha uma medida prédeterminada da ponta do fio ao centro de massa do pêndulo. Meça o comprimento, em metros, do pêndulo;
2. Para a realização do experimento, deslocase a esfera da posição de equilíbrio, até um ângulo θ, obedecendo a relação de que este ângulo não deve ser maior do que 15º.
3. Após ter deslocado a massa e determinado uma posição inicial de lançamento, soltase a massa e marcase o tempo de 10 oscilações completas, repetindo esta operação 10 vezes para cada comprimento L do fio;
4. Calcular a média e o erro padrão da média do tempo;5. Calcular a aceleração da gravidade local, em metros por segundo ao quadrado (
m /s2 ).6. Comparar a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente em
sala de aula (aceleração determinada pela equação do período utilizando os dados experimentais) com o valor existente na literatura científica e determine o desvio percentual;
7. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em sala de aula com o da literatura);
8. Comente sobre a variação do período com a massa do pêndulo. Há dependência? Justifique.
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9. EMPUXO
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é calcular o volume de um sólido utilizando o Princípio de Arquimedes e também através do cálculo geométrico.
TEORIA
O empuxo é uma força que atua nos corpos quando imersos total ou parcialmente em um fluído. Sua descrição segue o princípio de Arquimedes segundo o qual ele é uma força igual ao peso do fluído deslocado e atuando na mesma direção e sentido contrário ao peso.
Matematicamente, o empuxo (E) pode ser escrito em termos das densidades e do volume do fluído deslocado:
onde ml é a massa do fluído deslocado, Vl é seu volume, d é a densidade do fluído (d = massa/volume) e g é a aceleração da gravidade.
Um corpo imerso em um fluído está sujeito, pelo menos, a força peso (P) e ao empuxo ( E ), como ilustrado abaixo.
Figura 7. Um corpo imerso em um fluído
O sistema segue a lei de Newton, portanto:• se P > E o corpo afunda;• se P < E ele sobe;• se P = E ele flutua.
Conhecendo o princípio de Arquimedes podemos estabelecer o conceito de peso aparente (Pa), que é o responsável, no exemplo dado da piscina, por nos sentirmos mais leves ao submergir.
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Peso aparente é o peso efetivo, ou seja, aquele que realmente sentimos. No caso de um fluido:
E= P−Pa
ml . g=mc . g−ma . g
ml=mc−ma
ρ l .V =mc−ma
V=mc−ma
ρl
onde P é o peso do corpo, ml é massa do líquido deslocada (água), mc é a massa do corpo e ma é a massa aparente do corpo
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PRÁTICAEMPUXO
Lista de Materiais
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:1. Uma balança de pratos;2. Pesos graduados, em gramas;3. Um corpo de prova;4. Um béquer com água
Experimento
1. Meça a massa do corpo de prova com o uso da balança, mc;2. Meça a massa aparente do corpo, ma, utilizando o seguinte esquema abaixo:
Figura 8. Esquema do experimento do empuxo
3. Calcule o volume do corpo de prova através da equação:
V=mc−ma
ρáqua
4. Calcule agora o volume do corpo através da seguinte equação:
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V=π D2L
4
5. Responda a seguinte pergunta: Houve diferença no volume obtido por ambos os métodos? Se houve, como explicaria isso?
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10. SISTEMA MASSA-MOLA (PAPEL MILIMETRADO)
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é calcular a constante elástica da mola, k, através de um experimento simples com um sistema massa-mola e com o auxilio de um papel milimetrado.
TEORIA
Iremos utilizar a lei de Hooke que relaciona força com o deslocamento da massa, através da seguinte equação:
F=−k x (1)
onde F é a força em newtons, x é o deslocamento em metros e, k é a chamada constante elástica da mola. É importante salientar que, o sinal negativo presente na equação acima indica que esta força é restauradora, ou seja, é uma grandeza vetorial sempre no sentido contrário a grandeza vetorial do deslocamento x.
Supondo um sistema massa-mola na vertical, como mostrado na Figura 1, a força F passará ser a força peso da massa, com isso teremos :
Figura 9: Balança de Joly.
F=−k x
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P=mg
PF=0
m g- k x=0 m g=k x
k=mx
g
onde m é a massa e g a gravidade. Note que podemos obter a constante k através das quantidades m, x e g. É com essa
relação que iremos obter a constante elástica da mola, k, na prática seguinte, onde a relação m/x será o coeficiente angular da reta obtida através do gráfico em papel milimetrado, ou seja:
k=a .g (3)
onde a é o coeficiente angular da reta obtida experimentalmente.
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PRÁTICASISTEMA MASSA-MOLA
Lista de Materiais
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:4. Uma balança de Joly;5. Fichas graduadas, em gramas;
Experimento
3. Verifique se o prato da balança está em zerada na régua graduada em centimentros;4. Acrescente uma ficha graduada e anote o deslocamento do prato na régua.
Acrescente mais fichas, uma de cada vez e sem tirar as já colocadas, e anote o deslocamento:
5. Preencha a tabela abaixo com os valores massa (gramas) por deslocamento (centimentros):
Massa (g) Deslocamento (cm)
6. Coloque os pares de pontos da tabela acima em um papel milimetrado. Utilize o eixo y para os pontos relativos a massa e, o eixo x para os pontos relativos ao deslocamento;
7. Passe uma única reta de tal modo a cobrir todos os pontos experimentais no gráfico. Note que não será possível fazer com que a reta atinja todos os pontos;
8. Calcule o coeficiente angular da reta obtida escolhendo para isso, dois pares de pontos não consecutivos, através da relação abaixo:
a=m2−m1
d2−d1
9. Calcule a constante elástica da mola, k, utilizando a equação (3). Cuidado, o coeficiente angular e a aceleração da gravidade, g, estão com as unidades incompatíveis.
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11. MÍNIMOS QUADRADOS (PAPEL MILIMETRADO)
Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados.
Este método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da equação da reta:
y=ax+b
através das seguintes equações:
a=N∑ x . y −∑ x∑ y
N∑ x2−∑ x 2
e
b=∑ y∑ x2
−∑ x∑ x . y
N∑ x2−∑ x 2
onde N é o número de pontos experimentais.Uma observação importante é que, caso o conjunto de pontos experimentais
corresponda a uma equação não linear, deve-se primeiro linearizá-la e, como decorrência, refazer a tabela dos pontos experimentais, antes da utilização das relações acima.
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12. DECAIMENTO DA TEMPERATURA (PAPEL MONOLOG)
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é obter a equação matemática que gerou os dados da tabela abaixo. Para isso, é necessário fazer um gráfico em papel monolog de modo a linearizar os dados da referida tabela.
TEORIA
Diversos fenômenos físicos como o decaimento radioativo segue uma lei matemática que é uma função de uma exponencial negativa. Outro fenômeno mais próximo é o decréscimo de temperatura de uma xícara de café. Dada uma temperatura inicial de 205 graus Celcius (exagerando obviamente), podemos ver que o seu decréscimo será uma exponencial negativa até atingir uma temperatura ambiente, 1 grau por exemplo (exagerando novamente).
Utilizando então os dados da tabela abaixo, vemos o comportamento na figura 10:
tempo (horas)
Temperatura (Celcius)
0 2501 1522 923 564 335 206 127 78 49 210 1
Tabela: Valores de temperatura por tempo de uma hipotética xícara de café.
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Figura 10: Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de café.
O cálculo do coeficiente angular da reta no gráfico monolog é feito da seguinte maneira:
a=ln152−ln12
1−6=−0 .51
O coeficiente linear da reta é facilmente obtido pelo gráfico, ou seja, b=250 . Logo, a equação da reta será:
y=ax+b
Como a temperatura, T, é uma função do tempo, t, então a equação da reta acima torna-se:
T=at+b .
Entretanto, a temperatura, T, e o coeficiente linear, b, estão no eixo logarítmico do gráfico, assim:
T=−0 .51 t+250⇒ln T=−0 .51 t+ ln250
ln T−ln250=−0 . 51 t ⇒ ln T250 =−0 . 51t
Aplicando a função exponencial em ambos os lados da última equação, teremos:
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exp ln T250 =exp −0 . 51t ⇒
T250
=e−0. 51t
T=250 e−0.51 t
Esta foi à equação utilizada para gerar os dados da tabela anterior.
Figura 11: Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de café
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13. MÍNIMOS QUADRADOS EM PAPEL MONOLOG
Dada a seguinte tabela abaixo:
Tempo Temperatura 0 215 1 101 2 54 3 22 4 12 5 6 6 2 7 1 8 0.7 9 0.3 10 0.2 11 0.1
A primeira tarefa é aplicar o logaritimo neperiano nos dados acima a fim de linearizar os dados. A tabela a seguir mostra o resultado:
Tempo Ln(Temperatura) 0 5.3706 1 4.6151 2 3.9890 3 3.0910 4 2.4849 5 1.7918 6 0.6931 7 0 8 -0.3567 9 -1.2040 10 -1.6094
A tabela acima gera o seguinte gráfico linear:
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Figura 12: Temperatura em função do tempo
Agora, o objetivo é calcular a reta que melhor se ajusta aos dados. Para isso, é necessário utilizar a seguinte equação:
Coeficiente angular da reta: a=N∑ XY −∑ X∑ Y
N∑ X2−∑ X 2
Com a equação acima, calcula-se agora os novos valores de y a partir da equação da reta:
y=ax+b
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BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Piacentini, J. J.; Grandi, B. C. S.; Hofmann, M. P.; Lima, F. R. R.; Zimmermann, E. Introdução ao Laboratório de Física, 2a. edição, Editora da UFSC, Florianópolis, 2001.
Helene, O. A. M.; Vanin, V. R. Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, 2a. edição, editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1991.
Fonte: http://webfis.df.ibilce.unesp.br/cdf/roem/mec/empu/empu.html
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