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IX CONGRESSO BRASILEIRO DEENGENHARIA E CINCIAS TRMICAS
9th BRAZILIAN CONGRESS OF THERMALENGINEERING AND SCIENCES
Paper CIT02-0444METODOLOGIAS PARA CLCULO DO ARRASTO EM GRADES
DETURBOMQUINAS.
Ramiro Gustavo Ramirez CamachoITA Instituto Tecnolgico de
Aeronutica Departamento de [email protected]
Nelson Manzanares FilhoEFEI - Escola Federal de Engenharia de
Itajub Departamento de Engenharia [email protected]
Resumo. A determinao do coeficiente de arrasto em grades de
turbomquinas representa sempre dificuldades quando utilizada
atcnica de integrao de presses e atrito superficial. Essa tcnica
apresenta incertezas devido ao prprio processo de integraonumrica
como tambm na determinao da direo do escoamento mdio na grade, o
qual pela teoria de clculo do escoamentoem grades, depender do
valor da circulao. Ante essa dificuldade, apresenta-se alternativas
para o clculo do arrasto. Com basena espessura de quantidade
movimento da camada limite no ponto de separao, e da velocidade de
separao possvel calcularo coeficiente de arrasto considerando a
regio de separao atravs das correlaes de Speidel(1954) e
Schlichting (1969). Podetambm ser calculado o arrasto na regio de
separao atravs das velocidades normais ou de injeo de vazo
quantificadas apartir das correlaes de Hayashi e Endo (1977). Para
o clculo do escoamento potencial, utilizado o mtodo dos painis de
Hesse Smith (1966) com modificaes na condio de contorno de forma a
serem introduzidos os efeitos viscosos na regio coladaatravs da
tcnica da transpirao e na regio decolada a partir da injeo de vazo.
So apresentados resultados das diferentesmetodologias de clculo de
arrasto comparados com dados experimentais disponveis na
literatura, onde verificam-se boaconcordncia.
Palavras chave: arrasto, interao viscosa/no-viscosa, camada
limite, grades de turbomquinas, mtodo dos painis
1. Introduo.
Nas anlises de projeto de rotores de turbomquinas, como
compressores, ventiladores, bombas e turbinas, adeterminao das
perdas atravs de formulaes tericas e semi empricas tem sido
importantes na quantificao daeficincia destas maquinas. Tratando-se
de compressores axiais, o escoamento no conjunto rotor e estator
afetadopelas constantes mudanas da direo do escoamento atravs das
complexas geometrias de passagem, sendo importantedistinguir qual
escoamento representa o fluxo principal, quais os fluxos secundrios
e quais os fenmenos locais detransio laminar - turbulenta.
Considerando esses aspectos, se for exigida uma descrio precisa dos
escoamentos nasturbomquinas, onde sejam quantificados todos os
efeitos dissipativos provocados por os fluxos principais, os
fluxossecundrios, a formao da esteira de vrtices principal e
secundria, a formao de vrtices entre a ponta da palheta e acarcaa,
a formao de fluxos radiais, a formao de vrtices nos cantos e quinas
e em geral os efeitos viscososoriginados pela camada limite
(Wiesler, 1984), raramente poderiam ser tratadas em separado, pois
uns dependem deoutros, devido inter relao dos mecanismos complexos
de dissipao de energia provocados pelas tenses viscosas eos campos
de vorticidade distribudos de maneira no uniforme no campo de
escoamento. Sendo assim, ainda com asferramentas atuais de
modelagem do escoamento e uso dos mais sofisticados computadores,
seria pouco provvel obteruma nica soluo que descreva o campo
tridimensional completo do escoamento de uma turbomquina.
Entre as perdas mais representativas so consideradas aquelas
provocadas pelo perfil da palheta, tambmchamadas de perdas
bi-dimensionais. Essas perdas so devidas ao atrito do fluido sobre
a superfcie do perfil e adissipao de energia na esteira, devido
turbulncia. As perdas no perfil podem ser quantificadas
experimentalmenteem ensaios de tneis de grades que reproduzem um
escoamento muito prximo do bi-dimensional (Emery et al 1957).
Podem ser distinguidas duas regies em torno do perfil, quando
este imerso numa regio fluida; uma regio naqual o escoamento est
colado superfcie do perfil, onde predominam as perdas por atrito, e
uma outra regio, naqual o escoamento esta descolado e em que
predominam os efeitos da turbulncia do escoamento formando regiesde
vorticidade.
Para a determinao do escoamento em grades de turbomquinas
axiais, incluindo os efeitos viscosos, Ramirez etal (2001) e
Ramirez (2001) propuseram um modelo mais completo para o clculo do
escoamento visando aplicaesmais especificas em grades de
turbomquinas axiais de forma a simular o descolamento da camada
limite. Para oclculo do escoamento empregou-se a tcnica numrica do
mtodo dos painis de Hess e Smith (1967), commodificaes na condio
clssica de impenetrabilidade na superfcie do perfil atravs de uma
certa injeo de vazofictcia na regio
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de descolamento, quantificada a partir das relaes semi empricas
de Hayashi & Endo (1977). Alm da modificao nacondio de contorno
pela injeo de vazo (na regio de fluxo descolado), os efeitos
viscosos foram introduzidos naregio de camada limite colada atravs
da tcnica da transpirao. No trabalho de Ramirez et al (2001) e
Ramirez(2001) , se fez uma reformulao da tcnica dos painis de Hess
& Smith de modo a permitir que a velocidade doescoamento na
entrada da grade seja especificada diretamente em magnitude W1, e
ngulo de ataque. Nessaoportunidade foram apresentados resultados
das distribuies de presses, deflexo do escoamento na grade, e
docoeficiente de sustentao em perfis NACA-65 em grade, para uma
amplia faixa de ngulos de ataque, incluindo-se aregio do stall.
A necessidade de ter uma metodologia de clculo de escoamento em
grades que incorpore os efeitos da separaoda camada limite se deve
a que as maquinas de fluxo axiais freqentemente operam na sua
condio tima comsignificativas regies de descolamento de camada
limite, fato que foi evidenciado por alguns pesquisadores tais
comoLieblein (1959) e Schlichting (1959), sendo corroborado por
anlises tericas de camada limite e ensaios experimentaisem tneis de
grades e compressores. Ante este fato evidente, nas turbomquinas de
alto desempenho os parmetroscomo o ngulo de deflexo, sustentao e
arrasto devem ser suficientemente altos para garantir a maior
elevaopossvel da presso atravs da mquina, sem contudo comprometer a
sua eficincia com carregamentos aerodinmicosexcessivos, tpicos do
stall.
Este trabalho apresentam-se alternativas para o clculo do
coeficiente de arrasto em grades de turbomquinasaxiais com base no
crescimento da espessura da quantidade de movimento da camada
limite sobre a superfcie do perfil.Este estudo tem sido motivado
ante a dificuldade de calcular o coeficiente de arrasto utilizando
procedimentos clssicosatravs da integrao dos coeficientes de presso
e de atrito, onde verifica-se que conduz a erros no prprio processo
deintegrao sendo acrescentado pelo clculo do ngulo do escoamento
mdio na entrada na grade, sendo esse obtido apartir do clculo da
circulao em torno do perfil (Fig 1) podendo essa direo no ser
exatamente a mesma usada nosensaios experimentais, na determinao
dos coeficientes de arrasto e sustentao. No caso de perfil isolado,
essadificuldade em relao a determinao da direo do ngulo de ataque
no to evidente devido direo doescoamento com relao a corda do
perfil ser fixada tanto para o clculo terico do escoamento como
para os ensaiosexperimentais. Nesse sentido, no trabalho de Ramirez
et al (2001) se fez a reformulao do mtodo dos painis de Hess&
Smith no sentido das singularidades serem especificadas em funo do
angulo de incidncia 1. Essa reformulaofoi muito valiosa no sentido
de reduzir o tempo computacional que seria gasto em encontrar
iterativamente o valor dongulo 1 para diferentes valores de
dados.
No presente trabalho so mostrados e comparados com dados
experimentais resultados dos coeficientes de arrastoobtidos atravs
da espessura da quantidade de movimento da camada limite e pelo
clculo da injeo de vazo. Somostrados resultados do coeficiente de
sustentao e da relao sustentao/arrasto comparados com
dadosexperimentais. Essas informaes podero ser teis como
ferramentas de apoio para as analises preliminares de projetode
clculo do escoamento em grades de turbomquinas axiais, com a
vantagem de um baixo custo computacionalcomparado com mtodos
diferenciais utilizando as equaes de Navier Stokes, como por
exemplo.
.2. Clculo do Escoamento em Grades Lineares.
Grades lineares so planos retificados de cortes cilndricos em
mquinas de fluxo axiais. A Fig. (1) mostra umesquema de uma grade
linear infinita no plano complexo yixz += , sendo x o eixo axial e
i a unidade imaginaria 1 .A grade composta de perfis idnticos e
igualmente espaados de um passo t, com uma corda de comprimento l
engulo de montagem com relao a x.
.
l
t
1
2
1
y
x
jzj
zj+1zcj
W2
W1
1 2
W
W2
W1p /2 t
p /2 t
Wm (meridional)
x
y
Figura 1. Grade linear e diagrama de velocidades.
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Deseja-se estudar o campo de velocidades W!
do escoamento relativo grade, exteriormente aos perfis.
Ashipteses de escoamento bidimensional, permanente, incompressvel e
potencial sero aqui consideradas. Os parmetrosdo escoamento so
representados pelos ngulos do escoamento na entrada e na sada, 1 e
2, o ngulo de deflexo doescoamento na grade =(1-2); e pelas
velocidades do escoamento na entrada e na sada 1W
! e 2W
! .
A velocidade do escoamento no perturbado dada pela mdia vetorial
das velocidades na entrada e na sada:2WWW 21 /)( += . A circulao no
perfil definida como = dsWp tan , onde Wtan a velocidade tangencial
externa ao
contorno do perfil. A Fig. (1) apresenta as caractersticas
geomtricas de uma grade linear e o diagrama de velocidades
2. Clculo do Escoamento em Grades com e sem Separao da Camada
Limite.
O clculo do escoamento em grades de turbomquinas axiais, tem
como base a formulao do mtodo dos painisde Hess & Smith (1967)
com modificaes na condio de contorno de forma a introduzir os
efeitos provocados pelacamada limite colada e descolada. A formulao
bsica encontra-se descrita em detalhes no trabalho de Petrucci
(1998)e Ramirez (2001). A tcnica utiliza elementos de segmentos
retos para aproximar o contorno do perfil onde soconcentrados maior
quantidade deles nas regies do bordo de ataque e de fuga.
Utilizam-se distribuies uniformes defontes e vrtices, sendo as
intensidades de fontes tratadas como incgnitas e as intensidades de
vrtices especificadaspor uma funo senoidal que se anula no bordo de
fuga e atinge um valor mximo max na regio do bordo de ataque,Esse
tipo de distribuio evita os carregamentos aerodinmicos esprios na
regio de um bordo de fuga afiladoverificados no mtodo clssico de
Hess & Smith, que utiliza uma distribuio constante de vrtices
em todo o perfil e,por isso, apresenta dificuldades na aplicao
correta da condio de Kutta. Esta modificao na formulao bsica
foitestada com sucesso em varias situaes de perfis com bordo de
fuga afilado, como o caso dos perfis Joukowskyisolados (Karamcheti,
1980) e a grade de Gostelow , 1984, no trabalho de Petrucci,
1998.
As equaes para as distribuies de velocidades nas componentes
normal Wn e tangencial Wt sobre a superfciedo perfil em grade so:
(Ramirez et al 2001).
+
++=
==
iiij
i
j
i
iiN
j
ii
ii
iN
j
ij
t eeWePFeKeieK
eW
11
max
1
1)()(log2
)(log2
ReReReRe (1)
+
++=
==
iiij
i
j
i
iiN
j
ii
ii
iN
j
ij
n eeWePFeKeieK
eW
11
max
1
1)()(log2
)(log2
ImImImIm (2)
onde K o argumento da funo logartmica, e Fi representa o valor
da funo de pesso com coordenada natural doperfil s, que se anula
nas extremidades em s=0 e s = sl correspondentes ao bordo de fuga
no inicio e no final de umpercurso completo em torno do perfil.
=
+ tzztzz
zzKjc
jcjc
i
i
i /)(senh/)(senh
),(1
,t
sFP
N
jii
=
=
21 , )]}5.0/2(sin[1{5.0 += lii ssF (3abc)
As Eqs. (1) e (2) pode ser rescritas como o seguinte sistema
compacto de equaes matriciais:
{ } [ ]{ } { } { }1tanmaxt WDBW ++= , (4){ } [ ]{ } { } {
}1normaxn WCAW ++= . (5)
onde as chaves { } representam vetores coluna N1 e os colchetes
[ ] matrizes quadradas NN. [A] e [B] so matrizesdos coeficientes de
influncia normal e tangencial, respectivamente, que dependem apenas
da geometria do aeroflio,passo da grade, ngulo de montagem e nmero
de painis ; {D} e {C} representam os vetores de influencia
tangencial enormal dos vrtices respectivamente; { 1tanW } e { 1norW
} so os vetores das componentes normal e tangencial doescoamento na
entrada da grade; {Wn} o vetor das velocidades normais impostas em
todo o contorno do perfil.
Segundo o mtodo clssico de Hess & Smith para o escoamento
potencial em torno de corpos, as incgnitas max(vrtices) e (fontes)
das Eqs. (4) e (5) so determinadas pela aplicao simultnea de duas
condies. A primeira acondio de contorno de impenetrabilidade, que
exige uma velocidade normal nula sobre a superfcie do corpo
{Wn}=0;a segunda a condio de Kutta clssica, que exige um escoamento
que no contorne o bordo de fuga. Uma maneiraaproximada de impor
essa condio consiste em exigir que as velocidades tangenciais nos
pontos de controle sobre ospainis do bordo de fuga sejam iguais,
mas de sentido contrario em relao ao percurso,
1tt WW N = .
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Ramirez et al (2001) e Ramirez (2001), propuseram modificaes na
condio de contorno de forma a {Wn}0, nosentido de simular a esteira
descolada, atravs de uma certa injeo de vazo fictcia quantificada a
partir das relaessemi-empricas de Hayashi e Endo (1977). Para
simular o efeito da camada limite colada empregou-se a tcnica
datranspirao, que consiste na injeo de fluido no escoamento externo
com base na espessura de deslocamento dacamada limite Esta tcnica
foi proposta originalmente por Lighthill (1958), representada pela
seguinte expresso:
)( *tnt WdsdW = , (6)
onde Wt a distribuio de velocidades tangenciais do lado externo
da camada limite calculado pelo modelo potencial,*(s) a distribuio
da espessura de deslocamento obtida atravs do clculo da camada
limite, e s a coordenadanatural em torno do perfil.
A proposta de Ramirez et al (2001) permitiu tratar o escoamento
em qualquer poro de uma camada limitecolada, sendo os efeitos
viscosos correspondentes quantificados atravs da tcnica da
transpirao. Na regio descolada,a tcnica de injeo de vazo valida
unicamente para as situaes de separao do lado de suco do
perfil(extradorso). Nessa regio, a injeo de vazo terica QT
calculada pelas componentes de velocidades normais deseparao e pelo
comprimento S do trecho do contorno com descolamento. Nessa regio
considera-se a hiptese deum crescimento linear das velocidades
normais de injeo de vazo a partir de um certo ponto de separao
obtido doclculo da camada limite e onde a presso se mantm
constante.
possvel ento, relacionar a vazo terica com a vazo experimental
proposta por Hayashi e Endo (1977)admitindo um crescimento linear
da velocidade normal na regio de separao. Sendo assim a Eq (5) pode
sermodificada na condio de contorno introduzindo-se as componentes
de velocidades normais de injeo de vazo e detranspirao, resultando
o seguinte sistema de equaes matriciais.
{ } [ ]{ } { } { }1max norn WCAW ++= , (7){ } [ ]{ } { } {
}1tanmaxt WDBW ++= . (8)
}{}{),(2
}{ ntsep
slun WSl
WfW +=
(9)
u
l
*
1
su Wsp
Wt
W
W1
Wsp
Wnd
sllsp
Figura 2. Definio das componentes tangenciais de velocidade
onde {Wn} representa as distribuies de velocidades normais em
torno do corpo; {Wnt} a distribuio de velocidadesnormais de
transpirao; Ws. a velocidade de separao e f(u,l) representa uma
funo de quantificao da intensidadede vazo a ser injetada na regio
de separao obtida atravs das direes tangenciais da velocidades de
separao,Hayashi e Endo (1977). Na Fig (2) mostra como so
determinados os ngulos u, e l , e a Eq. (10) mostra a expressoda
funo f(u,l) dada por Hayashi e Endo (1977) para a determinao
experimental da injeo de vazo fictcia
+
+
++=
22cos26.1
270.1
2cos55.025.0/ lulululusspE sensenWlQ
(10)
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Isolando a intensidade de fontes da Eq (7) e substituindo na Eq
(8), tem-se a distribuio de velocidadestangenciais {Wt}:
{ } [ ] [ ] { } { }( ) { }( ) [ ] [ ] { } { }( ) [ ][ ] {
}KABWDCABWWWABW smaxtanntnort 11111 +++++= (11)Na Equao (11),
verifica-se que tanto a intensidade do vrtice max como a velocidade
de separao Ws aparecem
como incgnitas. Para determin-las, modifica-se a condio de
Kutta, fazendo com que a velocidade no ponto deseparao Ws seja
idntica velocidade do bordo de fuga do lado inferior; 1WWW psepS ==
. Ento, da Eq (11), obtm-se um sistema de duas equaes com duas
incgnitas Ws, e max, onde o sub- ndice 1 refere-se ao primeiro
painel dobordo de fuga do lado inferior e ps ao painel onde fixada
o ponto de separao:
11max1 VNORWVGAMAVINFW SS ++= ; psSpspsS VNORWVGAMAVINFW ++= max
. (12ab)
Os valores de VINF, VGAMA e VNOR representam os vetores obtidos
a partir das operaes entre matrizes evetores da Eq (11).
Resolvendo o sistema das Eqs (12ab) obtm-se os valores de max e
Ws:
111
111
VGAMAVNORVNORVGAMAVGAMAVGAMAVINFVNORVNORVINFVINFVINF
pspsps
pspspsmax +
++= , (13)
ps
pspss VNOR
VGAMAVINFW
+
=1
max . (14)
Para o clculo do coeficiente de presso devera ser considerada as
componentes de velocidades tangenciais enormais:
2
1
2
1
tan1 1
=
WW
WWC np . (15)
A metodologia at aqui apresentada para o clculo do escoamento
colado e descolado em grades deturbomquinas, encontra-se detalhada
nos trabalhos de Ramirez et al (2001, 2000), onde foram analisados
diversasgrades com perfis da serie NACA-65. Nessas oportunidades
foram mostrados resultados das distribuies de presses,ngulos de
deflexo e coeficientes de sustentao, para uma amplia faixa de
ngulos de ataque onde verificou-seconsistncia no modelo sobre todo
nas situaes de separao da camada limite.
3. Algoritmo de Clculo.
A metodologia de clculo do escoamento com separao em torno de
perfis em grade, juntamente com aintroduo dos efeitos viscosos
atravs da iterao viscosa/no-viscosa realizado utilizando-se dois
cdigoscomputacionais. (1), um cdigo potencial de clculo do
escoamento em grades baseado na tcnica numrica de Hess &Smith,
com modificaes para simular o efeito da esteira colada e descolada;
(2) o cdigo de clculo de camada limitepara determinao do ponto de
separao e das velocidades de transpirao. A seguir ser descrita
sucintamente ametodologia do algoritmo de clculo.
So fornecidos inicialmente para o 1o cdigo: razo de solidez da
grade =l /t, ngulo de montagem da grade,ngulo do escoamento na
entrada da grade 1, numero de painis e coordenadas do perfil;
estimativa inicial da posiodo ponto de separao a partir do qual ser
determinada a injeo de vazo fictcia.
O clculo do escoamento potencial modificado fornece as
distribuies de velocidades com as quais o cdigo decamada limite
determina o ponto de separao do lado de suco do perfil. As
coordenadas naturais do perfil soretificadas de forma a simular o
efeito de uma placa plana com gradiente de presso
O cdigo de camada limite acionado iterativamente at convergir
com o ponto de separao fixado para oclculo potencial. Caso o ponto
de separao calculado pelo cdigo de camada limite estiver a jusante
(montante) doponto de separao fixado, esse reposicionado mais a
jusante (montante), at se obter convergncia. Dependendo daposio
inicial do ponto de separao escolhido, so necessrias de 20 a 30
iteraes nos casos de 200 painis, e de 7 a10 iteraes, no caso de 80
painis. O programa oferece neste estgio resultados preliminares das
distribuies depresses do modelo potencial com influncia da esteira
descolada.
Inicia-se ento o segundo processo iterativo, aps ter sido
definida a regio de injeo. So introduzidas asvelocidades normais de
transpirao Wnt na regio de fluxo colado, obtidas a partir da equao
de Lighthill, Eq(6),sendo os valores das velocidades de transpirao
sub-relaxados em cada iterao com fatores de relaxao FRescolhidos:
Wnt(atual) = FR Wnt(atual) +(1-FR)Wnt(anterior). As transpiraes e a
injeo de vazo interagem sucessivamente
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at que seja satisfeita a condio de convergncia definida (por
exemplo) pelo valor do coeficiente de arrasto total( 610 atualdantd
CC ).
O ngulo de deflexo do escoamento calculado pela circulao efetiva
e pelo passo da grade (Fig. 1). Acirculao efetiva calculada pela
integral das velocidades tangenciais em torno do perfil. Na regio
descolada, avelocidade tangencial efetiva obtida a partir da
velocidade de separao (constante) e das velocidades normais
deinjeo.
O coeficiente de sustentao calculado pela integrao dos
coeficientes de presso e dos coeficientes de atritosuperficial. Na
regio do descolamento assume-se o coeficiente de presso constante
entre o ponto de separao o bordode fuga.
O programa computacional que implementa a metodologia foi
desenvolvido em linguagem Fortran 95, utilizando-se as bibliotecas
matemticas IMSL como ferramentas de apoio para a soluo de equaes
matriciais, uso desplines, funes de interpolao e extrapolao.
5. Camada Limite.
Para a determinao iterativa do ponto de separao, da espessura de
quantidade de movimento, da espessura dedeslocamento * , fator de
forma H=*/, e coeficientes de atrito superficial cf dado um
gradiente de velocidadesconhecido, empregou-se a soluo integral da
equao da quantidade de movimento de von Krmn. Para a soluodesta
equao so estabelecidos os seguintes mtodos e critrios: o mtodo
integral de Thwaites para a regio decamada limite laminar, o
critrio de Michel para a transio laminar turbulenta e o mtodo de
Head para a regio decamada limite turbulenta. Na separao
turbulenta, adotou-se o valor do fator de forma H = 2,4. O
cdigocomputacional para o clculo da camada limite foi obtido do
trabalho de Cebeci & Bradshaw (1977).
Na Fig. (3). mostra-se o crescimento da espessura de quantidade
de movimento do perfil NACA65-(04)10disposto em grade. A validao da
distribuio da espessura de quantidade de movimento sobre as
superfcies do perfil(suco e presso), sobre tudo na regio do bordo
de fuga atravs do cdigo de camada limite de interesse para oclculo
do coeficiente de arrasto, como ser visto mais adiante. Na Fig. (3)
so comparados os resultados da espessurade quantidade de movimento
obtido pelo cdigo integral de camada limite de Cebeci e Bradshaw
(1977) com osresultados do cdigo Alberts e Gregg (1974) e os
resultados experimentais de Peterson (1958). importante observarque
tanto os resultados de Alberst e Gregg como de Cebeci e Bradshaw
acompanham os resultados experimentais daespessura de quantidade de
movimento medidos no lado de suco e presso do perfil
NACA650-(04)10.
0.000
0.005
0.010
Cebeci e Bradshaw (1977)Alberst e Gregg (1974)Dados Exp.,
Peterson (1958)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/ l
0
0.005
/l (
suc
o)
/l (
pres
so)
Caratersticas
- Perfil NACA65-(04)10- Nmero de painis, N= 200- Nmero de
Reynolds, Re=2,54105
- Razo de Solidez da grade (l/t), =0,78- ngulo de montagem da
grade, =45o
- ngulo de incidncia do escoamento, 1=54,3o
Figura 3. Espessura de quantidade de movimento,
NACA65-(04)10
O cdigo de camada limite implementado neste trabalho no permite
modelar a formao de possveis bolhas dedescolamento sobre a
superfcie dos perfis aerodinmicos. Essa irregularidade ocorre
quando, a partir de um certogradiente de presso adverso, a camada
limite laminar separada e, em seguida, recolada numa condio
turbulenta,formando uma bolha re-circulao. Essa irregularidade
observada por exemplo, nas curvas experimentais docoeficiente de
presso em grades de perfis NACA 65, operando com nmeros de Reynolds
intermedirios (em torno de105, Emery et al., 1957). A pista
identificar a tendncia de formao de um patamar de presso constante
logo aps oponto de presso mnima do lado de suco do perfil que
demarca normalmente o final de uma regio laminar estvel.A modelagem
bem sucedida de bolhas de separao permanece como tema ainda em
aberto, requerendo estudosespecficos que fogem ao escopo deste
trabalho.
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5. Clculo do Coeficiente de Arrasto Atravs da Espessura de
Quantidade de Movimento.
Nas anlises do projeto de compressores tem sido conveniente o
uso do coeficiente de perdas de energia mecnica,dada pela diferena
da presso total entre a entrada e sada da grade, geralmente
denominado coeficiente de perdas para o caso de grades de
turbomquinas:
212
121
212
1 WPP
WP
== , (16)
( ) ( )[ ]2
121
222
1212
121
pp
W
WW
++= , (17)
onde, P representa a mdia em massa da perda na presso total
quando o escoamento atravessa a grade, e 2121 W ,presso dinmica com
relao a velocidade na entrada W1, medida em alguma posio de
referncia. A diferena dapresso total unicamente pode ser obtida por
ensaios experimentais, nos quais uma sonda introduzida numa
certadistncia jusante do bordo de fuga das ps onde tem-se
desenvolvido as camadas de mistura. Essa distncia deve
seradequadamente estabelecida na sada da grade, onde existir um
fluxo totalmente desenvolvido.
Com base nos trabalhos de Speidel (1954) e Schlichting (1959), o
coeficiente de perdas pode ser dado como umafuno direta do
coeficiente de arrasto:
=
cos
1*
1dC , (18)
=
coscoscos
22
31
2*
1 bfdC , (19)
onde bf a espessura total de quantidade de movimento das camada
viscosas no bordo de fuga do lado de presso esuco, )()(
sucobfpressobfbf += , parametrizadas com relao corda do perfil l. A
Eq. (18) indica que qualquer umdos coeficientes,
1dC ou , pode ser usado para quantificar os efeitos dissipativos
da grade. Note-se que decrescecom a razo de solidez e, no caso de
perfil isolado (= 0), ocorre arrasto mas no perdas.
Speidel (1954) atravs de anlises tericas e experimentais, obteve
uma correlao para a determinao daespessura da quantidade movimento
considerando a separao da camada limite do lado de suco do
perfilaerodinmico sep:
= 9,0
21
2WW
y stAsep , (20)
onde: Ws, a velocidade de separao calculada pela Eq (14), W2
velocidade na sada da grade e ytA a distncia daposio do ponto de
separao na superfcie do perfil at linha mdia de esqueleto do lado
de suo, mais o de lado depresso (y(suco)A + y(presso)A =ytA).
O valor da espessura da quantidade de movimento na regio de
separao, (Eq 20) pode ser acrescentada na Eq(19) de forma a
obter-se uma relao para o clculo do coeficiente de arrasto total,
resultando:
( ) += cos
coscos
22
31
2
1 sepbfdC . (21)
O valor de 1dC calculado atravs da espessura de quantidade de
movimento da camada limite e da formula de
Speidel (1954), Eq (20) para a determinao da espessura de
quantidade de movimento na regio descolada.
6 Clculo do Arrasto de Presses Atravs da injeo de vazo.
possvel substituir a formula de Speidel (1954), Eq (20), por uma
outra mais condizente com o modelo deinjeo de vazo utilizado neste
trabalho.
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8
Uma extenso do teorema de Kutta - Joukowski foi proposta por
Manzanares (2001) para corpos bidimensionaiscom injeo fictcia de
vazo no contorno. Nesse caso, o resultado clssico de arrasto nulo
deixa de valer, e o arrasto depresso fica:
=c
ndp dsWWWF )~( (22)
onde W. a velocidade do escoamento incidente (mdia, no caso de
grades), W~ a componente de velocidade total na
direo W.e Wn a velocidade normal ao contorno do corpo.No
presente caso, tanto o atrito como a presso da parte colada da
camada limite j estaro sendo considerados no
valor do 1*
dC , Eq (19), com base na espessura de quantidade de movimento
no ponto de separao e no lado de pressono bordo de fuga. A frmula
da Eq (22) ser aplicada para quantificar apenas a contribuio da
esteira descolada, sendounicamente considerada os valores das
velocidades normais na regio de descolamento, Wnd:
=c
ndinjd dsWWWF )~()( (23)
Considerando a vazo de injeo QE, tem-se:
=inj
ndE dsWQ . (24)
Logo tem-se que:
=c
ndEndinjd dsWQWWWF )~()( . (25)
Ser feita a hiptese de que a velocidade do escoamento na esteira
segue aproximadamente a direo doescoamento mdio, com velocidade
constante igual velocidade de separao, Ws. Com isso, e com a Eq
(24) em 25),resulta:
)~()( = WWQF sEinjd . (26)
Definindo o coeficiente de arrasto
lW
FC injdinjd 2
1
)()(
21
= , (27)
obtm-se:
lWWWQ
C sEinjd 21
)()(2
1
= . (28)
Desprezando o arrasto de atrito na esteira, o arrasto total ser,
portanto;
)(*
111 injddd CCC += . (29)
A aplicao da formula (29) exige que Ws W.. Na presente
metodologia, essa restrio pode no ser satisfeitapara pequenos
ngulos de ataque, quando uma pequena esteira descolada usada para
garantir a convergncia domtodo. Logo, as situaes com Ws< W..
sero consideras sem sentido fsico, fazendo-se 01 =dC nessas
situaes
7. Coeficientes de Sustentao e de Arrasto.
A continuao sero mostrados os resultados do coeficiente de
sustentao calculado pela integrao dasdistribuies de presses e
atrito superficial, e as diferentes modalidades de clculo do
coeficiente de arrasto, ou seja,atravs da correlao de Speidel(1954)
e pela frmula de injeo de vazo proposta por Manzanares (2001).
Ser mostrada a relao de sustentao/arrasto Cl /Cd , pois o valor
mximo dessa relao um importante critriode definio de grades de bom
desempenho, representando carregamentos aerodinmicos elevados com
foras dearrasto controladas.
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Neste trabalho no sero mostradas as distribuies de presses para
os casos aqui apresentados, porem podem serencontrados no trabalho
de Ramirez (2001).
6 8 10 12 14 16 18 20 22 1 ngulo de ataque
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
0 0.02 0.04 0.06 0.08
Cd(1)
20 40 60 80 100
C l (1
) /Cd
(1)
Cl (1)
NACA65-(18)10, 1=45o, =0,5 (a)
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
20
40
60
80
100
Cl (1) Cd(1)
C l (1
) /Cd
(1)
1 ngulo de ataque NACA65-(12)10, 1=45o, =1,0 (b)
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
0
0.02
0.04
0.06
0.08
20
40
60
80
Cl (1)
C l (1
) /Cd
(1)
Cd(1)
1 ngulo de ataque NACA65-(08)10, 1=45o, =1,0 (c)
2 4 6 8 10 12 14 16 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
20
30
40
50
60
70
Cl (1)
C l(1
) /Cd
(1)
Cd(1)
1 ngulo de ataque NACA65-(18)10, 1=45o, =0,5 (d)
Figura 4. Coeficientes de Sustentao e Arrasto: --- Cl (1)
potencial, ! Cl (1) experimental, " Pres. metodologia ,--#-- Cd
exp, ! )2(dC (Speidel), $ )3(dC (Inj. De vazo), % Cl / Cd
experimental, - )2(/ dl CC , ! )3(/ dl CC
Nas Figs. (4a)- (4d) so apresentados os seguintes resultados:
coeficiente de sustentao 1lC , coeficiente de
arrasto )2(1d
C (segundo Speidel) e o coeficiente de arrasto obtido segundo a
frmula de injeo de vazo )3(1d
C . Na parte
superior do grfico, tem-se os diferentes valores de )2(11
/ dl CC e )3(
11/ dl CC comparados com os dados experimentais de
Emery et al (1957). De forma ilustrativa e comparativa so tambm
apresentados os valores de sustentao calculados apartir do modelo
potencial, verificando-se grande afastamento dos dados
experimentais, como j era esperado.
Na Fig. (4a) so mostrados os coeficientes aerodinmicos para o
perfil NACA65-(18)10. Observa-se que o modelo capaz de prever
satisfatoriamente a situao de stall para um ngulo de ataque prximo
de 20o, correspondendo aosvalores mximos de sustentao. Nas curvas
do arrasto, verifica-se que os valores calculados segundo Speidel
(1954),
)2(
1dC , e pela frmula de injeo de vazo, )3(
1dC , tm comportamentos similares, porm o arrasto segundo
Speidel
aproxima-se mais dos dados experimentais, sobretudo na regio de
baixos ngulos de ataque. Os correspondentes
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valores mximos de )2(11
/ dl CC e )3(
11/ dl CC ocorrem praticamente num mesmo ngulo de ataque, porm
os valores
)2(
11/ dl CC aproximam-se mais dos resultados experimentais.
Na Fig. (4b) so mostrados os coeficientes aerodinmicos para o
perfil NACA65-(12)10. Observa-se que o modeloreproduz os valores da
sustentao com boa aproximao dos resultados experimentais. Para
pequenos ngulos deataque. Nos ngulos maiores utilizado o critrio de
injeo de vazo e os resultados so igualmente satisfatrios,sobretudo
na identificao dos valores mximos da sustentao. Todavia, os valores
poderiam ser aprimorados a partirde processos de calibrao da vazo
de injeo de forma a satisfazer mais adequadamente os valores da
sustentaopara toda a faixa de ngulos de ataque. Os valores de
arrasto calculados segundo Speidel e segundo a frmula dainjeo de
vazo apresentam comportamentos similares nas regies de baixos
ngulos de ataque. Nenhum dos valoresse aproxima bem dos dados
experimentais na regio do stall.
Nas Fig. (4c) e (4d), mostram-se os resultados dos coeficientes
aerodinmicos dos perfis de menor arqueamento,NACA65-(08) 10 e
NACA65-(04) 10. Verifica-se a boa concordncia do coeficiente de
sustentao em toda a faixa dengulos de ataque. Os valores de arrasto
calculados pela correlao de Speidel (1954) e pela frmula de injeo
devazo aproximam-se dos dados experimentais na faixa de pequenos
ngulos de ataque. Para ngulos maiores, a frmulade injeo de vazo
tende a subestimar o valor do arrasto. Por isso, os valores mximos
da relao )3(
11/ dl CC tendem a
ocorrer para ngulos mais prximos do stall que os valores de
)2(11
/ dl CC . Na Fig. (4c), os valores mximos de)2(
11/ dl CC so mais prximos dos experimentais que os valores
de
)3(
11/ dl CC , ao passo que, na Fig. (4d), a situao se
inverte.Cabe mencionar que os resultados experimentais de
arrasto no devem ser aceitos de forma acrtica, pelo fato de
seus valores numricos serem relativamente pequenos e susceptveis
a erros nas tcnicas de medio. O mesmo valepara a relao Cl /Cd .
Mais importante aqui mostrar uma validao comparativa em funo do
ngulo de ataque e apossibilidade de se estabelecer as grades timas
com certa confiana, a partir dessa variao
8. Concluses.
Foi apresentada de maneira sucinta, a metodologia para o clculo
do escoamento em grades de turbomquinasaxiais, com base na tcnica
dos painis de Hess & Smith, com modificaes na condio de
contorno de forma aintroduzir os efeitos viscosos atravs das
velocidades normais de transpirao na regio colada. Os efeitos
provocadospela separao da camada limite foram quantificados a
partir da tcnica de injeo de vazo quantificada atravs dascorrelaes
de Hayashi e Endo (1977). Nos trabalhos de Ramirez et al (2001) e
Ramirez (2001) foram reportadosresultados dos coeficientes de
sustentao, deflexo do escoamento na grade e das distribuies de
presses. Osresultados foram considerados satisfatrios quando
comparados com dados experimentais deEmery et al (1957).
Foi feita uma abordagem mais detalhada em relao as diferentes
metodologias para o clculo do coeficiente dearrasto, sendo uma
destas desenvolvida no prprio trabalho, baseada na injeo de vazo e
na velocidade de separao..Por outro lado, atravs do clculo da
espessura de quantidade de movimento da camada limite no ponto de
separao eda velocidade de separao, foi possvel calcular o arrasto
total com base na formulao de Speidel e Schlichting ondeos efeitos
da separao da camada limite so includos. Com base nesses
coeficientes foram obtidos as relaes desustentao/arrasto.
O clculo do arrasto apresenta dificuldades considerveis. A
comparao entre os dois procedimentos aquiapresentados para a
estimativa de arrasto ainda no conclusiva e sugere a necessidade de
estudos mais sistemticos.Por outro lado importante que
paralelamente, novos ensaios em tneis de grades sejam feitos com a
finalidade deoferecer resultados mais confiveis para servirem na
aferio dos modelos tericos.
9. Referncias.
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Through Low Speed Model Testing, ASMA paper84-GT-184.
METHODOLOGIES FOR DRAG CALCULATION IN TURBOMACHINERY
CASCADES
Ramiro Gustavo Ramirez CamachoITA Instituto Tecnolgico de
Aeronutica Departamento de [email protected]
Nelson Manzanares FilhoEFEI - Escola Federal de Engenharia de
Itajub Departamento de Engenharia [email protected]
Abstract. The determination of drag coefficients in
turbomachinery cascades always represents difficulties, this is
specially truewhen pressure integration and superficial friction
technique is used. This technique presents uncertainties due to the
numericintegration process and to the medium flow direction
determination on the cascade, which depends on the calculated value
ofcirculation around airfoil. In front of that difficulty,
alternatives to drag calculation are presented, based on boundary
layersmomentum thickness in the separation point, and separation
velocity. It is possible to determinate the drag coefficient in
theseparation region through Speidel(1954) and Schlichting(1969)
correlations. Other methodology for the separation regions
dragcalculation is based on normal velocities distributions or flow
injection quantified by Hayashi and Endo(1977)
semi-empiricalcorrelations. For the potential flow calculation Hess
and Smith(1966) panels method is used with modifications on
boundaryconditions as a way to enter viscous effects through
transpiration technique and through flow injection in the
separation region,Ramirez et al (2001). In this work different drag
calculus methodologies results are presented and compared with
experimental datafound on literature, where good concordance is
obtained.
Key Words: drag, viscous /inviscid interaction, boundary layer,
turbomachinery cascades, panels method
